§ 7-2 立体的相贯线
1.相贯线 —— 两立体表面的交线。
2.相贯线的性质
⑴封闭性,相贯线围封闭的空间或平面的线。
⑵ 共有 性,是两立体表面的共有线，相贯线
上的点是两立体表面的共有点。
1
2
3.相贯线的分类 —— 根据 立体几何 性质
⑴ 平面立体与平面立体相 交
⑵平面立体与曲面立体相 交
⑶曲面立体与曲面立体相 交
1
2
1
21
2
两平面立体的相贯线，实质上是求 一形体各侧
棱面与另一形体各侧棱面的 交线,也可以求各侧棱对
另一形体表面的交线，然后把位于形体 1 同一侧棱
面，又位于形体 2 同一侧棱面上的两点，依次连接
起来。 故作图可归结为平面与平面立体相交的
截交线问题。
返回
1
2
两 平 面 立 体 相 交
1
2
1
2
平面立体与曲面立体相交时，相贯线由若干段平
面曲线或平面曲线和直线组成。
各段平面曲线或直线，就是平面体上各侧面截割
曲面所得的截交线。
每一段平面曲线或直线的转折点，就是平面体的
侧棱与曲面体表面的交点。
返回例题
平面立体与曲面立体相交
例题 1 平面立体与曲面立体相贯
分析,形体分析
从三面投影得形体 1是半球。形体
2是三棱柱，棱线铅垂线。从球得上
部与球相交。
相贯线分析
平面立体与曲面立体相贯，将平
面立体（三棱柱）分解成三个侧棱
平面，相贯线就是棱平面与球面的
截交线的组合 。
球面被平面截切空间的交线为圆，
其投影与投影面的相对位置有关。
平行投影面反映圆，倾斜为椭圆。
因三棱柱有积聚性故水平投影已
知。
2
1
返回
返回
例题 1 平面立体与曲面立体相贯
返回局部放大图
例题 1 平面立体与曲面立体相贯
1`(2`） （ 3`）
4` 5`
1``2``
（ 3``)
4``
5``
y
y
a` a"
a
作图步骤
（ 1） 求特殊位置点
（ 2） 求一般位置点
（ 3） 依次连接各点
（ 4） 判断可见性
（ 5） 整理轮廓线
2 3
1
4 5
6
6` 7`
7
7`
6`
作图步骤
（ 1） 求特殊位置点
（ 2） 求一般位置点
a
返回局部放大图
例题 1 平面立体与曲面立体相贯
2 3
1
1`2` 3`
4 5
5`
1``2`` 3`` 4``
5`` a"4` a`
作图步骤
（ 3） 依次连接各点
（ 4） 判断可见性
（ 5） 整理轮廓线
6
6` 7`
7
7`
6`
返回
2`
4`
1`
5`
3`a
返回
例题 1 平面立体与曲面立体相贯
2 3
1
1`2` 3`
4 5
5`
1``2`` 3``
4``
4`` a"4` a`6` 7` 7`
6
分析 整理轮廓线
a
a"
返回
例题 1 平面立体与曲面立体相贯
6` 7` 7`
6`
讨论,如果三棱柱为孔
外表面和外表面相交
a
a"
返回
例题 1 平面立体与曲面立体相贯
6` 7`
6`
讨论,如果三棱柱为孔
外表面和内表面相交
7`
返回
例题 2 平面立体与曲面立体相贯
1
1``
2``
2`
2
1`
3 3
3` 3` 3`3`
分析：
圆柱轴线为铅
垂线，水平投影
有积聚性。四棱
台每一个平面都
倾斜圆柱轴线，
故相贯线为四段
椭圆组成。
4` 4``
4
1
2
3
3
4
返回
例题 2 平面立体与曲面立体相贯
1
1``
2``
2`
2
1`
3 3
3` 3` 3`3`
讨论：
如果圆柱变为孔
4` 4``
4
1
2
3
3
4
返回
2,相贯线的三种基本形式
3、两曲面立体相贯线 的求法
4,相贯线上共有点的求法
1,两曲面立体相贯线的性质
6,例题
7,相贯线的特殊情况
两曲面立体相贯
5、求 相贯线的作图步骤
1、相贯线的性质
（ 1）, 一般情况下,相贯线为 封闭的 空间曲线。
（ 2）、相贯线是两立体表面的 共有线,相贯线上的点是
两立体表面的共有点。
返回
2,相贯线的三种基本形式
（ 1）, 两外表面相交
（ 2）, 外表面与内表面相交
（ 3）, 两内表面相交
返回
外表面和外表面相交 外表面和内表面相交 内表面和内表面相交
3、相贯线的关键
求出两曲面体表面的共有点，然后依次连线。
4、相贯线上共有点的基本求法
