第五章 基本体和组合体的投影
圆 锥 圆 柱 圆 锥 圆 柱
基本体 —— 按一定规律形成的简单几何体。
组合体 —— 由多个基本体按一定方式组合而成的物体。
第一节 基本体及其表面上的点和线
一 平面立体
平面立体,各表面均为平面的几何体，如棱
柱、棱锥等。
二 曲面立体
曲面立体,各表面均为曲面或由平面与曲面
共同围成的几何体，如圆柱、圆锥、圆球等。
V
W
一 平面立体
1,棱 柱
(1) 棱柱的投影
空间分析
作图时，先画反映特征的水平投影，再
按投影规律完成其它两个投影。
YW
1,棱 柱
(1) 棱柱的投影
(2) 棱柱表面上的点
如图所示，已知前棱面
上的点 A的正面投影 a`，左
前棱面上的点 B的正面投影
b`，求它们的水平投影和
侧面投影。
a’b’
作图分析,
(1) 由于前棱面的水平投影和侧面投影均具有积聚性,故可直接
求出 a和 a``。
(2) 由于左前棱面只有水平投影有积聚性,故只能利用积聚性
求出 b,再根据 YH=YW,由 b和 b`求出 b``。
b
a
a’’
b’’( )
b
2,棱 锥
(1) 棱锥的投影
S
A
B
C b’’
s’’
c’
b’
s’
a’
s
c
ba
分析,
锥底面△ ABC为水平面,棱面△ SAC
为侧垂面,另外两棱面为一般位置平面。
作图,
一般先画出底面的各个
顶点的投影,再定出锥顶 S的
投影,并将锥顶与底面各顶点
的同面投影相连即可。
(2) 棱锥表面上的点和线
2,棱 锥
(1) 棱锥的投影
如图所示，已知棱面
△ SAB上点 M的正面投影
m`和棱面△ SAC上的点 N
的正面投影 n`，求作 M、
N两点的其余投影。
a`
a
c`
b
s`
b`
m`
（ n`）
a``（ c``）
s
c
b``
s``
s`
I
i
s（ 1）棱面△ SAC为侧垂面,利用积聚
性可直接求出 n``，再由 n``,n`求得 n。
（ 2） M点所在棱面△ SAB为一般位
置平面，可作辅助线的方法求解。
YW
YH
m
m`
S
A B
C
M
b``
a`
a
c`
b
s`
b`
m`
（ n`）
a``（ c``）
s
c
s``
n``
m
n
m``
i`
k
k` k``
s`
c`
b`a` b``
s``
c
b
a
s
c`` a``
n`
m`h`
n
m
m``
h
( n`` )
h``
二 曲面立体
工程上常用的曲面立体一般为 回转体 。 回转体
由回转面或回转面与平面围成。
一条动线（直线或曲线）绕一条固定的直线作
回转运动所形成的曲面称为 回转面 。
形成回转面的动线称为 母线,定直线称为 回转
轴,母线在回转面上的任一位置称为 素线,母线上
任一点的运动轨迹都是圆，称为 纬圆 。
母线 素线
回转轴
回转轴
母线
素线
圆 柱 面 圆 锥 面 圆 球 面
表 5 · 1
回转轴
母线
素线
1,圆 柱
(1) 圆柱的投影
二 曲面立体
A
A1
a(a1)
a`
a1`
a``
a1``
最左素线
最左素线的正面投影
a`
a1`
a``
a1``
a (a1)
空间分析
1,圆柱各表面的投影特性
2,圆柱的投影
3,圆柱表面上的四根特殊位置素线
(2) 圆柱表面上的点和线
1,圆 柱
(1) 圆柱的投影
例一 如下图所示,已知圆柱表面上点 A和点 B
的正面投影 a`和 b`,试求出 a和 a``及 b和 b``。
解题分析
(1) 分析基本体的投影特性
主要分析是否有积
聚性表面,图示圆柱面
为侧垂面,其侧面投影
积聚为圆周。
(2) 判定点的空间位置
A点在上半圆柱面的
前方,B点在圆柱的最前
素线上。
(3) 作图
利用积聚性直接求出
a``,再由 a`和 a`` ; b和 b``
直接投影到圆柱最前素
线的同面投影上。
YW
YH
a
a`
b`
b``
b
a``
( C`` )
C`
C
例二 如图所示,已知圆柱表面上的线 ABC的
正面投影,试求其余两面投影。
解题分析
(1) 分析基本体的投影特性
圆柱面的水平投影有积聚性
(2) 分析线的位置及投影
线 ABC位于前半个圆柱
面上,空间为一段曲线,点 A
在圆柱面的最左素线上,点
B在最前素线上
(3) 作图
·1· 利用积聚性直接求出
ABC的水平投影,再求其侧
面投影 ;
·2· 求曲线上一般点的投
影 ;
·3· 判别可见性,光滑连线。
(c``)
a`
b`
c`
a
b
c
a``
b``
1`
2`
1
1``
2
(2``)
(1) 圆锥的投影
2,圆 锥
最左素线
s`
A
a`
S
s
a
M
m
s`
a`
s
a
s``
a``
投影分析：
(1) 圆锥各表面的投影特性
(2) 圆锥的投影
(3) 圆锥表面上的四根特殊位置素线
(2) 圆锥表面上的点和线
(1) 圆锥的投影
2,圆 锥
例三 如图所示，已知圆锥面上一点 K的正面投影 k`，
求点 K的水平投影 k和侧面投影 k``。
s`
k`
s
s``
解题分析
由于圆锥面的三面投影均
无积聚性，且 K点也不在特殊
位置素线上，故必须通过作
辅助线的方法求解。
S
K
(1) 辅助素线法
作图
锥顶 S与锥面上任一
点的连线都是直线,如图
中 SK,交底圆于 M点。
(2) 辅助纬圆法
由于母线上任一点
绕轴线旋转轨迹都是垂
直于轴线的圆,图示圆锥
轴线为铅垂线,故过 K点
的辅助纬圆为水平圆,其
水平投影是圆。
(k``)
M
s`
k`
s
s``
m`
m
m``
k
S
A
BC
例四 已知圆锥面上的折线 SABC的正面投影 s`a`b`c`,
求其它两面投影。
解题分析
线段 SA过锥顶,空间为直线 ;线段 AB为曲线 ;线段 BC平
行底为一水平圆。如立体图所示。
作 图
(1) 辅助线法求出直线另一端点 A的水平及侧面投影
s`
a`
b`c`
s
a
(a``)
(2) 确定圆弧 BC的半径,求出它的水平及侧面投影
c
b
c`` b``
(3) 描点求曲线 AB的投影 (特殊点 D、一般点 E)
d`
d
d``e`
e
e``
(4) 判别可见性,依次光滑连线
(1) 圆球的投影
3,圆 球
赤道圆
侧子午线
如图所示,圆球的三面投影都是与球的
直径相等的圆,这三圆分别为球面上平行于
正面、水平面、和侧面的最大圆周的投影,
分别称为主子午线、赤道圆、侧子午线,
先确定球心
的三面投影,再画
出三个与球的直
径相等的圆,
(2) 圆球表面上的点和线
(1) 圆球的投影
3,圆 球
如图所示,已知球面上点 A的正面投影 a`,求
它的水平及侧面投影 a`和 a``.
