1
《
概
率
论
与
数
理
统
计
》
2
小概率事件
奥运百年
终于发生
请记住
雅典
2004.8.28
2:43
3
短道高栏中国第一
4
刘翔领先不是一点点
1,前 言
2,参 考 书
3,本学科 A B C
4,本学科 应用
概率统计 是研究随机现象数量规律的
数学学科,理论严谨,应用广泛,发展迅速,
目前,不仅高等学校各专业都开设了这门课
程,而且从上世纪末开始，这门课程特意
被国家教委定为本科生考研的数学课程之
一，希望大家能认真学好这门不易学好又
前 言
不得不学的重要课程,
教材
《概率论与数理统计》
主要教学参考书
贺才兴等编
科学出版社
2002年
辅导书 (1)
编
交大 出版社
2004年版
冯卫国
武爱文
冯卫国等编
科学出版社
2002年修订
辅导书 (2)
国内有关经典著作
1.《概率论基础及其应用》
王梓坤著 科学出版社 1976 年版
2.《数理统计引论》
陈希儒著 科学出版社 1981年版
国外有关经典著作
1.《概率论的分析理论》
P.- S.拉普拉斯 著 1812年 版
2.,统计学数学方法》
H,克拉默著 1946年版
概率论的最早著作
数理统计最早著作
概率统计专业
首位中科院院士
本学科的 ABC
概率 (或然率或几率 ) —— 随机事件出现
的可能性的量度 ——其起源与博弈问题有关,
16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博
中的一些问题； 17世纪中叶，法国数学家 B,帕
斯卡、荷兰数学家 C,惠更斯 基于排列组合的方
法，研究了较复杂 的赌博问题,解决了,合理
分配赌注问题” ( 即得分问题 ).
概率论是一门 研究客观世界随机现象数量
规律的 数学分支学科,
发展则在 17世纪微积分学说建立以后,
基人是瑞士数学家 J.伯努利；而概率论的飞速
第二次世界大战军事上的需要以及大工业
与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息
论、控制论与数理统计学等学科,
数理统计学是一门 研究怎样去有效地收集、
整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的
问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策
和行动提供依据和建议的 数学分支学科,
论；使 概率论 成为 数学的一个分支的真正奠
对客观世界中随机现象的分析产生了概率
统计方法的数学理论要用到很多近代数学
知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数
学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这
样说,概率论是数理统计学的基础，数理统计
学是概率论的一种应用, 但是它们是两个并列
的数学分支学科，并无从属关系,
本学科的应用
概率统计理论与方法的应用几乎遍及
所有科学技术领域、工农业生产和国民经
济的各个部门中, 例如
1,气象、水文、地震预报、人口控制
及预测都与 概率论 紧密相关；
2,产品的抽样验收，新研制的药品能
否在临床中应用，均需要用到 假设检验；
6,探讨太阳黑子的变化规律时,时间
可夫 过程 来描述 ;
7,研究化学反应的时变率，要以 马尔
序列分析 方法非常有用 ;
4,电子系统的设计,火箭卫星的研制与
发射都离不开 可靠性估计 ;
3,寻求最佳生产方案要进行 实验设计
和 数据处理；
5,处理通信问题,需要研究 信息论
水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都
可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知
目前,概率统计理论进入其他自然科学
装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、
8,在生物学中研究 群体的增长问题时
了提出了生灭型 随机模型,传染病流行问
题要用到多变量非线性 生灭过程；
9,许多服务系统，如电话通信、船舶
识就是 排队论,
领域,特别是经济学中研究最优决策和经
济的稳定增长等问题,都大量采用 概率统
计方法, 法国数学家拉普拉斯 (Laplace)说对
了,, 生活中最重要的问题,其中绝大多
数
领域的趋势还在不断发展, 在社会科学领
在实质上只是概率的问题,”
英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾
对 概率论 大加赞美：, 概率论是生活真正
的领路人,如果没有对概率的某种估计,那
么我们就寸步难行,无所作为,
,得 分 问 题,
甲、乙两人各出同样的赌注，用掷
硬币作为博奕手段, 每掷一次，若正面朝
上，甲得 1 分乙不得分, 反之，乙得 1分，
甲不得分, 谁先得到规定分数就赢得全部
赌注, 当进行到甲还差 2分乙还差 3分，就
分别达到规定分数时，发生了意外使赌局
不能进行下去, 问如何公平分配赌注？
确定性现象
随机现象 ——
?每次试验前不能预言出现什么结果
?每次试验后出现的结果不止一个
?在相同的条件下进行大量观察或试
验时，出现的结果有一定的规律性
—— 称之为 统计规律性
第一章 随机事件及其概率
§ 1.1 随机事件
对某事物特征进行观察,统称 试验,
若它有如下特点,则称为 随机试验,用 E表示
?试验前不能预知出现哪种结果
基本术语
?可在相同的条件下重复进行
?试验结果不止一个,但能明确所有的结果
样本空间 —— 随机试验 E 所有可能的结果
样本空间的元素,即 E 的直接结果,称为
随机事件 —— ?的子集,记为 A,B,…
它是满足某些条件的样本点所组成的集合,
组成的集合称为 样本空间 记为 ?
