1
力 学
力学的研究对象是机械运动,也就是宏观物体之间或
物体内各部分之间相对位臵的移动,它是物理学的重要
基础,
主要参考教材：
,力学, 程稼夫编 科学出版社
,力学, 杨维宏编 中国科技大学出版社
,力学, 郑永令 贾起民编 高教出版社
,力学, 赵凯华 罗蔚茵编 高教出版社
,力学, 钟锡华 周岳明编 北京大学出版社
2
笫一章 质点运动学
㈠ 参考系 质点
㈡ 描述质点运动的物理量
㈢ 运动学中的两类问题
㈣ 平面极坐标系的运用
㈤ 自然坐标系的运用
㈥ 相对运动和伽利略变换
目 录
3
?运动本身是绝对的,而对运动的描述是相对的 ;
?运动的相对性决定描述运动必须选择参考系 ;
?参考系可任选,不同参考系中物体的运动形式
（ 如轨迹, 速度等 ） 可以不同,
㈠ 参考系和 质点
? 太阳参考系 （ 太阳 ─恒星参考系 ）
? 地心参考系 （ 地球 ─ 恒星参考系 ）
? 地面参考系或实验室参考系
? 质心参考系
常用参考系
参考系,描述物体运动而选作参考的物体或物体系,
一、参考系
质点运动学研究机械运动的描述，不追究运动发生的原因,
4
5
坐标系,固结在参考系上的一组有刻度的射线,曲线
或角度,
?坐标系为参考系的数学抽象,
?参考系选定后,坐标系还可任选,
二、时间和空间
物体的运动是在时间和空间中进行的,运动不能脱离空间,
也不能脱离时间, 对运动的描述定量化,需要建立空间的坐
标系和时间的坐标轴,
? 直角坐标系 （ x,y,z ）
? 球极坐标系 （ r,θ,? ）
? 柱坐标系 （ ?,?,z ）
? 自然坐标系 （ ）
常用坐标系
nt ee
??、
6
在牛顿力学范围内，空间与时间是脱离物质与运动的独立存
在；空间是延伸到整个宇宙的容纳物质的三维平直框架，时间
则犹如一座始终均匀运转着的钟。近代的相对论则表明，空间
、时间是与物质及其运动紧密联系的。牛顿力学的绝对时空观
只是实际时空性质的一种近似。
① 时间的单位和标准
1967年国际计量大会规定，把铯 -133原子基态两个精细能
级之间跃迁所相应的辐射周期的 9 192 631 770倍，定义为 1s
的时间间隔,称为原子时,
② 长度的单位和标准
1983年国际计量大会通过了,m”的新定义：,m是光在真空中
1/299 792 458s的时间间隔内所经路径的长度”
7
三、质点
2,质点模型抽象条件
?形状、大小不起作用的运动,如平动 ;
?物体线度远小于研究的尺寸,如地球公转,
?质点突出了”物体具有质量”和”物体占有位臵”两个特征。
3,建立模型的意义
? 对事物的认识总是从简单入手的 ;
? 复杂问题只有忽略次要因素,才能突出主要因素,找到
其运动规律,
1,质点的定义
只具有质量而没有大小和形状的理想物体。
问题：把物体抽象为质点的理论依据是什么？
8
一、位臵矢量（或矢径）
㈡ 描述质点运动的物理量
o
从坐标原点指向空间点的有向线段,
用来确定某时刻质点位臵的矢量 。
1,位矢定义
ktzjtyitxr ???? )()()( ???
2,直角坐标系中的数学表示
)( trr ?? ?
222 )()()()( tztytxtrr ???? ?
大小：
方向：
r
x??co s
r
y??co s
r
z??co s
??tx
??ty
??tz P( t )
??tr?
z
i?
x
y
j?k?
9
质点在一段时间内位臵的改变叫做它在这段时间内的位移 。
二、位移矢量
)()( trttrr ??? ??? ??
1,位移定义
位移是位矢的增量，是时间和时间间隔的函数。与位矢不同
的是，一旦参考系选定了，位移就与参考点的选择无关了。
y
z
P2
P1
o
ΔS
x
? ?ttr ???
??tr?
? ?tr??
o
Δr
Δr
? ?ttr ???
??tr?
10
2,直角坐标系中的数学表示
kzjyixr ???? 1111 ??? kzjyixr ????
2222 ???
kzjyix
kzzjyyixxr
???
????
??????
??????? )()()( 121212
222 )()()( zyxr ???? ????
大小：
r
x?
?
?? ?c o s
r
y?
?
?? ?c o s
r
z?
?
?? ?c o s
方向：
11
三,速度矢量
平均速率
t
sv
?
??
瞬时速度
t
r
t
r
t
trttr
v
t
t
d
d
lim
)()(
lim
0
0 ??
??
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
t
rv
?
? ?? ?平均速度
1,速度
v
t
r
t
sv ?? ???
d
d
d
d
瞬时速率
y
z
P2
P1
o
ΔS
x
? ?ttr ???
??tr?
? ?tr??
