ch8-1§ 8.2 正态总体的参数检验
拒绝域的推导
设 X ~N (?? ?2),?2 已知，需检验：
H0, ?? ?0 ； H1, ???0
构造统计量 )1,0(~0 N
n
X
U
?
??
?
给定 显著性水平 ?与样本值 (x1,x2,…,xn )
一个正态总体
（ 1）关于 ? 的检验
ch8-2
P(拒绝 H0|H0为真 )
0H 0H
)( 00 ??? ???? kXP )( 0
0 kXP H ???
)( 0
0
n
k
n
X
P H
??
?
?
?
? ?
?
?
? ??
?
? )(
20
0 Z
n
X
P H
n
Zk ??
2
?取
所以本检验的拒绝域为
?0：
2
?zU ?
U 检验法
ch8-3
???0 ???0
???0
???0
? < ?0
? > ?0
2
?zU ?
?zU ??
?zU ?
U 检验法 (?2 已知 )
原假设
H0
备择假设
H1
检验统计量及其
H0为真时的分布 拒绝域
)1,0(~
0
N
n
XU
?
???
ch8-4
???0 ???0
???0
???0
2
?tT ?
? < ?0
? > ?0
?tT ?
?tT ??
)1(~
0
?
?
?
nt
n
S
X
T
?
T 检验法 (?2 未知 )
原假设
H0
备择假设
H1
检验统计量及其
H0为真时的分布 拒绝域
ch8-5
例 1 某厂生产小型马达,说明书上写着,
这种小型马达在正常负载下平均消耗电
流不会超过 0.8 安培,
现随机抽取 16台马达试验,求得平均
消耗电流为 0.92安培,消耗电流的标准
差为 0.32安培,
假设马达所消耗的电流服从正态分
布,取显著性水平为 ? = 0.05,问根据这
个样本,能否否定厂方的断言?
解 根据题意待检假设可设为
ch8-6
H0, ?? 0.8 ； H1, ? > 0.8
?未知,故 选检验统计量,
~ ( 15 )
/ 16
X
TT
S
??
?
查表得 t0.05(15) = 1.753,故拒绝域为
??? 7 5 3.1
/
8.0
ns
x 94.0
4
32.07 5 3.18.0 ???x
现
94.092.0 ??x
故接受原假设,即不能否定厂方断言,
ch8-7解二 H
0, ?? 0.8 ； H1, ? < 0.8
选用统计量,
~ ( 15 )
/ 16
X
TT
S
??
?
查表得 t0.05(15) = 1.753,故拒绝域
???? 7 5 3.1
/
8.0
ns
x
66.0
4
32.0753.18.0 ???x
现 66.092.0 ??x
故接受原假设,即否定厂方断言,
ch8-8
由例 1可见, 对问题的提法不
同 (把哪个假设作为原假设 ),统计
检验的结果也会不同,
上述两种解法的立场不同，因此
得到不同的结论,
第一种假设是不轻易否定厂方的结论；
第二种假设是不轻易相信厂方的结论,
ch8-9
由于假设检验是控制犯第一类错
误的概率,使得拒绝原假设 H0 的决策
变得比较慎重,也就是 H0 得到特别的
保护, 因而,通常把有把握的,经验的
结论作为原假设,或者尽量使后果严
重的错误成为第一类错误,
ch8-10
? 2?? 02 ? 2>? 02 )(22 n
??? ?
? 2<? 02 )(2
1
2 n
??? ??
? 2?? 02
? 2=? 02 ? 2?? 02
原假设
H0
备择假设
H1
检验统计量及其在
H0为真时的分布 拒绝域
检验法2?
( ? 已知 )
)(~
)(
2
2
0
1
2
2
n
X
n
i
i
?
?
?
?
?
?
?
? )(
)(
22
2
1
2
2
2
n
n
?
?
??
??
?
?
?
或
（ 2）关于 ? 2 的检验
ch8-11
? 2?? 02 ? 2>? 02 )1(22 ?? n
???
? 2<? 02 )1(2
1
2 ??
? n???
? 2?? 02
? 2=? 02 ? 2?? 02
)1(
)1(
22
2
1
2
2
2
??
?? ?
n
n
?
?
??
??
或
原假设
H0
备择假设
H1
检验统计量及其在
H0为真时的分布 拒绝域
)1(~
)1(
2
2
0
2
2
?
?
?
n
Sn
?
