多
维
分
布
习
题
课
第
章
三
2
二维随机变量的函数的分布
),(),( yxfYX ~ cbYaXZ ??? 的 p.d.f,
或
dx
b
caxz
xf
b
zf Z ?
?
??
?
?
?
?
?
? ???,1)(
dyy
a
cbyz
f
a
zf Z ?
?
??
?
?
?
?
?
? ??
?,
1
)(
3
3-22
dy
yyz
y 22 1000
)(
1000 ??? ? ?
??
??
?
?
?
?
?
?? ?
?
1
2
1
10
1 0 0 0
2
1 0 0 0 23
2
z
z
z
dy
zy
？
1000
？？
正确解法
Z 轴上
的分界
点是如
何得到
的？
?)( zf Z dyyfyzfy
YX )()(?
?
??
(1)
考虑 (1)中被积函数为非零情形
4
?
?
?
?
?
1 0 0 0
1 0 0 0
y
yz
当 0,)(
1 0 0 0
1 0 0 0
???
??
?
?
?
?
?
YX ff
y
z
y 时即
zyz
1000)(10 ???? 的解为时，当
1 0 0 0)(1 ??? yz 的解为时，当
0)(00 ???? zffz ZX时，当
?)( zf Z
10
2
11 0 0 0
)(
1 0 0 0
221 0 0 0 ??????
?
zdy
yyz
y
Z
1
2
11 0 0 0
)(
1 0 0 0
2221 0 0 0 ?????
?
z
z
dy
yyz
y
00 ?z
5
3-23
d x d yezYXPzF
zyx
Z
yx
??
??
? ?
????
22
22
22
2
22
2
1
)()( ?
??
r d red
rz
22
22
0 0 22
1
?
?
??
?
?
? ?? r d re
rz
22
2
02
1
?
?
?
??
01 22
2
??? ? ze
z
?
00)( ?? zzF Z
00 ?z
??? )()( zFzf ZZ
022
2
2 ?
?
ze
z z
?
?
解法一
6
解法二 仿书 P.125 的推导,得 的
概率密度函数为
22 YXZ ??
?)( zf Z
0)s i n()co s(2
0
?? zdzfzfz YX ????
00 ?z
022
2
2 ??
?
zez
z
?
?
00 ?z
?)( zf Z
022
2
2 ?
?
zez
z
?
?从而
?)( zf Z
?
??
???
? dez
z )s i n( c o s
2
2
0
22
22
2
2
1 ???
于是
7
独立（其逆不真）独立 22,,YXYX ?
反例
?),(~),( yxfYX
1,141 ??? yxxy
其他0
?? )( 2 xXP 10)
4
1( 1
1
????? ?
? ?
xxdudyuyx
x
00 ?x
11 ?x
由对称性
?? )( 2 yYP 10 ?? yy
00 ?y
11 ?y
8
??? ),( 22 yYxXP
1,10 ??? yxx
000 ?? yx 或
1,11 ?? yx
10,1 ??? yxy
10,10 ???? yxxy
对一切实数 x,y 恒有
??? ),( 22 yYxXP )( 2 xXP ? )( 2 yYP ?