1
§ 3-1 点的投影
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-2 直线投影
§ 3-3 点、线的相对位置
§ 3-4 一边平行于投影面的直角的投影
§ 3-5 平面的投影
§ 3-6 各种位置平面的投影特性
§ 3-7 平面上的点和直线
§ 3-8 平面的辅助投影
3
空间几何体是由点、
直线和平面构成的，如图
3.1所示的三棱锥。既可看
成由四个点所构成，又可
看成由六条直线或四个平
面所构成。因此，表达几
何体的三面投影，实际上
就是画出构成几何体的点、
直线和平面的投影。所以，
点、直线、平面的投影是
画图的基础。本章着重研
究它们的投影规律和特点 。
§ 3-1 点 的 投 影
4
四、点的辅助投影
三,两点的相对位置和重影点
二、点在三面体系中的坐标和投影
一、点在两面体系中的投影
§ 3-1 点 的 投 影
返回
作 图 举 例
例题一 例题二
5
H
V
OX
A点的水平投影 —— a
A点的正面投影 —— a’
a'
a
A
aX
点在两面体系中的投影
H
V
OX
a'
a
ax展开
投影规律,
1,aa’⊥ox
2,aax＝ Aa’; a xa’ ＝ Aa 返回
6
A点 的 水平投影 —— a
A点 的 正面投影 —— a'
A点 的侧面 投影 —— a"
H
a'
a
a"
V W
X O
Z
YW
YH
点在三面体系中的坐标和投影
Y
X
H
V
O
Z
W
a'
a
a"A
7
1,a'az=aay=x
a"az=aax=y
a'ax=a"ay=z
a'
a
a"
X O
Z
YW
YH
ax
ay
az
ay
2 a'a?ox
a'a"?oz
投影规律
返回
投影图
8
两点中 X值大 的点 —— 在左
两点中 Y值大 的点 —— 在前
两点中 Z值大 的点 —— 在上
X
Z
YW
YH
O
a' a"
a
b'
b
b"
X O
Z
Y
a"
a'
a
b"
b'
b
B
A
两点的相对位置
9
c
(c')d'
d
C
D
a(b)
a'
b' A
B
重影点及可见性
若空间两点位于某投影面的同一投射线上时,它们
在该投影面上的投影便重合为一点,称为对该面的重影
点。
c' d'
c
da b
a'
b'
判别可见性
返回
( )
( )
10
换面法 — 空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替
旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，
然后找出其在新投影面上的投影。
点的辅助投影
a1’
X1
V1 a1’
11
a1’
X1
V1 a1’
a’
X VH
a
点的投影变换规律
1、点的辅助投影和不变投影的连线，必垂直于辅助投影轴。
2、点的辅助投影到辅助投影轴的距离等于点的被更换投影到原投
影轴的距离。
a1’
12
a1变换 H面
a1
H1
a1
13
a’
a2
点的两次变换
a2
14
（二）新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：
1、新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。
2、新投影面必须垂直于一个不变投影面。
返回
(一 ) 点的投影变换规律
1、点的辅助投影和不变投影的连线，必垂直于辅助投影轴。
2、点的辅助投影到辅助投影轴的距离等于点的被更换投影到原投
影轴的距离。
X1
V1
a’
X VH
a
a1’ a
1’
15
例题 1 已知点 A的正面与侧面投影，求点 A的水平投影
Z
X O
a' a"
a
YH
YW
返回
b’’
b’’
b
b’ c’
c
c’’
16
a' a"
a
X
Z
YW
YH
O
b'
b
b"
例题 2 已知 A点在 B点前方 5毫米，上方 9毫米，右方 8毫
米，求 A点的投影。
8
9
5
返回
17
三,求一般位置线段的实长及对投影面的倾角
二、各种位置直线的投影
一、直线的投影
§ 3-2 直 线 的 投 影
返回
18
?
? ?
直线由线上任意两点所确定，其投影由两点投影确定，
直线与水平、正立、侧立投影面的夹角分别用希腊字母 α,β
,γ表示,
一, 直线的投影
返回
19
?
? ?
