第四章
直线与平面、两平面的相对位置
§ 4-1 直线与平面平行 ? 两平面平行
§ 4-2 直线与平面的交点 ? 两平面的交线
§ 4-3 直线与平面垂直 ? 两平面垂直
内 容 提 要
§ 4-4 点、线、面综合题举例
? 本章重点讨论的三个问题：
? 1、在投影图上如何绘制及判断直线与平面和
两平面的平行问题。
? 2、如果直线与平面及两平面不平行，在投影
图上如何求其交点或交线。
? 3、在投影图上如何绘制及判断直线与平面和
两平面的垂直问题。
返回
A
B
C
E
F
a
b
c
e
f
D
d
§ 4-1 直线与平面平行 ? 两平 面平行
一,直线与平面平行
若一直线平行于某平面上的任一直线，则该
直线与平面平行。
据此可以解决,
1,作直线平行于已知平面
2,作平面平行于已知直线
3,判断直线是否于平面平行
例题 4.1 试过点 N作水平线 MN平行于 ΔABC平面
分析
作图b’
a
b
c
n
a’
c’
n’
X O
1,在 ΔABC平面上任作
一水平线 BD
2,过点 N作直线 MN平行
与直线 BD
d
m
m’ d’
直线 MN 即为所求
例题 4.2 试过点 A作平面 ΔABC平行于直线 MN
分析
作图
1,作直线 AC∥ MN
2,过点 A任作直线 AB
ΔABC 即为所求
b’
c
c’
b
m
m’
a’
n’
n
a
X O
例题 4.3 试判断直线 EF是否平行于平面 ΔABC
b’
a
b
c
e
a’
c’e’
X O
分析
作图
1,在 ΔABC平面上任作
一辅助线 CD,且使
c’d’∥ e’f’(或 cd∥ ef)
2,求出 ΔABC上的 CD直
线的另一投影 cd(或 c’d’)
因 ef不平行 cd故 EF
不平行与 ΔABC
f
f’
d ’
d
A
B
C
M
N
E
F
m
n
a
b
ce (f)
当直线与投影面垂直面平行
时,则该直线必有一个投影与平
面具有积聚性的那个投影平行,
且在平面有积聚性的那个投影
面上反映直线与平面间的真实
距离。
当直线与平面同时垂直与同
一投影面时,该直线必与该平面
平行,且在它们垂直的那个投影
面上反映它们之间的真实距离。
线面平行的特殊情况
m
n
a
b
c
e (f)
m’
n’
a’
b’
c’
e’
f’
X O
二,平面与平面平行
若一平面内两相交直线对应平行于另一平面
上的相交两直线，则这两平面相互平行。
据此可以解决,
1,作平面平行于已知平面
2,判断两是否平面平行
§ 4-1 直线与平面平行 ? 两平 面平行
一,直线与平面平行
A
B C
A1
B1 C1P
Q
例题 4.4 试作 ΔEFG∥ ΔABC平面
e’
b’
a
b
c
e
a’
c’
X O
f
f’
g
分析
作图
1,在 ΔABC内作直线
AM∥ EF,MN∥ FG
(am∥ ef,mn∥ fg)
2,求出 AM,MN的正面
投影
m
n
m’
n’
3,过 f’作 e’f’∥ a’m’、
f’g’∥ m’n’,则 ΔEFG即
为所求
g’
例题 4.5 判断 ΔEFG与 ΔABC平面是否平行
g
fa
b
c e
g’b’
c’
e’
f’
a’
X O
b’c’平行 g’f’
但 bc 不平行 gf
例题 4.5 判断 ΔEFG与 ΔABC平面是否平行
g
fa
b
c e
g’b’
c’
e’
f’
a’
X O b’a’平行 g’e’
但 ba 不平行 ge
b’c’平行 g’f’
但 bc 不平行 gf
因此,ΔEFG与
ΔABC平面不平行
例题 4.6 判断两平面是否平行
d f
g
ec
b
a
a’
f’
g’
d’b’
c’
e’
h’
h
例题 4.7 判断两平面是否平行
d
fe
c
b
a
a’
f ’
d’
b’
c’
e’
a’c’平行 d’f’
但 ac 不平行 df
例题 4.7 判断两平面是否平行
d
fe
c
b
a
a’
f ’
d’
b’
c’
e’
a’c’平行 d’f’
但 ac 不平行 df
b’c’平行 d’e’
但 bc 不平行 de
因此两平面不平行
A
B
C
G
H
E
F
e
f
a
c
b
h
若两平行平面同时垂直于同
一投影面,则它们在该平面上的
积聚性投影必然相互平行,且反
映两平行平面之间的真实距离。
面面平行的特殊情况
e
f
a
c
b
h
g
h’
f’
g’
e’b’
a’
c’
§ 4-2 直线与平面相交 ? 两平 面相交
直线与平面相交,必有一个交点,它是直线与平
面的共有点。
平面与平面相交,必有一个交线,它是两平面的
