第七章立体表面的交线
§ 7-2 相贯线
§ 7-3 立体表面交线的分析
§ 7-1 截交线
内容提纲
立体表面交线分为两类
平面和立体相交在立体表面形成交线 截交线
立体和立体相交在立体表面形成交线 相贯线
截交线 相贯线
§ 7-1平面与立体相交
§ 7-1-1 概述
§ 7-1-2 平面与平面立体相交
§ 7-1-3 平面与曲面立体相交
截交线基本性质
2 共有性,截交线即在截平面上，又在立体表面上，
是截平面与立体表面共有点的集合。
1 封闭性, 因为被截割的立体占有一定的空间，所以
截交线为封闭的平面图形。
请注意 ！
截平面 截平面
§ 7-1-1
1平面与 平面立体相交 所得截交线形状
2平面与 平面立体相交 的求法
3平面与 平面立体相交 截交线例题
§ 7-1-2 平面与平面立体相交
平面与 平面立体相交 所得截交线形状
3 截平面相对投影面有平
行,垂直,一般位置。
2 截平面由一个或多个组成
1 截交线形状是封闭的平面多边形
?平面立体是由平面所围成的,
?截交线是一个封闭的平面多边形。
?多边形的顶点是截平面与各棱线
的交点。
如图所示：平面与三棱锥相交
截交线其各边是截平
面与三棱锥各 棱面的交线,
也就是截平面与三棱锥各棱
线的 交点的连线。
截交线是一个封闭的
平面三角形。
S
A
B
C
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
求截交线的关键：
截平面与棱线的交点，截平面与棱面的交线
。
截交线的特点：
1 平面立体形体分析（棱柱，棱锥，积聚性）
2 截平面相对投影面的位置（平行，垂直）
3 截交线的空间分析及投影分析（积聚性）
4 求棱线的交点连线或求棱面的交线
(线上取点或棱面上取线）
5 检查漏线和多线
6 判断可见性
平面与 平面立体相交 的求法
截交线 投影分析,
例 7-1, 求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。
截平面
截交线空间及 投
影分析,
截平面是正垂面，
截交线在正立面内
积聚为一线
水平投影和侧面
投影是小于原形
的类似形
截交线空间是三边形
截交线的正面投影
例 7-1, 求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。
截平面
三棱锥表面上取截交
线的各顶点 Ⅰ Ⅱ Ⅲ
s'
2′
3'
1'
1
32
a' b' c'
s"
1"
2"3"
b"a" c"
S
A
B
C
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
作图步骤：
a
b
c
1,找出有积聚性的投影
2,从已知投影开始，
确定各棱线的交点 1`
2`3`。
3,用线上取点的方法求
得其余各投影。
4,连接棱面上的交线并
判断可见性。
例 7-1, 求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。
s
完成作图：将多余的线擦去，将不可见的线画成虚线。
3,截交线的空间分析及
投影分析（积聚性）
1,平面立体形体表 面性质
的分析（积聚性）
1'
2'
4'
2"
4"
1"
3"
5"
6"7"
1
2
3
4
5
（ 6）
（ 7）
（ 3 ' ）
（ 5 ' ）
6'（ 7 ' ）
例 7-2, 求四棱柱被截切截交线的投影。
侧平面
正垂面
侧平面
2,截平面相对投影面的位置
（平行，垂直）
4,求棱线的交点
连线或求棱面的
交线 ( 线上取点或
棱面上取线）
5,检查漏线和多
线,.
6,判断可见性,
分析：
作图：
例 7-3 试求正四棱锥被两平面切割后的三面投影
空间分析：
四棱锥被正垂面切割，
截交线也应是平面多边
形，其正面投影积聚为
一条线，水平投影侧面
投影小于实形的类似形
。
空间分析：
四棱锥被水平面切割，
截交线应是平面多边形
，其水平投影反映实形
。侧面投影是一条线。
5'
6'（ 8'）
7'
4'（ 3'）1' （ 2'）
例 7-3 试求正四棱锥被两平面切割后的三面投影
5'
6'（ 8'）
7'
8"
7"
6"
2" 3"
1"
4" 5"4'
（ 3'）1'
2
1
5
7
8
3
46
（ 2'）
四棱锥表面上取
截交线的各顶点
作图步骤：
1,找出有积聚性的投影
2,确定截平面的特点
，数量。
3,各棱线的交点
1,2,3,4,5,6,7,8。
3,用线上取点的方法
求得其余各投影。
4,连接棱面上的交线
并判断可见性。
s' s"
c" (d " )a" b"
sa
a' b' c'd
b
c
完成作图,
1.将各点连成线
2.检查漏线和多线
3.判断可见性
多线擦除
注意不可见的线
§ 7-1-3 平面与曲面立体相交
二, 平面与 圆柱 相交