?
?
( ? 未知 )
ch8-12
例 2 某汽车配件厂在新工艺下
对加工好的 25个活塞的直径进行测量,
得样本方差 S2=0.00066.已知老工艺生
产的活塞直径的方差为 0.00040,问
进一步改革的方向应如何？ ( P.244 例 6 )
解 一般进行工艺改革时,若指标
的方差显著增大,则改革需朝相反方
向进行以减少方差；若方差变化不显
著,则需试行别的改革方案,
ch8-13设测量值
),(~ 2??NX 0 0 0 4 0.02 ??
需考察改革后活塞直径的方差是否不
大于改革前的方差？故待检验假设可
设为：
H0, ? 2 ?0.00040 ; H1, ? 2 > 0.00040.
此时可采用效果相同的单边假设检验
H0, ? 2 =0.00040 ； H1, ? 2> 0.00040.
ch8-14
取统计量 )1(~)1( 2
2
0
2
2 ??? nSn ?
?
?
拒绝域 ?0,22
0, 0 5 ( 2 4 ) 3 6, 4 1 5?? ??
4 1 5.366.39
0 0 0 4 0.0
0 0 0 6 6.0242
0 ??
?
??
落在 ?0内,故拒绝 H0,即改革后的方
差显著大于改革前,因此下一步的改
革应朝相反方向进行,
ch8-15
设 X ~ N ( ?1 ??1 2 ),Y ~ N ( ?2 ??2 2 )
两 样本 X,Y 相互独立,
样本 (X1,X2,…,Xn ),( Y1,Y2,…,Ym )
样本值 ( x1,x2,…,xn ),( y1,y2,…,ym )
显著性水平 ?
两个正态总体
ch8-16
?1 – ?2 = ?
( ?12,?22 已知 )
)1,0(~
2
2
2
1
N
mn
YX
U
??
?
?
??
?
2?
zU ?
?zU ?
(1) 关于均值差 ?1 – ?2 的检验
?zU ??
?1 – ?2 ??
?1 – ?2 ??
?1 – ?2 < ?
?1 – ?2 > ?
?1 – ?2 ??
原假设
H0
备择假设
H1
检验统计量及其在
H0为真时的分布 拒绝域
ch8-17
?1 – ?2 = ?
2
?tT ?
?1 – ?2 ??
?1 – ?2 ??
?1 – ?2 < ?
?1 – ?2 > ?
?1 – ?2 ??
?tT ?
?tT ?? )2(~
11
??
?
??
?
mnT
S
mn
YX
T
w
?
2
)1()1( 2221
??
????
mn
SmSnS
w
其中
?12,? 22未知
?12 = ? 22
原假设
H0
备择假设
H1
检验统计量及其在
H0为真时的分布 拒绝域
ch8-18
? 12 = ? 22 ? 12 ?? 22
? 12? ? 22? 12 > ? 22
? 12 ?? 22 ? 12 < ? 22
)1,1( ??? mnFF ?
)1,1(1 ??? ? mnFF ?
(2) 关于方差比 ? 12 /? 22 的检验
)1,1(
2
??? mnFF ?或
)1,1(21 ??? ? mnFF ?
?1,? 2
)1,1(
~
2
2
2
1
??
?
mnF
S
S
F
均未知
原假设
H0
备择假设
H1
检验统计量及其在
H0为真时的分布 拒绝域
ch8-19
例 3 杜鹃总是把蛋生在别的鸟巢中,
现从两种鸟巢中得到杜鹃蛋 24个,其中
9个来自一种鸟巢,15个来自另一种鸟
巢,测得杜鹃蛋的长度 (mm)如下,
m = 15
5 6 8 9.0
12.21
2
2 ?
?
s
y
19.8 20.0 20.3 20.8 20.9
20.9 21.0 21.0 21.0 21.2
21.5 22.0 22.0 22.1 22.3
n = 9
4 2 2 5.0
20.22
2
1 ?
?
s
x21.2 21.6 21.9 22.0 22.0
22.2 22.8 22.9 23.2
ch8-20
试判别两个样本均值的差异是仅
由随机因素造成的还是与来自不同的
鸟巢有关 ( ).05.0??
解 H0, ?1 = ?2 ； H1, ?1 ? ?2
取统计量 )2(~
11
??
?
?
? mnT
S
mn
YX
T
w
ch8-21
7 1 8.0
2
)1()1( 2221
?
