Ch1-79
§ 1.3 条件概率
引例 袋中有 7只白球,3只红球,白球中
有 4只木球,3只塑料球 ; 红球中有 2只木球,
1只塑料球,
现从袋中任取 1球,假设每个球被取到
的可能性相同, 若已知取到的球是白球,问
它是木球的概率是多少？
设 A 表示任取一球，取得白球；
B 表示任取一球，取得木球,
条件概率与乘法公式
古典概型
Ch1-80
所求的概率称为 在事件 A 发生的条件下
事件 B 发生的 条件概率 。 记为 ? ?ABP
解 列表 白球 红球 小计
木球 4 2 6
塑球 3 1 4
小计 7 3 10
? ?
7
4?ABP
ABAB kk ? 4
AA kn ??? 7
)(
)(
AP
ABP?
Ch1-81
)(
)(
AP
ABP
?
设 A,B为两事件,P ( A ) > 0,则
)(/)( APABP称 为事件 A 发生的条件下事
件 B 发生的条件概率，记为
定义
从而有
? ?
A
AB
k
k
ABP ??
7
4
10/7
10/4
??
?
?
n
k
n
k
A
AB
? ?ABP
)(
)(
AP
ABP?
Ch1-82
（ 1） 古 典 概 型 可用缩减样本空间法
（ 2） 其 他 概 型 用定义与有关公式
条件概率的计算方法
Ch1-83
条件概率也是概率,故具有概率的性质：
0)( ?ABP
1)( ?AP ? ? ???
?
?
?
??
?
?
?
?
?
11 i
i
i
i ABPABP ?
? 非负性
? 归一性
? 可列可加性
)()()()( 212121 ABBPABPABPABBP ????
?
)(1)( ABPABP ???
)()()( 21121 ABBPABPABBP ????
Ch1-84
例 2 从混有 5张假钞的 20张百元钞票中任
意抽出 2张,将其中 1张放到验钞机上检验
发现是假钞, 求 2 张都是假钞的概率,
解一 令 A 表示,其中 1张是假钞”,
B表示, 2 张都是假钞”
由缩减样本空间法得
? ? 4 / 1 9 0, 2 1 0 5,P A B ??
下面两种解法哪个正确？
Ch1-85
利用条件概率求积事件的概率即 乘法公式
? ? )0)(()()( ?? APABPAPABP
? ? )0)(()()( ?? BPBAPBPABP
推广 ? ? ? ?
)0)((
)()(
121
12112121
?
?
?
?
n
nnn
AAAP
AAAAPAAPAPAAAP
?
???
乘法公式
Ch1-86
某厂生产的灯泡能用 1000小时的概率
为 0.8,能用 1500小时的概率为 0.4,求已用
1000小时的灯泡能用到 1500小时的概率
解 令 A 灯泡能用到 1000小时
B 灯泡能用到 1500小时
所求概率为 ? ?
)(
)(
AP
ABPABP ?
AB ?
2
1
8.0
4.0
)(
)( ???
AP
BP
例 1 ( 类似于教材 P.28 例 3)
Ch1-87
例 2 从混有 5张假钞的 20张百元钞票中任
意抽出 2张,将其中 1张放到验钞机上检验
发现是假钞, 求 2 张都是假钞的概率,
解一 令 A 表示,其中 1张是假钞”,
B表示, 2 张都是假钞”
由缩减样本空间法得
? ? 4 / 1 9 0, 2 1 0 5,P A B ??
下面两种解法哪个正确？
Ch1-88
解二 令 A 表示“抽到 2 张都是假钞”,
B表示,2 张中至少有 1张假钞”
? ?BAP ? ?AP则所求概率是 （而不是 ！）,
BA ?
? ? )( APABP ? 2
20
2
5 / CC?
? ? 2201151525 /)( CCCCBP ??
? ? )(/)( BPABPBAP ?
