Ch3-1
多
维
分
布
Ch3-2
第
三
章
多
维随
机
变
量
及
其
分
布
Ch3-3
在实际问题中,试验结果有时需要同
时用两个或两个以上的 r.v.来描述,
例如 用温度和风力来描述天气情况,
通过对含碳、含硫、含磷量的测定来研究
需考虑多维 r.v.及其取值规律 —多维分布,
钢的成分, 要研究这些 r.v.之间的联系,就
Ch3-4
§ 3.1 二维随机变量及其分布
定义 设 ?为随机试验的样本空间,
? ? 2)(),( RYX ?????? ????? ??? 一定法则
则称 ( X,Y )为 二维 r.v.或 二维随机向量
讨论：
二维 r.v.作为一个整体的概率特性
其中每一个 r.v.的概率特性与整体
的概率特性之间的关系
Ch3-5
二维随机变量的联合分布函数
定义 设 ( X,Y ) 为二维 r.v,对于
)()( yYxX ???
定义了一个二元
实函数 F ( x,y ),称为二维 r.v.
( X,Y ) 的分布函数，即
? ?yYxXPyxF ???,),(
(记为 )? ?yxX ??,
的概率 ? ?yYxXP ??,
任何一对实数 ( x,y ),事件
Ch3-6
分布函数的几何意义
如果用平面上的点 (x,y) 表示二维 r.v.
(X,Y )的一组可能的取值，则 F (x,y) 表示
(X,Y ) 的取值落入图所示角形区域的概率,
(x,y)
x
y
(,)? ? ? ?
Ch3-7联合分布函数的性质
(,) 0F ? ? ? ? ?
),( ????
x
y
(x,y)
x
y
),( ????
1),(0 ?? yxF
(,) 1F ? ? ? ? ?
①
Ch3-8
(,) 0Fx ? ? ?
x
y
??
x
y
(,) 0Fy? ? ?
??
Ch3-9
固定 x,对任意的 y1< y2,
固定 y,对任意的 x1< x2,
F (x0,y0) = F (x0+ 0,y0 )
F (x0,y0) = F (x0,y0 + 0 )
对每个变量单调不减②
对每个变量右连续③
F (x,y1) ? F (x,y2)
F (x1,y) ? F (x2,y)
Ch3-10
F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c) ? 0
事实上
对于任意 a < b,c < d④
– F (b,c)
– F (a,d) + F (a,c)
? ?,0P a X b c Y d? ? ? ? ? ?
F (b,d)
a b
c
d
Ch3-11例 1
?
?
?
??
??
?
1,1
1,0
),(
yx
yx
yxF
设
讨论 F (x,y)能否成为二维 r.v.的分布函数？
解
x
y
?(0,0) ?(2,0)
?(2,2)?(0,2)
)0,0()0,2(
)2,0()2,2(
FF
FF
??
?
10? ? ?
故 F(x,y)不能作为某二维 r.v.的分布函数,
1 1 1 0? ? ? ?
Ch3-12注意 对于二维 r.v.
? ? ),(1,caFcYaXP ????
x
y
a
c (a,c)
? ?
),(
,
?????????
??
YcXaP
cYaXP
),(),(
),(1
caFaF
cF
????
????
(a,+?) (+?,+?)
(+?,c)
Ch3-13二维随机变量的边缘分布函数
? ?xXPxF X ??)(
? ?????? YxXP,
),( ??? xF
? ?yYPyF Y ??)(
? ?yYXP ?????,
),( yF ???
x
y
x
x
y y
由联合分布函数 边缘分布函数,逆不真,
Ch3-14例 2 设 r.v.(X,Y )的联合分布函数为
????????????
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
yx
y
C
x
BAyxF
,
2
a r c t a n
2
a r c t a n),(
其中 A,B,C 为常数,
(1) 确定 A,B,C ；
(2) 求 X 和 Y 的边缘分布函数；
(3) 求 P (X > 2)
Ch3-15
解 (1) 122),( ???
??
?
? ??
?
??
?
? ?????? ?? CBAF
0
22
),( ??
?
??
?
? ??
?
??
?
? ?????? ?? CBAF
0
22
),( ??
?
??
?
? ??
?
??
?
? ?????? ?? CBAF
2
1,
2
,
2 ?
?? ??? ACB
(2) ),()( ??? xFxF X
.,
2
a r c t a n1
2
1 ???????? xx
?
Ch3-16 ),()( yFyF
Y ???
.,
2
a r c t a n1
2
1 ???????? yy
?
(3) )2(1)2( ???? XPXP
?????? ??? 2
2a r c tan1
2
11
?
.4/1?
可以将二维 r.v.及其边缘分布函数的
概念推广到 n 维 r.v.及其联合分布函
数与边缘分布函数
Ch3-17
定义 若二维 r.v.(X,Y )所有可能的取值
为有限多个或无穷可列多个,则称
(X,Y ) 为 二维离散型 r.v.
