《
概
率
统
计
》
第
四
章
习
题
课
2
问题 1 数学期望定义中为何要求绝对收敛？
我们通过一个期望不存在的例子
来说明这个问题,
设 X 的分布律为 kkk xXPp 2/1)( ???
?,2,1?k kx kkk /2)1( 1???其中
则 ??
?1k
kk px ?
?
?
???
1
1 /)1(
k
k k
.2ln4/13/12/11 ?????? ?( J )
3
但由于 ???
? 1k
kk px ?
?
?
??
1
/1
k
k
因此 X 的 数学期望不存在,事实上由
微积分知识可知,如果把 ( J ) 式左边
级数中的项进行重排可能收敛于不同
的数，例如
.2ln5.14/17/15/12/13/11 ??????? ?
.2ln5.08/16/13/14/12/11 ??????? ?
随机变量的 数学期望只能是一个
数,因此期望定义中要求的绝对收敛是
4
必要的，它可以保证顺序的变化不影
响 数学期望中级数的收敛性,
问题 2 书中方差性质 4如何证明？
1)(0)( ???? CXPXD
证 先证必要性 当 时,0)]([)( 2 ??? XEXEXD
CXE ?)(记, 若结论不成立,则
1)( ?? CXP 或等价地 0)( ?? CXP
于是
?
?
??????
Cxx
xXPCxCXPCxXD
:
22 )()()()()(
5
右端第二项和式中至少有一项
CaaXP ???,0)(
从而对应的,因此0)( 2 ?? Ca
0)()()( 2 ???? aXPCaXD
与已知矛盾,所以,1)( ?? CXP
再证充分性
.0)]([)()( 2222 ????? CCXEXEXD
当 时,1)( ?? CXP
,1)( CCXE ??? 2 2 2( ) 1,E X C C? ? ?
则
6
问题 3 方差不存在的随机变量,其期望是否也不存在？
是,因为由,)]([)()( 22 XEXEXD ??同学甲答
得 )()()( 2 XDXEXE ???
右边 不存在则左边 也不能存在,)(XD )(XE
同学乙答 否,因为二阶中心矩不存在并不能
推出一阶原点矩不存在,
两种回答究竟谁对？
7
同学乙回答得对
自由度为 n 的分布,
2
)()(,0)( 2
?
???
n
nXEXDXE
.)(,0)( ??? XDXE2?n当 时,
2?n当 时,
)(~ ntX例如
8
4 - 5 设 X 表示电梯需停次数,则
mn
m
nnn
XE
?
??
?
?
?
?? ?
2
3
1
21)(
？
X 1 2 3 m ?
?p
1
1
?nn
1
2
1
?n mn ?
1
概 率怎能为负！
(若 n<m)
.
1
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
m
n
n
9
解 ?
iX
设 1,电梯在第 i 层停0,电梯在第 i 层不停 ni ~1?
m
n
?
?
??
?
? ?? 111
X i 1 0
p m
n
?
?
??
?
? ? 11
?)( iXE
m
n
?
?
??
?
? ?? 111 ni ~1?
设 X 表示电梯需停次数,则 ?
?
?
n
i
iXX
1
?
?
?
n
i
iXEXE
1
)()(,
1
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
m
n
n
10
4 - 9 设 Xi 表示第 i 个人摸到的红球
Xi 0 1 2
p 6.0
2
5
1
3
1
2 ?
C
CC
3.02
5
2
3 ?
C
C 1.01
2
5
?
C
nXEXEXE
n
i
ii 8.0)()(8.0)(
1
???? ?
?
数,设 X表示 n 个人共摸到的红球数,
则有
22 ))(()()( XEXEXD ??
264.0 nn ??
2)8.0()3.006.011.04( nn ???????？
11
)( 2XE还有同学无计算 的过程
22 ))(()()( XEXEXD ?? 236.0 n?
)( 2XE 的正确计算
)2()()(
11
22
1
2 ???
?????
???
nji
ji
n
i
i
n
i
i XXXEXEXE
)()(2)(
11
2 ??
????
??
nji
ji
n
i
i XEXEXE
222 64.036.0)8.0(2 nnCn n ????
22 ))(()()( XEXEXD ?? n36.0?
12
解法二
Xi 0 1 2
p 6.0
2
5
1
3
1
2 ?
C
CC
3.02
5
2
3 ?
C
C 1.01
2
5
?
C
11.026.01)(,8.0)( 222 ?????? ii XEXE
36.064.01))(()()( 22 ????? iii XEXEXD
nXDXDXD i
n
i
n
i
i 36.0)()()(
11
??? ??
??
13
4 - 10 设 X表示试开次数,则其分布律为
n
nXE 1)21()( 2222 ???? ?
