《数理统计》
——
对随机现象进行观测、试验，
以取得有代表性的观测值
——
对已取得的观测值进行整理、
分析,作出推断、决策,从而
找出所研究的对象的规律性
数
理
统
计
的
分
类
描述统计学
推断统计学
第六章 数理统计的基本概念
数参估计 (第七章 )
假设检验 (第八章 )
回归分析 (第九章 )
方差分析 (第九章 )
推断
统计学
美国经济学家罗伯特 恩格尔
(Robert F,Engle 1942 ~)
?
英国经济学克莱夫 格兰杰
(Clive Granger 1934 ~)
?
共同获得
2003年诺贝尔经济学奖
20 世纪 80 年代两位获奖者
发明了新的统计方法来处理许多
经济时间数列中两个关键属性：
易 变 性随时间变化的
非稳定性
恩格尔 研究方向主要是
利率、汇率和期权的金融计量分析
格兰杰 的研究涉及
统计和经济计量学
时间序列分析、预测、金融、人
口统计学、方法论等领域,
提出谱分析回归等创新性统计方法
特别是
总体 —— 研究对象全体元素组成的集合
所研究的对象的某个 (或某些 )数量指
标的全体,它是一个随机变量 (或多维随机
变量 ).记为 X,
X 的分布函数和数字特征称为总体的
分布函数和数字特征,
总体和样本
§ 6.1 基本概
念
样本 —— 从总体中抽取的部分个体,
称 为总体 X 的一个容量为 n
的样本观测值,或称样本的一个实现,
),,,( 21 nxxx ?
),,,( 21 nXXX ?用 表示,n 为 样本 容量,
样本空间 —— 样本所有可能取值的集合,
个体 —— 组成总体的每一个元素
即总体的每个数量指标,可看作随机
变量 X 的某个取值,用 表示,
iX
若总体 X 的 样本 满足, ),,,( 21 nXXX ?
一般,对有限总体,放回抽样所得到的样
本为简单随机样本,但使用不方便,常用
不放回抽样代替,而代替的条件是
nXXX,,,21 ?(1) 与 X 有相同的分布
nXXX,,,21 ?(2) 相互独立
),,,( 21 nXXX ?则称 为 简单随机样本,
简单随机样本
N / n ? 10.
总体中个体总数 样本容量
设总体 X 的分布函数为 F (x),则样本
?
?
?
n
i
in xFxxxF
1
21 )(),,,( ?总
若总体 X 的密 d.f.为 f( x),则 样本
?
?
?
n
i
in xfxxxf
1
21 )(),,,( ?总
的联合 d.f.为
),,,( 21 nXXX ?的联合分布函数为
例如 设某批产品共有 N 个,其中的次品
数为 M,其次品率为
NMp /?
若 p 是未知的,则可用抽样方法来估计它,
?
?
?
?
所取的产品不是次品
所取的产品是次品
,0
,1
X
X 服从参数为 p 的 0-1分布,可用如下表示
方法, 1,0,)1(),( 1 ??? ? xpppxf xx
从这批产品中任取一个产品,用随机变量
X来描述它是否是次品,
设有放回地抽取一个容量为 n 的样本
),,,( 21 nXXX ?
),,,( 21 nXXX ?的联合分布为
?
?
?
?
?
??
?
?
?
n
i
i
n
i
i
xnx
n
i
in
pp
xfxxxf
11 )1(
)(),,,(
1
21总
?
),,,( 21 nxxx ?其样本值为
},,2,1,1,0),,,{( 21 nixxxx in ?? ??
样本空间为
若抽样是无放回的,则前次抽取的结果
会影响后面抽取的结果,例如
1
1)11(
12 ?
????
N
MXXP
1
)01( 12
?
???
N
MXXP
所以,当样本容量 n 与总体中个体数目 N
相比很小时,可将无放回抽样近似地看作
放回抽样,
? pp N
N
N ??
?
??
1
1
1
? pp N
N
??
?
?
11
设 是取自总体 X 的一个
样本,
),,,( 21 nXXX ?
),,,( 21 nrrrg ?
),,,( 21 nxxxg ?
