Ch4-48
引例 甲、乙两射手各打了 6 发子弹,每发
子弹击中的环数分别为：
甲 10,7,9,8,10,6,
乙 8,7,10,9,8,8,
问哪一个射手的技术较好？
解 首先比较平均环数
甲 = 8.3,乙 = 8.3
§ 4.2 方差
有
五
个
不
同
数
有
四
个
不
同
数
Ch4-49
再比较稳定程度
34.13)3.86()3.87(
)3.88()3.89()3.810(2
22
222
?????
??????
甲,
乙,
34.5)3.87(
)3.88(3)3.89()3.810(
2
222
???
??????
乙比甲技术稳定，故乙技术较好,
Ch4-50进一步比较平均偏离平均值的程度
甲
])3.86()3.87(
)3.88()3.89()3.810(2[
6
1
22
222
????
??????
乙
])3.87()3.88(3
)3.89()3.810[(
6
1
22
22
?????
???
22.26/34.13 ??
89.06/34.5 ??
? ??
?
?
5
1
2)(
k
kk pXEx
? ??
?
?
4
1
2)(
k
kk pXEx
E [X - E(X)]2
Ch4-51
若 E [X - E(X)]2 存在,则称其为随机
称 )( XD 为 X 的 均方差 或 标准差,
方差概念
定义
即 D (X ) = E [X - E(X)]2
变量 X 的 方差,记为 D (X ) 或 Var (X )
两者量纲相同
D(X ) —— 描述 r.v,X 的取值偏离平均值
的平均偏离程度 —— 数
Ch4-52
?,2,1,)( ??? kpxXP kk
若 X 为离散型 r.v.,分布律为
? ??
??
?
??
1
2)()(
k
kk pXExXD
若 X 为连续型 r.v.,概率密度为 f (x)
? ? dxxfXExXD )()()( 2? ??
??
??
计算方差的常用公式：
)()()( 22 XEXEXD ??
Ch4-53
?D (C) = 0
?D (aX ) = a2D(X) D(aX+b ) = a
2D(X)
?
? ?))())(((2
)()()(
YEYXEXE
YDXDYXD
???
???
特别地，若 X,Y 相互独立，则
)()()( YDXDYXD ???
方差的性质
Ch4-54
若
nXX,,1 ?
相互独立,baaa n,,,,21 ?为常数
则 ??
??
??
?
??
?
? ? n
i
ii
n
i
ii XDabXaD
1
2
1
)(
若 X,Y 相互独立 )()()( YDXDYXD ???
)()()( YEXEXYE ?
?对任意常数 C,D (X ) ? E(X – C)2,
当且仅当 C = E(X )时等号成立
?D (X ) = 0 P (X = E(X))=1
称为 X 依概率 1 等于常数 E(X)
Ch4-61
常见随机变量的方差 (P.159 )
分布 方差概率分布
参数为 p 的
0-1分布 pXP
pXP
???
??
1)0(
)1(
p(1-p)
B(n,p) nk
ppCkXP knkkn
,,2,1,0
)1()(
??
??? ?
np(1-p)
P(?)
?,2,1,0
!
)(
?
??
?
k
k
e
kXP
k ??
?
Ch4-62
分布 方差概率密度
区间 (a,b)上
的均匀分布 ??
?
?
? ??
??
其它,0
,,
1
)(
bxa
abxf
12
)( 2ab ?
E(?) ??
? ?
?
?
其它,0
,0,
)(
xe
xf
x??
2
1
?
N(?,? 2)
2
2
2
)(
2
1)( ??
??
??
?
x
exf 2?
Ch4-63
例 4 已知 X,Y 相互独立,且都服从
N (0,0.5),求 E( | X – Y | ).
解 )5.0,0(~),5.0,0(~ NYNX
1)(,0)( ???? YXDYXE
故 )1,0(~ NYX ?
dzezYXE
z
2
2
2
1|||)(| ???
???
??
?
??
2
2
2 2
0
2
??
