Ch2-90
§ 2.4 随机变量函数的分布
方法 将与 Y 有关的事件转化成 X 的事件
求 随机因变量 Y= g ( X )的密度函数
或分布律)(yfY
问题 已知 随机变量 X 的密度函数
或分布律
)(xf X
Ch2-91
设随机变量 X 的分布律为
?,2,1,)( ??? kpxXP kk
由已知函数 g( x)可求出随机变量 Y 的
所有可能取值，则 Y 的概率分布为
?,2,1,)(
)(:
??? ?
?
ipyYP
ik yxgk
ki
离散型随机变量函数的分布
Ch2-92
例 1 已知 X 的概率分布为
X
pk
-1 0 1 2
2
1
4
1
8
1
8
1
求 Y 1= 2X – 1 与 Y 2= X 2 的分布律
解 Y 1
pi
-3 -1 1 3
2
1
4
1
8
1
8
1
Ch2-93
Y 2
pi
1 0 1 4
2
1
4
1
8
1
8
1
Y 2
pi
0 1 4
2
1
8
3
8
1
Ch2-94
例 2 已知 X 的概率分布为
?,2,1,0,)2( ??? kpqkXP k?
其中 p + q = 1,0 < p < 1,
求 Y = Sin X 的概率分布
解 )0( ?YP ??
??
?
? ??? ?
?
)22(
0
?
m
mXP ?
?
?
?
?
0
2
m
mpq
21 q
p
?
?
Ch2-95)1( ?YP ?
?
??
?
? ??? ?
?
)22(
0
?
m
mXP ??
?
?
??
?
? ??? ?
?
)
2
)14((
0
?
m
mXP ?
?
?
?
??
0
14
m
mpq
41 q
pq
??
)1( ??YP ??
??
?
? ??? ?
?
)
2
32(
0
?
m
mXP ??
?
?
??
?
? ??? ?
?
)
2
)34((
0
?
m
mXP ?
?
?
?
??
0
34
m
mpq
4
3
1 q
pq
?
?
Ch2-96
故 Y 的概率分布为
Y
pi
-1 0 1
424
3
111 q
pq
q
p
q
pq
???
Ch2-97
已知 X 的密度函数 f (x) 或分布函数
求 Y = g( X ) 的密度函数
方法：
（ 1） 从分布函数出发
（ 2） 用公式直接求密度函数
连续性随机变量函数的分布
Ch2-98例 3 已知 X 密度函数为
,),( baXYxf X ??
为常数，且 a ? 0,求 fY ( y )
解 )()( yYPyF Y ??
)( ybaXP ???
1( ) ( )
YF y P X y ba
??? ? ?
????
?????? ?? )(1 byaF X
当 a > 0 时，
?????? ?? )(11)( byafayf XY
ba,
Ch2-99
当 a < 0 时，
?
?
??
?
? ??? )(1)( by
a
XPyF Y
?
?
?
?
?
? ??? )(11 by
a
F X
?
?
?
?
?
? ??? )(11)( by
a
f
a
yf XY
故 ??
??
?
? ?? )(1
||
1)( by
afayf XY
Ch2-100
例如 设 X ~ N (?,?2),Y = a X +b,则
?
?
??
?
? ?? )(1
||
1)( by
a
f
a
yf XY
22
2
2
)(
||2
1 ? ?
??
a
aby
e
a
??
?
? ????? y
Y ~ N ( a? +b,a2?2 )
特别地,若 X ~ N ( ?,? 2),
)1,0(~ NXY
?
???
则
Ch2-101
例 4 X ~ E (2),Y = – 3X + 2,求 )( yfY
解 ??
?
?
?
? ?
??
? )2(
3
1
|3|
1)( yfyf
XY
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
? ?
???
他其,0
0
3
2
,2
3
1 3
2
2 y
e
y
??
?
?
?
?
?
?
?
其他,0
2,
3
2
3
)2(2
ye
y
Ch2-102例 5 已知 X ~ N (0,1),Y = X 2,求 f
Y (y)
解一 从分布函数出发
)()( yYPyF Y ??
[ y )()(
2 yXPyF
Y ??
y[
yy?
当 y < 0 时,FY (y) = 0
当 y > 0 时，
)( yXyP ????
)()( yFyF XX ???
][
Ch2-103
?
?
