力学概述
以牛顿定律为基础的力学理论叫牛顿力学
或经典力学。它曾经被尊为完美的理论而兴盛
了约三百年。在 20世纪初,虽然发现了它的局限
性，在高速领域为相对论所取代,在微观领域为
量子力学所取代，但在一般的技术领域,包括机
械制造、土木建筑，甚至航空航天技术中，经
典力学仍保持着充沛的活力而起着基础理论的
作用。 它的这种实用性是我们要学习经典力学
的一个重要原因。
由于经典力学是最早形成的物理理论，后
来的许多理论，包括相对论和量子力学的形成
都受到它的影响。后者的许多概念和思想都是
经典力学概念和思想的发展或改造。 经典力学
在一定意义上是整个物理学的基础。 这是我们
要学习经典力学的另一个重要原因。
力学部分主要讲述经典力学的基础，包括
质点力学 和部分 刚体力学 。着重阐明 动量, 角
动量 和 能量 诸概念及相应的 守恒定律 。
引言
?机械运动 是最 简单，最常见的运动形式。
?机械运动,物体相对位置或自身各部分的相对
位置发生变化的运动。
?机械运动的基本形式,平动 和 转动
平动, 物体上任两点间的连线恒保持平行的运动。
定轴转动, 各点绕一固定轴作圆周运动的运动。
§ 1-1 质点运动的描述
一 参考系 质点
1 参考系
选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不
同，这就是运动描述的相对性,
坐标系 —— 为了定量的描述物体的运动，在选
定的参考系上建立的带有标尺的数学坐标,简称坐
标系。坐标系是固结于参考系上的一个数学抽象。
参考系 —— 为了描述一个物体的运动而选定的
另一个作为参考的物体，叫参考系。任何实物物
体均可被选作参考系。
x
y
z
o
p
r
直角坐标 极坐标系
O
极轴
径向 角向
r
?
P
自然坐标系
O
n?
??
P
常见的坐标系,直角坐标系，极坐标系，柱坐标系,
球坐标系，自然坐标 …..,
质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模
型, 目的是为了突出研究对象的主要性质,暂不考
虑一些次要的因素,
如果我 们研究某一物体的运动，而可以忽略其
大小和形状对物体运动的影响，若不涉及物体的转
动和形变，我们就可以把物体当作是一个具有质量
的点（即 质点 ）来处理,
2 质点
二 位置矢量 运动方程 位移
1 位置矢量
r?
* P
x
y
z x
z
y
o
j ?
i?
k?kzjyixr
???? ???
2 2 2r r x y z? ? ? ?
位矢 的值为 r?
确定质点 P某一时刻在
坐标系里的位置的物理量称
位置矢量,简称位矢, r?
式中,, 分别为 x,y,z
方向的单位矢量,
i? j? k?
(矢量运算法则,见附录 )
rx??c o s
rz??c o s
ry??c o s
位矢 的方向余弦
r?
P
P
r?
?
?
?
x
z
y
o
x
z
y
o
)(tr?
)(tx
)(ty
)(tz
位矢 具有 相对性, 选取不
同的坐标系，位矢 不同。 r
?
r?
位矢 具有 瞬时性, 质点运动
时，不同时刻位矢 不同，质
点在空间位置是随时间变化的，
即 是时间 的函数
r?
r?
r?
t
P
P
r?
?
?
?
x
z
y
o
x
z
y
o
2 运动方程
)(tr?
)(tx
)(ty
)(tz
在直角坐标系中，质点运动方程的具
体形式为,
)( trr ?? ?
随时间变化的函数 称为
质点的 运动方程
r?
)(tr?
从中消去参数 得轨迹方程
0),,( ?zyxf
t
ktzjtyitxtr ???? )()()()( ???
)( txx ?
)( tyy ?
)( tzz ?
分量式
3 位移
x
y
o
B
Br
Ar
A r??
Ar
B
Br
A r??
x
y
o
BxAx
AB xx ?
By
Ay
AB yy ?
rrr AB ???? ??? AB rrr ??? ????