样本点 (or基本事件 ) 常记为 ?, ? = {?}
},,3,2,1,0{2 N???
}),{( 213 TyxTyx ?????
其中 T1,T2分别是该地区的最低与最高温度
:3E 观察某地区每天的最高温度与最低温度
:2E 观察总机每天 9:00~10:00接到的电话次数
有限样本空间
无限样本空间
:1E 投一枚硬币 3次，观察正面出现的次数
}3,2,1,0{1 ??
例 1给出一组随机试验及相应的样本空间
基本事件 —— 仅由一个样本点组成的子集
它是随机试验的直接结果,每次试验必 定 发
生且只可能发生一个基本事件,
必然事件 —— 全体样本点组成的事件,记
为 ?,每次试验必定发生的事件,
随机事件发生 —— 组成随机事件的一个样
本点发生
不可能事件 —— 不包含任何样本点的事件,
记为 ?,每次试验必定不发生的 事件,
A
?
随机事件的关系和运算
雷同集合的关系和运算
事件的关系和运算
文氏图 ( Venn diagram )
—— A 包含于 BBA ?
? 事件 A 发生必
导致事件 B 发生 A B
?
BA ? ? BA ? AB ?且
1,事件的 包含
2,事件的相等
BA?或 BA?
BA?A
?事件 A与事件 B 至
少有一个发生
BA?发生
nAAA,,,21 ?的和事件 —— ?
n
i
iA
1? ??,,,,
21 nAAA 的和事件 —— ?
?
?1i
iA
—— A 与 B 的和事件 ?
3,事件的并 (和 )
BA?或 AB
?事件 A与事件 B同时
发生
BA ?发生
nAAA,,,21 ?的积事件 —— ?
n
i
iA
1?
??,,,,21 nAAA 的积事件 ——
—— A 与 B 的积事件
?
?
?1i
iA
?
BA?
BA
4,事件的交 (积 )
BA ?
BA? 发生
? 事件 A 发生，但
事件 B 不发生
?
BA?
BA—— A 与 B 的差事件
5,事件的差
—— A 与 B 互斥??AB
A,B不可能同
时发生
?
?
A B
nAAA,,,21 ?两两互斥
??,,,,21 nAAA 两两互斥
njijiAA ji,,2,1,,,??????
?,2,1,,,????? jijiAA ji
6,事件的 互斥 (互不相容 )
?
—— A 与 B 互相对立
????? BAAB,
每次试验 A,B中
有且只有一个发生
? A
B
AB ?
称 B 为 A的对立事件 (or逆事件 )，
记为
注意：, A 与 B 互相对立, 与
,A 与 B 互斥, 是不同的概念
7,事件的对立
A?
8,完备 事件组
?
n
i
iA
1?
?? nAAA,,,21 ?若 两两互斥，且
nAAA,,,21 ?则称 为 完备 事件组
?
1A nA
1?nA
2A
3A
?
nAAA,,,21 ?或称 为 的一个划分?
