Ch2-12
§ 2.2离散型随机变量及其概率分布
定义 若随机变量 X 的可能取值是有限
个或可列个,则称 X 为 离散型随机变量
描述 X 的概率特性常用 概率分布 或 分布律
?,2,1,)( ??? kpxXP kk
X ?? kxxx 21
P ?? kppp 21或
离散随机变量及分布律
即
Ch2-13
分布律的性质
? ?,2,1,0 ?? kp k 非负性
? 1
1
??
?
?k
kp 规范性
X ~ 或 ?? kxxx 21
?? kppp 21
Ch2-14
F( x) 是分段阶梯函数,在 X 的可能取
值 xk 处发生间断,间断点为第一类跳跃间
断点,在间断点处有跃度 pk,
离散随机变量及分布函数
)()()( 1????? kkkk xFxFxXPp
))(()()( ?
xx
k
k
xXPxXPxF
?
????
??
??
???
xx
k
xx
k
kk
pxXP )(
其中,
kk xx ??1
Ch2-15
3,2,1,0),1()( ???? kppkXP k
解
4,)4( 4 ??? kpXP
例 1 设汽车在开往甲地途中需经
过 4 盏信号灯,每盏信号灯独立地
以概率 p 允许汽车通过,
出发地 甲地
首次停下时已通过的信号灯盏数,求 X 的概
率分布与 p = 0.4 时的分布函数,
令 X 表示
Ch2-16
?
0
?
1
?
2
?
3
?
4 xx
] ]
,4.06.06.0 ?? 21 ?? x
,6.0 10 ?? x
,0 0?x
,4.06.04.06.06.0 2???? 32 ?? x
),4.04.04.01(6.0 32 ??? 43 ?? x1 4?x
)(xF
] ]
k
pk
0 1 2 3 4
0.6 0.4?0.6 0.42?0.6 0.43?0.6 0.44
当 4.0?p
?? )( xXP
Ch2-17
?
0
?
1
?
2
?
3
?
4 x
F( x)
o
? o
?1
? o? o
? o
Ch2-18
用分布律或分布函数来计算事件的概率
例 2 在上例中,分别用分布律与分布函数计
算下述事件的概率：
.)2(),31( ??? XPXP
解 )31( ?? XP )3()2()1( ?????? XPXPXP
3 7 4 4.0)4.04.04.0(6.0 32 ????
或 )31( ?? XP )1()31( ????? XPXP
.3 7 4 4.06.09 7 4 4.0 ???
)01()3( ??? FF
Ch2-19
16.084.01
)1()0(1
)2(1)2(
???
?????
????
XPXP
XPXP
? ?
16.0
)02(1
)2()2(1
)2(1)2(
?
???
?????
????
F
XPXP
XPXP
或
此式应理解为极限 )(lim
2
xF
x ??
Ch2-20
例 3 一门大炮对目标进行轰击,假定此目标
必须被击中 r 次才能被摧毁, 若每次击中目
标的概率为 p (0 < p < 1),且各次轰击相互独
立,一次次地轰击直到摧毁目标为止,求所需
轰击次数 X 的概率分布,
解 P(X = k) = P(前 k –1次击中 r – 1次，
第 k 次击中目标 )
pppC rkrrk ??? ???? )1(111
rkrrk ppC ??? ?? )1(11 ?,1,?? rrk帕斯卡
分 布
Ch2-21
注 1)1(
1
1 ???
?
?
??
?
rk
rkrr
k ppC
利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质
xxk
k
???
?
?
?
1
1
1
1
2
2
2
)1(
1)1(
xxkk
k
????
?
?
?1|| ?x当
3
3
3
)1(
2)2)(1(
xxkkk
k
?????
?
?
?
3
3
32
1 )1(
1
xxCk
k
k ???
?
?
?
?
Ch2-22
r
rk
rkr
k xxC )1(
11
1 ???
?
?
??
?
归纳地
令 px ?? 1
rr
rk
rkr
k pppC
1
))1(1(
1)1(1
1 ??????
?
?
??
?
1)1(11 ???
?
?
??
