Ch5-21
§ 5.2 中心极限定理
独立同分布的中心极限定理
设随机变量序列 ??,,,,21 nXXX
独立同一分布,且有期望和方差：
?,2,1,0)(,)( 2 ???? kXDXE kk ??
则对于任意实数 x,?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
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?
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?
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?
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x
t
n
k
k
n
dtex
n
nX
P 21
2
2
1
lim
?
?
?定理 1
Ch5-22
注
则 Y n 为 ?
?
n
k
kX
1
的标准化随机变量,
? ? )(lim xxYP nn ?????
即 n 足够大时,Y n 的分布函数近似于标
准正态随机变量的分布函数
?
?
n
nX
Y
n
k
k
n
?
?
?
? 1
记
)1,0(~ NY n近似?
?
n
k
kX
1
?? nYn n ?? ),( 2?? nnN近似服从
Ch5-23
中心极限定理的意义
在第二章曾讲过有许多随机现象服从
正态分布
若联系于此随机现象的随机变量为 X,
是由于许多彼次没有什么相依关
系、对随机现象谁也不能起突出影响，而
均匀地起到微小作用的随机因素共同作用
则它可被看成为许多相互独立的起微小作
?
k
kX用的因素 Xk的总和,而这个总和服从
或近似服从正态分布,
(即这些因素的叠加 )的结果,
Ch5-24
对此现象还
可举个有趣
的例子 ——
高尔顿钉板
试验 —— 加
以说明,
3? 0 3
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
?
?
?
??
),0( nN
n — 钉子层数
Ch5-25
德莫佛 — 拉普拉斯中心极限定理
（ DeMoivre-Laplace ）
设 Y n ~ B( n,p),0 < p < 1,n = 1,2,…
则对任一实数 x,有 ?
??
?
??
??
?
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?
? x tn
n
dtex
pnp
npYP 2
2
2
1
)1(
lim
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即对任意的 a < b,? ?
??
??
?
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?
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?? b
a
t
n
n
dteb
pnp
npYaP 2
2
2
1
)1(
lim
?
Y n ~ N (np,np(1-p)) (近似 )
定理 2
Ch5-26
例 1 炮火轰击敌方防御工事 100 次,每次
轰击命中的炮弹数服从同一分布,其数学
期望为 2,均方差为 1.5,若各次轰击命中
的炮弹数是相互独立的,求 100 次轰击
(1) 至少命中 180发炮弹的概率 ;
(2) 命中的炮弹数不到 200发的概率,
Ch5-29
例 2 售报员在报摊上卖报,已知每个过路
人在报摊上买报的概率为 1/3,令 X 是出售
了 100份报时过路人的数目，求
P (280 ? X ? 320).
解 令 Xi 为售出了第 i – 1 份报纸后到售出
第 i 份报纸时的过路人数,i = 1,2,…,100
? ? ?,2,1,1)( 3/11 ???? ?? kppkXP pki
(几何分布 ) 61)(,31)(
3/1
2
3/1
?????
?? p
i
p
i p
pXD
p
XE
Ch5-30?
?
?
10 0
1k
kXX 1 0 021,,,XXX ?相互独立,
60 0)(,30 0)( ?? XDXE
)()600,300(~ 近似NX
?
?
??
?
? ???
?
??
?
? ????
600
300280
600
300320)320280( ??XP
1
6 0 0
202 ?
??????? ? ? ? 18165.02 ?? ? 5878.0?
由独立同分布中心极限定理,有
Ch5-31例 3 检验员逐个检查某产品,每查一个需
用 10秒钟, 但有的产品需重复检查一次，
再用去 10秒钟, 若产品需重复检查的概率
为 0.5,求检验员在 8 小时内检查的产品多
于 1900个的概率,
解 若在 8 小时内检查的产品多于 1900个,
即检查 1900个产品所用的时间小于 8 小时,
设 X 为检查 1900 个产品所用的时间 (秒 )
设 Xk 为检查第 k 个产品所用的时间
(单位：秒 ),k = 1,2,…,1900
Ch5-32
Xk
P
10 20
0.5 0.5
25)(,15)( ?? kk XDXE ?