12
kzjyixktd zdjtd yditd xdtd rdv ?????????
??
???????
大小：
222
zyx vvvvv ????
?
方向,vvvvvv
zyx /c o s/c o s/c o s ??? ???
注意,?速度的相对性和瞬时性
?速度的矢量性（叠加性和分解性）
?速度方向沿轨迹切线
kvjvivktzjtyitxtrv zyx ??????
??
???????????????
2,直角坐标系中的数学表示
13
四、加速度矢量
瞬时加速度
2
2
0 d
d
)
d
d
(
d
d
d
d
lim
d,0
t
r
t
r
tt
v
t
v
a
vvt
t
????
?
??
????
??
? ?
?
??
?
时当
y
z
P2
P1
0x
1,平均加速度
t
va
?
??? ? 与 方向相同v??
? ?ttv ???
? ?tv?
? ?ttv ???
? ?tv?
? ?tv??
14
kajaia
k
t
z
j
t
y
i
t
x
k
t
v
j
t
v
i
t
v
a
zyx
zyx
???
???????
???
??????
222 d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d 222
2,直角坐标系中的数学表示
注意,?加速度的相对性和瞬时性
?加速度的矢量性（叠加性和分解性）
?加速度的方向为速度变化的方向
大小
t
v
taa d
d
d
vd ??? ??
222
zyx aaaa ???
a
a
a
a
a
a zyx ??? ??? c o s,c o s,c o s
方向
15
运动方程, 质点位臵坐标和时间的函数关系,
五, 运动方程
ktzjtyitxtrr ????? )()()()( ????
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
或
运动方程中包含了质点运动的全部信息。
轨迹方程, 运动方程消去时间 t 得
到的位臵坐标间的函
数关系
0),,( ?zyxF
P( t )
z
r( t )
i?
x
yo j?k?
16
a) 匀速直线运动方程 vtx ?
b) 变速直线运动方程
讨论几种特殊的运动对应的运动方程：
上两种情况运动都是一维的,可以用标量表示质点的运动,
c) 匀加速运动（ 加速度为常矢量）
tavtrv ??
??
??? 0dd
t
va
d
d ?? ? ? ??? v
v
t tdavdtdavd ?
?
????
0 0
17
?实际有些自由落体受空气阻力很大,如雨点,最终运动是
匀速运动，此时速率称收尾速率（ ~10m/s）
2
00 2
1 attvxx ???
特例, 匀加速直线运动,如自由落体 为常矢量，和 在
一条直线上 a
? 0v?
axvv 2202 ??
tdtadtvrdtavtd rdv ?????
??
????? 00
?? ? ??? trr t ttatvr 000 ddd0 ???
?
?
2
00 2
1 tatvrr ???? ???
18
d) 抛体运动
典型的匀加速运动，
ga ?? ?
原理,运动的独立性和叠加性（实验证明）
运动平面在 ),(
0 gv ??
内
?? s i nc o s
00
0000
00
vvvv
gaayx
yx
yx
??
?????
已知：
?
y
x
v0
o
2
00 2
1 tatvrr ???? ???
??
?
?
?
??
?
? 2
0
0
2
1
s i n
c o s
gttvy
tvx
?
?
位臵
??
?
??
??
gtvv
vv
y
x
?
?
s i n
,c o s
0
0tavv ??? ?? 0
速度
19
?实际的子弹和炮弹应用受空气阻力很大，飞行中是在重力加
速度变化的范围运动，但研究的基础仍然是质点运动学的基本
原理。
?? 20
2
c o s2t a n v
gxxy ??轨迹方程
?讨论速度与加速度的方向：
曲线运动时：
?速度方向指向轨道切线方向，并指向前进方向
?加速度方向指向曲率中心一侧
?有了描述质点运动的物理量，以及物理量之间的关系，原
则上可以解决运动学的所有问题。
20
jtRitR
jyixr
??
???
?? s i nc o s ??
??
位矢
Ryxr ??? 22
位矢大小
位矢与 x轴的夹角为 ?
ttttxy ?????? ???? t a nc o ss int a n
222 Ryx ??
轨道方程为
解：
例 1.1,一质点在 xoy 平面内运动,其运动函数为
x=Rcos ?t 和 y=Rsin ?t,其中 R和 ?为正值常量, 求质
点的运动轨道以及任一时刻它的位矢, 速度和加速度,
x
y
R
?
o
(x,y)
21
jtRitRdt rdv ??
??
???? c o ss i n ????
速度
速度分量式
tRvtRv yx ???? c o s,s i n ???
速率
?Rvvv yx ??? 22
x
y v(t)
?
o
?
? ?yxr,?
速度与 x轴的夹角为 ?
tttvv
x
y ?
?
?? c o t
s i n
c o st a n ????
22 ????? ???? t
22
思考,加速度中负号的含义
加速度
jtRitRtva
????
???? s i nc o sdd 22 ????
加速度分量式
tRatRa yx ???? s i n,c o s 22 ????
加速度大小
222 ?Raaa
yx ???
rjtRitRa ???? 22 )s i nc o s( ???? ?????
