第八章 二次型
在这一章里, 我们将利用矩阵
来讨论元二次多项式 。 二次齐次多
项式也叫做二次型 。 二次型的理论
在数学和物理的许多分支都有着应
用 。
8.1二次型和对称矩阵 (4学时 )
一、教学目标：
了解二次型和二次型矩阵的概念，二次型
的矩阵表示,矩阵合同的概念和性质，会用合
同变换化二次型为一个只含平方项的二次型
二、重点：
掌握对称矩阵都与一个对角形式矩阵合同
的关系，会用合同变换和配方法配方化二次
型为一个只含平方项的二次型的方法,
三、难点：
二次型的秩与二次型的等价，合同的关系
四、教学过程：
定义 1 设 F是一个数域,F上 n元二次齐次多项式
2 2 21 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 12 2 2n n n n n n n nq x x x a x a x a x a x x a x x a x x??? ? ? ? ? ? ? ?（,,, ）
叫做 F上一个 n元二次型。
F上 n元多项式总可以看成 F上 n个变量的函数。
二次型（ 1）定义了一个函数,
,nq F F?
(函数思想 )
所以 n元二次型也称为 n个变量的二次型。
在（ 1）中令
ij jiaa?
(1,),i j n?? 因为
i j j ix x x x?
所以 (1)式可以写成以下的形式,
(2)
12(,,,)nq x x x ?
?
?
n
i
a
1
,
1
?
?
n
j
jiij xxa i j j i
aa?
令
()ijAa?
是（ 2）式右端的系数所构成的矩阵，称为
二次型的矩阵。因为
,ij jiaa?
所以 A是 F上一个 n阶对称矩阵，利用矩阵的乘法,
（ 2）式可以写成
（ 3）
1
2
1 2 1 2nn
n
x
x
q x x x x x x
x
??
??
???
??
??
??
（,,, ） （,,, ） A
二次型（ 3）的秩就是 A的秩 ;如果对二次型（ 3）的变量
施行如下的一个变换,
（ 4）
1
12
n
i i j j
j
x p y i n
?
???,,,,( 1,),i j n??
那么就得到一个关于
ijpF?
和二次型 '
12() nq y y y，,,
12 ny y y，,,
(4)式称为变量和线性变换,令 ? ?
ijPp?
是 (4)的系数构成的矩阵,则 (4)式可以写成
(5) 11
22
nn
xy
xy
P
xy
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
将 (5)代入 (3)就得到
(6) ? ? ? ?
1
2
1 2 1 2nn
n
y
y
q y y y y y y P A P
y
??
??
??? ?
??
??
??
，,,,,,
矩阵 P称为线性变换（ 4）的矩阵。如果 P是非奇异的，
就称（ 4）是一个非奇异线性变换。
A对称矩阵 ?
P A P? ? ? ? ?（ ） = P A P = P A P? P AP?
也是对称矩阵。
定理 8.1.1 设 ?
?
n
i 1
?
?
n
j
jiij xxa
1
是数域 F上一个以 A为矩阵的 n
元二次型,对它的变量施行一次以 P为矩阵的线性变后所得
到的二次型的矩阵是 ',P A P
推论 8.1.2 一个二次型的秩在变量的非奇异线性变换之
下保持不变。
研究性问题 1,为什么要取二次型的矩阵是对称矩
阵（否则导致推论 9.1.2不成立）
例,二次型 2121 2),( xxxxq ? 的矩阵是,
1
01
10
A
??
? ??
??
若取
??
?
?
??
?
?
?
00
20
2A
作为该二次型的矩阵，那么经过变量的非奇异线性变换
212211,yyxyyx ????
就得到二次型
22
122 2,yy?
它的矩阵是
??
?
?
??
?
?
? 20
02
秩为 2，而
2A
的秩为 1。
定义 2 设 是数域 F上两个 n阶矩阵。如果存在 F上一个
非奇异矩阵 p，使得 A与 B合同。
矩阵的合同关系具有以下性质：（等价关系）,
1．自反性：
2．对称性：由
3．传递性：由 和 矩阵可得
,AB
BAPP ?'
AIA I ?
BAPP ?' ?
BAPP ?' CBQQ ?'
? CBQQAPQPQPQAPQ ??? '''' )()(
1 1 1 1( ) ( )P B P P B P A? ? ? ??? ??
研究性问题 2：
合同的矩阵
?
等价的二次型具有相同的秩。
有相同的秩，反之如何？与一个对称
矩阵合同的矩阵仍是对称的？教材中。矩阵的等价关系
有那些？
定义 F上两个二次型叫做等价的，如果可以通过变量
的非奇异线性变换将其中一个变成另一个。
定理 9.1.3 数域 F上两个二次型等价的必要且充分条
件是它们的矩阵合同。
研究性问题 3：
二次型 对称矩阵 对角形矩阵有何关系？
以平面上以圆点为中心的二次曲线的方程
为例并由以下定理给出这个问
题完满的回答。
??
dcyb x yax ??? 22 2
定理 8.1.4 设 是数域 F上一个 n阶对称矩
阵。总存在 F上一个 n阶非奇异矩阵 P，使得
即 F上每一个 n阶对称矩阵都与一个对角形式矩
阵合同。
)( ijaA ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
c
c
c
APP
0
0
2
1
'
?
?证 我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定理。回忆
以下 3.2里所定义的三种初等矩阵。容易看出：
)()();()(; ''' kTkTkDkDPP jiijiiijij ???
?现在对矩阵 A的阶 n作数学归纳法,n=1时定理显然成立。
?设
1,n ?
并且假设对于 n-1阶对称矩阵来说，定理成立。
?设
)( ijaA ? 是一个 n阶对称矩阵。如果 0,A ?
本身就是对角形式，设
这时 A
0,A ?
我们分两种情形来考虑。 （特殊到一般）
的左上角的元素
那么交换 A的第 1列与第 i列，再交换第 1行与第 i行，
(a) 设 A的主对角线上元素不全零。例如 0.
iia ?
如果
1,i ?就可以把
iia
换到左上角。这样做相当于用初等矩阵
iP1右乘 A，再用
ii PP 1'1 ?
