Ch4-86
§ 4.4 协方差和相关系数
问题 对于二维 r.v,(X,Y ):
已知联合分布 边缘分布
对二维 r.v,除每个 r.v.各自的概率特
性外,相互之间可能还有某种联系,
? ?[ ( ) ] [ ( ) ]E X E X Y E Y??数
便反映了 r.v,X,Y 之间的某种关系,
怎样用一个数去反映这种联系?
Ch4-87
称 ? ?[ ( ) ] [ ( ) ]E X E X Y E Y??
为 X,Y 的 协方差, 记为
? ?c o v (,) [ ( ) ] [ ( ) ]X Y E X E X Y E Y? ? ?
称 ?
?
?
?
?
?
)(),c o v (
),c o v ()(
YDYX
YXXD
为（ X,Y ） 的 协方差矩阵
可以证明 协方差矩阵 为 半正定矩阵
协方差和相关系数的定义
定义
Ch4-88
若 D (X ) > 0,D (Y ) > 0,称
)()(
),c o v (
)()(
)())(((
YDXD
YX
YDXD
YEYXEXE ??
?
??
?
? ??
为 X,Y 的 相关系数,记为
)()(
),c o v (
YDXD
YX
XY ??
事实上,),c o v ( ??? YXXY?
若,0?XY? 称 X,Y 不相关,
无量纲
的量
Ch4-89
若 ( X,Y ) 为离散型，
11
c o v (,) [ ( ) ] [ ( ) ]i j i j
ij
X Y x E X y E Y p
??
??
? ? ???
若 ( X,Y ) 为连续型，
c o v (,) [ ( ) ] [ ( ) ] (,)X Y x E X y E Y f x y d x d y
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ???
协方差和相关系数的计算
? )()()(),c o v ( YEXEXYEYX ??
? ?)()()(
2
1 YDXDYXD ?????
Ch4-90
求 cov (X,Y ),?XY
1 0
p q
X
P
1 0
p q
Y
P
例 1 已知 X,Y 的联合分布为
X
Y
pij 1 0
1
0
p 0
0 q
0 < p <1
p + q = 1
解
1 0
p q
X Y
P
Ch4-91
,)(,)(
,)(,)(
pqYDpqXD
pYEpXE
??
??
,)( pXYE ?
1,),c o v ( ?? XYpqYX ?
Ch4-92
例 2 设 ( X,Y ) ~ N ( ?1,?12;?2,?22 ;?),求 ?XY
解 d xd yyxfyxYX ),())((),c o v ( 21? ?
??
??
??
?? ??? ??
d s d test
tts 22
2 2
1
)(
)1(2
1
??
?
???
??
??
??? ?
?
?
d u d teutt
t
u 2
2
2
2
1
)1(2)(
?
?
???
??
??
??
?? ? ??
2
21
12 ??
??
?
uts ??
?
?令
2
21
12 ??
??
?
sx ??
1
1
?
?
ty ??
2
2
?
?
Ch4-93 dtetdue
t
u
2
2
2
2
1
2)1(2
2
21
12
???
??
??
??
?
?
? ?
?
? ?
??
???
??? 21?
?? ?XY
若 ( X,Y ) ~ N ( ?1,?12,?2,?22,?),
则 X,Y 相互独立 X,Y 不相关
Ch4-94
例 3 设 ?~ U(0,2?),X=cos ?,Y=cos( ? +? ),
? 是给定的常数，求 ?XY
解 ??
?
?
? ??
?
其他
,20,
2
1
)(
?
??
t
tf
,0
2
1
)c o s ()(
,0
2
1
c o s)(
2
0
2
0
????
???
?
?
dttYE
dttXE
?
?
?
?
?
Ch4-95 ?
?
?? c o s
2
1
2
1)c o s ()c o s ()( 2
0
???? ? dtttXYE
?c o s
2
1),c o v ( ?YX
,
2
1
2
1
)(c o s)(
,
2
1
2
1
c o s)(
2
0
22
2
0
22
????
???
?
?
dttYE
dttXE
?
?
?
?
?
,
2
1
)(
,
2
1
)(
?
?
YD
XD
?? c o s?XY
Ch4-96
,0??若 1?XY? XY ?
,?? ?若 1??XY? XY ??