2
11)21()( ?????? n
n
nXE ?
)12)(1(61 ??? nn
12
1))(()()( 222 ???? nXEXEXD
1 2 3 X
p
1
11
??
?
nn
n
n
1
2
1
1
21
???
???
nn
n
n
n
n
1
??
??
n
14
4 - 16 设 乘客在第 Xi 分钟 到达车站,
12
11
60
1021)(100
11 ?
?????? ?XEx 时当
2
7
60
2021)(3010
22 ?
?????? ?XEx 时当
12
65
60
2521)(5530
33 ?
?????? ?XEx 时当
4
5
60
151110)(6055
44 ?
?????? ?XEx 时当
无道理 !到达概率为,60/1 i =1 ~ 4.
15
秒分 2510)()(
4
1
4
1
??? ??
?? i
i
i
i XEXEXE？
)2510(.
12
133)(4
1
秒分???
?i
iXE
即使 按错误的推导,也应为
以上解法像模像样,答案也与书后
相同,很容易获得助教 (研究生 )的打
)( iXE本解法的最大错误在于 是表示到达车站时间的数学期望,而不是
等候时间的数学期望,
16
正确解 设 T 为 乘客 到达车站的时间,
]60,0(~ UT则
乘客需等候的时间为
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
???
?
605570
553055
301030
10010
)(
TT
TT
TT
TT
Tg
?
?
? ??
?
其他0
600
)( 60
1 t
tf T
17
dttftgTgE )()()]([ ? ?
??
?
? ???
10
0
)10([
60
1 dtt? ?30
10
)30( dtt
? ??? 5530 )55( dtt? ?6055 )70( dtt
秒分 2510
60
62 5 ??
下面解法二由 3503 班 梁俊睿 提供
18
解法二 设乘客需等候的时间为 T,则
?
?
?
?
?
??
??
??
?
2520
20152
1503
)(~
tA
tA
tA
tfT A 为待定系数
60
1160)( ????? ?
??
AAdttf由
? ????? dtttfTE )()(
? ??
15
0 20
dtt ? ?
20
15 30
dtt ?
25
20 60
dtt
秒分 2510
60
62 5 ??
19
4 – 21 证 (1)由题设
],[~ baUX
??
?
?
?
??
??
其他0
1
)(
bxa
abxf X
)( XEdx
ab
xdx
ab
aa b
a
b
a
?
?
?
?
? ??
)( XEdx
ab
xdx
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bb b
a
b
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?
?
?
?
? ??
bXEa ??? )(
11)( ?
?
? ??
?
??
dx
ab
dxxf
b
a
20
正确证明
)()()( XEdxxxfdxxafa
b
a
b
a
??? ??
)()()( XEdxxxfdxxbfb b
a
b
a
??? ??
bXEa ??? )(证 (2)
22 )(2)(2)(2 cXEEXXEXD ????
2
)(
)()(
2
22 abbXEaXE ??????
2)(
4
1
)( abXD ???
？？
21
证 (2) 22 )()()( EXXEXD ??
??
b
a
dxxfxXE )()( 22
则 222
)( bXEa ??
222 )( bEXa ??
22 )()()( EXXEXD ??
4
)( 222 ab
ab
?
???？
4
131,2 ???? ab取
22
正确证明
中，在方差公式 2)()( cXEXD ??
2
bac ??取
22 )()()( cbEcXEXD ????
4
)()( 22 abcb ????
23
??
??
发生
发生
A
AX
,0
,1
??
??
发生
发生
B
BY
,0
,1设 A,B 为随机试验 E 的两个事件，0 < P (A) < 1,0 < P (B) < 1,令4 - 23
证明, 若 ? XY = 0,则随机变量 X,Y 相互独立,
证 由 ? XY = 0 0),( ?YXC O V
)()()( YEXEXYE ?
)()( APXE ? )()( BPYE ?而
?
?
?
?
不同时发生
同时发生
BA
BA
XY
,,0
,,1
)()( ABPXYE ?
)()()( BPAPABP ? 事件 A,相互独立
X,Y 相互独立,？
24
)1()1()1,1( ????? YPXPYXP
错误原因
)()()( BPAPABP ?
而这并不表明 X,Y 相互独立,
本题要 证明离散 随机变量 X,Y 相互
独立,必需证明如下四个等式都成立：
1,0,)()(),( ?????? jijYPiXPjYiXP
重新证明
由题设得 ( X,Y ) 的联合分布：
25
X
Y
pij 1 0
1
0
p1 p2
p3 p4
pi? p1+ p3 p2+p4
p? j
p1 + p2
p3 + p4 14
1
??
?i i
p
)()( 31 APppXE ???
)()( 21 BPppYE ??? )()(
1 ABPpXYE ??
由 0?XY? )()()( YEXEXYE ?