左乘 A。于是
ii APP 1
'
1不等于零。因此，我们不妨设
11 0.a ?
第 j行，就可以把第 1行第 j列和第 j行第 1列位置的元素变成
用
11
1
a
a j? 乘 A的第 1列加到第 j列，再用
11
1
a
a j? 乘第 1行加到
零。这样做相当于用
)(
11
1
1 a
aT j
j ?
左乘 A，用 )(
11
1
1 a
aT j
j ?
'
11
1
1 )( a
aT j
j ??
左乘 A，这样，总可以选取初等矩阵
12,,,,sE E E
使得
(1)
(2)这里 是一个 n阶对称矩阵，由归纳法假设，
存在 n-1阶可逆矩阵 使得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
00
1
11
2!
'
1
'
2
'
A
a
EEAEEEE
ss
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??
1A
1Q
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n
c
c
c
QAQ
0
0
3
2
11
'
1
?
取 （请学生注意 Q的取法）
那么
?
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?
?
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?
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?
?
0
0
001
1
Q
Q
?
?
QEEEP s?21?
QEEAEEEEQAPP ss ?? 21'1'2''' ?
?
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0
0
00
0
0
00
11
'
1
11
1
11
'
QAQ
a
Q
A
a
Q
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?
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n
c
c
c
0
0
2
1
?
这里,
111 ac ?
(b)如果 nia
ii,,2,1,0 ???
由于
0?A 所以一定有某一个
元素。把 A的第 j列加到第 i列，再把第 j行加到第 i行，这相当
于用初等矩阵
? ?1jiT 右乘 A，再用 ? ? ? ??? 11 jiij TT 左乘 A。而经
过这样的变换后所得的矩阵第 i行第 j列的元素是
02 ?ija
于是情形 (b)就归结到情形 (a)。
注意 1、在定理 8.1.2的主对角形矩阵 APP? 中，主对角
线上的元素
nccc ?,,21
的不为零的
ic
的个数等于 A的秩，
如果秩 A等于 r >0，可知
0,,21 ?rccc ?
而
1 0.rncc? ? ? ?
2、给了数域 F上一个 n阶对称矩阵 A，由定理 8.1.2的证明
过程可以看出，我们可以具体地求出一个可逆矩阵 P，使得
APP? 有对角形式，只要在对 A施行一对列初等变换和行初
等变换的同时，仅对 n阶单位矩阵 I施行同样的列初等变换，
那么当 A化为对角形式时,I就化为 P。
例 1 设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
0403
41260
0630
3000
A
(演算过程省略 )
定理 8.1.5 数域 F上每一个 n元二次型
可以通过变量的非奇线性变换化为
? ?
? ?
n
i
n
i
jiij xxa
1 1
22
22
2
11 nn ycycyc ??? ?
Fccc n ?,,,21 ?
例如，以例 1中对称矩阵 A为矩阵的二次型是
? ? 43324123224321 8126123,,,xxxxxxxxxxxxq ?????
通过变量的非奇线性变换
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
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4
3
2
1
4
3
2
1
0
3
2
10
4
3
100
2
3
201
1
3
2
10
y
y
y
y
x
x
x
x
化为
2
3
2
2
2
1 3
863 yyy ??
8.2复数域和实数域上的二次型
? 一、教学目标：
了解复数域和实数域上的二次型的概念，实数域上的二次型的秩、
惯性指标、符号差等概念的关系和性质，复数域和实数域上的二
次型等价的充要条件及其典范形式及其种类。
? 二、重点：
掌握复数域和实数域上的二次型等价的充要条件及其典范形式
? 三、难点：
实数域上的二次型等价的充要条件及其典范形式
? 四、教学过程：
我们只限于讨论复数域和实数域上的二次型，前者特别简
单，而后者在应用上特别重要。
? 定义,复数域和实数域上的二次型分别叫做复二次型和实
二次型。
? 提出问题：
两个复二次型和两个实二次型等价的充分必要条件是什么？
复数域上两个对称矩阵和实数域上两个对称矩阵合同的充分
且必要条件是什么？
? 1、对于复二次型回答这个问题：
? 定理 9.2.1 复数域上两个 n阶矩阵合同的充分且必要条件是
它们有相同的秩。两个复二次型等价的充分且必要条件是它
们有相同的秩。
?证 显然只要证明第一个论断。
条件的必要性明显。我们只证条件的充分性。
设 A,B是复数域上两个 n阶对称矩阵，且 A与 B有相同
的秩 r，由定理 8.1.2，分别存在复可逆矩阵 P和 Q，使
得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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00
0
0
2
1
'
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r
c
c
c
APP
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00
0
0
2
1
'
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r
d
d
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BQQ
当 r >0 时,.,.,,,2,1,0,0 ridc
ii ???
取 n阶复矩阵
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10
1
1
0
1
1
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r
c
c
S
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?
?
?
?
?
?
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?
?
10
1
1
0
1
1
?
?
r
d
d
T
?这里 分别表示复数 的一个
平方根，那么,而
.因此，矩阵 A,B都与矩
阵 合同，所以 A和 B合同。
ii dc,iidc
TTSS ?? '',
???
?
???
???
OO
OIB Q TQTA P SPS r''''
???
?
???
?
OO
OI r
2、现在来看实数域上的情形。首先证明
?定理 8.2.2 实数域上每一 n阶对称矩阵 A都合同于如下
形式的一个矩阵：
（ 1）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
OOO
OIO
OOI
pr
p 这里 r等于 A的秩。
?证 有定理 8.1.2，存在实可逆矩阵 P使得
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
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?
?
?
?
?
00
0
0
2
1
'
?
?
r
c
c
c
APP
如果 r > 0,必要时交换两行和两列（这里相当于右乘以
,ijP
左乘以
'
ijP
我们总可以假定
.0,0,.,,,,0,.,,,11 rpcccc rpp ???? ?
取
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
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?
?
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?
?
1
1
1
1
1
?
?
r
c
c
T
那么
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
OOO
OIO
OOI
A P TPT
pr
p
''
与定理 8.2.2平行，我们有：
?定理 8.2.3 实数域上每个 n元二次型都与如下形式的一个
二次型等价：
（ 1）
2 2 2 2
11.,,,,,,p p rx x x x?? ? ? ? ?