二, 各种位置直线的投影
1,一般位置直线
1 a b=AB·cosα ;a’b’=AB·cosβ ; a’’ b’’=AB·cosγ
2, a b,a’b’,a’’ b’’均倾斜于投影轴
3, 不反映 ?, ?, ? 实角
投影特性,
20
二, 各种位置直线的投影
1,一般位置直线
2,投影面平行线
平行于一个投影面而倾斜于另外两个投影面的直线。
水平线 —— 平行于 H面而倾斜Ｖ、Ｗ面的直线；
侧平线 —— 平行于 W面而倾斜 H、Ｙ面的直线。
正平线 —— 平行于Ｖ面而倾斜 H,W面的直线；
21
二, 各种位置直线的投影
1,一般位置直线
2,投影面平行线
垂直于一个投影面的直线称为投影面垂直面。
铅垂线 —— 垂直于 H面而平行于Ｖ、Ｗ面的直线；
侧垂线 —— 垂直于 W面而平行于 H、Ｙ面的直线。
正垂线 —— 垂直于Ｖ面而平行于 H,W面的直线；
3,投影面垂直线
返回
22
水平线
投影特性,1,a'b'//OX,a"b"//OY
2,ab=AB
3,反映 ?,? 角的真实大小
返回
23
正平线
投影特性,1,ab//OX, a"b"//OZ。
2,a'b'=AB。
3,反映 ?,?角的真实大小 。
返回
24
侧平线
投影特性, 1,a'b'//OZ, ab//OY。
2,a"b"=AB。
3, 反映 ?,? 角的真实大小。 返回
25
铅垂线
投影特性,1,a b 积聚 成一点
2, a’ b’?OX ; a’’ b’’ ? OY
3, a’ b’ = a’’ b’’ =AB
返回
26
正垂线
投影特性,1,a ’b’ 积聚 成一点
2, a b ? OX ; a’’ b’’ ? OZ
3, a b = a’’ b’’ =AB
返回
b’ （ a’）
y
27
侧垂线
投影特性,1,a’’ b’’ 积聚 成一点
2, a b ? OY ; a’ b’ ? OZ
3, a b = a’ b’ =AB
返回
（ b’’ ） a’’
28
1,直角三角形法
?
| ZA-B | ?
AB
ab
三, 求一般位置线段的实长及对投影面的倾角
?
AB
ab
| ZA-B | | ZA-B |
?
| ZA-B |
AB
求 β角
29
1,直角三角形法
| YA-B |
三, 求一般位置线段的实长及对投影面的倾角
B0
β
AB
a＇
b ＇
| YA-B |
β
| YA-B | a＇b ＇
AB
β
30
每个直角三角形中，三条边和直线对投影面的倾角
共四个参数，只要知道其中任意两个，就能求出其余两个
直角三角形的作图要点,
直角三角形中,斜边为线段的实长,两直角边分别为线
段的投影及坐标差,如图
ab
△ Z
α
AB
a ' ' b' '
γ
△ XAB
β
△ Y
a ' b'
例 题
31
例１ α角的正确求法是 （？ ） 图
b
(a) (b) (c)
b ′
a′
a
b
α
b ′
a′
a
b
α
b ′
a
α
a′
32
例 2 已知直线 AB的水平投影 ab及 a′,且 α=30°, 用直角三角
形法完成其正面投影 。
b
a
x
a′
33
例 2 已知直线 AB的水平投影 ab及 a′,且 α=30°, 用直角三角
形法完成其正面投影 。
b′
α
作图：
讨论有多解 。
① 以 ab为直角边作直角三角
形, 求出 ΔZab
② 利用 ΔZab求 b′
b
a
x
a′
ΔZab
Zab
Zab
b′
重作
34
例 3 已知直线 AB 和 BC 对 V 面 的 倾 角 都 是
30°, 完成 a’b’,b’c’
x
b
a′
a
c
0
35
分析：
已知 ab,bc及 β=30。,
故应作出含 β的直角
三角形求解 。
例 3 已知直线 AB 和 BC 对 V 面 的 倾 角 都 是
30°, 完成 a’b’,b’c’
x
b
a′
a
c
作图：
① 利用 ΔYab及 β求
a′b′
② 利用 ΔYbc及 β求
b′c′
△ 讨论有多解 。
a’b’
60° b ′
c ′
b ’c ’
30°
0
重作
ΔYab
ΔYab
36
1,直角三角形法
三, 求一般位置线段的实长及对投影面的倾角
2,辅助投影法
当直线平行投
影面时，它在该投
影面上的投影反映
它的实长及与另外
两投影面的夹角。
辅助投影法求实
长及倾角实质就是
将线段变换为某一
投影面的平行线。
V1
X1
a1’
b1’
?
37
V1
X1
b1’
?
a1’
b1’
a’
b’
a
b
X VH
实长
α思考, 变换 H面?
X1∥ ab
a1’
38
例 4 求一般位置线段 AB的实长及其对 W面的倾角 γ，
并 AB上截取一点 E,使 AE长为 10mm。
39
例 4 求一般位置线段 AB的实长及其对 W面的倾角 γ，
并 AB上截取一点 E,使 AE长为 10mm。
a1’
b1’
γ
实长
作图
1,换面求出 AB
的实长及 γ
2,在 a1’ b1’ 上截
取 e1’,使 a1’ e1’=10,
并由 e1’返回作出
e1’’和 e1’。
e1’
e’’e’
重作
40
例 5 已知ＡＢ的实长及 a’b’,求 AB的水平投影
AB
XHV
a
a’
b’
41
例 5 已知ＡＢ的实长及 a’b’,求 AB的水平投影
AB
XHV
a
a’
b’
作图
1,将 AB变换为
水平线 (X1∥ a’b’)
2,利用 AB的实
长及 点的投影规
律求出 b1
3,求出 b
a1
b1
b讨 论
另一解 b1
B?
