第四章 多项式
教学要求：
1、了解多项式的基本概念；
2、掌握多项式的整除概念及其判定方法；
3、掌握多项式的因式分解定理及最大公因式
的求解方法；
4、了解多项式函数及其根等概念；
5、有理多项式解的理论 (了解 )。
教学重点,
1、除概念及其判定方法；
难 点：
1、多项式互素的概念及其应用；
2、转相除法、综合除法；
3、因式分解定理；
4、有理数域上的多项式。
2、最大公因式的求法；
3、有理根的求法及应用。
§ 4.1 一元多项式的定义
和运算
? 教学目标
掌握一元多项式的定义并会进行简单运算。
?重点
一元多项式的概念。
?难点
一元多项式的概念。
§ 4.1 一元多项式的定义和运算
12 ?x
1
1
?x 2yx ? xx c oss in ?；；；
定义 4.1.1
大家能告诉我它们是一些什么式子吗？
大家来看以下的式子：
naaa,,,10 ?
F
F?
是一个数域，
。
n x是一非负整数,是一个文字，设
由此引出：
则形式表达式
n
n xaxaxaa ????,,,,,,
2
210
（ 1）
称为系数在数域 F 中的一元多项式,或者简称为
比较）。这里
数域 F 上的一元多项式。 （与初中所学的多项式进行
i
i xa
iai
称为 次项,称为 i 次项的系数。 用
?),(),( xgxf ?,,gf或 等来表示多项式。
定义 4.1.2
)(xf )(xg
若多项式 与 同次项的系数全相等, 那么就
系数全为零的多项式称为 零多项式，记为 0。
定义 4.1.3
，如果 0?
na
那么
n
n xa
称为多项式（ 1）的首项，
na
称为首项系数,n 称为多项式的次数。零多项式
为 ))(( xf? 。
)(xf )(xg )()( xgxf ?
与 相等，记为 。称多项式
多项式 )(xf 的次数记是唯一不定义次数的多项式。
设
nn xaxaaxf ????,,,,,,)( 10
mm xbxbbxg ????,,,,,,)( 10
是数域 F 上两个多项式，那么可以写成
?
?
?
n
i
i
i xaxf
0
)( ； ?
?
?
m
j
j
j xbxg
0
)(
)(xf )(xg在表示多项式 与 的和时,如果 mn ?,
为了方便起见，在 )(xg 中令 0
11 ???? ?? mnn bbb ?
，
那么 )(xf )( xg与 的和为
?
?
??
???????????
n
i
i
ii
n
nn
m
mm
xba
xbaxbaxbabaxgxf
0
1100
)(
)()()()()()( ??
)(xf )(xg而 与 的乘积为
001001111 )()()()( baxbabaxbabaxbaxgxf mnmnmnmnmn ??????? ????? ?
其中
s
次项的系数是
( ) ( )f x g x所以 可表成
s
mn
s sji
ji xbaxgxf )()()(
0
? ?
?
? ??
? 。
s
mn
s sji
ji xbaxgxf )()()(
0
? ?
?
? ??
? 。
利用多项式的加法可以定义多项式的减法：
))(()()()( xgxfxgxf ????
))()(()()())()(( xhxgxfxhxgxf ?????
2.加法结合律,
P
P
由多项式的加法、乘法和减法的定义可知，数
中的多项式经过加、减、乘之后，仍是
中的的多项式 。
域
)()()()( xfxgxgxf ???
1,加法交换律：
运算法则：
)()()()( xfxgxgxf ?
3、乘法交换律：
))()()(()())()(( xhxgxfxhxgxf ?4,乘法结合律：
)()()()())()()(( xhxfxgxfxhxgxf ???
5.乘法对加法的分配律,。
( ),( )f x g x F定理 4.1.1 设
是数域 上的多项式，
) ))(() ),((m a x ())()(( xgxfxgxf ?????
则（ 1）
( ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ),f x g x f x g x? ? ? ? ?
（ 2）
上面的结果都可以推广到多个多项式的情形。
( ) 0,( ) 0,f x g x??且：
)( xg?? 0)()( xgxf )(xf推论 4.1.2 与
中至少
有一个为零。
推论 4.1.3 若 )()()()( xhxfxgxf ? 且 0)( ?xf,则
)()( xhxg ? 。
定义：所有系数在数域 中的一元多项式的全体，
称为数域上 的一元多项式环,记为PP ][xP
§ 4.2多项式的整除性
?教学目标
掌握多项式整除的性质及证明。
?重点
整除及其判定方法 。
?难点
带余除法及其应用
§ 4.2多项式的整除性
一、概念和性质
例,1)(,122)( 223 ??????? xxxgxxxxf )(xg )(xf
( ) ( ) ( 1 )f x g x x?? 。
若,用 除
得：
”
称为整除)(xg )(xf数域 上的多项式,定义 4.2.1 F
如果存在 ][)( xFxh ? 使得 )()()( xhxgxf ? 成立。 )(|)( xfxg
)(xg )(xf
用
表示 整除
“
,用 " ( ) | ( ) "g x f x? 表示 )(xg ()fx。不能整除
称为
)(|)( xfxg )(xg )(xf )(xf
)(xg
当 时,就称为 的因式，
的倍式。
1.多项式整除性的一些基本性质：
)()( xgxf )()( xhxg )()( xhxf（ 1）如果,,那么 ；
)()( xfxh )()( xgxh ))()(()( xgxfxh ?（ 2）如果,,那么；
)()( xfxh ][)( xFxh ??
)()()( xgxfxh
（ 3）如果,那么,有；
)()( xfxh i ti,,2,1 ?? ][)( xFxg i ??
（ 4） 如果,,则 有
))()()()()()(()( 2211 xgxfxgxfxgxfxh tt??? ?；
( ) ( )c f x f x, )( xfa ][)( xFxf ? Fca ?,
0?ac
（ 5） （, 且
）；
。
)(xf )(xg []Fx?, )()( xgxf )()( xfxg
( ) ( )f x c g x?, c F
和 如果, 那么有
这里 是数域 中某一不等于零的数。
设（ 6）,
证明略（板书）
定理 4.2.1
)( xf? ][)( xFxg ?、,且 0)( ?xg
，则一定
][)(),( xFxrxq ??, 使
)()()()( xrxgxqxf ??
-------(1)
成立，其中 ))(())(( xgxr ??? 或者 0)( ?xr,并且这样的
)(),( xrxq 是唯一决定的。
（ 1）中的 )(xq 称为 )(xg 除 )(xf 的商,)(xr 称为 )(xg 除
)(xf 的余式。
多项式的整除性不会因数域的扩大而改变。
二、例题
例 1 求 124)( 234 ???? xxxxf 被 1)( 2 ?? xxg 除所得
的商式和余式。
例 2 计算,
11 ?? nd xx
§ 4.3 多项式的最大公因式
?重点
多项式最大公因式的定义、运算及其性质。
?难点
运用展转相除法求最大公因式，最大公因
式性质的运用。
?教学目标
掌握多项式最大公因式的定义、运算及
其性质。
§ 4.3 多项式的最大公因式
定义 4.3.1（多项式的公因式） 设 。
若 中的一个多项式 满足 且
，那么 就称为 与 的一个公因式。
定义 4.3.2 （多项式的最大公因式） 设 是多项
式 与 的一个公因式。若 能整除 与
的每一个公因式，则称 是 与 的最大公
因式 。
例如，对于任意多项式, 就是 与 0的一个
最大公因式。特别地，根据定义，两个零多项式的
( ) ( ) [ ]f x g x F x?，
][xF )(xh )()( xfxh )()( xgxh
)(xh )(xf )(xg
)(xd
)(xf )(xg )(xd )(xf )(xg
)(xd )(xf )(xg
)(xf )(xf )(xf
最大公因式就是 0。
引理 如果有等式 成立，那么
,和, 有相同的公因式。
定理 4.3.1 中的任意两个多项式,,一
定有最大公因式。除一个零次因式以外,与
的最大公因式是唯一确定的。
证明,利用辗转相除法加以证明。
（对于 的任意两个多项式,,在 中
存在一个最大公因式, 且可以表成,
的一个组合，即有 中多项式 使得：
）。
)()()()( xrxgxqxf ??