?
rk
rkrr
k ppC
Ch2-23
作业 P82 习题二
2 4
5 6
Ch2-24
(1) 0 – 1 分布
X = xk 1 0
Pk p 1 - p
0 < p < 1
1,0,)1()( 1 ???? ? kppkXP kk
注 其分布律可写成
常见的离散型随机变量的分布
凡试验只有两个可能的结果，常用应用场合
0 – 1分布描述，如产品是否合格、人口性别统
计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等,
Ch2-25
(2) 二项分布
n 重 Bernoulli 试验中,X 是事件 A 在 n 次试
验中发生的次数,P (A) = p,若
nkppCkXPkP knkknn,,1,0,)1()()( ?????? ?
则称 X 服从参数为 n,p 的 二项分布,记作
),(~ pnBX
0–1 分布是 n = 1 的二项分布
Ch2-26二项分布的取值情况 设
),8(~ 31BX
.039,156,273,273,179,068,017,0024,0000
0 1 2 3 4 5 6 7 8
8,,1,0,)1()()()( 8313188 ?????? ? kCkXPkP kkk
0.273?
由图表可见,当 时，32 或?k
分布取得最大值
2 7 3.0)3()2( 88 ?? PP
此时的 称为最可能成功次数k
x
P
?
0
?
1
?
2
?
3
?
4
?
5
?
6
?
7
?
8
Ch2-27
2 4 6 8
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Ch2-28
设 )2.0,20(~ BX
.01,06,14,21,22,18,11,06,02,01,002 <,001
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ~ 20
? ? x
P
? ? ???
1
?
3
?
5
?
7
?
9
? ? ??
0
?
2
?
4
?
6
?
8
?
10
?
20
由图表可见,当 时，4?k
分布取得最大值
22.0)4(20 ?P
0.22 ?
Ch2-29
5 10 15 20
0.05
0.1
0.15
0.2
Ch2-30
二项分布中最可能出现次数的定义与推导
可取的一切值若 XjjXPkXP ???? ),()(
则称 为最可能出现的次数k
nkppCkXPp knkknk,,1,0,)1()( ?????? ?记
1
)1(
)1(1 ?
??
???
knp
kp
p
p
k
k
1
)(
)1)(1(
1
?
?
???
? knp
kp
p
p
k
k
pnkpn )1(1)1( ?????
Ch2-31
当 ( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与
( n + 1) p – 1 处的概率取得最大值
对固定的 n,p,P ( X = k) 的取值呈不
对称分布
固定 p,随着 n 的增大，其取值的分布
趋于对称
当 ( n + 1) p ? 整数时,在 k = [( n + 1) p ]
处的概率取得最大值
Ch2-32例 4 独立射击 5000次,每次命中率为 0.001,
解 (1) k = [( n + 1)p ]
4 9 9 555
5 0 0 05 0 0 0 )9 9 9.0()0 0 1.0()5( CP ?
1756.0?
= [( 5000+ 1)0.001] =5
求 (1) 最可能命中次数及相应的概率；
(2) 命中次数不少于 1 次的概率,
Ch2-33
(2) 令 X 表示命中次数,则 X ~ B(5000,0.001)
( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 0 )P X P X P X? ? ? ? ? ? ?
0 0 5 0 0 0
50001 ( 0, 0 0 1 ) ( 0, 9 9 9 )C??
.9934.0?
小概率事件虽不易发生，但重
复次数多了，就成大概率事件,
本例
启示
Ch2-34
由此可见日常生活中“提高警惕,防火
由于时间无限,自然界发生地震、海
啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的
同样,人生中发生车祸、失恋、患绝
症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常
现象,大可不必怨天尤人,更不要想不开而
防盗”的重要性,
事，不用奇怪，不用惊慌,
跳物理楼 (交大闵行校区最高楼 )自杀,
Ch2-35
,则对固定的 k
?,2,1,0
!
)1(lim
?
?? ??
??
k
k
eppC
k
kn
n
k
n
k
n
n
??
0?? ?nnp设
Possion定理
Poisson定理说明若 X ~ B( n,p),则当 n 较大，
p 较小,而 适中,则可以用近似公式??np
?,2,1,0,
!
)1( ??? ?? k
k
eppC
k
knkk
n
??
问题 如何计算？ )2500( ?XP
Ch2-36
证
kn
n
k
n
kn
n
k
n
k
n
nnk
knnn
ppC
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
????
?
?
??
1
!
)1()1(
)1(
?nnnp ??记
?
?
?
?
?
? ????
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
? ??
?
?
?
?
?
