ch7-68
§ 7.3 区间估计
引例 已知 X ~ N ( ?,1),
不同样本算得的 ? 的估计值不同，
因此除了给出 ? 的点估计外,还希望根据
所给的样本确定一个 随机区间,使其包含
参数真值的概率达到指定的要求,
?的无偏、有效点估计为 X
随机变量常数
ch7-69
如引例中，要找一个区间,使其包含 ? 的
真值的概率为 0.95,( 设 n = 5 )
?
?
?
?
?
?
5
1
,~ ?NX ? ?1,0~
5
1
N
X ??
?
取 05.0??
查表得 96.12/ ??z
ch7-70
这说明
即
称随机区间
为未知参数 ? 的置信度为 0.95的置信区间,
95.05196.15196.1 ??????? ???? XXP ?
05.096.1
5
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?X
P
?????? ?? 5196.1,5196.1 XX
ch7-71
反复抽取容量为 5的样本,都可得到一
个区间,此区间可能包含也可能不包含未知
参数 ? 的真值,而包含真值的区间占 95%.
)5196.1,5196.1( ?? XX
5196.1?X
5196.1?X
??1
置信区间的意义
? 的 置信区间
?的 置信上限
置信度
?的 置信下限
ch7-72
若测得 一组样本值,
它可能包含 也可能不包含 ?的真值,反复
)51,51(
22
?? zXzX ??
当置信区间为 时
则得一区间 (1.86 – 0.877,1.86 + 0.877)
抽样得到的区间中有 95%包含 ? 的真值,
2/?z为什么要取
86.1?x算得
区间的长度为
512 2?z
—— 达到最短
ch7-73
97.3
)13.2(84.1
33
2 1
?
????
? ??
zz
92.3
)96.1(96.1
22
1
?
????
? ??
zz
-2 -1 1 2
0, 1
0, 2
0, 3
0, 4
3
2?z31 ??z
-2 -1 1 2
0, 1
0, 2
0, 3
0, 4
2
?z21 ??z
取 ? = 0.05
ch7-74
设 ? 为待估计参数,? 是一给定的数,
( 0 < ? < 1),若能找到两个统计量
),,,(? 212 nXXX ?? ),,,,(? 211 nXX ??
使得 Θ????? ????? 1)??(
21P
则称随机区间 )?,?( 21 ?? 为参数 ? 的置信度为
1 - ? 的 置信区间,
21 ?,? ??分别称 为 置信下限
与 上限,1 - ? 称为 置信水平 或 置信度,
置信区间的定义
ch7-75
? ? 反映了估计的可靠度,? 越小,越可靠,
?置信区间的长度 反映了估计精度
12 ?? ?? ?
?越小,1- ? 越大,估计的可靠度越高,但
这时,往往增大,因而估计精度降低,
12 ?? ?? ?
12 ?? ?? ?
越小,估计精度越高,
? ? 确定后,置信区间 的选取方法不唯一,
常选最小的一个,
几点说明
ch7-76
求参数
置信区间
保 证
可靠性
先
提高
精 度
再
ch7-77
? 寻找一个样本的函数
),,,,( 2 ?nx XXXg ?
它含有待估参数,不含其它未知参数,
它的分布已知,且分布不依赖于待估参
数 (常由 ? 的点估计出发考虑 ).
?
?
??
?
?
5
1,?NX ～
)1,0(~),,,,(
5
1
21 NXXXg
X
n ?
?
??
?
?
例如
求置信区间的步骤
— 称为 枢轴量
ch7-78
?给定置信度 1 ??,定出常数 a,b,使得
?? ???? 1)),,,(( 21 bXXXgaP n
( 引例中 )96.1,96.1 ??? ba
?由 bXXXga
n ?? ),,,( 21 ?
解出
),,,( 21 nXXX ?? ),,,( 21 nXXX ??
得置信区间 ),( ??
引例中
)5196.1,5196.1(),( ??? XX??
ch7-79
(一 ) 一个正态总体 X ~N ( ???2)的情形
置信区间常用公式
(1) 方差 ? 2已知,?的置信区间
)1(),(
22
???
n
zX
n
zX
??
?? ??
推导
)1,0(~),,,,( 21 N
n
X
XXXg n
?
?
?
?
??
),(~
2
n
NX
?
?由 选取枢轴量
ch7-80
由 确定 ??