1|| ?XY? YX,有线性关系
,23,2 ??? ?若 0?
XY? YX,不相关，
但 YX,不独立，
YX,没有线性关系，但有函数关系
122 ?? YX
Ch4-97
例 4 设 X,Y 相互独立,且都服从 N ( 0,? 2),
U = aX + bY,V= aX - bY,a,b 为常数，
且都不为零，求 ?UV
解 )()()(),c o v ( VEUEUVEVU ??
? ?? ?)()()()(
)()( 2222
YbEXaEYbEXaE
YEbXEa
???
??
由
2)()(
,0)()(
???
??
YDXD
YEXE
22
22
)(
)(
?
?
?
?
YE
XE
222 )(),c o v ( ?baVU ??
Ch4-98
而 22222 )()()()( ?baYDbXDaUD ????
22222 )()()()( ?baYDbXDaVD ????
故 22
22
ba
ba
UV ?
?
??
a,b 取何值时,U与 V 不相关？
此时,U与 V 是否独立？
继续
讨论
Ch4-99
但 U~N (0,2a2? 2),V~N (0,2a2? 2 ),
?
?
?
??
??
)(
)(
YXaV
YXaU
?
?
?
?
?
??
??
)(
2
1
)(
2
1
VU
a
Y
VU
a
X
?
?
?
?
?
?
??
?
? )(
2
1
),(
2
1
|
2
1
2
1
2
1
2
1
|),( vu
a
vu
a
f
aa
aa
vuf
XYUV
若 a = b,?UV = 0,则 U,V 不相关,
Ch4-100
?
?
??
?
? ??
?
??
?
? ?? )(
2
1)(
2
1
2
1),(
2 vuafvuafavuf YXUV
2
22
2
22
22 2
1
2
1
?
??
?
?
?
?
?
? ??
?
?
?
?
?
? ?
?
?
a
vu
a
vu
e
a 22
22
4
2)2(2
1 ?
??
a
vu
e
a
?
?
?
),0;2,0;2,0(~),( 2222 ?? aaNVU
且 U,V 相互独立
Ch4-101
协方差的性质
? c o v (,) c o v (,)X Y Y X?
?
?
?
),c o v (),c o v ( YXabbYaX ?
),c o v (),c o v (),c o v ( ZYZXZYX ???
)(),c o v ( XDXX ?
协方差和相关系数的性质
( ) ( ) ( )E X Y E X E Y??
Ch4-102
? )()(|),c o v (| 2 YDXDYX ?
当 D(X ) > 0,D(Y ) > 0 时，当且仅当
? ?0( ) [ ( ) ] 1P Y E Y t X E X? ? ? ?
时,等式成立 — Cauchy-Schwarz不等式
证 令 ? ? 2( ) [ ( ) ] [ ( ) ]g t E Y E Y t X E X? ? ? ?
)(),c o v (2)( 2 XDtYXtYD ???
0)( ?tg对任何实数 t,
Ch4-103
0)()(4),(c o v4 2 ?? YDXDYX
即 )()(|),c o v (| 2 YDXDYX ?
等号成立 0)( ?tg 有两个相等的实零点 ?
?
?
?
?
? ???
)(
)(
)(
),c o v (
0 XD
YD
XD
YXt
0))](())([( 20 ???? XEXtYEYE
0)( 0 ?tg 即
显然 0))](())([( 0 ???? XEXtYEYE
Ch4-104 0))](())([(
0 ???? XEXtYEYD
1]0))(())([( 0 ????? XEXtYEYP
1]0))(())([( 0 ????? XEXtYEYP
即 1))](())([( 0 ???? XEXtYEYP
即 Y 与 X 有线性关系的概率等于 1,这种
线性关系为 1
)(
)(
)(
)(
??
?
?
?
?
? ?
??
?
XD
XEX
YD
YEY
P
Ch4-105
完全类似地可以证明
)()()( 222 YEXEXYE ?
当 E(X 2) > 0,E(Y 2 ) > 0 时,当且仅当
1)( 0 ?? XtYP
时,等式成立,
Ch4-106
相关系数的性质
?
?
1|| ?XY?
1|| ?XY? Cauchy-Schwarz不等式
的等号成立
即 Y 与 X 有线性关系的概率等于 1，
这种线性关系为
1
)(
)(
)(
)(
??