这里 r是所给二次型的秩。
二次型（ 1）叫做实二次 型的典范形式，由定理 8.2.3可
得：
1、实数每一个二次型都与一个典范形式等价 。
2、在典范形式里,平方项的个数 r等于二次型的秩,因而
是唯一确定的 。
3、进一步证明在典范形式 (1)里,系数是 1的项的个数 p
也是唯一确定的，因而系数是 -1的项的个数 r-p也是唯一
确定的。这就是以下的
定理 8.2.4 (惯性定律 ) 设实数域 R上 n元二次型 ? ?
? ?
n
i
n
j
jiij xxa
1 1等价于两个典范形式
(2)
22 1221 rpp yyyy ????? ? ??
(3)
22 1221 rpp zzzz ????? ??? ??
那么,pp ??
证 （反证法）
设 (2)和 (3)分别通过变量的非奇异线性变换
(4)
?
?
?
n
j
jiji xsy
1
,,,2,1 ni ??
(5) ?
?
?
n
j
jiji xtz
1
,,,2,1 ni ??
化为所给的二次型
11
,
nn
ij i j
ij
a x x
??
?? 如果,pp?? 不妨设 ',pp?
构造 pnp ??? 个方程的齐次线性方程组
(6) ?
?
n
?
? ??
?j
jij xt
1
0
??
?
?
n
j 1
?? jij xs 0 本定理证明
的关键
1,2,,,ip?
1,,.i p n???
因为 ',pp? 所以,p n p n?? ? ? 因此,方程组 (6)在 R内有非
零解,令
),,,( 21 nccc ?
是 (6)的一个非零解,把这一组值代入
iy
和
iz
的表示式 (4)和 (5).记
1
( ),
n
i ij j
j
y c s c
?
? ?
?
?
?
n
j
jiji ctcz
1
)(,,,2,1 ni ??
有
22
1
22
1 )()()()( cycycycy rpp ????? ? ??
22
1
22
1 )()()()( czczczcz rpp ?????? ??? ??
? ?
? ?
?
n
i
n
j
jiij cca
1 1
然而
11( ) ( ) 0,( ) ( ) 0,p p ry c y c z c z c? ?? ? ? ? ? ?
所以 22
1
22
1 )()()()( czczcycy prp ?? ?????? ??
因为
2)(cy
i
和
2)(cz
i
都是非负实数,所以必须
,0)()(1 ??? cycy rp ?
.0)()(1 ??? ? czcz p?又
.0)()(1 ????? czcz np ? 所以 nccc,,,21 ? 是齐次线
性方程组 ?
?
?
n
j
jij xt
1
0,,,2,1 ni ??
的一个非零解,这与矩阵
)( ijt
的非奇异性矛盾,这就证明了,pp?? 同理可证,pp? ?
所以,pp??
?在 (1)中,称正平方项的个数 p叫做所给二次型的惯性指标,
正项的个数 p与负项的个数 r-p的差 s=p-(r-p)=2p-r叫做所给的
二次型的符号差。
?由定理 8.2.3和 8.2.4容易得到
?定理 8.2.5 （重点 2） 实数域上两个 n元二次型等价
的充分且必要的条件是它们有相同的秩和符号差,
?证 设 和
?是实数域上两个 n元二次型,令 和 分别是
它们的矩阵,那么由定理 9.2.2,存在实可逆矩阵 P,使得
),,,( 211 nxxxq ? ),,,( 212 nxxxq ?
2A
2A1A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??? ?
OOO
OIO
OOI
PAP pr
p
1
如果 与 等价,那么 与 合同,于是存在实可逆矩
阵 Q使得,取
.那么
2q 1q
2A 1A
QAQA 12 ?? PQT 1??
?因此 与 都与同一个典范形式等价,所以它们
有相同的秩和符号差,
?反过来,如果,有相同的秩 r和符号差,那么它
们也有相同的惯性指标,因此,
都与矩阵
? 合同,由此推出 与 合同,
从而 与 等价,
PQQAQQPTAT 1112 ?? ?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???? ?
OOO
OIO
OOI
PAP pr
p
1
2q
1q
1q
2q
)(21 srp ?? 1A 2A
?
?
?
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?
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?
?
?
? ?
OOO
OIO
OOI
pr
p
2A 1A
2q
1q
推论 8.2.6
?证 给定, 令
?由定理 9.2.4,R上每一 n元二次型恰与一个以 为矩
阵的典范形式等价,当 r取定后,p可以取 ;而
又可以取 中任何一个数,因此这样的
共有 个
实数域 R上一切 n元二次型可以分成
类,。（二次型的等价类）)2)(1(
2
1 ?? nn
rpnr ???? 00 和
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ?
OOO
OIO
OOI
C pr
p
pr,
prC,
r,,1,0 ?
n,,2,1 ?
prC,
)2)(1(21)1(21 ??????? nnn?
?对于每一个,就有一个典范形式
?与它相当,把与同一个典范形式等价的二次型放在一类,
于是 R上一切 n元二次型恰可分成
?类,属于同一类的二次型彼此等价,属于不同类的二次
型互不等价,
prC,
22
1
22
1 rpP xxxx ????? ? ??
)2)(1(
2
1 ?? nn
习题
8.3正定二次型 (等价类中最重要的一类 )
?一、教学目标：
?了解正定二次型和正定矩阵的概念，二次型的
主子式的概念,掌握二次型和正定矩阵正定的充
分必要条件
?二、重点：，正定二次型和正定矩阵的判定
?三、难点：正定二次型和正定矩阵的判定
?四、教学过程,(利用函数概念研究正定二次型 )
? 定义, 可以看成定
义在实数域上 n个变量的实函数。如果对于变
量 的每一组不全为零的值，函数
值 都是正数,那么就称
? 是一个正定二次型。
?定理 8.3.1 实数域上二次型 是
正定的充分且必要条件是它的秩和符号差都等
于 n。
? ?nxxxqnR ?,,21元二次型上一个
nxxx,,,21 ?
