Ch3-110
§ 3.4 二维随机变量函数的分布
已知 r.v.( X,Y )的概率分布
g(x,y) 为已知的二元函数,
转化为 ( X,Y )的事件
问题
方法
求 Z = g( X,Y )的概率分布
Ch3-111
当 ( X,Y )为离散 r.v.时,Z 也离散
),( kk jik yxgzZ ?? ?
?
????
kkjki
kk
zyxg
jik yYxXPzZP
),(
),()( ?,2,1?k
当 ( X,Y )为连续 r.v.时，
)()( zZPzF Z ?? )),(( zYXgP ?????
zD
d x d yyxf ),(
}),(|),{(,zyxgyxD z ?其中
Ch3-112
-1
- 0, 5
0
0, 5
1
-1
- 0, 5
0
0, 5
1
0
0, 2 5
0, 5
0, 7 5
1
}),(|),{(,zyxgyxD z ?的几何意义：
Dz
Ch3-113
例 1设二维 r.v,( X,Y )的概率分布为
X
Y
pij -1 1 2
-1
0
41 61
41 81 121
81
求 XYXYYXYX,,,?? 的概率分布
离散型二维 r.v.的函数
Ch3-114
解 根据 ( X,Y )的联合分布可得如下表格：
P 41 41 61 8181 121
X +Y
X -Y
X Y
Y / X
( X,Y ) (-1,-1) (-1,0)(1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0)
-2 -1 0 1 1 2
0 -1 2 1 3 2
1 0 -1 0 -2 0
1 0 -1 0 -1/2 0
Ch3-115
故得
P
X+Y -2 -1 0 1 2
41 41 4161 121
P
X - Y -1 0 1 2 3
41 41 4181 81
Ch3-116
P
X Y -2 -1 0 1
61 4181 2411
P
Y /X -1 -1/2 0 1
4181 241161
Ch3-117
?设 X ~B (n1,p),Y ~B (n2,p),且独立，
具有可加性的两个离散分布
?设 X ~ P (?1),Y ~ P (?2),且独立，
则 X + Y ~ B ( n1+n2,p)
则 X + Y ~ P(?1+ ?2)
Ch3-118
X ~ P(?1),Y ~ P(?2),则
Z = X + Y 的可能取值为 0,1,2,?,,),()(
0
?
?
?????
k
i
ikYiXPkZP
?
?
???
?
??
k
i
iki
ik
e
i
e
0
21
)!(!
21 ?? ??
?
?
?
??
??
k
i
iki
iki
k
k
e
0
21)!(!
!
!
21
??
??
!
)( 2121
k
ek ???? ????
?,2,1,0?k
关于 Poisson分布可加性的证明
Ch3-119
问题 已知随机变量 ( X,Y )的 d.f.
g(x,y)为已知的二元函数，
求 Z= g( X,Y ) 的 d.f.
方法
? 从求 Z 的分布函数出发,将 Z 的分布函数
转化为 ( X,Y )的事件
? 建立新的二维 r.v.(Z,X )或 (Z,Y ),
求其边缘分布得 Z 的 d.f.
二维连续 r.v.的分布
Ch3-120(1) 和的分布,Z = X + Y
设 ( X,Y )的联合密度函数为 f (x,y),则
? z
?z
)()( zZPzF Z ??
)( zYXP ??? ??
??
?
zyx
d xd yyxf ),(
? ????? ???? xz dyyxfdx ),(
或 ? ???
??
?
???
yz dxyxfdy ),(?????? z
Ch3-121
特别地，若 X,Y 相互独立，则
? ???? ?? dxxzxfzf Z ),()(
)3(?????? z
? ???? ?? dyyyzfzf Z ),()(或
? ???? ?? dxxzfxfzf YXZ )()()(
? ???? ?? dyyfyzfzf YXZ )()()(或
)()( zfzf YX ??
记作
)()( zfzf YX ??
记作
)1(?????? z
)2(?????? z
)4(?????? z
称之为函数 f X ( z) 与 f Y ( z)的 卷积
Ch3-122
例 2 已知 ( X,Y ) 的联合 d.f.为
?
?
? ????
?