为一实值连续函数,且不含有未知参数,
),,,( 21 nXXXg ?则称随机变量 为 统计量,
),,,( 21 nxxx ?若 是一个样本值,
称
),,,( 21 nXXXg ?的 一个样本值为统计量
定义
统计量
例 是未知参数,22,,),(~ ????NX
若 ?,? 已知,则为统计量
是一样本,),,,( 21 nXXX ?
? ???
??
?
?
??
n
i
i
n
i
i XXnSXnX
1
22
1 1
1,1
是统计量,其中 ),(~ 2??NX i
则
但 ? ??
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?
n
i
iX
1
2
2
1 ?
? 不是统计量,
常用的统计量
?
?
?
n
i
iXnX
1
1)1(
为 样本均值
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?
???
n
i
i XXnS
1
22
1
1)2( 为 样本方差
? ??
?
?
?
?
n
i
i XXnS
1
2
1
1为 样本标准差
),,,( 21 nXXX ?设 是来自总体 X 的容量
为 n 的样本,称统计量
?
?
?
n
i
k
ik XnA
1
1)3( 为 样本的 k 阶 原点矩
? ??
?
??
n
i
k
ik XXnB
1
1)4( 为 样本的 k 阶 中心矩
例如
? ? 2
1
2
2
2
1
11
n
n
i
i
SXX
n
S
n
n
B
XA
???
?
?
?
?
?
(5) 顺序统计量与极差
设 ),,,( 21 nXXX ? 为样本,
),,,( 21 nxxx ? 为样本值,且 **2*1 nxxx ??? ?
当 ),,,( 21 nXXX ? 取值为 ),,,( 21 nxxx ? 时,
定义 r.v,nkxX
kk,,2,1,
*
)( ???
则称统计量 )()2()1(,,,nXXX ?为 顺序统计量,
其中,}{m a x},{m i n
1)(1)1( knknknk XXXX ???? ??
称 )1()( XXD nn ?? 为 极差
注 样本方差 与样本二阶中心矩 的不同2
nS2S
???
???
???
n
i
n
i
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n
i
i XXXX
1
2
11
2 2 22
1
2 2 XnXnX
n
i
i ??? ?
? 2
1
2 XnX
n
i
i ?? ?
? )(
2
2 XAn ??
故 22
2
2
1
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1 n
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n
nXA
n
nS
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?222 XAB ??
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i
ii
n
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i XXXXXX
1
22
1
2 )2()(推导
关系式 22
1 n
S
n
nS
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推导 设 2)(,)( ?? ?? XDXE 则? ? ???
?
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1
1
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n
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n
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? ?222 )( XEEASE n ?? ? ? ? ?? ?XEXDXnE
n
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2
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1
)( nS
n
nESE 22
1
??
?
? nES
n
n
例 1 从一批机器零件毛坯中随机地抽取
10件,测得其重量为 (单位, 公斤 ):
210,243,185,240,215,
228,196,235,200,199
求这组样本值的均值、方差、二阶原点
矩与二阶中心矩,
解 ),,,(
1021 xxx ?
令
)199,200,235,196,228
,215,240,185,243,210(?
43.4 3 3)(
9
1 10
1
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i xxs
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0.3 9 0)(
10
1
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9 10
1
22
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i xxsB
19.2 1 7
)1 9 92 0 02 3 51 9 62 2 8
2 1 52 4 01 8 52 4 32 3 0(
10
1
?
?????
?????x
则
例 2 在总体 中,随机抽取一个容量
为 36的样本,求样本均值 落在 50.8到 53.8
之间的概率,
)3.6,52( 2N
X
解
)36/3.6,52(~ 2NX故
?
?
?
?
?
? ?
???
?
?
?
?
? ?
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6/3.6
528.50
6/3.6
528.53
)8.538.50( ?? XP
8 2 3 9.0
)1 4 2 9.1()7 1 4 3.1(
?
??? ??
例 3 设总体 X 的概率密度函数为
?
?
?
?
?
?
10
1
)(
x
xx
xf
为总体的样本,求),,,( 5021 XXX ?
