第七章
7-1
参数估
计问题
假设检
验问题
点 估 计
区间估 计
统计
推断
DE
基本
问题
7-2
什么是参数估计？
参数是刻画总体某方面概率特性的数量,
当此数量未知时,从总体抽出一个样本，
用某种方法对这个未知参数进行估计就
是参数估计,
例如,X ~N (?,? 2),
点估计 区间估计
若 ?,? 2未知,通过构造样本的函数,给出
它们的估计值或取值范围就是参数估计
的内容,
参数估计的类型
点估计 —— 估计未知参数的值
区间估计 ——
估计未知参数的取值范围，
并使此范围包含未知参数
真值的概率为给定的值,
§ 7.1 点估计方法
点估计的思想方法
设总体 X 的分布函数的形式已知,但含有
一个或多个未知参数,?1,?2,?,?k
设 X1,X2,…,Xn为总体的一个样本
构造 k 个统计量：
),,,(
),,,(
),,,(
21
212
211
nk
n
n
XXX
XXX
XXX
?
????????
?
?
?
?
?
随机变量
7-5
当测得样本值 (x1,x2,…,xn)时,代入上述
统计量，即可得到 k 个数：
),,,(?
),,,(?
),,,(?
21
212
211
nk
n
n
xxx
xxx
xxx
?
????????
?
?
?
?
?
数 值
称数
1 ?,k?? 为未知参数 1,,k?? 的 估计值
如何构造统计量？
如何评价估计量的好坏？
7-6
对应统计量 为未知参数 的 估计量
1,,k??
问
题
三种常用的点估计方法
? 频率替换法
利用事件 A 在 n 次试验中发生的频率
/Ann 作为事件 A 发生的概率 p 的估计量
p
n
n pA
? ??
7-7
例 1 设总体 X ~ N ( ?,2 ),在对其作 28 次
独立观察中,事件, X < 4” 出现了 21 次,试
用频率替换法求参数 ? 的估计值,
解 由 75.0
28
21)
2
4()4( ?????? ?XP
675.0
2
4 ?? ?查表得
于是 ? 的估计值为 ? 045.3??
7-8
方法
用样本 k 阶矩作为总体 k 阶矩的
估计 量,建立含有待估参数的方程,
从而解出待估参数
7-9
一般,不论总体服从什么分布,总体期望 ?
与方差 ? 2 存在,则它们的矩估计量分别为
1
1
?
n
i
i
XX
n
?
?
??? 2
1
22 )(1?
n
n
i
i SXXn ??? ?
?
?
? 矩法
7-10
事实上，按矩法原理，令
??? ?
?
n
i
iXnX
1
1
)(1 2
1
2
2 XEXnA
n
i
i ?? ?
?
X??? ??
?? )()(? 222 XEXE? 2
2 ???? A
22
1
1 n
i
i
XX
n ?
??? 2
1
2)(1
n
n
i
i SXXn ??? ?
?
7-11
设待估计的参数为 k???,,,21 ?
设总体的 r 阶矩存在，记为
),,,()( 21 krrXE ???? ??
样本 X1,X2,…,Xn 的 r 阶矩为 ?
?
?
n
i
r
ir XnB
1
1
kr,,2,1 ??
令
),,,( 21 kr ???? ??
?
?
n
i
r
iXn
1
1
—— 含未知参数 ?1,?2,?,?k 的方程组
7-12
解方程组,得 k 个统计量：
1 1 2
12
? (,,,)
? (,,,)
n
kn
X X X
X X X
?
?
未知参数
?1,?,?k
的 矩估计量
1 1 1 2
12
? (,,,)
? (,,,)
n
k k n
x x x
x x x
??
??
?
?
代入一组样本值得 k 个数,
未知参数
?1,?,?k
的 矩估计值
例 2 设总体 X ~ N ( ?,? 2 ),X1,X2,…,Xn为
总体的样本,求 ?,? 2 的矩法估计量,
解 X?
矩??
2
1
22 1? XX
n
n
i
i ?? ?
?
矩?