所以
1 1 8.085/10)/( 1151522025 ???? CCCC
Ch1-89
例 3 盒中装有 5个产品,其中 3个一等品,2个
二等品,从中不放回地取产品,每次 1个,求
（ 1）取两次，两次都取得一等品的概率 ;
（ 2）取两次，第二次取得一等品的概率 ;
（ 3）取三次，第三次才取得一等品的概率 ;
（ 4）取两次，已知第二次取得一等品，求
第一次取得的是二等品的概率,
解 令 Ai 为第 i 次取到一等品
（ 1）
10
3
4
2
5
3)()()(
12121 ???? AAPAPAAP
Ch1-90
(3) ? ? ? ? ? ?213121321 )( AAAPAAPAPAAAP ?
10
1
3
3
4
1
5
2 ????
提问：第三次才取得一等品的概率,是
)()( 321213 AAAPAAAP 还是
（ 2）直接解更简单 5/3)(
2 ?AP
)()()()( 212121212 AAPAAPAAAAPAP ????（ 2）
5
3
4
2
5
3
4
3
5
2 ?????
Ch1-91
(4) ? ? )(
)()(
)(
)(
2
212
2
21
21 AP
AAPAP
AP
AAPAAP ???
5.01
5
3
10
3
???
Ch1-92
条件概率与无条件概率
之间的大小无确定关系
? ? )(
)(
)(
)(
)( BP
AP
BP
AP
ABPABP ???若 AB ?
一般地
条件概率 无条件概率
Ch1-93
例 4 为了防止意外,矿井内同时装有 A 与 B两
两种报警设备,已知设备 A 单独使用时有效
的概率为 0.92,设备 B 单独使用时有效的概
率为 0.93,在设备 A 失效的条件下,设备 B 有
效的概率为 0.85,求发生意外时至少有一个
报警设备有效的概率,
设事件 A,B 分别表示设备 A,B 有效
? ? 85.0?ABP ? ? 92.0?AP ? ? 93.0?BP已知
求 ? ?BAP ?
解
Ch1-94
解 由 ? ? )(1
)()(
AP
ABPBPABP
?
??
08.0
)(93.085.0 ABP??即
86 2.0)( ?ABP
故
988.0862.093.092.0
)()()()(
????
???? ABPBPAPBAP
解法二
? ?BAP ?
9 8 8.0)( ?? BAP
)()()( ABPAPBAP ??? ? ?
? ? 0 1 2.085.0108.0
)(1)(
????
??? ABPAP
Ch1-95
B1 Bn
AB1
AB2
ABn ?
?
?
?
?
ji
n
i
i
BB
B?
1
??
?
?
))((
1
ji
n
i
i
ABAB
ABA ?
?
?
?
n
i
iABPAP
1
)()( )()(
1
i
n
i
i BAPBP ?? ?
?
全概率公式
A
Bayes公式)( ABP k )(
)(
AP
ABP k?
?
?
n
i
ii
kk
BAPBP
BAPBP
1
)()(
)()(
全概率公式与 Bayes 公式
?B2
Ch1-96每 100件产品为一批,已知每批产品中
次品数不超过 4件,每批产品中有 i 件
次品的概率为
i 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
从每批产品中不放回地取 10件进行检验,若
发现有不合格产品,则认为这批产品不合格，
否则就认为这批产品合格, 求
(1) 一批产品通过检验的概率
(2) 通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率
例 5
Ch1-97解 设一批产品中有 i 件次品为事件 B
i,i = 0,1,…,4
A 为一批产品通过检验
4,3,2,1,0,,,
,
1
???
?
?
jijiBB
BA
ji
n
i
i
?
?
则
已知 P( Bi )如表中所示，且 4,3,2,1,0,)(
10
100
10
100 ?? ? i
C
CBAP i
i
由全概率公式与 Bayes 公式可计算 P( A )与
4,3,2,1,0),( ?iABP i
Ch1-98结果如下表所示
)( iBAP
)( ABP i
)()()(
4
0
i
i
i BAPBPAP ?
?
?814.0?
