Ch1-39
§1.2 概率的定义及其计算
设在 n 次试验中，事件 A 发生了 m 次，
频率
n
mf
n ?则称 为事件 A发生的 频率
Ch1-40
频率的性质
? 1)(0 ?? Af n
? 1)( ??nf
? 事件 A,B互斥，则
)()()( BfAfBAf nnn ???
可推广到有限个两两互斥事件的和事件
非负性
归一性
可加性
? )()(lim APAf nn ??? 稳定性
某一定数
Ch1-41
投一枚硬币观察正面向上的次数
n = 4040,nH =2048,f n( H ) = 0.5069
n = 12000,nH =6019,f n( H ) = 0.5016
n = 24000,nH =12012,f n( H ) = 0.5005
频率稳定性的实例
蒲丰 ( Buffon )投币
皮尔森 ( Pearson ) 投币
Ch1-42
例 Dewey G,统计了约 438023个英语单词
中各字母出现的频率,发现各字母出现
的频率不同：
A,0.0788 B,0.0156 C,0.0268 D,0.0389
E,0.1268 F,0.0256 G,0.0187 H,0.0573
I,0.0707 J,0.0010 K,0.0060 L,0.0394
M,0.0244 N,0.0706 O,0.0776 P,0.0186
Q,0.0009 R,0.0594 S,0.0634 T,0.0987
U,0.0280 V,0.0102 W,0.0214 X,0.0016
Y,0.0202 Z,0.0006
Ch1-43
概率的
统计定义
概率的定义
在相同条件下重复进行的 n 次
试验中,事件 A 发生的频率稳定地在某一
常数 p 附近摆动,且随 n 越大摆动幅度越
小,则称 p 为事件 A 的概率,记作 P(A).
对本定义的评价
优点：直观
易懂
缺点：粗糙
模糊
不便
使用
Ch1-44
设 ? 是 随机试验 E 的 样本空间，若能
找到一个法则，使对于 E 的每一事件 A 赋
于一个实数，记为 P ( A ),称之为事件 A 的
概率，这种赋值满足下面的三条公理：
? 非负性,0)(,??? APA ?
? 归一性,1)( ??P ??
?
?
?
???????
11
)(
i
i
i
i APAP ?? 可列可加性：
?,,21 AA其中 为两两互斥事件，
概率的公理化理论由前苏联数学家柯
尔莫哥洛夫 (A.H.Колмогоров)1933年建立,
概率的
公理化定义
Ch1-45
概率的性质
? 0)( ??P
? )(1)( APAP ?? 1)( ?? AP
? 有限可加性, 设 nAAA ?,,21 两两互斥 ?
??
??
?
??
?
? n
i
i
n
i
i APAP
11
)(?
? 若 BA ? )()()( APBPABP ????
)()( BPAP ??
Ch1-46
? 对任意两个事件 A,B,有
)()()( ABPBPABP ???
B
A B=AB+(B – A)
P(B)=P(AB)+
P(B – AB)
B - AB
AB
Ch1-47
? 加法公式：对任意两个事件 A,B,有
)()()()( ABPBPAPBAP ????
)()()( BPAPBAP ???
推广,
)(
)()()(
)()()()(
ABCP
BCPACPABP
CPBPAPCBAP
?
???
?????
Ch1-48
)()1()(
)()()(
21
1
1
111
n
n
n
nkji
kji
nji
ji
n
i
i
n
i
i
AAAPAAAP
AAPAPAP
??
?
?
????
?????
????
???
?
??
一般,
右端共有 项,12 ?n
Ch1-49
例 1 小王参加“智力大冲浪”游戏,他能答
出甲、乙二类问题的概率分别为 0.7和 0.2,
两类问题都能答出的概率为 0.1,求小王
解 事件 A,B分别表示“能答出甲,乙类问题”
(1) 6.01.07.0)()()( ????? ABPAPBAP
(1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率
(2) 至少有一类问题能答出的概率
(3) 两类问题都答不出的概率
(2) 8.0)()()()( ????? ABPBPAPBAP
(3) 2.0)()( ??? BAPBAP
Ch1-50课后同学问：
例 1 中小王他能答出第一类问题的概
率为 0.7,答出第二类问题的概率为 0.2,两
类问题都能答出的概率为 0.1,为什么不是
？2.07.0 ?
若是的话,则应有 )()()( 2121 APAPAAP ?
而现在题中并未给出这一条件,
在 §1.4中将告诉我们上述等式成立的
条件是,事件 相互独立,21,AA
Ch1-51
例 2 设 A,B满足 P ( A ) = 0.6,P ( B ) = 0.7,
在何条件下,P(AB) 取得最大 (小 )值？
最大 (小 )值是多少？
解 )()()()( ABPBPAPBAP ????