?
?
?
?
? ?
??
?
XD
XEX
YD
YEY
P ( ) 1P Y X
??? ? ?
即
Ch4-107
1?XY? 0),c o v ( ?YX 1
)(
)(
)(
)( ??
?
??
?
? ???
XD
XEX
YD
YEYP
1??XY? 0),c o v ( ?YX
1
)(
)(
)(
)(
??
?
?
?
?
? ?
??
?
XD
XEX
YD
YEY
P
? ? 1?? ?? XYP
? ? 1??? ?? XYP
Ch4-108
如例 1中 X,Y 的联合分布为
XYpij 1 0
1
0
p 0
0 q
0 < p <1
p + q = 1
./)(,/)( pqpYYpqpXX ???? ??
1)( ?? ?? YXP
1?XY?已求得,则必有
其中
Ch4-109
若 X,Y 是两个 r.v,用 X 的线性函数去
逼近 Y 所产生的平均平方误差为
2)]([ baXYE ??
当取 ）（ XE
XD
YD
YE
XEaYEb
XD
YX
a
XY
)(
)(
)(
)(?)(?
,
)(
),c o v (
?
???
??
?
平均平方误差最小,
Ch4-110
? 0?XY? X,Y 不相关
0),c o v ( ?YX
)()()( YEXEXYE ?
)()()( YDXDYXD ???
X,Y 相互独立 X,Y 不相关
若 ( X,Y ) 服从二维正态分布，
X,Y 相互独立 X,Y 不相关
Ch4-111例 5 设 ( X,Y ) ~ N ( 1,4; 1,4; 0.5 ),
Z = X + Y,求 ? XZ
解,4)()(,1)()( ???? YDXDYEXE
1 / 2,c o v (,) 2XY XY? ??
6),c o v (),c o v (),c o v ( ??? YXXXZX
12),c o v (2)()(
)()(
????
??
YXYDXD
YXDZD
3 / 1 2 3 / 2,XZ? ???
Ch4-112
作业 P.173 习题四
23 25 28
30 31 32
§ 4.4 协方差和相关系数
问题 对于二维 r.v,(X,Y ):
已知联合分布 边缘分布
对二维 r.v,除每个 r.v.各自的概率特
性外,相互之间可能还有某种联系,
? ?[ ( ) ] [ ( ) ]E X E X Y E Y??数
便反映了 r.v,X,Y 之间的某种关系,
怎样用一个数去反映这种联系?
Ch4-87
称 ? ?[ ( ) ] [ ( ) ]E X E X Y E Y??
为 X,Y 的 协方差, 记为
? ?c o v (,) [ ( ) ] [ ( ) ]X Y E X E X Y E Y? ? ?
称 ?
?
?
?
?
?
)(),c o v (
),c o v ()(
YDYX
YXXD
为（ X,Y ） 的 协方差矩阵
可以证明 协方差矩阵 为 半正定矩阵
协方差和相关系数的定义
定义
Ch4-88
若 D (X ) > 0,D (Y ) > 0,称
)()(
),c o v (
)()(
)())(((
YDXD
YX
YDXD
YEYXEXE ??
?
??
?
? ??
为 X,Y 的 相关系数,记为
)()(
),c o v (
YDXD
YX
XY ??
事实上,),c o v ( ??? YXXY?
若,0?XY? 称 X,Y 不相关,
无量纲
的量
Ch4-89
若 ( X,Y ) 为离散型，
11
c o v (,) [ ( ) ] [ ( ) ]i j i j
ij
X Y x E X y E Y p
??
??
? ? ???
若 ( X,Y ) 为连续型，
c o v (,) [ ( ) ] [ ( ) ] (,)X Y x E X y E Y f x y d x d y
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ???
协方差和相关系数的计算
? )()()(),c o v ( YEXEXYEYX ??
? ?)()()(
2
1 YDXDYXD ?????
Ch4-90
求 cov (X,Y ),?XY
1 0
p q
X
P
1 0
p q
Y
P
例 1 已知 X,Y 的联合分布为
X
Y
pij 1 0
1
0
p 0
0 q
0 < p <1
p + q = 1
解
1 0
p q
X Y
P
Ch4-91
,)(,)(
,)(,)(
pqYDpqXD
pYEpXE
??