即 )()()( BPAPABP ?
即 )1()1()1,1( ????? YPXPYXP
26
由于事件 A,B 相互独立，必有
BABABA,;,;,
也相互独立，即
)()0,1( BAPYXP ???
)0()1( ??? YPXP
)()( BPAP?
同理可证，
)1()0()1,0( ????? YPXPYXP
)0()0()0,0( ????? YPXPYXP
故 X,Y 相互独立,
27
设随机变量 X 的密度函数为 ??????? ? xexf x,
2
1)( ||
(1) E(| X |),D(| X |)
(2) 求 cov( X,| X |),问 X 与 | X |相关与否,
(3) 问 X 与 | X | 是否独立？为什么？
解 (1) ?
??
??
? ?? 1
2
1|||)(| || dxexXE x
2
2
1
2
2
1
2
1
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0
2
2||22
???
??
?
? ?
??
?
??
??
??
??
??
dxex
dxexdxexXE
x
xx
1|)(| ?XD
补充题
28
(2) 0
2
1
2
1
2
1
|||)|(
0
2
0
2
||
????
?
??
?
??
?
??
??
??
?
dxexdxex
dxexxXXE
xx
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??
??
??
?
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dxexXE
xx
x
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X 与 | X |不相关,
29
(3) 0)1||,2( ???? XXP
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22
2
1
2
1 ??
?? ?? ? edxe
x
? ??? 11 )()1|(| dxxfXP
11
0 12
12 ?? ???? ? edxe x
显然 )1|(|)2()1||,2( ??????? XPXPXXP
因而 X 与 | X | 不独立,
概
率
统
计
》
第
四
章
习
题
课
2
问题 1 数学期望定义中为何要求绝对收敛？
我们通过一个期望不存在的例子
来说明这个问题,
设 X 的分布律为 kkk xXPp 2/1)( ???
?,2,1?k kx kkk /2)1( 1???其中
则 ??
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kk px ?
?
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1
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1
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因此 X 的 数学期望不存在,事实上由
微积分知识可知,如果把 ( J ) 式左边
级数中的项进行重排可能收敛于不同
的数，例如
.2ln5.14/17/15/12/13/11 ??????? ?
.2ln5.08/16/13/14/12/11 ??????? ?
随机变量的 数学期望只能是一个
数,因此期望定义中要求的绝对收敛是
4
必要的，它可以保证顺序的变化不影
响 数学期望中级数的收敛性,
问题 2 书中方差性质 4如何证明？
1)(0)( ???? CXPXD
证 先证必要性 当 时,0)]([)( 2 ??? XEXEXD
CXE ?)(记, 若结论不成立,则
1)( ?? CXP 或等价地 0)( ?? CXP
于是
?
?
??????
Cxx
xXPCxCXPCxXD
:
22 )()()()()(
5
右端第二项和式中至少有一项
CaaXP ???,0)(
从而对应的,因此0)( 2 ?? Ca
0)()()( 2 ???? aXPCaXD
与已知矛盾,所以,1)( ?? CXP
再证充分性
.0)]([)()( 2222 ????? CCXEXEXD
当 时,1)( ?? CXP
,1)( CCXE ??? 2 2 2( ) 1,E X C C? ? ?
则
6
问题 3 方差不存在的随机变量,其期望是否也不存在？
是,因为由,)]([)()( 22 XEXEXD ??同学甲答
得 )()()( 2 XDXEXE ???
右边 不存在则左边 也不能存在,)(XD )(XE
同学乙答 否,因为二阶中心矩不存在并不能
推出一阶原点矩不存在,
两种回答究竟谁对？
7
同学乙回答得对
自由度为 n 的分布,
2
)()(,0)( 2
?
???
n
nXEXDXE
.)(,0)( ??? XDXE2?n当 时,
2?n当 时,
)(~ ntX例如
8
4 - 5 设 X 表示电梯需停次数,则
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概 率怎能为负！
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11
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9
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1
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11
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?
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m
n
n
10
4 - 9 设 Xi 表示第 i 个人摸到的红球
Xi 0 1 2
p 6.0
2
5
1
3
1
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C
CC
3.02
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C
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数,设 X表示 n 个人共摸到的红球数,
则有
22 ))(()()( XEXEXD ??
264.0 nn ??
2)8.0()3.006.011.04( nn ???????？
11
)( 2XE还有同学无计算 的过程
22 ))(()()( XEXEXD ?? 236.0 n?
)( 2XE 的正确计算
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11
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1
2 ???
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12
解法二
Xi 0 1 2
p 6.0
2
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CC
3.02
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C 1.01
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n
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11
??? ??