)()()()( BAPBPAPABP ????
3.01)()( ???? BPAP
1)( ?? BAP最小值在 时取得
6.0)()( ?? APABP
—— 最小值
—— 最大值
)()( BPBAP ??最大值在 时取得
Ch1-52
课上有同学提问
最小值是否正确？
例 2 中回答当 时,取得??? BA )( BAP
这相当于问如下命题是否成立
答：不成立 ！
??? BA 1)( ??? BAP ?
?式是“羊肉包子打狗,—— 有去路,没回路
为什么呢？学了几何概型便会明白,
Ch1-53
设 随机试验 E 具有下列特点：
?基本事件的个数有限
?每个基本事件等可能性发生
则称 E 为 古典 (等可能 )概型
古典概型中概率的计算：
记 个数中所包含的基本事件的??n
的基本事件的个数组成 Ak ?
n
kAP ?)(
则
古典（等可能）概型
概率的
古典定义
Ch1-54
例 3 袋中有 a 只白球,b 只红球，从袋中按
不放回与放回两种方式取 m个球（ ),
求其中恰有 k 个（ ）白球的概率 mkak ??,
bam ??
)1()1)(( ???????? ?? mbababaAn m ba ?
解 （ 1） 不放回情形
设 E,球编号,任取一球,记下颜色,
放在一边，重复 m 次
记事件 A 为 m个球中有 k个白球，则
Ch1-55
)!(
!
)!(
!
)!(!
!
kmb
b
ka
a
kmk
m
??
?
?
?
?
?
km
b
k
a
k
mA AACn
??
则
m
ba
km
b
k
a
k
m
A
AAC
AP
?
?
?)( mkak ??,
Ch1-56
又解 设 E1,一次取 m 个球,记下颜色
m
baCn ??1?
记事件 A 为 m 个球中有 k 个白球，则
km
b
k
aA CCn
??
不放回地逐次取 m 个球,与一
次任取 m 个球算得的结果相同,
因此 m
ba
km
b
k
a
C
CCAP
?
?
?)(
mkak ??,
称 超几
何分布
Ch1-57
（ 2） 放回情形
E2,球编号,任取一球,记下颜色,放回去,
重复 m 次
mban )(
2
???
记 B 为取出的 m 个球中有 k 个白球,则
m
kmkk
m
ba
baC
BP
)(
)(
?
?
? kmk
k
m ba
b
ba
a
C
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ba
ap
??记
kmkk
m ppCBP
??? )1()(
称 二项分布
),m in (,,2,1 mak ??
Ch1-58
设有 k 个不同的球,每个
球等可能地落入 N 个盒子中（ ）,设
每个盒子容球数无限,求下列事件的概率,
Nk ?
（ 1）某指定的 k 个盒子中各有一球；
（ 4）恰有 k 个盒子中各有一球；
（ 3）某指定的一个盒子没有球 ；
km ?（ 2）某指定的一个盒子恰有 m 个球 ( )
（ 5）至少有两个球在同一盒子中；
（ 6）每个盒子至多有一个球,
例 4（分房模型）
Ch1-59解
kNn ?
设 (1) ~ (6)的各事件分别为 61 AA ?
则 !
1 km A ?
k
A
N
k
n
mAP !)(
1
1 ??
k
k
N
N
kCAP !)(
4 ?
k
k
N
NAP )1()(
3
?? k mkmk NNCAP ??? )1()( 2
k
k
N
k
N
kCNAP !)(
5
??
)(1 4AP??
k
A Nm )1(3 ??
mkm
kA NCm
??? )1(
2
!4 kCm kNA ?
!5 kCNm kNkA ??
!6 kCm kNA ? )()( 46 APAP ?
Ch1-60例 5,分房模型”的应用
生物系二年级有 n 个人，求至少有两
人生日相同（设为事件 A ) 的概率,
解
为 n 个人的生日均不相同,这相当于A
本问题中的人可被视为“球”,365天为
365只“盒子”
若 n = 64，
每个盒子至多有一个球, 由例 4（ 6）
n
n nC
AP
36 5
!
)( 3 6 5
?
?,
3 6 5
!
1)(1)( 365 n
n nC
APAP
?
?????
.9 9 7.0)( ?? AP
Ch1-61
解
.5 0 4 0410 ??? An
例 6 在 0,1,2,3,,9中不重复地任取四个数，
求它们能排成 首位非零 的四位偶数的概率,
?