其他,0
10,10,1
),(
yx
yxf
Z = X + Y,求 f Z (z)
解法一 （ 图形定限法 ）
?
?
? ???
其他,0
10,1
)(
x
xf X
?
?
? ??
?
其他,0
10,1
)(
y
yf Y
显然 X,Y 相互独立,且
Ch3-123
? ???? ?? dxxzfxfzf YXZ )()()(
? ?? 10 )( dxxzf Y
?
?
? ???
??
其他,0
1,1
)(
zxz
xzf Y
z
1
z = x
???
1
0
)( dxxzf Y,20,0 ?? zz 或,10,1
0 ??? zdx
z
,21,11 1 ??? ? zdxz
x
2
1
Ch3-124
?
?
?
?
?
???
??
??
?
21,2
10,
20,0
)(
zz
zz
zz
zf Z
或
解法二 从分布函数出发
)()( zYXPzF Z ?????
??
?
zyx
d xd yyxf ),(
当 z < 0 时，
0)( ?zF Z
1
y
x
1
Ch3-125
当 0 ? z < 1 时，
?? ?? xzzZ dydxzF 00 1)(
? ?? z dxxz0 )(
2/2z?
zzf Z ?)(
y
x
1
1
?z
?z
Ch3-126
当 1? z < 2 时，
??
?
?
?
xz
z
dydx
0
1
1
1
? ? ???? 1 1 )(1 z dxxzz
12/2 2 ??? zz
zzf Z ?? 2)(
z-1
1
y
x
1?z
?z
)1()( ?? zzF Z
Ch3-127
1
y
x
1
2
2当 2 ? z 时，
1)( ?zF Z
0)( ?zf Z
?
?
?
?
?
???
??
??
?
21,2
10,
20,0
)(
zz
zz
zz
zf
Z
或
Ch3-128
例 3已知 ( X,Y ) 的联合密度函数为
?
?
? ????
?
其他,0
0,10,3
),(
xyxx
yxf
Z = X + Y,求 f Z (z)
解法一 （ 图形定限法 ）
? ???? ?? dxxzxfzf Z ),()(由公式（ 1）
Ch3-129
z
x
x = 1
1
2
当 z < 0 或 z > 2,
z
z
z
z
当 0 < z < 1,2
2/ 8
93)( zx d xzf z
zZ
?? ?
当 1 < z < 2,
)
4
1(
2
33)( 21
2/
zx d xzf
zZ
??? ?
f Z (z) = 0
?
?
? ????
??
其他,0
2,10,3
),(
xzxxx
xzxf
Ch3-130
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
其他,0
21),
4
1(
2
3
10,
8
9
)(
2
2
z
z
zz
zf
Z
这比用分布函数做简便
Ch3-131解法二 （ 不等式组定限法 ）
? ???? ?? dxxzxfzf Z ),()(
考虑被积函数取非零值的区域
?
?
?
???
??
xxz
x
0
10
)(
10
2
?
?
?
?
??
??
?
zx
x
z
令不等式边边相等,解得 z 轴上的三个
分界点 0,1,2
当 或 时不等式组 无解20 ?? zz )(?
10 ?? z当 时不等式组 解为)(? zxz ??
2
当 时不等式组 解为21 ?? z )(? 1
2 ?? xz
Ch3-132
?
?
?
?
?
?
?
????
???
? ?
?
其他0
21)1(3
103
)(
1
22
3
2
8
9
2
2
2
zx dx
zzx dx
zf
z
z
z
z
Z
Ch3-133
正态随机变量的结论
?若 X,Y 相互独立,),(~),,(~ 222211 ???? NYNX
则 ),(~ 222121 ???? ??? NYX
?若 (X,Y ) );,;,(~ 222211 ?????N
则 )2,(~ 22212121 ??????? ???? NYX
niNX iii,,2,1),,(~ 2 ????
若 nXXX,,,21 ?相互独立
则 ),(~
1
2
11
???
???
n
i
i
n
i
i
n
i
i NX ??
推广
推广 已知 ( X,Y )的联合密度 f (x,y)
求 Z = aX +bY + c 的密度函数,
其中 a,b,c为常数,a,b ? 0
.).(,
||
1
)( eazdx
b
caxz
xf
b
zf Z ??????