返回重作
42
§ 3-3 点,直线的相对位置
一、点与直线的相对位置
1、点在直线上，它的各面投影必
落在该直线的同面投影上。
2、空间点分线段的比例，等于投
影图上点分线段投影的比例。
A C,C B = a c,c b = a’c’：
c’b’
例题 1 例题 2
投影规律
43
§ 3-3 点,直线的相对位置
一、点与直线的相对位置
二、两直线的相对位置
1、两直线平行
2、两直线相交
3、两直线交叉
例题 1 例题 2
44
b’
a
a’
d’
b b
c
c’
x o
b’
a’
a
b d
c’
d’
c
两直线平行,它们的各面投影必相互平行
返回
45
返回
46
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。
o
b’
x
a’
a
b
c’
d’
d
c
1
1’(2’)
2
返回
47
? 例题 1 已知线段 AB的投影图，试将 AB分成 AC:CB=2,
1两段，求分点 C的投影。
c
c’ 1,任作一直线并三等分
2,作相似形定出 C点的水平
投影 c
3,求出 C点的水正面投影 c’
48
例题 2 已知点 C在线段 AB上，求点 C的正面投影。
ac
cb
c’
49
例题 3 试判断直线 AB,CD是否平行
X
方法一
补画第三投影,判断是否平行
a
d’
b’
a’
d
c
b
c’
d’’
b’’
a’’
c’’ 方法二
ab, cd不等于 a’b’, c’d’
结论, AB与 CD不平行
返回
50
例题 4 试作一直线 MN与 AB,CD两直线相交,且平行 EF
(m’)
a
f’ OX
e’
f
d
e
c
b
c’
(a’) b’
d’
分 析
作图步骤
（ 1）过 m’作直线 m’n’
平行 e’f’,且与 c’d’
交于 n’
n’
(2) 由 n’求得 nn
(3)过 n作 nm平行 ef,交
ab于 m,直线 MN即
为所求。
m
51
3’(4’)
3
4
1’
2’
1(2)
例题 5 判断两直线重影点的可见性
52
§ 3-4 一边平行于投影面的直角的投影
X O
c’
a’ b’
c b
a
A
C
B o
c
a′ b′
a
b
c′
x
证明：
⑴已知 AB⊥ AC,AB∥ H,则 AB⊥ Aa，则 AB⊥ 平面 AacC ;
⑵ 因 ab∥ AB，故 ab⊥ 平面 AacC，则 ab⊥ ac 。
结论,
当直角的一边平行于投影面时,该投影面上的投影反映直角 ;
反之,两直线之一平行于投影面且在该面两直线投影成直角,则
两直线在空间的夹角也一定是直角。
53
例 1.判断下列几组直线是否垂直：
a
a′
c′
c
b′
b
b′
a′
a
b c
c′
b′
a′ c′
a
b
c
a′
a
b′
b
d′
d
c′
c
a′
a
(b′
b
c d
c′ )
d′
( a )
( e )( d )
( c )( b )
54
④ 连线完成作图
o
例 2,已知侧平线 AC为菱形对角线, B点在 Z轴上, 试完成菱形的三面投影 。
c′
c
a′
a
x
YH
Yw
z
分析：
作图：
② 由于 B点在 Z轴
上, 定出 b,b′
③ 根据对角线互相
平分的特点, 求出,
d′,d
① 作出 a′′c′′，过中
点 o′′作中垂线交 OZ
于 b′′
a’’
b’’ c’’b’
b
k’
d
d’
55
§ 3-5 平面的表示法
a’
a
b’
c’
b
c
b’
a’
a
c’
b
c
b’
a’
a
c’
b
c
a’
a
b’
c’
b
c
a’
b’ c’
a
b c
d’
d
56
§ 3-6 各种位置平面的投影特性
平面可分为三类,
投影面平行面
投影面垂直面
一般位置平面
平面与 H面,V面,W面的夹角分别用希腊字母
α,β,γ表示。
57
一 投影面平行面
平行于一个投影面的平面称为投影面平行面。
正平面 侧平面水平面
投影特性：
1,a’b’c’,a’’b’’c’’积聚为一条线，且 a’b’c’∥ OX ; a’’b’’c’’∥ OY 。
2, 水平投影 abc反映 ?ABC实形
Z a’’
c
YX
a’ b’ b’’
b
a
o
Y
c’’c’
58
(1)正面投影反映实形 ;
(2)水平投影积聚为一
直线,且 //OX ;
侧面投影积聚为一直
线,且 //OZ.
(1) 侧面投影反映实形 ;
(2)正面投影积聚为一直
线且 //OZ ; 水平投影积
聚为一直线且 //YH 。
c’’YW
正
平
面
(∥ V) b
YH
Z
a’’
b’’b’
o
a’
c’
c a
X
侧平
面
(∥ W)
投影规律
59
二 投影面垂直面
垂直于一个投影面而倾斜于另外两个投影面的平
面称为投影面垂直面。 铅垂面、正垂面、侧垂面。
（ 1） 水平投影积聚为一直线,水平投影与 X的夹角反映平面 V面的夹角 β,与
YH的夹角反映平面与侧面的夹角 γ。
( 2 ) 正面投影, 侧面投影不反映实形,但为其类似形 。
投影特性,
z
yW
?