? ?nxxxq,,,21 ?
? ?nxxxq,,,21 ?
? ?nxxxq,,,21 ?
证 设 A是二次型 的矩阵。如
果 A的秩和符号差都等于 n，那么存在实可逆
矩阵 P，使得
令
(1),那么
? ?nxxxq,,,21 ?
IAPP ?'
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
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nn
y
y
y
P
x
x
x
??
2
1
2
1
? ? ? ?
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n
nn
x
x
x
Axxxxxxq
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2
1
2121
,,,,,,
? ?
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n
n
y
y
y
APPyyy
?
?
2
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y
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22221 nyyy ???? ?
?由（ 1）可以看出 不全为零时，
? 也不全为零。因此，对于任意不全
为零的实数,都有
反过来，如果,不论哪一种
情形都有 。因此存在实可逆矩阵 P,使得
nxxx,,,21 ?
nyyy,,,21 ?
nxxx,,,21 ?
? ?nxxxq,,,21 ? 22221 nyyy ???? ? 0?
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?取一组实数, 使得
?不全为零, 并且令
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npp yyyy ??,,0 11 ???
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y
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x
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那么 也不全为零。然而
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00
00
,,,,,,
? ? 022 1 ????? ? rp yy ?
下面再给出一个直接从所给的二次型的矩阵来判断这
个二次型是不是正定的判断法。首先引入一个概念。
?定义：设 是一个阶实对称矩阵。位于 A
的前 k行和前 k列的子式
? ?ijaA ?
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n
n
aaa
aaa
aaa
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21
22221
11211
叫做 A的 k阶主子式。令,就得到
A的一切主子式。
以 A为矩阵的二次型 的 k阶主子
式指的是 A的 k阶主子式
nk,,2,1 ??
? ?nxxxq,,,21 ?
定理 8.3.2 (主子式判别法 )
?实二次型
?是正定的,必要且只要它的一切主子式都大于零。
?证 如果二次型 的某一 k阶主子式
不大于零，,令
?
? 是一个 k 阶实对称矩阵，所以存在 k 阶实可逆
矩阵 Q，使得
? ?nxxxq,,,21 ? ? ?
? ?
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n
i
n
j
jiij xxa
1 1
? ?nxxxq,,,21 ?
nk ??1
?kA
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kkkk
n
n
aaa
aaa
aaa
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21
22221
11211
kA
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000
00
00
'
t
S
I
I
AQQ
?由于, 所以,
因此 s < k, 于是对于 n 不全为零的个实数
? 来说, 我们有
0d e t ?kA ? ? ? ? 0d e td e td e t 2' ?? kAQAQQ
0,,0,,,,21 ?? kccc
? ? ? ?
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2
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kkk
c
c
c
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),,,(
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kk
k
kk
cccq
c
c
c
Accc
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?
?所以二次型
不是正定的
12(,,,)nq x x x
?反过来,设 n个变量二次型 的所有主子
式都大于零,当 n=1 时,论断是正确的,因为当
时,对于任意实数 都有,设 n > 1,并且
假定对于 n-1 个变量的实二次型来说,论断成立
设
? 是一个 n 个变量的二次型,它的矩阵是,并
且假设 A的一切主子式都大于零,对 A作如下的分块：
12(,,,)nq x x x
11 0a ?
1 0x ?
2
1 1 1 0ax ?
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n
i
n
j
jiijn xxaxxxq ),,,( 21 ?
()ijAa?
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nnaa
aA
A '1
这里
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1,11,1
1,111
nnn
n
aa
aa
A
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???
?
一切主子式都大于零，由归纳假设和定理 9.3.1，
存在 n-1 阶可逆矩阵 使得
1A
1P,111'1 ?? nIPAP
是 n-1 阶单位矩阵，取
则
1nI ?
???
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01
01P
Q
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???
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???
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???
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???
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0
10
0 1
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1
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' P
a
AP
AQQ
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nn
n
a
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?1
这里,再取
'
nnca??? ? ?,10
1
???
?
???
? ?? ? ?nIP
则
这里,然而
所以 为矩阵的二次型
是正定的，因而与它等价的二次型
是正定的。
??
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c
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A Q PQP n
0
01''
'
nnca??? ? ?
1 ''0 ( d e t ) ( d e t ) ( d e t ) ( d e t ) ( d e t )
0
nIc P Q A Q P
c
???
''P Q A Q P 2 2 2
11 nny y c y?? ? ?
12(,,,)nq x x x
习 题
8.4 主轴问题
( 几何背景：将有心二次曲线或二次曲面的方程
化为标准形式的自然推广 )
一、教学目标：
了解正定二次型和正定矩阵的概念，二次型
的主子式的概念,掌握二次型和正定矩阵正定的充
分必要条件
二、重点：，正定二次型和正定矩阵的判定
三、难点：正定二次型和正定矩阵的判定
四、教学过程,(利用函数思想研究正定二次型 )
我们已经看到，实数域上一个二次型 可
以经过变量的非奇异线性变换
化为二次型
由于正交矩阵是非奇异的,所以变量的正交变换是非
奇异的,用矩阵的语言来说就是,给了一个实对称矩阵 A,要
寻求一个正交矩阵 U,使得 是对角形式,这个问题在
8.4里实际上已经得到解决,我们有
12(,,,)nq x x x
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y
y
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x
x
x
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2
1
2
1
.23 1221 rpp yyyy ?? ???? ?
AUU '
定理 8.4.1 设
是实数域上一个二次型,那么总可以通过变量的正交变换
? ?
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i
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jiijn xxaxxxq
1 1
21 ),,,( ?
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y
y
U
x
x
x
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2
1
2
1
化为 这里的 U是一个正交矩阵，而
是二次型的矩阵 的全部特征根。
证 是一个实对称矩阵由定理 8.4.3和 8.4.6，存在
一个正交矩阵 U，使得
2 2 21 1 2 2 3 3,y y y? ? ?? ? ?
12,,,n R? ? ? ? ()ijAA?
()ijAa?