??)( yF
Y 0,0 ?y
0),()( ??? yyFyF XX
故
?
?
?
?)( yf Y 0,0 ?y
? ? 0,)()(
2
1 ??? yyfyf
y XX
?
?
?
?)( yf Y 0,0 ?y
0,
2
1 2
2/1
?
?
ye
y
y
?
Ch2-104
解二 从密度函数出发
y
yy ??
1x 11 )( xx ?? 2x 22 )( xx ??
0)( ???? yyYyP ?
))(())(( 222111 xxXxPxXxxP ?? ????????
2211 ))((])()[()( xxfxxfyyf XXY ??????
即
当 y < 0 时
)( yyYyP ????
当 y > 0 时
y yy ??
2xy ?
Ch2-105
21
)()(
)( 21
xx
X
xx
X
Y
dx
dy
xf
dx
dy
xf
yf
??
?
?
?
21
)()( 21
xx
X
xx
X
dx
dy
xf
dx
dy
xf
??
??
yx
X
yx
X
dx
dy
yf
dx
dy
yf
???
?
?
?
)()(
Ch2-106
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
)(
2
)(
2
2
2
1
|2|
1
2
1
|2|
1
y
y
e
y
e
y
?
?
2
2
1 ye
y
??
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
0,
2
1
0,0
)( 2
ye
y
y
yf
y
Y
?
故
此答案是否
对？
?
?
?
?
?
?
?
? ?
0,
2
1
0,0
)( 2
ye
y
y
yf
y
Y
?
应修正为
Ch2-107一般地
y
x1 x2 x3
y = g(x)
x
nxx
nX
xx
X
xx
X
Y
dx
dy
xf
dx
dy
xf
dx
dy
xf
yf
???
????
)()()(
)(
21
21 ?
? xn
Ch2-108特别地，若 g(x)为单调函数，则
1
)(
)( 1
xx
X
Y
dx
dy
xf
yf
?
?
y = g(x)
x
y
x1
其中 x1= g 1(y)
Ch2-109
例 6 设 ???????? xxxf X,)1(
1)(
2?
31 XY ??
求 f Y (y)
x
31 xy ??
y
(1 - y)3
解
? ?
3)1(
3)1(
)(
yx
X
Y
dx
dy
yf
yf
??
?
?
? ?
3)1(
3)1(
yx
X dy
dxyf
??
?? ? ? ??????
??
?? y
y
y,
)1(1
)1(3
6
2
?
Ch2-110例 7 设 X 的概率密度函数为
??
?
?
? ??
?
其他,0
0,
2
)( 2 ?? x
x
xf X
XY s in?求 的概率密度函数
解
故当 y ? 0
或 y ?1 时
y?f Y (y) = 0
x
)0(s in ???? xxy
?
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y?
由图可知,Y 的取
值范围为 (0,1)
Ch2-111
y ?
arcsiny ? - arcsiny
?
1
x
)0(s in ???? xxy
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
当 0 ? y < 1 时
??
?
??
? ??
?
? 222 )ar c s in(2ar c s in2
1
1)(
?
?
?
yy
y
yf Y
21
2
y?
?
?
故
??
?
?
? ??
??
其他,0
10,
1
2
)( 2
y
yf Y ?
Ch2-112注意 连续随机变量的函数的分布
函数不一定是连续函数
例如 X ~ U (0,2) ??
?
?
? ??
?
其他,0
20,
2
1
)( xxf X
?
?
?
?
?
?
??
?
?
1
10
0
,1
,
,0
)(
x
x
x
xxg
令 Y=g (X)
x
y
1
?
?
?
?
?
?
??
?
?
1,1
10,
2
,0,0
)(
y
y
y
y
yF
Y
FY (y)不是连续函数
Ch2-113
作业 P,85 习题二
28 30
32 (2)
33 (1) (3)
35 36
Ch2-114
设随机变量 服从 (0,1)内均匀分布,X
[ 1 ( ) ] / 2X g Y??又
其中 dteyg y
o
t
?
?
? 2
2
2
2
)(
?
求随机变量 的概率密度,Y
第 7 周 问 题
Ch2-115
设随机变量 Z服从参数为 1 的指
数分布，引入随机变量：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
21
20
11
10
Z
Z
Y
Z
Z
X
求 (X,Y) 的联合分布律
第 8 周 问 题