经过时间间隔 后,质点位置矢量发生变化,由
始点 A 指向终点 B 的有向线段 AB 称为点 A 到 B 的
位移矢量, 位移矢量也简称位移,
t?
r??
222 zyxr ??????? ?
位移的大小为
Ar
B
Br
A r??
x
y
o
BxAx
AB xx ?
By
Ay
AB yy ?
jyixr AAA ??? ??
jyixr BBB ??? ??
jyyixxr ABAB ??? )()( ?????
AB rrr
??? ???所以位移
若质点在 三维 空间中运动,
则在直角坐标系 中其位
移为
Oxyz
kzzjyyixxr ABABAB ???? )()()( ???????
4 路程（ ）, 质点实际运动轨迹的长度, s?
又
222 zyxr ??????? ?
rr ??? ?
2
1
2
1
2
1 zyx ???
2
2
2
2
2
2 zyx ??
?? r
位移的物理意义
A) 确切反映物体在空
间位置的变化,与路径无关，
只决定于质点的始末位置,
B） 反映 了运动的矢量
性和叠加性,
s?
),,( 1111 zyxP
),,( 2222 zyxP
)( 1tr?
1P
)( 2tr?
2Pr??
注意 位矢长度的变化
x
y
O
z
r?
kzjyixr ???? ???????
位移与路程
（ B） 一般情况,位移
大小不等于路程,
r s? ? ?
（ D）位移是矢量,路程是标量,
s?
)( 1tr?
1p
)( 2tr?
2pr??
x
y
O
z
's?
（ C）什么情况？ sr ??? ?
不改变方向的直线运动 ; 当 时, 0?? t sr ??? ?
讨论
（ A） P1P2 两点间的路程
是 不唯一的,可以是 或
而位移 是唯一的, r??
s?
's?
解,(1) 先写参数方程
?
?
?
??
?
22
2
ty
tx
消去 t 得轨迹方程,
4
2
2x
y ??
(2) 位置矢量,
t = 0时,x = 0 y= 2
t = 2时,x = 4 y = -2
jir
jr
???
??
24
2
???
?
例 1.已知：质点的运动方程
jtitr ??? )2(2 2???
求,(1) 质点的轨迹；
(2) t = 0s 及 t = 2s 时,质点的位置矢量。
(3) 从 t = 0s 到 t = 2s 时,质点的位移。
(SI)
抛物线
4
2
2x
y ??
jir
jr
???
??
24
2
???
?
位置矢量的大小,
( m )47.4)2(4
( m )2
22
???????
??
rr
rr
?
?
位置矢量的方向,
2326
4
2
a r c t g
90
0
2
a r c t g
???
?
???
??
?
?
?
?
?
?
轴之间的夹角与
轴夹角与
xr
xr
o
y
x
Q
r?
r??
P 2
-2
4
??
?
三 速度
1 平均速度
)()( trttrr ??? ?????
在 时间内,质点从点
A 运动到点 B,其位移为
t?
t? 时间内,质点的平均速度
j
t
y
i
t
x ????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
t
r
v
r??
)( ttr ???
B
)(tr?
A
x
y
o
s?
速度 是描写质点位置变化快慢和方向的物理量，是 矢量 。
速率 是描写质点运动路程随时间变化快慢的物理量，是 标量 。
t? 时间内,质点的平均速度
平均速度 与 同方向, r??v
j
t
y
i
t
x ????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
t
r
v
平均速度大小 22 )()(
t
y
t
x
?
?
?
?
?
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ji yx ??? vvv ??或
r??
)( ttr ???
B
)(tr?
A
x
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s?
平均速率
s
t
?
?
?
v
r??
)( ttr ???
B
)(tr?
A
x
y
o
s?
一般情况下,
vv?
因为
sr? ? ?
平均速度 反映了质点在一段时间内平均每单位时
间所发生的 位移。
平均速率 反映了质点在一段时间内平均每单位时
间运动的 路程。
2 瞬时速度
速度的方向,当质点做曲线运动时,质点在某一点的
速度方向就是沿该点曲线的切线方向,(思考,为什么 )
当 时平均速度的极限值叫做瞬时速度,
简称速度 (利用了微分的思想 )
0?? t
j
t
yi
t
x
tt
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?