设 A为,能排成 首位非零 的四位偶数”
四位 偶数的末位为偶数,故有 种可能1
5C
而前三位数有 种取法,由于首位为零的 四3
9A
位数有 种取法,所以有利于 A发生的取12
48CA
2 2 9 628143915 ??? ACACn A法共有 种,
90
41
5040
2296)( ??AP
?
Ch1-62
2121 AAAAA ???
解 nn 9??
设 A 表示事件, n 次取到的数字的乘积
能被 10整除”
设 A1 表示事件, n 次取到的数字中有偶数”
A2表示事件, n 次取到的数字中有 5”
A = A1 A2
例 7 在 1,2,3,,9中重复地任取 n ( )个数,
求 n 个数字的乘积能被 10整除的概率,
2??
Ch1-63
? ? n
n
AP
9
5
1 ?? ? n
n
AP
9
8
2 ?? ? n
n
AAP
9
4
21 ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
n
nnn
AAPAPAP
AAPAP
9
485
2121
21
??
?
???
??
? ?,
9
485
1 n
nnn
AP
??
??
Ch1-64
1o 明确所作的试验是等可能概型,有时需
设计符合问题要求的随机试验,使其成为
等可能概型,
3o 计算古典概率时须注意应用概率计算
的有关公式,将复杂问题简单化, 如例 7.
2o 同一题的样本空间的基本事件总数
随试验设计的不同而不同,如 例 3不放回
试验的两种不同设计, 一般 越小越好,
?n
?n
计算古典概率注意事项
Ch1-65
?若 P(A) 0.01,则称 A为小概率事件,
小概率事件
一次试验中小概率事件一般是不
会发生的, 若在一次试验中居然发生了,
则可怀疑该事件并非小概率事件,
小概率原理
——
—— ( 即实际推断原理 )
Ch1-66
例 8 区长办公室某一周内曾接待过 9次来
访,这些来访都是周三或周日进行的,是否
可以断定接待时间是有规定的？
解 假定办公室每天都接待，则
P( 9次来访都在周三、日 ) = = 0.0000127
9
9
7
2
这是小概率事件,一般在一次试验中不会发
发生, 现居然发生了,故可认为假定不成立,
从而推断接待时间是有规定的,
Ch1-67
作业 P 46习题一
7,8,9,10，
12,15,17,19,
Ch1-68
柯尔莫哥洛夫
( A,H,Колмогоров1903-1987 )
1939年任苏联科学
院院士,先后当选美,法,
意,荷,英,德 等国的外籍
院士 及皇家学会会员,
为 20 世纪最有影响的俄
国数学家,
俄国数学家
Ch1-69
柯尔莫哥洛夫为开创现代数学的一
系列重要分支作出重大贡献,
他建立了在测度论基础上的概率论
公理系统,奠定了近代概率论的基础,
他又是随机过程论的奠基人之一,
其主要工作包括,
20年代 关于强大数定律、重对数
律的基本工作 ;
Ch1-70
1933年在, 概率论的基本概念,
一文中提出的概率论公理体系 (希尔伯
特第 6问题 )
30年代建立的马尔可夫过程的两
个基本方程 ;
用希尔伯特空间的几何理论建立
弱平稳序列的线性理论 ;
40年代完成独立和的弱极限理论,
经验分布的柯尔莫哥洛夫统计量等 ;
Ch1-71
在动力系统中开创了关于哈密顿系
统的微扰理论与 K系统遍历理论 ;
50年代中期开创了研究函数特征的
信息论方法,他的工作及随后阿诺尔德
的工作解决并深化了希尔伯特第 13问题
—— 用较少变量的函数表示较多变量的
函数 ;
60年代后又创立了信息算法理论 ;
Ch1-72
1980年由于它在调和分析,概率论,
遍历理论 及 动力系统方面 出色的工作
获沃尔夫奖 ;
他十分重视数学教育,在他的指引
下,大批数学家在不同的领域内取得重
大成就,其中包括 и.M.盖尔范德,B.и.
阿诺尔德,Я.Г.西奈依等人,
他还非常重视基础教育,亲自领导
了中学 数学教科书的编写工作,
Ch1-73
问 题
已知 P( A ) = P( B ) = P(C) =1/4,
P(AB) = 0,P(AC) = P(BC) = 1/6
通过做此题 你能发现什么问题？
第 2 周
则 A,B,C 全不发生的概率为,
Ch1-74
例 9 某人的表停了，他打开收音机听电台
报时,已知电台是整点报时的，问他等待
报时的时间短于十分钟的概率
9点 10点
10分钟
6
1
60
10)( ??AP
几何概型 (等可能概型的推广 )
Ch1-75
几何概型
设样本空间为有限区域 ?,若样本点
落入 ? 内任何区域 G 中的概率与区域 G
的测度成正比,则样本点落入 G内的概率
为
的测度
的测度
?