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
z
n
X
P
2
?
z
),( 00
22 n
zX
n
zX ?? ?? ??
解
2
?
?
?
z
n
X
?
?
得 ? 的置信度为 的置信区间为??1
ch7-81
(2) 方差 ? 2未知,?的置信区间
)1(~ ?
?
? nT
n
S
X
T
?
由 ?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
)1(
2
nt
n
S
X
P 确定
)1(
2
?nt
?
故 ? 的置信区间为 ?
?
??
?
? ????
n
SntX
n
SntX )1(,)1(
22
??
推导 选取枢轴量
)2()1(,)1(
22
????
?
??
?
? ????
n
SntX
n
SntX
??
ch7-82
(3) 当 ? 已知时,方差 ? 2 的 置信区间
)3(
)(
)(
,
)(
)(
2
1
1
2
2
1
2
22
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
n
X
n
X
n
i
i
n
i
i
?? ?
?
?
?
)(~ 2
1
2
nXQ
n
i
i ?
?
??
?
?
?
??
?
? ??取枢轴量,
得 ? 2 的 置信度为 置信区间为??1
??
?
?
? ?? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1)(
)(
)(
2
2
1
2
2
1
22
n
X
nP
n
i
i
由概率
ch7-83
(4) 当 ? 未知时,方差 ? 2 的置信区间
-2 2 4 6 8 10
0, 0 2 5
0, 0 5
0, 0 7 5
0, 1
0, 1 2 5
0, 1 5
2
?
)1(~)1( 22
2
??? nSnK ??选取
得 ? 2 的置信区间为
)4(
)1(
)1(
,
)1(
)1(
2
1
2
2
2
22
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
Sn
n
Sn
?? ??
2
?
2
2?
?
?
2
1 2?? ?
?
???? ?? ?????? 1))1(( 22
2
2
1 22
SnP
则由
ch7-84
例 1 某工厂生产一批滚珠,其直径 X 服从
解 (1) )6/06.0,(~ ?NX )01.0,( ?N即
)1,0(~
1.0
NX ?? 96.10 2 5.0
2
?? zz ?
正态分布 N( ??? 2),现从某天的产品中随机
(1) 若 ? 2=0.06,求 ? 的置信区间
(2) 若 ? 2未知,求 ? 的置信区间
(3) 求方差 ? 2的置信区间,
抽取 6 件,测得直径为
15.1,14.8,15.2,14.9,14.6,15.1
置信度
均为 0.95
ch7-85
由给定数据算得 95.14
6
1 6
1
?? ?
?i
ixx
由公式 (1) 得 ? 的置信区间为
)15.15,75.14(
)1.096.195.14,1.096.195.14(
?
????
(2) 取 )5(~
6
t
S
X
T
??
? 5 7 0 6.2)5(0 2 5.0 ?t查表
由给定数据算得 95.14?x
226.0.051.0)6(
5
1 26
1
22 ???? ?
?
sxxs
i
i
ch7-86
)187.15,71.14(
))5(
6
),5(
6
( 025.0025.0
?
?? t
s
xt
s
x
由公式 (4) 得 ? 的置信区间为
(3) 选取枢轴量 )5(~5 2
2
2
?
?
SK ?
8 3 1.0)5(,8 3 3.12)5( 20 9 7 52 025.0 ?? ??
)3 0 6 9.0,0 1 9 9.0()
)5(
5,
)5(
5(
2
975.0
2
2
025.0
2
?
??
ss
查表得
.051.02 ?s
由公式 (2) 得 ? 的置信区间为
ch7-87
),,,( 21 nXXX ? 为取自总体 N ( ?1?? 1
2 ) 的样本,
),,,( 21 mYYY ? 为取自总体 N ( ?2? ? 2
2 ) 的样本,
置信度为 1 ??
2221,;,SYSX 分别表示两样本的均值与方差
(二 ) 两个正态总体的情形
ch7-88
),(~),,(~
2
2
2
2
1
1 mNYnNX
???? YX,相互独立,
21 ?? ? 的置信区间为
)1,0(~
)()(
2
2
2
1
21 N
mn
YX
??
??
?
???(1) 2
221,?? 已知,的置信区间21 ?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
mn
zYX
mn
zYX
2
2
2
1
2
2
2
1
22
)(,)(
????
??