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???? 00
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t
r
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v
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若质点在 三维 空间中运动,其速度为
k
t
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t
yi
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d
d
d
d
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瞬时速率 (速率 )
0
d
l i m
dt
ss
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??
?
v
2 2 2d d d( ) ( ) ( )
d d d
x y z
t t t
? ? ?v速度的大小
sr dd ??当 时,0?? t
0
l i m
t
r
vv
t??
?
? ? ?
?
即 瞬时速度的大小等于瞬时速率。
讨论
一运动质点在某瞬时位于矢径 的端点
处，其速度大小为
),( yxr?
t
r
d
d
t
r
d
d?（ A） （ B） （ ）（ ）
t
r
d
d ? 22 )
d
d()
d
d(
t
y
t
x ?（ C） （ D）
例 2 设质点的运动方程为
其中
（ 1）求 时的速度,（ 2） 作出质点的运动轨迹图,
( ) ( ) ( ),r t x t i y t j??
1( ) ( 1 m s ) 2 m,x t t?? ? ? 221
4( ) ( m s ) 2 m,y t t
?? ? ?
3st ?
解 （ 1）由题意可得速度分量分别为
12d d 11 m s,( m s )
d d 2xy
xy
t
tt
??? ? ? ? ? ?vv
11( 1 m s ) ( 1, 5 m s )ij??? ? ? ?v
3st ? 时速度为
速度 与 轴之间的夹角
v x
?3.56
1
5.1a r c ta n ???
（ 2） 运动方程 1( ) ( 1 m s ) 2 mx t t?? ? ?
221
4( ) ( m s ) 2 my t t
?? ? ?
由运动方程消去参数 可得轨迹方程为 t
/mx
/my
0
轨迹图
2 4 6 - 6 - 4 - 2
2
4
6
0?t s2?ts2??t
s4??t s4?t
m3)m
4
1( 21- ??? xxy
例 3 如图所示,A,B 两物体由一长为 的刚性
细杆相连,A,B 两物体可在光滑轨道上滑行,如物体
A以恒定的速率 向左滑行,当 时,物体 B的
速率为多少？
l
v 60? ?
解 建立坐标系如图,
OAB为一直角三角形，刚性细杆的长度 l 为一常量
x
y
o
A
B
l
?
v?
物体 A 的速度
ii
t
x
ixA
????
vvv ????
d
d
物体 B 的速度
j
t
y
iyB
???
d
d
?? vv
y?2 2 2x = l
x
y
o
A
B
l
?
v?
两边求导得
0
d
d2
d
d2 ??
t
yy
t
xx
即
t
x
y
x
t
y
d
d
d
d ??
j
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B
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y
x
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??? ?t a n,
d
d
v?
jB ?? ?t a nvv ??
Bv
沿 轴正向,当 时 y 1, 7 3?
Bvv
?60??
1） 平均加速度
Bv
B
Av
Bv
?v
与 同方向, ?va
（反映速度变化快慢的物理量）
x
y
O
a
t
?
?
?
v
单位时间内的速度增
量即平均加速度
2）（瞬时）加速度
0
d
l i m
dt
a
tt??
?
??
?
vv
四 加速度
Av
A
x y za a i a j a k? ? ?
2
2
2
2
2
2
dd
dd
d d
dd
dd
dd
x
x
y
y
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y
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tt
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z
z
v
v
vz
加速度大小
222
x y za a a a? ? ?
2
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v加速度 j
t
i
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d
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加速度大小 22
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?
质点作三维运动时加速度为
吗？
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( ) ( )t t t? ? ? ? ?v v v
a c c b? ? ?v
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?v
O
a
b
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讨论
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有 cbv ??
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速度方向变化 ac?? nv?
速度大小变化 cb??
tv
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( d )tt?v
讨论
( ) ( d )t t t??vv
因为
d
0
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v所以
0aa??