G
AP ?)(
Ch1-76
例 10 设两船到达同一码头的时间是
随机的且各不相干, 两船到达后需在
码头停留的时间分别是 1 与 2 小 时,
试求一昼夜内,任一船到达时,需要等
待空出码头的概率,
解 设船 1 与船 2 到达码头的瞬时为
x 与 y, 0 ? x < 24, 0 ? y < 24
设 事件 A 表示“任一船到达时需要等
待空出码头”,
Ch1-77
x
y
24
24
y = x 224?
?S ? ?
22 2223
2
1 ??
AS
1 2 0 7.01)( ???
?S
S
AP A
}240,240),{( ????? yxyx?
}20,10 ?????? yxxy,),(),{( ??? yxyxA
Ch1-78
用几何概型可以回答例 2 中
提出的, 概率为 1 的事件为什么
不一定发生?, 这一问题,
Ch1-79
设试验为,随机地向边长为 1
的
0 1 x
Y
1
正方形内投点”, 事件 A 为
“点投
1
11
11
)( 2
1
2
1
?
?
???
?
?
?
正方形
蓝三角形黄三角形
S
SS
AP
由于点可能投在正方形的对角线上,
所以事件 A 未必一定发生,
)( AP求
在黄、蓝两三角形内”,
如图,
Ch1-80
作业 P 46习题一
21,22 (1) (2)
Ch1-81
完全可加性
随机地向区间 ( 0,1 ] 投掷一个质点，
??
??
?
?
2
1,0
令事件 A 为该质点落入区间
?,2,1,21,2 1 1 ??
?
??
?
?
? kkk
事件 Ak 为该质点落入区间
?
?
?
?
1k
kAA
0 1
（ ]
?
A
](
210
(41 21]( 81( ]( ]]
附录
Ch1-82
?,2,1,
2
1
)(
,
2
1
)(
1
??
?
?
kAP
AP
kk
2
1
2
1)(
1
1
1
?? ??
?
?
?
?
? k
k
k
kAP
Ch1-83排列组合有关知识复习
加法原理,完成一件事情有 n类方法，第 i 类
方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情
共有 ?
?
n
i
im
1
种不同的方法
乘法原理,完成一件事情有 n个步骤，第 i 个
步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情
共有 ?
?
n
i
im
1
种不同的方法
Ch1-84
排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放
回地）按一定的次序排成一排不同的
排法共有 )1()2)(1( ????? mnnnnA
mn ?
全排列 !nA nn ?
可重复排列 从 n 个不同的元素中可重复地
取出 m 个排成一排,不同的排法有
mn
种
Ch1-85
不尽相异元素的全排列 n 个元素中有 m 类，
第 i 类中有 个相同的元素，ik
,21 nkkk m ???? ?
将这 n 个元素按一定的次序排成一排，
!!!
!
21 mkkk
n
?
种
不同的排法共有
Ch1-86
mkkk,,,21 ? nkkk
m ???? ?21,不同的分法共有
多组组合 把 n 个元素分成 m 个不同的组
（组编号）,各组分别有 个元
素，
n
n
kkk knkn CCC ?2
1
1 ?
种
组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放
回地）组成一组,不同的分法共有
)!(!
!
mnm
nC m
n ??
Ch1-87
将 15 名同学 (含 3 名女同学 ),平均分成
三组, 求
(1) 每组有 1 名女同学 (设为事件 A)的概率；
(2) 3 名女同学同组 (设为事件 B)的概率
解 55510515 CCCn ??
（ 1） 1112134448412 CCCCCCn A ? 91
25)( ?AP
（ 2） 5551021213 CCCCn B ? 91
6)( ?BP
例 11 ( 类似于教材 P.22 例 10 )
Ch1-88
例 12 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入
标有 1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球，
求至少有一个盒子的号码与放入的球的号
码一致的概率
解 设 A 为所求的事件
设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒,i = 1,2,3,4
则 ?
4
1?
?
i
iAA
4,3,2,1,41!4 !3)( ??? iAP i
Ch1-89 41,
12
1
!4
!2)( ????? jiAAP
ji
41,241!4 !1)( ?????? kjiAAAP kji
24
1)(
4321 ?AAAAP
??
?????
??
4141
)()()(
ji
ji
i
i AAPAPAP
8
5)()(
4321
41
??? ?
????