(2),辅助平面法
(3),辅助球面法
(1),利用曲面的积聚投影法
返回
当相交两立体之一表面的投影具有积聚性时，（如圆柱
的轴线垂直某一投影面，此圆柱体的相贯线，在该投影面有
积聚性，可利用积聚性或面上取点法作图。
5,作图步骤
（ 1） 形体分析 （ 两立体之间及立体与投影面之间的相对位置 ）
（ 2） 相贯线空间分析, 投影 分析
（ 3） 求特殊位置点
（ 4） 求一般位置点
（ 5） 依次连接各点
（ 6） 判断可见性
（ 7） 整理轮廓线
返回
（ 1）,利用曲面的积聚投影法求相贯线
例 3,求垂直相交圆柱的相贯线
分析：
直立圆柱的水平投影有积聚 性，
水平圆柱的侧面投影有积聚性，
相贯线的两面投影分别落在这
两个有积聚性的圆上，故只需求正
面投影。
作图：
1，求特殊点。
2，求一般点。
3，判别可见性。
3`
1` 2` 1``
3``
1
3
外表面和外表面相交
1
3
例 3,求垂直相交圆柱的相贯线
最
左
最
高
点
最
前
最
低
点
最
左
最
高
点
投
影
最
右
最
高
点
投
影最前最低点投影
最后最低点投影
2
4
4``
相贯线
(1)求特殊点。
由于两圆柱轴线相
交，且同时平行于正
面，故两圆柱的外形
线位于同一正平面内，
因此，它们的正面投
影的交点分别就是相
贯线上的最左点，最
右点，同时是最高点
的投影。
3`
1` 1`
2` 2`
1``
2`` 3``
1
2 3
y
y
2
y
辅助素线
相贯线
外表面和外表面相交
1
32
例 3,求垂直相交圆柱的相贯线 （ 2）求一般点。
在相贯线水平
投影上任取一点 。
（ 3）判别可见性，
按顺序 光滑连接 。
判别相贯线可见性的原则：
只有当相贯线同时位于两立
体的可见表面时，其相贯线
才是可见的。由于该两圆柱
所形成相贯形
两圆柱相交的三种形式
外表面和内表面相交
外表面和 内 表面相交
内表面和内表面相交
两圆柱相交的三种形式
挖孔后
切割后
返回
外表面和外表面相交
内表面和内表面相交
综合举例
错误的做法
错误的做法
(1)求特殊点。
由于两圆柱轴线相交，且同时平行于正面，故两圆柱的外
形线位于同一正平面内，因此，它们的正面投影的交点分别就
是相贯线上的最左点，最右点，同时是最高点的投影。
（ 2）求一般点。
在相贯线水平投影上任取一点 。
（ 3）判别可见性，按顺序 光滑连接 。
判别相贯线可见性的原则：
只有当相贯线同时位于两立体的可见表面时，其相贯线才
是可见的。由于该两圆柱所形成相贯形
例 3,求垂直相交圆柱的相贯线
利用辅助平面法求相贯线，就是利用辅助平面与参
加相贯的两曲面立体相交，各得一截交线，而这两截交
线的交点，就是所求相贯线上的点。
（ 2）, 辅助平面法
A
B
辅助平面
辅助平面
A
B
A
B
甲立体表面
辅助平面 R
乙立体表面
截交线
截交线
两截交线的
交点即为
甲面
R面
乙面
共点
为了作图简便和准确，在
选取辅助平面时，应尽量使
辅助平面与两曲面立体的截
交线的投影都是 直线或圆 。
常用的辅助平面
为投影面的 平行面或
垂直面,要使辅助平面
与两立体表面交线的
投影为直线或圆。
交
线
是
平
行
两
直
线
交
线
是
圆
Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅳ
辅助平面法原理
辅助平面
常用的辅助平面为投影面的平行面或垂直面,要
使辅助平面与两立体表面交线的投影为直线或圆。
（ 2）, 辅助平面法举例
返回
1` 2`
1
2
2
2``2`` 1``
1`
1 2
最
左
最
高
点
最
前
最
低
点
最
左
最
高
点
投
影
最
右
最
高
点
投
影最前最低点投影
最后最低点投影
例 4：求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线
(1)求特殊点。
1` 2`
1
2
2
2``2`` 1``
1`
Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅳ
例 4,求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线 （ 2）求一般点。
2
2
2``2``
1``
交
线
是
平
行
两
直
线
交
线
是
圆
Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅳ
例 4,求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线
RV
2`5` 6`
4
5
7
6
5``4``
1` 1`
1
Y
Y
（ 2）求一般点。
例 4,求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线 讨论,相贯线的变化
（ 1）当圆锥向下延伸。
（ 2）当圆柱逐渐变小。
例 4,求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线 讨论,相贯线的变
化：
（ 1）当圆锥向下延伸。
例 4,求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线 讨论,相贯线的变
化 （ 1）当圆锥成为孔。
例 4,求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线 讨论,相贯线的变
化：
（ 2）当圆柱逐渐变小。
例 4,求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线 讨论,相贯线的变
化,
（ 2）当圆柱逐渐变小。
例, 求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线
化,
（ ）当圆柱逐渐变小。
例 4,求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线例, 求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线 讨论,相贯线的变
化
（ 2）当圆柱变为孔
返回
5、例题
3
3
3`
1``
3`` 3``
2
1` 2`
1
1
3
2
例 5,求两轴线斜交圆柱的相贯线
Y
3`4` 5`
1`` 4``
3`` 3``
2
1` 2`
1
Y
Y
4 5
3
3
1
3
2
4
5
例 5,求两轴线斜交圆柱的相贯线
4
5
Y
4` 5`
4``2`
Y
Y
4 5
例 5,求两轴线斜交圆柱的相贯线
分析：
两圆柱交叉相交其相贯
线为空间曲线，其水平投
影及侧面投影与圆柱的投
影重合为一段圆弧。故只
求作相贯线的正面投影。
由于两圆柱的水平投影
左右对称，侧面投影上下
对称。故相贯线的正面投
影上下、左右对称。
作图：
1.求特殊点
垂直圆柱的水平投影中
标注特殊点。先确定转向
轮廓线上的点。
点 2,6为最左最右点。点
1,7为最前点,4点为最后
点。点 3,5为最高点。
2.求一般点
利用辅助正平面 R，与
圆柱面的截交线正面投影
为两条平行的直线，该两
截交线的交点就是相贯线
上的点。
3.判别可见性,并将各点
的同面投影依次光滑地连
接起来，即得相贯线。
4.补全外形线，完成作图
返回
1
5
4
3
7
2 6
1``
(6``)
2``3``
(7``)
(5``)
4``
RH
RW
Y
Y
ba
a``
例 6,求两轴线交叉圆柱的相贯线
返回
1``
(6``)
2``3``
(7``)
(5``)
4``
1
23 4
6
6 5
1
5
4
7
2
3
RH
RW
Y
Y
ba
a``
形体的前面
形体的后面
1` 7`
2` 6`
3` 5`4`
a` b` A
B
例 6,求两轴线交叉圆柱的相贯线
返回
1
23 46 5
形体的前面
形体的后面
例 6,求两轴线交叉圆柱的相贯线
1``
(6``)
2``
3``
(7``)
(5``)
4``
6
1
5
4
7
2
3
RHY ba
a``
1` 7`
2` 6`
3` 5`4`
a` b` 3`