而
例 匀速率圆周运动
所以
t
a
d
d v?
思考,加速度的方向指向曲线凹还是凸的一侧?为什么?
)(ta?)(tr?
求导 求导
积分 积分 ()tv
质点运动学两类基本问题
一 由质点的运动方程可以求得质点在任一时
刻的位矢、速度和加速度； （前面的例 1，例 2）
二 已知质点的加速度以及初始速度和初始
位置,可求质点速度及其运动方程,（下页的例 4）
1d ( 1, 0 s )
d
a
t
?? ? ?v v
解：由加速度定义
例 4 有 一个球体在某液体中竖直下落,其初速度
为,它的加速度为
问 （ 1）经过多少时间后可以认为小球已停止运动,
1
0 ( 1 0 m s ) j
???v 1( 1, 0 s )aj ??? v
0v
y
o
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v v
v
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0
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?? vv ty t ty ded 0 )(- 1, 0 s00 -1?? ? v
（ 2）此球体在停止运动前经历的路程有多长？
t)s0.1(
0
1
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m]e1[10 )s0.1( 1 ty ????
0
/my
/st
10
-1/ m s?v
0v
0 /st
9, 2 s,0,1 0 mty? ? ?v
2, 3 4, 6 6, 9 9, 2
8, 9 9 7 4 9, 8 9 9 5 9, 9 8 9 9 9, 9 9 9 0
v 0 /1 0v
/st
/my
0 /1 0 0v 0 /1 0 0 0v 0 / 1 0 0 0 0v
t)s0.1(
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? vv m]e1[10 )0.1(
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以牛顿定律为基础的力学理论叫牛顿力学
或经典力学。它曾经被尊为完美的理论而兴盛
了约三百年。在 20世纪初,虽然发现了它的局限
性，在高速领域为相对论所取代,在微观领域为
量子力学所取代，但在一般的技术领域,包括机
械制造、土木建筑，甚至航空航天技术中，经
典力学仍保持着充沛的活力而起着基础理论的
作用。 它的这种实用性是我们要学习经典力学
的一个重要原因。
由于经典力学是最早形成的物理理论，后
来的许多理论，包括相对论和量子力学的形成
都受到它的影响。后者的许多概念和思想都是
经典力学概念和思想的发展或改造。 经典力学
在一定意义上是整个物理学的基础。 这是我们
要学习经典力学的另一个重要原因。
力学部分主要讲述经典力学的基础，包括
质点力学 和部分 刚体力学 。着重阐明 动量, 角
动量 和 能量 诸概念及相应的 守恒定律 。
引言
?机械运动 是最 简单，最常见的运动形式。
?机械运动,物体相对位置或自身各部分的相对
位置发生变化的运动。
?机械运动的基本形式,平动 和 转动
平动, 物体上任两点间的连线恒保持平行的运动。
定轴转动, 各点绕一固定轴作圆周运动的运动。
§ 1-1 质点运动的描述
一 参考系 质点
1 参考系
选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不
同，这就是运动描述的相对性,
坐标系 —— 为了定量的描述物体的运动，在选
定的参考系上建立的带有标尺的数学坐标,简称坐
标系。坐标系是固结于参考系上的一个数学抽象。
参考系 —— 为了描述一个物体的运动而选定的
另一个作为参考的物体，叫参考系。任何实物物
体均可被选作参考系。
x
y
z
o
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直角坐标 极坐标系
O
极轴
径向 角向
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自然坐标系
O
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常见的坐标系,直角坐标系，极坐标系，柱坐标系,
球坐标系，自然坐标 …..,
质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模
型, 目的是为了突出研究对象的主要性质,暂不考
虑一些次要的因素,
如果我 们研究某一物体的运动，而可以忽略其
大小和形状对物体运动的影响，若不涉及物体的转
动和形变，我们就可以把物体当作是一个具有质量
的点（即 质点 ）来处理,
2 质点
二 位置矢量 运动方程 位移
1 位置矢量
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确定质点 P某一时刻在
坐标系里的位置的物理量称
位置矢量,简称位矢, r?