要描述二维离散型 r.v.的概率特性及
其与每个 r.v.之间的关系常用其 联合
概率分布 和 边缘概率分布
二维离散型 r.v.及其概率特性
Ch3-18联合分布律
设 ( X,Y )的所有可能的取值为
则称
为二维 r.v.( X,Y ) 的 联合概率分布
也简称 概率分布 或 分布律
显然，
?,2,1,,),( ???? jipyYxXP ijji
?,2,1,),,( ?jiyx ji
?,2,1,,0 ?? jip ij 1
1 1
?? ?
??
?
??
?i j
ijp
Ch3-19
二维离散 r.v.的联合分布函数
,.xy? ? ? ? ? ?
已知联合分布律可以求出其联合分布函数
反之,由分布函数也可求出其联合分布律
?,2,1,?ji
,),( ? ?
? ?
?
xx yy
ij
i j
pyxF
)0,0(),0( ????? jiji yxFyxF
)0,(),(),( ????? jijiji yxFyxFyYxXP
Ch3-20
二维离散 r.v.的边缘分布律
?,2,1,)(
1
???? ?
??
?
? ippxXP i
j
iji
记作
?,2,1,)(
1
???? ?
??
?
? jppyYP j
i
ijj
记作
由联合分布可确定边缘分布,其逆不真,
Ch3-21
x1 xi
? ?
11p
?
?
jp1
?
?
?
?
?
?
?
?
1ip
?
?
ijp
X
Y
( X,Y ) 的联合分布律
y1
?
?
yj
Ch3-22
1
x1 xi
? ?
11p
?
?
jp1
?
?
?
?
?
?
?
?
1ip
?
?
ijp
pi? p1? pi
?
? ?
p? j
p?1
p?
j
?
?
?
?
yj
y1
XY
联合分布律 及边缘分布律
Ch3-23
),( jiij yYxXPp ??? 的求法
⑴ 利用古典概型直接求；
⑵ 利用乘法公式
.)()( ijiij xXyYPxXPp ????
联合概率
Ch3-24
例 3 某校新选出的学生会 6 名女委员,文、
理、工科各占 1/6,1/3,1/2，现从中随机
指定 2 人为学生会主席候选人, 令 X,Y 分
别为候选人中来自文、理科的人数,
解 X 与 Y 的可能取值分别为 0,1和 0,1,2.
求 (X,Y) 的联合分布律和边缘分布律,
,15/3
2
5
2
3
2
6
2
5 ???
C
C
C
C
)00()0()0,0( ?????? XYPxPYXP
由乘法公式
Ch3-25
,15/3/)0,1( 261311 ???? CCCYXP
,15/2/)1,1( 261211 ???? CCCYXP
.0)2,1( ??? YXP
,15/6/)1,0( 261312 ???? CCCYXP;15/1/)2,0( 2622 ???? CCYXP
,15/3/)0,0( 2623 ???? CCYXP
或由古典概型
相仿有
Ch3-26
故联合分布律与边缘分布律为
0
1
0 1 2
3/15 6/15 1/15
3/15 2/15 0
X Y pi
?
p?
j
1/3
2/3
16/15 8/15 1/15
Ch3-27
例 4 二元两点分布
X
Y
pij p? j
pi?
1 0
1
0
p 0
0 q
p q
p
q
1
p + q = 1, 0 < p < 1
Ch3-28
作业 P131 习题三
1 2 3
Ch3-29
二维连续 r.v.及其概率特性
定义 设二维 r.v.( X,Y )的分布函数为
F(x,y ),若存在非负可积函数 f (x,y),
使得对于任意实数 x,y 有
? ??? ??? x y d v d uvufyxF ),(),(
则称 ( X,Y ) 为 二维连续型 r.v,f (x,y) 为
( X,Y ) 的 联合概率密度函数, 简记 p.d.f.
Ch3-30
联合密度与联合分布函数的性质
除 d.f,的一般性质外还有下述性质
),(
2
yxf
yx
F
?
??
?
yxyxf ??? ),(
),( yyYyxxXxP ????????从而有
0),( ?yxf1
1),( ?? ???
??
??
??
d y d xyxf2
对每个变元连续,在 的连续点处),( yxf3
Ch3-31
P( X = a,- ? < Y < + ? ) = 0
P(- ? < X < + ?,Y= a ) = 0
? ? ????
G
d xd yyxfGYXP ),(),(
若 G 是平面上的区域，则
P( X = a,Y = b ) = 04
Ch3-32
? ??? ????? xX d v d uvufxF ),()(
边缘分布函数与边缘 d.f.
? ??? ????? yY d u d vvufyF ),()(
? ????? dvvxfxf X ),()(
? ????? duyufyf Y ),()(
与离散型相同,已知联合分布可以求得边
缘分布；反之则不能唯一确定,
Ch3-33
例 5 设 r.v.( X,Y ) 的联合 d.f,为
?
?
? ????
?
