Ch1-83
例 1 已知袋中有 5只红球,3只白球,从袋中
有放回地取球两次,每次取 1球,
事件的独立性
设第 i 次
求取得白球为事件 Ai ( i =1,2 ),
,)( 12 AAP,)( 12 AAP,)(,)( 21 APAP
解
,8/3)( 12 ?AAP
,8/3)( 12 ?AAP,)(8/3)( 21 APAP ??
)()()( 12212 AAPAPAAP ??
§ 1.4 事件的独立性
Ch1-84
事件 A1 发生与否对 A2 发生的概率没有影
响可视为 事件 A1与 A2相互独立
)()()8/3()( 121221 AAPAPAAP ??
定义 设 A,B 为两事件，若
)()()( BPAPABP ?
则称 事件 A 与事件 B 相互独立
Ch1-85
两事件相互独立的性质
?两事件 A 与 B 相互独立是相互对称的
?若 )()(,0)( ABPBPAP ?? 则
若 )()(,0)( BAPAPBP ?? 则
?若,0)(,0)( ?? BPAP
则“事件 A 与 事件 B 相互独立”和
“事件 A 与 事件 B 互斥”
不能同时成立 (自行证明 )
Ch1-86
?四对事件 BABABABA,;,;,;,
任何一对相互独立,则其它三对也相互独立
试证其一
独立独立 BABA,,?
事实上
)()()()( BAPAPBAAPABP ????
? ? )()()(1)( BPAPBPAP ???
)()()( BPAPAP ??
Ch1-87三事件 A,B,C 相互独立
是指下面的关系式同时成立：
注, 1) 关系式 (1) (2)不能互相推出
2)仅满足 (1)式时,称 A,B,C 两两独立
)()()(
)()()(
)()()(
CPBPBCP
CPAPACP
BPAPABP
?
?
?
(1)
)()()()( CPBPAPABCP ?(2)
A,B,C 相互独立 A,B,C 两两独立
定义
Ch1-88
例 2 有一均匀的八面体,各面涂有颜色如下
将八面体向上抛掷一次,观察向下一面
出现的颜色。
设事件
R 红色
W 白色
Y 黄色
1 2 3 4 5 6 7 8
R R R R
W W W W
Y Y Y Y
Ch1-89
2
1
8
4)()()( ???? YPWPRP
则
8
1)()(,
8
3)( ??? RYPWYPRWP
8
1)( ?R W YP
)()()( WPRPRWP ?
)()()( YPWPRP?
但
)()()(
)()()
YPRPRYP
YPWPWY
?
?
本例说明 不能由关系式 (2)推出关系式 (1)
Ch1-90
例 3 随机投掷编号为 1 与 2 的两个骰子
事件 A 表示 1号骰子向上一面出现奇数
B 表示 2号骰子向上一面出现奇数
C 表示两骰子出现的点数之和为奇数
则 2/1)()()( ??? CPBPAP
4/1)()()( ??? CAPBCPABP )()()()()()( APCPCPBPBPAP ???
但 0)( ?ABCP )()()(8/1 CPBPAP??
本例说明 不能由 A,B,C 两两独立
A,B,C 相互独立
Ch1-91
n 个事件 A1,A2,…,An 相互独立
是指下面的关系式同时成立
)()()()( 2121 nn APAPAPAAAP ??
???????????????
?
njiAPAPAAP jiji ???? 1),()()(
nkjiAPAPAPAAAP kjikji ????? 1),()()()(
定义
常由实际问题的意义
判断事件的独立性
Ch1-92
例 4 已知事件 A,B,C 相互独立,证明事件
A 与 CB ? 也相互独立
证 ? ? ? ?
)()()( CBAPCBPCBAP ?????? ?
? ?)()()(
)()()(
ABCPACPABP
BCPCPBP
???
???
? ?)()()()( BCPCPBPAP ???
)()( CBPAP ??
Ch1-93
?若 n 个事件 A1,A2,…,An 相互独立,将这
n 个事件任意分成 k 组,同一个事件不能
同时属于两个不同的组,则对每组的事件
进行求和、积、差、对立等运算所得到
的 k 个事件也相互独立,
Ch1-94利用独立事件的性质
计算其并事件的概率
若 A1,A2,…,An 相互独立,则
)()( 21
1
n
n
i
i AAAPAP ????