)5(???
ch7-89
)1,0(~
11
)()(
),(~
21
22
21
N
mn
YX
mn
NYX
?
??
??
??
?
???
???
)1(~)1( 22
2
1 ?? nSn ?
?
)2(~
2
)1()1(11
)()(
2
2
2
1
21 ??
??
???
?
???
mnt
mn
SmSn
mn
YX ??
2221,?? 22
221 ??? ??
(2) 未知 ( 但 ) 的置信区间21 ?? ?
)2(~)1()1( 22
2
2
2
2
1 ????? mnSmSn ?
??
)1(~)1( 22
2
2 ?? mSm ?
?
ch7-90
21 ?? ? 的置信区间为
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
???
1
2
)1()1(11
)()(
2
2
2
2
1
21
t
mn
SmSn
mn
YX
P
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
???
2
)1()1(11
)(
2
2
2
1
2 mn
SmSn
mn
tYX ?
)6(???
ch7-91
YX,相互独立,
?
?
?
?
?
?
?
?
???
m
S
n
S
zYX
2
2
2
1
2
)( ?
)1,0(~
)()(
2
2
2
1
21 N
m
S
n
S
YX
?
??? ??
2221,??(3) 未知,n,m > 50,的置信区间21 ?? ?
21 ?? ?
的置信区间为因此
m
S
n
S
mn
2
2
2
1
2
2
2
1 ??? ??
)7(??
ch7-92
令 Zi = Xi -Yi,i = 1,2,…,n,可以将它们看成来
自正态总体 Z ~ N ( ? 1?? 2,? 12 + ? 22) 的样本
仿单个 正态总体 公式 (2) 的置信区间为21 ?? ?
? ??
?
???
?
?
n
i
iiZ YXYXnS
1
22 )()(
1
1
2221,??(4) 未知,但 n = m,的置信区间21 ?? ?
?
?
?
?
?
?
???
n
S
ntYX Z)1()(
2
? )8(???
,YXZ ??
ch7-93
取枢轴量
(5) 方差比 2
2
2
1
?
? 的置信区间 ( ?
1,?2 未知 )
)1,1(~
/
/
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
???? mnF
S
S
S
S
F
?
??
?
因此,方差比 2
2
2
1
?
? 的置信区间为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
)1,1(
1
,
)1,1(
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
mnFS
S
mnFS
S
??
)9(???
ch7-94
取枢轴量 ),(~
)(
)(
)(
1
)(
1
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
1
2
1
mnF
Y
X
n
m
Y
m
X
n
F
m
j
j
n
i
i
m
j
j
n
i
i
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(6) 方差比 2
2
2
1
?
? 的置信区间 ( ?
1,?2 已 知 )
ch7-95
因此,方差比
2
2
2
1
?
? 的置信区间为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
),(
)(
)(
,
),(
)(
)(
22
1
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
mnF
Y
X
n
m
mnF
Y
X
n
m
m
j
j
n
i
i
m
j
j
n
i
i
??
?
?
?
?
)10(?
ch7-96
例 2 某厂利用两条自动化流水线罐装番
茄酱, 现分别 从两条流水线上抽取了容量
分别为 13与 17的两个相互独立的样本
1321,,,XXX ? 1721,,,YYY ?
与
已知
22
2
22
1 7.4,4.2
,5.9,6.10
gsgs
gygx
??
??
假设两条流水线上罐装的番茄酱的重量
都服从正态分布,其均值分别为 ? 1与 ? 2
ch7-97
(1) 若它们的方差相同,,22221 ??? ??求均值
(2) 若不知它们的方差是否相同,求它们的
方差比的置信度为 0.95 的置信区间
21 ?? ?
的置信度为 0.95 的置信区间 ;差
ch7-98
)2(~
2
)1()1(11
)()(
2
2
2
1
21 ??
??
???
?
???
mnt
mn
SmSn
mn
YX ??
解
查表得 0484.2)28(
025.0 ?t
21 ?? ?
由公式 (6) 的置信区间为
)5 5 45.2,3 5 45.0(
2
)1()1(11
)(
2
2
2
1
2
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
???
mn
SmSn
mn
tYX ?
(1) 取枢轴量
ch7-99
(2) 枢轴量为 )16,12(~/
/
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1 F
S
S
S
S
F
?
??
?
??