AAAAPAAAP
kji
kji
由广义加法公式
§1.2 概率的定义及其计算
设在 n 次试验中，事件 A 发生了 m 次，
频率
n
mf
n ?则称 为事件 A发生的 频率
Ch1-40
频率的性质
? 1)(0 ?? Af n
? 1)( ??nf
? 事件 A,B互斥，则
)()()( BfAfBAf nnn ???
可推广到有限个两两互斥事件的和事件
非负性
归一性
可加性
? )()(lim APAf nn ??? 稳定性
某一定数
Ch1-41
投一枚硬币观察正面向上的次数
n = 4040,nH =2048,f n( H ) = 0.5069
n = 12000,nH =6019,f n( H ) = 0.5016
n = 24000,nH =12012,f n( H ) = 0.5005
频率稳定性的实例
蒲丰 ( Buffon )投币
皮尔森 ( Pearson ) 投币
Ch1-42
例 Dewey G,统计了约 438023个英语单词
中各字母出现的频率,发现各字母出现
的频率不同：
A,0.0788 B,0.0156 C,0.0268 D,0.0389
E,0.1268 F,0.0256 G,0.0187 H,0.0573
I,0.0707 J,0.0010 K,0.0060 L,0.0394
M,0.0244 N,0.0706 O,0.0776 P,0.0186
Q,0.0009 R,0.0594 S,0.0634 T,0.0987
U,0.0280 V,0.0102 W,0.0214 X,0.0016
Y,0.0202 Z,0.0006
Ch1-43
概率的
统计定义
概率的定义
在相同条件下重复进行的 n 次
试验中,事件 A 发生的频率稳定地在某一
常数 p 附近摆动,且随 n 越大摆动幅度越
小,则称 p 为事件 A 的概率,记作 P(A).
对本定义的评价
优点：直观
易懂
缺点：粗糙
模糊
不便
使用
Ch1-44
设 ? 是 随机试验 E 的 样本空间，若能
找到一个法则，使对于 E 的每一事件 A 赋
于一个实数，记为 P ( A ),称之为事件 A 的
概率，这种赋值满足下面的三条公理：
? 非负性,0)(,??? APA ?
? 归一性,1)( ??P ??
?
?
?
???????
11
)(
i
i
i
i APAP ?? 可列可加性：
?,,21 AA其中 为两两互斥事件，
概率的公理化理论由前苏联数学家柯
尔莫哥洛夫 (A.H.Колмогоров)1933年建立,
概率的
公理化定义
Ch1-45
概率的性质
? 0)( ??P
? )(1)( APAP ?? 1)( ?? AP
? 有限可加性, 设 nAAA ?,,21 两两互斥 ?
??
??
?
??
?
? n
i
i
n
i
i APAP
11
)(?
? 若 BA ? )()()( APBPABP ????
)()( BPAP ??
Ch1-46
? 对任意两个事件 A,B,有
)()()( ABPBPABP ???
B
A B=AB+(B – A)
P(B)=P(AB)+
P(B – AB)
B - AB
AB
Ch1-47
? 加法公式：对任意两个事件 A,B,有
)()()()( ABPBPAPBAP ????
)()()( BPAPBAP ???
推广,
)(
)()()(
)()()()(
ABCP
BCPACPABP
CPBPAPCBAP
?
???
?????
Ch1-48
)()1()(
)()()(
21
1
1
111
n
n
n
nkji
kji
nji
ji
n
i
i
n
i
i
AAAPAAAP
AAPAPAP
??
?
?
????
?????
????
???
?
??
一般,
右端共有 项,12 ?n
Ch1-49
例 1 小王参加“智力大冲浪”游戏,他能答
出甲、乙二类问题的概率分别为 0.7和 0.2,
两类问题都能答出的概率为 0.1,求小王
解 事件 A,B分别表示“能答出甲,乙类问题”
(1) 6.01.07.0)()()( ????? ABPAPBAP
(1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率
(2) 至少有一类问题能答出的概率
(3) 两类问题都答不出的概率
(2) 8.0)()()()( ????? ABPBPAPBAP
(3) 2.0)()( ??? BAPBAP
Ch1-50课后同学问：
例 1 中小王他能答出第一类问题的概
率为 0.7,答出第二类问题的概率为 0.2,两
类问题都能答出的概率为 0.1,为什么不是
？2.07.0 ?
若是的话,则应有 )()()( 2121 APAPAAP ?
而现在题中并未给出这一条件,
在 §1.4中将告诉我们上述等式成立的
条件是,事件 相互独立,21,AA
Ch1-51
例 2 设 A,B满足 P ( A ) = 0.6,P ( B ) = 0.7,
在何条件下,P(AB) 取得最大 (小 )值？
最大 (小 )值是多少？
解 )()()()( ABPBPAPBAP ????
