ch8-1
第八章
ch8-2§ 8.1 假设检验的基本概念
假设检验是指施加于一个或多个总体
的概率分布或参数的假设, 所作的假设可
以是正确的,也可以是错误的,
为判断所作的假设是否正确,从总体
中抽取样本,根据样本的取值,按一定的
原则进行检验,然后,作出接受或拒绝所
作假设的决定,
何为 假设检验?
ch8-3
假设检验所以可行,其理论背景为实际
推断原理,即, 小概率原理,
假设检验的内容
参数检验
（ § 8.2）
非参数检验
总体均值,均值差的检验
总体方差,方差比的检验
分布拟合检验（ § 8.3）
符号检验
秩和检验
假设检验的理论依据
ch8-4
引例 1 某产品出厂检验规定, 次品率 p不
超过 4%才能出厂, 现从一万件产品中任意
抽查 12件发现 3件次品,问该批产品能否出
厂？若抽查结果发现 1件次品,问能否出厂？
01.00 0 9 7.0)1()3( 9331212 ???? ppCP
代入04.0?p解 假设
0,0 4,p ?
04.0?p
这是 小概率事件,一般在一次试验中
是不会发生的,现一次试验竟然发生,故认
为原假设不成立,即该批产品次品率,
则该批产品不能出厂,
ch8-5
这不是 小概率事件,没理由拒绝原假设,
从而接受原假设,即该批产品可以出厂,
3.0306.0)1()1( 11111212 ???? ppCP
若不采用假设检验,按理也不能够出厂,
注 04.0083.0
12
1 ??直接算
ch8-6
对总体 提出假设 1~ ( ; ) ( 1 ),0,1xxX f x p p p x?? ? ?
04.0:;04.0,10 ?? pHpH
要求利用样本观察值
)13(
12
1
orx
i
i ??
?
对提供的信息作出接受 (可出厂 ),还
是接受 (不准出厂 ) 的判断,
0H
1H
),,,( 1221 xxx ?
出厂检验问题的数学模型
ch8-7
某厂生产的螺钉,按标准强度为
68/mm2,而实际生产的强度 X 服 N(?,3.62 ),
若 E(X)=?=68,则认为这批螺钉符合要求,否
则认为不符合要求,为此提出如下假设,
H0, ? = 68 称为 原假设 或 零假设
原假设的对立面,
H1, ?? 68 称为 备择假设
现从生产的螺钉中抽取容量为 36的样
本,其均值为,问原假设是否正确?5.68?x5.68?x
引例 2
ch8-8
若原假设正确,则 )36
6.3,68(~ 2NX
故
6
6.3
68?X
取较大值是小概率事件,
因而 68)( ?XE,即 X 偏离 不应该太远,
偏离较远是小概率事件,由于
68 ~ ( 0,1 )
3,6 / 6
X N?
ch8-9
规定 ?为小概率事件的概率大小,通常取
? = 0.05,0.01,…
68
3,6 / 6
X
Pc ?
???
?? ??
??
例如,取 ? = 0.05,则
96.10 2 5.0
2
??? ? zzc
因此,可以确定一个常数 c,使得
ch8-10
68
1,9 6
3,6 / 6
X ?
?由
为检验的 接受域 (实际上没理由拒绝 ),
现 5.68?x 落入接受域,则接受原假设
8 2 4.66
18.69
?
?
X
X 或
而区间 ( ??,66.824 ) 与 ( 69.18,+? )
为检验的 拒绝域
称 的取值区间X ( 66.824,69.18 )
H0:? = 68
ch8-11
由引例 2可见,在给定 ?的前提下,
接受还是拒绝原假设完全取决于样本
值,因此所作检验可能导致以下两类
错误的产生：
第一类错误 弃真错误
第二类错误 取伪错误
ch8-12
正确
正确
第一类错误
(弃真 )第二类错误
(取伪 )
假设检验的两类错误
犯第一类错误的概率通常记为 ?
犯第二类错误的概率通常记为 ?
