Ch2-48
§ 2.3 连续型随机变量
定义 设 X 是随机变量,若存在一个非负
可积函数 f ( x ),使得
??????? ? ?? xttfxF x d)()(
其中 F ( x )是它的分布函数
则称 X 是 连续型随机变量, f ( x )是它的
概率密度函数 ( p.d.f,),简称为 密度函数
或 概率密度
连续型随机变量的概念
Ch2-49
-10 -5 5
0.02
0.04
0.06
0.08
x
f ( x)
x
F ( x )
分布函数与密度函数
几何意义
)( xfy ?
Ch2-50
p.d.f,f ( x )的性质
? 0)( ?xf
? 1)(d)( ????? ???? Fxxf
常利用这两个性质检验一个函数能
否作为连续性随机变量的密度函数，
? 在 f ( x ) 的连续点处，
)()( xFxf ??
f ( x ) 描述了 X 在 x 附近单位长度的
区间内取值的概率
Ch2-51
x
xFxxFxF
x ?
?
?
)()(lim)( 00
00
????
??
x
xxXxP
x ?
?
?
)(lim 00
0
????
??
)( 0xf?
??????? ? ?? xttfxF x d)()(积分
不是 Cauchy 积分，而是 Lesbesgue 意义下
的积分，所得的变上限的函数是绝对连续
的，因此几乎处处可导
)()( 000 xxXxPxxf ??????
线段质量长度密度
Ch2-52
注意, 对于连续型随机变量 X,P(X = a) = 0
其中 a 是随机变量 X 的一个可能的取值
)()(0 aXxaPaXP ?????? ?? ?? a xa xxf? d)(
? ?????? a xax xxfaXP ?? d)(lim)(0 00?
0)( ?? aXP
命题 连续随机变量取任一常数的概率为零
强调 概率为 0 (1) 的事件未必不发生 (发生 )
)( aX ? )( aXxa ???? ?0?x?事实上
Ch2-53
对于连续型随机变量 X
)( bXaP ?? )( bXaP ???
)( bXaP ???
)( bXaP ???
)()( aFbF ??
b x
f ( x)
-10 -5 5
0.02
0.04
0.06
0.08
a
?? ba xxf d)(
Ch2-54
)()()( bFbXPbXP ????
)(1)()( aFaXPaXP ?????
x
f ( x)
-10 -5 5
0.02
0.04
0.06
0.08
a
Ch2-55
例 1 已知某型号电子管的使用寿命 X 为连
续随机变量,其密度函数为
?
?
?
?
?
?
?
其他,0
1000,
)(
2
x
x
c
xf
(1) 求常数 c
(3) 已知一设备装有 3个这样的电子管,每个
电子管能否正常工作相互独立,求在使用的
最初 1500小时只有一个损坏的概率,
)2 0 0 01 5 0 01 7 0 0( ??? XXP(2) 计算
Ch2-56
解 (1) 令 1dd)(
1 0 0 0 2
?? ??
????
??
x
x
cxxf
c = 1000
)2 0 0 01 5 0 01 7 0 0( ??? XXP(2)
)20001500,1700( ???? XXP )2 0 0 01 5 0 0( ?? XP
)2 0 0 01 5 0 0( ?? XP )1 7 0 01 5 0 0( ??? XP
??
1 7 0 0
1 5 0 0 2
d10 00 x
x ?
2000
1500 2
d1000 x
x
51
4?
6
1,4706.0
51
24 ??
Ch2-57
(3)
设 A 表示一个电子管的寿命小于 1500小时
)1 5 0 00()( ??? XPAP 3
1d10001500
1000 2
?? ? xx
设在使用的最初 1500小时三个电子管中
损坏的个数为 Y ??
??
?
?
3
1,3~ B
9
4
3
2
3
1
)1()1(
2
1
33 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??? CPYP
Ch2-58
例 2 设
为使 f (x) 成为某随机变量 X 在
解 由 0)(0)( 2 ?????? cbxaxxhxf
),( ????
上的密度函数,系数 a,b,c 必须且只需
12 )()( ???? cbxaxxf
满足什么条件？
axhbaxxh 2)(,2)( ???????
当 )(02)(0 xhaxha ??????? 有最小值
abcxh 4/)( 2m i n ??