?
x
a’ b’ a’’
b
a o
yH
c
c’’c’
b’’
60
1) 正面投影积聚为
一直线与 OX夹角反
映 α,与 OZ夹角反映
γ；
（ 2） 水平投影和
侧面投影不反映实
形,但为其类似形 。
正
垂
面
(⊥ V)
YW
Z
b? b?
X
a? a?
b
a
O
YH
α
?
c?c?
c
(1) 侧面投影积聚为
一直线与 OYw的夹角
反映 α,与 OZ夹角反
映 γ；
(2) 正面投影与水平
投影不反映实形,但为
其类似形 。
侧
垂
面
(⊥ W)
a’’
zb’ b’’
YWx
a’
b
a
o
YH
α
β
c
c’ c’’
投影规律
61
三 一般位置平面
对三个投影面都处于倾斜位置的平面称为一
般位置平面。
投影特性
1, △ abc、△ a?b?c?,△ a?b?c? 均为 ? ABC的类似形。
2, 不反映 ?, ?,? 的真实角度 。
62
§ 3-7 平面上的点和线
一、平面上的点
D
E
d?
d
e?
e
在给定平面取点，可直接取自该平面上的已知直线
63
D
E
d?
e?
ed
二、平面上的直线
（ 1） 通过平面上两个已知点 ；
（ 2） 通过平面上一点,且平行于平面上的另
一已知直线
64
例 1,试判断点 K和直线 MN是否在△ ABC平面上
X
nm
c
b
a
O
b’
k
k’
n’
m’
c’a’
65
例 2,已知平面五边形 ABCDE的正面投影和水平投影 abc,
试完成五边形的水平投影。
c
b
a
b’
c’a’
d’e’
作 图
(1) 连接 a’c’,b’d’相交于
f’,求出 f ; 再连 bf并延长
求得 d ;
f’
f
d
(2) 作 e’g’∥ a’b’交 b’c’于
g’,求出 g ; 再作 ge∥ ab
并求出 e ;
g’
g
e
(3) 连接 cd,de,ea
66
三、平面上的投影面平行线
平面上平行于投影面的直线称为平面上的投影面平行
线。有三类, 面上水平线,正平线、侧平线。
V
A
B
b
a
a’
PH
面上的投影面平行
线即具有投影面平
行线的投影特性,
又必须满足直线在
平面上的条件
67
例题 1,已知 ?ABC给定一平面，试过点 C作属于该平面的正平线，
过点 A作属于该平面 的水平线 。
m?
n?
n
m
68
例题 2,已知点 E 在 ?ABC平面上，且点 E距离 H面 15，距离 V 面 10，
试求点 E的投影 。
m
n
m? n?
r s
r?
s?
10
15
e?
e
作 图
(1) 作 ?ABC距离 V面 10 的
直线 SR;
(3) MN与 SR的交点即为
所求。
(2) 作 ?ABC距离 H 面 15
的直线 MN;
69
c
§ 3-8 平面的辅助投影
一、将一般位置平面变换为投影面垂直面
分 析
将平面内的投影面平行线
变换成投影面垂直线后,平面
即变为投影面垂直面。H
1a
1
c1
b1
d1
?
d
d'
D
70
作 图
§ 3-8 平面的辅助投影
一、将一般位置平面变换为投影面垂直面
H1a
1
c1
b1
d1
?