由几何关系也可得到上述结论
23
例 1.2：设质点的运动方程为
1) 求在 t＝ 1ｓ到 t＝ 4ｓ这段时间间隔内的平均速度 ;
2) 求 t＝ 3ｓ时的速度和速率 ;
3) 作出质点运动的轨迹图。
jtyitxtr ??? )()()( ??
241)(,2)( 2 ???? ttyttx其中
1) 由平均速度的定义式，在 t＝ 1ｓ到 t＝ 4ｓ间隔内的平
均速度为：
)sm(25.1
14
25.26
14
36
1????
?
?
?
?
?
???
ji
jij
t
y
i
t
x
v
??
?????
?
?
?
?
解：
24
2) 求 t＝ 3ｓ时的速度和速率
ttyvtxv yx 21dd,1dd ????
t=3s时速度分量为
)sm(5.1,sm1 11 ?? ???? yx vv
t=3s时速度为
)sm(5.1 1???? jiv ???
? ? )m, s(80.15.11 12/122 ????? vv?
t=3s时的速率为：
由题意知,速度的分量式为,
25
3) 作出质点运动的轨迹图
由运动方程可分别作 x-t,y-t 和 y-x图
x0
y
2 4 6-2-4-6
2
4
6
y-x
2 4 6
2
4
6
x
0
x-t
t
y
0 2 4 6
2
4
6 y-t
t
241)(,2)( 2 ???? ttyttx
26
例 1.3,离水平面高为 h的岸边，有人用绳以恒定速率
v0拉船靠岸。试求, 船靠岸的速度和加速度随船至岸
边距离变化的关系式？
对时间求导得到速度和加速度：
itxtrv ?
??
d
d
d
d ??
it xtva ?
??
2
2
d
d
d
d ??
(1)
(2)
由题意知：
td
rdv ??
0
(3)
jhixjyixr ????? ????
解,在如图所示的坐标系中，船的位矢为：
y
x
o
h
v0
r?
27
由几何关系：
222 hxr ??
对时间 t 求导：
t
xx
t
rr
d
d2
d
d2 ?
t
r
x
r
t
x
d
d
d
d ?
(4)
代入 (3) 式得,
x
hxv
hr
rvv
x
22
0220
???
?
??
y
x
o
h
v0
r?
28
故得,
i
x
hv
t
x
a
i
x
h
v
t
x
v
?
?
?
?
?
?
3
22
0
2
2
2
0
d
d
1
d
d
???
?
?
?
?
?
?
????
分析船的运动特点：
虽然收绳速率是均匀的,但船的前进方向并不是绳子的方向,
故其运动是变速的,加速度也是变化的, 且船速大于收绳的速
度 （？ ） 。
根据加速度定义
3
2
0
22
2
02 x
hv
dt
dx
hx
hv
td
xda 2 ??
?
??
29
㈢ 运动学的两类问题
第一类：运动方程 ?速度和加速度（整体 局部）；
第二类：速度、加速度 ?运动方程（局部 整体）。
一,运动学中的两类问题
第一类：对时间求导
第二类,对时间 积分
)(),()( trtvta ??? ?? ?? 积分
avtr ???,)( ?? ?? 求导
二,两类问题的处理
牛顿认为：瞬时情况更基本，不要先探讨物体运动的整体方
面，而是先弄清局部细节，再积分得到整体性质。 事实上，这种
方法虽说是现代物理学的一种基本方法，但在某些局部过程不得
要领的情况下，从整体上研究也有其独到之处。
30
x
vv
t
x
x
v
t
vxa
d
d
d
d
d
d
d
d)( ???? vdvxdxa ?)(
两端积分得：
??? xxavv d)(22122
3) 已知 )( xaa ?
tdva vdtd vdva ?? )()(
2) 已知 )(vaa ?
对方程两端积分求解
)(taa ?? ?1) 已知
1,求 速度 v?
?? ? tvv tav 0 dd0 ????
t
va
d
d ?? ? tdavd ?? ?
??? t tdavv 00 ???
31
曲线运动中两类问题的处理方法,
?用运动的叠加原理将运动沿坐标轴分解；
?用直线运动规律对各分量运算；
?结果叠加。
三,具体计算时坐标系的选择
直角坐标系：质点加速度为常数；
自然坐标系：质点运动轨迹固定或已知 ;
平面极坐标系：平面运动时质点加速度总是指向空间
某一固定点,
?? ? trr tvr 0 dd0 ????
两边积分
tdvrdtd rdv ??
??
??
由2,求位矢 r?
??? to tdvrr ??? 0
32
例 1.4,已知 0,0,23 00 ???? vxjtia ??? 求,rv ??,
jtitr ??? 22 3123 ??
位臵矢量为：
2
0
2
0
0
2
00
0
3
1
dd
2
3
d3d
ttttvyy
ttttvxx
tt
y
tt
x
????
????
??
??根据积分公式，得
解：
tttavv tt xxx 3d3d 000 ???? ??
得
jtitv ??? 23 ??