2`
1.相贯线 —— 两立体表面的交线。
2.相贯线的性质
⑴封闭性,相贯线围封闭的空间或平面的线。
⑵ 共有 性,是两立体表面的共有线，相贯线
上的点是两立体表面的共有点。
1
2
3.相贯线的分类 —— 根据 立体几何 性质
⑴ 平面立体与平面立体相 交
⑵平面立体与曲面立体相 交
⑶曲面立体与曲面立体相 交
1
2
1
21
2
两平面立体的相贯线，实质上是求 一形体各侧
棱面与另一形体各侧棱面的 交线,也可以求各侧棱对
另一形体表面的交线，然后把位于形体 1 同一侧棱
面，又位于形体 2 同一侧棱面上的两点，依次连接
起来。 故作图可归结为平面与平面立体相交的
截交线问题。
返回
1
2
两 平 面 立 体 相 交
1
2
1
2
平面立体与曲面立体相交时，相贯线由若干段平
面曲线或平面曲线和直线组成。
各段平面曲线或直线，就是平面体上各侧面截割
曲面所得的截交线。
每一段平面曲线或直线的转折点，就是平面体的
侧棱与曲面体表面的交点。
返回例题
平面立体与曲面立体相交
例题 1 平面立体与曲面立体相贯
分析,形体分析
从三面投影得形体 1是半球。形体
2是三棱柱，棱线铅垂线。从球得上
部与球相交。
相贯线分析
平面立体与曲面立体相贯，将平
面立体（三棱柱）分解成三个侧棱
平面，相贯线就是棱平面与球面的
截交线的组合 。
球面被平面截切空间的交线为圆，
其投影与投影面的相对位置有关。
平行投影面反映圆，倾斜为椭圆。
因三棱柱有积聚性故水平投影已
知。
2
1
返回
返回
例题 1 平面立体与曲面立体相贯
返回局部放大图
例题 1 平面立体与曲面立体相贯
1`(2`） （ 3`）
4` 5`
1``2``
（ 3``)
4``
5``
y
y
a` a"
a
作图步骤
（ 1） 求特殊位置点
（ 2） 求一般位置点
（ 3） 依次连接各点
（ 4） 判断可见性
（ 5） 整理轮廓线
2 3
1
4 5
6
6` 7`
7
7`
6`
作图步骤
（ 1） 求特殊位置点
（ 2） 求一般位置点
a
返回局部放大图
例题 1 平面立体与曲面立体相贯
2 3
1
1`2` 3`
4 5
5`
1``2`` 3`` 4``
5`` a"4` a`
作图步骤
（ 3） 依次连接各点
（ 4） 判断可见性
（ 5） 整理轮廓线
6
6` 7`
7
7`
6`
返回
2`
4`
1`
5`
3`a
返回
例题 1 平面立体与曲面立体相贯
2 3
1
1`2` 3`
4 5
5`
1``2`` 3``
4``
4`` a"4` a`6` 7` 7`
6
分析 整理轮廓线
a
a"
返回
例题 1 平面立体与曲面立体相贯
6` 7` 7`
6`
讨论,如果三棱柱为孔
外表面和外表面相交
a
a"
返回
例题 1 平面立体与曲面立体相贯
6` 7`
6`
讨论,如果三棱柱为孔
外表面和内表面相交
7`
返回
例题 2 平面立体与曲面立体相贯
1
1``
2``
2`
2
1`
3 3
3` 3` 3`3`
分析：
圆柱轴线为铅
垂线，水平投影
有积聚性。四棱
台每一个平面都
倾斜圆柱轴线，
故相贯线为四段
椭圆组成。
4` 4``
4
1
2
3
3
4
返回
例题 2 平面立体与曲面立体相贯
1
1``
2``
2`
2
1`
3 3
3` 3` 3`3`
讨论：
如果圆柱变为孔
4` 4``
4
1
2
3
3
4
返回
2,相贯线的三种基本形式
3、两曲面立体相贯线 的求法
4,相贯线上共有点的求法
1,两曲面立体相贯线的性质
6,例题
7,相贯线的特殊情况
两曲面立体相贯
5、求 相贯线的作图步骤
1、相贯线的性质
（ 1）, 一般情况下,相贯线为 封闭的 空间曲线。
（ 2）、相贯线是两立体表面的 共有线,相贯线上的点是
两立体表面的共有点。
返回
2,相贯线的三种基本形式
（ 1）, 两外表面相交
（ 2）, 外表面与内表面相交
（ 3）, 两内表面相交
返回
外表面和外表面相交 外表面和内表面相交 内表面和内表面相交
3、相贯线的关键
求出两曲面体表面的共有点，然后依次连线。
4、相贯线上共有点的基本求法