???
? dzez
z
Ch4-64
例 5 设 X 表示独立射击直到击中目标 n 次
为止所需射击的次数,已知每次射击中靶
的概率为 p,求 E(X ),D(X ).
解 令 X i 表示击中目标 i - 1 次后到第 i 次
击中目标所需射击的次数,i = 1,2,…,n
1
,2,1,)( 1
??
??? ?
qp
kpqkXP ki ?
??
??
?
?
??
?
? ??
1
1
1
1)(
k
k
k
k
i kqpkp qXE pqp
1
)1(
1
2 ???
nXXX,,,21 ?相互独立，且 ??
?
n
i
iXX
1
Ch4-65 ??
??
?
?
??
?
? ???
1
1
1
12 )1()(
k
k
k
k
i kp qpqkkXE
p
qkkpq
k
k 1)1(
2
2 ??? ?
??
?
?
p
x
dx
dpq
qxk
k 1
0
2
2
??
?
?
?
?
??
?
??
?
?
px
pq
qx
1
)1(
2
3 ???
?
2
2
p
p??
222
112)(
p
p
pp
pXD
i
?????
Ch4-66
p
nXEXE n
i
i ?? ?
? 1
)()(故
2
1
)1(
)()(
p
pn
XDXD
n
i
i
?
?? ?
?
本例给出了几何分布与巴斯卡
分布的期望与方差
Ch4-67例 6 设
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
? ?
0,0
,0,ln
)(,
2
1,
2
1~
X
XX
XgYUX
求 E (Y ),D(Y ).
解 ?
??
??
? dxxfxgYE X )()()(
? ?? ?? 2
1
2
1
1)( dxxg? ? ?? 2
1
0
1ln dxx
2
1
2
1ln
2
1 ??
2
12ln
2
1 ???
Ch4-68
? ????? dxxfxgYE X )()()( 22? ? ?? 2
1
0
2 1ln dxx
2ln12ln
2
1
2
1ln1
2
1ln
2
1 22 ??????
)()()( 22 YEYEYD ?? 22
2
1
2ln
2
1
2ln12ln
2
1
?
?
?
?
?
? ???
?
?
?
?
?
? ???
4
32ln
2
12ln
4
1 2 ???
Ch4-69
例 7 在 [0,1] 中随机地取两个数 X,Y,
求 D (min{ X,Y })
解
?
?
? ?????
其它,0
10,10,1
),(
yx
yxf
1
1
0
??
??
??
10
10
},m in {
y
x
d x d yyx
.3/1?
? ? ? ?dydxydxdyx
yx ? ?? ?
?? 1
0
11
0
1
?}),( m in { YXE
Ch4-70? ? ? ?
dydxydxdyx
YXE
yx ? ?? ?
??
1
0
1 21
0
1 2
2 }),{( m in
.6/1?
? ? ? ?},m in {},{m in
}),( m in {
22 YXEYXE
YXD
??
.18/1?
Ch4-71
例 8 将 编号分别为 1 ~ n 的 n 个球随机
地放入编号分别为 1 ~ n 的 n 只盒子中,
每盒一 球, 若球的号码与盒子的号码一
致，则称为一个配对, 求配对个数 X 的
期望与方差,
解 ni
ii
X i,,2,1
,0
,1
??
?
?
??
其它
号盒号球放入
则 ?
?
?
n
i
iXX
1
nXXX,,,21 ?不相互独立，但
Ch4-72
11)()(
1
???? ?
? n
nXEXE
n
i
i2
1
2 )( ?
?
?
?
?
?? ?
?
n
i
iXEXE
iX
P
1 0
n
1
n
11? ni,,2,1 ??
?
?
?
?
?
?
?? ??
????
n
nji
ji
n
i
i XXXE
11
2 2
??
????
??
n
nji
ji
n
i
i XXEXE
11
2 )(2)(
Ch4-73
2iX
P
1 0
n
1
n
11?
ni,,2,1 ??
nji,,2,1,??
ji XX
P
1 0
)1(
1
?nn )1(
11
?? nn
nXE i
1)( 2 ?