)(xf )( xg )(xg )(xr
][xF )(xf )( xg
)(xf )(xg
][xF )(xf )(xg ][xF
)(xd )(xd )(xf )(xg
][xF )(),( xvxu
)()()()()( xgxvxfxuxd ??
定理 4.3.2 若 是 与 的最大公因式，那
么在 中存在多项式 使得一下等式成
立, 。
证明,利用定理 4.3.1证明中的辗转相除法的式子直
接推得。 (此定理的逆定理不一定成立。）
由最大公因式的定义不难看出，如果 是
,的两个最大公因式，那么一定有
与,也就是说 。这就
是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个非
零常数倍的意义下是唯一确定的。用（, ）
来表示首项系数是 1的那个最大公因式。
)(xd )(xf )(xg
][xF )(),( xvxu
)()()()()( xgxvxfxuxd ??
)(),( 21 xdxd
)(xf )(xg )(|)( 21 xdxd
)(|)( 12 xdxd 0),()( 21 ?? cxcdxd
)(xf )(xg
定义 4.3.3 中两个多项式, 称为互素
（也称为互质）的，如果 。显然，两
个多项式互素，那么它们除去零次多项式外没有其
他的公因式，反之亦然。
定理 4.3.3 中两个多项式, 互素的充要
条件是有 中 多项式使,
推论 1 如果, 且，那
么 。
推论 2 如果,且
那么 。
][xF )(xf )(xg
1))(),(( ?xgxf
][xF )(xf )(xg
][xF )(),( xvxu 1)()()()( ?? xgxvxfxu
1))(),(( ?xgxf )()(|)( xhxgxf
)(|)()( 21 xgxfxf
)(|)(),(|)( 21 xgxfxgxf 1))(),(( 21 ?xfxf
)(|)()( 21 xgxfxf
推论 3 如果,,
那么 。
，如果 使得,
1） ;
2）如果,那么 。
则称 为 的一个最大
公因式，用 符号来表示首项
系数为 1的最大公因式。
与 在 中的首项系数为 1的最大公因式,
而 是 与 在 中首项系数为 1的最大公
因式,那么 。
1))(),(( 1 ?xgxf 1))(),(( 2 ?xgxf
1))(),()(( 21 ?xgxfxf
)2]([)(,),(),( 21 ??? sxFxfxfxf s? )( xd?
sixfxd i,,2,1),(|)( ??
sixfx i,,2,1),(|)( ??? )(|)( xdx?
)( xd )2)((,),(),( 21 ?sxfxfxf s?
))(,),(),(( 21 xfxfxf s?
)(xf )(xg ][xF
)(xd )(xf )(xg ][xF
)()( xdxd ?
即从数域 过渡到数域 时,与 的最大公因
式本质上没有改变。
互素多项式的性质可以推广到多个多项式的情形：
1)若多项式 与
互素，
则 。
2) 若多项式 都整除,且
两两互素，则,
3) 若多项式 都与 互素，则
F F )(xf )(xg
),()()(|)( 21 xfxfxfxh s?)(xh
)(,),(),(,),( 111 xfxfxfxf sii ?? ??
)1)((|)( sixfxh i ??
)(,),(),( 21 xfxfxf s? )(xh
)(,),(),( 21 xfxfxf s? )(|)()()( 21 xhxfxfxf s?
)(,),(),( 21 xfxfxf s? )(xh
1))(),()()(( 21 ?xhxfxfxf s?
例 1 求多项式 与
的最大公因式,并求
使得 。
3442)( 234 ????? xxxxxf
3452)( 23 ???? xxxxg )(xd
)(),( xvxu )()()()()( xgxvxfxuxd ??
§ 4.4 多项式的分解
? 教学目标
掌握不可约多项式的定义、性质及其应用
?重点
不可约多项式的性质及应用。
?难点
不可约多项式的性质及应用。
§ 4.4 多项式的分解
)( xf 的平凡因式 ——非零常数 c 与 )( xcf
定义 4.4.1 数域 P 上次数 1? 的多项式 )( xp
称为数域 P 上的不可约多项式如果它不能表成
数域 P 上的两个次数比
)( xp 的次数低的多项
式的乘积。
一个多项式是否可约是依赖于系数域的。一次
多项式总是不可约多项式。
不可约多项式的性质：
1、不可约多项式 )( xp 的因式只有平凡因式
c
与
)( xcp
此外就没有了,反过来，具有这个性质 的次数
1? 的多项式一定是不可约的。
2、不可约多项式 )( xp 与任一多项式 )( xf 之间
只可能有两种关系，或者 )(|)( xfxp 或者
1))(),(( ?xfxp
3、如果 )( xp 是不可约多项式，那么对于任意的
两个多项式 )(),( xgxf,由
)()(|)( xgxfxp 一定推
出
)(|)( xfxp 或者 )(|)( xgxp 。
4、如果不可约多项式 )( xp 整除一些多项式
)(,),(),( 21 xfxfxf s? 的乘积 )()()( 21 xfxfxf s?, 那么 )(xp
一定整除这些多项式之中的一个。
定理 4.4.1(因式分解及唯一性定理 ) 数域 P 上
次数
1? 的多项式 )(xf 可都以唯一地分解成数域 P
上一些不可约多项式的乘积,所谓唯一性是说,如果
有两个分解式
)()()()()()()( 2121 xqxqxqxpxpxpxf ts ?? ??,
那么必有
ts ?,并且适当排列因式的次序后有
sixqcxp iii,,2,1,)()( ???,
其中
),,2,1( sic i ??
是一些非零常数。
利用数学归纳法加以证明。
例 证明：
?)()( 22 xfxg )()( xfxg 。
§ 4.5 重因式
? 教学目标
了解重因式的定义，掌握重因式的判断。
? 重点
重因式的判定。
? 难点
重因式的判定。
§ 4.5 重因式
定义 4.5.1 不可约多项式 )(xp 称为多项式 ()f x k的
重因式,如果 )(|)( xfxp k,但 )(|)(1 xfxp k ??
定义 4.5.2 多项式 ][)( 0111 xFaxaxaxaxf nnnn ?????? ?? ?
的一阶导数为：
1211 )1()( axnanxaxf nnnn ?????? ??? ?
根据定义可得：
).()()()()()((
)())((
),()())()((
xgxfxgxfxgxf
xfcxcf
xgxfxgxf
?????
???
??????
）
))()(())(( 1 xfxfmxf mm ??? ?
同样可以定义高阶导数的概念。微商 )(xf ? 称为
)(xf 的一阶导数； )(xf ? 的导数 )(xf ?? 称为 )(xf 的二阶
导数；等等。 )(xf 的 k 阶导数记为 )()( xf k
一个 )1( ?nn 次多项式的导数是一个 1?n 次多项
式；它的 n 阶导数是一个常数；它的 1?n 阶导数
等于 0。
定理 4.5.1 如果不可约多项式 )(xp 是多项式
)(xf 的一个 )1( ?kk 重因式,那么 )(xp 是导数 )(xf?
的 1?k 重因式。
如果不可约多项式 )(xp 是多项式 )(xf 的一个
)1( ?kk 重因式,那么 )(xp 是 ( 1 )( ),( ),,( )kf x f x f x??
的因式,
但不是 )()( xf k 的因式。
定理 4.5.2 不可约多项式 )(xp 是多项式 )(xf 的重因
式的充要条件是,)(xp 是 )(xf 与 )(xf? 的公因式。
定理 4.5.3 )(xf 无重因式 ( ( ),( ) ) 1f x f x???
§ 4.6 多项式函数、多项式的根
? 教学目标
了解多项式与 多项式函数 的区别，掌握综合
除法并会应用。
? 重点
综合除法,多项式的根 。
? 难点
综合除法的应用。
§ 4.6 多项式函数、多项式的根
设
11 1 0( ) [ ]nnnnf x a x a x a x a F x??? ? ? ? ? ?
在上式中用 c ()cF? 代替 x 所得的数
1
1 1 0
nn
nna c a c a c a
?
?? ? ? ?
称为 )(xf 当 xc? 时的值,记为
()fc 。这样，多项式
)(xf 就定义了一个数域 F 上的函数。
,)()()(,)()()( 21 xgxfxhxgxfxh ???