4,3,2,1,0,)( )()()( ?? iAP BAPBPABP iii
i 0 1 2 3 4
P( Bi ) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
1.0 0.9 0.809 0.727 0.652
0.123 0.221 0.397 0.179 0.080
Ch1-99
称 4,3,2,1,0)( ?iABP i为 后验概率,它是
得到了信息 — A 发生,再对导致 A 发生的
原因发生的可能性大小重新加以修正
)()( ii BPABP ?i 较大时，
称 P( Bi ) 为 先验概率,它是由以往的经验
得到的，它是事件 A 的原因
本例中,i 较小时,)()( ii BPABP ?
Ch1-100
例 6 由于随机干扰,在无线电通讯中发出信
号,?,,收到信号,?,,“不清”,,—, 的概率分
别为 0.7,0.2,0.1; 发出信号,—,,收到信号
,?,,“不清”,,—,的概率分别为 0.0,0.1,0.9.
已知在发出的信号中,,?,和,—,出现的概
率分别为 0.6 和 0.4,试分析,当收到信号
“不清”时,原发信号为,?,还是,—,的概率
哪个大？
解 设原发信号为,?, 为事件
B1
原发信号为,—,为事件
B2
收到信号“不清” 为事件 A
Ch1-101已知,
4.0)(,6.0)( 21 ?? BPBP
???? 2121,BBBBA
1.0)(,2.0)( 21 ?? BAPBAP
16.0
)()()()()( 2211
?
?? BAPBPBAPBPAP
4
1
)(
)()(
)(
,
4
3
)(
)()(
)(
22
2
11
1
??
??
AP
BAPBP
ABP
AP
BAPBP
ABP
可见,当收到信号“不清”时,原发信号为
,?,的可能性大
Ch1-102
作业 P 47 习题一
25 27 29
31 32
Ch1-103
问 题第 3 周
17世纪,法国的 C D Mere 注意
到在赌博中一对骰子抛 25次,把赌注押
到,至少出现一次双六” 比把赌注押到
“完全不出现双六”有利, 但他本人找不
出原因, 后来请当时著名的法国数学家
帕斯卡 (Pascal)才解决了这一问题, 这
问题是如何解决的呢?
? ?
§ 1.3 条件概率
引例 袋中有 7只白球,3只红球,白球中
有 4只木球,3只塑料球 ; 红球中有 2只木球,
1只塑料球,
现从袋中任取 1球,假设每个球被取到
的可能性相同, 若已知取到的球是白球,问
它是木球的概率是多少？
设 A 表示任取一球，取得白球；
B 表示任取一球，取得木球,
条件概率与乘法公式
古典概型
Ch1-80
所求的概率称为 在事件 A 发生的条件下
事件 B 发生的 条件概率 。 记为 ? ?ABP
解 列表 白球 红球 小计
木球 4 2 6
塑球 3 1 4
小计 7 3 10
? ?
7
4?ABP
ABAB kk ? 4
AA kn ??? 7
)(
)(
AP
ABP?
Ch1-81
)(
)(
AP
ABP
?
设 A,B为两事件,P ( A ) > 0,则
)(/)( APABP称 为事件 A 发生的条件下事
件 B 发生的条件概率，记为
定义
从而有
? ?
A
AB
k
k
ABP ??
7
4
10/7
10/4
??
?
?
n
k
n
k
A
AB
? ?ABP
)(
)(
AP
ABP?
Ch1-82
（ 1） 古 典 概 型 可用缩减样本空间法
（ 2） 其 他 概 型 用定义与有关公式
条件概率的计算方法
Ch1-83
条件概率也是概率,故具有概率的性质：
0)( ?ABP
1)( ?AP ? ? ???
?
?
?
??
?
?
?
?
?
11 i
i
i
i ABPABP ?
? 非负性
? 归一性
? 可列可加性
)()()()( 212121 ABBPABPABPABBP ????
?
)(1)( ABPABP ???
)()()( 21121 ABBPABPABBP ????
