Ch4-1
第四章 随机变量的数字特征
分布函数能完整地描述随机变量的统
计特性,但实际应用中,有时并不需要知道
分布函数而只需知道随机变量的某些特征,
判断棉花质量时,既看纤维的 平均长度
平均长度越长,偏离程度越小,质量就越好 ;
又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度
例如,
Ch4-2
考察一射手的水平,既要看他的 平均
环数 是否高,还要看他弹着点的范围是否
小,即 数据的波动 是否小,
由上面例子看到，与随机变量有关的
某些数值，虽不能完整地描述随机变量，
但能清晰地描述随机变量在某些方面的重
要特征,这些数字特征在理论和实践上都
具有重要意义,
Ch4-3
? r.v.的平均取值 —— 数学期望
? r.v.取值平均偏离平均值的情况
—— 方差
? 描述两个 r.v.之间的某种关系的
数 —— 协方差 与 相关系数
本
章
内
容
随机变量某一方面的概率特性
都可用 数字 来描写
Ch4-4
§ 4.1随机变量的数学期望
加 权 平 均初
赛
复
赛
决
赛
总
成
绩
算术
平均
甲
乙
90 85 53 228 76
88 80 57 225 75
胜者 甲 甲 乙 甲 甲
3:3:4 2:3:5 2:2:6
73.7 70.0 66.8
73.2 70.1 67.8
甲 乙 乙
引例 学生甲乙参加数学竞赛,观察其胜负
Ch4-5
0.70?
为这 3 个数字的 加权平均
5.0533.0852.090
3
1
???????
?i
ii px
称
数学期望的概念源于此
Ch4-6
设 X 为离散 r.v,其分布为
?,2,1,)( ??? kpxXP kk
若无穷级数 ?
??
?1k
kk px
其和为 X 的 数学期望 记作 E( X ),即
?
??
?
?
1
)(
k
kk pxXE
数学期望的定义
绝对收敛,则称
Ch4-7
设连续 r.v,X 的 d.f,为 )(xf
若广义积分 ? ??
?? dxxxf )(
绝对收敛,则称此积分为 X 的 数学期望
记作 E( X ),即
? ????? dxxxfXE )()(
数学期望的本质 —— 加权平均
它是一个数不再是 r.v.
定义
Ch4-8
例 1 X ~ B ( n,p ),求 E( X ),
解 ?
?
???
n
k
knkk
n ppkCXE
0
)1()(
?
?
???? ?
??
?? n
k
knk pp
knk
nnp
1
)1()1(1 )1(
)!()!1(
)!1(
?
?
?
??
? ??
1
0
)1(
1 )1(
n
k
knkk
n ppCnp np?
特例 若 Y ~ B ( 1,p ),则 E(Y) p?
Ch4-9
例 2 X ~ N ( ?,? 2 ),求 E ( X ),
解 dxexXE
x
2
2
2
)(
2
1)( ??
??
??
??
???
??
dueu
uu
x
2
2
2
1 ???
??
?
?
? ??? ???
?
?
）（
令
??
例 3 设 X ~ 参数为 p 的几何分布，求 E ( X ).
解 ?
??
?
???
1
1)1()(
k
kpkpXE
pxk
kkxp
??
??
?
? ?
?
??
?
?? ?
11
1
pxk
kxp
??
??
?
?
?
??
?
?? ?
1
'
1 px
p
px
1
)1(
1
1
2 ???
??
Ch4-10
常见 r.v,的数学期望 （ P159）
分布 期望概率分布
参数为 p的
0-1分布 pXP
pXP
???
??
1)0(
)1(
p
B(n,p) nk
ppCkXP knkkn
,,2,1,0
)1()(
??
??? ?
np
P(?)
?,2,1,0
!
)(
?
??
?
k
k
e
kXP
k ??
?
Ch4-11
分布 期望概率密度
区间 (a,b)上的
均匀分布 ??
?
?
? ??
??
其它,0
,,
1
)( bxaabxf
2
ba?
E(?) ??
? ?? ?
其它,0
,0,)( xexf x??
?
1
N(?,? 2)
2
2
2
)(
2
1)( ??
??
??
?
x
exf ?
Ch4-12
注意 不是所有的 r.v.都有数学期望
例如,柯西 (Cauchy)分布的密度函数为
???????? xxxf,)1( 1)( 2?
?? ???????? ?? dxxxdxxfx )1( ||)(|| 2?但 发散
它的数学期望不存在 !
Ch4-13
?设离散 r.v,X 的概率分布为
?,2,1,)( ??? ipxXP ii
若无穷级数 ?
?
?1
)(
i
ii pxg 绝对收敛，则
?
?
?
?
1
)()(
i
ii pxgYE
?设连续 r.v,的 d.f,为 f (x)
? ???? dxxfxg )()(绝对收敛,则
? ????? dxxfxgYE )()()(
若广义积分
r.v.函数 Y = g(X ) 的数学期望
Ch4-14
?设离散 r.v,(X,Y ) 的概率分布为
?,2,1,,),( ???? jipyYxXP ijji
Z = g(X,Y ),
?