?
??
?
?
???
n
i
iAP
1
))(1(1 )(1 21 nAAAP ??? ????
n
i
iAP
1
)(1
)(1 21 nAAAP ????? ?
)(
1
?
n
i
iAP
?
?
?
???
n
i
iAP
1
))(1(1
Ch1-95例 5 设每个人的血清中含肝炎病毒的概率
为 0.4%,求来自不同地区的 100个人的
血清混合液中含有肝炎病毒的概率
解 设这 100 个人的血清混合液中含有肝炎
病毒为事件 A,第 i 个人的血清中含有
肝炎病毒为事件 Ai i =1,2,…,100
则 ?
1 00
1?
?
i
iAA
? ?)(11)(
1 0 0
1
i
i
APAP ?
?
??? 33.0)004.01(1
100 ????
Ch1-96
若 Bn 表示 n 个人的血清混合液中含有肝
炎病毒，则
?,2,1
10,)1(1)(
?
?????
n
BP nn ??
1)(lim ??? nn BP
—— 不能忽视小概率事件,
小概率事件迟早要发生
Ch1-97
一个元件 (或系统 )能正常工作的概率称为
元件 (或系统 )的可靠性
系统由元件组成,常见的元件连接方式,
串联
并联
1
2
21
系统的可靠性问题 (教材 P.40例 5)例 6
Ch1-98
设 两系统都是由 4 个元件组成,每个元件
正常工作的概率为 p,每个元件是否正常工
作相互独立,两系统的连接方式如下图所示，
比较两系统的可靠性,
A1 A2
B2B1
S1:
)()()()( 212121211 BBAAPBBPAAPSP ???
)2(2 2242 pppp ????
Ch1-99A
1 A2
B2B1
S2:
?
?
??
2
1
2 )()(
i
ii BAPSP
22 )2( pp ??,)()2(
122 SPpp ???
? ?222 pp ??
0)2()2()( 22 ????? pppf
注 利用导数可证,当 时,恒有)1,0(?p
公 Bayes式
Ch1-101
应用举例 —— 肠癌普查
设事件 表示第 i 次检查为阳性,事件 B
iA
表示被查者患肠癌,已知肠镜检查效果如下：
005.0)(,95.0)()( ??? BPBAPBAP ii 且
某患者首次检查反应为阳性,试判断该
患者是否已患肠癌？ 若三次检查反应均为
阳性呢？
Ch1-102
05.09 9 5.095.00 0 5.0
95.00 0 5.0
???
?
?
)()()()(
)()(
)(
11
1
1
BAPBPBAPBP
BAPBP
ABP
?
?
由 Bayes 公式得
.087.0?
首次检查反应为阳性
患肠癌的概率并不大
Ch1-103
)()()()(
)()(
2121
21
BAAPBPBAAPBP
BAAPBP
?
?
)()()()()()(
)()()(
2121
21
BAPBAPBPBAPBAPBP
BAPBAPBP
?
?
6 4 4 6.0
05.0995.095.0005.0
95.0005.0
22
2
?
???
??
)( 21 AABP
接连两次检查为阳性
患肠癌的可能性过半
Ch1-104
两次检查反应均为阳性,还不能断
定患者已患肠癌,
33
3
321 05.0995.095.0005.0
95.0005.0
)(
???
?
?AAABP
9718.0?
连续三次检查为阳性
几乎可断定已患肠癌
Ch1-105
作业 P49 习题一
35 37
38 40
某型号火炮的命中率为 0.8,现有一架
敌机即将入侵，如果欲以 99.9 % 的概率
击中它，则需配备此型号火炮多少门？
补充作业题
Ch1-106
补充作业题解答
设需配备 n 门此型号火炮
设事件 表示第 i 门火炮击中敌机
iA
? ? 999.02.01)(11)(
1
???????
?
nn
ii
n
i
APAP
29.4
2.0ln
00 1.0ln
??n
故需配备 5 门此型号火炮,
Ch1-107
n重 Bernoulli试验中事件
A 出现 k 次的概率 记为 )( kPn
AA,
10,)( ??? ppAP且
伯努利试验概型
每次试验的结果与其他次试验无关 ——
称为这 n 次试验是相互独立的
试验可重复 n 次
每次试验只有两个可能的结果：
n 重 伯努利 (Bernoulli) 试验概型：
Ch1-108
例 7 袋中有 3 个白球,2个红球,有放回取球
4 次,每次一只,求其中恰有 2个白球的概率,
解 古典概型
45?
