确定统计量的分布
是数理统计的基本
问题之一
正态总体是最常见的总体,本节介绍
的几个抽样分布均对正态总体而言,
ch6-45
(1) 正态分布
则
?
?
?
?
?
? ???
???
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii aaNXa
1
22
11
,~ ??
特别地,
??
?
?
??
?
?
? ?
? n
NX
n
X
n
i
i
2
1
,~1 ??则
统计中常用分布
nXXX,,,21 ? ),(~ 2??NX i
若 i.i.d.~
若 nXXX,,,21 ? ),( 2iiN ??~
ch6-46
标准正态分布的 ? 分位数
分布的上 ? 分位数,
若,则称 z ?为标准正态? ? ?? ?? zXP
定义
正态分布的双侧 ? 分位数,
若,则称 为标准? ? ?? ??
2zXP 2?Z
ch6-47标准正态分布的 ? 分位数图形
575.2
96.1
645.1
0 0 5.0
0 2 5.0
05.0
?
?
?
z
z
z
-2 -1 1 2
0.1
0.2
0.3
0.4
z??
?
常用
数字
-2 -1 1 2
0.1
0.2
0.3
0.4
?/2
-z?/2=z1-?/2
?/2
z?/2?-z?/2?
? ? ?? ?? zXP
? ? ?? ?? 2zXP
ch6-48
(2) )(2 n? 分布 ( n为自由度 )
定义 设 nXXX,,,21 ? 相互独立,
且都服从标准正态分布 N (0,1),则
?
?
n
i
i nX
1
22 )(~ ?
n = 1 时,其密度函数 为
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0,0
0,
2
1
)(
22
1
x
xex
xf
x
?
2 4 6 8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
ch6-49
n = 2 时,其密度函数 为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0,0
0,
2
1
)(
2
x
xe
xf
x
为参数为 1/2的指数分布,
2 4 6 8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
ch6-50
22
2
1
2
1
,0
2 ( )()
0,0
xn
n
n
e x x
fx
x
???
?
?
??
?
?
??
一般
其中,? ?? ???
0
1)( dtetx tx?
在 x > 0时收敛，称为 ?函数，具有性质
)(!)1(
)2/1(,1)1(),()1(
Nnnn
xxx
????
???????? ?
)(2 n? 的密度函数 为自由度为 n 的
ch6-51
5 10 15 20 25
0.1
0.2
0.3
0.4
n=2
n = 3
n = 5
n = 10
n = 15
ch6-52
? ? ? ? nnDnnE 2)(,)(1 22 ?? ???
例如 ? ? 05.03 0 7.18)10(
3 0 7.18)10(
2
2
05.0
??
?
?
?
P
?
)(
,),(),(2
21
2
21
212
2
21
2
1
nnXX
XXnXnX
＋～＋则
相互独立，若
?
?? ???
正态分布时,??? )(3 2 nn ??
分位数有表可查分布的上 ?? )(4 2 n?
分布的性质)(2 n?
?20.05(10)? 5 10 15 20
0, 0 2
0, 0 4
0, 0 6
0, 0 8
0, 1
n = 10
ch6-53
nXXX,,,21 ? 相互独立,
证 1?设 ?
?
??
n
i
ii niNXXn
1
22,,2,1)1,0(~)( ??
则 1)(,1)(,0)( 2 ???
iii XEXDXE
? ? nXEnE n
i
i ??
?
?
?
?
?? ?
? 1
22 )(?
3d
2
1)(
2
2
44 ?? ? ?
??
? xexXE x
i ?
2)()()( 2242 ??? iii XEXEXD
? ? nXDnD
n
i
i 2)(
1
22 ??
?
?
?
?
?
? ?
?
?
ch6-54(3) t 分布 (Student 分布 )
定义
则称 T 服从自由度为 n 的 T 分布,
其 密度函数 为
n
Y
X
T ?
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
t
n
t
n
n
n
tf
n
2
1
2
1
2
2
1
)(
Γ
Γ
?
),(~,)1,0(~ 2 nYNX ?X,Y相互独立,设
ch6-55
t 分布的图形 (红色的是标准正态分布 )
n = 1
n=20
-3 -2 -1 1 2 3
0.1
0.2
0.3
0.4
ch6-56
t 分布的性质
1° f n(t)是偶函数,
2
2
2
1)()(,t
n ettfn
?????