?
?
1900
1k
kXX 1 9 0 021,,,XXX ?相互独立同分布,
4 7 5 0 0251 9 0 0)(
2 8 5 0 0151 9 0 0)(
???
??
XD
XE
)47500,28500(~ NX
近似
Ch5-33
)2 8 8 0 01 9 0 0 0(
)83 6 0 01 9 0 010(
???
????
Xp
XP
? ? ? ?5 8 9.433 7 6.1 ??? ??
9162.0?
?
?
?
?
?
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???
?
?
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?
? ?
??
4 7 5 0 0
2 8 5 0 01 9 0 0 0
4 7 5 0 0
2 8 5 0 02 8 8 0 0
Ch5-34例 4 某车间有 200台车床，每台独立工作，
开工率为 0.6,开工时每台耗电量为 r 千瓦,
问供 电所至少要供给这个车间多少电力,
才能以 99.9% 的概率保证这个车间不会因
供电不足而影响生产？
解 设至少要供给这个车间 a 千瓦的电力，
X 为开工的车床数,则 X ~ B(200,0.6),
X ~ N (120,48) (近似 )
由 德莫佛 — 拉普拉斯中心极限定理,有
Ch5-35
?
?
?
?
?
? ?
???
?
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?
?
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????
48
1200
48
120/
)0(
ra
arXP
0
)32.17(
?
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??
48
1 2 0/ ra
问题转化为求 a,使
%9.99)0( ??? arXP
反查标准正态函数分布表，得
? ? %9.9909.3 ??
Ch5-36
令
09.3
48
1 2 0
?
?
r
a
解得
r
ra
1 4 1
)1 2 04809.3(
?
??
(千瓦 )
Ch5-37
Ch5-38
例 5 设有一批种子，其中良种占 1/6,
试估计在任选的 6000粒种子中，良种
比例与 1/6 比较上下不超过 1%的概率,
解 设 X 表示 6000粒种子中的良种数,
X ~ B( 6000,1/6 )
?
?
??
?
?
6
5 0 0 0,1 0 0 0~ NX
近似
由德莫佛 — 拉普拉斯中心极限定理,
则
有
Ch5-39
?
?
??
?
? ???
?
??
?
? ??
65 0 0 0
1 0 0 09 4 0
65 0 0 0
1 0 0 01 0 6 0 ??
?
?
??
?
? ???
?
??
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65 0 0 0
60
65 0 0 0
60 ??
1
65 0 0 0
60
2 ??
?
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?
?
? ? 9624.0?
?
?
??
?
? ?? 01.0
6
1
6000
XP
? ?601000 ??? XP
Ch5-40比较几个近似计算的结果
中心极限定理 9 6 2 4.001.06
1
6 0 0 0 ???
??
?
? ??XP
二项分布 (精确结果 ) 9 5 9 0.001.06
1
6 0 0 0 ???
??
?
? ??XP
Poisson 分布 9 3 7 9.001.06
1
6 0 0 0 ???
??
?
? ??XP
Chebyshev 不等式 7 6 8 5.001.06
1
6 0 0 0 ???
??
?
? ??XP
Ch5-41
作业 P.186 习题五
6 8 10
12 15
Ch5-42
设某农贸市场某种商品每日的价格
的变化是个相互独立且均值为 0,方差为
? 2 = 2的随机变量 Yn,并满足
)1(1 ??? ? nYXX nnn
其中 Xn是第 n天该商品的价格,如果今天
的价格为 100，求 18天后该商品的价格
在 96 与 104 之间的概率,
*补充作业
Ch5-43
解 设 表示今天该商品的价格,为 18
18X0X
天后该商品的价格,则
.4 9 4.017 4 7.02 ????
?
?
???????
18
1
0181716181718
i
iYXYYXYXX
)
36
4
36
1
36
4( 18
1
???? ?