例 3 设总体 X ~ E(?),X1,X2,…,Xn为总体的
样本,求 ? 的矩法估计量,
解 ( ) 1 /,EX ?? 1 /,X ??令
7-13
故 1 /,X? ?
矩
?
例 4 设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机
抽取 10只灯泡，测得其寿命为 (单位,小时 )
1050,1100,1080,1120,1200
1250,1040,1130,1300,1200
试用矩法估计该厂这天生产的灯泡的平均
寿命及寿命分布的方差,
解 )(1 1 4 710
1)( 10
1
hxxXE
i
i ??? ?
?
?
10
2 2 2 2
1
1
?( ) 6 8 2 1 ( ),
10 ii
D X x x h?
?
?
? ? ? ??
7-14
例 5 设总体 X ~ U (a,b),a,b 未知,求参数
a,b 的 矩法估计量,
解 由于 12
)()(,
2)(
2ab
XDbaXE ????
)()()( 22 XEXDXE ??
令
22
212
)(
??????
???? baab
??
2
ab X? ?
?
?
????
?
?
?
?
?
? ?
?
? n
i
iXnA
baab
1
2
2
2
2 1
2
??
12
)??(
7-15
解得
)(3? 22 XAXa ???矩
2
1
3
( ),
n
i
i
X X X
n ?
? ? ??
)(3? 22 XAXb ???矩
2
1
3
( ),
n
i
i
X X X
n ?
? ? ??
7-16
? 极大似然估计法
思想方法,一次试验就出现的
事件有较大的概率
例如, 有两外形相同的箱子,各装 100个球
一箱 99个白球 1 个红球
一箱 1 个白球 99个红球
现从两箱中任取一箱,并从箱中任取一球,
结果所取得的球是白球,
答, 第一箱,
7-17
问, 所取的球来自哪一箱？
例 6 设总体 X 服从 0-1分布,且 P (X = 1) = p,
用极大似然法求 p 的估计值,
解 总体 X 的概率分布为
1,0,)1()( 1 ???? ? xppxXP xx
设 x1,x2,…,xn为总体样本 X1,X2,…,Xn
的样本值,
则 ),,,( 2211 nn xXxXxXP ??? ?
)()1( 11 pLpp
n
i
i
n
i
i xnx
?
?
?
?
? ??
?
nix i,,2,1,1,0 ???
7-18
对于不同的 p,L (p)不同,见右下图
现经过一次试验，
0.2 0.4 0.6 0.8 1
p
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
Lp
),,,( 2211 nn xXxXxX ??? ?
发生了，
事件
则 p 的取值应使这个事件发生
的概率最大,
p?
7-19
在容许范围内选择 p, 使 L(p)最大
注意到,ln L(p)是 L 的单调增函数,故若
某个 p 使 ln L(p)最大,则这个 p 必使 L(p)最大。
7-20
0
1d
d ln 11 令
?
?
?
??
??
??
p
xn
p
x
p
L
n
i
i
n
i
i
xx
n
p
n
i
i ??? ?
? 1
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?? 0
)1(d
lnd
2
1
2
1
2
2
p
xn
p
x
p
L
n
i
i
n
i
i
所以 xp ?? 为所求 p 的估计值,
一般,设 X 为离散型随机变量,其分布律为
??? ????,,,),,()( 21 ?uuxxfxXP
则样本 X1,X2,…,Xn的概率分布为
),,,( 2211 nn xXxXxXP ??? ?
),(),(),( 21 ??? nxfxfxf ??
12,,,
1,2,,,
ix u u
in ?
?
? ? ?
7-21
)(),,,,( 21 ?? LxxxL n ?? ?
记为
或
称 L( ) 为样本的 似然函数?
)?,,,,( 21 ?nxxxL ? )},(),(),(m ax {
21 ????? nxfxfxf ???
称这样得到的 ),,,(? 21 nxxxg ???
为参数 ? 的 极大似然估计值
称统计量
),,,( 21 nXXXg ?? ??
为参数 ? 的 极大似然估计量
7-22
?MLE
?
简记
?mle
?
简记
??选择适当的 ? =,使 取最大值,即L( )?
极大似然法的思想
若 X 连续,取 f (xi,? )为 Xi 的密度函数
?
?