?n
设 B 表示 4个球中恰有 2个白球
222
4 23Cn B ?
4
222
4
5
23)( CBP ?
.3456.0
5
2
5
3
22
2
4 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? C
Ch1-109
解二 每取一个球看作是做了一次试验
.5/3)( ?AP记取得白球为事件 A,
有放回地取 4个球看作做了 4 重 Bernoulli
试验,记第 i 次取得白球为事件 Ai
感兴趣的是 4 次试验中 A 发生 2次的概率
4321 AAAA 4321 AAAA 4321 AA
4321 AAAA 4321 AAAA 4321 AA
.3456.0
5
2
5
3
)(
22
2
4 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? CBP
Ch1-110
一般地, 若
10,)( ??? ppAP
则
,)1()( knkknn ppCkP ???
nk,,2,1,0 ??
Ch1-111
例 8 八门炮同时独立地向一目标各射击一
发炮弹,若有不少于 2发炮弹命中目标时,目
标就被击毁,如果每门炮命中目标的概率为
0.6,求目标被击毁的概率,
解 设一门炮击中目标为事件 A,P(A) = 0.6
设目标被击毁为事件 B,
?
?
??
8
2
8
8 4.06.0)(
k
kkkCBP
?
?
???
1
0
8
8 4.06.01
k
kkkC
9914.0?
则
Ch1-112
作业 P.50 习题一
41 43 44
Ch1-113
某市进行艺术体操赛,需设立两个裁
判组,甲组 3名,乙组 1名, 但组委会只召集
到 3名裁判,由于临近比赛,便决定调一名
不懂行的人参加甲组工作,其中两裁判独
立地以概率 p 做出正确裁定,而第三人以
掷硬币决定,最后根据多数人的意见决定,
乙组由 1 个人组成,他以概率 p 做出正确
裁定, 问哪一组做出正确裁定的概率大?
问 题第 4 周
伯努利
Jacob Bernoulli
1654-1705
瑞士数学家
概率论的奠基人
伯努利 (Jacob Bernoulli )简介
伯努利 家属祖孙三代出过十多位
数学家, 这在世界数学史上绝无仅有,
伯努利 幼年遵从父亲意见学神学,
当读了 R 笛卡尔的书后,顿受启发,兴
趣转向数学,
?
1694年,首次给出直角坐标和极坐
标下的曲率半径公式,同年关于双纽线
性质的论文,使伯努利双纽线应此得名,
此外对对数螺线深有研究,发现
对数螺线经过各种变换后,结果还是
对数螺线,在惊叹此曲线的奇妙之余,
遗言将对数螺线刻在自己的墓碑上,
并附以颂词,
纵使变化,依然故我
nyxqyxpdydx )()(/ ??
1695年提出著名的伯努利方程
Ch1-117
1713年出版的巨著,推测术》,是
组合数学及概率史的一件大事,书中给
出的 伯努利数、伯努利方程、伯努利
分布等,有很多应用,还有伯努利定理,
这是大数定律的最早形式,
Ch1-118
解 设取出的 5个数按由小到大排列为
54321 xxxxx ????
令 )4( 3 ?x 表示所求的事件
)3()4()4( 333 ????? xxx
杂例 从 1,2,,10 十个数字中有放回地任取
5个数字,求取出的 5个数字按由小到大
排列,中间的那个数等于 4 的概率,
?
附 录
Ch1-119
令 Ak 表示所取 5个数字中恰有 k 个不大于 4
则
kk
k
k CAP
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
5
5 10
6
10
4
)(
?
5
3
3 )4(
?
??
k
kAx mkAA
mk ???,
:)4( 3 ?x 1,1,2,3,3; 1,1,2,3,4;
所取 5个数字中至少有 3个数字不大于 4
1,1,4,4,5; 1,1,4,5,8; ??
Ch1-120
)3()4()4( 333 ????? xPxPxP
? ?
? ?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? 5
3
5
3
5
5
5
5 10
7
10
3
10
6
10
4
k k
kk
k
kk
k CC
.1544.0?
)4()3( 33 ??? xx由于
?
?
??