)()()()( BAPBPAPABP ????
3.01)()( ???? BPAP
1)( ?? BAP最小值在 时取得
6.0)()( ?? APABP
—— 最小值
—— 最大值
)()( BPBAP ??最大值在 时取得
Ch1-52
课上有同学提问
最小值是否正确？
例 2 中回答当 时,取得??? BA )( BAP
这相当于问如下命题是否成立
答：不成立 ！
??? BA 1)( ??? BAP ?
?式是“羊肉包子打狗,—— 有去路,没回路
为什么呢？学了几何概型便会明白,
Ch1-53
设 随机试验 E 具有下列特点：
?基本事件的个数有限
?每个基本事件等可能性发生
则称 E 为 古典 (等可能 )概型
古典概型中概率的计算：
记 个数中所包含的基本事件的??n
的基本事件的个数组成 Ak ?
n
kAP ?)(
则
古典（等可能）概型
概率的
古典定义
Ch1-54
例 3 袋中有 a 只白球,b 只红球，从袋中按
不放回与放回两种方式取 m个球（ ),
求其中恰有 k 个（ ）白球的概率 mkak ??,
bam ??
)1()1)(( ???????? ?? mbababaAn m ba ?
解 （ 1） 不放回情形
设 E,球编号,任取一球,记下颜色,
放在一边，重复 m 次
记事件 A 为 m个球中有 k个白球，则
Ch1-55
)!(
!
)!(
!
)!(!
!
kmb
b
ka
a
kmk
m
??
?
?
?
?
?
km
b
k
a
k
mA AACn
??
则
m
ba
km
b
k
a
k
m
A
AAC
AP
?
?
?)( mkak ??,
Ch1-56
又解 设 E1,一次取 m 个球,记下颜色
m
baCn ??1?
记事件 A 为 m 个球中有 k 个白球，则
km
b
k
aA CCn
??
不放回地逐次取 m 个球,与一
次任取 m 个球算得的结果相同,
因此 m
ba
km
b
k
a
C
CCAP
?
?
?)(
mkak ??,
称 超几
何分布
Ch1-57
（ 2） 放回情形
E2,球编号,任取一球,记下颜色,放回去,
重复 m 次
mban )(
2
???
记 B 为取出的 m 个球中有 k 个白球,则
m
kmkk
m
ba
baC
BP
)(
)(
?
?
? kmk
k
m ba
b
ba
a
C
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ba
ap
??记
kmkk
m ppCBP
??? )1()(
称 二项分布
),m in (,,2,1 mak ??
Ch1-58
设有 k 个不同的球,每个
球等可能地落入 N 个盒子中（ ）,设
每个盒子容球数无限,求下列事件的概率,
Nk ?
（ 1）某指定的 k 个盒子中各有一球；
（ 4）恰有 k 个盒子中各有一球；
（ 3）某指定的一个盒子没有球 ；
km ?（ 2）某指定的一个盒子恰有 m 个球 ( )
（ 5）至少有两个球在同一盒子中；
（ 6）每个盒子至多有一个球,
例 4（分房模型）
Ch1-59解
kNn ?
设 (1) ~ (6)的各事件分别为 61 AA ?
则 !
1 km A ?
k
A
N
k
n
mAP !)(
1
1 ??
k
k
N
N
kCAP !)(
4 ?
k
k
N
NAP )1()(
3
?? k mkmk NNCAP ??? )1()( 2
k
k
N
k
N
kCNAP !)(
5
??
)(1 4AP??
k
A Nm )1(3 ??
mkm
kA NCm
??? )1(
2
!4 kCm kNA ?
!5 kCNm kNkA ??
!6 kCm kNA ? )()( 46 APAP ?
Ch1-60例 5,分房模型”的应用
生物系二年级有 n 个人，求至少有两
人生日相同（设为事件 A ) 的概率,
解
为 n 个人的生日均不相同,这相当于A
本问题中的人可被视为“球”,365天为
365只“盒子”
若 n = 64，
每个盒子至多有一个球, 由例 4（ 6）
n
n nC
AP
36 5
!
)( 3 6 5
?
?,
3 6 5
!
1)(1)( 365 n
n nC
APAP
?
?????
.9 9 7.0)( ?? AP
Ch1-61
解
.5 0 4 0410 ??? An
例 6 在 0,1,2,3,,9中不重复地任取四个数，
求它们能排成 首位非零 的四位偶数的概率,
?