H0 为真
H0 为假
真实情况
所作判断 接受 H
0 拒绝 H0
ch8-13任何检验方法都不能完全排除犯错
假设检验的指导思想是控制犯第一类
误的可能性,理想的检验方法应使犯两类
错误的概率都很小,但在样本容量给定的
情形下,不可能使两者都很小,降低一个,
往往使另一个增大,
错误的概率不超过 ?,然后,若有必要,通
过增大样本容量的方法来减少 ?,
ch8-14
P(拒绝 H0|H0为真 )
若 H0为真,则 2~ ( 6 8,3, 6 / 3 6 )XN
所以,拒绝 H0 的概率为 ?,?又称为 显
著性水平,? 越大,犯第一类错误的概
率越大,即越显著,
引例 2中,犯第一类错误的概率
05.0?? ?
)18.698 2 4.66( ???? XXP
ch8-15
H0不真,即 ?? 68,?可能小于 68,也可能大 于
68,? 的大小取决于 ? 的真值的大小,
0 8 5 3.09 1 4 7.01)37.1()3.5( ???????
下面计算犯第二类错误的概率 ?
设
? =P(接受 H0|H0不真 )
?
?
??
?
? ????
?
??
?
? ???
6.0
6682.66
6.0
6618.69
)6618.6982.66(66 ????? ?? ? XP
26 6,3 6,~ ( 6 6,3, 6 / 3 6 )n X N? ??
ch8-16
若
6177.00002.06179.0
)63.3()3.0(
6.0
6982.66
6.0
6918.69
)6918.6982.66(
69
???
?????
?
?
?
?
?
? ?
???
?
?
?
?
? ?
??
????
?
??
?
XP
取伪的概率较大,
26 9,3 6,~ ( 6 9,3, 6 / 3 6 )n X N? ??
ch8-17
60 6 2, 5 65 6 7, 5 70 7 2, 5 75
0, 0 2
0, 0 4
0, 0 6
0, 0 8
0, 1
0, 1 2
6 7, 5 70 7 2, 5 75 7 7, 5 80 8 2, 5
0, 0 2
0, 0 4
0, 0 6
0, 0 8
0, 1
0, 1 2
?/2?/2
?
H0 真
H0 不真
ch8-18
仍取 ?=0.05,则
96.1025.0
2
??? zzc ?
68
1,9 6
3,6 / 8
X ?
?由 可以确定拒绝域为
( ??,67.118 ) 与 ( 68.882,+? )
因此，接受域为 (67.118,68.882)
现增大样本容量,取 n = 64,? = 66,则
2~ ( 6 6,3, 6 / 6 4 )XN
ch8-19
0 8 5 3.00 0 6 4.09 9 3 6.01
)49.2()4.6(
????
????
6177.03936.0
)6988.6812.67(69
??
????? ?? ? XP
)1,( 0 ???? ???
?
?
?
?
?
? ?
???
?
?
?
?
? ?
??
????
?
45.0
6612.67
45.0
6688.68
)66882.68118.67(
66
??
?
XP
ch8-20
当样本容量确定后,犯两类错误的命题
概率不可能同时减少,
01100,;,????? ??? HH
此时犯 第二类错误的概率为
)( 00 伪接受 HHP?? )( 10 ??? ???? kXP
)( 01 kXP H ??? ? ))(( 0111 ??? ????? kXP H
)
)(
(
001
011
nn
H
kX
P
??
??? ??
?
?
? ))((
0
01
n
k
?
?? ????
证 设 在水平 给定下,检验假设),(~ 20??NX ?
ch8-21
?
? zk
n
0?
)(
0
01
n
z
??
?? ?
??
)(
2
1
2
2
?
?
?
? zdxe x
z
???? ?
?
???
又
)( 01
0
01
0
??
?
??
????? ?????
?
??
n
zzzz
n
即
由此可见,当 n 固定时
1) 若 ??????? ??
?? zz
2) 若 ??????? ??
?? zz
(见注 )
证毕,
ch8-22
注
)()()( 11 ??? zzzXP ??????? ???
)(1)1(1 1 ??? ?? ?????? zXP
从而
当 时
1?? ? )/,(~ 201 nNX ??
)1,0(~
/0
1 NX
n
X ?
?
?
?