其他,0
,10,0,
),(
yyxkxy
yxf
其中 k 为常数, 求
(1)常数 k ;
(2) P ( X + Y ? 1),P ( X < 0.5);
(3) 联合分布函数 F (x,y);
(4) 边缘 d.f,与边缘分布函数
Ch3-34
y = x1
0
x
y
? ?10,0),( ????? yyxyxD解 令
D
(1) 1),( ?? ?
??
??
??
??
d x d yyxf
1),( ???
D
d xd yyxf
?
? ?
??
1
0
2
1
0 0
82
k
dy
y
yk
kxyd xdy
y
8?k
Ch3-35
y = x1
0
x
y(2) )1( ?? YXP
0.5
y = x1
0
x
y
? ? ?? 1 5.0 1 8y y xyd xdy
.6/5?
y = x1
0
x
y
0.5
)5.0( ?XP
? ?? 5.00 1 8x xyd ydx
.16/7?
Ch3-36
当 0? x< 1,0? y< x 时，
1
(3) ? ? ? ??? ?????? x y d v d uvufyYxXPyxF ),(,),(
当 x<0 或 y<0 时,
F(x,y) = 0
4
0 0
8 yu v d udvy v ?? ? ?
当 0? x<1,x? y<1时，
422
0 28),( xyxu v d vduyxF
x y
u ??? ? ?
v=u1
0 u
v
),( yxF
Ch3-37
当 0 ? x <1,y ? 1时，
? ??
x
u
u v d vduyxF
0
1
8),(
v=u1
0
u
v
1
422 xx ??
Ch3-38
当 x ? 1,0 ? y < 1时，
v=u1
0
u
v
1当 x ? 1,y ? 1 时，
1),( ?yxF
4y?
? ??
y v
u v d udv
0 0
8),( yxF
Ch3-39
F (x,y) =
0,x < 0 或 y < 0
y4,0 ? x <1,0 ? y < x,
2x2y2–y4,0 ? x <1,x ? y <1，
2x2–x4,0 ? x <1,y ? 1，
y4,x ? 1,0 ? y < 1，
1,x ? 1,y ? 1，
（也可写成五段）
Ch3-40
(4) ),()( ??? xFxF X
=
0,x < 0，
2x2–x4,0 ? x < 1,
1,x ? 1
),()( yFyF Y ???
0,y < 0
y4,0 ? y < 1,
1,y ? 1
=
Ch3-41
?
?
? ???
?
其他,0
10,44
)(
3 xxx
xf X
?
?
? ??
?
其他,0
10,4
)(
3 yy
yf Y
Ch3-42
也可以直接由联合 d.f.求边缘 d.f.
再积分求边缘分布函数, 例如
? ????? dvvxfxf X ),()(
?
?
? ??
? ?
其他,0
10,8
1
xxv d v
x v=u1
0 u
v
1
?
?
? ???
?
其他,0
10,44 3 xxx
Ch3-43
作业 P.132 习题三
6 7
10 11
Ch3-44
常用连续型二维随机变量分布
G 是平面上的有界区域,面积为 A
若 r.v.( X,Y ) 的联合 d.f,为
?
?
? ?
?
其他,0
),(,/1
),(
GyxA
yxf
则称 ( X,Y )服从区域 G上的均匀分布
区域 G 上的 均匀分布,记作 U ( G )
Ch3-45
则 ? G1 ? G,设 G1的面积为 A1,
? ?
A
A
GYXP 11),( ??
若 ( X,Y )服从区域 G上的均匀分布,
边平行于坐标轴的矩形域上的均匀
分布的边缘分布仍为均匀分布
Ch3-46
例 6 设 (X,Y ) ~ G 上的均匀分布,
? ?10,0),( ????? xxyyxG
(1) f ( x,y );
(2) P ( Y > X 2 );
(3) ( X,Y ) 在平面上的落点到
y 轴距离小于 0.3的概率,
求
Ch3-47
解 (1)
y=x1
0 x
y
1
?
?
? ????
?
其他,0
10,0,2
),(
xxy
yxf
G
(2) y = x2
? ??
1
0 2
2
x
x
dydx
.3/1?
)( 2XYP ?
Ch3-48
(3) )3.03.0()3.0|(| ????? XPXP
09.0)3.0(
2
12 2 ????
y = x
1
0 x
y
10.3
Ch3-49
若 r.v.( X,Y ) 的联合为
???????????? yx,
则称 ( X,Y ) 服从参数为 ?1,?12,?2,?22,? 的
正态 分布,记作 ( X,Y ) ~ N(?1,?12;?2,?22;? )
其中 ?1,?2>0,-1< ? < 1,
二维正态分布
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
??
?
?
?
?
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
)())((
2
)(
)1(2
1
?
?
??
??
?
?
?
?
yyxx
e
?
?
?
2
21 12
1
),(
????
yxf
Ch3-50
Clear[f,x,y]
f[x_,y_]:=Exp[-(x^2+y^2)/2]/(2Pi)
Plot3D[f[x,y],{x,-3,3},{y,-3,3},ViewPoint-
>{-2.869,1.790,0.110},
AspectRatio->0.6,PlotPoints->30];
Ch3-51
二维正态分布图
Ch3-52
Ch3-53
二维正态分布剖面图
Ch3-54
正态分布的边缘分布仍为正态分布
???????