d
d'
D
a
a’
c
b
c’
b’
X
d
d’
a1
c1
b1
β
求 α时,作从属于平面上的水平线
求 β时,作从属于平面上的正平线
求 γ时,作从属于平面上的侧平线
71
S１
例题 1 求点 S到平面 ABC的距离 SK
分 析
作 图
(1) 将△ＡＢＣ变换成
铅垂面,求出ａ 1、ｂ 1、
ｃ 1,ｓ 1 ;
(2) 求出 k1 ；
k1
(3) 求出 s’k’和 sk ；
K’
K
72
例题 2 已知 E到平面 ABC的距离为 N，求 E点的正面投影 e’。
nd'
d
e'
73
二、将投影面垂直面变换为投影面平行面
V1
X1
a
a’
c
b
b’
c’
b1’
c1’
a1’
c1’
a1’
a1’
c1’ b1’
74
例题 1 求一般位置平面△ＡＢＣ的实形。
d'
d
a2'
c2'
b2'
d1'
作 图
(１ ) 将△ＡＢＣ变换
成铅垂面,求出ａ 1、ｂ 1
、ｃ 1, d1 ;
(２ ) 将△ＡＢＣ变换
成正平面 ;
75
d'
d
a1'
c1'
b1'
d1'
15
e
e'
e1
e1'
例题 2 已知 点 E在平面 ABC上，距离 A,B为 15，求 E点的投影。
§ 3-1 点的投影
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-2 直线投影
§ 3-3 点、线的相对位置
§ 3-4 一边平行于投影面的直角的投影
§ 3-5 平面的投影
§ 3-6 各种位置平面的投影特性
§ 3-7 平面上的点和直线
§ 3-8 平面的辅助投影
3
空间几何体是由点、
直线和平面构成的，如图
3.1所示的三棱锥。既可看
成由四个点所构成，又可
看成由六条直线或四个平
面所构成。因此，表达几
何体的三面投影，实际上
就是画出构成几何体的点、
直线和平面的投影。所以，
点、直线、平面的投影是
画图的基础。本章着重研
究它们的投影规律和特点 。
§ 3-1 点 的 投 影
4
四、点的辅助投影
三,两点的相对位置和重影点
二、点在三面体系中的坐标和投影
一、点在两面体系中的投影
§ 3-1 点 的 投 影
返回
作 图 举 例
例题一 例题二
5
H
V
OX
A点的水平投影 —— a
A点的正面投影 —— a’
a'
a
A
aX
点在两面体系中的投影
H
V
OX
a'
a
ax展开
投影规律,
1,aa’⊥ox
2,aax＝ Aa’; a xa’ ＝ Aa 返回
6
A点 的 水平投影 —— a
A点 的 正面投影 —— a'
A点 的侧面 投影 —— a"
H
a'
a
a"
V W
X O
Z
YW
YH
点在三面体系中的坐标和投影
Y
X
H
V
O
Z
W
a'
a
a"A
7
1,a'az=aay=x
a"az=aax=y
a'ax=a"ay=z
a'
a
a"
X O
Z
YW
YH
ax
ay
az
ay
2 a'a?ox
a'a"?oz
投影规律
返回
投影图
8
两点中 X值大 的点 —— 在左
两点中 Y值大 的点 —— 在前
两点中 Z值大 的点 —— 在上
X
Z
YW
YH
O
a' a"
a
b'
b
b"
X O
Z
Y
a"
a'
a
b"
b'
b
B
A
两点的相对位置
9
c
(c')d'
d
C
D
a(b)
a'
b' A
B
重影点及可见性
若空间两点位于某投影面的同一投射线上时,它们
在该投影面上的投影便重合为一点,称为对该面的重影
点。
c' d'
c
da b
a'
b'
判别可见性
返回
( )
( )
10
换面法 — 空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替
旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，
然后找出其在新投影面上的投影。
点的辅助投影
a1’
X1
V1 a1’
11
a1’
X1
V1 a1’
a’
X VH
a
点的投影变换规律
1、点的辅助投影和不变投影的连线，必垂直于辅助投影轴。
2、点的辅助投影到辅助投影轴的距离等于点的被更换投影到原投
影轴的距离。
a1’
12
a1变换 H面
a1
H1
a1
13
a’
a2
点的两次变换
a2
14
（二）新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：
1、新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。
2、新投影面必须垂直于一个不变投影面。
返回
(一 ) 点的投影变换规律
1、点的辅助投影和不变投影的连线，必垂直于辅助投影轴。
2、点的辅助投影到辅助投影轴的距离等于点的被更换投影到原投
影轴的距离。
X1
V1
a’
X VH
a
a1’ a
1’
15
例题 1 已知点 A的正面与侧面投影，求点 A的水平投影
Z
X O
a' a"
a
YH
YW
返回
b’’
b’’
b
b’ c’
c
c’’
16
a' a"
a
X
Z
YW
YH
O
b'
b
b"
例题 2 已知 A点在 B点前方 5毫米，上方 9毫米，右方 8毫
米，求 A点的投影。
8
9
5
返回
17
三,求一般位置线段的实长及对投影面的倾角
二、各种位置直线的投影
一、直线的投影
§ 3-2 直 线 的 投 影
返回
18
?
? ?
直线由线上任意两点所确定，其投影由两点投影确定，
直线与水平、正立、侧立投影面的夹角分别用希腊字母 α,β
,γ表示,
一, 直线的投影
返回
19
?
? ?