(1)X 的数学期望与方差 (2) )( 2SE
(3) )02.0( ?XP
解 (1) 0d)()( 1
1
??? ?
?
xxxXEXE
100
1
d2
50
1
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50
1
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50
1
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1
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2
2
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XEXDXD
8414.0?
)01.0,0(~ NX
近似(3) 由中心极限定理
(2),2/1)()()( 22 ??? XEXDSE
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?
?
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?
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1.0
002.0
12
)02.0(1)02.0( ???? XPXP
作业 P,202 习题六
1 2 3
5 6 7
电视台需作节目 A 收视率
的调查,每天在播电视的同时,随机地向
当地居民打电话询问是否在看电视, 若
在看电视,再问是否在看节目 A,设回答
第 12周 问 题
看电视的居民户数为 n,若要
保证以 95%的概率使调查误
差在 10%之内,n 应取多大？
每晚节目 A 播出一小时,调
查需同时进行,设每小时每人能
调查 20户,每户居民每晚看电视
的概率为 70%,电视台需安排多
少人作调查,
又，若使调查误差在 1 %
之内,n 应取多大？
——
对随机现象进行观测、试验，
以取得有代表性的观测值
——
对已取得的观测值进行整理、
分析,作出推断、决策,从而
找出所研究的对象的规律性
数
理
统
计
的
分
类
描述统计学
推断统计学
第六章 数理统计的基本概念
数参估计 (第七章 )
假设检验 (第八章 )
回归分析 (第九章 )
方差分析 (第九章 )
推断
统计学
美国经济学家罗伯特 恩格尔
(Robert F,Engle 1942 ~)
?
英国经济学克莱夫 格兰杰
(Clive Granger 1934 ~)
?
共同获得
2003年诺贝尔经济学奖
20 世纪 80 年代两位获奖者
发明了新的统计方法来处理许多
经济时间数列中两个关键属性：
易 变 性随时间变化的
非稳定性
恩格尔 研究方向主要是
利率、汇率和期权的金融计量分析
格兰杰 的研究涉及
统计和经济计量学
时间序列分析、预测、金融、人
口统计学、方法论等领域,
提出谱分析回归等创新性统计方法
特别是
总体 —— 研究对象全体元素组成的集合
所研究的对象的某个 (或某些 )数量指
标的全体,它是一个随机变量 (或多维随机
变量 ).记为 X,
X 的分布函数和数字特征称为总体的
分布函数和数字特征,
总体和样本
§ 6.1 基本概
念
样本 —— 从总体中抽取的部分个体,
称 为总体 X 的一个容量为 n
的样本观测值,或称样本的一个实现,
),,,( 21 nxxx ?
),,,( 21 nXXX ?用 表示,n 为 样本 容量,
样本空间 —— 样本所有可能取值的集合,
个体 —— 组成总体的每一个元素
即总体的每个数量指标,可看作随机
变量 X 的某个取值,用 表示,
iX
若总体 X 的 样本 满足, ),,,( 21 nXXX ?
一般,对有限总体,放回抽样所得到的样
本为简单随机样本,但使用不方便,常用
不放回抽样代替,而代替的条件是
nXXX,,,21 ?(1) 与 X 有相同的分布
nXXX,,,21 ?(2) 相互独立
),,,( 21 nXXX ?则称 为 简单随机样本,
简单随机样本
N / n ? 10.
总体中个体总数 样本容量
设总体 X 的分布函数为 F (x),则样本
?
?
?
n
i
in xFxxxF
1
21 )(),,,( ?总
若总体 X 的密 d.f.为 f( x),则 样本
?
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1
21 )(),,,( ?总
的联合 d.f.为
),,,( 21 nXXX ?的联合分布函数为
例如 设某批产品共有 N 个,其中的次品
数为 M,其次品率为
NMp /?
若 p 是未知的,则可用抽样方法来估计它,
?
?
?
?
所取的产品不是次品
所取的产品是次品
,0
,1
X
X 服从参数为 p 的 0-1分布,可用如下表示
方法, 1,0,)1(),( 1 ??? ? xpppxf xx
从这批产品中任取一个产品,用随机变量
X来描述它是否是次品,
设有放回地抽取一个容量为 n 的样本
),,,( 21 nXXX ?