?吸收律
AABA
AA
A
??
???
??
)(
??
ABAA
A
AA
???
????
??
)(
?幂等律 AAA ?? AA ??
?差化积 )( ABABABA ????
?重余律 AA ?
运算律 对应事件
运算
集合
运算
?交换律 ABBA ??? BAAB ?
?结合律 )()( CBACBA ?????
)()( BCACAB ?
?分配律 )()()( CBCACBA ??????
))(()( CABABCA ????
BABA ?? BAAB ???? n
i
i
n
i
i AA
11 ??
? ??
n
i
i
n
i
i AA
11 ??
??反演律
运算顺序, 逆交并差，括号优先
B
CA
)( BCA ?
B
A C
分配律
图 示
))(( CABA ??
A B)( BA ?
B
ABABA ???? ))((
红色
区域
黄色
区域
交
例 2 用图示法简化,))(( BABA ?? ?AB ?
?
?
?
A
A
)( BA ?
例 3 化简事件
ACCBA )( ?
解 原式 ACCBA ???
ACCBCA ???
CBA ???
ACCBA ??
ACCBA ?)( ??
CBCCA ?? )(?
CBA ??
例 4 利用事件关系和运算表达多
个事件的关系
A,B,C 都不发生 ——
CBA CBA ???
A,B,C 不都发生 ——
CBA ???A B C
例 5 在图书馆中随意 抽取一本书，
A 表示数学书，
B 表示中文书，
C 表示平装书,
—— 抽取的是精装中文版数学书CAB
BC ? —— 精装书都是中文书
BA ? —— 非 数学书都是中文版的，且
中文版的书都是 非 数学书
则
事件
作业, P45 习题一
2 (1) (2) (3) (6) (7) (8)
3
5
6
在一次乒乓球比赛中设立奖金 1千
元,比赛规定谁先胜了三盘,谁获得全部
奖金,设甲,乙二人的球技相等,现已打了
3盘,甲两胜一负,由于某种特殊的原因
必须中止比赛,问这 1000元应如何分配
才算公平?
第 1 周
问 题
《
概
率
论
与
数
理
统
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》
2
小概率事件
奥运百年
终于发生
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2004.8.28
2:43
3
短道高栏中国第一
4
刘翔领先不是一点点
1,前 言
2,参 考 书
3,本学科 A B C
4,本学科 应用
概率统计 是研究随机现象数量规律的
数学学科,理论严谨,应用广泛,发展迅速,
目前,不仅高等学校各专业都开设了这门课
程,而且从上世纪末开始，这门课程特意
被国家教委定为本科生考研的数学课程之
一，希望大家能认真学好这门不易学好又
前 言
不得不学的重要课程,
教材
《概率论与数理统计》
主要教学参考书
贺才兴等编
科学出版社
2002年
辅导书 (1)
编
交大 出版社
2004年版
冯卫国
武爱文
冯卫国等编
科学出版社
2002年修订
辅导书 (2)
国内有关经典著作
1.《概率论基础及其应用》
王梓坤著 科学出版社 1976 年版
2.《数理统计引论》
陈希儒著 科学出版社 1981年版
国外有关经典著作
1.《概率论的分析理论》
P.- S.拉普拉斯 著 1812年 版
2.,统计学数学方法》
H,克拉默著 1946年版
概率论的最早著作
数理统计最早著作
概率统计专业
首位中科院院士
本学科的 ABC
概率 (或然率或几率 ) —— 随机事件出现
的可能性的量度 ——其起源与博弈问题有关,
16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博
中的一些问题； 17世纪中叶，法国数学家 B,帕
斯卡、荷兰数学家 C,惠更斯 基于排列组合的方
法，研究了较复杂 的赌博问题,解决了,合理
分配赌注问题” ( 即得分问题 ).