二, 各种位置直线的投影
1,一般位置直线
1 a b=AB·cosα ;a’b’=AB·cosβ ; a’’ b’’=AB·cosγ
2, a b,a’b’,a’’ b’’均倾斜于投影轴
3, 不反映 ?, ?, ? 实角
投影特性,
20
二, 各种位置直线的投影
1,一般位置直线
2,投影面平行线
平行于一个投影面而倾斜于另外两个投影面的直线。
水平线 —— 平行于 H面而倾斜Ｖ、Ｗ面的直线；
侧平线 —— 平行于 W面而倾斜 H、Ｙ面的直线。
正平线 —— 平行于Ｖ面而倾斜 H,W面的直线；
21
二, 各种位置直线的投影
1,一般位置直线
2,投影面平行线
垂直于一个投影面的直线称为投影面垂直面。
铅垂线 —— 垂直于 H面而平行于Ｖ、Ｗ面的直线；
侧垂线 —— 垂直于 W面而平行于 H、Ｙ面的直线。
正垂线 —— 垂直于Ｖ面而平行于 H,W面的直线；
3,投影面垂直线
返回
22
水平线
投影特性,1,a'b'//OX,a"b"//OY
2,ab=AB
3,反映 ?,? 角的真实大小
返回
23
正平线
投影特性,1,ab//OX, a"b"//OZ。
2,a'b'=AB。
3,反映 ?,?角的真实大小 。
返回
24
侧平线
投影特性, 1,a'b'//OZ, ab//OY。
2,a"b"=AB。
3, 反映 ?,? 角的真实大小。 返回
25
铅垂线
投影特性,1,a b 积聚 成一点
2, a’ b’?OX ; a’’ b’’ ? OY
3, a’ b’ = a’’ b’’ =AB
返回
26
正垂线
投影特性,1,a ’b’ 积聚 成一点
2, a b ? OX ; a’’ b’’ ? OZ
3, a b = a’’ b’’ =AB
返回
b’ （ a’）
y
27
侧垂线
投影特性,1,a’’ b’’ 积聚 成一点
2, a b ? OY ; a’ b’ ? OZ
3, a b = a’ b’ =AB
返回
（ b’’ ） a’’
28
1,直角三角形法
?
| ZA-B | ?
AB
ab
三, 求一般位置线段的实长及对投影面的倾角
?
AB
ab
| ZA-B | | ZA-B |
?
| ZA-B |
AB
求 β角
29
1,直角三角形法
| YA-B |
三, 求一般位置线段的实长及对投影面的倾角
B0
β
AB
a＇
b ＇
| YA-B |
β
| YA-B | a＇b ＇
AB
β
30
每个直角三角形中，三条边和直线对投影面的倾角
共四个参数，只要知道其中任意两个，就能求出其余两个
直角三角形的作图要点,
直角三角形中,斜边为线段的实长,两直角边分别为线
段的投影及坐标差,如图
ab
△ Z
α
AB
a ' ' b' '
γ
△ XAB
β
△ Y
a ' b'
例 题
31
例１ α角的正确求法是 （？ ） 图
b
(a) (b) (c)
b ′
a′
a
b
α
b ′
a′
a
b
α
b ′
a
α
a′
32
例 2 已知直线 AB的水平投影 ab及 a′,且 α=30°, 用直角三角
形法完成其正面投影 。
b
a
x
a′
33
例 2 已知直线 AB的水平投影 ab及 a′,且 α=30°, 用直角三角
形法完成其正面投影 。
b′
α
作图：
讨论有多解 。
① 以 ab为直角边作直角三角
形, 求出 ΔZab
② 利用 ΔZab求 b′
b
a
x
a′
ΔZab
Zab
Zab
b′
重作
34
例 3 已知直线 AB 和 BC 对 V 面 的 倾 角 都 是
30°, 完成 a’b’,b’c’
x
b
a′
a
c
0
35
分析：
已知 ab,bc及 β=30。,
故应作出含 β的直角
三角形求解 。
例 3 已知直线 AB 和 BC 对 V 面 的 倾 角 都 是
30°, 完成 a’b’,b’c’
x
b
a′
a
c
作图：
① 利用 ΔYab及 β求
a′b′
② 利用 ΔYbc及 β求
b′c′
△ 讨论有多解 。
a’b’
60° b ′
c ′
b ’c ’
30°
0
重作
ΔYab
ΔYab
36
1,直角三角形法
三, 求一般位置线段的实长及对投影面的倾角
2,辅助投影法
当直线平行投
影面时，它在该投
影面上的投影反映
它的实长及与另外
两投影面的夹角。
辅助投影法求实
长及倾角实质就是
将线段变换为某一
投影面的平行线。
V1
X1
a1’
b1’
?
37
V1
X1
b1’
?
a1’
b1’
a’
b’
a
b
X VH
实长
α思考, 变换 H面?
X1∥ ab
a1’
38
例 4 求一般位置线段 AB的实长及其对 W面的倾角 γ，
并 AB上截取一点 E,使 AE长为 10mm。
39
例 4 求一般位置线段 AB的实长及其对 W面的倾角 γ，
并 AB上截取一点 E,使 AE长为 10mm。
a1’
b1’
γ
实长
作图
1,换面求出 AB
的实长及 γ
2,在 a1’ b1’ 上截
取 e1’,使 a1’ e1’=10,
并由 e1’返回作出
e1’’和 e1’。
e1’
e’’e’
重作
40
例 5 已知ＡＢ的实长及 a’b’,求 AB的水平投影
AB
XHV
a
a’
b’
41
例 5 已知ＡＢ的实长及 a’b’,求 AB的水平投影
AB
XHV
a
a’
b’
作图
1,将 AB变换为
水平线 (X1∥ a’b’)
2,利用 AB的实
长及 点的投影规
律求出 b1
3,求出 b
a1
b1
b讨 论
另一解 b1
B?