如果
那么
12( ) ( ) ( ),( ) ( ) ( )h c f c g c h c f c g c? ? ?
定理 4.6.1(余数定理 )
定义 4.6.1
用一次多项式 xc? 去除多项式 )(xf,所得的余式
是一个常数，这个常数等于函数值 ()fc 。
()Fx c
令 是 的一个多项式而)(xf 是 F 的一个数。
若是当 xc? 时 )(xf 的值 ( ) 0,fc ? 那么 c 叫作 )(xf
数域
在
F 中的一个根。
定理 4.6.2
c )(xf ( ) | ( )x c f x?
是 的根的充要条件是 。
定理 4.6.3
多项式相等与多项式函数相等的关系
定理 4.6.4
次多项式[]Fx n )0( ?n F
n
中 在数域 中的根不可能
多于 个，重根按重数计算。
如果多项式 ( ),( )f x g x 的次数都不超过 n,而它们对
1n ? 个不同的数有相同的值即
( ) ( )iif c g c? 1,,2,1 ?? ni ?,
( ) ( ),f x g x?那么
介绍综合除法,
12
0 1 2 1()
n n n
nnf x a x a x a x a x a
??
?? ? ? ? ? ?
并且设
(1) ( ) ( ) ( )f x x c q x r? ? ?，
其中
1 2 3
0 1 2 2 1()
n n n
nnq x b x b x b x b x b
? ? ?
??? ? ? ? ? ?
。
比较等式 （ 1） 中两端同次项的系数，我们得到
设
00
1 1 0
2 2 1
1 1 2
1
,
,
,
,
n n n
nn
ab
a b c b
a b c b
a b c b
a r c b
? ? ?
?
?
??
??
??
??
由此得出
00
1 0 1
2 2 1
1 2 1
1
,
,
,
,
.
n n n
nn
ba
b c b a
a b c b
b c b a
r c b a
? ? ?
?
?
??
??
??
??
这样，欲求系数
kb
，重要把前一系数
1kb ?
乘以 c
再加上对应系数
ka
，而余数 r 也可以按照类似的规律
求出。因此按照下表所指出的算法就可以很快地陆续
求出商式的系数和余数：
0 1 2 1
0 1 2 1
0 1 2 1
|
nn
nn
n
c b c b c b c b
c a a a a a
b b b b r
?
??
?
?
表中的加号通常略去不写。
§ 4.7 复系数和实系数多项式的
因式分解
? 教学目标
掌握代数基本定理并会应用。
? 重点、难点
代数基本定理，复系数和实系数多项式的
标准分解因式。
§ 4.7 复系数和实系数多项式的因式分解
代数基本定理
每个次数 1? 的复系数多项式在复数域中有一个根。
复系数多项式因式分解定理
每个次数 1? 的复系数多项式在复数域上都可以唯一
地分解成一次因式的乘积,
因此，复系数多项式具有标准分解式
slslln xxxaxf )()()()( 21 21 ??? ???? ?
其中 s???,,,21 ? 是不同的复数，
slll,,,21 ?
是正整
数。标准分解式说明了每个 n 次复系数多项式恰有 n
个复根（重根按重数计算）。
实系数多项式因式分解定理
每个次数 1? 的实系数多项式在实数域上都可以唯一
地分解成一次因式与含一对非实共轭复数根的二次因式
的乘积。实数域上不可约多项式，除一次多项式外，只
有含非实共轭复数根的二次多项式。
实系数多项式具有标准分解式
1 2 1221 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s rll l k kn s r rf x a x c x c x c x p x q x p x q? ? ? ? ? ? ? ?
其中
rrs qqppcc,,,,,,,,111 ???
全是实数，
12,,,sl l l
，
1,,rkk
是正整数，并且 2
iix p x q?? ( 1,2,,)ir?
是不可约
的，也就是适合条件 2 4 0,1,2,,,
iip q i r? ? ?
其中第 k
( 1,2,,)kn? 个等式的右端是一切可能的 k 个根的乘积之
和，乘以 k)1(? 。
§ 4.8有理系数多项式
? 教学目标
了解本元多项式的定义、有理数域上有任
意次不可约多项式；了解艾森斯坦因判别
法；会求简单的有理多项式。
? 重点、难点
有理多项式根的存在性的判别。
§ 4.8有理系数多项式
有理系数多项式的有理根
定义 4.8.1(本原多项式的定义 )
如果一个非零的整系数多项式
0
1
1)( bxbxbxg
n
n
n
n ????
?
? ?
的系数
01,,,bbb nn ??
没有异于 1? 的公因子，也就是说它
们是互素的,它就称为一个本原多项式。
任何一个非零的有理系数多项式 )(xf 都可以表示
成一个有理数 r 与一个本原多项式 )(xg 的乘积，即
)()( xrgxf ? 。
Gauss 引理 两个本原多项式的乘积还是本原多项式。
定理 4.8.1
如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较
低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解两个
次数较低的整系数多项式的乘积。
推论 4.8.2
设 ( ),( )f x g x 是整系数多项式，且 )(xg 是本原多项式，
如果 )()()( xhxgxf ?,其中
)(xh 是有理系数多项式，
)(xh 一定是整系数多项式。那么
定理 4.8.3
设
011)( axaxaxf nnnn ???? ?? ?
是一个整系数多项式,
而 rs 是它的一个有理根，其中
sr,
互素，那么
(1)
0|,| aras n；特别如果 )(xf 的首项系数 1?na,那么
)(xf 的有理根都是整根，而且是 0a 的因子。
(2)
),()()( xqsrxxf ??
其中 )(xq 是一个整系数多项式。
定理 4.8.4 (艾森斯坦 (Eisenstein)判别法 )
设
0
1
1)( axaxaxf
n
n
n
n ????
?
? ?
是一个整系数多项式。
若有一个素数 p,使得
1,
nap |?
2,021,,,| aaap nn ???
3,
02 | ap ?
则多项式 )(xf 在有理数域上不可约。
有理数域上存在任意次的不可约多项式。
2)( ?? nxxf
其中 n 是任意正整数。
例如
§ 4.9 多元多项式
? 教学目标
? 了解多元多项式的定义，会对多元多项式进行简
单的分析。
? 重点
? 多元多项式的概念、多元多项式函数。
? 难点
? 多元多项式的概念、多元多项式函数。
§ 4.9 多元多项式
令 F 为数域,12,,,nx x x 是 n 个文字。
形如
nk
n
kk xxax ?21
21
的表达式（其中 12,,,,na F k k k N?? ），叫做数域 F 上
12,,,nx x x
的单项式,a 为系数。
F 上的 ()mn? 个文字的单项式总可以看成 n
个文字的单项式。
0 0 0 0 0 0
1 2 1 200nna x x x a x x x F? ? ?、
一些单项式用加号连接起来得到：
1 1 21 1 1 21 1 1 1 1 1 1,n n n n nk k k kkk nia x x x a x x x a F? ? ?
( 1,2,,; 1,2,,)ijk N i s j n? ? ?
叫做 F n
12,,,nx x x
上 个文字 的多项式。
用符号 ),,,( 21 nxxxf ?, ),,,(
21 nxxxg ? 等表示 F
上 n 个文字的单项式。
同类项,
nknkk xxax ?21 21 与 nk
n
kk xxbx ?21
21 叫做同类项。
n 元多项式中不含同类项；
次数：
单项式的次数：
nknkk xxax ?21 21
的次数为
12 0nk k k a? ? ? ?（ ）
多项式的次数：
出现在这个多项式里一切不为零的单项式的
次数最大者。
零次多项式无次数。
多项式的加法定义,对应项相加。
由加法定义知：
。
乘法定义,利用分配律，字母相同指数相加系
数相乘，然后合并同类项。
加法、乘法运算规律：
（ 1） )()( hgfhgf ????? （加法结合律）；
{ }gfgf,max)( ??? ?
（ 2）
fggf ???
（加法交换律）；
（ 3） )()( ghfhfg ? （乘法结合律）；
（ 4） gffg ? （乘法交换律）；
（ 5）
ghfhhgf ??? )( （分配律）。
多项式环
],,,[ 21 nxxxF ?
),,,( 21 nxxxf ?
的负多项式：把 ),,,(
21 nxxxf ?