?
? 1,
),(
ji
ijji pyxg
绝对收敛,则 ??
?
?
1,
),()(
ji
ijji pyxgZE
若级数
Ch4-15
?设连续 r.v,(X,Y )的联合 d.f,为
f (x,y), Z = g(X,Y ),
? ????? ???? d x d yyxfyxg ),(),(
绝对收敛,则
? ????? ????? d x d yyxfyxgZE ),(),()(
若广义积分
Ch4-16
例 3 设 (X,Y ) ~ N (0,1;0,1;0),求
22 YXZ ?? 的数学期望,
解 d xd yyxfyxZE ),()( 22? ?
??
??
??
?? ??
d xd yeyx
yx
222
22
2
1 ????
??
??
??? ?
?? ?
? ? ??
?
?
???
?
?
?? ??
?
?
2
0 0
2
2
2
1 dr d rer r
2
??
Ch4-17
解 (1) 设整机寿命为 N,}{m in 5,,2,1 kk XN ???
,))(1(1)(
5
1
?
?
???
k
kN xFxF
?
?
? ??? ?
其它，,0
,0,1 5 xe x?
五个独立元件,寿命分别为,,,,521 XXX ?
都服从参数为 ? 的指数分布，若将它们
(1) 串联； (2) 并联
成整机，求整机寿命的均值, （ P.142 例 6）
例 4
Ch4-18
?
?
? ?
?
?
其它，,0
,0,5
)(
5 xe
xf
x
N
??
即 N ~ E( 5?),?5
1)( ?NE
(2) 设整机寿命为 }{m a x 5,,2,1 kk XM ???
?
?
?
5
1
)()(
k
kM xFxF ??
? ??
?
?
其它，,0
,0,)1( 5 xe x?
?
?
? ??
?
??
其它，,0
,0,)1(5
)(
4 xee
xf
xx
M
???
Ch4-19 ? ??
??? dxxxfME M )()(
? ?? ?? ?? 0 4)1(5 dxexe xx ???
?60
137?
11
)(
)(
5
1
60
137
??
?
?
NE
ME
可见,并联组成整机的平均寿命比串联
组成整机的平均寿命长 11倍之多,
Ch4-20
例 5 设 X ~ N (0,1),Y ~ N (0,1),X,Y 相互独
立，求 E (max(X,Y )),
解
2
22
2
1)()(),( yx
YX eyfxfyxf
??
??
?
? ????? ????? d xd yyxfyxYXE ),(},m ax {}),( m ax {
D1
D2
??
??
?
?
2
1
),(},m ax {
),(},m ax {
D
D
d xd yyxfyx
d xd yyxfyx
Ch4-21 ????
????
??
2
22
1
22
22
2
1
2
1
D
yx
D
yx
d xd yexd xd yey ??
? ????? ?? ??? dyyedxe x
yx
22
221
? ?
1?? ?
??
??
?? ??? dyyedxe
x
yx
22
22
2
1
? ? ?
??
??
?? ??? dxxedye
y
xy
22
22
2
1
?
? ???? ?? dxe x 21?
其中 称为 概率积分? ??
??
? dxe x 2 ??
? ???? ? 2)( 2 dxe x dydxe yx?? ???? ??????? )( 22
dydxe yx?? ?? ?????
0
)(
0
224
Ch4-22
一般地，若 ),,(~),,(~ 22 ???? NYNX
X,Y 相互独立，则
?
?? ??}),( m ax { YXE
?
?? ??}),( m in { YXE
dydxe yx??
?? ????
?
0
)(
0
22
4 ?? ?? ??
00
22
4 r d red r
?
?
?? ????
2
1
2
4
所以 ? ??
??
? dxe x 2 ??
Ch4-23
?E (C ) = C
?E (aX ) = a E (X )
?E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
CXEaCXaE
n
i
ii
n
i
ii ????
??
?
? ? ??
?? 11
)(
?当 X,Y 独立时,E (X Y ) = E (X )E (Y ),
?若存在数 a 使 P(X ? a) = 1,则 E (X ) ? a ；
若存在数 b 使 P(X ? b) = 1,则 E (X ) ? b.
数学期望的性质
常数
Ch4-24
性质 4 的逆命题不成立，即
若 E (X Y ) = E (X )E (Y ),X,Y 不一定独立
反例见附录 1
注
Ch4-25
设 X 连续,d.f,为 f (x),分布函数为 F(x),则
)(1)( aXPaXP ????
1)(1 ?? aF 0)( ?aF
axxF ??,0)(
axxf ??,0)(
故 ?
???
a dxxxfXE )()( ?
???
a dxxaf )(a?
证 性质 5
Ch4-26
例 6 将 4 个不同色的球随机放入 4 个盒子
中,每盒容纳球数无限,求空盒子数的
数学期望,
解一 设 X 为空盒子数,则 X 的概率分布为
X
P
0 1 2 3
44
!4
4
2
4
1
3
1
4
4
PCC
4
3
4
1
2
2
4
2
4
4
)( CCCC ?