)1(
1)(
?? nnXXE ji
Ch4-74 ??
????
??
n
nji
ji
n
i
i XXEXEXE
11
22 )(2)()(
??
???? ?
??
n
nji
n
i nnn 11 )1(
1
2
1
)1(
1
2
1 2
?
?????
nn
C
n
n n
2?
1)()()( 22 ??? XEXEXD
Ch4-75
标准化随机变量
设 r.v,X 的期望 E(X ),方差 D(X )
都存在,且 D(X ) ? 0,则称
)(
)(
XD
XEX
X
?
??
为 X 的标准化随机变量, 显然，
1)(,0)( ?? ?? XDXE
Ch4-76
仅知 r.v.的期望与方差
并不能确定其分布
X
P
-1 0 1
0.1 0.8 0.1
Y
P
-2 0 2
0.025 0.95 0.025
与 2.0)(,0)( ?? XDXE
2.0)(,0)( ?? YDYE
有相同的
期望方差
但是分布
却不相同
例如
Ch4-77
例 9 已知 X 服从正态分布,E(X ) = 1.7,
D(X ) = 3,Y =1 – 2 X,求 Y 的密度函数,
解
1234)(
,4.27.121)(
???
?????
YD
YE
???????
?
?
yeyf
y
Y,
62
1
)( 24
)4.2( 2
?
在已知分布类型时,若知道其期望和
方差,便常能确定分布,
Ch4-78
作业 P.170 习题三
9 11 16
17 19 21
Ch4-79
第 10周
某民营企业生产的某产品每周的需
求量 X (单位, 箱 ) 取 [1,5]上的每个整数
值是等可能的, 生产每箱产品的成本是
300元,出厂价每箱 900元,若售不出,则每
箱以 100元的保管费借冷库保存, 问该企
业每周生产几箱产品能使获利的期望值
最大？
问 题
引例 甲、乙两射手各打了 6 发子弹,每发
子弹击中的环数分别为：
甲 10,7,9,8,10,6,
乙 8,7,10,9,8,8,
问哪一个射手的技术较好？
解 首先比较平均环数
甲 = 8.3,乙 = 8.3
§ 4.2 方差
有
五
个
不
同
数
有
四
个
不
同
数
Ch4-49
再比较稳定程度
34.13)3.86()3.87(
)3.88()3.89()3.810(2
22
222
?????
??????
甲,
乙,
34.5)3.87(
)3.88(3)3.89()3.810(
2
222
???
??????
乙比甲技术稳定，故乙技术较好,
Ch4-50进一步比较平均偏离平均值的程度
甲
])3.86()3.87(
)3.88()3.89()3.810(2[
6
1
22
222
????
??????
乙
])3.87()3.88(3
)3.89()3.810[(
6
1
22
22
?????
???
22.26/34.13 ??
89.06/34.5 ??
? ??
?
?
5
1
2)(
k
kk pXEx
? ??
?
?
4
1
2)(
k
kk pXEx
E [X - E(X)]2
Ch4-51
若 E [X - E(X)]2 存在,则称其为随机
称 )( XD 为 X 的 均方差 或 标准差,
方差概念
定义
即 D (X ) = E [X - E(X)]2
变量 X 的 方差,记为 D (X ) 或 Var (X )
两者量纲相同
D(X ) —— 描述 r.v,X 的取值偏离平均值
的平均偏离程度 —— 数
Ch4-52
?,2,1,)( ??? kpxXP kk
若 X 为离散型 r.v.,分布律为
? ??
??
?
??
1
2)()(
k
kk pXExXD
若 X 为连续型 r.v.,概率密度为 f (x)
? ? dxxfXExXD )()()( 2? ??
??
??
计算方差的常用公式：
)()()( 22 XEXEXD ??
Ch4-53
?D (C) = 0
?D (aX ) = a2D(X) D(aX+b ) = a
2D(X)
?