?
?
xexf
x
X,
2
1
)(
2
1
2
1
2
)(
1
?
?
??
???????
?
?
yeyf
y
Y,
2
1
)(
2
2
2
2
2
)(
2
?
?
??
Ch3-55
令 ?
?
?
?
??
?
?
?
2
221
21
2
1
????
????
B
B 为正定矩阵
AB ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
221
21
2
1
2
1
1
1
1
1
???
?
??
?
?
?
0)1(|| 22212 ??? ???B
再令 则 二维正态 联合 d.f.为TyxX ),(
21 ?? ???
AXX T
e
B
yxf 2
1
2
1
2 ||)2(
1
),(
?
?
?
推广 AXX
nn
n
T
e
B
xxxf 2
1
121
||)2(
1
),,,(
?
?
?
?
Ch3-56
设 r.v.Z ~指数分布 E(1),引入
随机变量：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
21
20
11
10
Z
Z
Y
Z
Z
X
求 (X,Y) 的联合分布律
第 8 周 问 题
Ch3-57
(1) 把三个球随机放入 1,2,3号盒子中,
每盒可容球无限, 记 X,Y 分别为落入
1 号盒与 2 号盒的 球数，求 ( X,Y ) 的
联合分布律与边缘分布律，即填下表：
X 0 1 2 3 p?
j
Y
pi
0
1
2
3
附例
Ch3-58
(2) 把 3 个红球和 3 个白球 随机 放入
1,2,3 号盒中,每盒可容球无限,记 X
与 Y 分别为落入 1 号盒的白球数与红
球数, 求 (X,Y ) 的联合分布律和边缘
分布律，即再填上表,
通过这两张表你
能得到什么结论
Ch3-59
解 (1) 本题中，
)()(),( iXjYPiXPjYiXP ?????? jij
j
i
ii
i CC
??
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
3
3
3
3 2
1
1
2
1
3
2
3
1;3,2,1,0;3,,0 ??? iij ?
其联合分布与边缘分布如下表所示
Ch3-60X
0 1 2 3
27
1 27
1
27
1
27
1
9
1
9
1
27
1
0
0
0
9
1
9
1
0
0
9
1
9
1
9
2
0
pi? 278
27
8
9
2
9
2
9
4
9
4
1
p? j
Y
0
1
2
3
Ch3-61
)()(),( iXjYPiXPjYiXP ?????? jj
j
ii
i CC
??
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
3
3
3
3 3
1
1
3
1
3
2
3
1
3,2,1,0,?ji
见下表
解 (2)
Ch3-62
X 0 1 2 3
27
1 27
1
pi? 27
8
27
8
9
2
9
2
9
4
9
4
1
p? j
Y
0
1
2
3
27
8
27
8 ?
9
4
27
8 ?
9
2
27
8 ?
9
1
27
8 ?
27
8
9
4?
9
4
9
4?
9
2
9
4?
27
1
9
4?
27
8
9
2?
9
4
9
2?
9
2
9
2?
27
1
9
2? 9
2
27
1 ?
27
8
27
1 ?
9
4
27
1 ?
27
1
27
1 ?
Ch3-63
(1) 与 (2) 有相同的边缘分布,但它们
的联合分布却不同,
联合分布可以唯一地确定边缘分布
边缘分布却不能唯一确定联合分布
故有结论
Ch3-64
附例续
解 (a) 由 ( X,Y ) 的联合分布律可得
( ) 7 / 2 7P Y X??
( ) 1 0 / 2 7,P Y X??
(a) P (X = Y ),P (Y > X ) ;
(b) F (x,y),
问题 (1) (2) 完成后,再按 (1)求
Ch3-65(b) 要求 F(x,y),先将 ( X,Y )的可能取
x
y
? ? ?
? ?
?
?
?
?
?
的 (x,y) 求 F (x,y)
值画在 xoy 平面
上,对于不同位置
Ch3-660,x < 0 或 y < 0,
1/27,0 ? x <1,0 ? y < 1,
4/27,0 ? x <1,1 ? y < 2,
7/27,0 ? x <1,2 ? y < 3,
8/27,0 ? x <1,y ? 3,
4/27,1 ? x <2,0 ? y < 1,
13/27,1 ? x <2,1 ? y < 2,
19/27,1 ? x <2,2 ? y < 3,
20/27,1 ? x <2,y ? 3,
F(x,y) =
Ch3-67
8/27,x ? 3,0 ? y < 1,
20/27,x ? 3,1 ? y < 2,
26/27,x ? 3,2 ? y < 3,
1,x ? 3,y ? 3
7/27,2 ? x <3,0 ? y < 1,
19/27,2 ? x <3,1 ? y < 2,
25/27,2 ? x <3,2 ? y < 3,
26/27,2 ? x <3,y ? 3,
多
维
分
布
Ch3-2
第
三
章
多
维随
机
变
量
及
其
分
布
Ch3-3
在实际问题中,试验结果有时需要同
时用两个或两个以上的 r.v.来描述,
例如 用温度和风力来描述天气情况,
通过对含碳、含硫、含磷量的测定来研究
需考虑多维 r.v.及其取值规律 —多维分布,
钢的成分, 要研究这些 r.v.之间的联系,就
Ch3-4
§ 3.1 二维随机变量及其分布
定义 设 ?为随机试验的样本空间,
? ? 2)(),( RYX ?????? ????? ??? 一定法则
则称 ( X,Y )为 二维 r.v.或 二维随机向量
讨论：
二维 r.v.作为一个整体的概率特性
其中每一个 r.v.的概率特性与整体
的概率特性之间的关系
Ch3-5
二维随机变量的联合分布函数
定义 设 ( X,Y ) 为二维 r.v,对于
)()( yYxX ???