??
2° T 分布的上 ?分位数 t?与双测 ?
分位数 t?/2 均 有表可查,
ch6-57
-3 -2 -1 1 2 3
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
n = 10
? ?
??
? ?
???
??
1tt
tTP
? ? 0, 0 51, 8 1 2 5 0, 0 5 ( 1 0 ) 1, 8 1 2 5P T t? ? ? ?
t?-t? ??
? ? ? ?1, 8 1 2 5 0, 0 5,1, 8 1 2 5 0, 9 5P T P T? ? ? ? ? ?
?
8 1 2 5.1)10(95.0 ??? t
ch6-58
? ? ?
?
?
?
??
??
2/
2/
2
)(
tTP
tTP
-3 -2 -1 1 2 3
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
t?/2-t?/2 ??
? ?
? ?
2281.2)10(
05.02281.2
025.02281.2
025.0
??
??
??
t
TP
TP
?/2?/2
ch6-59(4) F 分布
则称 F 服从为 第一自由度 为 n,第二自由
度 为 m 的 F 分布,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
0,0
01
22
2
),,(
2
1
2
2
t
tt
m
n
t
m
n
m
Γ
n
Γ
mn
Γ
mntf
mn
n
n
其密度函数为
定义 ),(~),(~ 22 mYnX ?? X,Y 相互独立,设
mY
nXF
/
/?令
ch6-60
1 2 3 4 5 6
0.2
0.4
0.6
0.8
1 2 3 4 5 6
0.2
0.4
0.6
0.8
m = 10,n = 4
m = 10,n = 10
m = 10,n = 15
m = 4,n =10
m = 10,n = 10
m = 15,n = 10
ch6-61F分布的性质
1 ~ (,),1 / ~ (,)F F n m F F m n若则
1 2 3 4 5 6
0, 1
0, 2
0, 3
0, 4
0, 5
0, 6
例如 19.5)5,4(05.0 ?F
),(
1),(
1 nmFmnF
?
? ??
事实上,
19.5
1
)5,4(
1
)4,5(
05.0
95.0 ?? FF
故
?
?
?
?
?? )),((
:),(),(2
mnFFP
mnFmnF 有表可查分位数的上?
求?)4,5(
95.0 ?F
F?(n,m)
?
?
ch6-62
)),(( 1 mnFFP ???
?
?
???
?
?
??
?
?
?
? ),(
11
1 mnFF
P故 ),(~1 nmF
F
由于
??
?
?
??
?
?
???
? ),(
11
1
1 mnFF
P
?
??? 1
),(
),(
1
1
nmF
mnF ??
?
?
因而
???
?
???
?
??
? ),(
11
1 mnFF
P
?
例 1 证明
),(
1
),(1
nmF
mnF
?
? ??
证
ch6-63
证
2XY ?
221
( | ( ) |) ( ( ) )P X t n P X t n?? ??? ? ? ?有
例 2 ),1()]([ 2
1 2 nFnt ?? ??
证明：
))(())(( 2122
22
ntYPntXP ?? ?????
),1()(21
2
nFnt ?? ??即
设
令
n
n
n
n
G
)(
1
)1(
)(
2
2
2
2
?
?
?
??
),1(~ nF
2 ()
~ ( ),,~ ( 0,1 )nX T n X G G N
n
??
ch6-64抽 样分布的某些结论
(Ⅰ) 一个正态总体
)1(~)1( 2
2
1
2
2
??
?
??
?
? ??? ?
?
nXXSn
n
i
i ?
??
2
2)1(
?
Sn ? 与 X
相互独立
设 总体,样本为 ( )，
),(~
2
nNX
??
)1,0(~ N
n
X
?
??
)1(~ ?
?
??
?
nT
n
S
XS
n
X ?
??
?
(1)
(2)
2~ (,)XN ??
ch6-65( II ) 两个正态总体
相互独立 的简单随机样本,
?
?
?
?
?
?
?
?
n
i
i
n
i
i
XX
n
S
X
n
X
1
22
1
1
)(
1
1
1
令 ?
?
?
?
?
?
?
?
m
j
j
m
j
j
YY
m
S
Y
m
Y
1
22
2
1
)(
1
1
1
设
nXXX,,,21 ?
与
mYYY,,,21 ?