2
000 d2d ttttavv
tt
yyy ???? ??
a 是 t 的函数，由公式得
33
㈣ 平面极坐标系的运用
质点的运动方程
? ? ? ?ttrr ?? ??
质点的轨道方程
? ? 0,??rf
re?
?e?
??
r??
0 x
re?
?e?
?
M
N
一、平面极坐标系
在所研究的平面内，取固定于参考物
的一点 0为原点（极点），从它出发引出
一条有刻度的射线为极轴，即建立起平
面极坐标系, 用 两个坐标表示质点的
位臵。其单位矢量分别记为 。
?eer ??,
?,r
r需要注意的是,并不是常
矢量，它们的位臵随质点所在位臵的
不同而不同。
?eer ??,
34
二、位矢、速度、加速度的极坐标表示
位矢：
rerr
?? ?
速度,如图，在 时间间隔内质点的
位移可表示为
t?
21 rrr
??? ?????
t
r
t
r
t
r
v
tt
t
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
1
0
2
0
0
limlim
lim
??
?
?
0 x
re?
re?
?e
?
?e
?
??
?
r??
1r??
2r??
35
加速度,直接利用矢量求导法得
? ??? erer
dt
d
dt
vda
r
?????? ???
?? ?
? erere
dt
dre
dt
drv
rr
??????? ?????
径向速度
?? erdredrr r
???? ????
12
0??t当 时
dt
ed
rerer
dt
edrer r
r
?
?? ???
?
???????
?
???? ?????
36
在平面极坐标的基础上，如果再设定一个垂直于极坐标平面
的 z轴，就构成了柱面坐标系,
代入后整理得
r
r
e
dt
ed
e
dt
ed
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?,
利用矢量图可得
?
??
? ??,rr
? ??? ??,rr
re
?
?e
?
re??
?e??
????
? ? ? ? ???? errerra r ?????????? 22 ????
径向加速度
37
例 1.5：设质点在匀速转动（角速度为 ）的水平转
盘上，从 t=0开始，从中心出发以恒定的速率 u沿半径
运动，求质点的轨迹、速度和加速度,
?
解,取极坐标，极点取在盘心，则质点沿半径的运动即为极
坐标中的径向运动，即
u
dt
drv
r ??
而横向速度
??? r
dt
drv ??
取质点运动所沿的半径在 t=0时的位臵为极轴，则得
t
utr
?? ?
?
38
故质点轨迹为阿基米德螺线
消去 t，则由运动方程得轨迹方程
??ur ?
在极坐标中，其速度为
?? ereuv r
??? ??
其加速度为
? ? ? ?
?
?
??
???
euer
errerra
r
r
??
??????????
2
2
2
2
???
????
39
㈤ 自然坐标系的运用
一、自然坐标系表示法
这种顺着已知的质点运动轨迹建立起
来的坐标系称为 自然坐标系 。
te
?, 切向单位矢量,指向自然坐标增大方向
,法向单位矢量,指向轨道凹侧
ne
?
tttnntt evevevevv
????? ????
运动方程 )( tss ?
速度
在自然坐标系中，质点运动的速度只有切向分量，没有法向分量。
在已知的质点运动轨迹上，选定任意一点 0为原点，用轨迹
的长度 S来描写质点的坐标。为描写质点的运动，规定两个依
赖于质点位臵的单位矢量：
s P
o
ne?
te?
40
二、切向加速度和法向加速度
dtdva t ?切向加速度,质点速度大小变化快慢；
法向加速度,质点速度方向变化快慢。?2va
n ?
如图，在极限情况下
ds
d
ss
??
? ??
??
?? 0
lim1
??
dsedeed
nnt
??? ??
s P te?
o
ne? ??
te??
nt edt
dsve
dt
dv ??
?
1??
nnttnt eaeae
ve
dt
dv ???? ????
?
2
td
edve
td
vd
td
evd(
td
vda t
t
t
?????
???? )
故
41
o
R P1
P2
x
y
三、圆周运动的角量描述
1,角位臵 ?和角位移 ??
2,运动方程 )(t?? ?
3,角速度和角加速度
ttt d
dl i m
0
?
?
???
?
??
? 2
2
0 d
d
d
dlim
tttt
??
?
???
?
???
?
4,线量与角量之间的关系
??
?
??
?
2,??
?
RaRa
Rv
nt
圆周运动只有两个转动方向，逆
时针转动为正，反之，为负方向。
用自然坐标系描述质点运动的优点：
?速度只有切向分量,没有法向分量 ;
?曲线,直线化”,
?
??
? － rad
?－ rad.s-1
?－ rad.s-2
42
5.圆周运动的矢量描述法
角速度矢量 的大小为,方向按右手系指向平行于
转轴的方向, ?
?
dt
d?
如图所示，当坐标原点选在转轴上时为，有
rdtrdv ??
??
??? ?
dt
rdr
dt
d
dt
vda ?????? ????? ??
)(
)(
rr
dt
d
a
rv
dt
rd
????
?
?
?????
?
?
?
??????