?
n
i
ixfL
1
),()( ??
似然函数为
7-23
注 1
注 2 未知参数可以不止一个,如 ?1,…,?k
设 X 的密度 (或分布 )为
1(,,,)kfx ??
则定义似然函数为
11
1
(,,) (,,,)
n
k i k
i
L f x? ? ? ?
?
?? ?
,1,2,,ix i n? ? ? ? ? ? ?1(,,)k?? ??
11(,,;,,)nkL x x ??
若
11(,,;,,)nkL x x ??关于 ?1,…,?k可微,则称 0),,,;,,,(
2121 ??
?
kn
r
xxxL ???
?
??
为 似然方程组
kr,,2,1 ??
若对于某组给定的样本值 x1,x2,…,xn，
参数 使似然函数取得最大值,即k??? ?,,?,? 21 ?
11(,,;,,)nkL x x ?? )},,,;,,,({m a x
2121),,,(
21
knxxxL
k
???
????
??
? ?
?
则称
1,,k??
为 ?1,…,?k 的 极大似然估计值
7-24
显然，
),,,(? 21 nr xxxg ??? kr,2,1 ??
称统计量
),,,(? 21 nr XXXg ??? kr,,2,1 ??
为 ?1,?2,…,?k 的 极大似然估计量
7-25
例 7 设总体 X ~ N (?,? 2),x1,x2,…,xn 是 X
的样本值,求 ?,? 2 的极大似然估计,
解 ),;,,,( 2
21 ??nxxxL ?
?
? ?
?
?
n
i
ix
nn e
1
2
2
2
)(
222 )()2(
1 ?
?
??
)ln (
2
)2ln (
22
)(ln 2
1
2
2
??
?
? nnxL n
i
i ??? ???
?
2
2
2
)(
1 2
1 ? ?
??
?
?
?
??
ixn
i
e
7-26
xx
n
n
i
im l e ???
? 1
1??
? ??
?
? n
i
im l e xxn
1
22 )(1?
?,? 2 的极大似然估计量分别为
1
1,n
i
i
XX
n ?
?? 2
1
2)(1
n
n
i
i SXXn ?? ?
?
似然
方程
组为
0)(1ln
12
?? ???
?
??
?
?
?
?
?
n
i
ixL ???
0
)(2
)(
)(2
1ln
)( 21
2
222 ??? ????
??
?
?
?
?
? ?
?
??
nxL n
i
i
7-27
极大似然估计方法
1） 写出似然函数 L
2）求出 k??? ?,,?,? 21 ?,使得
)?,,?,?;,,,( 2121 knxxxL ??? ??
)},,,;,,,({m a x 2121),,,(
21
knxxxL
k
??????? ??? ??
7-28
0),,,;,,,( 2121 ?
?
?
kn
r
xxxL ???
?
??
kr,,2,1 ??
可得未知参数的极大似然估计值 k??? ?,,?,? 21 ?
然后,再求得极大似然估计量,
7-29
L是 的可微函数,解似然方程组
1,,k??
若
L不是 的可微函数,需用其它
方法求极大似然估计值, 请看下例：
1,,k??若
例 8 设 X ~ U (a,b),x1,x2,…,xn 是 X 的一个
样本值,求 a,b 的极大似然估计值与极大
似然估计量,
解 X 的密度函数为
??
?
?
? ??
??
其它,0
,
1
),;(
bxa
abbaxf
似然函数为
??
?
?
?
?
??
??
其它,0
,,2,1
,
,
)(
1
),;,,,( 21 ni
bxa
abbaxxxL
i
n
n ??
7-30
似然函数只有当 a < xi < b,i = 1,2,…,n 时
才能获得最大值,且 a 越大,b 越小,L 越大,
令 xmin = min {x1,x2,…,xn}
xmax = max {x1,x2,…,xn}
取 m a xm i n ?,? xbxa ??
则对满足 bxxa ??? m a xm i n的一切 a < b,
nn xxab )(
1
)(
1
m i nm a x ?
?
?
7-31
都有
故 m a xm i n ?,? xbxa ??
是 a,b 的极大似然估计值,
},,,m ax {
},,,m in {
21m a x
21m i n
n
n
XXXX
XXXX
?