查表得
16.3
1
)12,16(
1
)16,12(
89.2)16,12(
025.0
975.0
025.0
??
?
F
F
F
2
2
2
1
?
?由公式 (9)得方差比 的置信区间为
)6 1 3 6.1,1 7 6 7.0(
)1,1(
1
,
)1,1(
1
975.0
2
2
2
1
025.0
2
2
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???? mnFS
S
mnFS
S
ch7-100
利用数学软件包求正态总体
未知参数的置信区间
的例题可见
第十章 § 10.2 ( P.318)
ch7-101
(三 ) 单侧置信区间
定义 对于给定的 ? (0 < ? < 1),? 是待估参数
),,,( 21 nXXX ? 是总体 X 的样本,
若能确定 一个统计量
),,,( 21 nXXX ??? ?
使得 )1)((1)( ?????? ?????? PP 或
则称 )),(()( ?? ????? 或
为置信度为 1 - ? 的单侧置信区间,
)),,,( 21 nXXX ??? ?或（
? 单侧置信下限 ? 单侧置信上限
ch7-102
例 3 已知灯泡寿命 X 服从正态分布,从中
随机抽取 5 只作寿命试验,测得寿命为
1050,1100,1120,1250,1280 (小时 )
求灯泡寿命均值的单侧置信下限与寿命
方差的单侧置信上限,
解 22,,),(~ ????NX 未知
.9950)5(
4
1 5
1
22 ??? ?
?
xxs
i
i
取,05.0??
,1 1 6 0,5 ?? xn
ch7-103
(1) 选取枢轴量 )4(~ t
n
S
X ??
1318.205.0 ?? tt ?
9.1064
505.0
???? stx?
(2) 选取枢轴量 )4(~)1( 2
2
2
?
?
Sn ?
711.0)4(2 95.0 ??
5 5 9 7 7
)4(
4
2
95.0
2
2 ??
?
? s
ch7-104
若总体 X 的分布未知,但样本容量很大,
由中心极限定理,可近似地视 ),(~
2
nNX
??
若 ?2已知,则 ? 的置信度为 1 - ? 的置信区间
可取为
n
zX
?
?
2
?
若 ?2未知,则 ? 的置信度为 1 - ? 的置信区间
可取为
n
S
tX
2
??
(四 ) 非正态总体的情形
ch7-105
例 4 设 X 服从参数为 p 的 0-1分布,样本为
求 p 的置信度为 1 ?? 的置信区间
解 ),(~
1
pnBX
n
i
i?
?
??? ???
?
?
?? 1)
)1(
)(
(
22
z
pp
pXn
zP
nXXX,,,21 ?
( n > 50 ).
)1,0(~
)1(
)( N
pp
pXn
?
? (近似 )
2
2
2)1(
)(0
?zpp
pXn ?
?
??
0)2()( 2222
22
????? XnpzXnpzn ??
令 222 ),2(),( 22 XnczXnbzna ?????? ??
ch7-106
a
acbbp
a
acbbp
2
4,
2
4 2
2
2
1
????????
所以参数 p 的置信区间为 ( p1,p2 )
例如 自一大批产品中抽取 100个样品,其中有
60个一级品,求这批产品的一级品率 p 的置
信度为 0.95的置信区间,
366.01 0 0 2 ???c
p 的置信区间为 )69.0,50.0(),( 21 ?pp
96.1,05.0,6.0,100 025.0 ???? zxn ?
84.1 0 396.11 0 0 2 ???a
84.123)96.16.01002( 2 ???????b
ch7-107
作业 P.232 习题七
22 23
29 30
32
ch7-108
第 14周 问 题
母亲嗜酒是否影响下一代的健康
美国的 Jones医生于 1974年观察了母
亲在妊娠时曾患慢性酒精中毒的 6名七岁
儿童 （ 称为甲组 ）,以母亲的年龄, 文化
程度及婚姻状况与前 6名儿童的母亲相同
或相近, 但不饮酒的 46名七岁儿童为对
照租 (称为乙组 ),测定两组儿童的智商,
结果如下：
ch7-109
甲 组 6 78 19
乙 组 46 99 16
人数 智商平均数 样本标准差
n x s
智商
组别
由此结果推断母亲嗜酒是否影响下一
代的智力？若有影响，推断其影响程度有
多大?