?i
iYP
)44()10496(
18
1
18 ?????? ?
?i
iYPXP
得
1)3/2(2)3/2()3/2( ????????
Ch5-44
一本书有 1 000 000 个印刷符号,
排版时每个符号被排错的概率为千分
之一, 校对时,每个排版错误被改正的
概率为 0.99,求在校对后错误不多于
15 个的概率,
第十二周 问 题
Ch5-45解 令
1 第 i 个符号被排错校对后仍错
0 其 他?iX
由于排版与校对是两个独立的工作,因而
,10)99.01(0 0 1.0)1( 5?????iXP 5101)0( ????iXP
510)( ??
iXE,)101(10)(
55 ?? ??
iXD
))101(10,10(~ 5??BY
设校对后错误个数为,则?
?
?
610
1i
iXY
Ch5-46
由 中心极限定理
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?
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?? )101(10
100
)101(10
1015
)150(
55
YP
? ? ? ?1010/5 ?????
.9422.0?
? ? ? ? 116.358.1 ?????
§ 5.2 中心极限定理
独立同分布的中心极限定理
设随机变量序列 ??,,,,21 nXXX
独立同一分布,且有期望和方差：
?,2,1,0)(,)( 2 ???? kXDXE kk ??
则对于任意实数 x,?
?
??
?
?
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k
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P 21
2
2
1
lim
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?定理 1
Ch5-22
注
则 Y n 为 ?
?
n
k
kX
1
的标准化随机变量,
? ? )(lim xxYP nn ?????
即 n 足够大时,Y n 的分布函数近似于标
准正态随机变量的分布函数
?
?
n
nX
Y
n
k
k
n
?
?
?
? 1
记
)1,0(~ NY n近似?
?
n
k
kX
1
?? nYn n ?? ),( 2?? nnN近似服从
Ch5-23
中心极限定理的意义
在第二章曾讲过有许多随机现象服从
正态分布
若联系于此随机现象的随机变量为 X,
是由于许多彼次没有什么相依关
系、对随机现象谁也不能起突出影响，而
均匀地起到微小作用的随机因素共同作用
则它可被看成为许多相互独立的起微小作
?
k
kX用的因素 Xk的总和,而这个总和服从
或近似服从正态分布,
(即这些因素的叠加 )的结果,
Ch5-24
对此现象还
可举个有趣
的例子 ——
高尔顿钉板
试验 —— 加
以说明,
3? 0 3
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
?
?
?
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),0( nN
n — 钉子层数
Ch5-25
德莫佛 — 拉普拉斯中心极限定理
（ DeMoivre-Laplace ）
设 Y n ~ B( n,p),0 < p < 1,n = 1,2,…
则对任一实数 x,有 ?
??
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n
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即对任意的 a < b,? ?
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pnp
npYaP 2
2
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1
)1(
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?
Y n ~ N (np,np(1-p)) (近似 )
定理 2
Ch5-26
例 1 炮火轰击敌方防御工事 100 次,每次
轰击命中的炮弹数服从同一分布,其数学
期望为 2,均方差为 1.5,若各次轰击命中
的炮弹数是相互独立的,求 100 次轰击
(1) 至少命中 180发炮弹的概率 ;
(2) 命中的炮弹数不到 200发的概率,
Ch5-29
例 2 售报员在报摊上卖报,已知每个过路
人在报摊上买报的概率为 1/3,令 X 是出售
了 100份报时过路人的数目，求
P (280 ? X ? 320).
解 令 Xi 为售出了第 i – 1 份报纸后到售出
第 i 份报纸时的过路人数,i = 1,2,…,100
? ? ?,2,1,1)( 3/11 ???? ?? kppkXP pki
(几何分布 ) 61)(,31)(
3/1
2
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Ch5-30?
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kXX 1 0 021,,,XXX ?相互独立,
60 0)(,30 0)( ?? XDXE
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1
6 0 0
202 ?
??????? ? ? ? 18165.02 ?? ? 5878.0?