? ?? n
knn
n
k
n
n
n
nkn
k
n
)(
1
!
1111 ?????
!k
e
k?
??? ?,2,1?k
Ch2-37
类似地,从装有 a 个白球,b 个红球的袋中
不放回地任取 n 个球,其中恰有 k 个白球的
概率为
pba aba ?????,当 时，
knkk
ban
ba
kn
b
k
a ppC
C
CC ?
?
?
?
?? )1(对每个 n 有
n
ba
kn
b
k
a CCC ?
? /
结 论
超几何分布的极限分布是二项分布
二项分布的极限分布是 Poisson 分布
Ch2-38
解 令 X 表示命中次数,则
5?? np?令
.9 9 3 3.01)1( 5 ???? ?eXP
此结果也可直接查 P.378 附表 2 泊松
分布表得到，它与用二项分布算得的结果
0.9934仅相差 万 分之一,
利用 Poisson定理再求 例 4 (2)
X ~ B( 5000,0.001 )
Ch2-39
例 5 某厂产品不合格率为 0.03,现将产品
装箱,若要以不小于 90%的概率保证每箱
中至少有 100 个合格品,则每箱至少应装
解 设每箱至少应装 100 + n 个,每箱的不
合格品个数为 X,则 X ~ B ( 100 + n,0.03 )
由题意 9.0)()(
0
100 ??? ?
?
? kPnXP
n
k
n
3(100+n)0.03=3+0.03n ? 取 = 3?
多少个产品？
Ch2-40
1.0
!
3 3
1
??
?
??
? ek
nk
k 查 Poisson分布表,=3
?
得 n +1 = 6,n = 5
故每箱至少应装 105个产品,才能符合要求,
应用 Poisson定理
9.0
!
31
!
3)( 3
1
3
00
100 ????
?
?
??
?
??
? ??? ekekkP
nk
kn
k
kn
k
n
Ch2-41
在实际计算中,当 n ? 20,p ?0.05时,可用上
述公式近似计算 ; 而当 n ? 100,np ?10 时,
精度更好
0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368
1 0.305 0.377 0.372 0.370 0.368
2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184
3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061
4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015
按二项分布 按 Possion
公式
k n=10p=0.1 n=20 p=0.05 n=40 p=0.025 n=100 p=0.01 ?=np=1
Ch2-42
解 (1) 设 需要配备 N 个维修工人,设 X 为 90 台
设备中发生故障的台数，则 X ~ B( 90,0.01)
自学 （详解见教材 P.61例 6 )
设有同类型设备 90台，每台工作相互独立，
每台设备发生故障的概率都是 0.01,在通常
情况下，一台设备发生故障可由一个人独立
维修，每人同时也只能维修一台设备,
(1) 问至少要配备多少维修工人，才能保证当设
备发生故障时不能及时维修的概率小于 0.01?
(2) 问 3个人共同负责 90台还是 3个人各自独立负
责 30台设备发生故障不能及时维修的概率低？
例 6
Ch2-43
?
??
???
90
1
90 )99.0()01.0()(
Nk
kNkkCNXP
令 9.001.090 ????
则 ? ??
???
90
1
9.0
!
9.0)(
Nk
k
keNXP ?? ?
?
?
?
??
? ??
91
9.0
1
9.0
!
9.0
!
9.0
k
k
Nk
k
keke??
??
??
1
9.0
!
9.0
Nk
k
ke01.0?
查附表 2得 N = 4
Ch2-44
(2)三个人共同负责 90台设备发生故障不能
及时维修的概率为 ?
?
???
90
4
9.0
!
9.0)3(
k
k
keXP ?? ?
?
?
?
?
? ??
91
9.0
4
9.0
!
9.0
!
9.0
k
k
k
k
keke??
?
??
4
9.0
!
9.0
k
k
ke
013459.0?
Ch2-45
设 30台设备中发生故障的台数为 Y ~ B ( 30,0.01)
设每个人独立负责 30台设备，第 i 个人负责的
30台设备发生故障不能及时维修为事件 Ai
则 ?
?
?
????
2
3.0
!
3.0)2()(
k
k
i keYPAP
0369.0? 3,2,1?i
三个人各独立负责 30台设备发生故障不能及时
维修为事件 321 AAA ??? ? ?
?
????
3
1
321 )(1
i
iAPAAAP
1067.0)0369.01(1 3 ???? 0 1 3 4 5 9.0?