Ch2-59
另外由
04/2 ?? abc当且仅当 时
0)( 2 ???? cbxaxxh
1
4
2
)()(
2
1
2 ?
?
????
??
??
?
??? ? bac
dxcbxaxdxxf
?
得,44 22 ??? bac
所以系数 a,b,c 必须且只需满足下列条件
,0?a,04/2 ?? abc,44 22 ??? bac
Ch2-60
作业 P83 习题二
16 18
Ch2-61
(1) 均匀分布
常见的连续性随机变量的分布
若 X 的密度函数为
?
?
?
?
?
??
??
其他,0
,
1
)(
bxa
abxf
则称 X 服从区间 ( a,b)上的 均匀分布 或称
),(~ baUX
X 服从参数为 a,b的 均匀分布, 记作
Ch2-62
X 的分布函数为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
,
,0
ab
ax
bx
bxa
ax
?
??
?
,
,
? ??? x ttfxF d)()(
Ch2-63
x
f ( x)
a b
x
F( x)
ba
Ch2-64
,),(),( badc ?? x
ab
dXcP d1)(
d
c? ?
??? ab
cd
?
??
即 X 落在 (a,b)内任何长为 d – c 的小区间的
概率与小区间的位置无关,只与其长度成正
比, 这正是几何概型的情形,
进行大量数值计算时,若在小数点后第
k 位进行四舍五入,则产生的误差可以看作
服从 的随机变量 ??
??
?
? ? ?? kkU 10
2
1,10
2
1
应用场合
Ch2-65
例 3 秒表最小刻度值为 0.01秒, 若计时精
度是取最近的刻度值,求使用该表计时产
生的随机误差 X 的概率密度,并计算误差
的绝对值不超过 0.004秒的概率,
? ?005.0005.0~ ?UX
解 X 等可能地取得区间 ? ?0 0 5.00 0 5.0?
??
?
?
? ?
?
其他,0
0 0 5.0,1 0 0
)(
x
xf
8.01 0 0)0 0 4.0(
004.0
004.0
??? ?
?
dxXP所以
上的任一值，则
Ch2-66(2) 指数分布
若 X 的密度函数为
?
?
? ?
?
?
其他,0
0,
)(
xe
xf
x??
则称 X 服从 参数为 ?的 指数分布
)(~ ?EX记作
X 的分布函数为 ??
?
??
?
? ?
0,1
0,0
)(
xe
x
xF x?
?? > 0 为常数
Ch2-67
1
x
F( x)
0
x
f ( x)
0
Ch2-68对于任意的 0 < a < b,
ba
b
a
x
ee
aFbF
xebXaP
??
?
?
??
?
??
??
??? ?
)()(
d)(
应用场合 用指数分布描述的实例有：
随机服务系统中的服务时间
电话问题中的通话时间
无线电元件的寿命
动物的寿命
指数分布
常作为各种“寿命”
分布的近似
Ch2-69
若 X ~Ｅ (?),则
故又把指数分布称为“永远年轻”的分布
)()( tXPsXtsXP ?????
指数分布的,无记忆性,
事实上
)(
)(
)(
),()(
sXP
tsXP
sXP
sXtsXPsXtsXP
?
???
?
???????
)(
)(1
)(1
)(1
)(1 )(
tXPe
e
e
sF
tsF
sXP
tsXP t
s
ts
????
?
??
?
??
???
? ??
??
?
?
?
命题
Ch2-70
解 (1) )()( tTPtF T ??
?
?
?
???
?
?
0),(1
0,0
ttTP
t
)0)(()( ??? tNPtTP
t
t
eet ?
??
?
?
??
!0
)( 0
例 4 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内
发生故障的次数 N( t ) ~ (?t),求?
(1)相继两次故障的时间间隔 T 的概率分布 ;
(2)设备已正常运行８小时的情况下,再正常
运行 10 小时的概率,
Ch2-71
?
?
?
??
?
? ?
0,1
0,0
)(
te
t
tF t?
?
?
?
?
?
? ?
0,
0,0
)(
te
t
tf t?
?
即 )(~ ?ET
)8108()818( ?????? TTPTTP
?10)10( ???? eTP
(2) 由指数分布的“无记忆性”
Ch2-72
(3) 正态分布
若 X 的密度函数为
???????