的所有的系数都换成各自的相反数。
记作：
),,,( 21 nxxxf ??
。
减法：
)( gfgf ????
数域 F 上 n 元多项式可记为：
n 元多项式的运算同中学所学完全一样，只是这
里的
12,,,nx x x
是 n 个文字。
niii
n niii
xxxa ?? 21
21 21?
。
字典排列法,
设
0),,,( 21 ?nxxxf ?
是数域 F 上的 n
元多项式。设
（ 1）
12
12 ( 0 )
nkkk
na x x x a ?
（ 2）
12
12 ( 0 )
nlll
nb x x x b ?
是 ),,,(
21 nxxxf ?
的两个不同的项，那么
)1( nilk ii ???
中至少有一个不等于零。
如果存在 )1( nii ?? 使得
112211,,,?? ??? ii lklklk ?
，但
ii lk ?
称项（ 1）大于项（ 2）对于多项式 ),,,(
21 nxxxf ?
总是一个大于（或小于）另一个的。若项（ 1）大
于项（ 2），而项（ 2）大于项：
（ 3）
12
12 ( 0 )
nmmm
nc x x x c ?
那么（ 1）也大于（ 3）。这样只要把大的项排在
前面就可以确定多项式
),,,( 21 nxxxf ?
各项的次序了。这就是多项式的字典排列法。
定理 4.9.1
k 次齐次多项式 ——k 次齐式
),,,( 21 nxxxf ?, 1 2 1 2(,,,) [,,,]nng x x x F x x x?
,fg 的首项等于这两个多项式首项的乘积，两个
非零多项式的乘积也不等于零。
01 sf f f f? ? ? ?
若
0if ?
,那么
if
就是一个
i
次齐式。
定理 4.9.2 ()f g f g? ? ? ? ?
证明,设
01,0 ssf f f f f? ? ? ? ?
01,0 ttg g g g g? ? ? ? ?
0 0 1 1 stf g f g f g f g? ? ? ?
0,0 stfg??
tsg（f，gf tsts ????? ).0 而且
tsgf ???? ),(
1 2 1 2(,,,) (,,,)nnf x x x g x x x?
则它们所确定的函数 f 与
g
也相等，反之也成立。
定理 4.9.3
那么
12(,,,) 0nf x x x ?
。
若
12(,,,)
n
nc c c F??
，都有
12(,,,) 0nf c c c ?
对 n 实施数学归纳法：
1 2 1 2(,,,) [,,,]nnf x x x F x x x?
设
推论 4.9.4
1 2 1 2(,,,) [,,,]nng x x x F x x x?
,如果对任意
的 都有：
1 2 1 2(,,,) (,,,)nnf c c c g c c c?那么
1 2 1 2(,,,) (,,,)nnf x x x g x x x?
。
),,,( 21 nxxxf ?
、设
n
n Fccc ?),,( 21 ?
§ 4.10 对称多项式
? 教学目标
? 了解多元对称多项式的定义，会对多元
对称多项式进行简单的应用。
? 重点
? 多元对称多项式的定义、性质及应用。
? 难点
? 多元对称多项式的性质及应用。
§ 4.10 对称多项式
定义 4.10.1
对
1,2,,n 的一个排列,12,,,ni i i
。 一般
1 2 1 2(,,,) (,,,)i i i n nf x x x f x x x?
。
设
1 2 1 2(,,,) [,,,]nnf x x x F x x x?
,如果对
1,2,,n 的任意一个排列,12,,,ni i i 均有
12 12
(,,,) (,,,)
ni i i n
f x x x f x x x?
，
则称
),,,( 21 nxxxf ?
是数域 F 上
n
元对称多项式。
如果对称多项式
12(,,,)nf x x x
含
nk
n
kk xxax ?21
21
,则 f 也一定含 niii k
n
kk xxax ?21
21
（
12,,,ni i i
是 1,2,,n 的一个排列）。
设 1 1 2
1 1 2 1 3 1
1 1 2 1 1 2 2 3
12
n
nn
n n n n n
nn
x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x
?
?
?
?
?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
—— n 元对称多项式
引理 4.10.1
设
11 2 1 1(,,,) niin i i n nf x x x a a x x? ?
是数域 F 上的一个
n 元多项式，以 i? 代替
1
121 2 1(,,,)
n
n
ii
n i i i nfa? ? ? ? ?? ?
。
,1ix i n??
。 得到关于
12,,,n? ? ?
的一个多项式：
如果
12(,,,) 0nf ? ? ? ?
,那么一切系数
12 0ni i ia ?
。
即
12(,,,) 0nf x x x ?
。
定理 4.10.2 F 上的对称多项式
12(,,,)nf x x x
证明：
存在性使用构造法：
唯一性使由引理 1
中的多项式，而且表示法唯一。
都可以表示为初等对称多项式
12,,,n? ? ?
的系
F数在
例：用初等对称多项式表示 n 元对称多项式
2 2 2
12 nf x x x? ? ? ?
f 的首项是 2
1x
。 所以取
2 0 0 0 2
1 1 2 1ng ? ? ? ?
???
。
于是
2 2 2 2
1 1 1 2 1 2
1 2 1 3 1 2
()
2 ( ) 2
nn
nn
f f g x x x x x x
x x x x x x ??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? 。
2
1 1 1 22f g f ??? ? ? ?所 以
对于复杂的例子，用未定系数法比较方便。首
R
先引入以下记号。设 12
12 n
kkk
na x x x 是 R
上
一个单项式。用符号
（ 4）
12
12
nkkk
na x x x?
表示这个单项式经过
12,,,nx x x
的一切置换
所得的一切不同项的和。（ 4）显然是一个对称
多项式，并且是齐次的。
例如
2 2 2 2
1 1 2 nx x x x? ? ? ??
2 2 2 2
1 2 1 2 2 3 1
2 2 2
2 1 2 3 2
2 2 2
1 2 1
n
n
n n n n
x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
现在通过下面的例子来说明未定系数法。
课堂练习 1,用初等对称多项式表示 n 元对称多
项式
22
12f x x? ?
。
如果所给的对称多项式不是齐次多项式，那么
可以先把它写成一些齐次多项式的和（这些齐次多
项式自然也是对称多项式），然后再对每一齐次多
项式应用未定系数法。
由定理 4.10.2 我们可以得到一个有用的推论。
设
1
11()
nn
nnf x x a x a x a
?
?? ? ? ? ?
知道,()fx 在复数域 C 内有 n 个根（重根按重
是某一数域 F 上一个多项式。由代数基本定理
数计算）。令
12,,,n? ? ?
是 C()fx 在 内的全
部根。由根与系数的关系，我们有
1 1 2
2 1 2 1 3 1
12
,
,
( 1),
n
nn
n
nn
a
a
a
? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
??
因此，
12,,( 1 )
n
na a a??
就是
12,,,n? ? ?
的初等对称多项式。
于是由定理 4.10.2 我们得出以下
推论 4.10.3 设 ()fx 是数域 F 上一个一元
n 次多项式，它的最高次项系数是 1。 令
12,,,n? ? ?
是 ()fx 在复数域内的全部根（重
根按重数计算）。那么
12,,,n? ? ?
的每一个
系数取自 F 的对称多项式都是 ()fx 的系数多项式
（它的系数在 F 内）,因而是 F 的一个数。
研究性问题,
? 如何用矩阵的初等变换求两个多项式的
最大公因式？
? 考虑由两个多项式 ( ),( )f x g x 为元素 (每个多项式看作一个元素 )作成
21? 矩阵
()
()
fxA
gx
???
????
把它称为 x矩阵。
? 互换矩阵两行的位置；
? 矩阵的某一行乘以一个非零素数；
? 矩阵的某一行的 q(x)倍加到另一行上，
称以下三种变换为 x矩阵的初等变换：
? ?( ),q x F x? 则
( ) ( )
( ) 0
f x d xA
gx
? ? ? ?? ???????
? ? ? ?? ? ? ?一系列初等行变换
将 A作一系列的行变换，当 ()gx 变为 0时,()fx
变为 ( ),dx 为什么？你能说明理由吗？
试用上述方法求
432
32
( ) 2 4 4 3
( ) 2 5 4 3
f x x x x x
g x x x x
? ? ? ? ?
? ? ? ?