故 三个人共同负责 90 台设备比各自负责好！
Ch2-46
在 Poisson 定理中，
0! ?? ke
k?
?
1
!3!2
1
!!
32
00
???
?
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
??
??
?
??
ee
e
k
e
k
e
k
k
k
k
?
由此产生了一种离散型随机变量的概率分布
— Poisson 分布
Ch2-47
(3) Poisson 分布
若 ?,2,1,0,!)( ???
? k
kekXP
k?
?
其中 0?? 是常数，则称 X 服从参数为 ?
的 Poisson 分布, 或)(~ ??X )(?P记作
Ch2-48
在某个时段内：
大卖场的顾客数；
某地区拨错号的电话呼唤次数；
市级医院急诊病人数；
某地区发生的交通事故的次数,
①
②
③
④
⑤
一个容器中的细菌数；
一本书一页中的印刷错误数；
一匹布上的疵点个数；⑥
⑦
⑧
应
用
场
合
????
放射性物质发出的 粒子数；?
Ch2-49
都可以看作是源源不断出现的随机
质点流,若它们满足一定的条件,则称为
Poisson 流,在 长为 t 的时间内出现的质
点数 Xt ~ P ( ?t )
Ch2-50
例 7 设一只昆虫所生虫卵数为随机变
量 X,
设各个虫卵是否能发育成幼虫是
相互独立的,
已知 X ~ P(?),且每个虫卵发育
成幼虫的概率为 p.
求一昆虫所生的虫卵发育成幼虫
数 Y 的概率分布,
Ch2-51
解 昆虫 X 个虫卵 Y 个幼虫
已知 ?,2,1,0,!)( ???
? k
kekXP
k?
?
kmppCkXmYP mkmmk,,2,1,0,)1()( ?????? ?
??,2,1,0,)()( ????
?
?
mkXmY
mk
lklXkX ??????,)()(
由全概率公式
Ch2-52 )()()( kXmYPkXPmYP
mk
????? ?
?
? mkmm
k
mk
k
ppC
k
e ?
?
?
? ?? ? )1(
!
??
mk
mk
mkm
p
mkm
pe ??
?
?
? ?
?
? ? )1(
)!(!
)( ???
s
s
smsmk
p
sm
pe )1(
!!
)(
0
?? ?
?
?
?
?? ??
?
令
)1(
!
)( pm e
m
pe ??? ?? ?
,
!
)(
m
pe mp ???? ?,2,1,0?m
)(~ pPY ?故
Ch2-53
作业 P82 习题二
8 (1)
12
14
15
Ch2-54
已知运载火箭在飞行中进入其仪
器舱的宇宙粒子数服从参数为 2 的泊
松分布, 而进入仪器舱的粒子随机落
到仪器重要部位的概率为 0.1,求有
3 个粒子落到仪器重要部位的概率,
第五周 问题
Blaise Pascal
1623-1662
帕斯卡
法国数学家
物理学家
思想家
帕斯卡四岁丧母,在父亲精心培养
下,16岁时发现帕斯卡六边形定理,写成
《圆锥曲线论》,由此定理导出 400余条
推论,这是古希腊阿波罗尼奥斯以来圆
锥曲线论的最大进步,
帕斯卡简介
1642年发明世界上第一台机械加法
计算机 ——帕斯卡计算器,
他应用此方法解决了摆线问题,
1654年研究二项系数性质,写出
《论算术三角形》一文,还深入讨论
不可分原理,这实际上相当于已知道
?
a
n dxx
0
1
1
?
?
?
n
a n
1647年他发现了流体静力学的
帕斯卡原理,
三十岁时他曾研究过赌博问题,
对早期概率论的发展颇有影响,
1658年完成了《摆线论》,这给
G.W.莱布尼茨以很大启发,促使了微
积分的建立,
在离散型随机变量的分布中有个
以帕斯卡名字命名的分布，它应用于
重复独立试验中，事件发生 次的场r
帕斯卡还写过不少文学著作,
1654年他进入修道院,献身于哲学
合,而有名的几何分布正是其 时
的特例,
1?r
和宗教,
Ch2-60
自动生产线调整以后出
现废品的概率为 p,当生产
过程中出现废品时立即重新
进行调整,问两次调整之间
的合格品数服从什么分布？
思考 题附录
§ 2.2离散型随机变量及其概率分布
定义 若随机变量 X 的可能取值是有限
个或可列个,则称 X 为 离散型随机变量
描述 X 的概率特性常用 概率分布 或 分布律
?,2,1,)( ??? kpxXP kk
X ?? kxxx 21
P ?? kppp 21或
离散随机变量及分布律
即
Ch2-13
分布律的性质
? ?,2,1,0 ?? kp k 非负性
? 1
1
??