??
xexf
x
2
2
2
)(
2
1)( ? ?
??
则称 X 服从参数为 ?,? 2 的 正态分布
记作 X ~ N ( ?,? 2 )
??,为常数,0?? 亦称高斯(Gauss)分布
Ch2-73
N (-3,1.2 )
-6 -5 -4 -3 -2 -1
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
3???
Ch2-74
f (x) 的性质,
?图形关于直线 x = ?对称,即
在 x = ?时,f (x) 取得最大值 ??2
1
在 x = ?± ? 时,曲线 y = f (x) 在对应的
点处有拐点
曲线 y = f (x) 以 x 轴为渐近线
曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状
f (? + x) = f (? - x)
Ch2-75
2
1
)()(1
)()(
?
????
??
??
??
XPF
FXP
-6 -5 -4 -3 -2 -1
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Ch2-76? f ( x) 的两个参数：
?— 位置参数
即固定 ?,对于不同的 ?,对应的 f (x)
的形状不变化，只是位置不同
? — 形状参数
固定 ?,对于不同的 ?, f ( x) 的形状不同,
若 ?1< ?2 则 21 2
1
2
1
???? ?
比 x=???2 所对应的拐点更靠近直线 x=?
附近值的概率更大, x = ???1 所对应的 拐点
前者取 ?
Ch2-77
Show[fn1,fn3]
?大
?小
-6 -5 -4 -3 -2 -1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
几何意义 ? 大小与曲线陡峭程度成反比
数据意义 ? 大小与数据分散程度成正比
Ch2-78
正态变量的条件
若随机变量 X
① 受众多相互独立的随机因素影响
② 每一因素的影响都是微小的
③ 且这些正、负影响可以叠加
则称 X 为正态随机变量
Ch2-79
可用正态变量描述的实例极多：
各种测量的误差； 人体的生理特征；
工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；
海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度；
热噪声电流强度； 学生的考试成绩；
?? ??
一种重要的正态分布
???????
?
xex
x
2
2
2
1)(
?
?
是偶函数,分布函数记为
???????? ?
??
?
xtex
x
t
d
2
1
)( 2
2
?
其值有专门的表供查,
—— 标准正态分布 N (0,1)
密度函数
Ch2-81
5.0)0( ??
-3 -2 -1 1 2 3
0.1
0.2
0.3
0.4
)(1)( xx ?? ???
1)(2)|(| ??? aaXP ?
Ch2-82
-x x
)(1)( xx ?? ???
1)(2)|(| ??? aaXP ?
-3 -2 -1 1 2 3
0.1
0.2
0.3
0.4
Ch2-83
对一般的正态分布, X ~ N ( ?,? 2)
其分布函数 ? ??
??
? x
t
texF d2 1)( 2
2
2
)(
?
?
??
作变量代换 ???? ts ??
??
?
? ??
?
?? xxF )(
?
?
?
?
?
? ??
?
?
?
?
?
? ??
????
?
?
?
?
?
?
ab
aFbFbXaP )()()(
?
?
?
?
?
? ???
???
?
?
?
a
aFaXP
1
)(1)(
Ch2-84
例 5设 X ~ N(1,4),求 P (0 ? X ? 1.6)
解 ??
??
?
? ???
?
??
?
? ????
2
10
2
16.1)6.10( ??XP
? ? ? ?5.03.0 ??? ??
? ? ? ?]5.01[3.0 ?? ???
]6 9 1 5.01[6 1 7 9.0 ???
3094.0?
P380 附表 3
Ch2-85
例 6 已知 ),2(~ 2?NX 且 P( 2 < X < 4 ) = 0.3,
求 P ( X < 0 ).
解一 ??
??
?
? ???
??
20)0( XP ?
?
??
?
???
??
21
?????? ???????? ???? ???? 2224)42( XP
)0(2 ?
?
? ??
?
??
?
??
3.0?
8.02 ??
?
??
?
?
?
?