??????
??
?
???? )( r??? ??? ?
r????
r?
??
0
43
例 1.6 铅球以 10m/s的速度向斜上方抛出,上升 3.2m
高度后开始下降, 设空气阻力忽略不计,则铅球上升
至最大高度时的曲率半径?
解,
ghvv yy 20 202 ???
在最高点
得
??
?
?
?
??
?
ghvv
ghv
x
y
2
2
2
00
2
0
m
g
ghv 8.3220 ???? ?
?
2v
a n ??
而在最高点 A
?
?
?
?
?
x
n
vv
ga
0
O
A
an
v0
44
㈥ 相对运动与伽利略变换
一、相对运动
通常，把相对观察者静止的参考系称为 定参考系或静参
考系,把相对观察者运动的参考系称为 动参考系 ；把物体相
对于动参考系的运动称为 相对运动,物体相对定参考系的运
动称为 绝对运动,
ΔrS ?
A
ΔrS
x
A?
A?
o
x ?
o ?
y
S系 S?系
y ?
ΔrS ?S
两个相对平动参考系
S ?相对 S平动速度为
SSv ??
SSSS rrr ?? ?? ??? ???
SSSAAS vvv ?? ?? ???
两边除 ?t,取极限
45
SSASSA vvv ?? ?? ???
－ 称为质点 A相对 S系的速度 （ 绝对速度 ）
－ 称为质点 A相对 S ?系的速度 （ 相对速度 ）
－称为 S?系相对于 S系的速度 （ 牵连速度 ）
ASv?
SAv ??
SSv ??
将上式对时间求导，加速度关系为
Aaa ??? ???
dt
vdA
dt
vda
dt
vda SSASSA ?? ???? ??????,,其中：
上述关于质点位矢、运动速度、加速度的相对性，建立了两个
不同的参考系描述同一质点运动的联系，提供了从一个参考系的
运动描述转入另一个参考系描述的可能性,
46
二、伽利略变换
实际上，上面讨论两个相互作匀速直线运动参考系时，在时
空度量问题上隐含着更本质的内涵,
如图，设有两个相对作匀速直线运
动参考系, 相对于 K的速度
为 u.
KK ?,K?
取 x轴沿相对速度 u的方向，则
tt
zz
yy
utxx
??
??
??
???
伽利略坐标变换式
0 x
z
y
0? x?
z?
y?
u?0r??
aa
uvv
utrr
??
??
??
??
???
???
若 t=0时两坐标系重合，则
47
? 注意：叠加与变换的区别
不可将运动的合成与分解和伽利略速度变换关系相混,
叠加发生在同一个参考系,变换涉及不同参考系,
伽利略变换蕴含的时空观－ 绝对时空观
3.关于长度测量一长度测量是绝对的
xx
xxxx
utxxutxx
????
??????
??????
1212
2211,
1.关于同时性－同时性是绝对的
2121,tttttt ???????
2.关于时间间隔－时间间隔是绝对的
12122211,tttttttt ?????????
48
例 1.7 一货车在行驶过程中, 遇到 5m/s竖直下落的大
雨, 车上紧靠挡板平放有长为 l=1m的木板 。 如果木
板上表面距挡板最高端的距离 h=1m,问货车应以多
大的速度行驶, 才能使木板不致淋雨？
045tg ??
l
ha r c?
l h
h
l
45? ?
v雨车
v雨地
v地车
为使木板不致淋湿, 雨滴对
货车的速度 的方向与地
面的夹角 ?必须满足下式,雨车v
?
解：
由图知：
m /s5c t g ?? ?雨地地车 vv ??
和 大小相等而方向相反,所以货车如
以 5m/s的速度行驶,木板就不致淋雨了,车地v
?
地车v
?
49
例 1.8 一实验者 A在以 10m·s-1的速率沿水平轨道前进
的平板车上控制一台弹射器,此弹射器以与车前进的
反方向呈 60o的角斜向上射出一弹丸,此时站在地面上
的另一实验者 B看到弹丸铅直向上运动,求弹丸上升的
高度,
设地面参考系为 S系,平板车参考系为 S?,S?系以速率 u=
10m·s-1 沿 ox 轴正向相对 S系运动
x
60°
y
x'u
y'v'
o' Bo A
解,
50
x
y
v
v
tg ?
?
??
弹丸相对 S系的速度分量为
yyxx vvvuv ?????
S系的实验者 B看到弹丸铅直向上运动 0?
xv
由变速直线运动的公式可得弹丸上升的高度为
? ? m
g
v
y y 3.15
8.92
3.17
2
22
?
?
??
所以
1sm3.17 ??????? ?tgvvv
xyy
1sm10 ??????? uv x
弹丸相对 S?系速度与 x?轴方向夹角
ua
v?
yv?
xv?
51
例 1.9 某人以 4km/h的速度向东前进时, 感觉风从正
北吹来, 若速率增加一倍, 又觉得风从东北吹来 。
试求,风相对于地面的速度？
KAv ??
AKv?
KKv ??
?
KKv ???
KAv ???