定义了一个二元
实函数 F ( x,y ),称为二维 r.v.
( X,Y ) 的分布函数，即
? ?yYxXPyxF ???,),(
(记为 )? ?yxX ??,
的概率 ? ?yYxXP ??,
任何一对实数 ( x,y ),事件
Ch3-6
分布函数的几何意义
如果用平面上的点 (x,y) 表示二维 r.v.
(X,Y )的一组可能的取值，则 F (x,y) 表示
(X,Y ) 的取值落入图所示角形区域的概率,
(x,y)
x
y
(,)? ? ? ?
Ch3-7联合分布函数的性质
(,) 0F ? ? ? ? ?
),( ????
x
y
(x,y)
x
y
),( ????
1),(0 ?? yxF
(,) 1F ? ? ? ? ?
①
Ch3-8
(,) 0Fx ? ? ?
x
y
??
x
y
(,) 0Fy? ? ?
??
Ch3-9
固定 x,对任意的 y1< y2,
固定 y,对任意的 x1< x2,
F (x0,y0) = F (x0+ 0,y0 )
F (x0,y0) = F (x0,y0 + 0 )
对每个变量单调不减②
对每个变量右连续③
F (x,y1) ? F (x,y2)
F (x1,y) ? F (x2,y)
Ch3-10
F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c) ? 0
事实上
对于任意 a < b,c < d④
– F (b,c)
– F (a,d) + F (a,c)
? ?,0P a X b c Y d? ? ? ? ? ?
F (b,d)
a b
c
d
Ch3-11例 1
?
?
?
??
??
?
1,1
1,0
),(
yx
yx
yxF
设
讨论 F (x,y)能否成为二维 r.v.的分布函数？
解
x
y
?(0,0) ?(2,0)
?(2,2)?(0,2)
)0,0()0,2(
)2,0()2,2(
FF
FF
??
?
10? ? ?
故 F(x,y)不能作为某二维 r.v.的分布函数,
1 1 1 0? ? ? ?
Ch3-12注意 对于二维 r.v.
? ? ),(1,caFcYaXP ????
x
y
a
c (a,c)
? ?
),(
,
?????????
??
YcXaP
cYaXP
),(),(
),(1
caFaF
cF
????
????
(a,+?) (+?,+?)
(+?,c)
Ch3-13二维随机变量的边缘分布函数
? ?xXPxF X ??)(
? ?????? YxXP,
),( ??? xF
? ?yYPyF Y ??)(
? ?yYXP ?????,
),( yF ???
x
y
x
x
y y
由联合分布函数 边缘分布函数,逆不真,
Ch3-14例 2 设 r.v.(X,Y )的联合分布函数为
????????????
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
yx
y
C
x
BAyxF
,
2
a r c t a n
2
a r c t a n),(
其中 A,B,C 为常数,
(1) 确定 A,B,C ；
(2) 求 X 和 Y 的边缘分布函数；
(3) 求 P (X > 2)
Ch3-15
解 (1) 122),( ???
??
?
? ??
?
??
?
? ?????? ?? CBAF
0
22
),( ??
?
??
?
? ??
?
??
?
? ?????? ?? CBAF
0
22
),( ??
?
??
?
? ??
?
??
?
? ?????? ?? CBAF
2
1,
2
,
2 ?
?? ??? ACB
(2) ),()( ??? xFxF X
.,
2
a r c t a n1
2
1 ???????? xx
?
Ch3-16 ),()( yFyF
Y ???
.,
2
a r c t a n1
2
1 ???????? yy
?
(3) )2(1)2( ???? XPXP
?????? ??? 2
2a r c tan1
2
11
?
.4/1?
可以将二维 r.v.及其边缘分布函数的
概念推广到 n 维 r.v.及其联合分布函
数与边缘分布函数
Ch3-17
定义 若二维 r.v.(X,Y )所有可能的取值
为有限多个或无穷可列多个,则称
(X,Y ) 为 二维离散型 r.v.