由独立同分布中心极限定理,有
Ch5-31例 3 检验员逐个检查某产品,每查一个需
用 10秒钟, 但有的产品需重复检查一次，
再用去 10秒钟, 若产品需重复检查的概率
为 0.5,求检验员在 8 小时内检查的产品多
于 1900个的概率,
解 若在 8 小时内检查的产品多于 1900个,
即检查 1900个产品所用的时间小于 8 小时,
设 X 为检查 1900 个产品所用的时间 (秒 )
设 Xk 为检查第 k 个产品所用的时间
(单位：秒 ),k = 1,2,…,1900
Ch5-32
Xk
P
10 20
0.5 0.5
25)(,15)( ?? kk XDXE ?
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kXX 1 9 0 021,,,XXX ?相互独立同分布,
4 7 5 0 0251 9 0 0)(
2 8 5 0 0151 9 0 0)(
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近似
Ch5-33
)2 8 8 0 01 9 0 0 0(
)83 6 0 01 9 0 010(
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Ch5-34例 4 某车间有 200台车床，每台独立工作，
开工率为 0.6,开工时每台耗电量为 r 千瓦,
问供 电所至少要供给这个车间多少电力,
才能以 99.9% 的概率保证这个车间不会因
供电不足而影响生产？
解 设至少要供给这个车间 a 千瓦的电力，
X 为开工的车床数,则 X ~ B(200,0.6),
X ~ N (120,48) (近似 )
由 德莫佛 — 拉普拉斯中心极限定理,有
Ch5-35
?
?
?
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?
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问题转化为求 a,使
%9.99)0( ??? arXP
反查标准正态函数分布表，得
? ? %9.9909.3 ??
Ch5-36
令
09.3
48
1 2 0
?
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r
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解得
r
ra
1 4 1
)1 2 04809.3(
?
??
(千瓦 )
Ch5-37
Ch5-38
例 5 设有一批种子，其中良种占 1/6,
试估计在任选的 6000粒种子中，良种
比例与 1/6 比较上下不超过 1%的概率,
解 设 X 表示 6000粒种子中的良种数,
X ~ B( 6000,1/6 )
?
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6
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近似
由德莫佛 — 拉普拉斯中心极限定理,
则
有
Ch5-39
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Ch5-40比较几个近似计算的结果
中心极限定理 9 6 2 4.001.06
1
6 0 0 0 ???
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?
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二项分布 (精确结果 ) 9 5 9 0.001.06
1
6 0 0 0 ???
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Poisson 分布 9 3 7 9.001.06
1
6 0 0 0 ???
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Chebyshev 不等式 7 6 8 5.001.06
1
6 0 0 0 ???
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Ch5-41
作业 P.186 习题五
6 8 10
12 15
Ch5-42
设某农贸市场某种商品每日的价格
的变化是个相互独立且均值为 0,方差为
? 2 = 2的随机变量 Yn,并满足
)1(1 ??? ? nYXX nnn
其中 Xn是第 n天该商品的价格,如果今天
的价格为 100，求 18天后该商品的价格
在 96 与 104 之间的概率,
*补充作业
Ch5-43
解 设 表示今天该商品的价格,为 18
18X0X
天后该商品的价格,则
.4 9 4.017 4 7.02 ????
?
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18
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18
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iYPXP
得
1)3/2(2)3/2()3/2( ????????
Ch5-44
一本书有 1 000 000 个印刷符号,
排版时每个符号被排错的概率为千分
之一, 校对时,每个排版错误被改正的
概率为 0.99,求在校对后错误不多于
15 个的概率,
第十二周 问 题
Ch5-45解 令
1 第 i 个符号被排错校对后仍错
0 其 他?iX
由于排版与校对是两个独立的工作,因而
,10)99.01(0 0 1.0)1( 5?????iXP 5101)0( ????iXP
510)( ??
iXE,)101(10)(
55 ?? ??
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))101(10,10(~ 5??BY
设校对后错误个数为,则?
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Ch5-46
由 中心极限定理
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