?
?
?
分别是 a,b 的极大似然估计量,
7-32
问 题
1) 待估参数的极大似然估计是否一定存在?
2) 若存在,是否惟一?
设 X ~ U ( a – ?,a + ?),x1,x2,…,xn
是 X的一个样本,求 a 的极大似然估计值,
解 由上例可知,当
2
1?
2
1?
m a xm i n ????? axxa
时,L 取最大值 1,即
2
1?
2
1
m i nm a x ???? xax
显然,a 的极大似然估计值可能不存在,也
可能不惟一,
7-33
例 9
不仅如此,任何一个统计量
2
1),,,(
2
1
)1(21)( ???? xxxxgx nn ?
),,,( 21 nXXXg ?
若满足
都可以作为 a 的估计量,
7-34
极大似然估计的不变性
设 是 ? 的极大似然估计值,u(? )??
(??? )是 ? 的函数,且有单值反函数
? = ? (u),u?U
则 是 u(? ) 的极大似然估计值, )?(? uu ?
7-35
如 在正态总体 N (?,? 2)中,? 2的极大
似然估计值为
22
1
1 ()n
i
i
xx
n
?
?
?
???
2?? ? 是 ? 2的单值函数,且具有单值
反函数，故 ?的极大似然估计值为
2
1
1? ()n
i
i
xx
n
?
?
?? ?
lg? 的极大似然估计值为
2
1
1l g l g ( )n
i
i
xx
n
?
?
?
?? ?
7-36
作业 P.229 习题七
2 3 5 7
8 10 (1) *14
7-39
电视台需作节目 A 收视率
的调查,每天在播电视的同时,随机地向
当地居民打电话询问是否在看电视, 若
在看电视,再问是否在看节目 A,设回答
第 12周 问 题
看电视的居民户数为 n,若要
保证以 95%的概率使调查误
差在 10%之内,n 应取多大？
每晚节目 A 播出一小时,调
查需同时进行,设每小时每人能
调查 20户,每户居民每晚看电视
的概率为 70%,电视台需安排多
少人作调查,
又，若使调查误差在 1 %
之内,n 应取多大？
7-1
参数估
计问题
假设检
验问题
点 估 计
区间估 计
统计
推断
DE
基本
问题
7-2
什么是参数估计？
参数是刻画总体某方面概率特性的数量,
当此数量未知时,从总体抽出一个样本，
用某种方法对这个未知参数进行估计就
是参数估计,
例如,X ~N (?,? 2),
点估计 区间估计
若 ?,? 2未知,通过构造样本的函数,给出
它们的估计值或取值范围就是参数估计
的内容,
参数估计的类型
点估计 —— 估计未知参数的值
区间估计 ——
估计未知参数的取值范围，
并使此范围包含未知参数
真值的概率为给定的值,
§ 7.1 点估计方法
点估计的思想方法
设总体 X 的分布函数的形式已知,但含有
一个或多个未知参数,?1,?2,?,?k
设 X1,X2,…,Xn为总体的一个样本
构造 k 个统计量：
),,,(
),,,(
),,,(
21
212
211
nk
n
n
XXX
XXX
XXX
?
????????
?
?
?
?
?
随机变量
7-5
当测得样本值 (x1,x2,…,xn)时,代入上述
统计量，即可得到 k 个数：
),,,(?
),,,(?
),,,(?
21
212
211
nk
n
n
xxx
xxx
xxx
?
????????
?
?
?
?
?
数 值
称数
1 ?,k?? 为未知参数 1,,k?? 的 估计值
如何构造统计量？
如何评价估计量的好坏？
7-6
对应统计量 为未知参数 的 估计量
1,,k??
问
题
三种常用的点估计方法
? 频率替换法
利用事件 A 在 n 次试验中发生的频率
/Ann 作为事件 A 发生的概率 p 的估计量
p
n
n pA
? ??
7-7
例 1 设总体 X ~ N ( ?,2 ),在对其作 28 次
独立观察中,事件, X < 4” 出现了 21 次,试
用频率替换法求参数 ? 的估计值,
解 由 75.0
28
21)
2
4()4( ?????? ?XP
675.0
2
4 ?? ?查表得
于是 ? 的估计值为 ? 045.3??