??
???
?
mn
SmSn
S w
拒绝域 ?0,074.2)22(
025.0 ?? tT
0 7 4.25 6 8.30 ??T统计量值, 落在 ?0内,
拒绝 H0 即蛋的长度与不同鸟巢有关,
ch8-22
例 4 假设机器 A 和 B 都生产钢管,要
检验 A 和 B 生产的钢管内径的稳定
程度, 设它们生产的钢管内径分别
为 X 和 Y,且 都服从正态分布
X ~ N (?1,? 12),Y ~ N (?2,? 22)
现从 机器 A和 B生产的钢管中各
抽出 18 根和 13 根,测得
s12 = 0.34,s22 = 0.29,
ch8-23
设两样本相互独立, 问是否能认
为两台机器生产的钢管内径的稳定程
度相同? ( 取 ? = 0.1 )
解 设 H0, ? 12 = ? 22 ； H1, ? 12 ?? 22
查表得 F0.05( 17,12 ) = 2.59,
42.0
38.2
1
)17,12(
1
05.0
??
F
22
12/ ~ ( 1 7,1 2 )S S F
F0.95( 17,12 ) =
ch8-24
拒绝域为, 59.2
2
2
2
1 ?
S
S 或
42.0
2
2
2
1 ?
S
S
由给定值算得, 17.1
29.0
34.0
2
2
2
1 ??
s
s
落在拒绝域外,故接受原假设,即认为
内径的稳定程度相同,
ch8-25
接受域 置信区间
??1?
假
设
检
验
区
间
估
计
统计量 枢轴量
对偶关系
同一函数
假设检验与区间估计的联系
ch8-26
假设检验与置信区间对照
),(
22 n
zx
n
zx ?? ?? ??
2
0
??
?
z
n
x
?
?
接受域
置信区间
检验统计量及其在
H0为真时的分布
枢轴量及其分布
???0?
??0
?
（ ? 2 已知 )
)1,0(~0 N
n
XU
?
???
（ ? 2 已知 )
)1,0(~0 N
n
XU
?
???
原假设
H0
备择假设
H1
待估参数
ch8-27
接受域
置信区间
检验统计量及其在
H0为真时的分布
枢轴量及其分布
原假设
H0
备择假设
H1
待估参数
??? 0 ??? 0
?
（ ?2未知）
)1(~0 ??? nT
n
S
XT ?
（ ?2未知）
)1(~0 ??? nT
n
S
XT ?
)
2 n
stx
??
2
0
?
?
t
n
s
x
?
?
,(
2 n
stx
??
ch8-28
接受域
置信区间
)
)1(
)1(,
)1(
)1((
2
1
2
2
2
22
?
?
?
?
? n
sn
n
sn
?? ??
2
2
2
0
2
2
2
1
)1(
?? ??? ?
??
?
Sn
检验统计量及其在
H0为真时的分布
枢轴量及其分布
原假设
H0
备择假设
H1
待估参数
? 2?? 02? 2=? 02
? 2
(?未知 )
)1(~)1( 22
0
2
2 ??? nSn ?
?
?
(?未知 )
)1(~)1( 22
0
2
2 ??? nSn ?
?
?
ch8-29
例 5 新设计的某种化学天平，其测量
误差服从正态分布,现要求 99.7% 的测
量误差不超过 0.1mg,即要求 3?? 0.1.
现拿它与标准天平相比，得 10个误差数
据，其样本方差 s2 =0.0009,
解一 H0,?? 1/30 ； H1:?? 1/30
试问在 ? = 0.05 的水平上能否认为
满足设计要求？
ch8-30
)9(~
9 2
2
0
2
2 ?
?
?
S
?
拒绝域：
?未知,故 选检验统计量
9 1 9.16)9(
9 0 0/1
9 2
05.0
2
2 ??? ?? S
9 1 9.1629.7
9 0 0/1
9 22
???
S
?现
故接受原假设,即认为 满足设计要求,
ch8-31
解二 ? 2的单侧 置信区间为
)0 0 2 4.0,0()
325.3
0 0 8 1.0
,0()
)1(
)1(
,0(
2
1
2
??
?
?
? n
Sn
??
H0中的 0024.00011.0
900
12
0
2 ???? ??