450
由伽利略速度变换式
KKKAKKKAAK vvvvv ???? ??????
?????
设 K系是地面参考系,K?系是建立在运动的人身上的参考系。解：
分别为两种条件下人对地的速度；
分别为两种条件下风对人的速度 。
为风对地的速度；
52
?c o s'
2
1
2
45c o s''
''
0
'''
AKAKKK
AKKKKK
vvv
vvv
???
??
由图知：
?s i n45s i n' 0' AKAKKA vvv ???
k m / h66.5
2)2(2' ''''
?
??? KKKKKKAK vvvv
k m / h4'2 0' ??? AKKA vv
k m / h66.5'2'2 ??? AKkkAK vvv
由此解得
KAv ??
AKv?
KKv ??
?
KKv ???
KAv ???
450
53
因为
1
'
' ??
KK
AK
v
vtg ?
所以
045?? 即风速的方向为东南方向。
归纳：质点运动学概要
（ 1）先后引入若干运动学量，用以描述质点位臵的变动及
其各种情态。
（ 2）确立这些运动学量之间的关系。
（ 3）研究质点运动轨道－描述运动轨道，分析轨道特征。
（ 4）给出一个运动学量或一条轨道的若干表达方式或解析表示。
由此可见，质点运动学本质上系几何学。凭借笛卡儿几何学
和微积分学，便形成了一个定量的解析的质点运动学。
54
本章基本要求
1、理解参考系、坐标系的物理意义及质点的应用范围 ;
2、应用矢量和微积分概念，掌握描述运动的四个物理量位
矢、位移、速度、加速度的意义以及它们的相互关系 ;
3、掌握用微积分方法解决运动学两类问题 ;
4、掌握平面极坐标中速度、加速度的表示方法 ;
5、掌握自然坐标系中运动物理量的表示方法，理解切向加
速度和法向加速度的概念 ;
6、基本掌握质点相对运动的变换，理解伽里略变换，了解
经典力学时空观的局限性,
力 学
力学的研究对象是机械运动,也就是宏观物体之间或
物体内各部分之间相对位臵的移动,它是物理学的重要
基础,
主要参考教材：
,力学, 程稼夫编 科学出版社
,力学, 杨维宏编 中国科技大学出版社
,力学, 郑永令 贾起民编 高教出版社
,力学, 赵凯华 罗蔚茵编 高教出版社
,力学, 钟锡华 周岳明编 北京大学出版社
2
笫一章 质点运动学
㈠ 参考系 质点
㈡ 描述质点运动的物理量
㈢ 运动学中的两类问题
㈣ 平面极坐标系的运用
㈤ 自然坐标系的运用
㈥ 相对运动和伽利略变换
目 录
3
?运动本身是绝对的,而对运动的描述是相对的 ;
?运动的相对性决定描述运动必须选择参考系 ;
?参考系可任选,不同参考系中物体的运动形式
（ 如轨迹, 速度等 ） 可以不同,
㈠ 参考系和 质点
? 太阳参考系 （ 太阳 ─恒星参考系 ）
? 地心参考系 （ 地球 ─ 恒星参考系 ）
? 地面参考系或实验室参考系
? 质心参考系
常用参考系
参考系,描述物体运动而选作参考的物体或物体系,
一、参考系
质点运动学研究机械运动的描述，不追究运动发生的原因,
4
5
坐标系,固结在参考系上的一组有刻度的射线,曲线
或角度,
?坐标系为参考系的数学抽象,
?参考系选定后,坐标系还可任选,
二、时间和空间
物体的运动是在时间和空间中进行的,运动不能脱离空间,
也不能脱离时间, 对运动的描述定量化,需要建立空间的坐
标系和时间的坐标轴,
? 直角坐标系 （ x,y,z ）
? 球极坐标系 （ r,θ,? ）
? 柱坐标系 （ ?,?,z ）
? 自然坐标系 （ ）
常用坐标系
nt ee
??、
6
在牛顿力学范围内，空间与时间是脱离物质与运动的独立存
在；空间是延伸到整个宇宙的容纳物质的三维平直框架，时间
则犹如一座始终均匀运转着的钟。近代的相对论则表明，空间
、时间是与物质及其运动紧密联系的。牛顿力学的绝对时空观
只是实际时空性质的一种近似。
① 时间的单位和标准
1967年国际计量大会规定，把铯 -133原子基态两个精细能
级之间跃迁所相应的辐射周期的 9 192 631 770倍，定义为 1s
的时间间隔,称为原子时,
② 长度的单位和标准
1983年国际计量大会通过了,m”的新定义：,m是光在真空中
1/299 792 458s的时间间隔内所经路径的长度”
7
三、质点
2,质点模型抽象条件
?形状、大小不起作用的运动,如平动 ;
?物体线度远小于研究的尺寸,如地球公转,
?质点突出了”物体具有质量”和”物体占有位臵”两个特征。
3,建立模型的意义
? 对事物的认识总是从简单入手的 ;
? 复杂问题只有忽略次要因素,才能突出主要因素,找到
其运动规律,
1,质点的定义
只具有质量而没有大小和形状的理想物体。
问题：把物体抽象为质点的理论依据是什么？
8
一、位臵矢量（或矢径）
㈡ 描述质点运动的物理量
o
从坐标原点指向空间点的有向线段,
用来确定某时刻质点位臵的矢量 。
1,位矢定义
ktzjtyitxr ???? )()()( ???