的最大公因式。
教学要求：
1、了解多项式的基本概念；
2、掌握多项式的整除概念及其判定方法；
3、掌握多项式的因式分解定理及最大公因式
的求解方法；
4、了解多项式函数及其根等概念；
5、有理多项式解的理论 (了解 )。
教学重点,
1、除概念及其判定方法；
难 点：
1、多项式互素的概念及其应用；
2、转相除法、综合除法；
3、因式分解定理；
4、有理数域上的多项式。
2、最大公因式的求法；
3、有理根的求法及应用。
§ 4.1 一元多项式的定义
和运算
? 教学目标
掌握一元多项式的定义并会进行简单运算。
?重点
一元多项式的概念。
?难点
一元多项式的概念。
§ 4.1 一元多项式的定义和运算
12 ?x
1
1
?x 2yx ? xx c oss in ?；；；
定义 4.1.1
大家能告诉我它们是一些什么式子吗？
大家来看以下的式子：
naaa,,,10 ?
F
F?
是一个数域，
。
n x是一非负整数,是一个文字，设
由此引出：
则形式表达式
n
n xaxaxaa ????,,,,,,
2
210
（ 1）
称为系数在数域 F 中的一元多项式,或者简称为
比较）。这里
数域 F 上的一元多项式。 （与初中所学的多项式进行
i
i xa
iai
称为 次项,称为 i 次项的系数。 用
?),(),( xgxf ?,,gf或 等来表示多项式。
定义 4.1.2
)(xf )(xg
若多项式 与 同次项的系数全相等, 那么就
系数全为零的多项式称为 零多项式，记为 0。
定义 4.1.3
，如果 0?
na
那么
n
n xa
称为多项式（ 1）的首项，
na
称为首项系数,n 称为多项式的次数。零多项式
为 ))(( xf? 。
)(xf )(xg )()( xgxf ?
与 相等，记为 。称多项式
多项式 )(xf 的次数记是唯一不定义次数的多项式。
设
nn xaxaaxf ????,,,,,,)( 10
mm xbxbbxg ????,,,,,,)( 10
是数域 F 上两个多项式，那么可以写成
?
?
?
n
i
i
i xaxf
0
)( ； ?
?
?
m
j
j
j xbxg
0
)(
)(xf )(xg在表示多项式 与 的和时,如果 mn ?,
为了方便起见，在 )(xg 中令 0
11 ???? ?? mnn bbb ?
，
那么 )(xf )( xg与 的和为
?
?
??
???????????
n
i
i
ii
n
nn
m
mm
xba
xbaxbaxbabaxgxf
0
1100
)(
)()()()()()( ??
)(xf )(xg而 与 的乘积为
001001111 )()()()( baxbabaxbabaxbaxgxf mnmnmnmnmn ??????? ????? ?
其中
s
次项的系数是
( ) ( )f x g x所以 可表成
s
mn
s sji
ji xbaxgxf )()()(
0
? ?
?
? ??
? 。
s
mn
s sji
ji xbaxgxf )()()(
0
? ?
?
? ??
? 。
利用多项式的加法可以定义多项式的减法：
))(()()()( xgxfxgxf ????
))()(()()())()(( xhxgxfxhxgxf ?????
2.加法结合律,
P
P
由多项式的加法、乘法和减法的定义可知，数
中的多项式经过加、减、乘之后，仍是
中的的多项式 。
域
)()()()( xfxgxgxf ???
1,加法交换律：
运算法则：
)()()()( xfxgxgxf ?
3、乘法交换律：
))()()(()())()(( xhxgxfxhxgxf ?4,乘法结合律：
)()()()())()()(( xhxfxgxfxhxgxf ???
5.乘法对加法的分配律,。
( ),( )f x g x F定理 4.1.1 设
是数域 上的多项式，
) ))(() ),((m a x ())()(( xgxfxgxf ?????
则（ 1）
( ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ),f x g x f x g x? ? ? ? ?
（ 2）
上面的结果都可以推广到多个多项式的情形。
( ) 0,( ) 0,f x g x??且：
)( xg?? 0)()( xgxf )(xf推论 4.1.2 与
中至少
有一个为零。
推论 4.1.3 若 )()()()( xhxfxgxf ? 且 0)( ?xf,则
)()( xhxg ? 。
定义：所有系数在数域 中的一元多项式的全体，
称为数域上 的一元多项式环,记为PP ][xP
§ 4.2多项式的整除性
?教学目标
掌握多项式整除的性质及证明。
?重点
整除及其判定方法 。
?难点
带余除法及其应用
§ 4.2多项式的整除性
一、概念和性质
例,1)(,122)( 223 ??????? xxxgxxxxf )(xg )(xf
( ) ( ) ( 1 )f x g x x?? 。
若,用 除
得：
”
称为整除)(xg )(xf数域 上的多项式,定义 4.2.1 F
如果存在 ][)( xFxh ? 使得 )()()( xhxgxf ? 成立。 )(|)( xfxg
)(xg )(xf
用
表示 整除
“
,用 " ( ) | ( ) "g x f x? 表示 )(xg ()fx。不能整除
称为
)(|)( xfxg )(xg )(xf )(xf
)(xg
当 时,就称为 的因式，
的倍式。
1.多项式整除性的一些基本性质：
)()( xgxf )()( xhxg )()( xhxf（ 1）如果,,那么 ；
)()( xfxh )()( xgxh ))()(()( xgxfxh ?（ 2）如果,,那么；
)()( xfxh ][)( xFxh ??
)()()( xgxfxh
（ 3）如果,那么,有；
)()( xfxh i ti,,2,1 ?? ][)( xFxg i ??
（ 4） 如果,,则 有
))()()()()()(()( 2211 xgxfxgxfxgxfxh tt??? ?；
( ) ( )c f x f x, )( xfa ][)( xFxf ? Fca ?,
0?ac
（ 5） （, 且
）；
。
)(xf )(xg []Fx?, )()( xgxf )()( xfxg
( ) ( )f x c g x?, c F
和 如果, 那么有
这里 是数域 中某一不等于零的数。
设（ 6）,
证明略（板书）
定理 4.2.1
)( xf? ][)( xFxg ?、,且 0)( ?xg
，则一定
][)(),( xFxrxq ??, 使
)()()()( xrxgxqxf ??
-------(1)
成立，其中 ))(())(( xgxr ??? 或者 0)( ?xr,并且这样的
)(),( xrxq 是唯一决定的。
（ 1）中的 )(xq 称为 )(xg 除 )(xf 的商,)(xr 称为 )(xg 除
)(xf 的余式。
多项式的整除性不会因数域的扩大而改变。
二、例题
例 1 求 124)( 234 ???? xxxxf 被 1)( 2 ?? xxg 除所得
的商式和余式。
例 2 计算,
11 ?? nd xx
§ 4.3 多项式的最大公因式
?重点
多项式最大公因式的定义、运算及其性质。
?难点
运用展转相除法求最大公因式，最大公因
式性质的运用。
?教学目标
掌握多项式最大公因式的定义、运算及
其性质。
§ 4.3 多项式的最大公因式
定义 4.3.1（多项式的公因式） 设 。
若 中的一个多项式 满足 且
，那么 就称为 与 的一个公因式。
定义 4.3.2 （多项式的最大公因式） 设 是多项
式 与 的一个公因式。若 能整除 与
的每一个公因式，则称 是 与 的最大公
因式 。
例如，对于任意多项式, 就是 与 0的一个
最大公因式。特别地，根据定义，两个零多项式的
( ) ( ) [ ]f x g x F x?，
][xF )(xh )()( xfxh )()( xgxh
)(xh )(xf )(xg
)(xd
)(xf )(xg )(xd )(xf )(xg
)(xd )(xf )(xg
)(xf )(xf )(xf
最大公因式就是 0。
引理 如果有等式 成立，那么
,和, 有相同的公因式。
定理 4.3.1 中的任意两个多项式,,一
定有最大公因式。除一个零次因式以外,与
的最大公因式是唯一确定的。
证明,利用辗转相除法加以证明。
（对于 的任意两个多项式,,在 中
存在一个最大公因式, 且可以表成,
的一个组合，即有 中多项式 使得：
）。
)()()()( xrxgxqxf ??