分别是来
),(~ 211 ??NX自正态总体 ),(~ 222 ??NY与 的
ch6-66
则 )1(~
)1()1(~)1( 2
2
2
2
22
2
1
2
1 ???? mSmnSn ?
?
?
? )1,1(~
2
2
2
2
2
1
2
1
?? mnF
S
S
?
?
若
21 ?? ?
则
)1,1(~
2
2
2
1 ?? mnF
S
S
(3)
ch6-67
则 ),(~1),(~1 2
2
1
2
1
1 m
NY
m
Y
n
NX
n
X
m
j
j
n
i
i
???? ??
??
??
)1,0(~
)()(
22
21 N
mn
YX
??
??
?
???
),(~
22
21 mnNYX
???? ???
相互独立 的简单随机样本,
设
nXXX,,,21 ?
与
mYYY,,,21 ?
分别是来
21~ (,)XN ??自正态总体 2
2~ (,)YN ??与 的
ch6-68
)1(~
)1(
)1(~
)1( 2
2
2
22
2
2
1 ???? mSmnSn ?
?
?
?
2
2
2
2
2
1 )1()1(
??
SmSn ???
)2(~ 2 ?? mn?
YX ?与 2
2
2
2
2
1 )1()1(
??
SmSn ???
相互独立
ch6-69
2
)1()1(
)()(
2
2
2
2
2
1
22
21
??
?
?
?
?
???
mn
SmSn
mn
YX
??
??
??
2
)1()1(11
)()(
2
2
2
1
21
??
???
?
???
?
mn
SmSn
mn
YX ??
)2(~ ?? mnt
(4)
ch6-70
的概率不小于 90%,则样本容量至少取多少?
例 3设 ~ (7 2,1 0 0 )XN,为使样本均值大于 70
解 设样本容量为 n,则 )
1 0 0,72(~
nNX故 )70(1)70( ???? XPXP
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
n
10
7270
1 ?
? ?n2.0??
令 ? ? 9.02.0 ?n? 得 29.12.0 ?n
即 6025.41?n 所以取 42?n
ch6-71例 4 从正态总体
),(~ 2??NX 中，抽取了
n = 20的样本
1 2 2 0(,,,)X X X
(1) 求 ? ? ??
??
?
? ??? ?
?
2
20
1
22 76.1
20
137.0 ??
i
i XXP
(2) 求 ? ? ??
??
?
? ??? ?
?
2
20
1
22 76.1
20
137.0 ???
i
iXP
解 (1)
? ? )19(~119 220
1
2
22
2
?
?? ??
??
i
i XX
S即
)1(~)1( 22
2
?? nSn ?
?
ch6-72
? ? ?
?
?
?
?
? ??? ?
?
2
20
1
22 76.1
20
137.0 ??
i
i XXP
故
? ? ?
?
?
?
?
? ???? ?
?
2.3514.7
20
1
2
2
i
i XXP ?
? ? ? ? ?
?
??
?
? ????
?
??
?
? ??? ??
??
2.3514.71
20
1
2
2
20
1
2
2
i
i
i
i XXPXXP ??
98.001.099.0 ???查表
(P.386)
ch6-73
(2) )20(~ 220
1
2
?
?
??
?
?
?
?
?
?
? ?
i
iX
? ? ?
?
??
?
? ??? ?
?
2
20
1
22 76.1
20
137.0 ???
i
iXP故
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
? ??? ?
?
2.354.7
20
1
2
i
iXP
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
? ??
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
? ?? ??
??
2.354.7
20
1
220
1
2
i
i
i
i XPXP
?
?
?
?
97.002 5.099 5.0 ???
ch6-74例 5 设 r.v,X 与 Y 相互独立,X ~ N(0,16),
Y ~ N(0,9),X1,X2,…,X9 与 Y1,Y2,…,Y16
分别是取自 X 与 Y 的简单随机样本,求
统计量 1 2 9
2 2 2
1 2 1 6
X X X
Z
Y Y Y
? ? ?
?
? ? ?
所服从的分布,
解 )169,0(~
921 ???? NXXX ?
)1,0(~)(
43
1
921 NXXX ???? ?
ch6-75 16,,2,1,)1,0(~
3
1 ??iNY
i
)16(~
3
1 2216
1
??
?
?
?
?
?
?
?
i
iY
? ?