7-8
方法
用样本 k 阶矩作为总体 k 阶矩的
估计 量,建立含有待估参数的方程,
从而解出待估参数
7-9
一般,不论总体服从什么分布,总体期望 ?
与方差 ? 2 存在,则它们的矩估计量分别为
1
1
?
n
i
i
XX
n
?
?
??? 2
1
22 )(1?
n
n
i
i SXXn ??? ?
?
?
? 矩法
7-10
事实上，按矩法原理，令
??? ?
?
n
i
iXnX
1
1
)(1 2
1
2
2 XEXnA
n
i
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?? )()(? 222 XEXE? 2
2 ???? A
22
1
1 n
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XX
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1
2)(1
n
n
i
i SXXn ??? ?
?
7-11
设待估计的参数为 k???,,,21 ?
设总体的 r 阶矩存在，记为
),,,()( 21 krrXE ???? ??
样本 X1,X2,…,Xn 的 r 阶矩为 ?
?
?
n
i
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ir XnB
1
1
kr,,2,1 ??
令
),,,( 21 kr ???? ??
?
?
n
i
r
iXn
1
1
—— 含未知参数 ?1,?2,?,?k 的方程组
7-12
解方程组,得 k 个统计量：
1 1 2
12
? (,,,)
? (,,,)
n
kn
X X X
X X X
?
?
未知参数
?1,?,?k
的 矩估计量
1 1 1 2
12
? (,,,)
? (,,,)
n
k k n
x x x
x x x
??
??
?
?
代入一组样本值得 k 个数,
未知参数
?1,?,?k
的 矩估计值
例 2 设总体 X ~ N ( ?,? 2 ),X1,X2,…,Xn为
总体的样本,求 ?,? 2 的矩法估计量,
解 X?
矩??
2
1
22 1? XX
n
n
i
i ?? ?
?
矩?
例 3 设总体 X ~ E(?),X1,X2,…,Xn为总体的
样本,求 ? 的矩法估计量,
解 ( ) 1 /,EX ?? 1 /,X ??令
7-13
故 1 /,X? ?
矩
?
例 4 设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机
抽取 10只灯泡，测得其寿命为 (单位,小时 )
1050,1100,1080,1120,1200
1250,1040,1130,1300,1200
试用矩法估计该厂这天生产的灯泡的平均
寿命及寿命分布的方差,
解 )(1 1 4 710
1)( 10
1
hxxXE
i
i ??? ?
?
?
10
2 2 2 2
1
1
?( ) 6 8 2 1 ( ),
10 ii
D X x x h?
?
?
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7-14
例 5 设总体 X ~ U (a,b),a,b 未知,求参数
a,b 的 矩法估计量,
解 由于 12
)()(,
2)(
2ab
XDbaXE ????
)()()( 22 XEXDXE ??
令
22
212
)(
??????
???? baab
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ab X? ?
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????
?
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?
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i
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7-15
解得
)(3? 22 XAXa ???矩
2
1
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n
i
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X X X
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? ? ??
)(3? 22 XAXb ???矩
2
1
3
( ),
n
i
i
X X X
n ?
? ? ??
7-16
? 极大似然估计法
思想方法,一次试验就出现的
事件有较大的概率
例如, 有两外形相同的箱子,各装 100个球
一箱 99个白球 1 个红球
一箱 1 个白球 99个红球
现从两箱中任取一箱,并从箱中任取一球,
结果所取得的球是白球,
答, 第一箱,
7-17
问, 所取的球来自哪一箱？
例 6 设总体 X 服从 0-1分布,且 P (X = 1) = p,
用极大似然法求 p 的估计值,
解 总体 X 的概率分布为
1,0,)1()( 1 ???? ? xppxXP xx
设 x1,x2,…,xn为总体样本 X1,X2,…,Xn
的样本值,
则 ),,,( 2211 nn xXxXxXP ??? ?
)()1( 11 pLpp
n
i
i
n
i
i xnx
?
?
?
?
? ??