2,直角坐标系中的数学表示
)( trr ?? ?
222 )()()()( tztytxtrr ???? ?
大小：
方向：
r
x??co s
r
y??co s
r
z??co s
??tx
??ty
??tz P( t )
??tr?
z
i?
x
y
j?k?
9
质点在一段时间内位臵的改变叫做它在这段时间内的位移 。
二、位移矢量
)()( trttrr ??? ??? ??
1,位移定义
位移是位矢的增量，是时间和时间间隔的函数。与位矢不同
的是，一旦参考系选定了，位移就与参考点的选择无关了。
y
z
P2
P1
o
ΔS
x
? ?ttr ???
??tr?
? ?tr??
o
Δr
Δr
? ?ttr ???
??tr?
10
2,直角坐标系中的数学表示
kzjyixr ???? 1111 ??? kzjyixr ????
2222 ???
kzjyix
kzzjyyixxr
???
????
??????
??????? )()()( 121212
222 )()()( zyxr ???? ????
大小：
r
x?
?
?? ?c o s
r
y?
?
?? ?c o s
r
z?
?
?? ?c o s
方向：
11
三,速度矢量
平均速率
t
sv
?
??
瞬时速度
t
r
t
r
t
trttr
v
t
t
d
d
lim
)()(
lim
0
0 ??
??
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
t
rv
?
? ?? ?平均速度
1,速度
v
t
r
t
sv ?? ???
d
d
d
d
瞬时速率
y
z
P2
P1
o
ΔS
x
? ?ttr ???
??tr?
? ?tr??
12
kzjyixktd zdjtd yditd xdtd rdv ?????????
??
???????
大小：
222
zyx vvvvv ????
?
方向,vvvvvv
zyx /c o s/c o s/c o s ??? ???
注意,?速度的相对性和瞬时性
?速度的矢量性（叠加性和分解性）
?速度方向沿轨迹切线
kvjvivktzjtyitxtrv zyx ??????
??
???????????????
2,直角坐标系中的数学表示
13
四、加速度矢量
瞬时加速度
2
2
0 d
d
)
d
d
(
d
d
d
d
lim
d,0
t
r
t
r
tt
v
t
v
a
vvt
t
????
?
??
????
??
? ?
?
??
?
时当
y
z
P2
P1
0x
1,平均加速度
t
va
?
??? ? 与 方向相同v??
? ?ttv ???
? ?tv?
? ?ttv ???
? ?tv?
? ?tv??
14
kajaia
k
t
z
j
t
y
i
t
x
k
t
v
j
t
v
i
t
v
a
zyx
zyx
???
???????
???
??????
222 d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d 222
2,直角坐标系中的数学表示
注意,?加速度的相对性和瞬时性
?加速度的矢量性（叠加性和分解性）
?加速度的方向为速度变化的方向
大小
t
v
taa d
d
d
vd ??? ??
222
zyx aaaa ???
a
a
a
a
a
a zyx ??? ??? c o s,c o s,c o s
方向
15
运动方程, 质点位臵坐标和时间的函数关系,
五, 运动方程
ktzjtyitxtrr ????? )()()()( ????
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
或
运动方程中包含了质点运动的全部信息。
轨迹方程, 运动方程消去时间 t 得
到的位臵坐标间的函
数关系
0),,( ?zyxF
P( t )
z
r( t )
i?
x
yo j?k?
16
a) 匀速直线运动方程 vtx ?
b) 变速直线运动方程
讨论几种特殊的运动对应的运动方程：
上两种情况运动都是一维的,可以用标量表示质点的运动,
c) 匀加速运动（ 加速度为常矢量）
tavtrv ??
??
??? 0dd
t
va
d
d ?? ? ? ??? v
v
t tdavdtdavd ?
?
????
0 0
17
?实际有些自由落体受空气阻力很大,如雨点,最终运动是
匀速运动，此时速率称收尾速率（ ~10m/s）
2
00 2
1 attvxx ???
特例, 匀加速直线运动,如自由落体 为常矢量，和 在
一条直线上 a
? 0v?
axvv 2202 ??
tdtadtvrdtavtd rdv ?????
??
????? 00
?? ? ??? trr t ttatvr 000 ddd0 ???
?
?
2
00 2
1 tatvrr ???? ???
18
d) 抛体运动
典型的匀加速运动，
ga ?? ?
原理,运动的独立性和叠加性（实验证明）
运动平面在 ),(
0 gv ??
内
?? s i nc o s
00
0000
00
vvvv
gaayx
yx
yx
??
?????
已知：
?
y
x
v0
o
2
00 2
1 tatvrr ???? ???
??
?
?
?