16
3
1
43
1
16
1
2
921
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
i
i
Y
XXX ?
)16(~ t
2
16
2
2
2
1
921
YYY
XXX
???
???
?
?从而
ch6-77例 7 设
12(,,,)nX X X
是来自 N ( ?,? 2 )的
简单随机样本,X 是样本均值,
,)(
1
1
1
22
1 ?
?
?
?
?
n
i
i XXnS,)(
1
1
22
2 ?
?
??
n
i
i XXnS
,)(11
1
22
3 ?
?
???
n
i
iXnS ?,)(
1
1
22
4 ?
?
??
n
i
iXnS ?
则服从自由度为 n - 1的 t 分布的随机变量为
1)A(
1
?? n
S
X ? 1)B(
2
?? n
S
X ?
n
S
X
3
)C( ?? n
S
X
4
)D( ??
ch6-78
)1,0(~
/
N
n
X
?
?? )1(~)(1 2
1
2
2 ???
?
nXX
n
i
i ??
1
)(
1
/
1
2
2
?
?
?
?
?
n
XX
n
X
n
i
i
?
?
?
)1(~ ?nt
?
?
?
??
?
n
i
i XX
Xnn
1
2
)(
)()1( ?
故应选 (B)
解
ch6-79作业 P,202 习题六
9 10
补充作业
其样本均值为 ?
?
?
n
i
iXnX
2
12
1
?
?
? ???
n
i
ini XXXY
1
2)2(求统计量
1,设 为从正态总体
X ~ N ( ?,? 2) 中抽取的简单随机样本
)2(,,,221 ?nXXX n?
的数学期望 E (Y ),)0( ?? （转后页）
ch6-80
YX,2,是来自正态 总体 的
容量为 n 的两个样本均值,且两样本相互
独立,试确定 n,使两样本均值之差的绝
对值超过 的概率大约为 0.01.
),( 2??N
?
ch6-81
第十三周 问 题
某水产养殖场两年前在人工湖中
混养了黑, 白两种鱼, 现在需要对黑
白鱼数目的比例进行估计,
提示,分别用矩法与极大似然估计法
解决此问题,
如何估计湖中黑、白鱼的比例
是数理统计的基本
问题之一
正态总体是最常见的总体,本节介绍
的几个抽样分布均对正态总体而言,
ch6-45
(1) 正态分布
则
?
?
?
?
?
? ???
???
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii aaNXa
1
22
11
,~ ??
特别地,
??
?
?
??
?
?
? ?
? n
NX
n
X
n
i
i
2
1
,~1 ??则
统计中常用分布
nXXX,,,21 ? ),(~ 2??NX i
若 i.i.d.~
若 nXXX,,,21 ? ),( 2iiN ??~
ch6-46
标准正态分布的 ? 分位数
分布的上 ? 分位数,
若,则称 z ?为标准正态? ? ?? ?? zXP
定义
正态分布的双侧 ? 分位数,
若,则称 为标准? ? ?? ??
2zXP 2?Z
ch6-47标准正态分布的 ? 分位数图形
575.2
96.1
645.1
0 0 5.0
0 2 5.0
05.0
?
?
?
z
z
z
-2 -1 1 2
0.1
0.2
0.3
0.4
z??
?
常用
数字
-2 -1 1 2
0.1
0.2
0.3
0.4
?/2
-z?/2=z1-?/2
?/2
z?/2?-z?/2?
? ? ?? ?? zXP
? ? ?? ?? 2zXP
ch6-48
(2) )(2 n? 分布 ( n为自由度 )
定义 设 nXXX,,,21 ? 相互独立,
且都服从标准正态分布 N (0,1),则
?
?
n
i
i nX
1
22 )(~ ?
n = 1 时,其密度函数 为
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0,0
0,
2
1
)(
22
1
x
xex
xf
x
?
2 4 6 8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
ch6-49
n = 2 时,其密度函数 为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0,0
0,
2
1
)(
2
x
xe
xf
x
为参数为 1/2的指数分布,
2 4 6 8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
ch6-50
22
2
1
2
1
,0
2 ( )()
0,0
xn
n
n
e x x
fx
x
???
?
?
??
?
?
??
一般
其中,? ?? ???
0
1)( dtetx tx?
在 x > 0时收敛，称为 ?函数，具有性质
)(!)1(
)2/1(,1)1(),()1(
Nnnn
xxx
????