?
nix i,,2,1,1,0 ???
7-18
对于不同的 p,L (p)不同,见右下图
现经过一次试验，
0.2 0.4 0.6 0.8 1
p
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
Lp
),,,( 2211 nn xXxXxX ??? ?
发生了，
事件
则 p 的取值应使这个事件发生
的概率最大,
p?
7-19
在容许范围内选择 p, 使 L(p)最大
注意到,ln L(p)是 L 的单调增函数,故若
某个 p 使 ln L(p)最大,则这个 p 必使 L(p)最大。
7-20
0
1d
d ln 11 令
?
?
?
??
??
??
p
xn
p
x
p
L
n
i
i
n
i
i
xx
n
p
n
i
i ??? ?
? 1
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?? 0
)1(d
lnd
2
1
2
1
2
2
p
xn
p
x
p
L
n
i
i
n
i
i
所以 xp ?? 为所求 p 的估计值,
一般,设 X 为离散型随机变量,其分布律为
??? ????,,,),,()( 21 ?uuxxfxXP
则样本 X1,X2,…,Xn的概率分布为
),,,( 2211 nn xXxXxXP ??? ?
),(),(),( 21 ??? nxfxfxf ??
12,,,
1,2,,,
ix u u
in ?
?
? ? ?
7-21
)(),,,,( 21 ?? LxxxL n ?? ?
记为
或
称 L( ) 为样本的 似然函数?
)?,,,,( 21 ?nxxxL ? )},(),(),(m ax {
21 ????? nxfxfxf ???
称这样得到的 ),,,(? 21 nxxxg ???
为参数 ? 的 极大似然估计值
称统计量
),,,( 21 nXXXg ?? ??
为参数 ? 的 极大似然估计量
7-22
?MLE
?
简记
?mle
?
简记
??选择适当的 ? =,使 取最大值,即L( )?
极大似然法的思想
若 X 连续,取 f (xi,? )为 Xi 的密度函数
?
?
?
n
i
ixfL
1
),()( ??
似然函数为
7-23
注 1
注 2 未知参数可以不止一个,如 ?1,…,?k
设 X 的密度 (或分布 )为
1(,,,)kfx ??
则定义似然函数为
11
1
(,,) (,,,)
n
k i k
i
L f x? ? ? ?
?
?? ?
,1,2,,ix i n? ? ? ? ? ? ?1(,,)k?? ??
11(,,;,,)nkL x x ??
若
11(,,;,,)nkL x x ??关于 ?1,…,?k可微,则称 0),,,;,,,(
2121 ??
?
kn
r
xxxL ???
?
??
为 似然方程组
kr,,2,1 ??
若对于某组给定的样本值 x1,x2,…,xn，
参数 使似然函数取得最大值,即k??? ?,,?,? 21 ?
11(,,;,,)nkL x x ?? )},,,;,,,({m a x
2121),,,(
21
knxxxL
k
???
????
??
? ?
?
则称
1,,k??
为 ?1,…,?k 的 极大似然估计值
7-24
显然，
),,,(? 21 nr xxxg ??? kr,2,1 ??
称统计量
),,,(? 21 nr XXXg ??? kr,,2,1 ??
为 ?1,?2,…,?k 的 极大似然估计量
7-25
例 7 设总体 X ~ N (?,? 2),x1,x2,…,xn 是 X
的样本值,求 ?,? 2 的极大似然估计,
解 ),;,,,( 2
21 ??nxxxL ?
?
? ?
?
?
n
i
ix
nn e
1
2
2
2
)(
222 )()2(
1 ?
?
??
)ln (
2
)2ln (
22
)(ln 2
1
2
2
??
?
? nnxL n
i
i ??? ???
?
2
2
2
)(
1 2
1 ? ?
??
?
?
?
??
ixn
i
e
7-26
xx
n
n
i
im l e ???
? 1
1??
? ??
?
? n
i
im l e xxn
1
22 )(1?
?,? 2 的极大似然估计量分别为
1
1,n
i
i
XX
n ?
?? 2
1
2)(1
n
n
i
i SXXn ?? ?
?
似然
方程
组为
0)(1ln
12
?? ???