概率论是一门 研究客观世界随机现象数量
规律的 数学分支学科,
发展则在 17世纪微积分学说建立以后,
基人是瑞士数学家 J.伯努利；而概率论的飞速
第二次世界大战军事上的需要以及大工业
与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息
论、控制论与数理统计学等学科,
数理统计学是一门 研究怎样去有效地收集、
整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的
问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策
和行动提供依据和建议的 数学分支学科,
论；使 概率论 成为 数学的一个分支的真正奠
对客观世界中随机现象的分析产生了概率
统计方法的数学理论要用到很多近代数学
知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数
学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这
样说,概率论是数理统计学的基础，数理统计
学是概率论的一种应用, 但是它们是两个并列
的数学分支学科，并无从属关系,
本学科的应用
概率统计理论与方法的应用几乎遍及
所有科学技术领域、工农业生产和国民经
济的各个部门中, 例如
1,气象、水文、地震预报、人口控制
及预测都与 概率论 紧密相关；
2,产品的抽样验收，新研制的药品能
否在临床中应用，均需要用到 假设检验；
6,探讨太阳黑子的变化规律时,时间
可夫 过程 来描述 ;
7,研究化学反应的时变率，要以 马尔
序列分析 方法非常有用 ;
4,电子系统的设计,火箭卫星的研制与
发射都离不开 可靠性估计 ;
3,寻求最佳生产方案要进行 实验设计
和 数据处理；
5,处理通信问题,需要研究 信息论
水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都
可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知
目前,概率统计理论进入其他自然科学
装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、
8,在生物学中研究 群体的增长问题时
了提出了生灭型 随机模型,传染病流行问
题要用到多变量非线性 生灭过程；
9,许多服务系统，如电话通信、船舶
识就是 排队论,
领域,特别是经济学中研究最优决策和经
济的稳定增长等问题,都大量采用 概率统
计方法, 法国数学家拉普拉斯 (Laplace)说对
了,, 生活中最重要的问题,其中绝大多
数
领域的趋势还在不断发展, 在社会科学领
在实质上只是概率的问题,”
英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾
对 概率论 大加赞美：, 概率论是生活真正
的领路人,如果没有对概率的某种估计,那
么我们就寸步难行,无所作为,
,得 分 问 题,
甲、乙两人各出同样的赌注，用掷
硬币作为博奕手段, 每掷一次，若正面朝
上，甲得 1 分乙不得分, 反之，乙得 1分，
甲不得分, 谁先得到规定分数就赢得全部
赌注, 当进行到甲还差 2分乙还差 3分，就
分别达到规定分数时，发生了意外使赌局
不能进行下去, 问如何公平分配赌注？
确定性现象
随机现象 ——
?每次试验前不能预言出现什么结果
?每次试验后出现的结果不止一个
?在相同的条件下进行大量观察或试
验时，出现的结果有一定的规律性
—— 称之为 统计规律性
第一章 随机事件及其概率
§ 1.1 随机事件
对某事物特征进行观察,统称 试验,
若它有如下特点,则称为 随机试验,用 E表示
?试验前不能预知出现哪种结果
基本术语
?可在相同的条件下重复进行
?试验结果不止一个,但能明确所有的结果
样本空间 —— 随机试验 E 所有可能的结果
样本空间的元素,即 E 的直接结果,称为
随机事件 —— ?的子集,记为 A,B,…
它是满足某些条件的样本点所组成的集合,
组成的集合称为 样本空间 记为 ?
样本点 (or基本事件 ) 常记为 ?, ? = {?}
},,3,2,1,0{2 N???
}),{( 213 TyxTyx ?????
其中 T1,T2分别是该地区的最低与最高温度
:3E 观察某地区每天的最高温度与最低温度
:2E 观察总机每天 9:00~10:00接到的电话次数
有限样本空间
无限样本空间
:1E 投一枚硬币 3次，观察正面出现的次数
}3,2,1,0{1 ??
例 1给出一组随机试验及相应的样本空间
基本事件 —— 仅由一个样本点组成的子集
它是随机试验的直接结果,每次试验必 定 发
生且只可能发生一个基本事件,
必然事件 —— 全体样本点组成的事件,记
为 ?,每次试验必定发生的事件,
随机事件发生 —— 组成随机事件的一个样
本点发生
不可能事件 —— 不包含任何样本点的事件,
记为 ?,每次试验必定不发生的 事件,
A
?