???????? ?
)(2 n? 的密度函数 为自由度为 n 的
ch6-51
5 10 15 20 25
0.1
0.2
0.3
0.4
n=2
n = 3
n = 5
n = 10
n = 15
ch6-52
? ? ? ? nnDnnE 2)(,)(1 22 ?? ???
例如 ? ? 05.03 0 7.18)10(
3 0 7.18)10(
2
2
05.0
??
?
?
?
P
?
)(
,),(),(2
21
2
21
212
2
21
2
1
nnXX
XXnXnX
＋～＋则
相互独立，若
?
?? ???
正态分布时,??? )(3 2 nn ??
分位数有表可查分布的上 ?? )(4 2 n?
分布的性质)(2 n?
?20.05(10)? 5 10 15 20
0, 0 2
0, 0 4
0, 0 6
0, 0 8
0, 1
n = 10
ch6-53
nXXX,,,21 ? 相互独立,
证 1?设 ?
?
??
n
i
ii niNXXn
1
22,,2,1)1,0(~)( ??
则 1)(,1)(,0)( 2 ???
iii XEXDXE
? ? nXEnE n
i
i ??
?
?
?
?
?? ?
? 1
22 )(?
3d
2
1)(
2
2
44 ?? ? ?
??
? xexXE x
i ?
2)()()( 2242 ??? iii XEXEXD
? ? nXDnD
n
i
i 2)(
1
22 ??
?
?
?
?
?
? ?
?
?
ch6-54(3) t 分布 (Student 分布 )
定义
则称 T 服从自由度为 n 的 T 分布,
其 密度函数 为
n
Y
X
T ?
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
t
n
t
n
n
n
tf
n
2
1
2
1
2
2
1
)(
Γ
Γ
?
),(~,)1,0(~ 2 nYNX ?X,Y相互独立,设
ch6-55
t 分布的图形 (红色的是标准正态分布 )
n = 1
n=20
-3 -2 -1 1 2 3
0.1
0.2
0.3
0.4
ch6-56
t 分布的性质
1° f n(t)是偶函数,
2
2
2
1)()(,t
n ettfn
?????
??
2° T 分布的上 ?分位数 t?与双测 ?
分位数 t?/2 均 有表可查,
ch6-57
-3 -2 -1 1 2 3
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
n = 10
? ?
??
? ?
???
??
1tt
tTP
? ? 0, 0 51, 8 1 2 5 0, 0 5 ( 1 0 ) 1, 8 1 2 5P T t? ? ? ?
t?-t? ??
? ? ? ?1, 8 1 2 5 0, 0 5,1, 8 1 2 5 0, 9 5P T P T? ? ? ? ? ?
?
8 1 2 5.1)10(95.0 ??? t
ch6-58
? ? ?
?
?
?
??
??
2/
2/
2
)(
tTP
tTP
-3 -2 -1 1 2 3
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
t?/2-t?/2 ??
? ?
? ?
2281.2)10(
05.02281.2
025.02281.2
025.0
??
??
??
t
TP
TP
?/2?/2
ch6-59(4) F 分布
则称 F 服从为 第一自由度 为 n,第二自由
度 为 m 的 F 分布,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
0,0
01
22
2
),,(
2
1
2
2
t
tt
m
n
t
m
n
m
Γ
n
Γ
mn
Γ
mntf
mn
n
n
其密度函数为
定义 ),(~),(~ 22 mYnX ?? X,Y 相互独立,设
mY
nXF
/
/?令
ch6-60
1 2 3 4 5 6
0.2
0.4
0.6
0.8
1 2 3 4 5 6
0.2
0.4
0.6
0.8
m = 10,n = 4
m = 10,n = 10
m = 10,n = 15
m = 4,n =10
m = 10,n = 10
m = 15,n = 10
ch6-61F分布的性质
1 ~ (,),1 / ~ (,)F F n m F F m n若则
1 2 3 4 5 6
0, 1
0, 2
0, 3
0, 4
0, 5
0, 6
例如 19.5)5,4(05.0 ?F
),(
1),(
1 nmFmnF
?
? ??
事实上,
19.5
1
)5,4(
1
)4,5(
05.0
95.0 ?? FF
故
?
?
?
?