4
1
4
4
C
64
81)( ?XE
Ch4-27
解二 再引入 X i,i = 1,2,3,4
?
?
??
其它，
盒空，第
,0
,1 iX
i
4321 XXXXX ????
Xi
P
1 04
4
3
??????
4
4
31
???????
4
4
3)(
???????iXE
64
81
4
34)( 4 ?
????????XE
Ch4-28例 7 设二维 r.v,(X,Y ) 的 d.f,为
??
?
?
? ?????
?
其它,0
,10,20),31(
4
1
),(
2 yxyx
yxf
求 E(X),E(Y),E( X + Y ),E(X Y),E(Y / X)
解 ? ?
??
??
??
??? d xd yyxxfXE ),()(
? ? ??? 20 10 2 )31(41 dyyx d xx34?
? ????? ????? d xd yyxyfYE ),()(
? ? ?? 20 10 2 )31(41 dyyyx d x85?
Ch4-29
24
47
8
5
3
4 ???
)()()( YEXEYXE ???
?)( XYE 6
5
8
5
3
4 ???
由数学期望性质
X,Y 独立
? ?
??
??
??
?? ??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
? d xd yyxf
x
y
X
YE ),(
? ? ???
2
0
1
0
2 )31(
2
1
2
1 dyyydx
)(
)(
32
15
8
5
XE
YE???
)()( YEXE ?
Ch4-30
Ch4-31
据统计 65岁的人在 10年内正常死亡
解
应用 1
的概率为 0,98,因事故死亡概率为 0.02.保险
公司开办老人事故死亡保险,参加者需交纳
保险费 100元,若 10 年内 因事故死亡公司赔偿
a 元,应如何定 a,才能使公司可期望获益 ;
若有 1000人投保,公司期望总获益多少?
设 Xi 表示公司从第 i 个投保者身上所得
的收益,i =1~1000, 则
Xi ~ 0.98 0.02100 100 a?
Ch4-32
由题设 02.0)1 0 0(98.01 0 0)( ????? aXE
i
002.01 0 0 ??? a
5 0 0 01 0 0 ?? a
公司每笔赔偿小于 5000元,能使公司获益,
公司期望总收益为
.201 0 0 0 0 0)()(
1000
1
1000
1
aXEXE
i
i
i
i ??? ??
??
若公司每笔赔偿 3000元,能使公司期望
总获益 40000元,
Ch4-33
为普查某种疾病,n 个人需验血, 验血方
案有如下两种：
(1) 分别化验每个人的血,共需化验 n 次；
(2) 分组化验,k 个人的血混在一起化验,若
结果为阴性,则只需化验一次 ; 若为阳性,则
对 k 个人的血逐个化验,找出有病者,此时
k 个人的血需化验 k + 1 次,
设每人血液化验呈阳性的概率为 p,且
每人化验结果是相互独立的,试说明选择哪
一方案较经济,
验血方案的选择应用 2
Ch4-34
解 只须计算方案 (2)所需化验次数的期望,
为简单计,不妨设 n 是 k 的倍数，共分成
n / k 组, 设第 i 组需化验的次数为 X i,则
? ?kp?1 ? ?kp?? 11
Xi
P
1 k + 1
? ? ? ? ]11)[1(1)( kki pkpXE ??????
? ? kpkk ???? 1)1(
Ch4-35
?
?
?
k
n
i
iXEXE
1
)()(
? ?? ?kpkk
k
n ???? 1)1(
??
?
??
? ?
?
??
?
? ????
kpn
k 1)1(1
,01)1( ??
?
??
?
? ??
kp
k
若 则 E (X ) < n
例如,
.1 0 0 0110
10
1999.011 0 0 0)( 10 ???
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
? ???XE
,10,001.0,1000 ??? kpn
当 时,选择方案 (2) 较经济,kp k /1)1( ??
Ch4-36
市场上对某种产品每年需求量为 X
吨, X ~ U [ 2000,4000 ],每出售一吨可赚
3万元,售不出去, 则每吨需仓库保管费 1
万元, 问应该生产这中商品多少吨,才能
使平均利润最大？
解
?
?
?
?
? ??
?
其它,0
,40002000,
2000
1
)(
x
xf X
设每年生产 y 吨的利润为 Y
显然,2000 < y < 4000
应用 3
Ch4-37
?
?
?
??
?
?
xyyx
xyy
xg
,4
,,3
)( ?
?
?
????
?
??
XyXyX
Xyy
XgY
,1)(3
,,3
)(
? ????? dxxfxgYE X )()()(
?? ??? 40002000 2 0 0 0132 0 0 01)4( yy dxydxyx
)1081 4 0 0 02(2 0 0 01 62 ????? yy
Ch4-38
)140004(
2000
1)( ??? y
dy
YdE
0令?