2.0)0( ??XP
Ch2-86
解二 图解法
0.2
2.0)0( ??XP
由图
-2 2 4 6
0.05
0.1
0.15
0.2
0.3
Ch2-87例 3? 原理
设 X ~ N ( ?,? 2),求 )3|(| ?? ??XP
解 )33()3|(| ?????? ??????? XPXP
?????? ????????? ??? ? ????? ???? 33
? ? ? ?33 ??? ?? ? ?
132 ?? ? 19 98 7.02 ??? 9974.0?
一次试验中,X 落入区间 ( ? - 3?,? +3? )
的概率为 0.9974,而超出此区间可能性很小
由 3?原理知,
1)(3,0)(3 ??????? bbaa 时时当
Ch2-88标准正态分布的 上 ? 分位数 z
?
设 X ~ N (0,1),0 < ? < 1,称满足
?? ?? )( zXP
的点 z?为 X 的 上 ? 分位数
z?
?
常用
数据
645.105.0 ?z
96.10 2 5.0 ?z
-3 -2 -1 1 2 3
0.1
0.2
0.3
0.4
Ch2-89
例 7设测量的误差 X ~ N(7.5,100)(单位,米 )
问要进行多少次独立测量，才能使至
少有一次误差的绝对值不超过 10米的
概率大于 0.9?
解 ?
?
??
?
? ????
?
??
?
? ???
10
5.710
10
5.710)10|(| ??XP
? ? ? ?75.125.0 ??? ??
? ? ? ? ]75.11[25.0 ?? ???
5586.0?
Ch2-90
设 A 表示进行 n 次独立测量至少有一次
误差的绝对值不超过 10米
9.0)5 5 8 6.01(1)( ???? nAP
n > 3
故至少要进行 4 次独立测量才能满足
要求,
Ch2-91
作业 P 84 习题二
22 24
26 27
Ch2-92
第 6 周
问 题
上海某年有 9万名高中毕业生
参加高考,结果有 5.4万名被各类高
校录取, 考试满分为 600分,540分
以上有 2025人,360分以下有 13500
人, 试估计高校录取最低分,
Ch2-93
在高为 h 的 ABC 中任取一点
M,点 M 到 AB 的距离为随机变量
X,如何求其密度函数 f (x)？
A B
C
h.M
思考 题附录
Ch2-94
§ 2.3 连续型随机变量
定义 设 X 是随机变量,若存在一个非负
可积函数 f ( x ),使得
??????? ? ?? xttfxF x d)()(
其中 F ( x )是它的分布函数
则称 X 是 连续型随机变量, f ( x )是它的
概率密度函数 ( p.d.f,),简称为 密度函数
或 概率密度
连续型随机变量的概念
Ch2-49
-10 -5 5
0.02
0.04
0.06
0.08
x
f ( x)
x
F ( x )
分布函数与密度函数
几何意义
)( xfy ?
Ch2-50
p.d.f,f ( x )的性质
? 0)( ?xf
? 1)(d)( ????? ???? Fxxf
常利用这两个性质检验一个函数能
否作为连续性随机变量的密度函数，
? 在 f ( x ) 的连续点处，
)()( xFxf ??
f ( x ) 描述了 X 在 x 附近单位长度的
区间内取值的概率
Ch2-51
x
xFxxFxF
x ?
?
?
)()(lim)( 00
00
????
??
x
xxXxP
x ?
?
?
)(lim 00
0
????
??
)( 0xf?
??????? ? ?? xttfxF x d)()(积分
不是 Cauchy 积分，而是 Lesbesgue 意义下
的积分，所得的变上限的函数是绝对连续
的，因此几乎处处可导
)()( 000 xxXxPxxf ??????
线段质量长度密度
Ch2-52
注意, 对于连续型随机变量 X,P(X = a) = 0
其中 a 是随机变量 X 的一个可能的取值
)()(0 aXxaPaXP ?????? ?? ?? a xa xxf? d)(
? ?????? a xax xxfaXP ?? d)(lim)(0 00?
0)( ?? aXP
命题 连续随机变量取任一常数的概率为零
强调 概率为 0 (1) 的事件未必不发生 (发生 )
)( aX ? )( aXxa ???? ?0?x?事实上
Ch2-53
对于连续型随机变量 X
)( bXaP ?? )( bXaP ???
)( bXaP ???
)( bXaP ???