这里 是 A的全部特征根,这也就相当
于说以 A为矩阵的二次型可以通过变量的正交变换
化为标准形式
由定理 8.4.1 可以看出,矩阵 A的不等于零的特征根的
个数就是 A的秩,而正特征根的个数与负特征根的个
数的差是以 A为矩阵的二次型的符号差,于是我们就
得到
?
?
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?
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n
AUU
?
?
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0
0
2
1
'
?
12,,n R? ? ? ?
2 2 21 1 2 2,nny y y? ? ?? ? ?
推论 8.4.2 （用特征根判断二次型的正定 性）
是实数域上一个 n元二次型,是它的矩阵,
（ 1）二次型 的秩等于 A的不等于零
的特征根的个数,而符号差等于 A的正特征根个数与
负特征根个数的差,
（ 2）二次型 是正定的必要且充分条
件是只要 A的所有特征根都是正数,
设
? ?
? ?
?
n
i
n
j
jiijn xxaxxxq
1 1
21 ),,,( ?
()ijAa?
12(,,,)nq x x x
12(,,,)nq x x x
由 8.4最后所说的方法,给了一个实二次
型,不仅从理论上可以将它通过变量的正交
变换化为标准形式,而且还可以具体地写出
这个标准形式和一个坐标变换矩阵,
黔南民族师范学院
在这一章里, 我们将利用矩阵
来讨论元二次多项式 。 二次齐次多
项式也叫做二次型 。 二次型的理论
在数学和物理的许多分支都有着应
用 。
8.1二次型和对称矩阵 (4学时 )
一、教学目标：
了解二次型和二次型矩阵的概念，二次型
的矩阵表示,矩阵合同的概念和性质，会用合
同变换化二次型为一个只含平方项的二次型
二、重点：
掌握对称矩阵都与一个对角形式矩阵合同
的关系，会用合同变换和配方法配方化二次
型为一个只含平方项的二次型的方法,
三、难点：
二次型的秩与二次型的等价，合同的关系
四、教学过程：
定义 1 设 F是一个数域,F上 n元二次齐次多项式
2 2 21 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 12 2 2n n n n n n n nq x x x a x a x a x a x x a x x a x x??? ? ? ? ? ? ? ?（,,, ）
叫做 F上一个 n元二次型。
F上 n元多项式总可以看成 F上 n个变量的函数。
二次型（ 1）定义了一个函数,
,nq F F?
(函数思想 )
所以 n元二次型也称为 n个变量的二次型。
在（ 1）中令
ij jiaa?
(1,),i j n?? 因为
i j j ix x x x?
所以 (1)式可以写成以下的形式,
(2)
12(,,,)nq x x x ?
?
?
n
i
a
1
,
1
?
?
n
j
jiij xxa i j j i
aa?
令
()ijAa?
是（ 2）式右端的系数所构成的矩阵，称为
二次型的矩阵。因为
,ij jiaa?
所以 A是 F上一个 n阶对称矩阵，利用矩阵的乘法,
（ 2）式可以写成
（ 3）
1
2
1 2 1 2nn
n
x
x
q x x x x x x
x
??
??
???
??
??
??
（,,, ） （,,, ） A
二次型（ 3）的秩就是 A的秩 ;如果对二次型（ 3）的变量
施行如下的一个变换,
（ 4）
1
12
n
i i j j
j
x p y i n
?
???,,,,( 1,),i j n??
那么就得到一个关于
ijpF?
和二次型 '
12() nq y y y，,,
12 ny y y，,,
(4)式称为变量和线性变换,令 ? ?
ijPp?
是 (4)的系数构成的矩阵,则 (4)式可以写成
(5) 11
22
nn
xy
xy
P
xy
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
将 (5)代入 (3)就得到
(6) ? ? ? ?
1
2
1 2 1 2nn
n
y
y
q y y y y y y P A P
y
??
??
??? ?
??
??
??
，,,,,,
矩阵 P称为线性变换（ 4）的矩阵。如果 P是非奇异的，
就称（ 4）是一个非奇异线性变换。
A对称矩阵 ?
P A P? ? ? ? ?（ ） = P A P = P A P? P AP?
也是对称矩阵。
定理 8.1.1 设 ?
?
n
i 1
?
?
n
j
jiij xxa
1
是数域 F上一个以 A为矩阵的 n
元二次型,对它的变量施行一次以 P为矩阵的线性变后所得
到的二次型的矩阵是 ',P A P
推论 8.1.2 一个二次型的秩在变量的非奇异线性变换之
下保持不变。
研究性问题 1,为什么要取二次型的矩阵是对称矩
阵（否则导致推论 9.1.2不成立）
例,二次型 2121 2),( xxxxq ? 的矩阵是,
1
01
10
A
??
? ??
??
若取
??
?
?
??
?
?
?
00
20
2A
作为该二次型的矩阵，那么经过变量的非奇异线性变换
212211,yyxyyx ????
就得到二次型
22
122 2,yy?
它的矩阵是
??
?
?
??
?
?
? 20
02
秩为 2，而
2A
的秩为 1。
定义 2 设 是数域 F上两个 n阶矩阵。如果存在 F上一个
非奇异矩阵 p，使得 A与 B合同。
矩阵的合同关系具有以下性质：（等价关系）,
1．自反性：
2．对称性：由
3．传递性：由 和 矩阵可得
,AB
BAPP ?'
AIA I ?
BAPP ?' ?
BAPP ?' CBQQ ?'
? CBQQAPQPQPQAPQ ??? '''' )()(
1 1 1 1( ) ( )P B P P B P A? ? ? ??? ??
研究性问题 2：
合同的矩阵
?
等价的二次型具有相同的秩。
有相同的秩，反之如何？与一个对称
矩阵合同的矩阵仍是对称的？教材中。矩阵的等价关系
有那些？
定义 F上两个二次型叫做等价的，如果可以通过变量
的非奇异线性变换将其中一个变成另一个。
定理 9.1.3 数域 F上两个二次型等价的必要且充分条
件是它们的矩阵合同。
研究性问题 3：
二次型 对称矩阵 对角形矩阵有何关系？
以平面上以圆点为中心的二次曲线的方程
为例并由以下定理给出这个问
题完满的回答。
??
dcyb x yax ??? 22 2
定理 8.1.4 设 是数域 F上一个 n阶对称矩
阵。总存在 F上一个 n阶非奇异矩阵 P，使得
即 F上每一个 n阶对称矩阵都与一个对角形式矩
阵合同。
)( ijaA ?