显然,02000
4)(
2
2
???
dy
YEd
故 y=3500 时,E(Y )最大,E (Y )= 8250万元
Ch4-39
设由自动线加工的某种零件的内径
X (mm)~ N (?,1).已知销售每个零件的利润
T (元 )与销售零件的内径 X 有如下的关系：
?
?
?
?
?
??
??
??
?
12,5
1210,20
10,1
X
X
X
T
问平均直径 ? 为何值时,销售一个零件的
平均利润最大？ (P.171习题四 15题 )
应用 4
Ch4-40
解 )10()10()1( ?? ?????? XPTP
)10()12(
)1210()20(
?? ??????
???? XPTP
)12(1)12()5( ?? ??????? XPTP
))12(1)(5(
))10()12((20
)10()1()(
??
????
??
????
????
???TE
5)10(21)12(25 ????? ????
Ch4-41 )12(25)10(21
)( ????
?
??????
d
TdE
0令?
0
2
125
2
121 2 )12(2 )10(
22
??
???? ??
??
ee即
21
25222 ?? ?e
21
25ln
2
111 ???
可以验证，,0
)(
2
2
??d TEd
零件的平均利润最大,
故 21
25ln
2
111 ???
时,销售一个)(91.10 mm?
Ch4-42
作业 P.169 习题四
1 2 3
4 5 7
Ch4-43
补 充 作 业
设 g(x) 是取正值的非减函数,X 为连续
型 r.v.,且 E( g(X) )存在，
证明, 对任意常数 a
)(
))(()(
ag
XgEaXP ??
Ch4-44
柯西
Augustin-Louis
Cauchy
1789 - 1857
法国数学家
Ch4-45柯 西
简介
法国数学家 27岁当选法国科学院院士
早在 1811年就解决了拉格朗日向他
提出的一个问题：凸多面体的角是否被
它的面所决定？柯西作了肯定的回答,这
一直是几何学中一个精彩的结果,
在概率论中他给出了有名的柯西分
布, 然而他一生中最重要的数学贡献在
另外三个领域：微积分学、复变函数和
微分方程,
Ch4-46
柯西在代数学、几何学、误差理论以及
天体力学、光学、弹性力学诸方面都有出色
的工作，特别是他弄清了弹性理论的基本数
学结构，为弹性力学奠定了严格的理论基础,
在这三个领域中我们常常能见到以柯西
名字命名的定理、公式和方程等,
柯西积分定理 ; 柯西积分公式 ;
柯西 -黎曼方程 ;柯西判别法则 ;
柯西不等式 ; 柯西初值问题
《微积分在几何上的应用,1826 年
柯西的著作大多是急就章，但都朴实无
华，有思想,有创见, 他所发现和创立的定理
和公式,往往是一些最简单、最基本的事实,
因而，他的数学成就影响广泛，意义深远,
柯西是一位多产的数学家，一生共发表
论文 800 余篇，著书 7本,《柯西全集》共有
27卷，其中最重要的为：
《分析教程,1821 年
《无穷小分析教程概论,1823 年
Ch4-48
性质 4 的逆命题不成立，即
若 E (X Y ) = E (X )E (Y ),X,Y 不一定独立
反例 1
X Y pij -1 0 1
-1
0
1
81 81 81
81
81 81 81
810
p? j
83
83
82
pi? 83 8382
[附录 1]
Ch4-49
X Y
P
-1 0 1
82 8284;0)()( ?? YEXE ;0)( ?XYE
)()()( YEXEXYE ?
但 8
1)1,1( ????? YXP
2
8
3)1()1(
???????????? YPXP
Ch4-50反例 2 }1),{(),(~),( 22 ??? yxyxDDUYX
?
?
?
?
? ??
?
其它,0
,1,
1
),(
22 yx
yxf ?
?
?
?
?
?
???
?
?
其它,0
,11,
12
)(
2
x
x
xf X ?
?
?
?
?
?
???
?
?
其它,0
,11,
12
)(
2
y
y
yf Y ?)()(
),(
yfxf
yxf
YX?
Ch4-51
但 ;0
12)( 1
1
2
??? ?
? ?
xxXE;0
1
)(
122
?? ??
??
d x d yxyXYE
yx ?
0)()()( ?? YEXEXYE
Ch4-52
几个重要的 r.v,函数的数学期望
)( kXE —— X 的 k 阶原点矩
)|(| kXE —— X 的 k 阶绝对原点矩
)))((( kXEXE ?—— X 的 k 阶中心矩
)()))((( 2 XDXEXE ??—— X 的 方差
[附录 2]
Ch4-53)(
lk YXE —— X,Y 的 k + l 阶混合原点矩
? ?lk YEYXEXE ))(())(( ??
—— X,Y 的 k + l 阶混合中心矩
)( XYE —— X,Y 的 二阶原点矩
? ?))() ) ((( YEYXEXE ??
—— X,Y 的 二阶混合中心矩
X,Y 的 协方差
XYYDXD
YEYXEXE ???
?
??
?
? ??