)()( aFbF ??
b x
f ( x)
-10 -5 5
0.02
0.04
0.06
0.08
a
?? ba xxf d)(
Ch2-54
)()()( bFbXPbXP ????
)(1)()( aFaXPaXP ?????
x
f ( x)
-10 -5 5
0.02
0.04
0.06
0.08
a
Ch2-55
例 1 已知某型号电子管的使用寿命 X 为连
续随机变量,其密度函数为
?
?
?
?
?
?
?
其他,0
1000,
)(
2
x
x
c
xf
(1) 求常数 c
(3) 已知一设备装有 3个这样的电子管,每个
电子管能否正常工作相互独立,求在使用的
最初 1500小时只有一个损坏的概率,
)2 0 0 01 5 0 01 7 0 0( ??? XXP(2) 计算
Ch2-56
解 (1) 令 1dd)(
1 0 0 0 2
?? ??
????
??
x
x
cxxf
c = 1000
)2 0 0 01 5 0 01 7 0 0( ??? XXP(2)
)20001500,1700( ???? XXP )2 0 0 01 5 0 0( ?? XP
)2 0 0 01 5 0 0( ?? XP )1 7 0 01 5 0 0( ??? XP
??
1 7 0 0
1 5 0 0 2
d10 00 x
x ?
2000
1500 2
d1000 x
x
51
4?
6
1,4706.0
51
24 ??
Ch2-57
(3)
设 A 表示一个电子管的寿命小于 1500小时
)1 5 0 00()( ??? XPAP 3
1d10001500
1000 2
?? ? xx
设在使用的最初 1500小时三个电子管中
损坏的个数为 Y ??
??
?
?
3
1,3~ B
9
4
3
2
3
1
)1()1(
2
1
33 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??? CPYP
Ch2-58
例 2 设
为使 f (x) 成为某随机变量 X 在
解 由 0)(0)( 2 ?????? cbxaxxhxf
),( ????
上的密度函数,系数 a,b,c 必须且只需
12 )()( ???? cbxaxxf
满足什么条件？
axhbaxxh 2)(,2)( ???????
当 )(02)(0 xhaxha ??????? 有最小值
abcxh 4/)( 2m i n ??
Ch2-59
另外由
04/2 ?? abc当且仅当 时
0)( 2 ???? cbxaxxh
1
4
2
)()(
2
1
2 ?
?
????
??
??
?
??? ? bac
dxcbxaxdxxf
?
得,44 22 ??? bac
所以系数 a,b,c 必须且只需满足下列条件
,0?a,04/2 ?? abc,44 22 ??? bac
Ch2-60
作业 P83 习题二
16 18
Ch2-61
(1) 均匀分布
常见的连续性随机变量的分布
若 X 的密度函数为
?
?
?
?
?
??
??
其他,0
,
1
)(
bxa
abxf
则称 X 服从区间 ( a,b)上的 均匀分布 或称
),(~ baUX
X 服从参数为 a,b的 均匀分布, 记作
Ch2-62
X 的分布函数为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
,
,0
ab
ax
bx
bxa
ax
?
??
?
,
,
? ??? x ttfxF d)()(
Ch2-63
x
f ( x)
a b
x
F( x)
ba
Ch2-64
,),(),( badc ?? x
ab
dXcP d1)(
d
c? ?
??? ab
cd
?
??
即 X 落在 (a,b)内任何长为 d – c 的小区间的
概率与小区间的位置无关,只与其长度成正
比, 这正是几何概型的情形,
进行大量数值计算时,若在小数点后第
k 位进行四舍五入,则产生的误差可以看作
服从 的随机变量 ??
??
?
? ? ?? kkU 10
2
1,10
2
1
应用场合
Ch2-65
例 3 秒表最小刻度值为 0.01秒, 若计时精
度是取最近的刻度值,求使用该表计时产
生的随机误差 X 的概率密度,并计算误差
的绝对值不超过 0.004秒的概率,
? ?005.0005.0~ ?UX
解 X 等可能地取得区间 ? ?0 0 5.00 0 5.0?
??
?
?
? ?
?
其他,0
0 0 5.0,1 0 0
)(
x
xf
8.01 0 0)0 0 4.0(
004.0
004.0
??? ?