?
?k
kp 规范性
X ~ 或 ?? kxxx 21
?? kppp 21
Ch2-14
F( x) 是分段阶梯函数,在 X 的可能取
值 xk 处发生间断,间断点为第一类跳跃间
断点,在间断点处有跃度 pk,
离散随机变量及分布函数
)()()( 1????? kkkk xFxFxXPp
))(()()( ?
xx
k
k
xXPxXPxF
?
????
??
??
???
xx
k
xx
k
kk
pxXP )(
其中,
kk xx ??1
Ch2-15
3,2,1,0),1()( ???? kppkXP k
解
4,)4( 4 ??? kpXP
例 1 设汽车在开往甲地途中需经
过 4 盏信号灯,每盏信号灯独立地
以概率 p 允许汽车通过,
出发地 甲地
首次停下时已通过的信号灯盏数,求 X 的概
率分布与 p = 0.4 时的分布函数,
令 X 表示
Ch2-16
?
0
?
1
?
2
?
3
?
4 xx
] ]
,4.06.06.0 ?? 21 ?? x
,6.0 10 ?? x
,0 0?x
,4.06.04.06.06.0 2???? 32 ?? x
),4.04.04.01(6.0 32 ??? 43 ?? x1 4?x
)(xF
] ]
k
pk
0 1 2 3 4
0.6 0.4?0.6 0.42?0.6 0.43?0.6 0.44
当 4.0?p
?? )( xXP
Ch2-17
?
0
?
1
?
2
?
3
?
4 x
F( x)
o
? o
?1
? o? o
? o
Ch2-18
用分布律或分布函数来计算事件的概率
例 2 在上例中,分别用分布律与分布函数计
算下述事件的概率：
.)2(),31( ??? XPXP
解 )31( ?? XP )3()2()1( ?????? XPXPXP
3 7 4 4.0)4.04.04.0(6.0 32 ????
或 )31( ?? XP )1()31( ????? XPXP
.3 7 4 4.06.09 7 4 4.0 ???
)01()3( ??? FF
Ch2-19
16.084.01
)1()0(1
)2(1)2(
???
?????
????
XPXP
XPXP
? ?
16.0
)02(1
)2()2(1
)2(1)2(
?
???
?????
????
F
XPXP
XPXP
或
此式应理解为极限 )(lim
2
xF
x ??
Ch2-20
例 3 一门大炮对目标进行轰击,假定此目标
必须被击中 r 次才能被摧毁, 若每次击中目
标的概率为 p (0 < p < 1),且各次轰击相互独
立,一次次地轰击直到摧毁目标为止,求所需
轰击次数 X 的概率分布,
解 P(X = k) = P(前 k –1次击中 r – 1次，
第 k 次击中目标 )
pppC rkrrk ??? ???? )1(111
rkrrk ppC ??? ?? )1(11 ?,1,?? rrk帕斯卡
分 布
Ch2-21
注 1)1(
1
1 ???
?
?
??
?
rk
rkrr
k ppC
利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质
xxk
k
???
?
?
?
1
1
1
1
2
2
2
)1(
1)1(
xxkk
k
????
?
?
?1|| ?x当
3
3
3
)1(
2)2)(1(
xxkkk
k
?????
?
?
?
3
3
32
1 )1(
1
xxCk
k
k ???
?
?
?
?
Ch2-22
r
rk
rkr
k xxC )1(
11
1 ???
?
?
??
?
归纳地
令 px ?? 1
rr
rk
rkr
k pppC
1
))1(1(
1)1(1
1 ??????
?
?
??
?
1)1(11 ???
?
?
??