?
??
?
?
?
?
?
n
i
ixL ???
0
)(2
)(
)(2
1ln
)( 21
2
222 ??? ????
??
?
?
?
?
? ?
?
??
nxL n
i
i
7-27
极大似然估计方法
1） 写出似然函数 L
2）求出 k??? ?,,?,? 21 ?,使得
)?,,?,?;,,,( 2121 knxxxL ??? ??
)},,,;,,,({m a x 2121),,,(
21
knxxxL
k
??????? ??? ??
7-28
0),,,;,,,( 2121 ?
?
?
kn
r
xxxL ???
?
??
kr,,2,1 ??
可得未知参数的极大似然估计值 k??? ?,,?,? 21 ?
然后,再求得极大似然估计量,
7-29
L是 的可微函数,解似然方程组
1,,k??
若
L不是 的可微函数,需用其它
方法求极大似然估计值, 请看下例：
1,,k??若
例 8 设 X ~ U (a,b),x1,x2,…,xn 是 X 的一个
样本值,求 a,b 的极大似然估计值与极大
似然估计量,
解 X 的密度函数为
??
?
?
? ??
??
其它,0
,
1
),;(
bxa
abbaxf
似然函数为
??
?
?
?
?
??
??
其它,0
,,2,1
,
,
)(
1
),;,,,( 21 ni
bxa
abbaxxxL
i
n
n ??
7-30
似然函数只有当 a < xi < b,i = 1,2,…,n 时
才能获得最大值,且 a 越大,b 越小,L 越大,
令 xmin = min {x1,x2,…,xn}
xmax = max {x1,x2,…,xn}
取 m a xm i n ?,? xbxa ??
则对满足 bxxa ??? m a xm i n的一切 a < b,
nn xxab )(
1
)(
1
m i nm a x ?
?
?
7-31
都有
故 m a xm i n ?,? xbxa ??
是 a,b 的极大似然估计值,
},,,m ax {
},,,m in {
21m a x
21m i n
n
n
XXXX
XXXX
?
?
?
?
分别是 a,b 的极大似然估计量,
7-32
问 题
1) 待估参数的极大似然估计是否一定存在?
2) 若存在,是否惟一?
设 X ~ U ( a – ?,a + ?),x1,x2,…,xn
是 X的一个样本,求 a 的极大似然估计值,
解 由上例可知,当
2
1?
2
1?
m a xm i n ????? axxa
时,L 取最大值 1,即
2
1?
2
1
m i nm a x ???? xax
显然,a 的极大似然估计值可能不存在,也
可能不惟一,
7-33
例 9
不仅如此,任何一个统计量
2
1),,,(
2
1
)1(21)( ???? xxxxgx nn ?
),,,( 21 nXXXg ?
若满足
都可以作为 a 的估计量,
7-34
极大似然估计的不变性
设 是 ? 的极大似然估计值,u(? )??
(??? )是 ? 的函数,且有单值反函数
? = ? (u),u?U
则 是 u(? ) 的极大似然估计值, )?(? uu ?
7-35
如 在正态总体 N (?,? 2)中,? 2的极大
似然估计值为
22
1
1 ()n
i
i
xx
n
?
?
?
???
2?? ? 是 ? 2的单值函数,且具有单值
反函数，故 ?的极大似然估计值为
2
1
1? ()n
i
i
xx
n
?
?
?? ?
lg? 的极大似然估计值为
2
1
1l g l g ( )n
i
i
xx
n
?
?
?
?? ?
7-36
作业 P.229 习题七
2 3 5 7
8 10 (1) *14
7-39
电视台需作节目 A 收视率
的调查,每天在播电视的同时,随机地向
当地居民打电话询问是否在看电视, 若
在看电视,再问是否在看节目 A,设回答
第 12周 问 题
看电视的居民户数为 n,若要
保证以 95%的概率使调查误
差在 10%之内,n 应取多大？
每晚节目 A 播出一小时,调
查需同时进行,设每小时每人能
调查 20户,每户居民每晚看电视
的概率为 70%,电视台需安排多
少人作调查,
又，若使调查误差在 1 %
之内,n 应取多大？