5
3
3 )()4(
k
kAPxP
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? 5
3
5
5 10
6
10
4
k
kk
kC
例 1 已知袋中有 5只红球,3只白球,从袋中
有放回地取球两次,每次取 1球,
事件的独立性
设第 i 次
求取得白球为事件 Ai ( i =1,2 ),
,)( 12 AAP,)( 12 AAP,)(,)( 21 APAP
解
,8/3)( 12 ?AAP
,8/3)( 12 ?AAP,)(8/3)( 21 APAP ??
)()()( 12212 AAPAPAAP ??
§ 1.4 事件的独立性
Ch1-84
事件 A1 发生与否对 A2 发生的概率没有影
响可视为 事件 A1与 A2相互独立
)()()8/3()( 121221 AAPAPAAP ??
定义 设 A,B 为两事件，若
)()()( BPAPABP ?
则称 事件 A 与事件 B 相互独立
Ch1-85
两事件相互独立的性质
?两事件 A 与 B 相互独立是相互对称的
?若 )()(,0)( ABPBPAP ?? 则
若 )()(,0)( BAPAPBP ?? 则
?若,0)(,0)( ?? BPAP
则“事件 A 与 事件 B 相互独立”和
“事件 A 与 事件 B 互斥”
不能同时成立 (自行证明 )
Ch1-86
?四对事件 BABABABA,;,;,;,
任何一对相互独立,则其它三对也相互独立
试证其一
独立独立 BABA,,?
事实上
)()()()( BAPAPBAAPABP ????
? ? )()()(1)( BPAPBPAP ???
)()()( BPAPAP ??
Ch1-87三事件 A,B,C 相互独立
是指下面的关系式同时成立：
注, 1) 关系式 (1) (2)不能互相推出
2)仅满足 (1)式时,称 A,B,C 两两独立
)()()(
)()()(
)()()(
CPBPBCP
CPAPACP
BPAPABP
?
?
?
(1)
)()()()( CPBPAPABCP ?(2)
A,B,C 相互独立 A,B,C 两两独立
定义
Ch1-88
例 2 有一均匀的八面体,各面涂有颜色如下
将八面体向上抛掷一次,观察向下一面
出现的颜色。
设事件
R 红色
W 白色
Y 黄色
1 2 3 4 5 6 7 8
R R R R
W W W W
Y Y Y Y
Ch1-89
2
1
8
4)()()( ???? YPWPRP
则
8
1)()(,
8
3)( ??? RYPWYPRWP
8
1)( ?R W YP
)()()( WPRPRWP ?
)()()( YPWPRP?
但
)()()(
)()()
YPRPRYP
YPWPWY
?
?
本例说明 不能由关系式 (2)推出关系式 (1)
Ch1-90
例 3 随机投掷编号为 1 与 2 的两个骰子
事件 A 表示 1号骰子向上一面出现奇数
B 表示 2号骰子向上一面出现奇数
C 表示两骰子出现的点数之和为奇数
则 2/1)()()( ??? CPBPAP
4/1)()()( ??? CAPBCPABP )()()()()()( APCPCPBPBPAP ???
但 0)( ?ABCP )()()(8/1 CPBPAP??
本例说明 不能由 A,B,C 两两独立
A,B,C 相互独立
Ch1-91
n 个事件 A1,A2,…,An 相互独立
是指下面的关系式同时成立
)()()()( 2121 nn APAPAPAAAP ??
???????????????
?
njiAPAPAAP jiji ???? 1),()()(
nkjiAPAPAPAAAP kjikji ????? 1),()()()(
定义
常由实际问题的意义
判断事件的独立性
Ch1-92
例 4 已知事件 A,B,C 相互独立,证明事件
A 与 CB ? 也相互独立
证 ? ? ? ?
)()()( CBAPCBPCBAP ?????? ?
? ?)()()(
)()()(
ABCPACPABP
BCPCPBP
???
???
? ?)()()()( BCPCPBPAP ???
)()( CBPAP ??
Ch1-93
?若 n 个事件 A1,A2,…,An 相互独立,将这
n 个事件任意分成 k 组,同一个事件不能
同时属于两个不同的组,则对每组的事件
进行求和、积、差、对立等运算所得到
的 k 个事件也相互独立,
Ch1-94利用独立事件的性质
计算其并事件的概率
若 A1,A2,…,An 相互独立,则
)()( 21
1
n
n
i
i AAAPAP ????
