Ch3-94
§ 3.3 随机变量的独立性
—— 将事件独立性推广到随机变量
设 (X,Y )为二维 r.v,若对任何
)()(),( yYPxXPyYxXP ?????
则称 r.v,X 和 Y 相互独立
两个 r.v.相互独立性
实数 x,y 都有
定义
Ch3-95由定义知
二维 r.v,( X,Y ) 相互独立
)()(),( yFxFyxF YX?
)()(
),(
,
dYcPbXaP
dYcbXaP
dcba
?????
????
???
)()(),(
,
cYPaXPcYaXP
Rca
?????
??
Ch3-96二维离散 r.v.( X,Y ) 相互独立
)()(),( jiji yYPxXPyYxXP ?????
即 jiij ppp ???
二维连型 r.v,( X,Y ) 相互独立
.).()()(),( eayfxfyxf YX?
二维连续 r.v,( X,Y ) 相互独立
)0)(()()( ?? yfyxfxf YYXX
)0)(()()( ?? xfxyfyf XXYY
二维 r.v,( X,Y ) 相互独立,
则边缘分布完全确定联合分布
Ch3-97
0??
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
)(
2
2
)(
1
)())((
2
)(
)1(2
1
2
21
2
1
2
1
12
1
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
????
????
?
?
?
?
?
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??
?
?
?
?
?
?
yx
yyxx
ee
e
证 对任何 x,y 有
21,?? ?? yx取
);,;,(~),( 222211 ?????NYX 相互独立命题
Ch3-98
21
2
21 2
1
2
1
12
1
????????
?
?
故 0??
将 0?? 代入 ),( yxf 即得
)()(),( yfxfyxf YX?
Ch3-99
例 1 已知 ( X,Y ) 的联合 d.f.为
?
?
? ?????
其他,0
10,10,4
),(1
yxxy
yxf(1)
?
?
? ????
?
其他,0
10,0,8
),(2
yyxxy
yxf(2)
讨论 X,Y 是否独立？
Ch3-100
解
(1) 由图知边缘 d.f.数为
1
1
?
?
? ??
?
其他,0
,10,2
)(
xx
xf X
?
?
? ??
?
其他,0
,10,2
)(
yy
yf Y
显然,)()(),(
1 yfxfyxf YX?
故 X,Y 相互独立
Ch3-101
(2) 由图知边缘 d.f.为
?
?
? ???
?
其他,0
,10),1(4
)(
2 xxx
xf X
?
?
? ??
?
其他,0
,10,4
)(
3 yy
yf Y
显然，
)()(),(2 yfxfyxf YX?
故 X,Y 不独立
1
1
Ch3-102
判断连续型二维 r.v.相互独立的
两个重要结论
设 f (x,y)是连续二维随机变量 (X,Y )的联合
密度函数,r (x),g(y)为非负可积函数,且
.).()()(),( eaygxryxf ?
则 (X,Y )相互独立
且
.).(
)(
)()( ea
dxxr
xrxf
X
?
??
??
?
.).(
)(
)(
)( ea
dyyg
yg
yf Y
?
??
??
?
Ch3-103
利用此结果,不需计算即可得出 (1)中的随机
变量 X 与 Y 是相互独立的,
再如,服从矩形域 {(x,y)| a<x<b,c<y<d}上
均匀分布的二维随机变量 ( X,Y ),
??
?
?
? ????
???
其他0
,
))((
1
),(
dycbxa
cdabyxf
X,Y 是相互独立的, 且其边缘分布也是均匀分布
??
?
?
? ??
??
其他,0
,
1
)(
bxa
abxf X
??
?
?
?
??
??
其他,0
,
1
)(
dyc
cdyf Y
Ch3-104
若
?
?
? ??
?
??
其他0
0,06
),(
32 yxe
yxf
yx
则 X,Y 是相互独立的,且其边缘分布为
?
?
? ?
?
?
其他,0
0,2
)(
2 xe
xf
x
X
?
?
? ?
?
?
其他,0
0,3
)(
3 ye
yf
y
Y
Ch3-105
若
?
?
? ????
?
?
其他0
0,21
),(
3 yxe
yxf
y
则 X,Y 是相互独立的,且其边缘分布为
??
?
?
?
???
?
其他,0
21,
3
1
)(
x
xf X
?
?
? ?
?
?
其他,0
0,3
)(
3 ye
yf
y
Y
Ch3-106
对于分布函数也有类似结果
设 F(x,y)是二维连续 r.v.(X,Y )的联合分布
函数,则 (X,Y )相互独立的充要条件为
)()(),( yGxRyxF ?
且 )(
)(
)(
??
?
R
xR
xF X
)(
)(
)(
??
?
G
yG
yF Y
Ch3-107
设 X,Y 为相互独立的 r.v,u(x),v(y)为连续
函数,则 U=u(X ),V=v (Y )也相互独立,
事实上,设 X 与 Y 的密度函数分别为 f X(x),
f Y (y),则 )()(),( yfxfyxf YX?
因此,),(),( vVuUPvuF UV ???
))(,)(( vYvuXuP ??? ??
?
?
?
vyv
uxu
YX d x d yyfxf
)(
)(
)()( ??
??
?
vyv
Y
uxu
X dyyfdxxf
)()(
)()(
))(())(( vYvPuXuP ??? )()( vFuF VU?
Ch3-108
例如，若 X,Y 为相互独立的 r.v.
则 aX + b,cY + d 也相互独立；
X 2,Y 2 也相互独立；
随机变量相互独立的概念
可以推广到 n 维随机变量
)()()( 2211 nn xXPxXPxXP ???? ?
),,,( 2211 nn xXxXxXP ??? ?
若
则称 r.v,X 1,X 2,,X n 相互独立?
Ch3-109
若两个 r.v.相互独立,且又有相同
分布,不能说这两个 r.v.相等, 如
X
P
-1 1
0.5 0.5
Y
P
-1 1
0.5 0.5
X,Y 相互独立，则
X
-1
1
-1 1
0.25 0.25
Y
pij
0.25 0.25
P (X = Y ) = 0.5,故不能说 X = Y,
注意
Ch3-110
作业 P.133 习题三
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15 18