?
ch8-23一般,作假设检验时,先控制犯第一
类错误的概率 ?,在此基础上使 ? 尽量
地小,要降低 ? 一般要增大样本容量,
当 H0不真时,参数值越接近真值,? 越大,
备择假设可以是单侧,也可以双侧,
原假设 H0, ? = 68； 备择假设 H1, ? > 68
注 1o
注 2o
引例 2中的备择假设是双侧的,若根据以
往生产情况,?0=68.现采用了新工艺,关
心的是新工艺能否提高螺钉强度,?越大
越好,此时,可作如下的假设检验,
ch8-24当 原假设 H
0, ? = ?0 = 68 为真时,
0??X
取较大值的概率较小
当 备择假设 H1,? > 68 为真时,
0??X
取较大值的概率较大
给定显著性水平 ?,根据 ??
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
z
n
X
P
0
可确定拒绝域
),( 0 ????
n
zx
?
? ?
ch8-25
),( 0
n
zx ?? ?????因而,接受域
称这种检验为右边检验,
原假设 H0,? ? 68
备择假设 H1,? > 68
??? ?)(,),(~
2
XE
n
NX
另外,可设
若原假设正确,则 ??
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
z
n
X
P
ch8-26
但现不知 ? 的真值,只知 ? ? ?0 = 68
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ?
?
?
?
z
n
X
z
n
X 0
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
z
n
X
P
0
—— 小概率事件
故取拒绝域 ),(
0 ??? nz
??
?
显著性水平不超过 ?
ch8-27
关于零假设与备择假设的选取
H0与 H1地位应平等,但在控制犯第一类
错误的概率 ? 的原则下,使得采取拒
绝 H0 的决策变得较慎重,即 H0 得到特
别的保护,
因而,通常把有把握的、有经验的结论
作为原假设,或者尽可能使后果严重的
错误成为第一类错误,
注 3o
ch8-28
假设检验步骤 (三部曲 )
其中
?? ?? )( VVP
? 根据实际问题所关心的内容,建立 H0与 H1
?在 H0为真时,选择合适的统计量 V,由 H1确
给定显著性水平 ?,其对应的拒绝域
)()( 221 ?? VVVV ??? ?双侧检验
)( 1 ??? VV左边检验
定拒绝域形式
? 根据样本值计算,并作出相应的判断,
右边检验 )( ?VV ?
第八章
ch8-2§ 8.1 假设检验的基本概念
假设检验是指施加于一个或多个总体
的概率分布或参数的假设, 所作的假设可
以是正确的,也可以是错误的,
为判断所作的假设是否正确,从总体
中抽取样本,根据样本的取值,按一定的
原则进行检验,然后,作出接受或拒绝所
作假设的决定,
何为 假设检验?
ch8-3
假设检验所以可行,其理论背景为实际
推断原理,即, 小概率原理,
假设检验的内容
参数检验
（ § 8.2）
非参数检验
总体均值,均值差的检验
总体方差,方差比的检验
分布拟合检验（ § 8.3）
符号检验
秩和检验
假设检验的理论依据
ch8-4
引例 1 某产品出厂检验规定, 次品率 p不
超过 4%才能出厂, 现从一万件产品中任意
抽查 12件发现 3件次品,问该批产品能否出
厂？若抽查结果发现 1件次品,问能否出厂？
01.00 0 9 7.0)1()3( 9331212 ???? ppCP
代入04.0?p解 假设
0,0 4,p ?
04.0?p
这是 小概率事件,一般在一次试验中
是不会发生的,现一次试验竟然发生,故认
为原假设不成立,即该批产品次品率,
则该批产品不能出厂,
ch8-5
这不是 小概率事件,没理由拒绝原假设,
从而接受原假设,即该批产品可以出厂,
3.0306.0)1()1( 11111212 ???? ppCP
若不采用假设检验,按理也不能够出厂,
注 04.0083.0
12
1 ??直接算
ch8-6
对总体 提出假设 1~ ( ; ) ( 1 ),0,1xxX f x p p p x?? ? ?
04.0:;04.0,10 ?? pHpH
要求利用样本观察值
)13(
12
1
orx
i
i ??
?