?
??
?
?
???
n
i
iAP
1
))(1(1 )(1 21 nAAAP ??? ????
n
i
iAP
1
)(1
)(1 21 nAAAP ????? ?
)(
1
?
n
i
iAP
?
?
?
???
n
i
iAP
1
))(1(1
Ch1-95例 5 设每个人的血清中含肝炎病毒的概率
为 0.4%,求来自不同地区的 100个人的
血清混合液中含有肝炎病毒的概率
解 设这 100 个人的血清混合液中含有肝炎
病毒为事件 A,第 i 个人的血清中含有
肝炎病毒为事件 Ai i =1,2,…,100
则 ?
1 00
1?
?
i
iAA
? ?)(11)(
1 0 0
1
i
i
APAP ?
?
??? 33.0)004.01(1
100 ????
Ch1-96
若 Bn 表示 n 个人的血清混合液中含有肝
炎病毒，则
?,2,1
10,)1(1)(
?
?????
n
BP nn ??
1)(lim ??? nn BP
—— 不能忽视小概率事件,
小概率事件迟早要发生
Ch1-97
一个元件 (或系统 )能正常工作的概率称为
元件 (或系统 )的可靠性
系统由元件组成,常见的元件连接方式,
串联
并联
1
2
21
系统的可靠性问题 (教材 P.40例 5)例 6
Ch1-98
设 两系统都是由 4 个元件组成,每个元件
正常工作的概率为 p,每个元件是否正常工
作相互独立,两系统的连接方式如下图所示，
比较两系统的可靠性,
A1 A2
B2B1
S1:
)()()()( 212121211 BBAAPBBPAAPSP ???
)2(2 2242 pppp ????
Ch1-99A
1 A2
B2B1
S2:
?
?
??
2
1
2 )()(
i
ii BAPSP
22 )2( pp ??,)()2(
122 SPpp ???
? ?222 pp ??
0)2()2()( 22 ????? pppf
注 利用导数可证,当 时,恒有)1,0(?p
公 Bayes式
Ch1-101
应用举例 —— 肠癌普查
设事件 表示第 i 次检查为阳性,事件 B
iA
表示被查者患肠癌,已知肠镜检查效果如下：
005.0)(,95.0)()( ??? BPBAPBAP ii 且
某患者首次检查反应为阳性,试判断该
患者是否已患肠癌？ 若三次检查反应均为
阳性呢？
Ch1-102
05.09 9 5.095.00 0 5.0
95.00 0 5.0
???
?
?
)()()()(
)()(
)(
11
1
1
BAPBPBAPBP
BAPBP
ABP
?
?
由 Bayes 公式得
.087.0?
首次检查反应为阳性
患肠癌的概率并不大
Ch1-103
)()()()(
)()(
2121
21
BAAPBPBAAPBP
BAAPBP
?
?
)()()()()()(
)()()(
2121
21
BAPBAPBPBAPBAPBP
BAPBAPBP
?
?
6 4 4 6.0
05.0995.095.0005.0
95.0005.0
22
2
?
???
??
)( 21 AABP
接连两次检查为阳性
患肠癌的可能性过半
Ch1-104
两次检查反应均为阳性,还不能断
定患者已患肠癌,
33
3
321 05.0995.095.0005.0
95.0005.0
)(
???
?
?AAABP
9718.0?
连续三次检查为阳性
几乎可断定已患肠癌
Ch1-105
作业 P49 习题一
35 37
38 40
某型号火炮的命中率为 0.8,现有一架
敌机即将入侵，如果欲以 99.9 % 的概率
击中它，则需配备此型号火炮多少门？
补充作业题
Ch1-106
补充作业题解答
设需配备 n 门此型号火炮
设事件 表示第 i 门火炮击中敌机
iA
? ? 999.02.01)(11)(
1
???????
?
nn
ii
n
i
APAP
29.4
2.0ln
00 1.0ln
??n
故需配备 5 门此型号火炮,
Ch1-107
n重 Bernoulli试验中事件
A 出现 k 次的概率 记为 )( kPn
AA,
10,)( ??? ppAP且
伯努利试验概型
每次试验的结果与其他次试验无关 ——
称为这 n 次试验是相互独立的
试验可重复 n 次
每次试验只有两个可能的结果：
n 重 伯努利 (Bernoulli) 试验概型：
Ch1-108
例 7 袋中有 3 个白球,2个红球,有放回取球
4 次,每次一只,求其中恰有 2个白球的概率,
解 古典概型
45?