?
?
?
?
? ??
? ?
??
??
.).(,
||
1
)( eazdyy
a
cbyz
f
a
zf Z ??????
?
?
?
?
? ??
? ?
??
??
（证明见后面例 5）
Ch3-135
另一种计算 f Z (z) 的方法,
?构造一个新的二维随机变量 (Z,U ),
它们是 ( X,Y ) 的函数，
?求 ( Z,U ) 的联合密度函数 f ( z,u )
?求边缘密度 f Z (z)
Ch3-136
设 ??
?
?
?
),(
),(
yxru
yxgz
存在 唯一 的反函数：
h,s 有连续的偏导数,记
u
s
z
s
u
h
z
h
uzJ
?
?
?
?
?
?
?
?
?),(
?
?
?
?
?
),(
),(
uzsy
uzhx
则 ||)),(),,((),( Juzsuzhfuzf
XYZU ?
已知 ( X,Y )的联合密度 f XY (x,y)
求 (Z,U )的联合密度函数 f ZU(z,u) 的方法
Ch3-137
证 ),(),( uUzZPuzF ZU ???
)),(,),(( uYXrzYXgP ??? d xd yyxf
uyxr
zyxg
XY??
?
?
),(
),(
),(
11111111
1
1
|),(|)),(),,(( dudzuzJuzsuzhf
uu
zz
XY??
?
?
?
? ??? ??? z u XY dzduuzJuzsuzhf 11111111 |),(|)),(),,((
|),(|)),(),,((),( uzJuzsuzhfuzf XYZU ?
Ch3-138
例 4已知 ( X,Y )的联合密度函数为
?
?
? ????
?
其他,0
0,10,3
),(
xyxx
yxf
Z = 3 X – 2 Y,求 f Z (z)
解 令
?
?
?
?
??
YU
YXZ 23
??
?
?
?
?
??
UY
UZX )2(
3
1
3
1
|
10
3231
||| ??J
Ch3-139
3
1
),2(
3
1
),( ??
?
?
?
?
? ?? uuzfuzf
ZU
??
?
?
? ???????
?
其他,0
)2(
3
1
0,1)2(
3
1
0),2(
3
1
uzuuzuz
??
?
?
? ??????
?
其他,0
10,23),2(
3
1
uuzuuz
u
z
3
1
1
Ch3-140
? ????? duuzfzf ZUZ ),()(
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
????
? ?
?
?
其他,0
31,9
12
1
)2(
3
1
10,
3
2
)2(
3
1
2
2
3
0
2
0
zzduuz
zzduuz
z
z
u
z
3
1
1 z
z
z
z
Ch3-141
利用此法也可求某些函数的概率密度
例如 已知 (X,Y )的联合概率密度 f (x,y)，
Z = X / Y,求 f Z(z)令
?
?
?
?
?
YU
YXZ /
?
?
?
?
?
UY
ZUX |||
10
||| u
zu
J ??
? ? ||,),( uuzufuzf ZU ?
? ????? duuzfzf ZUZ ),()( ? ??
??
? duuuzuf ||),(
(2) 商的分布,Z = X / Y
Ch3-142
例 5已知 ( X,Y ) 的联合分布函数为
?
?
? ?????
?
????
其他,0
0,0,1
),(
)( yxeee
yxF
yxyx
求 Z = X / Y 的概率密度函数
解
?
?
? ??
?
??
其他,0
0,0,
),(
)( yxe
yxf
yx
? ????? duuuzufzf Z ||),()(
?
?
? ??
?
??
其他,0
0,0,
),(
)( uze
uzuf
uzu
Ch3-143
但是,当反函数不唯一时,或不易求时，仍需用
分布函数法
(3) 平方和的分布,Z = X 2+Y 2
设 (X,Y )的联合密度函数为 f (x,y)
则 )()( 22 zYXPzF Z ???
?
?
?
?
?
? ??
??
,0),(
,0,0
22 zd xd yyxf
z
zyx
?
?
?
?
?
? ??,0,)s in,c o s(
,0,0
0
2
0
zr d rrrfd
z
z
???
?