式中,, 分别为 x,y,z
方向的单位矢量,
i? j? k?
(矢量运算法则,见附录 )
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位矢 的方向余弦
r?
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位矢 具有 相对性, 选取不
同的坐标系，位矢 不同。 r
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位矢 具有 瞬时性, 质点运动
时，不同时刻位矢 不同，质
点在空间位置是随时间变化的，
即 是时间 的函数
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2 运动方程
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在直角坐标系中，质点运动方程的具
体形式为,
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随时间变化的函数 称为
质点的 运动方程
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0),,( ?zyxf
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分量式
3 位移
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经过时间间隔 后,质点位置矢量发生变化,由
始点 A 指向终点 B 的有向线段 AB 称为点 A 到 B 的
位移矢量, 位移矢量也简称位移,
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位移的大小为
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若质点在 三维 空间中运动,
则在直角坐标系 中其位
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4 路程（ ）, 质点实际运动轨迹的长度, s?
又
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1 zyx ???
2
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位移的物理意义
A) 确切反映物体在空
间位置的变化,与路径无关，
只决定于质点的始末位置,
B） 反映 了运动的矢量
性和叠加性,
s?
),,( 1111 zyxP
),,( 2222 zyxP
)( 1tr?
1P
)( 2tr?
2Pr??
注意 位矢长度的变化
x
y
O
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位移与路程
（ B） 一般情况,位移
大小不等于路程,
r s? ? ?
（ D）位移是矢量,路程是标量,
s?
)( 1tr?
1p
)( 2tr?
2pr??
x
y
O
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's?
（ C）什么情况？ sr ??? ?
不改变方向的直线运动 ; 当 时, 0?? t sr ??? ?
讨论
（ A） P1P2 两点间的路程
是 不唯一的,可以是 或
而位移 是唯一的, r??
s?
's?
解,(1) 先写参数方程
?
?
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?
22
2
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消去 t 得轨迹方程,
4
2
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(2) 位置矢量,
t = 0时,x = 0 y= 2
t = 2时,x = 4 y = -2
jir
jr
???
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24
2
???
?
例 1.已知：质点的运动方程
jtitr ??? )2(2 2???
求,(1) 质点的轨迹；
(2) t = 0s 及 t = 2s 时,质点的位置矢量。
(3) 从 t = 0s 到 t = 2s 时,质点的位移。
(SI)
抛物线
4
2
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位置矢量的大小,
( m )47.4)2(4
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位置矢量的方向,
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轴之间的夹角与
轴夹角与
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三 速度
1 平均速度
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在 时间内,质点从点
A 运动到点 B,其位移为
t?
t? 时间内,质点的平均速度
j
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A
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s?
速度 是描写质点位置变化快慢和方向的物理量，是 矢量 。
速率 是描写质点运动路程随时间变化快慢的物理量，是 标量 。
t? 时间内,质点的平均速度
平均速度 与 同方向, r??v
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y
i
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平均速度大小 22 )()(
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平均速率
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B
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A
x
y
o
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一般情况下,
vv?
因为
sr? ? ?
平均速度 反映了质点在一段时间内平均每单位时
间所发生的 位移。
平均速率 反映了质点在一段时间内平均每单位时
间运动的 路程。
2 瞬时速度
速度的方向,当质点做曲线运动时,质点在某一点的
速度方向就是沿该点曲线的切线方向,(思考,为什么 )
当 时平均速度的极限值叫做瞬时速度,
简称速度 (利用了微分的思想 )
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j
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若质点在 三维 空间中运动,其速度为
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瞬时速率 (速率 )
0
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0
l i m
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即 瞬时速度的大小等于瞬时速率。
讨论
一运动质点在某瞬时位于矢径 的端点
处，其速度大小为
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t
r
d
d
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r
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t
r
d
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d
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d
d(
t
y
t
x ?（ C） （ D）
例 2 设质点的运动方程为
其中
（ 1）求 时的速度,（ 2） 作出质点的运动轨迹图,
( ) ( ) ( ),r t x t i y t j??