)()(
))())(((
—— X,Y 的 相关系数
第四章 随机变量的数字特征
分布函数能完整地描述随机变量的统
计特性,但实际应用中,有时并不需要知道
分布函数而只需知道随机变量的某些特征,
判断棉花质量时,既看纤维的 平均长度
平均长度越长,偏离程度越小,质量就越好 ;
又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度
例如,
Ch4-2
考察一射手的水平,既要看他的 平均
环数 是否高,还要看他弹着点的范围是否
小,即 数据的波动 是否小,
由上面例子看到，与随机变量有关的
某些数值，虽不能完整地描述随机变量，
但能清晰地描述随机变量在某些方面的重
要特征,这些数字特征在理论和实践上都
具有重要意义,
Ch4-3
? r.v.的平均取值 —— 数学期望
? r.v.取值平均偏离平均值的情况
—— 方差
? 描述两个 r.v.之间的某种关系的
数 —— 协方差 与 相关系数
本
章
内
容
随机变量某一方面的概率特性
都可用 数字 来描写
Ch4-4
§ 4.1随机变量的数学期望
加 权 平 均初
赛
复
赛
决
赛
总
成
绩
算术
平均
甲
乙
90 85 53 228 76
88 80 57 225 75
胜者 甲 甲 乙 甲 甲
3:3:4 2:3:5 2:2:6
73.7 70.0 66.8
73.2 70.1 67.8
甲 乙 乙
引例 学生甲乙参加数学竞赛,观察其胜负
Ch4-5
0.70?
为这 3 个数字的 加权平均
5.0533.0852.090
3
1
???????
?i
ii px
称
数学期望的概念源于此
Ch4-6
设 X 为离散 r.v,其分布为
?,2,1,)( ??? kpxXP kk
若无穷级数 ?
??
?1k
kk px
其和为 X 的 数学期望 记作 E( X ),即
?
??
?
?
1
)(
k
kk pxXE
数学期望的定义
绝对收敛,则称
Ch4-7
设连续 r.v,X 的 d.f,为 )(xf
若广义积分 ? ??
?? dxxxf )(
绝对收敛,则称此积分为 X 的 数学期望
记作 E( X ),即
? ????? dxxxfXE )()(
数学期望的本质 —— 加权平均
它是一个数不再是 r.v.
定义
Ch4-8
例 1 X ~ B ( n,p ),求 E( X ),
解 ?
?
???
n
k
knkk
n ppkCXE
0
)1()(
?
?
???? ?
??
?? n
k
knk pp
knk
nnp
1
)1()1(1 )1(
)!()!1(
)!1(
?
?
?
??
? ??
1
0
)1(
1 )1(
n
k
knkk
n ppCnp np?
特例 若 Y ~ B ( 1,p ),则 E(Y) p?
Ch4-9
例 2 X ~ N ( ?,? 2 ),求 E ( X ),
解 dxexXE
x
2
2
2
)(
2
1)( ??
??
??
??
???
??
dueu
uu
x
2
2
2
1 ???
??
?
?
? ??? ???
?
?
）（
令
??
例 3 设 X ~ 参数为 p 的几何分布，求 E ( X ).
解 ?
??
?
???
1
1)1()(
k
kpkpXE
pxk
kkxp
??
??
?
? ?
?
??
?
?? ?
11
1
pxk
kxp
??
??
?
?
?
??
?
?? ?
1
'
1 px
p
px
1
)1(
1
1
2 ???
??
Ch4-10
常见 r.v,的数学期望 （ P159）
分布 期望概率分布
参数为 p的
0-1分布 pXP
pXP
???
??
1)0(
)1(
p
B(n,p) nk
ppCkXP knkkn
,,2,1,0
)1()(
??
??? ?
np
P(?)
?,2,1,0
!
)(
?
??
?
k
k
e
kXP
k ??
?
Ch4-11
分布 期望概率密度
区间 (a,b)上的
均匀分布 ??
?
?
? ??
??
其它,0
,,
1
)( bxaabxf
2
ba?
E(?) ??
? ?? ?
其它,0
,0,)( xexf x??
?
1
N(?,? 2)
2
2
2
)(
2
1)( ??
??
??
?
x
exf ?
Ch4-12
注意 不是所有的 r.v.都有数学期望
例如,柯西 (Cauchy)分布的密度函数为
???????? xxxf,)1( 1)( 2?
?? ???????? ?? dxxxdxxfx )1( ||)(|| 2?但 发散
它的数学期望不存在 !
Ch4-13
?设离散 r.v,X 的概率分布为
?,2,1,)( ??? ipxXP ii
若无穷级数 ?
?
?1
)(
i
ii pxg 绝对收敛，则
?
?
?
?
1
)()(
i
ii pxgYE
?设连续 r.v,的 d.f,为 f (x)
? ???? dxxfxg )()(绝对收敛,则
? ????? dxxfxgYE )()()(
若广义积分
r.v.函数 Y = g(X ) 的数学期望
Ch4-14
?设离散 r.v,(X,Y ) 的概率分布为
?,2,1,,),( ???? jipyYxXP ijji
Z = g(X,Y ),
?