对提供的信息作出接受 (可出厂 ),还
是接受 (不准出厂 ) 的判断,
0H
1H
),,,( 1221 xxx ?
出厂检验问题的数学模型
ch8-7
某厂生产的螺钉,按标准强度为
68/mm2,而实际生产的强度 X 服 N(?,3.62 ),
若 E(X)=?=68,则认为这批螺钉符合要求,否
则认为不符合要求,为此提出如下假设,
H0, ? = 68 称为 原假设 或 零假设
原假设的对立面,
H1, ?? 68 称为 备择假设
现从生产的螺钉中抽取容量为 36的样
本,其均值为,问原假设是否正确?5.68?x5.68?x
引例 2
ch8-8
若原假设正确,则 )36
6.3,68(~ 2NX
故
6
6.3
68?X
取较大值是小概率事件,
因而 68)( ?XE,即 X 偏离 不应该太远,
偏离较远是小概率事件,由于
68 ~ ( 0,1 )
3,6 / 6
X N?
ch8-9
规定 ?为小概率事件的概率大小,通常取
? = 0.05,0.01,…
68
3,6 / 6
X
Pc ?
???
?? ??
??
例如,取 ? = 0.05,则
96.10 2 5.0
2
??? ? zzc
因此,可以确定一个常数 c,使得
ch8-10
68
1,9 6
3,6 / 6
X ?
?由
为检验的 接受域 (实际上没理由拒绝 ),
现 5.68?x 落入接受域,则接受原假设
8 2 4.66
18.69
?
?
X
X 或
而区间 ( ??,66.824 ) 与 ( 69.18,+? )
为检验的 拒绝域
称 的取值区间X ( 66.824,69.18 )
H0:? = 68
ch8-11
由引例 2可见,在给定 ?的前提下,
接受还是拒绝原假设完全取决于样本
值,因此所作检验可能导致以下两类
错误的产生：
第一类错误 弃真错误
第二类错误 取伪错误
ch8-12
正确
正确
第一类错误
(弃真 )第二类错误
(取伪 )
假设检验的两类错误
犯第一类错误的概率通常记为 ?
犯第二类错误的概率通常记为 ?
H0 为真
H0 为假
真实情况
所作判断 接受 H
0 拒绝 H0
ch8-13任何检验方法都不能完全排除犯错
假设检验的指导思想是控制犯第一类
误的可能性,理想的检验方法应使犯两类
错误的概率都很小,但在样本容量给定的
情形下,不可能使两者都很小,降低一个,
往往使另一个增大,
错误的概率不超过 ?,然后,若有必要,通
过增大样本容量的方法来减少 ?,
ch8-14
P(拒绝 H0|H0为真 )
若 H0为真,则 2~ ( 6 8,3, 6 / 3 6 )XN
所以,拒绝 H0 的概率为 ?,?又称为 显
著性水平,? 越大,犯第一类错误的概
率越大,即越显著,
引例 2中,犯第一类错误的概率
05.0?? ?
)18.698 2 4.66( ???? XXP
ch8-15
H0不真,即 ?? 68,?可能小于 68,也可能大 于
68,? 的大小取决于 ? 的真值的大小,
0 8 5 3.09 1 4 7.01)37.1()3.5( ???????
下面计算犯第二类错误的概率 ?
设
? =P(接受 H0|H0不真 )
?
?
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6.0
6682.66
6.0
6618.69
)6618.6982.66(66 ????? ?? ? XP
26 6,3 6,~ ( 6 6,3, 6 / 3 6 )n X N? ??
ch8-16
若
6177.00002.06179.0
)63.3()3.0(
6.0
6982.66
6.0
6918.69
)6918.6982.66(
69
???
?????
?
?
?
?
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???
?
?
?
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?
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XP
取伪的概率较大,
26 9,3 6,~ ( 6 9,3, 6 / 3 6 )n X N? ??
ch8-17
60 6 2, 5 65 6 7, 5 70 7 2, 5 75
0, 0 2
0, 0 4
0, 0 6
0, 0 8
0, 1
0, 1 2
6 7, 5 70 7 2, 5 75 7 7, 5 80 8 2, 5
0, 0 2
0, 0 4
0, 0 6
0, 0 8
0, 1
0, 1 2
?/2?/2
?