三, 平面与 圆锥 相交
四, 平面与 圆球 相交
一, 概述
五, 综合题
一, 概述
平面与曲面立体的交线一般为封闭的平面曲线 。
截交线上的点是曲面上的素线与截平面的交点 。
曲面体 截交线的性质：
1,封闭的平面图形（曲、平线围成）。
2,截交线为立体表面和截平面的共有线。
3,截交线上的点为立体表面和截平面的共有点。
求曲面体的 截交线的方法：
找出立体表面和平面上的若干共有点，然后
依 次连线。
曲面 立 体的 截交线
求曲面体的截交线的作图步骤
1.投影分析
2.求特殊位置点
3.求一般位置点
4.连接各点
5.判断可见性
6.整理轮廓线
辅助平面
A
B
求 共有点的方法：
1,利用投影的积聚性
2,素线法
3,纬圆法
4,辅助平面
截平面
C
D
E
截平面
1 平面与圆柱相交所得截交线形状
2 圆柱截交线的求法
3 圆柱截交线例题
二,平面与 圆柱相交
1、平面与 圆柱相交所得截交线形状
一对平行直线 椭圆圆
圆柱截交线 求 共有点的方法
1、利用积聚性法
2、素线法
上一级
3 圆柱截交线例题
a
a' a"
d‘c'
3‘4
' 3"4"
d" c"
2‘1' 1"2"
b' b"
b
2
1
4
3
d
c
3
4
2
1
c
d
a
b
例 7-4 圆柱截交线 1
例 7-5 圆柱截交线 2
例 7-6 圆柱截交线 3
分析：
1,截平面数量
及相对投面影面的位置
2.截交线的空间形状及投影形状
正垂面
侧平面
水平面
正垂面
2
5
6 8
7
9
4
3
侧平面
水平面
1
（ 6`） 5'
3`
1` （ 2`）（ 4`）
7` （ 8`）
9`
例 7-6 圆柱截交线 3 作图,1.求特殊点
2.求一般点
正垂面
2
5
6
8
7
9
4
3
侧平面
水平面
1
1``
（ 6`） 5'
3`
1` （ 2`）（ 4`）
9``
7` （ 8`）
9`
1
2
3
4
5
6
7
8
例 7-6 圆柱截交线 3
2``
y
y
Y。
9
5``6``
(8``) (7``)
作图,
1.求特殊点
2.求一般点
3 判断可见性
4.检查
2
5
6
8
7
9
4
3
1
g'
1'
（ 2'）
3
4
b
（ d ‘c’f ' ）e'
4'
（ 3'）
2
b'
1
2''
1''
b''
g''
f' e'
c
d
a
e
g
a'
Y
c ''d''
f
a'
例 7-7 圆柱截交线 4 分析：
2,截平面数量
及相对位置
3.截交线的形状
1.分析形体特征
Y
作图,
1.求特殊点
2.求一般点
3 判断可见性
4.检查
b
a
g
f
e
d
c
1 4
3
2
10'
1'
（ 2'）
3
4
7
（ 6 ' 8’11 ' ）9'
4'
（ 3'）
2
7'
1
6
8
5
9
10
11
5'
例 7-7 圆柱截交线 4
Y
完成作图,
判断可见性
检查轮廓线
是否多线和漏线
b
a
g
f
e
d
c
1 4
3
2
例 7-8 圆柱截交线 5
1、平面与 圆球相交所得截交线形状
2,圆球截交线的求法
3,圆球截交线例题
三,平面与 圆球相交
1、平面与 圆球相交所得截交线形状
圆
2, 圆球上的截交线
求 共有点的方法
纬圆法
3,圆锥截交线例题、
QV
R
R
a`
a
例 7-9 圆球截交线 1
分析：
2,截平面的相
对位置
3.截交线的形状
1.分析形体特征
作图,
1.求特殊点
2.求一般点
3 判断可见性
4.检查
例 7-10 圆球截交线 2
分析：
1,截平面数量
及相对投面影面的位置
2.截交线的空间形状及投影形状
侧平面
正垂面
水平面
例 7-10 圆球截交线 2
6`(7`)
4`(5`)
2`(3`)
1`
a`
8`(9`)
10`
作图,
1.求特殊点
2.求一般点
例 7-10 圆球截交线 2
6`(7`)
4`(5`)
2`(3`)
1`
a`
8`(9`)
10`
1
2
3 5
4
9
8
6
10
a
a
7
7`` 6``
10``
9`` 8``
1``
5`` 4``
3`` 2``
作图,
1.求特殊点
2.求一般点
3 判断可见性
4.检查
例 7-10 圆球截交线 2
6`(7`)
4`(5`)
2`(3`)
1`
8`(9`)
10`
1
7`` 6``
10``
9``
1``
5`` 4``
3`` 2``
8``
注意,轮廓线多线
2
3 5
4
9
8
6
10
7 完成作图,
判断可见性
检查轮廓线
是否多线和漏线
例 7-11 圆球截交线 3
1、平面与 圆锥相交所得截交线形状
2,圆锥截交线的求法
3,圆锥截交线例题
四,平面与 圆锥相交
1 平面与 圆锥相交所得截交线形状
圆 椭圆一对相交直线
双曲线 抛物线
圆锥上的截交线
求 共有点的方法
素线法
纬圆法
3 圆锥截交线例题
例 7-12 圆锥截交线 1 分析：