满足设计要求,
则 H0 成立,从而接受原假设,即认为
ch8-32
样本容量的选取
虽然当样本容量 n 固定时,我们不能
同时控制犯两类错误的概率,但可以适当
选取 n 的值,使犯取伪错误的概率 控制
在预先给定的限度内,
?
样本容量 n 满足 如下公式：
???? /)( zzn ?? 单边检验
???? /)(
2
zzn ??
双边检验
ch8-33
右边检验 )( ??
? ??? z
n
?
??
? 0
?
?
左边检验 )( ??
? ??? z
双边检验 1)()(
22
??????? ??? ?? zz
其 中
U 检验法中 的计算公式?
ch8-34例 6 详见教材 P.255 例 12
例 7(产品质量抽检方案 )设有一大批
产品其质量指标,以 小2~ (,)XN ?? ?
者为佳, 对要实行的验收方案
厂方要求, 对高质量的产品 能
0()???
客户要求, 对低质量产品 能
0()? ? ???
以高概率 为客户所接受；(1 )??
以高概率 被拒绝,(1 )??
ch8-35
问应怎样安排抽样方案,
设 0 0, 1 1,0, 3,0, 0 9,0, 0 5,? ? ? ? ?? ? ? ? ?
解 在显著性水平 下进行 检验U0,0 5? ?
H0, ? ?0 ； H1, ? ?0? ? ??
0X z
n
?
?
?
?
?
由
0, 0 5( ) / 2 0, 3 / 0, 0 9 1 0, 9 7n z z z?? ??? ? ? ? ?
拒绝域为,?0
ch8-36
取 1 2 1?n
1549.0
121
3.0645.111.0
05.00 ????? nzX
??
? 可安排容量为 121的一次性抽样,
当样本均值 时,客户1549.0?x
拒绝购买该批产品；
则购买该批产品,
1549.0?x当 时，
ch8-37
例 8袋装味精由自动生产线包装，每
袋标准重量 500g,标准差为 25g.质检
员在同一天生产的味精中任抽 100袋
检验，平均袋重 495g.
② 在 ① 的检验中犯取伪错误的概
① 在显著性水平 下，该05.0??
天的产品能否投放市场？
率 是多少？?
ch8-38③ 若同时控制犯两类错误的概率，
使 都小于 5 %,样本容量??,??n
解 ① 设每袋重量 )25,500(~ 2NX
96.12
1 0 0/25
5 0 04 9 5
0 ??
?
?U
H0, ? 500； H1, ? 500??
故该天的产品不能投放市场,
落在 内?0
96.1
/
025.0
0
2
???
?
? zz
n
X
U ?
?
??0：
ch8-39②
由 P.256第 5行公式
1)()(
22
??????? ??? ?? zz
2
100/25
5
/
???
n?
??
55 0 04 9 500 ??????? ???? x
1)96.3()04.0( ??????
96.1
2
??z
484.0)04.0(1 ????
此概率表明：有 48.4%的可能性将
包装不合格的认为是合格的,
ch8-40
③ 由于是双边检验，故
025.1825
5
645.196.1
??
?
?
325?? n
???? /)(
2
zzn ??
所以当样本容量取 325时,犯两类
错误的概率都不超过 5 %,
ch8-41
作业 P.264 习题八
3 4 6 9
10 14 21 24
ch8-42
当样本容量确定后,犯两类错误的命题
概率不可能同时减少,
01100,;,????? ??? HH
此时犯 第二类错误的概率为
)( 00 伪接受 HHP?? )( 10 ??? ???? kXP
)( 01 kXP H ??? ? ))(( 0111 ??? ????? kXP H
)
)(
(
001
011
nn
H
kX
P
??
??? ??
?
?
? ))((
0
01
n
k
?
?? ????
证 设 在水平 给定下,检验假设),(~ 20??NX ?
ch8-43
?
? zk
n
0?
)(
0
01
n
z
??
?? ?
??
)(
2
1
2
2
?
?
?
? zdxe x
z
???? ?
?
???
又
)( 01
0
01
0
??
?
??
????? ?????
?
??
n
zzzz
n
即
由此可见,当 n 固定时
1) 若 ??????? ??
?? zz
2) 若 ??????? ??
?? zz
(见注 )
证毕,
ch8-44
注
)()()( 11 ??? zzzXP ??????? ???
)(1)1(1 1 ??? ?? ?????? zXP
从而
当 时
1?? ? )/,(~ 201 nNX ??
)1,0(~
/0
1 NX
n
X ?