?
dxXP所以
上的任一值，则
Ch2-66(2) 指数分布
若 X 的密度函数为
?
?
? ?
?
?
其他,0
0,
)(
xe
xf
x??
则称 X 服从 参数为 ?的 指数分布
)(~ ?EX记作
X 的分布函数为 ??
?
??
?
? ?
0,1
0,0
)(
xe
x
xF x?
?? > 0 为常数
Ch2-67
1
x
F( x)
0
x
f ( x)
0
Ch2-68对于任意的 0 < a < b,
ba
b
a
x
ee
aFbF
xebXaP
??
?
?
??
?
??
??
??? ?
)()(
d)(
应用场合 用指数分布描述的实例有：
随机服务系统中的服务时间
电话问题中的通话时间
无线电元件的寿命
动物的寿命
指数分布
常作为各种“寿命”
分布的近似
Ch2-69
若 X ~Ｅ (?),则
故又把指数分布称为“永远年轻”的分布
)()( tXPsXtsXP ?????
指数分布的,无记忆性,
事实上
)(
)(
)(
),()(
sXP
tsXP
sXP
sXtsXPsXtsXP
?
???
?
???????
)(
)(1
)(1
)(1
)(1 )(
tXPe
e
e
sF
tsF
sXP
tsXP t
s
ts
????
?
??
?
??
???
? ??
??
?
?
?
命题
Ch2-70
解 (1) )()( tTPtF T ??
?
?
?
???
?
?
0),(1
0,0
ttTP
t
)0)(()( ??? tNPtTP
t
t
eet ?
??
?
?
??
!0
)( 0
例 4 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内
发生故障的次数 N( t ) ~ (?t),求?
(1)相继两次故障的时间间隔 T 的概率分布 ;
(2)设备已正常运行８小时的情况下,再正常
运行 10 小时的概率,
Ch2-71
?
?
?
??
?
? ?
0,1
0,0
)(
te
t
tF t?
?
?
?
?
?
? ?
0,
0,0
)(
te
t
tf t?
?
即 )(~ ?ET
)8108()818( ?????? TTPTTP
?10)10( ???? eTP
(2) 由指数分布的“无记忆性”
Ch2-72
(3) 正态分布
若 X 的密度函数为
???????
??
xexf
x
2
2
2
)(
2
1)( ? ?
??
则称 X 服从参数为 ?,? 2 的 正态分布
记作 X ~ N ( ?,? 2 )
??,为常数,0?? 亦称高斯(Gauss)分布
Ch2-73
N (-3,1.2 )
-6 -5 -4 -3 -2 -1
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
3???
Ch2-74
f (x) 的性质,
?图形关于直线 x = ?对称,即
在 x = ?时,f (x) 取得最大值 ??2
1
在 x = ?± ? 时,曲线 y = f (x) 在对应的
点处有拐点
曲线 y = f (x) 以 x 轴为渐近线
曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状
f (? + x) = f (? - x)
Ch2-75
2
1
)()(1
)()(
?
????
??
??
??
XPF
FXP
-6 -5 -4 -3 -2 -1
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Ch2-76? f ( x) 的两个参数：
?— 位置参数
即固定 ?,对于不同的 ?,对应的 f (x)
的形状不变化，只是位置不同
? — 形状参数
固定 ?,对于不同的 ?, f ( x) 的形状不同,
若 ?1< ?2 则 21 2
1
2
1
???? ?
比 x=???2 所对应的拐点更靠近直线 x=?
附近值的概率更大, x = ???1 所对应的 拐点
前者取 ?
Ch2-77
Show[fn1,fn3]
?大
?小
-6 -5 -4 -3 -2 -1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
几何意义 ? 大小与曲线陡峭程度成反比
数据意义 ? 大小与数据分散程度成正比
Ch2-78
正态变量的条件
若随机变量 X
① 受众多相互独立的随机因素影响
② 每一因素的影响都是微小的
③ 且这些正、负影响可以叠加
则称 X 为正态随机变量
Ch2-79
可用正态变量描述的实例极多：
各种测量的误差； 人体的生理特征；
工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；
海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度；
热噪声电流强度； 学生的考试成绩；
?? ??
一种重要的正态分布
???????
?
xex
x
2
2
2
1)(
?
?