??
,)( pXYE ?
1,),c o v ( ?? XYpqYX ?
Ch4-92
例 2 设 ( X,Y ) ~ N ( ?1,?12;?2,?22 ;?),求 ?XY
解 d xd yyxfyxYX ),())((),c o v ( 21? ?
??
??
??
?? ??? ??
d s d test
tts 22
2 2
1
)(
)1(2
1
??
?
???
??
??
??? ?
?
?
d u d teutt
t
u 2
2
2
2
1
)1(2)(
?
?
???
??
??
??
?? ? ??
2
21
12 ??
??
?
uts ??
?
?令
2
21
12 ??
??
?
sx ??
1
1
?
?
ty ??
2
2
?
?
Ch4-93 dtetdue
t
u
2
2
2
2
1
2)1(2
2
21
12
???
??
??
??
?
?
? ?
?
? ?
??
???
??? 21?
?? ?XY
若 ( X,Y ) ~ N ( ?1,?12,?2,?22,?),
则 X,Y 相互独立 X,Y 不相关
Ch4-94
例 3 设 ?~ U(0,2?),X=cos ?,Y=cos( ? +? ),
? 是给定的常数，求 ?XY
解 ??
?
?
? ??
?
其他
,20,
2
1
)(
?
??
t
tf
,0
2
1
)c o s ()(
,0
2
1
c o s)(
2
0
2
0
????
???
?
?
dttYE
dttXE
?
?
?
?
?
Ch4-95 ?
?
?? c o s
2
1
2
1)c o s ()c o s ()( 2
0
???? ? dtttXYE
?c o s
2
1),c o v ( ?YX
,
2
1
2
1
)(c o s)(
,
2
1
2
1
c o s)(
2
0
22
2
0
22
????
???
?
?
dttYE
dttXE
?
?
?
?
?
,
2
1
)(
,
2
1
)(
?
?
YD
XD
?? c o s?XY
Ch4-96
,0??若 1?XY? XY ?
,?? ?若 1??XY? XY ??
1|| ?XY? YX,有线性关系
,23,2 ??? ?若 0?
XY? YX,不相关，
但 YX,不独立，
YX,没有线性关系，但有函数关系
122 ?? YX
Ch4-97
例 4 设 X,Y 相互独立,且都服从 N ( 0,? 2),
U = aX + bY,V= aX - bY,a,b 为常数，
且都不为零，求 ?UV
解 )()()(),c o v ( VEUEUVEVU ??
? ?? ?)()()()(
)()( 2222
YbEXaEYbEXaE
YEbXEa
???
??
由
2)()(
,0)()(
???
??
YDXD
YEXE
22
22
)(
)(
?
?
?
?
YE
XE
222 )(),c o v ( ?baVU ??
Ch4-98
而 22222 )()()()( ?baYDbXDaUD ????
22222 )()()()( ?baYDbXDaVD ????
故 22
22
ba
ba
UV ?
?
??
a,b 取何值时,U与 V 不相关？
此时,U与 V 是否独立？
继续
讨论
Ch4-99
但 U~N (0,2a2? 2),V~N (0,2a2? 2 ),
?
?
?
??
??
)(
)(
YXaV
YXaU
?
?
?
?
?
??
??
)(
2
1
)(
2
1
VU
a
Y
VU
a
X
?
?
?
?
?
?
??
?
? )(
2
1
),(
2
1
|
2
1
2
1
2
1
2
1
|),( vu
a
vu
a
f
aa
aa
vuf
XYUV
若 a = b,?UV = 0,则 U,V 不相关,
Ch4-100
?
?
??
?
? ??
?
??
?
? ?? )(
2
1)(
2
1
2
1),(
2 vuafvuafavuf YXUV
2
22
2
22
22 2
1
2
1
?
??
?
?
?
?
?
? ??
?
?
?
?
?
? ?
?
?
a
vu
a
vu
e
a 22
22
4
2)2(2
1 ?
??
a
vu
e
a
?
?
?
),0;2,0;2,0(~),( 2222 ?? aaNVU
且 U,V 相互独立
Ch4-101
协方差的性质
? c o v (,) c o v (,)X Y Y X?