要描述二维离散型 r.v.的概率特性及
其与每个 r.v.之间的关系常用其 联合
概率分布 和 边缘概率分布
二维离散型 r.v.及其概率特性
Ch3-18联合分布律
设 ( X,Y )的所有可能的取值为
则称
为二维 r.v.( X,Y ) 的 联合概率分布
也简称 概率分布 或 分布律
显然，
?,2,1,,),( ???? jipyYxXP ijji
?,2,1,),,( ?jiyx ji
?,2,1,,0 ?? jip ij 1
1 1
?? ?
??
?
??
?i j
ijp
Ch3-19
二维离散 r.v.的联合分布函数
,.xy? ? ? ? ? ?
已知联合分布律可以求出其联合分布函数
反之,由分布函数也可求出其联合分布律
?,2,1,?ji
,),( ? ?
? ?
?
xx yy
ij
i j
pyxF
)0,0(),0( ????? jiji yxFyxF
)0,(),(),( ????? jijiji yxFyxFyYxXP
Ch3-20
二维离散 r.v.的边缘分布律
?,2,1,)(
1
???? ?
??
?
? ippxXP i
j
iji
记作
?,2,1,)(
1
???? ?
??
?
? jppyYP j
i
ijj
记作
由联合分布可确定边缘分布,其逆不真,
Ch3-21
x1 xi
? ?
11p
?
?
jp1
?
?
?
?
?
?
?
?
1ip
?
?
ijp
X
Y
( X,Y ) 的联合分布律
y1
?
?
yj
Ch3-22
1
x1 xi
? ?
11p
?
?
jp1
?
?
?
?
?
?
?
?
1ip
?
?
ijp
pi? p1? pi
?
? ?
p? j
p?1
p?
j
?
?
?
?
yj
y1
XY
联合分布律 及边缘分布律
Ch3-23
),( jiij yYxXPp ??? 的求法
⑴ 利用古典概型直接求；
⑵ 利用乘法公式
.)()( ijiij xXyYPxXPp ????
联合概率
Ch3-24
例 3 某校新选出的学生会 6 名女委员,文、
理、工科各占 1/6,1/3,1/2，现从中随机
指定 2 人为学生会主席候选人, 令 X,Y 分
别为候选人中来自文、理科的人数,
解 X 与 Y 的可能取值分别为 0,1和 0,1,2.
求 (X,Y) 的联合分布律和边缘分布律,
,15/3
2
5
2
3
2
6
2
5 ???
C
C
C
C
)00()0()0,0( ?????? XYPxPYXP
由乘法公式
Ch3-25
,15/3/)0,1( 261311 ???? CCCYXP
,15/2/)1,1( 261211 ???? CCCYXP
.0)2,1( ??? YXP
,15/6/)1,0( 261312 ???? CCCYXP;15/1/)2,0( 2622 ???? CCYXP
,15/3/)0,0( 2623 ???? CCYXP
或由古典概型
相仿有
Ch3-26
故联合分布律与边缘分布律为
0
1
0 1 2
3/15 6/15 1/15
3/15 2/15 0
X Y pi
?
p?
j
1/3
2/3
16/15 8/15 1/15
Ch3-27
例 4 二元两点分布
X
Y
pij p? j
pi?
1 0
1
0
p 0
0 q
p q
p
q
1
p + q = 1, 0 < p < 1
Ch3-28
作业 P131 习题三
1 2 3
Ch3-29
二维连续 r.v.及其概率特性
定义 设二维 r.v.( X,Y )的分布函数为
F(x,y ),若存在非负可积函数 f (x,y),
使得对于任意实数 x,y 有
? ??? ??? x y d v d uvufyxF ),(),(
则称 ( X,Y ) 为 二维连续型 r.v,f (x,y) 为
( X,Y ) 的 联合概率密度函数, 简记 p.d.f.
Ch3-30
联合密度与联合分布函数的性质
除 d.f,的一般性质外还有下述性质
),(
2
yxf
yx
F
?
??
?
yxyxf ??? ),(
),( yyYyxxXxP ????????从而有
0),( ?yxf1
1),( ?? ???
??
??
??
d y d xyxf2
对每个变元连续,在 的连续点处),( yxf3
Ch3-31
P( X = a,- ? < Y < + ? ) = 0
P(- ? < X < + ?,Y= a ) = 0
? ? ????
G
d xd yyxfGYXP ),(),(
若 G 是平面上的区域，则
P( X = a,Y = b ) = 04
Ch3-32
? ??? ????? xX d v d uvufxF ),()(
边缘分布函数与边缘 d.f.
? ??? ????? yY d u d vvufyF ),()(
? ????? dvvxfxf X ),()(
? ????? duyufyf Y ),()(
与离散型相同,已知联合分布可以求得边
缘分布；反之则不能唯一确定,
Ch3-33
例 5 设 r.v.( X,Y ) 的联合 d.f,为
?
?
? ????
?