),,,( 21 nXXX ?的联合分布为
?
?
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),,,( 21 nxxx ?其样本值为
},,2,1,1,0),,,{( 21 nixxxx in ?? ??
样本空间为
若抽样是无放回的,则前次抽取的结果
会影响后面抽取的结果,例如
1
1)11(
12 ?
????
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MXXP
1
)01( 12
?
???
N
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所以,当样本容量 n 与总体中个体数目 N
相比很小时,可将无放回抽样近似地看作
放回抽样,
? pp N
N
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1
1
1
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11
设 是取自总体 X 的一个
样本,
),,,( 21 nXXX ?
),,,( 21 nrrrg ?
),,,( 21 nxxxg ?
为一实值连续函数,且不含有未知参数,
),,,( 21 nXXXg ?则称随机变量 为 统计量,
),,,( 21 nxxx ?若 是一个样本值,
称
),,,( 21 nXXXg ?的 一个样本值为统计量
定义
统计量
例 是未知参数,22,,),(~ ????NX
若 ?,? 已知,则为统计量
是一样本,),,,( 21 nXXX ?
? ???
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? 不是统计量,
常用的统计量
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为 样本均值
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),,,( 21 nXXX ?设 是来自总体 X 的容量
为 n 的样本,称统计量
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1)3( 为 样本的 k 阶 原点矩
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例如
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(5) 顺序统计量与极差
设 ),,,( 21 nXXX ? 为样本,
),,,( 21 nxxx ? 为样本值,且 **2*1 nxxx ??? ?
当 ),,,( 21 nXXX ? 取值为 ),,,( 21 nxxx ? 时,
定义 r.v,nkxX
kk,,2,1,
*
)( ???
则称统计量 )()2()1(,,,nXXX ?为 顺序统计量,
其中,}{m a x},{m i n
1)(1)1( knknknk XXXX ???? ??
称 )1()( XXD nn ?? 为 极差
注 样本方差 与样本二阶中心矩 的不同2
nS2S
???
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故 22
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n
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1
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例 1 从一批机器零件毛坯中随机地抽取
10件,测得其重量为 (单位, 公斤 ):
210,243,185,240,215,
228,196,235,200,199
求这组样本值的均值、方差、二阶原点
矩与二阶中心矩,
解 ),,,(
1021 xxx ?
令
)199,200,235,196,228
,215,240,185,243,210(?
43.4 3 3)(
9
1 10
1
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)1 9 92 0 02 3 51 9 62 2 8
2 1 52 4 01 8 52 4 32 3 0(
10
1
?
?????
?????x
则
例 2 在总体 中,随机抽取一个容量
为 36的样本,求样本均值 落在 50.8到 53.8
之间的概率,
)3.6,52( 2N
X
解
)36/3.6,52(~ 2NX故
?
?
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8 2 3 9.0
)1 4 2 9.1()7 1 4 3.1(
?
??? ??
例 3 设总体 X 的概率密度函数为
?
?
?
?
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10
1
)(
x
xx
xf
为总体的样本,求),,,( 5021 XXX ?
(1)X 的数学期望与方差 (2) )( 2SE
(3) )02.0( ?XP
解 (1) 0d)()( 1
1
??? ?
?
xxxXEXE
100
1
d2
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近似(3) 由中心极限定理
(2),2/1)()()( 22 ??? XEXDSE
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作业 P,202 习题六
1 2 3
5 6 7
电视台需作节目 A 收视率
的调查,每天在播电视的同时,随机地向
当地居民打电话询问是否在看电视, 若
在看电视,再问是否在看节目 A,设回答
第 12周 问 题
看电视的居民户数为 n,若要
保证以 95%的概率使调查误
差在 10%之内,n 应取多大？
每晚节目 A 播出一小时,调
查需同时进行,设每小时每人能
调查 20户,每户居民每晚看电视
的概率为 70%,电视台需安排多
少人作调查,
又，若使调查误差在 1 %
之内,n 应取多大？