?
rk
rkrr
k ppC
Ch2-23
作业 P82 习题二
2 4
5 6
Ch2-24
(1) 0 – 1 分布
X = xk 1 0
Pk p 1 - p
0 < p < 1
1,0,)1()( 1 ???? ? kppkXP kk
注 其分布律可写成
常见的离散型随机变量的分布
凡试验只有两个可能的结果，常用应用场合
0 – 1分布描述，如产品是否合格、人口性别统
计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等,
Ch2-25
(2) 二项分布
n 重 Bernoulli 试验中,X 是事件 A 在 n 次试
验中发生的次数,P (A) = p,若
nkppCkXPkP knkknn,,1,0,)1()()( ?????? ?
则称 X 服从参数为 n,p 的 二项分布,记作
),(~ pnBX
0–1 分布是 n = 1 的二项分布
Ch2-26二项分布的取值情况 设
),8(~ 31BX
.039,156,273,273,179,068,017,0024,0000
0 1 2 3 4 5 6 7 8
8,,1,0,)1()()()( 8313188 ?????? ? kCkXPkP kkk
0.273?
由图表可见,当 时，32 或?k
分布取得最大值
2 7 3.0)3()2( 88 ?? PP
此时的 称为最可能成功次数k
x
P
?
0
?
1
?
2
?
3
?
4
?
5
?
6
?
7
?
8
Ch2-27
2 4 6 8
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Ch2-28
设 )2.0,20(~ BX
.01,06,14,21,22,18,11,06,02,01,002 <,001
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ~ 20
? ? x
P
? ? ???
1
?
3
?
5
?
7
?
9
? ? ??
0
?
2
?
4
?
6
?
8
?
10
?
20
由图表可见,当 时，4?k
分布取得最大值
22.0)4(20 ?P
0.22 ?
Ch2-29
5 10 15 20
0.05
0.1
0.15
0.2
Ch2-30
二项分布中最可能出现次数的定义与推导
可取的一切值若 XjjXPkXP ???? ),()(
则称 为最可能出现的次数k
nkppCkXPp knkknk,,1,0,)1()( ?????? ?记
1
)1(
)1(1 ?
??
???
knp
kp
p
p
k
k
1
)(
)1)(1(
1
?
?
???
? knp
kp
p
p
k
k
pnkpn )1(1)1( ?????
Ch2-31
当 ( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与
( n + 1) p – 1 处的概率取得最大值
对固定的 n,p,P ( X = k) 的取值呈不
对称分布
固定 p,随着 n 的增大，其取值的分布
趋于对称
当 ( n + 1) p ? 整数时,在 k = [( n + 1) p ]
处的概率取得最大值
Ch2-32例 4 独立射击 5000次,每次命中率为 0.001,
解 (1) k = [( n + 1)p ]
4 9 9 555
5 0 0 05 0 0 0 )9 9 9.0()0 0 1.0()5( CP ?
1756.0?
= [( 5000+ 1)0.001] =5
求 (1) 最可能命中次数及相应的概率；
(2) 命中次数不少于 1 次的概率,
Ch2-33
(2) 令 X 表示命中次数,则 X ~ B(5000,0.001)
( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 0 )P X P X P X? ? ? ? ? ? ?
0 0 5 0 0 0
50001 ( 0, 0 0 1 ) ( 0, 9 9 9 )C??
.9934.0?
小概率事件虽不易发生，但重
复次数多了，就成大概率事件,
本例
启示
Ch2-34
由此可见日常生活中“提高警惕,防火
由于时间无限,自然界发生地震、海
啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的
同样,人生中发生车祸、失恋、患绝
症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常
现象,大可不必怨天尤人,更不要想不开而
防盗”的重要性,
事，不用奇怪，不用惊慌,
跳物理楼 (交大闵行校区最高楼 )自杀,
Ch2-35
,则对固定的 k
?,2,1,0
!
)1(lim
?
?? ??
??
k
k
eppC
k
kn
n
k
n
k
n
n
??
0?? ?nnp设
Possion定理
Poisson定理说明若 X ~ B( n,p),则当 n 较大，
p 较小,而 适中,则可以用近似公式??np
?,2,1,0,
!
)1( ??? ?? k
k
eppC
k
knkk
n
??
问题 如何计算？ )2500( ?XP
Ch2-36
证
kn
n
k
n
kn
n
k
n
k
n
nnk
knnn
ppC
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
????
?
?
??
1
!
)1()1(
)1(
?nnnp ??记
?
?
?
?
?
? ????
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
? ??
?
?
?
?
?