是偶函数,分布函数记为
???????? ?
??
?
xtex
x
t
d
2
1
)( 2
2
?
其值有专门的表供查,
—— 标准正态分布 N (0,1)
密度函数
Ch2-81
5.0)0( ??
-3 -2 -1 1 2 3
0.1
0.2
0.3
0.4
)(1)( xx ?? ???
1)(2)|(| ??? aaXP ?
Ch2-82
-x x
)(1)( xx ?? ???
1)(2)|(| ??? aaXP ?
-3 -2 -1 1 2 3
0.1
0.2
0.3
0.4
Ch2-83
对一般的正态分布, X ~ N ( ?,? 2)
其分布函数 ? ??
??
? x
t
texF d2 1)( 2
2
2
)(
?
?
??
作变量代换 ???? ts ??
??
?
? ??
?
?? xxF )(
?
?
?
?
?
? ??
?
?
?
?
?
? ??
????
?
?
?
?
?
?
ab
aFbFbXaP )()()(
?
?
?
?
?
? ???
???
?
?
?
a
aFaXP
1
)(1)(
Ch2-84
例 5设 X ~ N(1,4),求 P (0 ? X ? 1.6)
解 ??
??
?
? ???
?
??
?
? ????
2
10
2
16.1)6.10( ??XP
? ? ? ?5.03.0 ??? ??
? ? ? ?]5.01[3.0 ?? ???
]6 9 1 5.01[6 1 7 9.0 ???
3094.0?
P380 附表 3
Ch2-85
例 6 已知 ),2(~ 2?NX 且 P( 2 < X < 4 ) = 0.3,
求 P ( X < 0 ).
解一 ??
??
?
? ???
??
20)0( XP ?
?
??
?
???
??
21
?????? ???????? ???? ???? 2224)42( XP
)0(2 ?
?
? ??
?
??
?
??
3.0?
8.02 ??
?
??
?
?
?
?
2.0)0( ??XP
Ch2-86
解二 图解法
0.2
2.0)0( ??XP
由图
-2 2 4 6
0.05
0.1
0.15
0.2
0.3
Ch2-87例 3? 原理
设 X ~ N ( ?,? 2),求 )3|(| ?? ??XP
解 )33()3|(| ?????? ??????? XPXP
?????? ????????? ??? ? ????? ???? 33
? ? ? ?33 ??? ?? ? ?
132 ?? ? 19 98 7.02 ??? 9974.0?
一次试验中,X 落入区间 ( ? - 3?,? +3? )
的概率为 0.9974,而超出此区间可能性很小
由 3?原理知,
1)(3,0)(3 ??????? bbaa 时时当
Ch2-88标准正态分布的 上 ? 分位数 z
?
设 X ~ N (0,1),0 < ? < 1,称满足
?? ?? )( zXP
的点 z?为 X 的 上 ? 分位数
z?
?
常用
数据
645.105.0 ?z
96.10 2 5.0 ?z
-3 -2 -1 1 2 3
0.1
0.2
0.3
0.4
Ch2-89
例 7设测量的误差 X ~ N(7.5,100)(单位,米 )
问要进行多少次独立测量，才能使至
少有一次误差的绝对值不超过 10米的
概率大于 0.9?
解 ?
?
??
?
? ????
?
??
?
? ???
10
5.710
10
5.710)10|(| ??XP
? ? ? ?75.125.0 ??? ??
? ? ? ? ]75.11[25.0 ?? ???
5586.0?
Ch2-90
设 A 表示进行 n 次独立测量至少有一次
误差的绝对值不超过 10米
9.0)5 5 8 6.01(1)( ???? nAP
n > 3
故至少要进行 4 次独立测量才能满足
要求,
Ch2-91
作业 P 84 习题二
22 24
26 27
Ch2-92
第 6 周
问 题
上海某年有 9万名高中毕业生
参加高考,结果有 5.4万名被各类高
校录取, 考试满分为 600分,540分
以上有 2025人,360分以下有 13500
人, 试估计高校录取最低分,
Ch2-93
在高为 h 的 ABC 中任取一点
M,点 M 到 AB 的距离为随机变量
X,如何求其密度函数 f (x)？
A B
C
h.M
思考 题附录
Ch2-94