返回重作
42
§ 3-3 点,直线的相对位置
一、点与直线的相对位置
1、点在直线上，它的各面投影必
落在该直线的同面投影上。
2、空间点分线段的比例，等于投
影图上点分线段投影的比例。
A C,C B = a c,c b = a’c’：
c’b’
例题 1 例题 2
投影规律
43
§ 3-3 点,直线的相对位置
一、点与直线的相对位置
二、两直线的相对位置
1、两直线平行
2、两直线相交
3、两直线交叉
例题 1 例题 2
44
b’
a
a’
d’
b b
c
c’
x o
b’
a’
a
b d
c’
d’
c
两直线平行,它们的各面投影必相互平行
返回
45
返回
46
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。
o
b’
x
a’
a
b
c’
d’
d
c
1
1’(2’)
2
返回
47
? 例题 1 已知线段 AB的投影图，试将 AB分成 AC:CB=2,
1两段，求分点 C的投影。
c
c’ 1,任作一直线并三等分
2,作相似形定出 C点的水平
投影 c
3,求出 C点的水正面投影 c’
48
例题 2 已知点 C在线段 AB上，求点 C的正面投影。
ac
cb
c’
49
例题 3 试判断直线 AB,CD是否平行
X
方法一
补画第三投影,判断是否平行
a
d’
b’
a’
d
c
b
c’
d’’
b’’
a’’
c’’ 方法二
ab, cd不等于 a’b’, c’d’
结论, AB与 CD不平行
返回
50
例题 4 试作一直线 MN与 AB,CD两直线相交,且平行 EF
(m’)
a
f’ OX
e’
f
d
e
c
b
c’
(a’) b’
d’
分 析
作图步骤
（ 1）过 m’作直线 m’n’
平行 e’f’,且与 c’d’
交于 n’
n’
(2) 由 n’求得 nn
(3)过 n作 nm平行 ef,交
ab于 m,直线 MN即
为所求。
m
51
3’(4’)
3
4
1’
2’
1(2)
例题 5 判断两直线重影点的可见性
52
§ 3-4 一边平行于投影面的直角的投影
X O
c’
a’ b’
c b
a
A
C
B o
c
a′ b′
a
b
c′
x
证明：
⑴已知 AB⊥ AC,AB∥ H,则 AB⊥ Aa，则 AB⊥ 平面 AacC ;
⑵ 因 ab∥ AB，故 ab⊥ 平面 AacC，则 ab⊥ ac 。
结论,
当直角的一边平行于投影面时,该投影面上的投影反映直角 ;
反之,两直线之一平行于投影面且在该面两直线投影成直角,则
两直线在空间的夹角也一定是直角。
53
例 1.判断下列几组直线是否垂直：
a
a′
c′
c
b′
b
b′
a′
a
b c
c′
b′
a′ c′
a
b
c
a′
a
b′
b
d′
d
c′
c
a′
a
(b′
b
c d
c′ )
d′
( a )
( e )( d )
( c )( b )
54
④ 连线完成作图
o
例 2,已知侧平线 AC为菱形对角线, B点在 Z轴上, 试完成菱形的三面投影 。
c′
c
a′
a
x
YH
Yw
z
分析：
作图：
② 由于 B点在 Z轴
上, 定出 b,b′
③ 根据对角线互相
平分的特点, 求出,
d′,d
① 作出 a′′c′′，过中
点 o′′作中垂线交 OZ
于 b′′
a’’
b’’ c’’b’
b
k’
d
d’
55
§ 3-5 平面的表示法
a’
a
b’
c’
b
c
b’
a’
a
c’
b
c
b’
a’
a
c’
b
c
a’
a
b’
c’
b
c
a’
b’ c’
a
b c
d’
d
56
§ 3-6 各种位置平面的投影特性
平面可分为三类,
投影面平行面
投影面垂直面
一般位置平面
平面与 H面,V面,W面的夹角分别用希腊字母
α,β,γ表示。
57
一 投影面平行面
平行于一个投影面的平面称为投影面平行面。
正平面 侧平面水平面
投影特性：
1,a’b’c’,a’’b’’c’’积聚为一条线，且 a’b’c’∥ OX ; a’’b’’c’’∥ OY 。
2, 水平投影 abc反映 ?ABC实形
Z a’’
c
YX
a’ b’ b’’
b
a
o
Y
c’’c’
58
(1)正面投影反映实形 ;
(2)水平投影积聚为一
直线,且 //OX ;
侧面投影积聚为一直
线,且 //OZ.
(1) 侧面投影反映实形 ;
(2)正面投影积聚为一直
线且 //OZ ; 水平投影积
聚为一直线且 //YH 。
c’’YW
正
平
面
(∥ V) b
YH
Z
a’’
b’’b’
o
a’
c’
c a
X
侧平
面
(∥ W)
投影规律
59
二 投影面垂直面
垂直于一个投影面而倾斜于另外两个投影面的平
面称为投影面垂直面。 铅垂面、正垂面、侧垂面。
（ 1） 水平投影积聚为一直线,水平投影与 X的夹角反映平面 V面的夹角 β,与
YH的夹角反映平面与侧面的夹角 γ。
( 2 ) 正面投影, 侧面投影不反映实形,但为其类似形 。
投影特性,
z
yW
?