2,截平面与圆锥
体及投影面相
对位置
3.截交线的形状
1.分析形体特征
作图,
1.求特殊点
2.求一般点
3 判断可见性
4.检查
例 7-13 圆锥截交线 2
RV
分析：
2,截平面与圆锥
体及投影面相
对位置
3.截交线的形状
1.分析形体特征
作图,
1.求特殊点
2.求一般点
3 判断可见性
4.检查
a
b
c
b` c`
a`
RV
1
2
b``
c``
a``
1` 2` 1`` 2``
A
1 2
m
n
m`
n` m`` n`
分析：
2,截平面与圆锥
体及投影面相
对位置
3.截交线的形状
1.分析形体特征
作图,
1.求特殊点
2.求一般点
3 判断可见性
4.检查
例 7-14 圆锥截交线 3
B
C
例 7-15 圆锥截交线 4
b
1
1`
b` b``a` a``
a2
2` 1`` 2``
例 7-16 圆锥截交线 4
分析：
2,截平面数量及
相对投影面位置
3.截交线的空间
形状及投影形状
1.分析形体特征
作图,
1.求特殊点
2.求一般点
3 判断可见性
4.检查
例 7-17 圆锥截交线 5 分析：
2,截平面数量
及相对位置
3.截交线的形状
1.分析形体特征
作图,
1.求特殊点
2.求一般点
3 判断可见性
4.检查
例 7-18 圆锥截交线 6
3'
（ 4'）
c'
（ b'）
5'
（ 6'）
a'
e'（ f'）
7'
1`（ 2'）
分析：
2,截平面数量
及相对位置
3.截交线的形状
1.分析形体特征
作图,
1.求特殊点
2.求一般点
3 判断可见性
4.检查
例 7-18 圆锥截交线 6
3'
（ 4'）
c'
（ b'）
5'
（ 6'）
a'
e'（ f'）
7'
a``
5``6``
4`` 3``
1``2``1`（ 2'）
1
2
3
4
a
f`` e`` c'b``
b
c
7``
f
e
分析：
2,截平面数量
及相对位置
3.截交线的形状
1.分析形体特征
作图,
1.求特殊点
2.求一般点
3 判断可见性
4.检查
例 7-18 圆锥截交线 6
3'
（ 4'）
c'
（ b'）
5'
（ 6'）
a'
e'（ f'）
7'
a``
5``6``
4`` 3``
1``2``1`（ 2'）
1
2
3
4
a
f`` e`` c'b``
b
c
7``
f
e
分析：
2,截平面数量
及相对位置
3.截交线的形状
1.分析形体特征
作图,
1.求特殊点
2.求一般点
3 判断可见性
4.检查
例 7-19 圆锥截交线 7
2,截平面数量
及相对位置
分析：
3.截交线的形状
1.分析形体特征
作图,在回转面上作一系列辅助纬园如图所示，
即可求出截交线上的点。
A
B
C
ca bd e
a’ b ’
c ’
d ’ e ’
D
E
五,平面与任意回转体相交
分析, 轴线垂直 H的任意回转面与 QH正平面相交
截交线的水平投影积聚在 QH上，侧面投影积聚为一条线
QH
辅助平面
分析：
2,截平面数量
及截平面与每一
个基本体及投影
面的相对位置 ;
3.截交线的空间
形状及投影形状 ;
正垂面水平面
a` (i`) h`
g`
(g`) f`
1,分析组成立体
的每一个基本体 ;
Rv
Qv
(d`) e`
b`
(c`)
(3`) 4`
2`
(1`)
六,平面与组合体相交
平面截割组合体时，这种截交线一般是
由若干段几何性质不同的曲线围成的平
面图形。
例 7-21 求作磨具顶尖的截交线
a` (c`) b`
t`
(g`) f` (i`) h`
(d`) e`
a
c`` b``
b
c
e
d
g``
f``
f
g
(i``) (h``)
t``
i
f
t
(1`) 2` 1``
2``
1
2
(4`) 3`
4``
3``
4`` 3``
作图,
1.求特殊点
2.求一般点
3 判断可见性
4.检查
例 7-21 求作磨具顶尖的截交线
平面截割组合体时，这种截交线一般是由若干段几何性
质不同的曲线围成的平面图形。
a` (c`) b`
t`
(g`) f` (i`) h`
(d`) e`
a
c`` b``
b
c
e
d
f
g
(i``) (h``)
t``
i
f
t
(4`) 3`
完成作图,
判断可见性
检查轮廓线
是否多线和漏线
例 7-21 求作磨具顶尖的截交线
例 7-22 求连杆头部的截交线 分析,连杆头部可
分为圆柱面、回转
面、球面三部分，
其中圆柱部分不产
生截交线，它们的
分界线用几何作图
方法求出。
作图,点 1为圆球
截交线与回转面截
交线的结合点，点 2
为截交线的最右点
。
圆球 回转体 圆柱
1`
3`
2`
1``
2
2``
3``
R
2`
2`
2
1`
1`
1
2``
2``
1``
1``
3
3``3``
例 7-23 分析叉形接头的截交线
作业：
P76 P77 P78