随机事件的关系和运算
雷同集合的关系和运算
事件的关系和运算
文氏图 ( Venn diagram )
—— A 包含于 BBA ?
? 事件 A 发生必
导致事件 B 发生 A B
?
BA ? ? BA ? AB ?且
1,事件的 包含
2,事件的相等
BA?或 BA?
BA?A
?事件 A与事件 B 至
少有一个发生
BA?发生
nAAA,,,21 ?的和事件 —— ?
n
i
iA
1? ??,,,,
21 nAAA 的和事件 —— ?
?
?1i
iA
—— A 与 B 的和事件 ?
3,事件的并 (和 )
BA?或 AB
?事件 A与事件 B同时
发生
BA ?发生
nAAA,,,21 ?的积事件 —— ?
n
i
iA
1?
??,,,,21 nAAA 的积事件 ——
—— A 与 B 的积事件
?
?
?1i
iA
?
BA?
BA
4,事件的交 (积 )
BA ?
BA? 发生
? 事件 A 发生，但
事件 B 不发生
?
BA?
BA—— A 与 B 的差事件
5,事件的差
—— A 与 B 互斥??AB
A,B不可能同
时发生
?
?
A B
nAAA,,,21 ?两两互斥
??,,,,21 nAAA 两两互斥
njijiAA ji,,2,1,,,??????
?,2,1,,,????? jijiAA ji
6,事件的 互斥 (互不相容 )
?
—— A 与 B 互相对立
????? BAAB,
每次试验 A,B中
有且只有一个发生
? A
B
AB ?
称 B 为 A的对立事件 (or逆事件 )，
记为
注意：, A 与 B 互相对立, 与
,A 与 B 互斥, 是不同的概念
7,事件的对立
A?
8,完备 事件组
?
n
i
iA
1?
?? nAAA,,,21 ?若 两两互斥，且
nAAA,,,21 ?则称 为 完备 事件组
?
1A nA
1?nA
2A
3A
?
nAAA,,,21 ?或称 为 的一个划分?
?吸收律
AABA
AA
A
??
???
??
)(
??
ABAA
A
AA
???
????
??
)(
?幂等律 AAA ?? AA ??
?差化积 )( ABABABA ????
?重余律 AA ?
运算律 对应事件
运算
集合
运算
?交换律 ABBA ??? BAAB ?
?结合律 )()( CBACBA ?????
)()( BCACAB ?
?分配律 )()()( CBCACBA ??????
))(()( CABABCA ????
BABA ?? BAAB ???? n
i
i
n
i
i AA
11 ??
? ??
n
i
i
n
i
i AA
11 ??
??反演律
运算顺序, 逆交并差，括号优先
B
CA
)( BCA ?
B
A C
分配律
图 示
))(( CABA ??
A B)( BA ?
B
ABABA ???? ))((
红色
区域
黄色
区域
交
例 2 用图示法简化,))(( BABA ?? ?AB ?
?
?
?
A
A
)( BA ?
例 3 化简事件
ACCBA )( ?
解 原式 ACCBA ???
ACCBCA ???
CBA ???
ACCBA ??
ACCBA ?)( ??
CBCCA ?? )(?
CBA ??
例 4 利用事件关系和运算表达多
个事件的关系
A,B,C 都不发生 ——
CBA CBA ???
A,B,C 不都发生 ——
CBA ???A B C
例 5 在图书馆中随意 抽取一本书，
A 表示数学书，
B 表示中文书，
C 表示平装书,
—— 抽取的是精装中文版数学书CAB
BC ? —— 精装书都是中文书
BA ? —— 非 数学书都是中文版的，且
中文版的书都是 非 数学书
则
事件
作业, P45 习题一
2 (1) (2) (3) (6) (7) (8)
3
5
6
在一次乒乓球比赛中设立奖金 1千
元,比赛规定谁先胜了三盘,谁获得全部
奖金,设甲,乙二人的球技相等,现已打了
3盘,甲两胜一负,由于某种特殊的原因
必须中止比赛,问这 1000元应如何分配
才算公平?
第 1 周
问 题