共有线。
求解交线的方法,
1,作出交线上的两个共有点
2,作出交线上的一个共有点及交线的方向
求作交点或交线的过程,
1,求出交点或交线的投影
2,判别可见性
§ 4-2 直线与平面相交 ? 两平 面相交
一,利用积聚性求交点和交线
1,一般位置直线与特殊位置平面相交
A
B
C
a
b
c
F
E
K
f
e
k
b’
a’
c’
b
a
c
e’
f’
e
f
b’
a’
c’
b
a
c
e’
f’
e
f
k
k’
作图步骤
1,利用积聚性求出 K点水平投
影 k
2,利用点在线上的投影特性求
出 K点正面投影 k ’
3,判别可见性
1
2
1’(2’)
y1＞ y2,即点 Ⅰ 在点 Ⅱ 前方，
EK正面投影可见
1
2
1’(2’)
a’
b’
c’
b
a
c
e’
f’
e
f
k
k’
作图步骤
1,利用积聚性求出 K点水平投
影 k
2,利用点在线上的投影特性求
出 K点正面投影 k ’
3,判别可见性
y1＞ y2,即点 Ⅰ 在点 Ⅱ 前方，
EK正面投影可见
§ 4-2 直线与平面相交 ? 两平 面相交
一,利用积聚性求交点和交线
1,一般位置直线与特殊位置平面相交
2,特殊位置直线与一般位置平面相交
a’
b’
c’
b
a
c
e’(f’)
e
f
k
k’
d’
d
分析
EF在正面的投影
有积聚性，故交点 K
的正面投影必与 EF的
正面投影重合，利用
面上取点的方法可求
出交点 K的水平投影
作图
a’
b’
c’
a
c
e’(f’)
e
f
k
k’
d’
d
§ 4-2 直线与平面相交 ? 两平 面相交
一,利用积聚性求交点和交线
1,一般位置直线与特殊位置平面相交
2,特殊位置直线与一般位置平面相交
3,特殊位置平面与一般位置平面相交
k
l
a’
b’
c’
b
a
c
e’
f
’
e
fd
d
’
k’
l’
V
X
O
A
B
C
E
D
F
c
a
b
e
f
d
作图步骤
1,利用积聚性求出 KL的水平
投影 kl
2,利用点在线上的投影特性求
出 K点正面投影 k ’,l’
3,判别可见性
k
l
K
L
1
2
1’(2’)
k
l
a’
b’
c’
b
a
c
e’
f’
e
fd
d’
k’
l’
§ 4-2 直线与平面相交 ? 两平 面相交
一,利用积聚性求交点和交线
1,一般位置直线与特殊位置平面相交
2,特殊位置直线与一般位置平面相交
3,特殊位置平面与一般位置平面相交
二,利用辅助平面求交点和交线
一般位置直线与一般位置平面相交
F
E
D
M
N
d
d’
a
b
f
e
b’
a’
e’
f’ B
A
M
m
n
n’
m’
k’
k
作图
判别可见性
1
1’
Z1＞ ZM,AK的水平投影 ak可见
2’(3’)
2
YⅡ ＞ YⅢ,AK的正面投影 a’k’不
可见
3
d
d’
a
b
f
e
b’
a’
e’
f’
F
E
D
M
N
B
A
M
m
n
n’
m’
k’
k
作图
判别可见性
1
1’
Z1＞ ZM,AK的水平投影 ak可见
2’(3’)
2
YⅡ ＞ YⅢ,AK的正面投影 a’k’不
可见
3
§ 4-2 直线与平面相交 ? 两平 面相交
一,利用积聚性求交点和交线
1,一般位置直线与特殊位置平面相交
2,特殊位置直线与一般位置平面相交
3,特殊位置平面与一般位置平面相交
二,利用辅助平面求交点和交线
一般位置直线与一般位置平面相交
一般位置平面与一般位置平面相交
三,利用辅助投影求交点和交线
a’
b’
c’
b
a
c
e’
f’
e
f
d’
d
d1’
f1’ e1’
a1’
b1’
c1’
n1’
l1’
l
n
n’
l’
作图步骤
1,将△ ABC变换为铅垂面
2,求出交线的辅助投影 l1’ n1’
3,求出交线的正面投影和水平
投影
4,判别可见性
a’
b’
c’
b
a
c
e’
f’
e
f
d’
d
d1’
f1’ e1’
a1’
b1’
c1’
n1’
l1’
l
n
n’
l’
1’(2’)
1
2
3 (4)
3’
4’
1,YⅠ ＞ YⅡ,AB的正面投影可见
2,ZⅢ ＞ ZⅣ,DF的水平投影可见
n’
a’
b’
c’
b
a
c
e’
f’
e
f
d’
d
d1’
f1’ e1’
a1’
b1’
c1’
n1’
k1’
k
n
n’
k’
1’(2’)
1
2
3 (4)
3’
4’
k’
d
f
g
e
c
b
a
a’
f’
g’d’
b’
c’
e’
1’
2’
2
3’
3
h’
h
例一 求作两平面的交线并判断可见性