提示 前一问题属假设检验问题
后一问题属区间估计问题
§ 7.3 区间估计
引例 已知 X ~ N ( ?,1),
不同样本算得的 ? 的估计值不同，
因此除了给出 ? 的点估计外,还希望根据
所给的样本确定一个 随机区间,使其包含
参数真值的概率达到指定的要求,
?的无偏、有效点估计为 X
随机变量常数
ch7-69
如引例中，要找一个区间,使其包含 ? 的
真值的概率为 0.95,( 设 n = 5 )
?
?
?
?
?
?
5
1
,~ ?NX ? ?1,0~
5
1
N
X ??
?
取 05.0??
查表得 96.12/ ??z
ch7-70
这说明
即
称随机区间
为未知参数 ? 的置信度为 0.95的置信区间,
95.05196.15196.1 ??????? ???? XXP ?
05.096.1
5
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?X
P
?????? ?? 5196.1,5196.1 XX
ch7-71
反复抽取容量为 5的样本,都可得到一
个区间,此区间可能包含也可能不包含未知
参数 ? 的真值,而包含真值的区间占 95%.
)5196.1,5196.1( ?? XX
5196.1?X
5196.1?X
??1
置信区间的意义
? 的 置信区间
?的 置信上限
置信度
?的 置信下限
ch7-72
若测得 一组样本值,
它可能包含 也可能不包含 ?的真值,反复
)51,51(
22
?? zXzX ??
当置信区间为 时
则得一区间 (1.86 – 0.877,1.86 + 0.877)
抽样得到的区间中有 95%包含 ? 的真值,
2/?z为什么要取
86.1?x算得
区间的长度为
512 2?z
—— 达到最短
ch7-73
97.3
)13.2(84.1
33
2 1
?
????
? ??
zz
92.3
)96.1(96.1
22
1
?
????
? ??
zz
-2 -1 1 2
0, 1
0, 2
0, 3
0, 4
3
2?z31 ??z
-2 -1 1 2
0, 1
0, 2
0, 3
0, 4
2
?z21 ??z
取 ? = 0.05
ch7-74
设 ? 为待估计参数,? 是一给定的数,
( 0 < ? < 1),若能找到两个统计量
),,,(? 212 nXXX ?? ),,,,(? 211 nXX ??
使得 Θ????? ????? 1)??(
21P
则称随机区间 )?,?( 21 ?? 为参数 ? 的置信度为
1 - ? 的 置信区间,
21 ?,? ??分别称 为 置信下限
与 上限,1 - ? 称为 置信水平 或 置信度,
置信区间的定义
ch7-75
? ? 反映了估计的可靠度,? 越小,越可靠,
?置信区间的长度 反映了估计精度
12 ?? ?? ?
?越小,1- ? 越大,估计的可靠度越高,但
这时,往往增大,因而估计精度降低,
12 ?? ?? ?
12 ?? ?? ?
越小,估计精度越高,
? ? 确定后,置信区间 的选取方法不唯一,
常选最小的一个,
几点说明
ch7-76
求参数
置信区间
保 证
可靠性
先
提高
精 度
再
ch7-77
? 寻找一个样本的函数
),,,,( 2 ?nx XXXg ?
它含有待估参数,不含其它未知参数,
它的分布已知,且分布不依赖于待估参
数 (常由 ? 的点估计出发考虑 ).
?
?
??
?
?
5
1,?NX ～
)1,0(~),,,,(
5
1
21 NXXXg
X
n ?
?
??
?
?
例如
求置信区间的步骤
— 称为 枢轴量
ch7-78
?给定置信度 1 ??,定出常数 a,b,使得
?? ???? 1)),,,(( 21 bXXXgaP n
( 引例中 )96.1,96.1 ??? ba
?由 bXXXga
n ?? ),,,( 21 ?
解出
),,,( 21 nXXX ?? ),,,( 21 nXXX ??
得置信区间 ),( ??
引例中
)5196.1,5196.1(),( ??? XX??
ch7-79
(一 ) 一个正态总体 X ~N ( ???2)的情形
置信区间常用公式
(1) 方差 ? 2已知,?的置信区间
)1(),(
22
???
n
zX
n
zX
??
?? ??
推导
)1,0(~),,,,( 21 N
n
X
XXXg n
?
?
?
?
??
),(~
2
n
NX
?
?由 选取枢轴量
ch7-80
由 确定 ??