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n
c
c
c
APP
0
0
2
1
'
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?证 我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定理。回忆
以下 3.2里所定义的三种初等矩阵。容易看出：
)()();()(; ''' kTkTkDkDPP jiijiiijij ???
?现在对矩阵 A的阶 n作数学归纳法,n=1时定理显然成立。
?设
1,n ?
并且假设对于 n-1阶对称矩阵来说，定理成立。
?设
)( ijaA ? 是一个 n阶对称矩阵。如果 0,A ?
本身就是对角形式，设
这时 A
0,A ?
我们分两种情形来考虑。 （特殊到一般）
的左上角的元素
那么交换 A的第 1列与第 i列，再交换第 1行与第 i行，
(a) 设 A的主对角线上元素不全零。例如 0.
iia ?
如果
1,i ?就可以把
iia
换到左上角。这样做相当于用初等矩阵
iP1右乘 A，再用
ii PP 1'1 ?
左乘 A。于是
ii APP 1
'
1不等于零。因此，我们不妨设
11 0.a ?
第 j行，就可以把第 1行第 j列和第 j行第 1列位置的元素变成
用
11
1
a
a j? 乘 A的第 1列加到第 j列，再用
11
1
a
a j? 乘第 1行加到
零。这样做相当于用
)(
11
1
1 a
aT j
j ?
左乘 A，用 )(
11
1
1 a
aT j
j ?
'
11
1
1 )( a
aT j
j ??
左乘 A，这样，总可以选取初等矩阵
12,,,,sE E E
使得
(1)
(2)这里 是一个 n阶对称矩阵，由归纳法假设，
存在 n-1阶可逆矩阵 使得
?
?
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0
0
00
1
11
2!
'
1
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2
'
A
a
EEAEEEE
ss
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n
c
c
c
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0
0
3
2
11
'
1
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取 （请学生注意 Q的取法）
那么
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0
0
001
1
Q
Q
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QEEEP s?21?
QEEAEEEEQAPP ss ?? 21'1'2''' ?
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0
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0
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1
11
1
11
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QAQ
a
Q
A
a
Q
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n
c
c
c
0
0
2
1
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这里,
111 ac ?
(b)如果 nia
ii,,2,1,0 ???
由于
0?A 所以一定有某一个
元素。把 A的第 j列加到第 i列，再把第 j行加到第 i行，这相当
于用初等矩阵
? ?1jiT 右乘 A，再用 ? ? ? ??? 11 jiij TT 左乘 A。而经
过这样的变换后所得的矩阵第 i行第 j列的元素是
02 ?ija
于是情形 (b)就归结到情形 (a)。
注意 1、在定理 8.1.2的主对角形矩阵 APP? 中，主对角
线上的元素
nccc ?,,21
的不为零的
ic
的个数等于 A的秩，
如果秩 A等于 r >0，可知
0,,21 ?rccc ?
而
1 0.rncc? ? ? ?
2、给了数域 F上一个 n阶对称矩阵 A，由定理 8.1.2的证明
过程可以看出，我们可以具体地求出一个可逆矩阵 P，使得
APP? 有对角形式，只要在对 A施行一对列初等变换和行初
等变换的同时，仅对 n阶单位矩阵 I施行同样的列初等变换，
那么当 A化为对角形式时,I就化为 P。
例 1 设
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
??
?
?
0403
41260
0630
3000
A
(演算过程省略 )
定理 8.1.5 数域 F上每一个 n元二次型
可以通过变量的非奇线性变换化为
? ?
? ?
n
i
n
i
jiij xxa
1 1
22
22
2
11 nn ycycyc ??? ?
Fccc n ?,,,21 ?
例如，以例 1中对称矩阵 A为矩阵的二次型是
? ? 43324123224321 8126123,,,xxxxxxxxxxxxq ?????
通过变量的非奇线性变换
?
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1
3
2
10
y
y
y
y
x
x
x
x
化为
2
3
2
2
2
1 3
863 yyy ??
8.2复数域和实数域上的二次型
? 一、教学目标：
了解复数域和实数域上的二次型的概念，实数域上的二次型的秩、
惯性指标、符号差等概念的关系和性质，复数域和实数域上的二
次型等价的充要条件及其典范形式及其种类。
? 二、重点：
掌握复数域和实数域上的二次型等价的充要条件及其典范形式
? 三、难点：
实数域上的二次型等价的充要条件及其典范形式
? 四、教学过程：
我们只限于讨论复数域和实数域上的二次型，前者特别简
单，而后者在应用上特别重要。
? 定义,复数域和实数域上的二次型分别叫做复二次型和实
二次型。
? 提出问题：
两个复二次型和两个实二次型等价的充分必要条件是什么？
复数域上两个对称矩阵和实数域上两个对称矩阵合同的充分
且必要条件是什么？
? 1、对于复二次型回答这个问题：
? 定理 9.2.1 复数域上两个 n阶矩阵合同的充分且必要条件是
它们有相同的秩。两个复二次型等价的充分且必要条件是它
们有相同的秩。
?证 显然只要证明第一个论断。
条件的必要性明显。我们只证条件的充分性。
设 A,B是复数域上两个 n阶对称矩阵，且 A与 B有相同
的秩 r，由定理 8.1.2，分别存在复可逆矩阵 P和 Q，使
得
?
?
?
?
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?
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当 r >0 时,.,.,,,2,1,0,0 ridc
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取 n阶复矩阵
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r
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T
?这里 分别表示复数 的一个
平方根，那么,而
.因此，矩阵 A,B都与矩
阵 合同，所以 A和 B合同。
ii dc,iidc
TTSS ?? '',
???
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???
???
OO
OIB Q TQTA P SPS r''''
???
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???
?