设 A为,能排成 首位非零 的四位偶数”
四位 偶数的末位为偶数,故有 种可能1
5C
而前三位数有 种取法,由于首位为零的 四3
9A
位数有 种取法,所以有利于 A发生的取12
48CA
2 2 9 628143915 ??? ACACn A法共有 种,
90
41
5040
2296)( ??AP
?
Ch1-62
2121 AAAAA ???
解 nn 9??
设 A 表示事件, n 次取到的数字的乘积
能被 10整除”
设 A1 表示事件, n 次取到的数字中有偶数”
A2表示事件, n 次取到的数字中有 5”
A = A1 A2
例 7 在 1,2,3,,9中重复地任取 n ( )个数,
求 n 个数字的乘积能被 10整除的概率,
2??
Ch1-63
? ? n
n
AP
9
5
1 ?? ? n
n
AP
9
8
2 ?? ? n
n
AAP
9
4
21 ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
n
nnn
AAPAPAP
AAPAP
9
485
2121
21
??
?
???
??
? ?,
9
485
1 n
nnn
AP
??
??
Ch1-64
1o 明确所作的试验是等可能概型,有时需
设计符合问题要求的随机试验,使其成为
等可能概型,
3o 计算古典概率时须注意应用概率计算
的有关公式,将复杂问题简单化, 如例 7.
2o 同一题的样本空间的基本事件总数
随试验设计的不同而不同,如 例 3不放回
试验的两种不同设计, 一般 越小越好,
?n
?n
计算古典概率注意事项
Ch1-65
?若 P(A) 0.01,则称 A为小概率事件,
小概率事件
一次试验中小概率事件一般是不
会发生的, 若在一次试验中居然发生了,
则可怀疑该事件并非小概率事件,
小概率原理
——
—— ( 即实际推断原理 )
Ch1-66
例 8 区长办公室某一周内曾接待过 9次来
访,这些来访都是周三或周日进行的,是否
可以断定接待时间是有规定的？
解 假定办公室每天都接待，则
P( 9次来访都在周三、日 ) = = 0.0000127
9
9
7
2
这是小概率事件,一般在一次试验中不会发
发生, 现居然发生了,故可认为假定不成立,
从而推断接待时间是有规定的,
Ch1-67
作业 P 46习题一
7,8,9,10，
12,15,17,19,
Ch1-68
柯尔莫哥洛夫
( A,H,Колмогоров1903-1987 )
1939年任苏联科学
院院士,先后当选美,法,
意,荷,英,德 等国的外籍
院士 及皇家学会会员,
为 20 世纪最有影响的俄
国数学家,
俄国数学家
Ch1-69
柯尔莫哥洛夫为开创现代数学的一
系列重要分支作出重大贡献,
他建立了在测度论基础上的概率论
公理系统,奠定了近代概率论的基础,
他又是随机过程论的奠基人之一,
其主要工作包括,
20年代 关于强大数定律、重对数
律的基本工作 ;
Ch1-70
1933年在, 概率论的基本概念,
一文中提出的概率论公理体系 (希尔伯
特第 6问题 )
30年代建立的马尔可夫过程的两
个基本方程 ;
用希尔伯特空间的几何理论建立
弱平稳序列的线性理论 ;
40年代完成独立和的弱极限理论,
经验分布的柯尔莫哥洛夫统计量等 ;
Ch1-71
在动力系统中开创了关于哈密顿系
统的微扰理论与 K系统遍历理论 ;
50年代中期开创了研究函数特征的
信息论方法,他的工作及随后阿诺尔德
的工作解决并深化了希尔伯特第 13问题
—— 用较少变量的函数表示较多变量的
函数 ;
60年代后又创立了信息算法理论 ;
Ch1-72
1980年由于它在调和分析,概率论,
遍历理论 及 动力系统方面 出色的工作
获沃尔夫奖 ;
他十分重视数学教育,在他的指引
下,大批数学家在不同的领域内取得重
大成就,其中包括 и.M.盖尔范德,B.и.
阿诺尔德,Я.Г.西奈依等人,
他还非常重视基础教育,亲自领导
了中学 数学教科书的编写工作,
Ch1-73
问 题
已知 P( A ) = P( B ) = P(C) =1/4,
P(AB) = 0,P(AC) = P(BC) = 1/6
通过做此题 你能发现什么问题？
第 2 周
则 A,B,C 全不发生的概率为,
Ch1-74
例 9 某人的表停了，他打开收音机听电台
报时,已知电台是整点报时的，问他等待
报时的时间短于十分钟的概率
9点 10点
10分钟
6
1
60
10)( ??AP
几何概型 (等可能概型的推广 )
Ch1-75
几何概型
设样本空间为有限区域 ?,若样本点
落入 ? 内任何区域 G 中的概率与区域 G
的测度成正比,则样本点落入 G内的概率
为
的测度
的测度
?