?
? 1,
),(
ji
ijji pyxg
绝对收敛,则 ??
?
?
1,
),()(
ji
ijji pyxgZE
若级数
Ch4-15
?设连续 r.v,(X,Y )的联合 d.f,为
f (x,y), Z = g(X,Y ),
? ????? ???? d x d yyxfyxg ),(),(
绝对收敛,则
? ????? ????? d x d yyxfyxgZE ),(),()(
若广义积分
Ch4-16
例 3 设 (X,Y ) ~ N (0,1;0,1;0),求
22 YXZ ?? 的数学期望,
解 d xd yyxfyxZE ),()( 22? ?
??
??
??
?? ??
d xd yeyx
yx
222
22
2
1 ????
??
??
??? ?
?? ?
? ? ??
?
?
???
?
?
?? ??
?
?
2
0 0
2
2
2
1 dr d rer r
2
??
Ch4-17
解 (1) 设整机寿命为 N,}{m in 5,,2,1 kk XN ???
,))(1(1)(
5
1
?
?
???
k
kN xFxF
?
?
? ??? ?
其它，,0
,0,1 5 xe x?
五个独立元件,寿命分别为,,,,521 XXX ?
都服从参数为 ? 的指数分布，若将它们
(1) 串联； (2) 并联
成整机，求整机寿命的均值, （ P.142 例 6）
例 4
Ch4-18
?
?
? ?
?
?
其它，,0
,0,5
)(
5 xe
xf
x
N
??
即 N ~ E( 5?),?5
1)( ?NE
(2) 设整机寿命为 }{m a x 5,,2,1 kk XM ???
?
?
?
5
1
)()(
k
kM xFxF ??
? ??
?
?
其它，,0
,0,)1( 5 xe x?
?
?
? ??
?
??
其它，,0
,0,)1(5
)(
4 xee
xf
xx
M
???
Ch4-19 ? ??
??? dxxxfME M )()(
? ?? ?? ?? 0 4)1(5 dxexe xx ???
?60
137?
11
)(
)(
5
1
60
137
??
?
?
NE
ME
可见,并联组成整机的平均寿命比串联
组成整机的平均寿命长 11倍之多,
Ch4-20
例 5 设 X ~ N (0,1),Y ~ N (0,1),X,Y 相互独
立，求 E (max(X,Y )),
解
2
22
2
1)()(),( yx
YX eyfxfyxf
??
??
?
? ????? ????? d xd yyxfyxYXE ),(},m ax {}),( m ax {
D1
D2
??
??
?
?
2
1
),(},m ax {
),(},m ax {
D
D
d xd yyxfyx
d xd yyxfyx
Ch4-21 ????
????
??
2
22
1
22
22
2
1
2
1
D
yx
D
yx
d xd yexd xd yey ??
? ????? ?? ??? dyyedxe x
yx
22
221
? ?
1?? ?
??
??
?? ??? dyyedxe
x
yx
22
22
2
1
? ? ?
??
??
?? ??? dxxedye
y
xy
22
22
2
1
?
? ???? ?? dxe x 21?
其中 称为 概率积分? ??
??
? dxe x 2 ??
? ???? ? 2)( 2 dxe x dydxe yx?? ???? ??????? )( 22
dydxe yx?? ?? ?????
0
)(
0
224
Ch4-22
一般地，若 ),,(~),,(~ 22 ???? NYNX
X,Y 相互独立，则
?
?? ??}),( m ax { YXE
?
?? ??}),( m in { YXE
dydxe yx??
?? ????
?
0
)(
0
22
4 ?? ?? ??
00
22
4 r d red r
?
?
?? ????
2
1
2
4
所以 ? ??
??
? dxe x 2 ??
Ch4-23
?E (C ) = C
?E (aX ) = a E (X )
?E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
CXEaCXaE
n
i
ii
n
i
ii ????
??
?
? ? ??
?? 11
)(
?当 X,Y 独立时,E (X Y ) = E (X )E (Y ),
?若存在数 a 使 P(X ? a) = 1,则 E (X ) ? a ；
若存在数 b 使 P(X ? b) = 1,则 E (X ) ? b.
数学期望的性质
常数
Ch4-24
性质 4 的逆命题不成立，即
若 E (X Y ) = E (X )E (Y ),X,Y 不一定独立
反例见附录 1
注
Ch4-25
设 X 连续,d.f,为 f (x),分布函数为 F(x),则
)(1)( aXPaXP ????
1)(1 ?? aF 0)( ?aF
axxF ??,0)(
axxf ??,0)(
故 ?
???
a dxxxfXE )()( ?
???
a dxxaf )(a?
证 性质 5
Ch4-26
例 6 将 4 个不同色的球随机放入 4 个盒子
中,每盒容纳球数无限,求空盒子数的
数学期望,
解一 设 X 为空盒子数,则 X 的概率分布为
X
P
0 1 2 3
44
!4
4
2
4
1
3
1
4
4
PCC
4
3
4
1
2
2
4
2
4
4
)( CCCC ?