H0 真
H0 不真
ch8-18
仍取 ?=0.05,则
96.1025.0
2
??? zzc ?
68
1,9 6
3,6 / 8
X ?
?由 可以确定拒绝域为
( ??,67.118 ) 与 ( 68.882,+? )
因此，接受域为 (67.118,68.882)
现增大样本容量,取 n = 64,? = 66,则
2~ ( 6 6,3, 6 / 6 4 )XN
ch8-19
0 8 5 3.00 0 6 4.09 9 3 6.01
)49.2()4.6(
????
????
6177.03936.0
)6988.6812.67(69
??
????? ?? ? XP
)1,( 0 ???? ???
?
?
?
?
?
? ?
???
?
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?
?
? ?
??
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45.0
6612.67
45.0
6688.68
)66882.68118.67(
66
??
?
XP
ch8-20
当样本容量确定后,犯两类错误的命题
概率不可能同时减少,
01100,;,????? ??? HH
此时犯 第二类错误的概率为
)( 00 伪接受 HHP?? )( 10 ??? ???? kXP
)( 01 kXP H ??? ? ))(( 0111 ??? ????? kXP H
)
)(
(
001
011
nn
H
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P
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0
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n
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证 设 在水平 给定下,检验假设),(~ 20??NX ?
ch8-21
?
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n
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)( 01
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0
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?
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n
zzzz
n
即
由此可见,当 n 固定时
1) 若 ??????? ??
?? zz
2) 若 ??????? ??
?? zz
(见注 )
证毕,
ch8-22
注
)()()( 11 ??? zzzXP ??????? ???
)(1)1(1 1 ??? ?? ?????? zXP
从而
当 时
1?? ? )/,(~ 201 nNX ??
)1,0(~
/0
1 NX
n
X ?
?
?
?
?
ch8-23一般,作假设检验时,先控制犯第一
类错误的概率 ?,在此基础上使 ? 尽量
地小,要降低 ? 一般要增大样本容量,
当 H0不真时,参数值越接近真值,? 越大,
备择假设可以是单侧,也可以双侧,
原假设 H0, ? = 68； 备择假设 H1, ? > 68
注 1o
注 2o
引例 2中的备择假设是双侧的,若根据以
往生产情况,?0=68.现采用了新工艺,关
心的是新工艺能否提高螺钉强度,?越大
越好,此时,可作如下的假设检验,
ch8-24当 原假设 H
0, ? = ?0 = 68 为真时,
0??X
取较大值的概率较小
当 备择假设 H1,? > 68 为真时,
0??X
取较大值的概率较大
给定显著性水平 ?,根据 ??
?
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0
可确定拒绝域
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ch8-25
),( 0
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zx ?? ?????因而,接受域
称这种检验为右边检验,
原假设 H0,? ? 68
备择假设 H1,? > 68
??? ?)(,),(~
2
XE
n
NX
另外,可设
若原假设正确,则 ??
?
? ?
?
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ch8-26
但现不知 ? 的真值,只知 ? ? ?0 = 68
?
?
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X
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0
—— 小概率事件
故取拒绝域 ),(
0 ??? nz
??
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显著性水平不超过 ?
ch8-27
关于零假设与备择假设的选取
H0与 H1地位应平等,但在控制犯第一类
错误的概率 ? 的原则下,使得采取拒
绝 H0 的决策变得较慎重,即 H0 得到特
别的保护,
因而,通常把有把握的、有经验的结论
作为原假设,或者尽可能使后果严重的
错误成为第一类错误,
注 3o
ch8-28
假设检验步骤 (三部曲 )
其中
?? ?? )( VVP
? 根据实际问题所关心的内容,建立 H0与 H1
?在 H0为真时,选择合适的统计量 V,由 H1确
给定显著性水平 ?,其对应的拒绝域
)()( 221 ?? VVVV ??? ?双侧检验
)( 1 ??? VV左边检验
定拒绝域形式
? 根据样本值计算,并作出相应的判断,
右边检验 )( ?VV ?