G
AP ?)(
Ch1-76
例 10 设两船到达同一码头的时间是
随机的且各不相干, 两船到达后需在
码头停留的时间分别是 1 与 2 小 时,
试求一昼夜内,任一船到达时,需要等
待空出码头的概率,
解 设船 1 与船 2 到达码头的瞬时为
x 与 y, 0 ? x < 24, 0 ? y < 24
设 事件 A 表示“任一船到达时需要等
待空出码头”,
Ch1-77
x
y
24
24
y = x 224?
?S ? ?
22 2223
2
1 ??
AS
1 2 0 7.01)( ???
?S
S
AP A
}240,240),{( ????? yxyx?
}20,10 ?????? yxxy,),(),{( ??? yxyxA
Ch1-78
用几何概型可以回答例 2 中
提出的, 概率为 1 的事件为什么
不一定发生?, 这一问题,
Ch1-79
设试验为,随机地向边长为 1
的
0 1 x
Y
1
正方形内投点”, 事件 A 为
“点投
1
11
11
)( 2
1
2
1
?
?
???
?
?
?
正方形
蓝三角形黄三角形
S
SS
AP
由于点可能投在正方形的对角线上,
所以事件 A 未必一定发生,
)( AP求
在黄、蓝两三角形内”,
如图,
Ch1-80
作业 P 46习题一
21,22 (1) (2)
Ch1-81
完全可加性
随机地向区间 ( 0,1 ] 投掷一个质点，
??
??
?
?
2
1,0
令事件 A 为该质点落入区间
?,2,1,21,2 1 1 ??
?
??
?
?
? kkk
事件 Ak 为该质点落入区间
?
?
?
?
1k
kAA
0 1
（ ]
?
A
](
210
(41 21]( 81( ]( ]]
附录
Ch1-82
?,2,1,
2
1
)(
,
2
1
)(
1
??
?
?
kAP
AP
kk
2
1
2
1)(
1
1
1
?? ??
?
?
?
?
? k
k
k
kAP
Ch1-83排列组合有关知识复习
加法原理,完成一件事情有 n类方法，第 i 类
方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情
共有 ?
?
n
i
im
1
种不同的方法
乘法原理,完成一件事情有 n个步骤，第 i 个
步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情
共有 ?
?
n
i
im
1
种不同的方法
Ch1-84
排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放
回地）按一定的次序排成一排不同的
排法共有 )1()2)(1( ????? mnnnnA
mn ?
全排列 !nA nn ?
可重复排列 从 n 个不同的元素中可重复地
取出 m 个排成一排,不同的排法有
mn
种
Ch1-85
不尽相异元素的全排列 n 个元素中有 m 类，
第 i 类中有 个相同的元素，ik
,21 nkkk m ???? ?
将这 n 个元素按一定的次序排成一排，
!!!
!
21 mkkk
n
?
种
不同的排法共有
Ch1-86
mkkk,,,21 ? nkkk
m ???? ?21,不同的分法共有
多组组合 把 n 个元素分成 m 个不同的组
（组编号）,各组分别有 个元
素，
n
n
kkk knkn CCC ?2
1
1 ?
种
组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放
回地）组成一组,不同的分法共有
)!(!
!
mnm
nC m
n ??
Ch1-87
将 15 名同学 (含 3 名女同学 ),平均分成
三组, 求
(1) 每组有 1 名女同学 (设为事件 A)的概率；
(2) 3 名女同学同组 (设为事件 B)的概率
解 55510515 CCCn ??
（ 1） 1112134448412 CCCCCCn A ? 91
25)( ?AP
（ 2） 5551021213 CCCCn B ? 91
6)( ?BP
例 11 ( 类似于教材 P.22 例 10 )
Ch1-88
例 12 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入
标有 1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球，
求至少有一个盒子的号码与放入的球的号
码一致的概率
解 设 A 为所求的事件
设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒,i = 1,2,3,4
则 ?
4
1?
?
i
iAA
4,3,2,1,41!4 !3)( ??? iAP i
Ch1-89 41,
12
1
!4
!2)( ????? jiAAP
ji
41,241!4 !1)( ?????? kjiAAAP kji
24
1)(
4321 ?AAAAP
??
?????
??
4141
)()()(
ji
ji
i
i AAPAPAP
8
5)()(
4321
41
??? ?
????
AAAAPAAAP
kji
kji
由广义加法公式