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
z
n
X
P
2
?
z
),( 00
22 n
zX
n
zX ?? ?? ??
解
2
?
?
?
z
n
X
?
?
得 ? 的置信度为 的置信区间为??1
ch7-81
(2) 方差 ? 2未知,?的置信区间
)1(~ ?
?
? nT
n
S
X
T
?
由 ?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
)1(
2
nt
n
S
X
P 确定
)1(
2
?nt
?
故 ? 的置信区间为 ?
?
??
?
? ????
n
SntX
n
SntX )1(,)1(
22
??
推导 选取枢轴量
)2()1(,)1(
22
????
?
??
?
? ????
n
SntX
n
SntX
??
ch7-82
(3) 当 ? 已知时,方差 ? 2 的 置信区间
)3(
)(
)(
,
)(
)(
2
1
1
2
2
1
2
22
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
n
X
n
X
n
i
i
n
i
i
?? ?
?
?
?
)(~ 2
1
2
nXQ
n
i
i ?
?
??
?
?
?
??
?
? ??取枢轴量,
得 ? 2 的 置信度为 置信区间为??1
??
?
?
? ?? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1)(
)(
)(
2
2
1
2
2
1
22
n
X
nP
n
i
i
由概率
ch7-83
(4) 当 ? 未知时,方差 ? 2 的置信区间
-2 2 4 6 8 10
0, 0 2 5
0, 0 5
0, 0 7 5
0, 1
0, 1 2 5
0, 1 5
2
?
)1(~)1( 22
2
??? nSnK ??选取
得 ? 2 的置信区间为
)4(
)1(
)1(
,
)1(
)1(
2
1
2
2
2
22
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
Sn
n
Sn
?? ??
2
?
2
2?
?
?
2
1 2?? ?
?
???? ?? ?????? 1))1(( 22
2
2
1 22
SnP
则由
ch7-84
例 1 某工厂生产一批滚珠,其直径 X 服从
解 (1) )6/06.0,(~ ?NX )01.0,( ?N即
)1,0(~
1.0
NX ?? 96.10 2 5.0
2
?? zz ?
正态分布 N( ??? 2),现从某天的产品中随机
(1) 若 ? 2=0.06,求 ? 的置信区间
(2) 若 ? 2未知,求 ? 的置信区间
(3) 求方差 ? 2的置信区间,
抽取 6 件,测得直径为
15.1,14.8,15.2,14.9,14.6,15.1
置信度
均为 0.95
ch7-85
由给定数据算得 95.14
6
1 6
1
?? ?
?i
ixx
由公式 (1) 得 ? 的置信区间为
)15.15,75.14(
)1.096.195.14,1.096.195.14(
?
????
(2) 取 )5(~
6
t
S
X
T
??
? 5 7 0 6.2)5(0 2 5.0 ?t查表
由给定数据算得 95.14?x
226.0.051.0)6(
5
1 26
1
22 ???? ?
?
sxxs
i
i
ch7-86
)187.15,71.14(
))5(
6
),5(
6
( 025.0025.0
?
?? t
s
xt
s
x
由公式 (4) 得 ? 的置信区间为
(3) 选取枢轴量 )5(~5 2
2
2
?
?
SK ?
8 3 1.0)5(,8 3 3.12)5( 20 9 7 52 025.0 ?? ??
)3 0 6 9.0,0 1 9 9.0()
)5(
5,
)5(
5(
2
975.0
2
2
025.0
2
?
??
ss
查表得
.051.02 ?s
由公式 (2) 得 ? 的置信区间为
ch7-87
),,,( 21 nXXX ? 为取自总体 N ( ?1?? 1
2 ) 的样本,
),,,( 21 mYYY ? 为取自总体 N ( ?2? ? 2
2 ) 的样本,
置信度为 1 ??
2221,;,SYSX 分别表示两样本的均值与方差
(二 ) 两个正态总体的情形
ch7-88
),(~),,(~
2
2
2
2
1
1 mNYnNX
???? YX,相互独立,
21 ?? ? 的置信区间为
)1,0(~
)()(
2
2
2
1
21 N
mn
YX
??
??
?
???(1) 2
221,?? 已知,的置信区间21 ?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
mn
zYX
mn
zYX
2
2
2
1
2
2
2
1
22
)(,)(
????
??