?
x
a’ b’ a’’
b
a o
yH
c
c’’c’
b’’
60
1) 正面投影积聚为
一直线与 OX夹角反
映 α,与 OZ夹角反映
γ；
（ 2） 水平投影和
侧面投影不反映实
形,但为其类似形 。
正
垂
面
(⊥ V)
YW
Z
b? b?
X
a? a?
b
a
O
YH
α
?
c?c?
c
(1) 侧面投影积聚为
一直线与 OYw的夹角
反映 α,与 OZ夹角反
映 γ；
(2) 正面投影与水平
投影不反映实形,但为
其类似形 。
侧
垂
面
(⊥ W)
a’’
zb’ b’’
YWx
a’
b
a
o
YH
α
β
c
c’ c’’
投影规律
61
三 一般位置平面
对三个投影面都处于倾斜位置的平面称为一
般位置平面。
投影特性
1, △ abc、△ a?b?c?,△ a?b?c? 均为 ? ABC的类似形。
2, 不反映 ?, ?,? 的真实角度 。
62
§ 3-7 平面上的点和线
一、平面上的点
D
E
d?
d
e?
e
在给定平面取点，可直接取自该平面上的已知直线
63
D
E
d?
e?
ed
二、平面上的直线
（ 1） 通过平面上两个已知点 ；
（ 2） 通过平面上一点,且平行于平面上的另
一已知直线
64
例 1,试判断点 K和直线 MN是否在△ ABC平面上
X
nm
c
b
a
O
b’
k
k’
n’
m’
c’a’
65
例 2,已知平面五边形 ABCDE的正面投影和水平投影 abc,
试完成五边形的水平投影。
c
b
a
b’
c’a’
d’e’
作 图
(1) 连接 a’c’,b’d’相交于
f’,求出 f ; 再连 bf并延长
求得 d ;
f’
f
d
(2) 作 e’g’∥ a’b’交 b’c’于
g’,求出 g ; 再作 ge∥ ab
并求出 e ;
g’
g
e
(3) 连接 cd,de,ea
66
三、平面上的投影面平行线
平面上平行于投影面的直线称为平面上的投影面平行
线。有三类, 面上水平线,正平线、侧平线。
V
A
B
b
a
a’
PH
面上的投影面平行
线即具有投影面平
行线的投影特性,
又必须满足直线在
平面上的条件
67
例题 1,已知 ?ABC给定一平面，试过点 C作属于该平面的正平线，
过点 A作属于该平面 的水平线 。
m?
n?
n
m
68
例题 2,已知点 E 在 ?ABC平面上，且点 E距离 H面 15，距离 V 面 10，
试求点 E的投影 。
m
n
m? n?
r s
r?
s?
10
15
e?
e
作 图
(1) 作 ?ABC距离 V面 10 的
直线 SR;
(3) MN与 SR的交点即为
所求。
(2) 作 ?ABC距离 H 面 15
的直线 MN;
69
c
§ 3-8 平面的辅助投影
一、将一般位置平面变换为投影面垂直面
分 析
将平面内的投影面平行线
变换成投影面垂直线后,平面
即变为投影面垂直面。H
1a
1
c1
b1
d1
?
d
d'
D
70
作 图
§ 3-8 平面的辅助投影
一、将一般位置平面变换为投影面垂直面
H1a
1
c1
b1
d1
?
d
d'
D
a
a’
c
b
c’
b’
X
d
d’
a1
c1
b1
β
求 α时,作从属于平面上的水平线
求 β时,作从属于平面上的正平线
求 γ时,作从属于平面上的侧平线
71
S１
例题 1 求点 S到平面 ABC的距离 SK
分 析
作 图
(1) 将△ＡＢＣ变换成
铅垂面,求出ａ 1、ｂ 1、
ｃ 1,ｓ 1 ;
(2) 求出 k1 ；
k1
(3) 求出 s’k’和 sk ；
K’
K
72
例题 2 已知 E到平面 ABC的距离为 N，求 E点的正面投影 e’。
nd'
d
e'
73
二、将投影面垂直面变换为投影面平行面
V1
X1
a
a’
c
b
b’
c’
b1’
c1’
a1’
c1’
a1’
a1’
c1’ b1’
74
例题 1 求一般位置平面△ＡＢＣ的实形。
d'
d
a2'
c2'
b2'
d1'
作 图
(１ ) 将△ＡＢＣ变换
成铅垂面,求出ａ 1、ｂ 1
、ｃ 1, d1 ;
(２ ) 将△ＡＢＣ变换
成正平面 ;
75
d'
d
a1'
c1'
b1'
d1'
15
e
e'
e1
e1'
例题 2 已知 点 E在平面 ABC上，距离 A,B为 15，求 E点的投影。