Ch3-144
??
?
?
?
?
?
?
?,0,)s in,c o s(2
1
,0,0
)( 2
0
zdzzf
z
zf Z ?
???
例如,X ~ N(0,1),Y ~ N(0,1),X,Y 相互独立，
Z = X 2+Y 2,则
??
?
?
?
??
?
?
?
??
,0,
2
1
2
1
2
1
,0,0
)( 2
0
2
s i n
2
c o s 22
zdee
z
zf zzZ ? ??
?
??
??
?
?
?
?
?
? ?
,0,
2
1
,0,0
)(
2 ze
z
zf zZ
称为 自由度为 2的 ?2分布
Ch3-145(4) 极值分布：即极大值，极小值的分布
对于离散型随机变量的极值分布可直接计算
只讨论相互独立的随机变量的极值分布
Ch3-146
max{X,Y }
P
1 0
0.75 0.25
例 6 X,Y 相互独立,都服从参数为 0.5 的
0-1分布, 求 M = max{X,Y }的概率分布
解 Y Xpij 1 0
1
0
0.25 0.25
0.25 0.25
Ch3-147设连续随机变量 X,Y 相互独立,X ~ F
X (x),
Y ~ FY (y),M = max{X,Y },N = min{X,Y },
求 M,N 的分布函数,
)},( m a x {)( uYXPuF M ??
),( uYuXP ???
)()( uYPuXP ???
)()( uFuF YX?
Ch3-148
)},( m i n {)( vYXPvF N ??
)},( m in {1 vYXP ???
),(1 vYvXP ????
)()(1 vYPvXP ????
.)](1)][(1[1 vFvF YX ????
Ch3-149推广
nXXX,,,21 ?相互独立，且
nixFX iii,,2,1),(~ ??
设
},,,m in {
},,,m a x {
21
21
n
n
XXXN
XXXM
?
?
?
?
则 ?
?
?
?
???
?
n
i
iN
n
i
iM
vFvF
uFuF
1
1
))(1(1)(
)()(
Ch3-150
例 7 系统 L 由相互独立的 n 个元件组成，
其连接方式为
(1) 串联；
(2) 并联；
(3) 冷贮备 ( 起初由一个元件工作,其它
n – 1 个元件做冷贮备,当工作元件失效时，
贮备的元件逐个地自动替换 )；
(4) L 为 n 个取 k 个的表决系统 ( 即 n 个元
件中有 k 个或 k 个以上的元件正常工作时，
系统 L 才正常工作 ).
Ch3-151
若 n 个元件寿命分别为 nXXX,,,21 ?
niEX i,,2,1),(~ ???
且
求在以上 4 种组成方式下,系统 L 的
寿命 X 的密度函数,
解
?
?
? ?
?
?
其它,0
0,
)( i
x
iX
xe
xf
i
i
??
?
?
? ??
?
?
其它,0
0,1
)( i
x
iX
xe
xF
i
i
?
Ch3-152
(1) },,,m i n { 21 nXXXX ??
?
?
???
n
i
XX xFxF i
1
))(1(1)(
?
?
?
?
?
?
?
0,0
0,
)(
x
xen
xf
xn
X
?? ?
?
?
?
?
??
?
0,1
,0,
)(1
x
xe
xF
x
X i
?
Ch3-153
(2) },,,m a x { 21 nXXXX ?? ?
?
?
n
i
XX xFxF i
1
)()(
?
?
?
?
??
?
???
0,0
0,)1(
)(
1
x
xeen
xf
nxx
X
????
?
?
?
??
?
?
0,0
,0,)1(
x
xe nx?
Ch3-154
(3) nXXXX ???? ?21
? ????? ?? dttxftfxf XXXX )()()( 2121
n = 2 时，
?
?
?
?
?
? ?
???
0,0
0,
0
)(
x
xdtee
x txt ??
?
?
?
?
?
?
?
0,0
0,
x
xxe x?
t
x
Ch3-155
? ???? ??? ?? dttxftfxf XXXXXX )()()( 321321
?
?
?
?
?
? ?
???
0,0
0,
0
)(
x
xdtete
x txt ??
??
?
?
?
?
?
?
?