)(xf )( xg )(xg )(xr
][xF )(xf )( xg
)(xf )(xg
][xF )(xf )(xg ][xF
)(xd )(xd )(xf )(xg
][xF )(),( xvxu
)()()()()( xgxvxfxuxd ??
定理 4.3.2 若 是 与 的最大公因式，那
么在 中存在多项式 使得一下等式成
立, 。
证明,利用定理 4.3.1证明中的辗转相除法的式子直
接推得。 (此定理的逆定理不一定成立。）
由最大公因式的定义不难看出，如果 是
,的两个最大公因式，那么一定有
与,也就是说 。这就
是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个非
零常数倍的意义下是唯一确定的。用（, ）
来表示首项系数是 1的那个最大公因式。
)(xd )(xf )(xg
][xF )(),( xvxu
)()()()()( xgxvxfxuxd ??
)(),( 21 xdxd
)(xf )(xg )(|)( 21 xdxd
)(|)( 12 xdxd 0),()( 21 ?? cxcdxd
)(xf )(xg
定义 4.3.3 中两个多项式, 称为互素
（也称为互质）的，如果 。显然，两
个多项式互素，那么它们除去零次多项式外没有其
他的公因式，反之亦然。
定理 4.3.3 中两个多项式, 互素的充要
条件是有 中 多项式使,
推论 1 如果, 且，那
么 。
推论 2 如果,且
那么 。
][xF )(xf )(xg
1))(),(( ?xgxf
][xF )(xf )(xg
][xF )(),( xvxu 1)()()()( ?? xgxvxfxu
1))(),(( ?xgxf )()(|)( xhxgxf
)(|)()( 21 xgxfxf
)(|)(),(|)( 21 xgxfxgxf 1))(),(( 21 ?xfxf
)(|)()( 21 xgxfxf
推论 3 如果,,
那么 。
，如果 使得,
1） ;
2）如果,那么 。
则称 为 的一个最大
公因式，用 符号来表示首项
系数为 1的最大公因式。
与 在 中的首项系数为 1的最大公因式,
而 是 与 在 中首项系数为 1的最大公
因式,那么 。
1))(),(( 1 ?xgxf 1))(),(( 2 ?xgxf
1))(),()(( 21 ?xgxfxf
)2]([)(,),(),( 21 ??? sxFxfxfxf s? )( xd?
sixfxd i,,2,1),(|)( ??
sixfx i,,2,1),(|)( ??? )(|)( xdx?
)( xd )2)((,),(),( 21 ?sxfxfxf s?
))(,),(),(( 21 xfxfxf s?
)(xf )(xg ][xF
)(xd )(xf )(xg ][xF
)()( xdxd ?
即从数域 过渡到数域 时,与 的最大公因
式本质上没有改变。
互素多项式的性质可以推广到多个多项式的情形：
1)若多项式 与
互素，
则 。
2) 若多项式 都整除,且
两两互素，则,
3) 若多项式 都与 互素，则
F F )(xf )(xg
),()()(|)( 21 xfxfxfxh s?)(xh
)(,),(),(,),( 111 xfxfxfxf sii ?? ??
)1)((|)( sixfxh i ??
)(,),(),( 21 xfxfxf s? )(xh
)(,),(),( 21 xfxfxf s? )(|)()()( 21 xhxfxfxf s?
)(,),(),( 21 xfxfxf s? )(xh
1))(),()()(( 21 ?xhxfxfxf s?
例 1 求多项式 与
的最大公因式,并求
使得 。
3442)( 234 ????? xxxxxf
3452)( 23 ???? xxxxg )(xd
)(),( xvxu )()()()()( xgxvxfxuxd ??
§ 4.4 多项式的分解
? 教学目标
掌握不可约多项式的定义、性质及其应用
?重点
不可约多项式的性质及应用。
?难点
不可约多项式的性质及应用。
§ 4.4 多项式的分解
)( xf 的平凡因式 ——非零常数 c 与 )( xcf
定义 4.4.1 数域 P 上次数 1? 的多项式 )( xp
称为数域 P 上的不可约多项式如果它不能表成
数域 P 上的两个次数比
)( xp 的次数低的多项
式的乘积。
一个多项式是否可约是依赖于系数域的。一次
多项式总是不可约多项式。
不可约多项式的性质：
1、不可约多项式 )( xp 的因式只有平凡因式
c
与
)( xcp
此外就没有了,反过来，具有这个性质 的次数
1? 的多项式一定是不可约的。
2、不可约多项式 )( xp 与任一多项式 )( xf 之间
只可能有两种关系，或者 )(|)( xfxp 或者
1))(),(( ?xfxp
3、如果 )( xp 是不可约多项式，那么对于任意的
两个多项式 )(),( xgxf,由
)()(|)( xgxfxp 一定推
出
)(|)( xfxp 或者 )(|)( xgxp 。
4、如果不可约多项式 )( xp 整除一些多项式
)(,),(),( 21 xfxfxf s? 的乘积 )()()( 21 xfxfxf s?, 那么 )(xp
一定整除这些多项式之中的一个。
定理 4.4.1(因式分解及唯一性定理 ) 数域 P 上
次数
1? 的多项式 )(xf 可都以唯一地分解成数域 P
上一些不可约多项式的乘积,所谓唯一性是说,如果
有两个分解式
)()()()()()()( 2121 xqxqxqxpxpxpxf ts ?? ??,
那么必有
ts ?,并且适当排列因式的次序后有
sixqcxp iii,,2,1,)()( ???,
其中
),,2,1( sic i ??
是一些非零常数。
利用数学归纳法加以证明。
例 证明：
?)()( 22 xfxg )()( xfxg 。
§ 4.5 重因式
? 教学目标
了解重因式的定义，掌握重因式的判断。
? 重点
重因式的判定。
? 难点
重因式的判定。
§ 4.5 重因式
定义 4.5.1 不可约多项式 )(xp 称为多项式 ()f x k的
重因式,如果 )(|)( xfxp k,但 )(|)(1 xfxp k ??
定义 4.5.2 多项式 ][)( 0111 xFaxaxaxaxf nnnn ?????? ?? ?
的一阶导数为：
1211 )1()( axnanxaxf nnnn ?????? ??? ?
根据定义可得：
).()()()()()((
)())((
),()())()((
xgxfxgxfxgxf
xfcxcf
xgxfxgxf
?????
???
??????
）
))()(())(( 1 xfxfmxf mm ??? ?
同样可以定义高阶导数的概念。微商 )(xf ? 称为
)(xf 的一阶导数； )(xf ? 的导数 )(xf ?? 称为 )(xf 的二阶
导数；等等。 )(xf 的 k 阶导数记为 )()( xf k
一个 )1( ?nn 次多项式的导数是一个 1?n 次多项
式；它的 n 阶导数是一个常数；它的 1?n 阶导数
等于 0。
定理 4.5.1 如果不可约多项式 )(xp 是多项式
)(xf 的一个 )1( ?kk 重因式,那么 )(xp 是导数 )(xf?
的 1?k 重因式。
如果不可约多项式 )(xp 是多项式 )(xf 的一个
)1( ?kk 重因式,那么 )(xp 是 ( 1 )( ),( ),,( )kf x f x f x??
的因式,
但不是 )()( xf k 的因式。
定理 4.5.2 不可约多项式 )(xp 是多项式 )(xf 的重因
式的充要条件是,)(xp 是 )(xf 与 )(xf? 的公因式。
定理 4.5.3 )(xf 无重因式 ( ( ),( ) ) 1f x f x???
§ 4.6 多项式函数、多项式的根
? 教学目标
了解多项式与 多项式函数 的区别，掌握综合
除法并会应用。
? 重点
综合除法,多项式的根 。
? 难点
综合除法的应用。
§ 4.6 多项式函数、多项式的根
设
11 1 0( ) [ ]nnnnf x a x a x a x a F x??? ? ? ? ? ?
在上式中用 c ()cF? 代替 x 所得的数
1
1 1 0
nn
nna c a c a c a
?
?? ? ? ?
称为 )(xf 当 xc? 时的值,记为
()fc 。这样，多项式
)(xf 就定义了一个数域 F 上的函数。
,)()()(,)()()( 21 xgxfxhxgxfxh ???