OO
OI r
2、现在来看实数域上的情形。首先证明
?定理 8.2.2 实数域上每一 n阶对称矩阵 A都合同于如下
形式的一个矩阵：
（ 1）
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OOO
OIO
OOI
pr
p 这里 r等于 A的秩。
?证 有定理 8.1.2，存在实可逆矩阵 P使得
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r
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c
c
APP
如果 r > 0,必要时交换两行和两列（这里相当于右乘以
,ijP
左乘以
'
ijP
我们总可以假定
.0,0,.,,,,0,.,,,11 rpcccc rpp ???? ?
取
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那么
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OOO
OIO
OOI
A P TPT
pr
p
''
与定理 8.2.2平行，我们有：
?定理 8.2.3 实数域上每个 n元二次型都与如下形式的一个
二次型等价：
（ 1）
2 2 2 2
11.,,,,,,p p rx x x x?? ? ? ? ?
这里 r是所给二次型的秩。
二次型（ 1）叫做实二次 型的典范形式，由定理 8.2.3可
得：
1、实数每一个二次型都与一个典范形式等价 。
2、在典范形式里,平方项的个数 r等于二次型的秩,因而
是唯一确定的 。
3、进一步证明在典范形式 (1)里,系数是 1的项的个数 p
也是唯一确定的，因而系数是 -1的项的个数 r-p也是唯一
确定的。这就是以下的
定理 8.2.4 (惯性定律 ) 设实数域 R上 n元二次型 ? ?
? ?
n
i
n
j
jiij xxa
1 1等价于两个典范形式
(2)
22 1221 rpp yyyy ????? ? ??
(3)
22 1221 rpp zzzz ????? ??? ??
那么,pp ??
证 （反证法）
设 (2)和 (3)分别通过变量的非奇异线性变换
(4)
?
?
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n
j
jiji xsy
1
,,,2,1 ni ??
(5) ?
?
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n
j
jiji xtz
1
,,,2,1 ni ??
化为所给的二次型
11
,
nn
ij i j
ij
a x x
??
?? 如果,pp?? 不妨设 ',pp?
构造 pnp ??? 个方程的齐次线性方程组
(6) ?
?
n
?
? ??
?j
jij xt
1
0
??
?
?
n
j 1
?? jij xs 0 本定理证明
的关键
1,2,,,ip?
1,,.i p n???
因为 ',pp? 所以,p n p n?? ? ? 因此,方程组 (6)在 R内有非
零解,令
),,,( 21 nccc ?
是 (6)的一个非零解,把这一组值代入
iy
和
iz
的表示式 (4)和 (5).记
1
( ),
n
i ij j
j
y c s c
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n
j
jiji ctcz
1
)(,,,2,1 ni ??
有
22
1
22
1 )()()()( cycycycy rpp ????? ? ??
22
1
22
1 )()()()( czczczcz rpp ?????? ??? ??
? ?
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n
i
n
j
jiij cca
1 1
然而
11( ) ( ) 0,( ) ( ) 0,p p ry c y c z c z c? ?? ? ? ? ? ?
所以 22
1
22
1 )()()()( czczcycy prp ?? ?????? ??
因为
2)(cy
i
和
2)(cz
i
都是非负实数,所以必须
,0)()(1 ??? cycy rp ?
.0)()(1 ??? ? czcz p?又
.0)()(1 ????? czcz np ? 所以 nccc,,,21 ? 是齐次线
性方程组 ?
?
?
n
j
jij xt
1
0,,,2,1 ni ??
的一个非零解,这与矩阵
)( ijt
的非奇异性矛盾,这就证明了,pp?? 同理可证,pp? ?
所以,pp??
?在 (1)中,称正平方项的个数 p叫做所给二次型的惯性指标,
正项的个数 p与负项的个数 r-p的差 s=p-(r-p)=2p-r叫做所给的
二次型的符号差。
?由定理 8.2.3和 8.2.4容易得到
?定理 8.2.5 （重点 2） 实数域上两个 n元二次型等价
的充分且必要的条件是它们有相同的秩和符号差,
?证 设 和
?是实数域上两个 n元二次型,令 和 分别是
它们的矩阵,那么由定理 9.2.2,存在实可逆矩阵 P,使得
),,,( 211 nxxxq ? ),,,( 212 nxxxq ?
2A
2A1A
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p
1
如果 与 等价,那么 与 合同,于是存在实可逆矩
阵 Q使得,取
.那么
2q 1q
2A 1A
QAQA 12 ?? PQT 1??
?因此 与 都与同一个典范形式等价,所以它们
有相同的秩和符号差,
?反过来,如果,有相同的秩 r和符号差,那么它
们也有相同的惯性指标,因此,
都与矩阵
? 合同,由此推出 与 合同,
从而 与 等价,
PQQAQQPTAT 1112 ?? ?????
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pr
p
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2q
1q
推论 8.2.6
?证 给定, 令
?由定理 9.2.4,R上每一 n元二次型恰与一个以 为矩
阵的典范形式等价,当 r取定后,p可以取 ;而
又可以取 中任何一个数,因此这样的
共有 个
实数域 R上一切 n元二次型可以分成
类,。（二次型的等价类）)2)(1(
2
1 ?? nn
rpnr ???? 00 和
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p
pr,
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r,,1,0 ?
n,,2,1 ?
prC,
)2)(1(21)1(21 ??????? nnn?
?对于每一个,就有一个典范形式
?与它相当,把与同一个典范形式等价的二次型放在一类,
于是 R上一切 n元二次型恰可分成
?类,属于同一类的二次型彼此等价,属于不同类的二次
型互不等价,
prC,
22
1
22
1 rpP xxxx ????? ? ??
)2)(1(
2
1 ?? nn
习题
8.3正定二次型 (等价类中最重要的一类 )
?一、教学目标：
?了解正定二次型和正定矩阵的概念，二次型的
主子式的概念,掌握二次型和正定矩阵正定的充
分必要条件
?二、重点：，正定二次型和正定矩阵的判定
?三、难点：正定二次型和正定矩阵的判定
?四、教学过程,(利用函数概念研究正定二次型 )
? 定义, 可以看成定
义在实数域上 n个变量的实函数。如果对于变
量 的每一组不全为零的值，函数
值 都是正数,那么就称
? 是一个正定二次型。
?定理 8.3.1 实数域上二次型 是
正定的充分且必要条件是它的秩和符号差都等
于 n。
? ?nxxxqnR ?,,21元二次型上一个
nxxx,,,21 ?