其他,0
,10,0,
),(
yyxkxy
yxf
其中 k 为常数, 求
(1)常数 k ;
(2) P ( X + Y ? 1),P ( X < 0.5);
(3) 联合分布函数 F (x,y);
(4) 边缘 d.f,与边缘分布函数
Ch3-34
y = x1
0
x
y
? ?10,0),( ????? yyxyxD解 令
D
(1) 1),( ?? ?
??
??
??
??
d x d yyxf
1),( ???
D
d xd yyxf
?
? ?
??
1
0
2
1
0 0
82
k
dy
y
yk
kxyd xdy
y
8?k
Ch3-35
y = x1
0
x
y(2) )1( ?? YXP
0.5
y = x1
0
x
y
? ? ?? 1 5.0 1 8y y xyd xdy
.6/5?
y = x1
0
x
y
0.5
)5.0( ?XP
? ?? 5.00 1 8x xyd ydx
.16/7?
Ch3-36
当 0? x< 1,0? y< x 时，
1
(3) ? ? ? ??? ?????? x y d v d uvufyYxXPyxF ),(,),(
当 x<0 或 y<0 时,
F(x,y) = 0
4
0 0
8 yu v d udvy v ?? ? ?
当 0? x<1,x? y<1时，
422
0 28),( xyxu v d vduyxF
x y
u ??? ? ?
v=u1
0 u
v
),( yxF
Ch3-37
当 0 ? x <1,y ? 1时，
? ??
x
u
u v d vduyxF
0
1
8),(
v=u1
0
u
v
1
422 xx ??
Ch3-38
当 x ? 1,0 ? y < 1时，
v=u1
0
u
v
1当 x ? 1,y ? 1 时，
1),( ?yxF
4y?
? ??
y v
u v d udv
0 0
8),( yxF
Ch3-39
F (x,y) =
0,x < 0 或 y < 0
y4,0 ? x <1,0 ? y < x,
2x2y2–y4,0 ? x <1,x ? y <1，
2x2–x4,0 ? x <1,y ? 1，
y4,x ? 1,0 ? y < 1，
1,x ? 1,y ? 1，
（也可写成五段）
Ch3-40
(4) ),()( ??? xFxF X
=
0,x < 0，
2x2–x4,0 ? x < 1,
1,x ? 1
),()( yFyF Y ???
0,y < 0
y4,0 ? y < 1,
1,y ? 1
=
Ch3-41
?
?
? ???
?
其他,0
10,44
)(
3 xxx
xf X
?
?
? ??
?
其他,0
10,4
)(
3 yy
yf Y
Ch3-42
也可以直接由联合 d.f.求边缘 d.f.
再积分求边缘分布函数, 例如
? ????? dvvxfxf X ),()(
?
?
? ??
? ?
其他,0
10,8
1
xxv d v
x v=u1
0 u
v
1
?
?
? ???
?
其他,0
10,44 3 xxx
Ch3-43
作业 P.132 习题三
6 7
10 11
Ch3-44
常用连续型二维随机变量分布
G 是平面上的有界区域,面积为 A
若 r.v.( X,Y ) 的联合 d.f,为
?
?
? ?
?
其他,0
),(,/1
),(
GyxA
yxf
则称 ( X,Y )服从区域 G上的均匀分布
区域 G 上的 均匀分布,记作 U ( G )
Ch3-45
则 ? G1 ? G,设 G1的面积为 A1,
? ?
A
A
GYXP 11),( ??
若 ( X,Y )服从区域 G上的均匀分布,
边平行于坐标轴的矩形域上的均匀
分布的边缘分布仍为均匀分布
Ch3-46
例 6 设 (X,Y ) ~ G 上的均匀分布,
? ?10,0),( ????? xxyyxG
(1) f ( x,y );
(2) P ( Y > X 2 );
(3) ( X,Y ) 在平面上的落点到
y 轴距离小于 0.3的概率,
求
Ch3-47
解 (1)
y=x1
0 x
y
1
?
?
? ????
?
其他,0
10,0,2
),(
xxy
yxf
G
(2) y = x2
? ??
1
0 2
2
x
x
dydx
.3/1?
)( 2XYP ?
Ch3-48
(3) )3.03.0()3.0|(| ????? XPXP
09.0)3.0(
2
12 2 ????
y = x
1
0 x
y
10.3
Ch3-49
若 r.v.( X,Y ) 的联合为
???????????? yx,
则称 ( X,Y ) 服从参数为 ?1,?12,?2,?22,? 的
正态 分布,记作 ( X,Y ) ~ N(?1,?12;?2,?22;? )
其中 ?1,?2>0,-1< ? < 1,
二维正态分布
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
??
?
?
?
?
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
)())((
2
)(
)1(2
1
?
?
??
??
?
?
?
?
yyxx
e
?
?
?
2
21 12
1
),(
????
yxf
Ch3-50
Clear[f,x,y]
f[x_,y_]:=Exp[-(x^2+y^2)/2]/(2Pi)
Plot3D[f[x,y],{x,-3,3},{y,-3,3},ViewPoint-
>{-2.869,1.790,0.110},
AspectRatio->0.6,PlotPoints->30];
Ch3-51
二维正态分布图
Ch3-52
Ch3-53
二维正态分布剖面图
Ch3-54
正态分布的边缘分布仍为正态分布
???????