如果
那么
12( ) ( ) ( ),( ) ( ) ( )h c f c g c h c f c g c? ? ?
定理 4.6.1(余数定理 )
定义 4.6.1
用一次多项式 xc? 去除多项式 )(xf,所得的余式
是一个常数，这个常数等于函数值 ()fc 。
()Fx c
令 是 的一个多项式而)(xf 是 F 的一个数。
若是当 xc? 时 )(xf 的值 ( ) 0,fc ? 那么 c 叫作 )(xf
数域
在
F 中的一个根。
定理 4.6.2
c )(xf ( ) | ( )x c f x?
是 的根的充要条件是 。
定理 4.6.3
多项式相等与多项式函数相等的关系
定理 4.6.4
次多项式[]Fx n )0( ?n F
n
中 在数域 中的根不可能
多于 个，重根按重数计算。
如果多项式 ( ),( )f x g x 的次数都不超过 n,而它们对
1n ? 个不同的数有相同的值即
( ) ( )iif c g c? 1,,2,1 ?? ni ?,
( ) ( ),f x g x?那么
介绍综合除法,
12
0 1 2 1()
n n n
nnf x a x a x a x a x a
??
?? ? ? ? ? ?
并且设
(1) ( ) ( ) ( )f x x c q x r? ? ?，
其中
1 2 3
0 1 2 2 1()
n n n
nnq x b x b x b x b x b
? ? ?
??? ? ? ? ? ?
。
比较等式 （ 1） 中两端同次项的系数，我们得到
设
00
1 1 0
2 2 1
1 1 2
1
,
,
,
,
n n n
nn
ab
a b c b
a b c b
a b c b
a r c b
? ? ?
?
?
??
??
??
??
由此得出
00
1 0 1
2 2 1
1 2 1
1
,
,
,
,
.
n n n
nn
ba
b c b a
a b c b
b c b a
r c b a
? ? ?
?
?
??
??
??
??
这样，欲求系数
kb
，重要把前一系数
1kb ?
乘以 c
再加上对应系数
ka
，而余数 r 也可以按照类似的规律
求出。因此按照下表所指出的算法就可以很快地陆续
求出商式的系数和余数：
0 1 2 1
0 1 2 1
0 1 2 1
|
nn
nn
n
c b c b c b c b
c a a a a a
b b b b r
?
??
?
?
表中的加号通常略去不写。
§ 4.7 复系数和实系数多项式的
因式分解
? 教学目标
掌握代数基本定理并会应用。
? 重点、难点
代数基本定理，复系数和实系数多项式的
标准分解因式。
§ 4.7 复系数和实系数多项式的因式分解
代数基本定理
每个次数 1? 的复系数多项式在复数域中有一个根。
复系数多项式因式分解定理
每个次数 1? 的复系数多项式在复数域上都可以唯一
地分解成一次因式的乘积,
因此，复系数多项式具有标准分解式
slslln xxxaxf )()()()( 21 21 ??? ???? ?
其中 s???,,,21 ? 是不同的复数，
slll,,,21 ?
是正整
数。标准分解式说明了每个 n 次复系数多项式恰有 n
个复根（重根按重数计算）。
实系数多项式因式分解定理
每个次数 1? 的实系数多项式在实数域上都可以唯一
地分解成一次因式与含一对非实共轭复数根的二次因式
的乘积。实数域上不可约多项式，除一次多项式外，只
有含非实共轭复数根的二次多项式。
实系数多项式具有标准分解式
1 2 1221 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s rll l k kn s r rf x a x c x c x c x p x q x p x q? ? ? ? ? ? ? ?
其中
rrs qqppcc,,,,,,,,111 ???
全是实数，
12,,,sl l l
，
1,,rkk
是正整数，并且 2
iix p x q?? ( 1,2,,)ir?
是不可约
的，也就是适合条件 2 4 0,1,2,,,
iip q i r? ? ?
其中第 k
( 1,2,,)kn? 个等式的右端是一切可能的 k 个根的乘积之
和，乘以 k)1(? 。
§ 4.8有理系数多项式
? 教学目标
了解本元多项式的定义、有理数域上有任
意次不可约多项式；了解艾森斯坦因判别
法；会求简单的有理多项式。
? 重点、难点
有理多项式根的存在性的判别。
§ 4.8有理系数多项式
有理系数多项式的有理根
定义 4.8.1(本原多项式的定义 )
如果一个非零的整系数多项式
0
1
1)( bxbxbxg
n
n
n
n ????
?
? ?
的系数
01,,,bbb nn ??
没有异于 1? 的公因子，也就是说它
们是互素的,它就称为一个本原多项式。
任何一个非零的有理系数多项式 )(xf 都可以表示
成一个有理数 r 与一个本原多项式 )(xg 的乘积，即
)()( xrgxf ? 。
Gauss 引理 两个本原多项式的乘积还是本原多项式。
定理 4.8.1
如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较
低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解两个
次数较低的整系数多项式的乘积。
推论 4.8.2
设 ( ),( )f x g x 是整系数多项式，且 )(xg 是本原多项式，
如果 )()()( xhxgxf ?,其中
)(xh 是有理系数多项式，
)(xh 一定是整系数多项式。那么
定理 4.8.3
设
011)( axaxaxf nnnn ???? ?? ?
是一个整系数多项式,
而 rs 是它的一个有理根，其中
sr,
互素，那么
(1)
0|,| aras n；特别如果 )(xf 的首项系数 1?na,那么
)(xf 的有理根都是整根，而且是 0a 的因子。
(2)
),()()( xqsrxxf ??
其中 )(xq 是一个整系数多项式。
定理 4.8.4 (艾森斯坦 (Eisenstein)判别法 )
设
0
1
1)( axaxaxf
n
n
n
n ????
?
? ?
是一个整系数多项式。
若有一个素数 p,使得
1,
nap |?
2,021,,,| aaap nn ???
3,
02 | ap ?
则多项式 )(xf 在有理数域上不可约。
有理数域上存在任意次的不可约多项式。
2)( ?? nxxf
其中 n 是任意正整数。
例如
§ 4.9 多元多项式
? 教学目标
? 了解多元多项式的定义，会对多元多项式进行简
单的分析。
? 重点
? 多元多项式的概念、多元多项式函数。
? 难点
? 多元多项式的概念、多元多项式函数。
§ 4.9 多元多项式
令 F 为数域,12,,,nx x x 是 n 个文字。
形如
nk
n
kk xxax ?21
21
的表达式（其中 12,,,,na F k k k N?? ），叫做数域 F 上
12,,,nx x x
的单项式,a 为系数。
F 上的 ()mn? 个文字的单项式总可以看成 n
个文字的单项式。
0 0 0 0 0 0
1 2 1 200nna x x x a x x x F? ? ?、
一些单项式用加号连接起来得到：
1 1 21 1 1 21 1 1 1 1 1 1,n n n n nk k k kkk nia x x x a x x x a F? ? ?
( 1,2,,; 1,2,,)ijk N i s j n? ? ?
叫做 F n
12,,,nx x x
上 个文字 的多项式。
用符号 ),,,( 21 nxxxf ?, ),,,(
21 nxxxg ? 等表示 F
上 n 个文字的单项式。
同类项,
nknkk xxax ?21 21 与 nk
n
kk xxbx ?21
21 叫做同类项。
n 元多项式中不含同类项；
次数：
单项式的次数：
nknkk xxax ?21 21
的次数为
12 0nk k k a? ? ? ?（ ）
多项式的次数：
出现在这个多项式里一切不为零的单项式的
次数最大者。
零次多项式无次数。
多项式的加法定义,对应项相加。
由加法定义知：
。
乘法定义,利用分配律，字母相同指数相加系
数相乘，然后合并同类项。
加法、乘法运算规律：
（ 1） )()( hgfhgf ????? （加法结合律）；
{ }gfgf,max)( ??? ?
（ 2）
fggf ???
（加法交换律）；
（ 3） )()( ghfhfg ? （乘法结合律）；
（ 4） gffg ? （乘法交换律）；
（ 5）
ghfhhgf ??? )( （分配律）。
多项式环
],,,[ 21 nxxxF ?
),,,( 21 nxxxf ?
的负多项式：把 ),,,(
21 nxxxf ?