4
1
4
4
C
64
81)( ?XE
Ch4-27
解二 再引入 X i,i = 1,2,3,4
?
?
??
其它，
盒空，第
,0
,1 iX
i
4321 XXXXX ????
Xi
P
1 04
4
3
??????
4
4
31
???????
4
4
3)(
???????iXE
64
81
4
34)( 4 ?
????????XE
Ch4-28例 7 设二维 r.v,(X,Y ) 的 d.f,为
??
?
?
? ?????
?
其它,0
,10,20),31(
4
1
),(
2 yxyx
yxf
求 E(X),E(Y),E( X + Y ),E(X Y),E(Y / X)
解 ? ?
??
??
??
??? d xd yyxxfXE ),()(
? ? ??? 20 10 2 )31(41 dyyx d xx34?
? ????? ????? d xd yyxyfYE ),()(
? ? ?? 20 10 2 )31(41 dyyyx d x85?
Ch4-29
24
47
8
5
3
4 ???
)()()( YEXEYXE ???
?)( XYE 6
5
8
5
3
4 ???
由数学期望性质
X,Y 独立
? ?
??
??
??
?? ??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
? d xd yyxf
x
y
X
YE ),(
? ? ???
2
0
1
0
2 )31(
2
1
2
1 dyyydx
)(
)(
32
15
8
5
XE
YE???
)()( YEXE ?
Ch4-30
Ch4-31
据统计 65岁的人在 10年内正常死亡
解
应用 1
的概率为 0,98,因事故死亡概率为 0.02.保险
公司开办老人事故死亡保险,参加者需交纳
保险费 100元,若 10 年内 因事故死亡公司赔偿
a 元,应如何定 a,才能使公司可期望获益 ;
若有 1000人投保,公司期望总获益多少?
设 Xi 表示公司从第 i 个投保者身上所得
的收益,i =1~1000, 则
Xi ~ 0.98 0.02100 100 a?
Ch4-32
由题设 02.0)1 0 0(98.01 0 0)( ????? aXE
i
002.01 0 0 ??? a
5 0 0 01 0 0 ?? a
公司每笔赔偿小于 5000元,能使公司获益,
公司期望总收益为
.201 0 0 0 0 0)()(
1000
1
1000
1
aXEXE
i
i
i
i ??? ??
??
若公司每笔赔偿 3000元,能使公司期望
总获益 40000元,
Ch4-33
为普查某种疾病,n 个人需验血, 验血方
案有如下两种：
(1) 分别化验每个人的血,共需化验 n 次；
(2) 分组化验,k 个人的血混在一起化验,若
结果为阴性,则只需化验一次 ; 若为阳性,则
对 k 个人的血逐个化验,找出有病者,此时
k 个人的血需化验 k + 1 次,
设每人血液化验呈阳性的概率为 p,且
每人化验结果是相互独立的,试说明选择哪
一方案较经济,
验血方案的选择应用 2
Ch4-34
解 只须计算方案 (2)所需化验次数的期望,
为简单计,不妨设 n 是 k 的倍数，共分成
n / k 组, 设第 i 组需化验的次数为 X i,则
? ?kp?1 ? ?kp?? 11
Xi
P
1 k + 1
? ? ? ? ]11)[1(1)( kki pkpXE ??????
? ? kpkk ???? 1)1(
Ch4-35
?
?
?
k
n
i
iXEXE
1
)()(
? ?? ?kpkk
k
n ???? 1)1(
??
?
??
? ?
?
??
?
? ????
kpn
k 1)1(1
,01)1( ??
?
??
?
? ??
kp
k
若 则 E (X ) < n
例如,
.1 0 0 0110
10
1999.011 0 0 0)( 10 ???
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
? ???XE
,10,001.0,1000 ??? kpn
当 时,选择方案 (2) 较经济,kp k /1)1( ??
Ch4-36
市场上对某种产品每年需求量为 X
吨, X ~ U [ 2000,4000 ],每出售一吨可赚
3万元,售不出去, 则每吨需仓库保管费 1
万元, 问应该生产这中商品多少吨,才能
使平均利润最大？
解
?
?
?
?
? ??
?
其它,0
,40002000,
2000
1
)(
x
xf X
设每年生产 y 吨的利润为 Y
显然,2000 < y < 4000
应用 3
Ch4-37
?
?
?
??
?
?
xyyx
xyy
xg
,4
,,3
)( ?
?
?
????
?
??
XyXyX
Xyy
XgY
,1)(3
,,3
)(
? ????? dxxfxgYE X )()()(
?? ??? 40002000 2 0 0 0132 0 0 01)4( yy dxydxyx
)1081 4 0 0 02(2 0 0 01 62 ????? yy
Ch4-38
)140004(
2000
1)( ??? y
dy
YdE
0令?