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13
4 - 10 设 X表示试开次数,则其分布律为
n
nXE 1)21()( 2222 ???? ?
2
11)21()( ?????? n
n
nXE ?
)12)(1(61 ??? nn
12
1))(()()( 222 ???? nXEXEXD
1 2 3 X
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14
4 - 16 设 乘客在第 Xi 分钟 到达车站,
12
11
60
1021)(100
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2
7
60
2021)(3010
22 ?
?????? ?XEx 时当
12
65
60
2521)(5530
33 ?
?????? ?XEx 时当
4
5
60
151110)(6055
44 ?
?????? ?XEx 时当
无道理 !到达概率为,60/1 i =1 ~ 4.
15
秒分 2510)()(
4
1
4
1
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i
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)2510(.
12
133)(4
1
秒分???
?i
iXE
即使 按错误的推导,也应为
以上解法像模像样,答案也与书后
相同,很容易获得助教 (研究生 )的打
)( iXE本解法的最大错误在于 是表示到达车站时间的数学期望,而不是
等候时间的数学期望,
16
正确解 设 T 为 乘客 到达车站的时间,
]60,0(~ UT则
乘客需等候的时间为
?
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秒分 2510
60
62 5 ??
下面解法二由 3503 班 梁俊睿 提供
18
解法二 设乘客需等候的时间为 T,则
?
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2520
20152
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25
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60
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19
4 – 21 证 (1)由题设
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1
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正确证明
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22
正确证明
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2
bac ??取
22 )()()( cbEcXEXD ????
4
)()( 22 abcb ????
23
??
??
发生
发生
A
AX
,0
,1
??
??
发生
发生
B
BY
,0
,1设 A,B 为随机试验 E 的两个事件，0 < P (A) < 1,0 < P (B) < 1,令4 - 23
证明, 若 ? XY = 0,则随机变量 X,Y 相互独立,
证 由 ? XY = 0 0),( ?YXC O V
)()()( YEXEXYE ?
)()( APXE ? )()( BPYE ?而
?
?
?
?
不同时发生
同时发生
BA
BA
XY
,,0
,,1
)()( ABPXYE ?
)()()( BPAPABP ? 事件 A,相互独立
X,Y 相互独立,？
24
)1()1()1,1( ????? YPXPYXP
错误原因
)()()( BPAPABP ?
而这并不表明 X,Y 相互独立,
本题要 证明离散 随机变量 X,Y 相互
独立,必需证明如下四个等式都成立：
1,0,)()(),( ?????? jijYPiXPjYiXP
重新证明
由题设得 ( X,Y ) 的联合分布：
25
X
Y
pij 1 0
1
0
p1 p2
p3 p4
pi? p1+ p3 p2+p4
p? j
p1 + p2
p3 + p4 14
1
??
?i i
p
)()( 31 APppXE ???
)()( 21 BPppYE ??? )()(
1 ABPpXYE ??
由 0?XY? )()()( YEXEXYE ?
即 )()()( BPAPABP ?
即 )1()1()1,1( ????? YPXPYXP
26
由于事件 A,B 相互独立，必有
BABABA,;,;,
也相互独立，即
)()0,1( BAPYXP ???
)0()1( ??? YPXP
)()( BPAP?
同理可证，
)1()0()1,0( ????? YPXPYXP
)0()0()0,0( ????? YPXPYXP
故 X,Y 相互独立,
27
设随机变量 X 的密度函数为 ??????? ? xexf x,
2
1)( ||
(1) E(| X |),D(| X |)
(2) 求 cov( X,| X |),问 X 与 | X |相关与否,
(3) 问 X 与 | X | 是否独立？为什么？
解 (1) ?
??
??
? ?? 1
2
1|||)(| || dxexXE x
2
2
1
2
2
1
2
1
||)|(|
0
2
2||22
???
??
?
? ?
??
?
??
??
??
??
??
dxex
dxexdxexXE
x
xx
1|)(| ?XD
补充题
28
(2) 0
2
1
2
1
2
1
|||)|(
0
2
0
2
||
????
?
??
?
??
?
??
??
??
?
dxexdxex
dxexxXXE
xx
x
0
2
1
2
1
2
1
)(
0
0
||
???
?
??
?
??
?
??
??
??
?
dxxedxxe
dxexXE
xx
x
0|)(|)(|)|(|)|,c o v ( ??? XEXEXXEXX
X 与 | X |不相关,
29
(3) 0)1||,2( ???? XXP
? ?????? 2 )()2( dxxfXP
22
2
1
2
1 ??
?? ?? ? edxe
x
? ??? 11 )()1|(| dxxfXP
11
0 12
12 ?? ???? ? edxe x
显然 )1|(|)2()1||,2( ??????? XPXPXXP
因而 X 与 | X | 不独立,