? ?? n
knn
n
k
n
n
n
nkn
k
n
)(
1
!
1111 ?????
!k
e
k?
??? ?,2,1?k
Ch2-37
类似地,从装有 a 个白球,b 个红球的袋中
不放回地任取 n 个球,其中恰有 k 个白球的
概率为
pba aba ?????,当 时，
knkk
ban
ba
kn
b
k
a ppC
C
CC ?
?
?
?
?? )1(对每个 n 有
n
ba
kn
b
k
a CCC ?
? /
结 论
超几何分布的极限分布是二项分布
二项分布的极限分布是 Poisson 分布
Ch2-38
解 令 X 表示命中次数,则
5?? np?令
.9 9 3 3.01)1( 5 ???? ?eXP
此结果也可直接查 P.378 附表 2 泊松
分布表得到，它与用二项分布算得的结果
0.9934仅相差 万 分之一,
利用 Poisson定理再求 例 4 (2)
X ~ B( 5000,0.001 )
Ch2-39
例 5 某厂产品不合格率为 0.03,现将产品
装箱,若要以不小于 90%的概率保证每箱
中至少有 100 个合格品,则每箱至少应装
解 设每箱至少应装 100 + n 个,每箱的不
合格品个数为 X,则 X ~ B ( 100 + n,0.03 )
由题意 9.0)()(
0
100 ??? ?
?
? kPnXP
n
k
n
3(100+n)0.03=3+0.03n ? 取 = 3?
多少个产品？
Ch2-40
1.0
!
3 3
1
??
?
??
? ek
nk
k 查 Poisson分布表,=3
?
得 n +1 = 6,n = 5
故每箱至少应装 105个产品,才能符合要求,
应用 Poisson定理
9.0
!
31
!
3)( 3
1
3
00
100 ????
?
?
??
?
??
? ??? ekekkP
nk
kn
k
kn
k
n
Ch2-41
在实际计算中,当 n ? 20,p ?0.05时,可用上
述公式近似计算 ; 而当 n ? 100,np ?10 时,
精度更好
0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368
1 0.305 0.377 0.372 0.370 0.368
2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184
3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061
4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015
按二项分布 按 Possion
公式
k n=10p=0.1 n=20 p=0.05 n=40 p=0.025 n=100 p=0.01 ?=np=1
Ch2-42
解 (1) 设 需要配备 N 个维修工人,设 X 为 90 台
设备中发生故障的台数，则 X ~ B( 90,0.01)
自学 （详解见教材 P.61例 6 )
设有同类型设备 90台，每台工作相互独立，
每台设备发生故障的概率都是 0.01,在通常
情况下，一台设备发生故障可由一个人独立
维修，每人同时也只能维修一台设备,
(1) 问至少要配备多少维修工人，才能保证当设
备发生故障时不能及时维修的概率小于 0.01?
(2) 问 3个人共同负责 90台还是 3个人各自独立负
责 30台设备发生故障不能及时维修的概率低？
例 6
Ch2-43
?
??
???
90
1
90 )99.0()01.0()(
Nk
kNkkCNXP
令 9.001.090 ????
则 ? ??
???
90
1
9.0
!
9.0)(
Nk
k
keNXP ?? ?
?
?
?
??
? ??
91
9.0
1
9.0
!
9.0
!
9.0
k
k
Nk
k
keke??
??
??
1
9.0
!
9.0
Nk
k
ke01.0?
查附表 2得 N = 4
Ch2-44
(2)三个人共同负责 90台设备发生故障不能
及时维修的概率为 ?
?
???
90
4
9.0
!
9.0)3(
k
k
keXP ?? ?
?
?
?
?
? ??
91
9.0
4
9.0
!
9.0
!
9.0
k
k
k
k
keke??
?
??
4
9.0
!
9.0
k
k
ke
013459.0?
Ch2-45
设 30台设备中发生故障的台数为 Y ~ B ( 30,0.01)
设每个人独立负责 30台设备，第 i 个人负责的
30台设备发生故障不能及时维修为事件 Ai
则 ?
?
?
????
2
3.0
!
3.0)2()(
k
k
i keYPAP
0369.0? 3,2,1?i
三个人各独立负责 30台设备发生故障不能及时
维修为事件 321 AAA ??? ? ?
?
????
3
1
321 )(1
i
iAPAAAP
1067.0)0369.01(1 3 ???? 0 1 3 4 5 9.0?