n
m
c
b
a
a’
b’
c’
m’
n’
1’
2’
例二 求作两平
面的交线并判断
可见性
§ 4-3 直线与平面垂直 ? 两平 面垂直
一、直线与平面垂直
若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。
据此可以解决,
1,作直线垂直平面或平面
垂直直线
2,判断线面是否垂直
作 图 举 例,
若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平
面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正
平线的正面投影。
k’
l’
k
l
若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投
影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。
h
a’
c
a
c’
例题 1,平面由 ΔBDF给定，试过定点 K作平面的法线。
h’
返回
K
C
F
D
B
A
1,在△ BDF上作正平线 DC和
水平线 AB
2,作 k’h’ ⊥ d’c’; kh ⊥ ab
H
例题 2,平面由两平行线 AB,CD给定，试判断直线 MN是否垂直
于定平面。
e’ f’
e
f
1,DC为正平线,判
断 m’n’是否垂直
d’c’
2,在平面内作水平
线 EF,判断 mn是
否垂直 ef
直线 MN不垂
直给定平面
例题 3,试过定点 S作一平面垂直于已知直线 EF。
e’
s’
OX
e
f
f’
s
S
F
E
N
M
过 S点分别作正平线 SN,
水平线 SM,使 水平 SN⊥ EF
SM⊥ EF
n’
n
m
m’
§ 4-3 直线与平面垂直 ? 两平 面垂直
一、直线与平面垂直
二、平面与平面垂直
若一直线垂直于定平面
则包含该直线的所有平面都
垂直于该平面 。
据此可以解决,
1,作平面垂直平面
2,判断面面是否垂直
实质问题是作面垂
直
例题 4,平面由 ΔBDF给定，试过定点 K作平面垂直 ΔBDF 。
h
a’
c
a
h’
c’
m’
m
例题 5,判断 ΔDEF, Δ GHK是否与 ΔABC垂直。
g
h
c
a
b f
d
e
k’
h’
g’
f’
e’
d’
c’
b’
a’
m’
h
m
Δ DEF ⊥ Δ ABC Δ GHK⊥ ΔABC
§ 4-4 点线面综合题举例
画法几何问题，归纳起来大体分为 定位问题 和 度量问题 两大类。
（ 2） 空间分析
轨迹分析法 逆推法
（ 4） 解答分析
（ 3） 投影作图
（ 1） 题意分析
分析有哪些几何条件，有无几何元素在空间处于特殊位置，
明确求解的几何元素或几何量。
E
F
例题 1 过点 K作直线 KS平行于三角形 ABC并与直线 EF相交。
e’
c’
b’
a’
k’
f’
e
af
k
c
b
S
A
C
B
K
(1) 过 K作平面平行
三角形 ABC
(2) 求出 EF与辅助
平面的交点 S
s
s’
(3) 连 KS即为所求
例题 1 过点 K作直线 KS平行于三角形 ABC并与直线 EF相交。
e’
c’
b’
a’
k’
f’
e
af
k
c
b
A
C
B
E
F
M
N
K
S
例题 2,求交叉两直线 AB和 CD的公垂线 MN。
d
c
b
a
a’
d’
b’
c’
分 析
ED
C
B
A
K
M
N
d
c
b
a
a’
d’
b’
c’
A
B
C
D
m
n
N
M
a
b
c( d )
c1’
d1’
a1’
b1’
a2
b2
(d2 )c2m2
n2
n1’
m1’
m
n
n’
m’
d
c
b
a
a’
d’
b’
c’X
例题 3,求三角形 ABC及 BCD两平面之间的夹角 。
db
a
d’
c’b’
a’
c
X
A
B
C
Dθ
db
a
d’
c’b’
a’
c
X
θ
a1’
c1’( b1’) d
1’
c1’
(d1’)
b1’(a1’)
a’
b
c
d’ c’
b’
d
a
X
例题 4以 DC为直角边作等腰直角△ CDE(∠ CDE=90)且与 ABCD平
面垂直。
e1’
V
例题 5,已知等边三角形 ABC,点 C在 H面上,求此三角
形的两面投影 。
b
a
b’
a’
X
a’
b’
c’
A
B
C
b
a
b’
a’
X
a b
c
c’
1,求边 AB的实长
2,求边 AC的水平投影
3,求边 BC的水平投影
4,求 c,c’并连线