?? )),((
:),(),(2
mnFFP
mnFmnF 有表可查分位数的上?
求?)4,5(
95.0 ?F
F?(n,m)
?
?
ch6-62
)),(( 1 mnFFP ???
?
?
???
?
?
??
?
?
?
? ),(
11
1 mnFF
P故 ),(~1 nmF
F
由于
??
?
?
??
?
?
???
? ),(
11
1
1 mnFF
P
?
??? 1
),(
),(
1
1
nmF
mnF ??
?
?
因而
???
?
???
?
??
? ),(
11
1 mnFF
P
?
例 1 证明
),(
1
),(1
nmF
mnF
?
? ??
证
ch6-63
证
2XY ?
221
( | ( ) |) ( ( ) )P X t n P X t n?? ??? ? ? ?有
例 2 ),1()]([ 2
1 2 nFnt ?? ??
证明：
))(())(( 2122
22
ntYPntXP ?? ?????
),1()(21
2
nFnt ?? ??即
设
令
n
n
n
n
G
)(
1
)1(
)(
2
2
2
2
?
?
?
??
),1(~ nF
2 ()
~ ( ),,~ ( 0,1 )nX T n X G G N
n
??
ch6-64抽 样分布的某些结论
(Ⅰ) 一个正态总体
)1(~)1( 2
2
1
2
2
??
?
??
?
? ??? ?
?
nXXSn
n
i
i ?
??
2
2)1(
?
Sn ? 与 X
相互独立
设 总体,样本为 ( )，
),(~
2
nNX
??
)1,0(~ N
n
X
?
??
)1(~ ?
?
??
?
nT
n
S
XS
n
X ?
??
?
(1)
(2)
2~ (,)XN ??
ch6-65( II ) 两个正态总体
相互独立 的简单随机样本,
?
?
?
?
?
?
?
?
n
i
i
n
i
i
XX
n
S
X
n
X
1
22
1
1
)(
1
1
1
令 ?
?
?
?
?
?
?
?
m
j
j
m
j
j
YY
m
S
Y
m
Y
1
22
2
1
)(
1
1
1
设
nXXX,,,21 ?
与
mYYY,,,21 ?
分别是来
),(~ 211 ??NX自正态总体 ),(~ 222 ??NY与 的
ch6-66
则 )1(~
)1()1(~)1( 2
2
2
2
22
2
1
2
1 ???? mSmnSn ?
?
?
? )1,1(~
2
2
2
2
2
1
2
1
?? mnF
S
S
?
?
若
21 ?? ?
则
)1,1(~
2
2
2
1 ?? mnF
S
S
(3)
ch6-67
则 ),(~1),(~1 2
2
1
2
1
1 m
NY
m
Y
n
NX
n
X
m
j
j
n
i
i
???? ??
??
??
)1,0(~
)()(
22
21 N
mn
YX
??
??
?
???
),(~
22
21 mnNYX
???? ???
相互独立 的简单随机样本,
设
nXXX,,,21 ?
与
mYYY,,,21 ?
分别是来
21~ (,)XN ??自正态总体 2
2~ (,)YN ??与 的
ch6-68
)1(~
)1(
)1(~
)1( 2
2
2
22
2
2
1 ???? mSmnSn ?
?
?
?
2
2
2
2
2
1 )1()1(
??
SmSn ???
)2(~ 2 ?? mn?
YX ?与 2
2
2
2
2
1 )1()1(
??
SmSn ???
相互独立
ch6-69
2
)1()1(
)()(
2
2
2
2
2
1
22
21
??
?
?
?
?
???
mn
SmSn
mn
YX
??
??
??
2
)1()1(11
)()(
2
2
2
1
21
??
???
?
???
?
mn
SmSn
mn
YX ??
)2(~ ?? mnt
(4)
ch6-70
的概率不小于 90%,则样本容量至少取多少?
例 3设 ~ (7 2,1 0 0 )XN,为使样本均值大于 70
解 设样本容量为 n,则 )
1 0 0,72(~
nNX故 )70(1)70( ???? XPXP
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
n
10
7270
1 ?
? ?n2.0??
令 ? ? 9.02.0 ?n? 得 29.12.0 ?n
即 6025.41?n 所以取 42?n
ch6-71例 4 从正态总体
),(~ 2??NX 中，抽取了
n = 20的样本
1 2 2 0(,,,)X X X
(1) 求 ? ? ??