)5(???
ch7-89
)1,0(~
11
)()(
),(~
21
22
21
N
mn
YX
mn
NYX
?
??
??
??
?
???
???
)1(~)1( 22
2
1 ?? nSn ?
?
)2(~
2
)1()1(11
)()(
2
2
2
1
21 ??
??
???
?
???
mnt
mn
SmSn
mn
YX ??
2221,?? 22
221 ??? ??
(2) 未知 ( 但 ) 的置信区间21 ?? ?
)2(~)1()1( 22
2
2
2
2
1 ????? mnSmSn ?
??
)1(~)1( 22
2
2 ?? mSm ?
?
ch7-90
21 ?? ? 的置信区间为
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
???
1
2
)1()1(11
)()(
2
2
2
2
1
21
t
mn
SmSn
mn
YX
P
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
???
2
)1()1(11
)(
2
2
2
1
2 mn
SmSn
mn
tYX ?
)6(???
ch7-91
YX,相互独立,
?
?
?
?
?
?
?
?
???
m
S
n
S
zYX
2
2
2
1
2
)( ?
)1,0(~
)()(
2
2
2
1
21 N
m
S
n
S
YX
?
??? ??
2221,??(3) 未知,n,m > 50,的置信区间21 ?? ?
21 ?? ?
的置信区间为因此
m
S
n
S
mn
2
2
2
1
2
2
2
1 ??? ??
)7(??
ch7-92
令 Zi = Xi -Yi,i = 1,2,…,n,可以将它们看成来
自正态总体 Z ~ N ( ? 1?? 2,? 12 + ? 22) 的样本
仿单个 正态总体 公式 (2) 的置信区间为21 ?? ?
? ??
?
???
?
?
n
i
iiZ YXYXnS
1
22 )()(
1
1
2221,??(4) 未知,但 n = m,的置信区间21 ?? ?
?
?
?
?
?
?
???
n
S
ntYX Z)1()(
2
? )8(???
,YXZ ??
ch7-93
取枢轴量
(5) 方差比 2
2
2
1
?
? 的置信区间 ( ?
1,?2 未知 )
)1,1(~
/
/
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
???? mnF
S
S
S
S
F
?
??
?
因此,方差比 2
2
2
1
?
? 的置信区间为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
)1,1(
1
,
)1,1(
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
mnFS
S
mnFS
S
??
)9(???
ch7-94
取枢轴量 ),(~
)(
)(
)(
1
)(
1
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
1
2
1
mnF
Y
X
n
m
Y
m
X
n
F
m
j
j
n
i
i
m
j
j
n
i
i
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(6) 方差比 2
2
2
1
?
? 的置信区间 ( ?
1,?2 已 知 )
ch7-95
因此,方差比
2
2
2
1
?
? 的置信区间为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
),(
)(
)(
,
),(
)(
)(
22
1
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
mnF
Y
X
n
m
mnF
Y
X
n
m
m
j
j
n
i
i
m
j
j
n
i
i
??
?
?
?
?
)10(?
ch7-96
例 2 某厂利用两条自动化流水线罐装番
茄酱, 现分别 从两条流水线上抽取了容量
分别为 13与 17的两个相互独立的样本
1321,,,XXX ? 1721,,,YYY ?
与
已知
22
2
22
1 7.4,4.2
,5.9,6.10
gsgs
gygx
??
??
假设两条流水线上罐装的番茄酱的重量
都服从正态分布,其均值分别为 ? 1与 ? 2
ch7-97
(1) 若它们的方差相同,,22221 ??? ??求均值
(2) 若不知它们的方差是否相同,求它们的
方差比的置信度为 0.95 的置信区间
21 ?? ?
的置信度为 0.95 的置信区间 ;差
ch7-98
)2(~
2
)1()1(11
)()(
2
2
2
1
21 ??
??
???
?
???
mnt
mn
SmSn
mn
YX ??
解
查表得 0484.2)28(
025.0 ?t
21 ?? ?
由公式 (6) 的置信区间为
)5 5 45.2,3 5 45.0(
2
)1()1(11
)(
2
2
2
1
2
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
???
mn
SmSn
mn
tYX ?
(1) 取枢轴量
ch7-99
(2) 枢轴量为 )16,12(~/
/
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1 F
S
S
S
S
F
?
??
?
??