?
?
?
?
拒绝域的推导
设 X ~N (?? ?2),?2 已知，需检验：
H0, ?? ?0 ； H1, ???0
构造统计量 )1,0(~0 N
n
X
U
?
??
?
给定 显著性水平 ?与样本值 (x1,x2,…,xn )
一个正态总体
（ 1）关于 ? 的检验
ch8-2
P(拒绝 H0|H0为真 )
0H 0H
)( 00 ??? ???? kXP )( 0
0 kXP H ???
)( 0
0
n
k
n
X
P H
??
?
?
?
? ?
?
?
? ??
?
? )(
20
0 Z
n
X
P H
n
Zk ??
2
?取
所以本检验的拒绝域为
?0：
2
?zU ?
U 检验法
ch8-3
???0 ???0
???0
???0
? < ?0
? > ?0
2
?zU ?
?zU ??
?zU ?
U 检验法 (?2 已知 )
原假设
H0
备择假设
H1
检验统计量及其
H0为真时的分布 拒绝域
)1,0(~
0
N
n
XU
?
???
ch8-4
???0 ???0
???0
???0
2
?tT ?
? < ?0
? > ?0
?tT ?
?tT ??
)1(~
0
?
?
?
nt
n
S
X
T
?
T 检验法 (?2 未知 )
原假设
H0
备择假设
H1
检验统计量及其
H0为真时的分布 拒绝域
ch8-5
例 1 某厂生产小型马达,说明书上写着,
这种小型马达在正常负载下平均消耗电
流不会超过 0.8 安培,
现随机抽取 16台马达试验,求得平均
消耗电流为 0.92安培,消耗电流的标准
差为 0.32安培,
假设马达所消耗的电流服从正态分
布,取显著性水平为 ? = 0.05,问根据这
个样本,能否否定厂方的断言?
解 根据题意待检假设可设为
ch8-6
H0, ?? 0.8 ； H1, ? > 0.8
?未知,故 选检验统计量,
~ ( 15 )
/ 16
X
TT
S
??
?
查表得 t0.05(15) = 1.753,故拒绝域为
??? 7 5 3.1
/
8.0
ns
x 94.0
4
32.07 5 3.18.0 ???x
现
94.092.0 ??x
故接受原假设,即不能否定厂方断言,
ch8-7解二 H
0, ?? 0.8 ； H1, ? < 0.8
选用统计量,
~ ( 15 )
/ 16
X
TT
S
??
?
查表得 t0.05(15) = 1.753,故拒绝域
???? 7 5 3.1
/
8.0
ns
x
66.0
4
32.0753.18.0 ???x
现 66.092.0 ??x
故接受原假设,即否定厂方断言,
ch8-8
由例 1可见, 对问题的提法不
同 (把哪个假设作为原假设 ),统计
检验的结果也会不同,
上述两种解法的立场不同，因此
得到不同的结论,
第一种假设是不轻易否定厂方的结论；
第二种假设是不轻易相信厂方的结论,
ch8-9
由于假设检验是控制犯第一类错
误的概率,使得拒绝原假设 H0 的决策
变得比较慎重,也就是 H0 得到特别的
保护, 因而,通常把有把握的,经验的
结论作为原假设,或者尽量使后果严
重的错误成为第一类错误,
ch8-10
? 2?? 02 ? 2>? 02 )(22 n
??? ?
? 2<? 02 )(2
1
2 n
??? ??
? 2?? 02
? 2=? 02 ? 2?? 02
原假设
H0
备择假设
H1
检验统计量及其在
H0为真时的分布 拒绝域
检验法2?
( ? 已知 )
)(~
)(
2
2
0
1
2
2
n
X
n
i
i
?
?
?
?
?
?
?
? )(
)(
22
2
1
2
2
2
n
n
?
?
??
??
?
?
?
或
（ 2）关于 ? 2 的检验
ch8-11
? 2?? 02 ? 2>? 02 )1(22 ?? n
???
? 2<? 02 )1(2
1
2 ??
? n???
? 2?? 02
? 2=? 02 ? 2?? 02
)1(
)1(
22
2
1
2
2
2
??
?? ?
n
n
?
?
??
??
或
原假设
H0
备择假设
H1
检验统计量及其在
H0为真时的分布 拒绝域
)1(~
)1(
2
2
0
2
2
?
?
?
n
Sn
?
?
?