??
?
? ??? ?
?
2
20
1
22 76.1
20
137.0 ??
i
i XXP
(2) 求 ? ? ??
??
?
? ??? ?
?
2
20
1
22 76.1
20
137.0 ???
i
iXP
解 (1)
? ? )19(~119 220
1
2
22
2
?
?? ??
??
i
i XX
S即
)1(~)1( 22
2
?? nSn ?
?
ch6-72
? ? ?
?
?
?
?
? ??? ?
?
2
20
1
22 76.1
20
137.0 ??
i
i XXP
故
? ? ?
?
?
?
?
? ???? ?
?
2.3514.7
20
1
2
2
i
i XXP ?
? ? ? ? ?
?
??
?
? ????
?
??
?
? ??? ??
??
2.3514.71
20
1
2
2
20
1
2
2
i
i
i
i XXPXXP ??
98.001.099.0 ???查表
(P.386)
ch6-73
(2) )20(~ 220
1
2
?
?
??
?
?
?
?
?
?
? ?
i
iX
? ? ?
?
??
?
? ??? ?
?
2
20
1
22 76.1
20
137.0 ???
i
iXP故
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
? ??? ?
?
2.354.7
20
1
2
i
iXP
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
? ??
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
? ?? ??
??
2.354.7
20
1
220
1
2
i
i
i
i XPXP
?
?
?
?
97.002 5.099 5.0 ???
ch6-74例 5 设 r.v,X 与 Y 相互独立,X ~ N(0,16),
Y ~ N(0,9),X1,X2,…,X9 与 Y1,Y2,…,Y16
分别是取自 X 与 Y 的简单随机样本,求
统计量 1 2 9
2 2 2
1 2 1 6
X X X
Z
Y Y Y
? ? ?
?
? ? ?
所服从的分布,
解 )169,0(~
921 ???? NXXX ?
)1,0(~)(
43
1
921 NXXX ???? ?
ch6-75 16,,2,1,)1,0(~
3
1 ??iNY
i
)16(~
3
1 2216
1
??
?
?
?
?
?
?
?
i
iY
? ?
16
3
1
43
1
16
1
2
921
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
i
i
Y
XXX ?
)16(~ t
2
16
2
2
2
1
921
YYY
XXX
???
???
?
?从而
ch6-77例 7 设
12(,,,)nX X X
是来自 N ( ?,? 2 )的
简单随机样本,X 是样本均值,
,)(
1
1
1
22
1 ?
?
?
?
?
n
i
i XXnS,)(
1
1
22
2 ?
?
??
n
i
i XXnS
,)(11
1
22
3 ?
?
???
n
i
iXnS ?,)(
1
1
22
4 ?
?
??
n
i
iXnS ?
则服从自由度为 n - 1的 t 分布的随机变量为
1)A(
1
?? n
S
X ? 1)B(
2
?? n
S
X ?
n
S
X
3
)C( ?? n
S
X
4
)D( ??
ch6-78
)1,0(~
/
N
n
X
?
?? )1(~)(1 2
1
2
2 ???
?
nXX
n
i
i ??
1
)(
1
/
1
2
2
?
?
?
?
?
n
XX
n
X
n
i
i
?
?
?
)1(~ ?nt
?
?
?
??
?
n
i
i XX
Xnn
1
2
)(
)()1( ?
故应选 (B)
解
ch6-79作业 P,202 习题六
9 10
补充作业
其样本均值为 ?
?
?
n
i
iXnX
2
12
1
?
?
? ???
n
i
ini XXXY
1
2)2(求统计量
1,设 为从正态总体
X ~ N ( ?,? 2) 中抽取的简单随机样本
)2(,,,221 ?nXXX n?
的数学期望 E (Y ),)0( ?? （转后页）
ch6-80
YX,2,是来自正态 总体 的
容量为 n 的两个样本均值,且两样本相互
独立,试确定 n,使两样本均值之差的绝
对值超过 的概率大约为 0.01.
),( 2??N
?
ch6-81
第十三周 问 题
某水产养殖场两年前在人工湖中
混养了黑, 白两种鱼, 现在需要对黑
白鱼数目的比例进行估计,
提示,分别用矩法与极大似然估计法
解决此问题,
如何估计湖中黑、白鱼的比例