Ch1-84
例 2 从混有 5张假钞的 20张百元钞票中任
意抽出 2张,将其中 1张放到验钞机上检验
发现是假钞, 求 2 张都是假钞的概率,
解一 令 A 表示,其中 1张是假钞”,
B表示, 2 张都是假钞”
由缩减样本空间法得
? ? 4 / 1 9 0, 2 1 0 5,P A B ??
下面两种解法哪个正确？
Ch1-85
利用条件概率求积事件的概率即 乘法公式
? ? )0)(()()( ?? APABPAPABP
? ? )0)(()()( ?? BPBAPBPABP
推广 ? ? ? ?
)0)((
)()(
121
12112121
?
?
?
?
n
nnn
AAAP
AAAAPAAPAPAAAP
?
???
乘法公式
Ch1-86
某厂生产的灯泡能用 1000小时的概率
为 0.8,能用 1500小时的概率为 0.4,求已用
1000小时的灯泡能用到 1500小时的概率
解 令 A 灯泡能用到 1000小时
B 灯泡能用到 1500小时
所求概率为 ? ?
)(
)(
AP
ABPABP ?
AB ?
2
1
8.0
4.0
)(
)( ???
AP
BP
例 1 ( 类似于教材 P.28 例 3)
Ch1-87
例 2 从混有 5张假钞的 20张百元钞票中任
意抽出 2张,将其中 1张放到验钞机上检验
发现是假钞, 求 2 张都是假钞的概率,
解一 令 A 表示,其中 1张是假钞”,
B表示, 2 张都是假钞”
由缩减样本空间法得
? ? 4 / 1 9 0, 2 1 0 5,P A B ??
下面两种解法哪个正确？
Ch1-88
解二 令 A 表示“抽到 2 张都是假钞”,
B表示,2 张中至少有 1张假钞”
? ?BAP ? ?AP则所求概率是 （而不是 ！）,
BA ?
? ? )( APABP ? 2
20
2
5 / CC?
? ? 2201151525 /)( CCCCBP ??
? ? )(/)( BPABPBAP ?
所以
1 1 8.085/10)/( 1151522025 ???? CCCC
Ch1-89
例 3 盒中装有 5个产品,其中 3个一等品,2个
二等品,从中不放回地取产品,每次 1个,求
（ 1）取两次，两次都取得一等品的概率 ;
（ 2）取两次，第二次取得一等品的概率 ;
（ 3）取三次，第三次才取得一等品的概率 ;
（ 4）取两次，已知第二次取得一等品，求
第一次取得的是二等品的概率,
解 令 Ai 为第 i 次取到一等品
（ 1）
10
3
4
2
5
3)()()(
12121 ???? AAPAPAAP
Ch1-90
(3) ? ? ? ? ? ?213121321 )( AAAPAAPAPAAAP ?
10
1
3
3
4
1
5
2 ????
提问：第三次才取得一等品的概率,是
)()( 321213 AAAPAAAP 还是
（ 2）直接解更简单 5/3)(
2 ?AP
)()()()( 212121212 AAPAAPAAAAPAP ????（ 2）
5
3
4
2
5
3
4
3
5
2 ?????
Ch1-91
(4) ? ? )(
)()(
)(
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2
212
2
21
21 AP
AAPAP
AP
AAPAAP ???
5.01
5
3
10
3
???
Ch1-92
条件概率与无条件概率
之间的大小无确定关系
? ? )(
)(
)(
)(
)( BP
AP
BP
AP
ABPABP ???若 AB ?
一般地
条件概率 无条件概率
Ch1-93
例 4 为了防止意外,矿井内同时装有 A 与 B两
两种报警设备,已知设备 A 单独使用时有效
的概率为 0.92,设备 B 单独使用时有效的概
率为 0.93,在设备 A 失效的条件下,设备 B 有
效的概率为 0.85,求发生意外时至少有一个
报警设备有效的概率,
设事件 A,B 分别表示设备 A,B 有效
? ? 85.0?ABP ? ? 92.0?AP ? ? 93.0?BP已知
求 ? ?BAP ?
解
Ch1-94
解 由 ? ? )(1
)()(
AP
ABPBPABP
?