( ? 未知 )
ch8-12
例 2 某汽车配件厂在新工艺下
对加工好的 25个活塞的直径进行测量,
得样本方差 S2=0.00066.已知老工艺生
产的活塞直径的方差为 0.00040,问
进一步改革的方向应如何？ ( P.244 例 6 )
解 一般进行工艺改革时,若指标
的方差显著增大,则改革需朝相反方
向进行以减少方差；若方差变化不显
著,则需试行别的改革方案,
ch8-13设测量值
),(~ 2??NX 0 0 0 4 0.02 ??
需考察改革后活塞直径的方差是否不
大于改革前的方差？故待检验假设可
设为：
H0, ? 2 ?0.00040 ; H1, ? 2 > 0.00040.
此时可采用效果相同的单边假设检验
H0, ? 2 =0.00040 ； H1, ? 2> 0.00040.
ch8-14
取统计量 )1(~)1( 2
2
0
2
2 ??? nSn ?
?
?
拒绝域 ?0,22
0, 0 5 ( 2 4 ) 3 6, 4 1 5?? ??
4 1 5.366.39
0 0 0 4 0.0
0 0 0 6 6.0242
0 ??
?
??
落在 ?0内,故拒绝 H0,即改革后的方
差显著大于改革前,因此下一步的改
革应朝相反方向进行,
ch8-15
设 X ~ N ( ?1 ??1 2 ),Y ~ N ( ?2 ??2 2 )
两 样本 X,Y 相互独立,
样本 (X1,X2,…,Xn ),( Y1,Y2,…,Ym )
样本值 ( x1,x2,…,xn ),( y1,y2,…,ym )
显著性水平 ?
两个正态总体
ch8-16
?1 – ?2 = ?
( ?12,?22 已知 )
)1,0(~
2
2
2
1
N
mn
YX
U
??
?
?
??
?
2?
zU ?
?zU ?
(1) 关于均值差 ?1 – ?2 的检验
?zU ??
?1 – ?2 ??
?1 – ?2 ??
?1 – ?2 < ?
?1 – ?2 > ?
?1 – ?2 ??
原假设
H0
备择假设
H1
检验统计量及其在
H0为真时的分布 拒绝域
ch8-17
?1 – ?2 = ?
2
?tT ?
?1 – ?2 ??
?1 – ?2 ??
?1 – ?2 < ?
?1 – ?2 > ?
?1 – ?2 ??
?tT ?
?tT ?? )2(~
11
??
?
??
?
mnT
S
mn
YX
T
w
?
2
)1()1( 2221
??
????
mn
SmSnS
w
其中
?12,? 22未知
?12 = ? 22
原假设
H0
备择假设
H1
检验统计量及其在
H0为真时的分布 拒绝域
ch8-18
? 12 = ? 22 ? 12 ?? 22
? 12? ? 22? 12 > ? 22
? 12 ?? 22 ? 12 < ? 22
)1,1( ??? mnFF ?
)1,1(1 ??? ? mnFF ?
(2) 关于方差比 ? 12 /? 22 的检验
)1,1(
2
??? mnFF ?或
)1,1(21 ??? ? mnFF ?
?1,? 2
)1,1(
~
2
2
2
1
??
?
mnF
S
S
F
均未知
原假设
H0
备择假设
H1
检验统计量及其在
H0为真时的分布 拒绝域
ch8-19
例 3 杜鹃总是把蛋生在别的鸟巢中,
现从两种鸟巢中得到杜鹃蛋 24个,其中
9个来自一种鸟巢,15个来自另一种鸟
巢,测得杜鹃蛋的长度 (mm)如下,
m = 15
5 6 8 9.0
12.21
2
2 ?
?
s
y
19.8 20.0 20.3 20.8 20.9
20.9 21.0 21.0 21.0 21.2
21.5 22.0 22.0 22.1 22.3
n = 9
4 2 2 5.0
20.22
2
1 ?
?
s
x21.2 21.6 21.9 22.0 22.0
22.2 22.8 22.9 23.2
ch8-20
试判别两个样本均值的差异是仅
由随机因素造成的还是与来自不同的
鸟巢有关 ( ).05.0??
解 H0, ?1 = ?2 ； H1, ?1 ? ?2
取统计量 )2(~
11
??
?
?
? mnT
S
mn
YX
T
w
ch8-21
7 1 8.0
2
)1()1( 2221
?
??