? ?nxxxq,,,21 ?
? ?nxxxq,,,21 ?
? ?nxxxq,,,21 ?
证 设 A是二次型 的矩阵。如
果 A的秩和符号差都等于 n，那么存在实可逆
矩阵 P，使得
令
(1),那么
? ?nxxxq,,,21 ?
IAPP ?'
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22221 nyyy ???? ?
?由（ 1）可以看出 不全为零时，
? 也不全为零。因此，对于任意不全
为零的实数,都有
反过来，如果,不论哪一种
情形都有 。因此存在实可逆矩阵 P,使得
nxxx,,,21 ?
nyyy,,,21 ?
nxxx,,,21 ?
? ?nxxxq,,,21 ? 22221 nyyy ???? ? 0?
npnrnr ??? 而或
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?取一组实数, 使得
?不全为零, 并且令
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npp yyyy ??,,0 11 ???
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那么 也不全为零。然而
nxxx ?,,21
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00
00
,,,,,,
? ? 022 1 ????? ? rp yy ?
下面再给出一个直接从所给的二次型的矩阵来判断这
个二次型是不是正定的判断法。首先引入一个概念。
?定义：设 是一个阶实对称矩阵。位于 A
的前 k行和前 k列的子式
? ?ijaA ?
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kkkk
n
n
aaa
aaa
aaa
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21
22221
11211
叫做 A的 k阶主子式。令,就得到
A的一切主子式。
以 A为矩阵的二次型 的 k阶主子
式指的是 A的 k阶主子式
nk,,2,1 ??
? ?nxxxq,,,21 ?
定理 8.3.2 (主子式判别法 )
?实二次型
?是正定的,必要且只要它的一切主子式都大于零。
?证 如果二次型 的某一 k阶主子式
不大于零，,令
?
? 是一个 k 阶实对称矩阵，所以存在 k 阶实可逆
矩阵 Q，使得
? ?nxxxq,,,21 ? ? ?
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n
i
n
j
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1 1
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nk ??1
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aaa
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?由于, 所以,
因此 s < k, 于是对于 n 不全为零的个实数
? 来说, 我们有
0d e t ?kA ? ? ? ? 0d e td e td e t 2' ?? kAQAQQ
0,,0,,,,21 ?? kccc
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),,,(
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kk
k
kk
cccq
c
c
c
Accc
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?所以二次型
不是正定的
12(,,,)nq x x x
?反过来,设 n个变量二次型 的所有主子
式都大于零,当 n=1 时,论断是正确的,因为当
时,对于任意实数 都有,设 n > 1,并且
假定对于 n-1 个变量的实二次型来说,论断成立
设
? 是一个 n 个变量的二次型,它的矩阵是,并
且假设 A的一切主子式都大于零,对 A作如下的分块：
12(,,,)nq x x x
11 0a ?
1 0x ?
2
1 1 1 0ax ?
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i
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j
jiijn xxaxxxq ),,,( 21 ?
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A '1
这里
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1,111
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n
aa
aa
A
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一切主子式都大于零，由归纳假设和定理 9.3.1，
存在 n-1 阶可逆矩阵 使得
1A
1P,111'1 ?? nIPAP
是 n-1 阶单位矩阵，取
则
1nI ?
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Q
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这里,再取
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1
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则
这里,然而
所以 为矩阵的二次型
是正定的，因而与它等价的二次型
是正定的。
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11 nny y c y?? ? ?
12(,,,)nq x x x
习 题
8.4 主轴问题
( 几何背景：将有心二次曲线或二次曲面的方程
化为标准形式的自然推广 )
一、教学目标：
了解正定二次型和正定矩阵的概念，二次型
的主子式的概念,掌握二次型和正定矩阵正定的充
分必要条件
二、重点：，正定二次型和正定矩阵的判定
三、难点：正定二次型和正定矩阵的判定
四、教学过程,(利用函数思想研究正定二次型 )
我们已经看到，实数域上一个二次型 可
以经过变量的非奇异线性变换
化为二次型
由于正交矩阵是非奇异的,所以变量的正交变换是非
奇异的,用矩阵的语言来说就是,给了一个实对称矩阵 A,要
寻求一个正交矩阵 U,使得 是对角形式,这个问题在
8.4里实际上已经得到解决,我们有
12(,,,)nq x x x
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定理 8.4.1 设
是实数域上一个二次型,那么总可以通过变量的正交变换
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1 1
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化为 这里的 U是一个正交矩阵，而
是二次型的矩阵 的全部特征根。
证 是一个实对称矩阵由定理 8.4.3和 8.4.6，存在
一个正交矩阵 U，使得
2 2 21 1 2 2 3 3,y y y? ? ?? ? ?
12,,,n R? ? ? ? ()ijAA?
()ijAa?
这里 是 A的全部特征根,这也就相当
于说以 A为矩阵的二次型可以通过变量的正交变换
化为标准形式
由定理 8.4.1 可以看出,矩阵 A的不等于零的特征根的
个数就是 A的秩,而正特征根的个数与负特征根的个
数的差是以 A为矩阵的二次型的符号差,于是我们就
得到
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2 2 21 1 2 2,nny y y? ? ?? ? ?
推论 8.4.2 （用特征根判断二次型的正定 性）
是实数域上一个 n元二次型,是它的矩阵,
（ 1）二次型 的秩等于 A的不等于零
的特征根的个数,而符号差等于 A的正特征根个数与
负特征根个数的差,
（ 2）二次型 是正定的必要且充分条
件是只要 A的所有特征根都是正数,
设
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n
i
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j
jiijn xxaxxxq
1 1
21 ),,,( ?
()ijAa?
12(,,,)nq x x x
12(,,,)nq x x x
由 8.4最后所说的方法,给了一个实二次
型,不仅从理论上可以将它通过变量的正交
变换化为标准形式,而且还可以具体地写出
这个标准形式和一个坐标变换矩阵,
黔南民族师范学院