??
08.0
)(93.085.0 ABP??即
86 2.0)( ?ABP
故
988.0862.093.092.0
)()()()(
????
???? ABPBPAPBAP
解法二
? ?BAP ?
9 8 8.0)( ?? BAP
)()()( ABPAPBAP ??? ? ?
? ? 0 1 2.085.0108.0
)(1)(
????
??? ABPAP
Ch1-95
B1 Bn
AB1
AB2
ABn ?
?
?
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BB
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1
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1
ji
n
i
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ABAB
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iABPAP
1
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1
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全概率公式
A
Bayes公式)( ABP k )(
)(
AP
ABP k?
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i
ii
kk
BAPBP
BAPBP
1
)()(
)()(
全概率公式与 Bayes 公式
?B2
Ch1-96每 100件产品为一批,已知每批产品中
次品数不超过 4件,每批产品中有 i 件
次品的概率为
i 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
从每批产品中不放回地取 10件进行检验,若
发现有不合格产品,则认为这批产品不合格，
否则就认为这批产品合格, 求
(1) 一批产品通过检验的概率
(2) 通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率
例 5
Ch1-97解 设一批产品中有 i 件次品为事件 B
i,i = 0,1,…,4
A 为一批产品通过检验
4,3,2,1,0,,,
,
1
???
?
?
jijiBB
BA
ji
n
i
i
?
?
则
已知 P( Bi )如表中所示，且 4,3,2,1,0,)(
10
100
10
100 ?? ? i
C
CBAP i
i
由全概率公式与 Bayes 公式可计算 P( A )与
4,3,2,1,0),( ?iABP i
Ch1-98结果如下表所示
)( iBAP
)( ABP i
)()()(
4
0
i
i
i BAPBPAP ?
?
?814.0?
4,3,2,1,0,)( )()()( ?? iAP BAPBPABP iii
i 0 1 2 3 4
P( Bi ) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
1.0 0.9 0.809 0.727 0.652
0.123 0.221 0.397 0.179 0.080
Ch1-99
称 4,3,2,1,0)( ?iABP i为 后验概率,它是
得到了信息 — A 发生,再对导致 A 发生的
原因发生的可能性大小重新加以修正
)()( ii BPABP ?i 较大时，
称 P( Bi ) 为 先验概率,它是由以往的经验
得到的，它是事件 A 的原因
本例中,i 较小时,)()( ii BPABP ?
Ch1-100
例 6 由于随机干扰,在无线电通讯中发出信
号,?,,收到信号,?,,“不清”,,—, 的概率分
别为 0.7,0.2,0.1; 发出信号,—,,收到信号
,?,,“不清”,,—,的概率分别为 0.0,0.1,0.9.
已知在发出的信号中,,?,和,—,出现的概
率分别为 0.6 和 0.4,试分析,当收到信号
“不清”时,原发信号为,?,还是,—,的概率
哪个大？
解 设原发信号为,?, 为事件
B1
原发信号为,—,为事件
B2
收到信号“不清” 为事件 A
Ch1-101已知,
4.0)(,6.0)( 21 ?? BPBP
???? 2121,BBBBA
1.0)(,2.0)( 21 ?? BAPBAP
16.0
)()()()()( 2211
?
?? BAPBPBAPBPAP
4
1
)(
)()(
)(
,
4
3
)(
)()(
)(
22
2
11
1
??
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AP
BAPBP
ABP
AP
BAPBP
ABP
可见,当收到信号“不清”时,原发信号为
,?,的可能性大
Ch1-102
作业 P 47 习题一
25 27 29
31 32
Ch1-103
问 题第 3 周
17世纪,法国的 C D Mere 注意
到在赌博中一对骰子抛 25次,把赌注押
到,至少出现一次双六” 比把赌注押到
“完全不出现双六”有利, 但他本人找不
出原因, 后来请当时著名的法国数学家
帕斯卡 (Pascal)才解决了这一问题, 这
问题是如何解决的呢?
? ?