? ?))())(((2
)()()(
YEYXEXE
YDXDYXD
???
???
特别地，若 X,Y 相互独立，则
)()()( YDXDYXD ???
方差的性质
Ch4-54
若
nXX,,1 ?
相互独立,baaa n,,,,21 ?为常数
则 ??
??
??
?
??
?
? ? n
i
ii
n
i
ii XDabXaD
1
2
1
)(
若 X,Y 相互独立 )()()( YDXDYXD ???
)()()( YEXEXYE ?
?对任意常数 C,D (X ) ? E(X – C)2,
当且仅当 C = E(X )时等号成立
?D (X ) = 0 P (X = E(X))=1
称为 X 依概率 1 等于常数 E(X)
Ch4-61
常见随机变量的方差 (P.159 )
分布 方差概率分布
参数为 p 的
0-1分布 pXP
pXP
???
??
1)0(
)1(
p(1-p)
B(n,p) nk
ppCkXP knkkn
,,2,1,0
)1()(
??
??? ?
np(1-p)
P(?)
?,2,1,0
!
)(
?
??
?
k
k
e
kXP
k ??
?
Ch4-62
分布 方差概率密度
区间 (a,b)上
的均匀分布 ??
?
?
? ??
??
其它,0
,,
1
)(
bxa
abxf
12
)( 2ab ?
E(?) ??
? ?
?
?
其它,0
,0,
)(
xe
xf
x??
2
1
?
N(?,? 2)
2
2
2
)(
2
1)( ??
??
??
?
x
exf 2?
Ch4-63
例 4 已知 X,Y 相互独立,且都服从
N (0,0.5),求 E( | X – Y | ).
解 )5.0,0(~),5.0,0(~ NYNX
1)(,0)( ???? YXDYXE
故 )1,0(~ NYX ?
dzezYXE
z
2
2
2
1|||)(| ???
???
??
?
??
2
2
2 2
0
2
??
???
? dzez
z
Ch4-64
例 5 设 X 表示独立射击直到击中目标 n 次
为止所需射击的次数,已知每次射击中靶
的概率为 p,求 E(X ),D(X ).
解 令 X i 表示击中目标 i - 1 次后到第 i 次
击中目标所需射击的次数,i = 1,2,…,n
1
,2,1,)( 1
??
??? ?
qp
kpqkXP ki ?
??
??
?
?
??
?
? ??
1
1
1
1)(
k
k
k
k
i kqpkp qXE pqp
1
)1(
1
2 ???
nXXX,,,21 ?相互独立，且 ??
?
n
i
iXX
1
Ch4-65 ??
??
?
?
??
?
? ???
1
1
1
12 )1()(
k
k
k
k
i kp qpqkkXE
p
qkkpq
k
k 1)1(
2
2 ??? ?
??
?
?
p
x
dx
dpq
qxk
k 1
0
2
2
??
?
?
?
?
??
?
??
?
?
px
pq
qx
1
)1(
2
3 ???
?
2
2
p
p??
222
112)(
p
p
pp
pXD
i
?????
Ch4-66
p
nXEXE n
i
i ?? ?
? 1
)()(故
2
1
)1(
)()(
p
pn
XDXD
n
i
i
?
?? ?
?
本例给出了几何分布与巴斯卡
分布的期望与方差
Ch4-67例 6 设
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
? ?
0,0
,0,ln
)(,
2
1,
2
1~
X
XX
XgYUX
求 E (Y ),D(Y ).
解 ?
??
??
? dxxfxgYE X )()()(
? ?? ?? 2
1
2
1
1)( dxxg? ? ?? 2
1
0
1ln dxx
2
1
2
1ln
2
1 ??
2
12ln
2
1 ???
Ch4-68
? ????? dxxfxgYE X )()()( 22? ? ?? 2
1
0
2 1ln dxx
2ln12ln
2
1
2
1ln1
2
1ln
2
1 22 ??????