?
?
xexf
x
X,
2
1
)(
2
1
2
1
2
)(
1
?
?
??
???????
?
?
yeyf
y
Y,
2
1
)(
2
2
2
2
2
)(
2
?
?
??
Ch3-55
令 ?
?
?
?
??
?
?
?
2
221
21
2
1
????
????
B
B 为正定矩阵
AB ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
221
21
2
1
2
1
1
1
1
1
???
?
??
?
?
?
0)1(|| 22212 ??? ???B
再令 则 二维正态 联合 d.f.为TyxX ),(
21 ?? ???
AXX T
e
B
yxf 2
1
2
1
2 ||)2(
1
),(
?
?
?
推广 AXX
nn
n
T
e
B
xxxf 2
1
121
||)2(
1
),,,(
?
?
?
?
Ch3-56
设 r.v.Z ~指数分布 E(1),引入
随机变量：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
21
20
11
10
Z
Z
Y
Z
Z
X
求 (X,Y) 的联合分布律
第 8 周 问 题
Ch3-57
(1) 把三个球随机放入 1,2,3号盒子中,
每盒可容球无限, 记 X,Y 分别为落入
1 号盒与 2 号盒的 球数，求 ( X,Y ) 的
联合分布律与边缘分布律，即填下表：
X 0 1 2 3 p?
j
Y
pi
0
1
2
3
附例
Ch3-58
(2) 把 3 个红球和 3 个白球 随机 放入
1,2,3 号盒中,每盒可容球无限,记 X
与 Y 分别为落入 1 号盒的白球数与红
球数, 求 (X,Y ) 的联合分布律和边缘
分布律，即再填上表,
通过这两张表你
能得到什么结论
Ch3-59
解 (1) 本题中，
)()(),( iXjYPiXPjYiXP ?????? jij
j
i
ii
i CC
??
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
3
3
3
3 2
1
1
2
1
3
2
3
1;3,2,1,0;3,,0 ??? iij ?
其联合分布与边缘分布如下表所示
Ch3-60X
0 1 2 3
27
1 27
1
27
1
27
1
9
1
9
1
27
1
0
0
0
9
1
9
1
0
0
9
1
9
1
9
2
0
pi? 278
27
8
9
2
9
2
9
4
9
4
1
p? j
Y
0
1
2
3
Ch3-61
)()(),( iXjYPiXPjYiXP ?????? jj
j
ii
i CC
??
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
3
3
3
3 3
1
1
3
1
3
2
3
1
3,2,1,0,?ji
见下表
解 (2)
Ch3-62
X 0 1 2 3
27
1 27
1
pi? 27
8
27
8
9
2
9
2
9
4
9
4
1
p? j
Y
0
1
2
3
27
8
27
8 ?
9
4
27
8 ?
9
2
27
8 ?
9
1
27
8 ?
27
8
9
4?
9
4
9
4?
9
2
9
4?
27
1
9
4?
27
8
9
2?
9
4
9
2?
9
2
9
2?
27
1
9
2? 9
2
27
1 ?
27
8
27
1 ?
9
4
27
1 ?
27
1
27
1 ?
Ch3-63
(1) 与 (2) 有相同的边缘分布,但它们
的联合分布却不同,
联合分布可以唯一地确定边缘分布
边缘分布却不能唯一确定联合分布
故有结论
Ch3-64
附例续
解 (a) 由 ( X,Y ) 的联合分布律可得
( ) 7 / 2 7P Y X??
( ) 1 0 / 2 7,P Y X??
(a) P (X = Y ),P (Y > X ) ;
(b) F (x,y),
问题 (1) (2) 完成后,再按 (1)求
Ch3-65(b) 要求 F(x,y),先将 ( X,Y )的可能取
x
y
? ? ?
? ?
?
?
?
?
?
的 (x,y) 求 F (x,y)
值画在 xoy 平面
上,对于不同位置
Ch3-660,x < 0 或 y < 0,
1/27,0 ? x <1,0 ? y < 1,
4/27,0 ? x <1,1 ? y < 2,
7/27,0 ? x <1,2 ? y < 3,
8/27,0 ? x <1,y ? 3,
4/27,1 ? x <2,0 ? y < 1,
13/27,1 ? x <2,1 ? y < 2,
19/27,1 ? x <2,2 ? y < 3,
20/27,1 ? x <2,y ? 3,
F(x,y) =
Ch3-67
8/27,x ? 3,0 ? y < 1,
20/27,x ? 3,1 ? y < 2,
26/27,x ? 3,2 ? y < 3,
1,x ? 3,y ? 3
7/27,2 ? x <3,0 ? y < 1,
19/27,2 ? x <3,1 ? y < 2,
25/27,2 ? x <3,2 ? y < 3,
26/27,2 ? x <3,y ? 3,