查表得
16.3
1
)12,16(
1
)16,12(
89.2)16,12(
025.0
975.0
025.0
??
?
F
F
F
2
2
2
1
?
?由公式 (9)得方差比 的置信区间为
)6 1 3 6.1,1 7 6 7.0(
)1,1(
1
,
)1,1(
1
975.0
2
2
2
1
025.0
2
2
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???? mnFS
S
mnFS
S
ch7-100
利用数学软件包求正态总体
未知参数的置信区间
的例题可见
第十章 § 10.2 ( P.318)
ch7-101
(三 ) 单侧置信区间
定义 对于给定的 ? (0 < ? < 1),? 是待估参数
),,,( 21 nXXX ? 是总体 X 的样本,
若能确定 一个统计量
),,,( 21 nXXX ??? ?
使得 )1)((1)( ?????? ?????? PP 或
则称 )),(()( ?? ????? 或
为置信度为 1 - ? 的单侧置信区间,
)),,,( 21 nXXX ??? ?或（
? 单侧置信下限 ? 单侧置信上限
ch7-102
例 3 已知灯泡寿命 X 服从正态分布,从中
随机抽取 5 只作寿命试验,测得寿命为
1050,1100,1120,1250,1280 (小时 )
求灯泡寿命均值的单侧置信下限与寿命
方差的单侧置信上限,
解 22,,),(~ ????NX 未知
.9950)5(
4
1 5
1
22 ??? ?
?
xxs
i
i
取,05.0??
,1 1 6 0,5 ?? xn
ch7-103
(1) 选取枢轴量 )4(~ t
n
S
X ??
1318.205.0 ?? tt ?
9.1064
505.0
???? stx?
(2) 选取枢轴量 )4(~)1( 2
2
2
?
?
Sn ?
711.0)4(2 95.0 ??
5 5 9 7 7
)4(
4
2
95.0
2
2 ??
?
? s
ch7-104
若总体 X 的分布未知,但样本容量很大,
由中心极限定理,可近似地视 ),(~
2
nNX
??
若 ?2已知,则 ? 的置信度为 1 - ? 的置信区间
可取为
n
zX
?
?
2
?
若 ?2未知,则 ? 的置信度为 1 - ? 的置信区间
可取为
n
S
tX
2
??
(四 ) 非正态总体的情形
ch7-105
例 4 设 X 服从参数为 p 的 0-1分布,样本为
求 p 的置信度为 1 ?? 的置信区间
解 ),(~
1
pnBX
n
i
i?
?
??? ???
?
?
?? 1)
)1(
)(
(
22
z
pp
pXn
zP
nXXX,,,21 ?
( n > 50 ).
)1,0(~
)1(
)( N
pp
pXn
?
? (近似 )
2
2
2)1(
)(0
?zpp
pXn ?
?
??
0)2()( 2222
22
????? XnpzXnpzn ??
令 222 ),2(),( 22 XnczXnbzna ?????? ??
ch7-106
a
acbbp
a
acbbp
2
4,
2
4 2
2
2
1
????????
所以参数 p 的置信区间为 ( p1,p2 )
例如 自一大批产品中抽取 100个样品,其中有
60个一级品,求这批产品的一级品率 p 的置
信度为 0.95的置信区间,
366.01 0 0 2 ???c
p 的置信区间为 )69.0,50.0(),( 21 ?pp
96.1,05.0,6.0,100 025.0 ???? zxn ?
84.1 0 396.11 0 0 2 ???a
84.123)96.16.01002( 2 ???????b
ch7-107
作业 P.232 习题七
22 23
29 30
32
ch7-108
第 14周 问 题
母亲嗜酒是否影响下一代的健康
美国的 Jones医生于 1974年观察了母
亲在妊娠时曾患慢性酒精中毒的 6名七岁
儿童 （ 称为甲组 ）,以母亲的年龄, 文化
程度及婚姻状况与前 6名儿童的母亲相同
或相近, 但不饮酒的 46名七岁儿童为对
照租 (称为乙组 ),测定两组儿童的智商,
结果如下：
ch7-109
甲 组 6 78 19
乙 组 46 99 16
人数 智商平均数 样本标准差
n x s
智商
组别
由此结果推断母亲嗜酒是否影响下一
代的智力？若有影响，推断其影响程度有
多大?
提示 前一问题属假设检验问题
后一问题属区间估计问题