)()()( 22 YEYEYD ?? 22
2
1
2ln
2
1
2ln12ln
2
1
?
?
?
?
?
? ???
?
?
?
?
?
? ???
4
32ln
2
12ln
4
1 2 ???
Ch4-69
例 7 在 [0,1] 中随机地取两个数 X,Y,
求 D (min{ X,Y })
解
?
?
? ?????
其它,0
10,10,1
),(
yx
yxf
1
1
0
??
??
??
10
10
},m in {
y
x
d x d yyx
.3/1?
? ? ? ?dydxydxdyx
yx ? ?? ?
?? 1
0
11
0
1
?}),( m in { YXE
Ch4-70? ? ? ?
dydxydxdyx
YXE
yx ? ?? ?
??
1
0
1 21
0
1 2
2 }),{( m in
.6/1?
? ? ? ?},m in {},{m in
}),( m in {
22 YXEYXE
YXD
??
.18/1?
Ch4-71
例 8 将 编号分别为 1 ~ n 的 n 个球随机
地放入编号分别为 1 ~ n 的 n 只盒子中,
每盒一 球, 若球的号码与盒子的号码一
致，则称为一个配对, 求配对个数 X 的
期望与方差,
解 ni
ii
X i,,2,1
,0
,1
??
?
?
??
其它
号盒号球放入
则 ?
?
?
n
i
iXX
1
nXXX,,,21 ?不相互独立，但
Ch4-72
11)()(
1
???? ?
? n
nXEXE
n
i
i2
1
2 )( ?
?
?
?
?
?? ?
?
n
i
iXEXE
iX
P
1 0
n
1
n
11? ni,,2,1 ??
?
?
?
?
?
?
?? ??
????
n
nji
ji
n
i
i XXXE
11
2 2
??
????
??
n
nji
ji
n
i
i XXEXE
11
2 )(2)(
Ch4-73
2iX
P
1 0
n
1
n
11?
ni,,2,1 ??
nji,,2,1,??
ji XX
P
1 0
)1(
1
?nn )1(
11
?? nn
nXE i
1)( 2 ?
)1(
1)(
?? nnXXE ji
Ch4-74 ??
????
??
n
nji
ji
n
i
i XXEXEXE
11
22 )(2)()(
??
???? ?
??
n
nji
n
i nnn 11 )1(
1
2
1
)1(
1
2
1 2
?
?????
nn
C
n
n n
2?
1)()()( 22 ??? XEXEXD
Ch4-75
标准化随机变量
设 r.v,X 的期望 E(X ),方差 D(X )
都存在,且 D(X ) ? 0,则称
)(
)(
XD
XEX
X
?
??
为 X 的标准化随机变量, 显然，
1)(,0)( ?? ?? XDXE
Ch4-76
仅知 r.v.的期望与方差
并不能确定其分布
X
P
-1 0 1
0.1 0.8 0.1
Y
P
-2 0 2
0.025 0.95 0.025
与 2.0)(,0)( ?? XDXE
2.0)(,0)( ?? YDYE
有相同的
期望方差
但是分布
却不相同
例如
Ch4-77
例 9 已知 X 服从正态分布,E(X ) = 1.7,
D(X ) = 3,Y =1 – 2 X,求 Y 的密度函数,
解
1234)(
,4.27.121)(
???
?????
YD
YE
???????
?
?
yeyf
y
Y,
62
1
)( 24
)4.2( 2
?
在已知分布类型时,若知道其期望和
方差,便常能确定分布,
Ch4-78
作业 P.170 习题三
9 11 16
17 19 21
Ch4-79
第 10周
某民营企业生产的某产品每周的需
求量 X (单位, 箱 ) 取 [1,5]上的每个整数
值是等可能的, 生产每箱产品的成本是
300元,出厂价每箱 900元,若售不出,则每
箱以 100元的保管费借冷库保存, 问该企
业每周生产几箱产品能使获利的期望值
最大？
问 题