显然,02000
4)(
2
2
???
dy
YEd
故 y=3500 时,E(Y )最大,E (Y )= 8250万元
Ch4-39
设由自动线加工的某种零件的内径
X (mm)~ N (?,1).已知销售每个零件的利润
T (元 )与销售零件的内径 X 有如下的关系：
?
?
?
?
?
??
??
??
?
12,5
1210,20
10,1
X
X
X
T
问平均直径 ? 为何值时,销售一个零件的
平均利润最大？ (P.171习题四 15题 )
应用 4
Ch4-40
解 )10()10()1( ?? ?????? XPTP
)10()12(
)1210()20(
?? ??????
???? XPTP
)12(1)12()5( ?? ??????? XPTP
))12(1)(5(
))10()12((20
)10()1()(
??
????
??
????
????
???TE
5)10(21)12(25 ????? ????
Ch4-41 )12(25)10(21
)( ????
?
??????
d
TdE
0令?
0
2
125
2
121 2 )12(2 )10(
22
??
???? ??
??
ee即
21
25222 ?? ?e
21
25ln
2
111 ???
可以验证，,0
)(
2
2
??d TEd
零件的平均利润最大,
故 21
25ln
2
111 ???
时,销售一个)(91.10 mm?
Ch4-42
作业 P.169 习题四
1 2 3
4 5 7
Ch4-43
补 充 作 业
设 g(x) 是取正值的非减函数,X 为连续
型 r.v.,且 E( g(X) )存在，
证明, 对任意常数 a
)(
))(()(
ag
XgEaXP ??
Ch4-44
柯西
Augustin-Louis
Cauchy
1789 - 1857
法国数学家
Ch4-45柯 西
简介
法国数学家 27岁当选法国科学院院士
早在 1811年就解决了拉格朗日向他
提出的一个问题：凸多面体的角是否被
它的面所决定？柯西作了肯定的回答,这
一直是几何学中一个精彩的结果,
在概率论中他给出了有名的柯西分
布, 然而他一生中最重要的数学贡献在
另外三个领域：微积分学、复变函数和
微分方程,
Ch4-46
柯西在代数学、几何学、误差理论以及
天体力学、光学、弹性力学诸方面都有出色
的工作，特别是他弄清了弹性理论的基本数
学结构，为弹性力学奠定了严格的理论基础,
在这三个领域中我们常常能见到以柯西
名字命名的定理、公式和方程等,
柯西积分定理 ; 柯西积分公式 ;
柯西 -黎曼方程 ;柯西判别法则 ;
柯西不等式 ; 柯西初值问题
《微积分在几何上的应用,1826 年
柯西的著作大多是急就章，但都朴实无
华，有思想,有创见, 他所发现和创立的定理
和公式,往往是一些最简单、最基本的事实,
因而，他的数学成就影响广泛，意义深远,
柯西是一位多产的数学家，一生共发表
论文 800 余篇，著书 7本,《柯西全集》共有
27卷，其中最重要的为：
《分析教程,1821 年
《无穷小分析教程概论,1823 年
Ch4-48
性质 4 的逆命题不成立，即
若 E (X Y ) = E (X )E (Y ),X,Y 不一定独立
反例 1
X Y pij -1 0 1
-1
0
1
81 81 81
81
81 81 81
810
p? j
83
83
82
pi? 83 8382
[附录 1]
Ch4-49
X Y
P
-1 0 1
82 8284;0)()( ?? YEXE ;0)( ?XYE
)()()( YEXEXYE ?
但 8
1)1,1( ????? YXP
2
8
3)1()1(
???????????? YPXP
Ch4-50反例 2 }1),{(),(~),( 22 ??? yxyxDDUYX
?
?
?
?
? ??
?
其它,0
,1,
1
),(
22 yx
yxf ?
?
?
?
?
?
???
?
?
其它,0
,11,
12
)(
2
x
x
xf X ?
?
?
?
?
?
???
?
?
其它,0
,11,
12
)(
2
y
y
yf Y ?)()(
),(
yfxf
yxf
YX?
Ch4-51
但 ;0
12)( 1
1
2
??? ?
? ?
xxXE;0
1
)(
122
?? ??
??
d x d yxyXYE
yx ?
0)()()( ?? YEXEXYE
Ch4-52
几个重要的 r.v,函数的数学期望
)( kXE —— X 的 k 阶原点矩
)|(| kXE —— X 的 k 阶绝对原点矩
)))((( kXEXE ?—— X 的 k 阶中心矩
)()))((( 2 XDXEXE ??—— X 的 方差
[附录 2]
Ch4-53)(
lk YXE —— X,Y 的 k + l 阶混合原点矩
? ?lk YEYXEXE ))(())(( ??
—— X,Y 的 k + l 阶混合中心矩
)( XYE —— X,Y 的 二阶原点矩
? ?))() ) ((( YEYXEXE ??
—— X,Y 的 二阶混合中心矩
X,Y 的 协方差
XYYDXD
YEYXEXE ???
?
??
?
? ??
)()(
))())(((
—— X,Y 的 相关系数