0,0
0,
!2
2
x
xe
x x?
可证,X 1+ X 2 与 X 3 也相互独立,故
Ch3-156
??
?
?
?
?
?
??
?
?
0,0
0,
)!1()(
1
x
xe
n
x
xf
x
n
X
?
归纳地可以证明，
Ch3-157
(4) )()( xXPxF X ??
?
?
?
?
???
?
0,0
,0),(1
x
xxP
? ?xkXXPxXP n 个大于中至少有,,)( 1 ??? ? ? ? ??
?
????
n
kj
jnjj
n xXPxXPC )()( 11 ? ? ? ?
??
?
?
?
?
???
?
?
?
???
0,0
0,11
)(
x
xeeC
xF
n
kj
jnxjxj
n
X
??
Ch3-158 ? ? ? ?
??
?
??
? ?? ?
?
???n
kj
jnxjxj
n eeCdx
d ?? 1)
? ?
? ??
?
?
?
??
???
?
?
?
?
??
???
???
1
1
)1(
1
1)(
1
n
kj
jn
xxjj
n
xn
n
kj
jn
xjxj
n
eejnC
enejeC
??
???
?
??
? ?
? ??
?
?
?
??
????
?
?
??
???
??
1
1
)1(1
1)1(
1
n
kj
jn
xxjj
n
n
kj
jn
xjxj
n
eejC
ejeC
??
??
?
?
Ch3-159
? ?
? ??
?
??
?
??
?
?
??
??
??
n
kj
jn
xjxj
n
n
kj
jn
xjxj
n
eejC
ejeC
1
1
1
??
??
?
?
knxxkk
n eekC
??? ?? )1( ???
?
?
?
?
??
?
???
0,0
0,)1(
)(
x
xeekC
xf
knxxkk
n
X
???
Ch3-160
作业 P.134习题三
20 22
23 26
29 30
Ch3-161
设一部机器在一天内发生故障的
第十周 问 题
发生二次故障获利 0 万元 ； 发生三次
概率为 0.2,发生故障时全天停止工作,
若一周 5 个工作日里无故障, 可获利
10万元 ； 发生一次故障可获利 5万元 ；
或三次以上故障要亏损 2万元, 求一周
内期望利润,
Ch3-162
附 录
关于二项分布可加性的证明
?设 X ~B (n1,p),Y ~B (n2,p),且独立，
则 X + Y ~ B ( n1+n2,p)
Ch3-163
X ~ B(n1,p),Y ~ B(n2,p),则
Z=X+Y的可能取值为 0,1,2,?,n1+ n2
,),()(
0
?
?
?????
k
i
ikYiXPkZP设 n1 ? n2,当 k ? n1时，
,)()(
0
?
?
????
k
i
ikYPiXP
?
?
????? ???
k
i
iknikik
n
inii
n ppCppC
0
2
2
1
1
)1()1(
knnkk
nn ppC
??
? ?? 2121 )1(
Ch3-164 k
nn
k
i
ik
n
i
n CCC 2121
0
?
?
? ??
其中
当 n1 < k ? n2 时
?
?
?????
1
0
),()(
n
i
ikYiXPkZP
?
?
????? ???
1
2
2
1
1
0
)1()1(
n
i
iknikik
n
inii
n ppCppC
knnkk
nn ppC
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Ch3-165当 n
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故 X + Y ~ B ( n1+ n2,p)
事实上,由二项分布的背景,不难理解
X + Y 表示做了 n1+ n2 次独立试验事件
A 发生的次数
Ch3-166
已知 ( X,Y )的联合 d.f.为
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0,10,3
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xyxx
yxf
Z = X + Y,求 f Z (z)
解法三 令
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YU
YXZ
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前例 3
Ch3-167
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1
Ch3-168
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2
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10,
8
9
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2
2
1
2
2
0
z
z
duuz
zzduuz
z
z
z
2
u
z
Ch3-169
附例 已知 ( X,Y ) 的联合 d.f,f (x,y)
求 Z = aX +bY + c 的 d.f.
其中 a,b,c为常数,a,b ? 0
令
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YU
cbYXaZ ?
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Ch3-170
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1
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由此得
Ch3-171