???
?
mn
SmSn
S w
拒绝域 ?0,074.2)22(
025.0 ?? tT
0 7 4.25 6 8.30 ??T统计量值, 落在 ?0内,
拒绝 H0 即蛋的长度与不同鸟巢有关,
ch8-22
例 4 假设机器 A 和 B 都生产钢管,要
检验 A 和 B 生产的钢管内径的稳定
程度, 设它们生产的钢管内径分别
为 X 和 Y,且 都服从正态分布
X ~ N (?1,? 12),Y ~ N (?2,? 22)
现从 机器 A和 B生产的钢管中各
抽出 18 根和 13 根,测得
s12 = 0.34,s22 = 0.29,
ch8-23
设两样本相互独立, 问是否能认
为两台机器生产的钢管内径的稳定程
度相同? ( 取 ? = 0.1 )
解 设 H0, ? 12 = ? 22 ； H1, ? 12 ?? 22
查表得 F0.05( 17,12 ) = 2.59,
42.0
38.2
1
)17,12(
1
05.0
??
F
22
12/ ~ ( 1 7,1 2 )S S F
F0.95( 17,12 ) =
ch8-24
拒绝域为, 59.2
2
2
2
1 ?
S
S 或
42.0
2
2
2
1 ?
S
S
由给定值算得, 17.1
29.0
34.0
2
2
2
1 ??
s
s
落在拒绝域外,故接受原假设,即认为
内径的稳定程度相同,
ch8-25
接受域 置信区间
??1?
假
设
检
验
区
间
估
计
统计量 枢轴量
对偶关系
同一函数
假设检验与区间估计的联系
ch8-26
假设检验与置信区间对照
),(
22 n
zx
n
zx ?? ?? ??
2
0
??
?
z
n
x
?
?
接受域
置信区间
检验统计量及其在
H0为真时的分布
枢轴量及其分布
???0?
??0
?
（ ? 2 已知 )
)1,0(~0 N
n
XU
?
???
（ ? 2 已知 )
)1,0(~0 N
n
XU
?
???
原假设
H0
备择假设
H1
待估参数
ch8-27
接受域
置信区间
检验统计量及其在
H0为真时的分布
枢轴量及其分布
原假设
H0
备择假设
H1
待估参数
??? 0 ??? 0
?
（ ?2未知）
)1(~0 ??? nT
n
S
XT ?
（ ?2未知）
)1(~0 ??? nT
n
S
XT ?
)
2 n
stx
??
2
0
?
?
t
n
s
x
?
?
,(
2 n
stx
??
ch8-28
接受域
置信区间
)
)1(
)1(,
)1(
)1((
2
1
2
2
2
22
?
?
?
?
? n
sn
n
sn
?? ??
2
2
2
0
2
2
2
1
)1(
?? ??? ?
??
?
Sn
检验统计量及其在
H0为真时的分布
枢轴量及其分布
原假设
H0
备择假设
H1
待估参数
? 2?? 02? 2=? 02
? 2
(?未知 )
)1(~)1( 22
0
2
2 ??? nSn ?
?
?
(?未知 )
)1(~)1( 22
0
2
2 ??? nSn ?
?
?
ch8-29
例 5 新设计的某种化学天平，其测量
误差服从正态分布,现要求 99.7% 的测
量误差不超过 0.1mg,即要求 3?? 0.1.
现拿它与标准天平相比，得 10个误差数
据，其样本方差 s2 =0.0009,
解一 H0,?? 1/30 ； H1:?? 1/30
试问在 ? = 0.05 的水平上能否认为
满足设计要求？
ch8-30
)9(~
9 2
2
0
2
2 ?
?
?
S
?
拒绝域：
?未知,故 选检验统计量
9 1 9.16)9(
9 0 0/1
9 2
05.0
2
2 ??? ?? S
9 1 9.1629.7
9 0 0/1
9 22
???
S
?现
故接受原假设,即认为 满足设计要求,
ch8-31
解二 ? 2的单侧 置信区间为
)0 0 2 4.0,0()
325.3
0 0 8 1.0
,0()
)1(
)1(
,0(
2
1
2
??
?
?
? n
Sn
??
H0中的 0024.00011.0
900
12
0
2 ???? ??
满足设计要求,
则 H0 成立,从而接受原假设,即认为
ch8-32
样本容量的选取
虽然当样本容量 n 固定时,我们不能
同时控制犯两类错误的概率,但可以适当
选取 n 的值,使犯取伪错误的概率 控制
在预先给定的限度内,
?
