§ 3.2 二维随机变量的条件分布
—— 将条件概率概念推广到随机变量
?,2,1,,),( ???? jipyYxXP ijji
设二维离散型 r.v.( X,Y )的分布
若 0)(
1
???? ?
?
?
?
j
ijii pxXPp
则称
?
?
?
??
i
ij
i
ji
p
p
xXP
yYxXP
)(
),(
为 在 X = xi 的条件下,Y 的条件分布律
?,2,1?j
)( ij xXyYP ???
记作
二维离散 r.v.的条件分布律
若,0)(
1
???? ?
?
?
?
i
ijjj pyYPp
则称
j
ij
j
ji
p
p
yYP
yYxXP
?
?
?
??
)(
),(
为 在 Y = yj 的条件下 X 的条件分布律
?,2,1?i
)( ji yYxXP ???
记作
类似乘法公式
)()(),( ijiji xXyYPxXPyYxXP ??????
)()( jij yYxXPyYP ????
或
?,2,1,?ji
类似于全概率公式 ),()(
11
??
?
?
?
?
?????
j
ji
j
iji yYxXPpxXP
)()(
1
j
j
ji yYPyYxXP ???? ?
?
? ?,2,1?i
),()(
11
??
?
?
?
?
?????
i
ji
i
ijj yYxXPpyYP
)()(
1
i
i
ij xXPxXyYP ???? ?
?
? ?,2,1?j
例 1 把三个球等可能地放入编号为 1,2,3
的三个盒子中,每盒可容球数无限, 记 X
为落入 1 号盒的球数,Y 为落入 2 号盒的
球数，求条件分布
1,0?j
P (X = i | Y = 0 )
P (Y = j | X = 2 );3,2,1,0?i
解 先求联合分布，
)()(),( iXjYPiXPjYiXP ?????? jij
j
i
ii
i CC
??
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
3
3
3
3 2
1
1
2
1
3
2
3
1;3,2,1,0;3,,0 ??? iij ?
其联合分布与边缘分布如下表所示
X
Y
pij 0 1 2 3
0
1
2
3
27
1 27
1
27
1
27
1
9
1
9
1
27
1
0
0
0
9
1
9
1
0
0
9
1
9
1
9
2
0
pi? 27
8
27
8
9
2
9
2
9
4
9
4
1
p? j
X
)0( ?? YiXP
0 1 2 3
8/1 8/3
Y
)2( ?? XjYP
0 1
8/18/3
2/1 2/1
由此得条件分布
例 2 一射手进行独立射击,已知每次击中目
标的概率为 p ( 0 < p < 1 ),射击一直进行到
击中两次目标为止, 令 X 表示他首次击中目
标所进行射击的次数,Y 表示他总共进行射
击的次数, 求 X 和 Y 的联合分布律、条件分
布律和边缘分布律,
解
)( nY ?—— 第 n 次击中目标,前 n – 1 次恰
有一次击中目标
边缘分布律为 ??
??
????
1
22 )1()(
mn
nppmXP
?,2,1?m ??
?
????
1
1
22 )1()(
n
m
nppnYP
?,3,2?n
1
12
)1(
)1(1
)1( ?? ??
??
?? mm pp
p
pp
22 )1()1( ???? nppn
故联合分布律为
22 )1(),( ????? nppnYmXP
??,3,2;1,,2,1 ??? nnm
),2,1;,2,1( ?? ???? mmnm
条件分布律为
)(
),(
)(
nYP
nYmXP
nYmXP
?
??
???
1,,2,1 ?? nm ?
),3,2( ??n
1
1
)1()1(
)1(
22
22
?
?
??
?
?
?
?
nppn
pp
n
n
对每个 n,
)(
),(
mXP
nYmXP
?
??
?
对每个 m,),2,1( ??m
1
1
22
)1(
)1(
)1( ??
?
?
??
?
?
? mn
m
n
pp
pp
pp
?,2,1 ??? mmn
)( mXnYP ??
二维连续型 r.v.的
条件分布和条件密度
()ijP X x Y y??当 X 连续时,条件分布不能用
来定义,因为,( ) 0
ijP X x Y y? ? ?
()P X x Y y??来定义,
而应该用
)(
),(
)(
yYyyP
yYyyxXP
yYyyxXP
????
?????
?
?????
x
y - ?y
y
)()(
),(),(
yyFyF
yyxFyxF
YY ?
?
??
??
?
? ?
? ? )()()(
)(),(),(
yyFyyF
yyxFyyxF
YY ?????
?????
?
?y
设 0?y?
x
y -?y
y
dy
ydF
y
yxF
Y
)(
),(
?
?
?
)(
),(
yf
duyuf
Y
x
? ??
?
连续
连续
,0)(
),(
?yf
yxf
Y
)(
d e f.
yYxXP ???
? ?
? ? )()()(
)(),(),(
lim
0 yyFyyF
yyxFyyxF
YY
y ?????
?????
???
若 f (x,y) 在点 (x,y) 连续,f Y (y)在点 y
处连续且 f Y (y) > 0,则称
dy
ydF
y
yxF
Y
)(
),(
?
?
)(
),(
yf
duyuf
Y
x
? ???
?
?
??
??
???
duyuf
duyuf
x
),(
),(
? ???
x
Y
du
yf
yuf
)(
),(
为 Y = y 的条件下 X 的条件分布函数,记作
()XYF x y
定义
? ???
x
Y
du
yf
yuf
)(
),(
类似地,称 ?