(2),辅助平面法
(3),辅助球面法
(1),利用曲面的积聚投影法
返回
当相交两立体之一表面的投影具有积聚性时，（如圆柱
的轴线垂直某一投影面，此圆柱体的相贯线，在该投影面有
积聚性，可利用积聚性或面上取点法作图。
5,作图步骤
（ 1） 形体分析 （ 两立体之间及立体与投影面之间的相对位置 ）
（ 2） 相贯线空间分析, 投影 分析
（ 3） 求特殊位置点
（ 4） 求一般位置点
（ 5） 依次连接各点
（ 6） 判断可见性
（ 7） 整理轮廓线
返回
（ 1）,利用曲面的积聚投影法求相贯线
例 3,求垂直相交圆柱的相贯线
分析：
直立圆柱的水平投影有积聚 性，
水平圆柱的侧面投影有积聚性，
相贯线的两面投影分别落在这
两个有积聚性的圆上，故只需求正
面投影。
作图：
1，求特殊点。
2，求一般点。
3，判别可见性。
3`
1` 2` 1``
3``
1
3
外表面和外表面相交
1
3
例 3,求垂直相交圆柱的相贯线
最
左
最
高
点
最
前
最
低
点
最
左
最
高
点
投
影
最
右
最
高
点
投
影最前最低点投影
最后最低点投影
2
4
4``
相贯线
(1)求特殊点。
由于两圆柱轴线相
交，且同时平行于正
面，故两圆柱的外形
线位于同一正平面内，
因此，它们的正面投
影的交点分别就是相
贯线上的最左点，最
右点，同时是最高点
的投影。
3`
1` 1`
2` 2`
1``
2`` 3``
1
2 3
y
y
2
y
辅助素线
相贯线
外表面和外表面相交
1
32
例 3,求垂直相交圆柱的相贯线 （ 2）求一般点。
在相贯线水平
投影上任取一点 。
（ 3）判别可见性，
按顺序 光滑连接 。
判别相贯线可见性的原则：
只有当相贯线同时位于两立
体的可见表面时，其相贯线
才是可见的。由于该两圆柱
所形成相贯形
两圆柱相交的三种形式
外表面和内表面相交
外表面和 内 表面相交
内表面和内表面相交
两圆柱相交的三种形式
挖孔后
切割后
返回
外表面和外表面相交
内表面和内表面相交
综合举例
错误的做法
错误的做法
(1)求特殊点。
由于两圆柱轴线相交，且同时平行于正面，故两圆柱的外
形线位于同一正平面内，因此，它们的正面投影的交点分别就
是相贯线上的最左点，最右点，同时是最高点的投影。
（ 2）求一般点。
在相贯线水平投影上任取一点 。
（ 3）判别可见性，按顺序 光滑连接 。
判别相贯线可见性的原则：
只有当相贯线同时位于两立体的可见表面时，其相贯线才
是可见的。由于该两圆柱所形成相贯形
例 3,求垂直相交圆柱的相贯线
利用辅助平面法求相贯线，就是利用辅助平面与参
加相贯的两曲面立体相交，各得一截交线，而这两截交
线的交点，就是所求相贯线上的点。
（ 2）, 辅助平面法
A
B
辅助平面
辅助平面
A
B
A
B
甲立体表面
辅助平面 R
乙立体表面
截交线
截交线
两截交线的
交点即为
甲面
R面
乙面
共点
为了作图简便和准确，在
选取辅助平面时，应尽量使
辅助平面与两曲面立体的截
交线的投影都是 直线或圆 。
常用的辅助平面
为投影面的 平行面或
垂直面,要使辅助平面
与两立体表面交线的
投影为直线或圆。
交
线
是
平
行
两
直
线
交
线
是
圆
Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅳ
辅助平面法原理
辅助平面
常用的辅助平面为投影面的平行面或垂直面,要
使辅助平面与两立体表面交线的投影为直线或圆。
（ 2）, 辅助平面法举例
返回
1` 2`
1
2
2
2``2`` 1``
1`
1 2
最
左
最
高
点
最
前
最
低
点
最
左
最
高
点
投
影
最
右
最
高
点
投
影最前最低点投影
最后最低点投影
例 4：求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线
(1)求特殊点。
1` 2`
1
2
2
2``2`` 1``
1`
Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅳ
例 4,求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线 （ 2）求一般点。
2
2
2``2``
1``
交
线
是
平
行
两
直
线
交
线
是
圆
Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅳ
例 4,求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线
RV
2`5` 6`
4
5
7
6
5``4``
1` 1`
1
Y
Y
（ 2）求一般点。
例 4,求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线 讨论,相贯线的变化
（ 1）当圆锥向下延伸。
（ 2）当圆柱逐渐变小。
例 4,求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线 讨论,相贯线的变
化：
（ 1）当圆锥向下延伸。
例 4,求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线 讨论,相贯线的变
化 （ 1）当圆锥成为孔。
例 4,求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线 讨论,相贯线的变
化：
（ 2）当圆柱逐渐变小。
例 4,求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线 讨论,相贯线的变
化,
（ 2）当圆柱逐渐变小。
例, 求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线
化,
（ ）当圆柱逐渐变小。
例 4,求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线例, 求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线 讨论,相贯线的变
化
（ 2）当圆柱变为孔
返回
5、例题
3
3
3`
1``
3`` 3``
2
1` 2`
1
1
3
2
例 5,求两轴线斜交圆柱的相贯线
Y
3`4` 5`
1`` 4``
3`` 3``
2
1` 2`
1
Y
Y
4 5
3
3
1
3
2
4
5
例 5,求两轴线斜交圆柱的相贯线
4
5
Y
4` 5`
4``2`
Y
Y
4 5
例 5,求两轴线斜交圆柱的相贯线
分析：
两圆柱交叉相交其相贯
线为空间曲线，其水平投
影及侧面投影与圆柱的投
影重合为一段圆弧。故只
求作相贯线的正面投影。
由于两圆柱的水平投影
左右对称，侧面投影上下
对称。故相贯线的正面投
影上下、左右对称。
作图：
1.求特殊点
垂直圆柱的水平投影中
标注特殊点。先确定转向
轮廓线上的点。
点 2,6为最左最右点。点
1,7为最前点,4点为最后
点。点 3,5为最高点。
2.求一般点
利用辅助正平面 R，与
圆柱面的截交线正面投影
为两条平行的直线，该两
截交线的交点就是相贯线
上的点。
3.判别可见性,并将各点
的同面投影依次光滑地连
接起来，即得相贯线。
4.补全外形线，完成作图
返回
1
5
4
3
7
2 6
1``
(6``)
2``3``
(7``)
(5``)
4``
RH
RW
Y
Y
ba
a``
例 6,求两轴线交叉圆柱的相贯线
返回
1``
(6``)
2``3``
(7``)
(5``)
4``
1
23 4
6
6 5
1
5
4
7
2
3
RH
RW
Y
Y
ba
a``
形体的前面
形体的后面
1` 7`
2` 6`
3` 5`4`
a` b` A
B
例 6,求两轴线交叉圆柱的相贯线
返回
1
23 46 5
形体的前面
形体的后面
例 6,求两轴线交叉圆柱的相贯线
1``
(6``)
2``
3``
(7``)
(5``)
4``
6
1
5
4
7
2
3
RHY ba
a``
1` 7`
2` 6`
3` 5`4`
a` b` 3`
2`