?
?
?
),c o v (),c o v ( YXabbYaX ?
),c o v (),c o v (),c o v ( ZYZXZYX ???
)(),c o v ( XDXX ?
协方差和相关系数的性质
( ) ( ) ( )E X Y E X E Y??
Ch4-102
? )()(|),c o v (| 2 YDXDYX ?
当 D(X ) > 0,D(Y ) > 0 时，当且仅当
? ?0( ) [ ( ) ] 1P Y E Y t X E X? ? ? ?
时,等式成立 — Cauchy-Schwarz不等式
证 令 ? ? 2( ) [ ( ) ] [ ( ) ]g t E Y E Y t X E X? ? ? ?
)(),c o v (2)( 2 XDtYXtYD ???
0)( ?tg对任何实数 t,
Ch4-103
0)()(4),(c o v4 2 ?? YDXDYX
即 )()(|),c o v (| 2 YDXDYX ?
等号成立 0)( ?tg 有两个相等的实零点 ?
?
?
?
?
? ???
)(
)(
)(
),c o v (
0 XD
YD
XD
YXt
0))](())([( 20 ???? XEXtYEYE
0)( 0 ?tg 即
显然 0))](())([( 0 ???? XEXtYEYE
Ch4-104 0))](())([(
0 ???? XEXtYEYD
1]0))(())([( 0 ????? XEXtYEYP
1]0))(())([( 0 ????? XEXtYEYP
即 1))](())([( 0 ???? XEXtYEYP
即 Y 与 X 有线性关系的概率等于 1,这种
线性关系为 1
)(
)(
)(
)(
??
?
?
?
?
? ?
??
?
XD
XEX
YD
YEY
P
Ch4-105
完全类似地可以证明
)()()( 222 YEXEXYE ?
当 E(X 2) > 0,E(Y 2 ) > 0 时,当且仅当
1)( 0 ?? XtYP
时,等式成立,
Ch4-106
相关系数的性质
?
?
1|| ?XY?
1|| ?XY? Cauchy-Schwarz不等式
的等号成立
即 Y 与 X 有线性关系的概率等于 1，
这种线性关系为
1
)(
)(
)(
)(
??
?
?
?
?
? ?
??
?
XD
XEX
YD
YEY
P ( ) 1P Y X
??? ? ?
即
Ch4-107
1?XY? 0),c o v ( ?YX 1
)(
)(
)(
)( ??
?
??
?
? ???
XD
XEX
YD
YEYP
1??XY? 0),c o v ( ?YX
1
)(
)(
)(
)(
??
?
?
?
?
? ?
??
?
XD
XEX
YD
YEY
P
? ? 1?? ?? XYP
? ? 1??? ?? XYP
Ch4-108
如例 1中 X,Y 的联合分布为
XYpij 1 0
1
0
p 0
0 q
0 < p <1
p + q = 1
./)(,/)( pqpYYpqpXX ???? ??
1)( ?? ?? YXP
1?XY?已求得,则必有
其中
Ch4-109
若 X,Y 是两个 r.v,用 X 的线性函数去
逼近 Y 所产生的平均平方误差为
2)]([ baXYE ??
当取 ）（ XE
XD
YD
YE
XEaYEb
XD
YX
a
XY
)(
)(
)(
)(?)(?
,
)(
),c o v (
?
???
??
?
平均平方误差最小,
Ch4-110
? 0?XY? X,Y 不相关
0),c o v ( ?YX
)()()( YEXEXYE ?
)()()( YDXDYXD ???
X,Y 相互独立 X,Y 不相关
若 ( X,Y ) 服从二维正态分布，
X,Y 相互独立 X,Y 不相关
Ch4-111例 5 设 ( X,Y ) ~ N ( 1,4; 1,4; 0.5 ),
Z = X + Y,求 ? XZ
解,4)()(,1)()( ???? YDXDYEXE
1 / 2,c o v (,) 2XY XY? ??
6),c o v (),c o v (),c o v ( ??? YXXXZX
12),c o v (2)()(
)()(
????
??
YXYDXD
YXDZD
3 / 1 2 3 / 2,XZ? ???
Ch4-112
作业 P.173 习题四
23 25 28
30 31 32