圆球的三面投影均无积聚性,
故球面上的取点通常采用辅助纬
圆法,A点在球的左、前、上方。
(1) 过点 A作一水平辅助圆,正面
投影作过 a`的水平线段,水平投
影以线段的长 R1为半径画圆 ;
(2) 求出水平投影 a和侧面投影
a``。
R1 解题分析
作 图
a`
a``
a
4,取若干一般点 (如点 E)，求解方法
同点 B。
例五 求作立体的第三投影,并完成其表面上的点
和线的其余投影,
1 基本体及其投影特性
2 点的位置及投影特性
3 折线 BCD空间形状及
投影特性
1,点 A是主子午线上的点,可直接求
得其余两投影。
2,线段 CD是一段水平圆弧,其水平
投影反映实形,侧面投影为一段直线。
3,线段 BC是一段正垂圆弧,其水平
投影和侧面投影均为一段椭圆弧。点 C
投影已求出,再求点 B的投影。
a`
b`
c`d`
5,判别可见性，光滑连线。
解题分析
作 图
a
d
c``
a``
b
d``
c
e`
(b``)
(e``)
e
例五 求作立体的第三投影,并完成其表面上
的点和线的其余投影,
a`
b`
c`d`
a
d
c``
a``
b
d``
c
e`
(b``)
(e``)
e d’’
e’’
c’’
第二节 基本体的尺寸标注
一般情况下，长、宽、高三个尺寸都要标注，
但有些基本体的三个尺寸是互相关联的，标注时
有些变化。
15
16× 16
14
20
18(18.48)
第三节 带切口的基本体
一 带切口的棱柱
如图所示,四棱柱中间的切槽是由两个侧平面和
一个水平面切割而成。
平面 Ⅰ 为侧平面,它与四棱
柱侧面的交线为两条铅垂线
AA1,BB1。
平面 Ⅱ 为一水平面,它与
四棱柱侧面和侧平面的交线共
同围成一六边形。
Ⅱ
Ⅰ
B
B1
A
A1
作图时,先作反映切口特
征且具有积聚性的正面投影,
然后补画其它两面投影。
Ⅱ
Ⅰ
B
B1
A
A1
第三节 带切口的基本体
二 带切口的棱台
如图所示,四棱台中间的切槽是由两个侧平面和
一个水平面切割而成。
Ⅰ
Ⅱ平面 Ⅰ 为侧平面,它与前、后棱面的交线为等腰梯形的两
腰。
平面 Ⅱ 为一水平面,它与
各棱面的交线成一矩形。
Ⅰ Ⅱ
(1) 作基本体四棱台的三面投影
(2) 作切口的积聚性投影
(3) 补画切槽的侧面投影
(4) 补画切槽的水平投影
YW
YH
(5) 擦去被切割掉的轮廓线，判别可见性
AB
a``a1``
a
a1
b``b1``
Cb1
b
c
三 带切口的圆柱
Ⅱ
Ⅰ
如图所示,圆柱左侧的切槽是由一个侧平面和一
个水平面切割而成。
平面 Ⅰ 为侧平面,它与圆柱
面的交线为两条铅垂线
AA1,BB1。
平面 Ⅱ 为一水平面,它与
圆柱面的交线为圆弧。
B
B1
A
A1
作图关键是求出 AA1和 BB1
的侧面投影
B
B1
A
A1
a (a1)
A
A1
四 带切口的圆球
圆球被任何位置平面切割时,
其交线均为圆。切割平面离球心
愈近,交线圆的直径愈大。
当切割平面与某投影面平行
时,则交线在该投影面上的投影
反映圆的实形。
常见的带切口圆球图例
五 带切口基本体的尺寸标注
带切口基本体的尺寸由完整基本体尺寸和切口尺
寸组成 。
标注时,应先注出完整的基本体尺寸,再标注切口
尺寸 。
切口尺寸只需标注切割平面的定位尺寸,交线
本身不标注任何尺寸。
ф36
ф20
45
12
15
10
12
SR 36
28
18
ф