?n
设 B 表示 4个球中恰有 2个白球
222
4 23Cn B ?
4
222
4
5
23)( CBP ?
.3456.0
5
2
5
3
22
2
4 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? C
Ch1-109
解二 每取一个球看作是做了一次试验
.5/3)( ?AP记取得白球为事件 A,
有放回地取 4个球看作做了 4 重 Bernoulli
试验,记第 i 次取得白球为事件 Ai
感兴趣的是 4 次试验中 A 发生 2次的概率
4321 AAAA 4321 AAAA 4321 AA
4321 AAAA 4321 AAAA 4321 AA
.3456.0
5
2
5
3
)(
22
2
4 ??
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? CBP
Ch1-110
一般地, 若
10,)( ??? ppAP
则
,)1()( knkknn ppCkP ???
nk,,2,1,0 ??
Ch1-111
例 8 八门炮同时独立地向一目标各射击一
发炮弹,若有不少于 2发炮弹命中目标时,目
标就被击毁,如果每门炮命中目标的概率为
0.6,求目标被击毁的概率,
解 设一门炮击中目标为事件 A,P(A) = 0.6
设目标被击毁为事件 B,
?
?
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8
2
8
8 4.06.0)(
k
kkkCBP
?
?
???
1
0
8
8 4.06.01
k
kkkC
9914.0?
则
Ch1-112
作业 P.50 习题一
41 43 44
Ch1-113
某市进行艺术体操赛,需设立两个裁
判组,甲组 3名,乙组 1名, 但组委会只召集
到 3名裁判,由于临近比赛,便决定调一名
不懂行的人参加甲组工作,其中两裁判独
立地以概率 p 做出正确裁定,而第三人以
掷硬币决定,最后根据多数人的意见决定,
乙组由 1 个人组成,他以概率 p 做出正确
裁定, 问哪一组做出正确裁定的概率大?
问 题第 4 周
伯努利
Jacob Bernoulli
1654-1705
瑞士数学家
概率论的奠基人
伯努利 (Jacob Bernoulli )简介
伯努利 家属祖孙三代出过十多位
数学家, 这在世界数学史上绝无仅有,
伯努利 幼年遵从父亲意见学神学,
当读了 R 笛卡尔的书后,顿受启发,兴
趣转向数学,
?
1694年,首次给出直角坐标和极坐
标下的曲率半径公式,同年关于双纽线
性质的论文,使伯努利双纽线应此得名,
此外对对数螺线深有研究,发现
对数螺线经过各种变换后,结果还是
对数螺线,在惊叹此曲线的奇妙之余,
遗言将对数螺线刻在自己的墓碑上,
并附以颂词,
纵使变化,依然故我
nyxqyxpdydx )()(/ ??
1695年提出著名的伯努利方程
Ch1-117
1713年出版的巨著,推测术》,是
组合数学及概率史的一件大事,书中给
出的 伯努利数、伯努利方程、伯努利
分布等,有很多应用,还有伯努利定理,
这是大数定律的最早形式,
Ch1-118
解 设取出的 5个数按由小到大排列为
54321 xxxxx ????
令 )4( 3 ?x 表示所求的事件
)3()4()4( 333 ????? xxx
杂例 从 1,2,,10 十个数字中有放回地任取
5个数字,求取出的 5个数字按由小到大
排列,中间的那个数等于 4 的概率,
?
附 录
Ch1-119
令 Ak 表示所取 5个数字中恰有 k 个不大于 4
则
kk
k
k CAP
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?
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5
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5
3
3 )4(
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k
kAx mkAA
mk ???,
:)4( 3 ?x 1,1,2,3,3; 1,1,2,3,4;
所取 5个数字中至少有 3个数字不大于 4
1,1,4,4,5; 1,1,4,5,8; ??
Ch1-120
)3()4()4( 333 ????? xPxPxP
? ?
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3
5
3
5
5
5
5 10
7
10
3
10
6
10
4
k k
kk
k
kk
k CC
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)4()3( 33 ??? xx由于
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5
3
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kAPxP
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3
5
5 10
6
10
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k
kk
kC