??
? y
X
dv
xf
vxf
)(
),(
为 X = x 的条件下 Y 的条件分布函数 ;
()YXF y x
(,)
()X
f x y
fx
?
为 X = x 的条件下 Y 的条件概率密度函数,
)( xyf XY
(,)
()Y
f x y
fy
?
称
为 Y = y 的条件下 X 的条件概率密度函数,
( yxf YX
称
注意
y是常数,对每一 fY (y) >0 的 y 处,只要
符合定义的条件,都能定义相应的函数,
),( xyF XY )( xyf XY 相仿论述,
0)()()(),( ?? xfxyfxfyxf XXYX
0)()()( ?? yfyxfyf YYXY
),( yxF YX )( yxf YX 仅是 x 的函数,
类似于乘法公式：
类似于全概率公式
?? ???????? ?? dyyfyxfdyyxfxf YYXX )()(),()(
?? ???????? ?? dxxfxyfdxyxfyf XXYY )()(),()(
类似于 Bayes公式
)(
),(
yf
yxf
Y
? )( yxf
YX )(
)()(
yf
xfxyf
Y
XXY?
)(
),(
xf
yxf
X
? )( xyf XY )(
)()(
xf
yfyxf
X
YYX?
例 3 已知 (X,Y )服从圆域 x2 + y2 ? r2 上的均匀
分布,求 ),( yxf YX ).( xyf XY
r
解
??
?
?
? ??
?
其他,0
,
1
),(
222
2 ryxryxf ?
? ????? dyyxfxf X ),()( rxrdy
r
xr
xr ????
??
??,
122
22 2?
22 xr ??
22 xr ?? ?
x
??
?
?
?
???
?
?
其他,0
,
2
2
22
rxr
r
xr
?
-r
其他,0=
同理，
? ????? dxyxfyf Y ),()(
??
?
?
?
???
?
?
其他,0
,
2
2
22
ryr
r
yr
?
边缘分布不是均匀分布！
)(
),(
yf
yxf
Y
? )( yxf
YX
当 – r < y < r 时，
??
?
?
?
?????
??
其他,0
,
2
1 2222
22
yrxyr
yr
22 yr ??
? ?
22 yr ?
y
— 这里 y 是常数，当 Y = y 时,? ?
2222,~ yryrUX ???
)(
),(
xf
yxf
X
? )( xyf
XY
当 – r < x < r 时，
??
?
?
? ?????
??
其他,0
,
2
1 2222
22
xryxr
xr
— 这里 x 是常数，当 X = x 时，
? ?2222,~ xrxrUY ???
22 xr ??
22 xr ?? ?
x
例 4 已知 ? ?????? ;,;,~),( 222211NYX
求 )( yxf YX
解
)( yxf YX )(
),(
yf
yxf
Y
?
2
2
2
2
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
)(
2
)())((
2
)(
)1(2
1
2
21
2
1
12
1
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
??
????
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
??
?
?
?
?
?
?
y
yyxx
e
e
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
)()(
)1(2
1
2
1
2
2
1
122
1
12
1 ??
?
??
??
???
yx
e
同理，
)( xyf XY ??
??
?
? ??? )1(),(~ 22
21
1
2
2 ????
??? xN
?
?
?
?
?
?
??? )1(),(~ 2212
2
1
1 ????
?
?? yN)( yxf
YX
例 5 设
?
?
? ?????
其他,0
10,0,8
),(
yyxxy
yxf
求 )( yxf YX )(,xyf XY
解 1
1
??
?
?
? ??
? ?
其他,0
10,8)(
1
xx y d yxf
xX
?
?
? ???
?
其他,0
10),1(4 2 xxx
1
1
?
?
? ??
? ?
其他,0
10,8)(
0
yxy d xyf
y
Y
?
?
? ???
其他,0
10,4 3 yy
当 0 < y < 1 时，
)( yxf YX )(
),(
yf
yxf
Y
?
y
??
?
?
? ??
?
其他,0
0,
2
2
yx
y
x
当 0 < x < 1 时，
1
1x
)(
),(
xf
yxf
X
? )( xyf
XY ??
?
?
? ??
??
其他,0
1,
1
2
2 yxx
y
例 6 已知
)( xyf XY ?
?
?
?
?
??
??
其他,0
1,
1
2
2
yx
x
y
?
?
? ???
?
其他,0
10),1(4
)(
2 xxx
xf X
求 ??
??
?
? ?????
2
1
3
2),5.0(),1( XYPYPYXP
解
1
1
)()(),( xfxyfyxf XXY?
当 f X(x) > 0 时，即 0 < x < 1 时，
?
?
? ???
其他,0
1,8 yxxy
当 f X(x) = 0 时,f (x,y) = 0
故
?
?
? ?????
其他,0
10,0,8),( yyxxyyxf
x + y =1
)1( ?? YXP
)5.0( ?YP
1
1
0.5 ?? ??
y
y xyd xdy 1
1
5.0 86
5?
1
1
0.5? ?? 21
0 0
8y xyd xdy16
1?
?
?
?
?
?
? ??
2
1
3
2
XYP 1
10.5
3
2
? ?? ???????
32
2
1
dyyf XY
? ?? ??
32
21 25.01
2 dyy
?? 32 21 38 dyy
27
7?
作业 P.133习题三
16 17
证明
讨论 上述逆命题是否成立？
独立独立 22,,YXYX ?
并说明理由,
第 9 周 问 题