故 三个人共同负责 90 台设备比各自负责好！
Ch2-46
在 Poisson 定理中，
0! ?? ke
k?
?
1
!3!2
1
!!
32
00
???
?
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
??
??
?
??
ee
e
k
e
k
e
k
k
k
k
?
由此产生了一种离散型随机变量的概率分布
— Poisson 分布
Ch2-47
(3) Poisson 分布
若 ?,2,1,0,!)( ???
? k
kekXP
k?
?
其中 0?? 是常数，则称 X 服从参数为 ?
的 Poisson 分布, 或)(~ ??X )(?P记作
Ch2-48
在某个时段内：
大卖场的顾客数；
某地区拨错号的电话呼唤次数；
市级医院急诊病人数；
某地区发生的交通事故的次数,
①
②
③
④
⑤
一个容器中的细菌数；
一本书一页中的印刷错误数；
一匹布上的疵点个数；⑥
⑦
⑧
应
用
场
合
????
放射性物质发出的 粒子数；?
Ch2-49
都可以看作是源源不断出现的随机
质点流,若它们满足一定的条件,则称为
Poisson 流,在 长为 t 的时间内出现的质
点数 Xt ~ P ( ?t )
Ch2-50
例 7 设一只昆虫所生虫卵数为随机变
量 X,
设各个虫卵是否能发育成幼虫是
相互独立的,
已知 X ~ P(?),且每个虫卵发育
成幼虫的概率为 p.
求一昆虫所生的虫卵发育成幼虫
数 Y 的概率分布,
Ch2-51
解 昆虫 X 个虫卵 Y 个幼虫
已知 ?,2,1,0,!)( ???
? k
kekXP
k?
?
kmppCkXmYP mkmmk,,2,1,0,)1()( ?????? ?
??,2,1,0,)()( ????
?
?
mkXmY
mk
lklXkX ??????,)()(
由全概率公式
Ch2-52 )()()( kXmYPkXPmYP
mk
????? ?
?
? mkmm
k
mk
k
ppC
k
e ?
?
?
? ?? ? )1(
!
??
mk
mk
mkm
p
mkm
pe ??
?
?
? ?
?
? ? )1(
)!(!
)( ???
s
s
smsmk
p
sm
pe )1(
!!
)(
0
?? ?
?
?
?
?? ??
?
令
)1(
!
)( pm e
m
pe ??? ?? ?
,
!
)(
m
pe mp ???? ?,2,1,0?m
)(~ pPY ?故
Ch2-53
作业 P82 习题二
8 (1)
12
14
15
Ch2-54
已知运载火箭在飞行中进入其仪
器舱的宇宙粒子数服从参数为 2 的泊
松分布, 而进入仪器舱的粒子随机落
到仪器重要部位的概率为 0.1,求有
3 个粒子落到仪器重要部位的概率,
第五周 问题
Blaise Pascal
1623-1662
帕斯卡
法国数学家
物理学家
思想家
帕斯卡四岁丧母,在父亲精心培养
下,16岁时发现帕斯卡六边形定理,写成
《圆锥曲线论》,由此定理导出 400余条
推论,这是古希腊阿波罗尼奥斯以来圆
锥曲线论的最大进步,
帕斯卡简介
1642年发明世界上第一台机械加法
计算机 ——帕斯卡计算器,
他应用此方法解决了摆线问题,
1654年研究二项系数性质,写出
《论算术三角形》一文,还深入讨论
不可分原理,这实际上相当于已知道
?
a
n dxx
0
1
1
?
?
?
n
a n
1647年他发现了流体静力学的
帕斯卡原理,
三十岁时他曾研究过赌博问题,
对早期概率论的发展颇有影响,
1658年完成了《摆线论》,这给
G.W.莱布尼茨以很大启发,促使了微
积分的建立,
在离散型随机变量的分布中有个
以帕斯卡名字命名的分布，它应用于
重复独立试验中，事件发生 次的场r
帕斯卡还写过不少文学著作,
1654年他进入修道院,献身于哲学
合,而有名的几何分布正是其 时
的特例,
1?r
和宗教,
Ch2-60
自动生产线调整以后出
现废品的概率为 p,当生产
过程中出现废品时立即重新
进行调整,问两次调整之间
的合格品数服从什么分布？
思考 题附录