1( ) ( 1 m s ) 2 m,x t t?? ? ? 221
4( ) ( m s ) 2 m,y t t
?? ? ?
3st ?
解 （ 1）由题意可得速度分量分别为
12d d 11 m s,( m s )
d d 2xy
xy
t
tt
??? ? ? ? ? ?vv
11( 1 m s ) ( 1, 5 m s )ij??? ? ? ?v
3st ? 时速度为
速度 与 轴之间的夹角
v x
?3.56
1
5.1a r c ta n ???
（ 2） 运动方程 1( ) ( 1 m s ) 2 mx t t?? ? ?
221
4( ) ( m s ) 2 my t t
?? ? ?
由运动方程消去参数 可得轨迹方程为 t
/mx
/my
0
轨迹图
2 4 6 - 6 - 4 - 2
2
4
6
0?t s2?ts2??t
s4??t s4?t
m3)m
4
1( 21- ??? xxy
例 3 如图所示,A,B 两物体由一长为 的刚性
细杆相连,A,B 两物体可在光滑轨道上滑行,如物体
A以恒定的速率 向左滑行,当 时,物体 B的
速率为多少？
l
v 60? ?
解 建立坐标系如图,
OAB为一直角三角形，刚性细杆的长度 l 为一常量
x
y
o
A
B
l
?
v?
物体 A 的速度
ii
t
x
ixA
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vvv ????
d
d
物体 B 的速度
j
t
y
iyB
???
d
d
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y?2 2 2x = l
x
y
o
A
B
l
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v?
两边求导得
0
d
d2
d
d2 ??
t
yy
t
xx
即
t
x
y
x
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d
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x
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d
d
v?
jB ?? ?t a nvv ??
Bv
沿 轴正向,当 时 y 1, 7 3?
Bvv
?60??
1） 平均加速度
Bv
B
Av
Bv
?v
与 同方向, ?va
（反映速度变化快慢的物理量）
x
y
O
a
t
?
?
?
v
单位时间内的速度增
量即平均加速度
2）（瞬时）加速度
0
d
l i m
dt
a
tt??
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?
vv
四 加速度
Av
A
x y za a i a j a k? ? ?
2
2
2
2
2
2
dd
dd
d d
dd
dd
dd
x
x
y
y
x
a
tt
y
a
tt
a
tt
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??
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z
z
v
v
vz
加速度大小
222
x y za a a a? ? ?
2
2
dd
dd
r
a
tt
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v加速度 j
t
i
t
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d
d
d vv
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加速度大小 22
0
lim yx
t
aa
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?
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v
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质点作三维运动时加速度为
吗？
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a c c b? ? ?v
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?v
O
a
b
c
讨论
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oaoc ?在 Ob上截取
有 cbv ??
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速度方向变化 ac?? nv?
速度大小变化 cb??
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d
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v问 吗？
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讨论
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因为
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0
d t
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v所以
0aa??
而
例 匀速率圆周运动
所以
t
a
d
d v?
思考,加速度的方向指向曲线凹还是凸的一侧?为什么?
)(ta?)(tr?
求导 求导
积分 积分 ()tv
质点运动学两类基本问题
一 由质点的运动方程可以求得质点在任一时
刻的位矢、速度和加速度； （前面的例 1，例 2）
二 已知质点的加速度以及初始速度和初始
位置,可求质点速度及其运动方程,（下页的例 4）
1d ( 1, 0 s )
d
a
t
?? ? ?v v
解：由加速度定义
例 4 有 一个球体在某液体中竖直下落,其初速度
为,它的加速度为
问 （ 1）经过多少时间后可以认为小球已停止运动,
1
0 ( 1 0 m s ) j
???v 1( 1, 0 s )aj ??? v
0v
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（ 2）此球体在停止运动前经历的路程有多长？
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1
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10
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9, 2 s,0,1 0 mty? ? ?v
2, 3 4, 6 6, 9 9, 2
8, 9 9 7 4 9, 8 9 9 5 9, 9 8 9 9 9, 9 9 9 0
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