样本容量 n 满足 如下公式：
???? /)( zzn ?? 单边检验
???? /)(
2
zzn ??
双边检验
ch8-33
右边检验 )( ??
? ??? z
n
?
??
? 0
?
?
左边检验 )( ??
? ??? z
双边检验 1)()(
22
??????? ??? ?? zz
其 中
U 检验法中 的计算公式?
ch8-34例 6 详见教材 P.255 例 12
例 7(产品质量抽检方案 )设有一大批
产品其质量指标,以 小2~ (,)XN ?? ?
者为佳, 对要实行的验收方案
厂方要求, 对高质量的产品 能
0()???
客户要求, 对低质量产品 能
0()? ? ???
以高概率 为客户所接受；(1 )??
以高概率 被拒绝,(1 )??
ch8-35
问应怎样安排抽样方案,
设 0 0, 1 1,0, 3,0, 0 9,0, 0 5,? ? ? ? ?? ? ? ? ?
解 在显著性水平 下进行 检验U0,0 5? ?
H0, ? ?0 ； H1, ? ?0? ? ??
0X z
n
?
?
?
?
?
由
0, 0 5( ) / 2 0, 3 / 0, 0 9 1 0, 9 7n z z z?? ??? ? ? ? ?
拒绝域为,?0
ch8-36
取 1 2 1?n
1549.0
121
3.0645.111.0
05.00 ????? nzX
??
? 可安排容量为 121的一次性抽样,
当样本均值 时,客户1549.0?x
拒绝购买该批产品；
则购买该批产品,
1549.0?x当 时，
ch8-37
例 8袋装味精由自动生产线包装，每
袋标准重量 500g,标准差为 25g.质检
员在同一天生产的味精中任抽 100袋
检验，平均袋重 495g.
② 在 ① 的检验中犯取伪错误的概
① 在显著性水平 下，该05.0??
天的产品能否投放市场？
率 是多少？?
ch8-38③ 若同时控制犯两类错误的概率，
使 都小于 5 %,样本容量??,??n
解 ① 设每袋重量 )25,500(~ 2NX
96.12
1 0 0/25
5 0 04 9 5
0 ??
?
?U
H0, ? 500； H1, ? 500??
故该天的产品不能投放市场,
落在 内?0
96.1
/
025.0
0
2
???
?
? zz
n
X
U ?
?
??0：
ch8-39②
由 P.256第 5行公式
1)()(
22
??????? ??? ?? zz
2
100/25
5
/
???
n?
??
55 0 04 9 500 ??????? ???? x
1)96.3()04.0( ??????
96.1
2
??z
484.0)04.0(1 ????
此概率表明：有 48.4%的可能性将
包装不合格的认为是合格的,
ch8-40
③ 由于是双边检验，故
025.1825
5
645.196.1
??
?
?
325?? n
???? /)(
2
zzn ??
所以当样本容量取 325时,犯两类
错误的概率都不超过 5 %,
ch8-41
作业 P.264 习题八
3 4 6 9
10 14 21 24
ch8-42
当样本容量确定后,犯两类错误的命题
概率不可能同时减少,
01100,;,????? ??? HH
此时犯 第二类错误的概率为
)( 00 伪接受 HHP?? )( 10 ??? ???? kXP
)( 01 kXP H ??? ? ))(( 0111 ??? ????? kXP H
)
)(
(
001
011
nn
H
kX
P
??
??? ??
?
?
? ))((
0
01
n
k
?
?? ????
证 设 在水平 给定下,检验假设),(~ 20??NX ?
ch8-43
?
? zk
n
0?
)(
0
01
n
z
??
?? ?
??
)(
2
1
2
2
?
?
?
? zdxe x
z
???? ?
?
???
又
)( 01
0
01
0
??
?
??
????? ?????
?
??
n
zzzz
n
即
由此可见,当 n 固定时
1) 若 ??????? ??
?? zz
2) 若 ??????? ??
?? zz
(见注 )
证毕,
ch8-44
注
)()()( 11 ??? zzzXP ??????? ???
)(1)1(1 1 ??? ?? ?????? zXP
从而
当 时
1?? ? )/,(~ 201 nNX ??
)1,0(~
/0
1 NX
n
X ?
?
?
?
?