的所有的系数都换成各自的相反数。
记作：
),,,( 21 nxxxf ??
。
减法：
)( gfgf ????
数域 F 上 n 元多项式可记为：
n 元多项式的运算同中学所学完全一样，只是这
里的
12,,,nx x x
是 n 个文字。
niii
n niii
xxxa ?? 21
21 21?
。
字典排列法,
设
0),,,( 21 ?nxxxf ?
是数域 F 上的 n
元多项式。设
（ 1）
12
12 ( 0 )
nkkk
na x x x a ?
（ 2）
12
12 ( 0 )
nlll
nb x x x b ?
是 ),,,(
21 nxxxf ?
的两个不同的项，那么
)1( nilk ii ???
中至少有一个不等于零。
如果存在 )1( nii ?? 使得
112211,,,?? ??? ii lklklk ?
，但
ii lk ?
称项（ 1）大于项（ 2）对于多项式 ),,,(
21 nxxxf ?
总是一个大于（或小于）另一个的。若项（ 1）大
于项（ 2），而项（ 2）大于项：
（ 3）
12
12 ( 0 )
nmmm
nc x x x c ?
那么（ 1）也大于（ 3）。这样只要把大的项排在
前面就可以确定多项式
),,,( 21 nxxxf ?
各项的次序了。这就是多项式的字典排列法。
定理 4.9.1
k 次齐次多项式 ——k 次齐式
),,,( 21 nxxxf ?, 1 2 1 2(,,,) [,,,]nng x x x F x x x?
,fg 的首项等于这两个多项式首项的乘积，两个
非零多项式的乘积也不等于零。
01 sf f f f? ? ? ?
若
0if ?
,那么
if
就是一个
i
次齐式。
定理 4.9.2 ()f g f g? ? ? ? ?
证明,设
01,0 ssf f f f f? ? ? ? ?
01,0 ttg g g g g? ? ? ? ?
0 0 1 1 stf g f g f g f g? ? ? ?
0,0 stfg??
tsg（f，gf tsts ????? ).0 而且
tsgf ???? ),(
1 2 1 2(,,,) (,,,)nnf x x x g x x x?
则它们所确定的函数 f 与
g
也相等，反之也成立。
定理 4.9.3
那么
12(,,,) 0nf x x x ?
。
若
12(,,,)
n
nc c c F??
，都有
12(,,,) 0nf c c c ?
对 n 实施数学归纳法：
1 2 1 2(,,,) [,,,]nnf x x x F x x x?
设
推论 4.9.4
1 2 1 2(,,,) [,,,]nng x x x F x x x?
,如果对任意
的 都有：
1 2 1 2(,,,) (,,,)nnf c c c g c c c?那么
1 2 1 2(,,,) (,,,)nnf x x x g x x x?
。
),,,( 21 nxxxf ?
、设
n
n Fccc ?),,( 21 ?
§ 4.10 对称多项式
? 教学目标
? 了解多元对称多项式的定义，会对多元
对称多项式进行简单的应用。
? 重点
? 多元对称多项式的定义、性质及应用。
? 难点
? 多元对称多项式的性质及应用。
§ 4.10 对称多项式
定义 4.10.1
对
1,2,,n 的一个排列,12,,,ni i i
。 一般
1 2 1 2(,,,) (,,,)i i i n nf x x x f x x x?
。
设
1 2 1 2(,,,) [,,,]nnf x x x F x x x?
,如果对
1,2,,n 的任意一个排列,12,,,ni i i 均有
12 12
(,,,) (,,,)
ni i i n
f x x x f x x x?
，
则称
),,,( 21 nxxxf ?
是数域 F 上
n
元对称多项式。
如果对称多项式
12(,,,)nf x x x
含
nk
n
kk xxax ?21
21
,则 f 也一定含 niii k
n
kk xxax ?21
21
（
12,,,ni i i
是 1,2,,n 的一个排列）。
设 1 1 2
1 1 2 1 3 1
1 1 2 1 1 2 2 3
12
n
nn
n n n n n
nn
x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x
?
?
?
?
?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
—— n 元对称多项式
引理 4.10.1
设
11 2 1 1(,,,) niin i i n nf x x x a a x x? ?
是数域 F 上的一个
n 元多项式，以 i? 代替
1
121 2 1(,,,)
n
n
ii
n i i i nfa? ? ? ? ?? ?
。
,1ix i n??
。 得到关于
12,,,n? ? ?
的一个多项式：
如果
12(,,,) 0nf ? ? ? ?
,那么一切系数
12 0ni i ia ?
。
即
12(,,,) 0nf x x x ?
。
定理 4.10.2 F 上的对称多项式
12(,,,)nf x x x
证明：
存在性使用构造法：
唯一性使由引理 1
中的多项式，而且表示法唯一。
都可以表示为初等对称多项式
12,,,n? ? ?
的系
F数在
例：用初等对称多项式表示 n 元对称多项式
2 2 2
12 nf x x x? ? ? ?
f 的首项是 2
1x
。 所以取
2 0 0 0 2
1 1 2 1ng ? ? ? ?
???
。
于是
2 2 2 2
1 1 1 2 1 2
1 2 1 3 1 2
()
2 ( ) 2
nn
nn
f f g x x x x x x
x x x x x x ??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? 。
2
1 1 1 22f g f ??? ? ? ?所 以
对于复杂的例子，用未定系数法比较方便。首
R
先引入以下记号。设 12
12 n
kkk
na x x x 是 R
上
一个单项式。用符号
（ 4）
12
12
nkkk
na x x x?
表示这个单项式经过
12,,,nx x x
的一切置换
所得的一切不同项的和。（ 4）显然是一个对称
多项式，并且是齐次的。
例如
2 2 2 2
1 1 2 nx x x x? ? ? ??
2 2 2 2
1 2 1 2 2 3 1
2 2 2
2 1 2 3 2
2 2 2
1 2 1
n
n
n n n n
x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
现在通过下面的例子来说明未定系数法。
课堂练习 1,用初等对称多项式表示 n 元对称多
项式
22
12f x x? ?
。
如果所给的对称多项式不是齐次多项式，那么
可以先把它写成一些齐次多项式的和（这些齐次多
项式自然也是对称多项式），然后再对每一齐次多
项式应用未定系数法。
由定理 4.10.2 我们可以得到一个有用的推论。
设
1
11()
nn
nnf x x a x a x a
?
?? ? ? ? ?
知道,()fx 在复数域 C 内有 n 个根（重根按重
是某一数域 F 上一个多项式。由代数基本定理
数计算）。令
12,,,n? ? ?
是 C()fx 在 内的全
部根。由根与系数的关系，我们有
1 1 2
2 1 2 1 3 1
12
,
,
( 1),
n
nn
n
nn
a
a
a
? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
??
因此，
12,,( 1 )
n
na a a??
就是
12,,,n? ? ?
的初等对称多项式。
于是由定理 4.10.2 我们得出以下
推论 4.10.3 设 ()fx 是数域 F 上一个一元
n 次多项式，它的最高次项系数是 1。 令
12,,,n? ? ?
是 ()fx 在复数域内的全部根（重
根按重数计算）。那么
12,,,n? ? ?
的每一个
系数取自 F 的对称多项式都是 ()fx 的系数多项式
（它的系数在 F 内）,因而是 F 的一个数。
研究性问题,
? 如何用矩阵的初等变换求两个多项式的
最大公因式？
? 考虑由两个多项式 ( ),( )f x g x 为元素 (每个多项式看作一个元素 )作成
21? 矩阵
()
()
fxA
gx
???
????
把它称为 x矩阵。
? 互换矩阵两行的位置；
? 矩阵的某一行乘以一个非零素数；
? 矩阵的某一行的 q(x)倍加到另一行上，
称以下三种变换为 x矩阵的初等变换：
? ?( ),q x F x? 则
( ) ( )
( ) 0
f x d xA
gx
? ? ? ?? ???????
? ? ? ?? ? ? ?一系列初等行变换
将 A作一系列的行变换，当 ()gx 变为 0时,()fx
变为 ( ),dx 为什么？你能说明理由吗？
试用上述方法求
432
32
( ) 2 4 4 3
( ) 2 5 4 3
f x x x x x
g x x x x
? ? ? ? ?
? ? ? ?
的最大公因式。