??
?
? 2
0
0
2
1
s i n
c o s
gttvy
tvx
?
?
位臵
??
?
??
??
gtvv
vv
y
x
?
?
s i n
,c o s
0
0tavv ??? ?? 0
速度
19
?实际的子弹和炮弹应用受空气阻力很大，飞行中是在重力加
速度变化的范围运动，但研究的基础仍然是质点运动学的基本
原理。
?? 20
2
c o s2t a n v
gxxy ??轨迹方程
?讨论速度与加速度的方向：
曲线运动时：
?速度方向指向轨道切线方向，并指向前进方向
?加速度方向指向曲率中心一侧
?有了描述质点运动的物理量，以及物理量之间的关系，原
则上可以解决运动学的所有问题。
20
jtRitR
jyixr
??
???
?? s i nc o s ??
??
位矢
Ryxr ??? 22
位矢大小
位矢与 x轴的夹角为 ?
ttttxy ?????? ???? t a nc o ss int a n
222 Ryx ??
轨道方程为
解：
例 1.1,一质点在 xoy 平面内运动,其运动函数为
x=Rcos ?t 和 y=Rsin ?t,其中 R和 ?为正值常量, 求质
点的运动轨道以及任一时刻它的位矢, 速度和加速度,
x
y
R
?
o
(x,y)
21
jtRitRdt rdv ??
??
???? c o ss i n ????
速度
速度分量式
tRvtRv yx ???? c o s,s i n ???
速率
?Rvvv yx ??? 22
x
y v(t)
?
o
?
? ?yxr,?
速度与 x轴的夹角为 ?
tttvv
x
y ?
?
?? c o t
s i n
c o st a n ????
22 ????? ???? t
22
思考,加速度中负号的含义
加速度
jtRitRtva
????
???? s i nc o sdd 22 ????
加速度分量式
tRatRa yx ???? s i n,c o s 22 ????
加速度大小
222 ?Raaa
yx ???
rjtRitRa ???? 22 )s i nc o s( ???? ?????
由几何关系也可得到上述结论
23
例 1.2：设质点的运动方程为
1) 求在 t＝ 1ｓ到 t＝ 4ｓ这段时间间隔内的平均速度 ;
2) 求 t＝ 3ｓ时的速度和速率 ;
3) 作出质点运动的轨迹图。
jtyitxtr ??? )()()( ??
241)(,2)( 2 ???? ttyttx其中
1) 由平均速度的定义式，在 t＝ 1ｓ到 t＝ 4ｓ间隔内的平
均速度为：
)sm(25.1
14
25.26
14
36
1????
?
?
?
?
?
???
ji
jij
t
y
i
t
x
v
??
?????
?
?
?
?
解：
24
2) 求 t＝ 3ｓ时的速度和速率
ttyvtxv yx 21dd,1dd ????
t=3s时速度分量为
)sm(5.1,sm1 11 ?? ???? yx vv
t=3s时速度为
)sm(5.1 1???? jiv ???
? ? )m, s(80.15.11 12/122 ????? vv?
t=3s时的速率为：
由题意知,速度的分量式为,
25
3) 作出质点运动的轨迹图
由运动方程可分别作 x-t,y-t 和 y-x图
x0
y
2 4 6-2-4-6
2
4
6
y-x
2 4 6
2
4
6
x
0
x-t
t
y
0 2 4 6
2
4
6 y-t
t
241)(,2)( 2 ???? ttyttx
26
例 1.3,离水平面高为 h的岸边，有人用绳以恒定速率
v0拉船靠岸。试求, 船靠岸的速度和加速度随船至岸
边距离变化的关系式？
对时间求导得到速度和加速度：
itxtrv ?
??
d
d
d
d ??
it xtva ?
??
2
2
d
d
d
d ??
(1)
(2)
由题意知：
td
rdv ??
0
(3)
jhixjyixr ????? ????
解,在如图所示的坐标系中，船的位矢为：
y
x
o
h
v0
r?
27
由几何关系：
222 hxr ??
对时间 t 求导：
t
xx
t
rr
d
d2
d
d2 ?
t
r
x
r
t
x
d
d
d
d ?
(4)
代入 (3) 式得,
x
hxv
hr
rvv
x
22
0220
???
?
??
y
x
o
h
v0
r?
28
故得,
i
x
hv
t
x
a
i
x
h
v
t
x
v
?
?
?
?
?
?
3
22
0
2
2
2
0
d
d
1
d
d
???
?
?
?
?
?
?
????
分析船的运动特点：
虽然收绳速率是均匀的,但船的前进方向并不是绳子的方向,
故其运动是变速的,加速度也是变化的, 且船速大于收绳的速
度 （？ ） 。
根据加速度定义
3
2
0
22
2
02 x
hv
dt
dx
hx
hv
td
xda 2 ??
?
??
29
㈢ 运动学的两类问题
第一类：运动方程 ?速度和加速度（整体 局部）；
第二类：速度、加速度 ?运动方程（局部 整体）。
一,运动学中的两类问题
第一类：对时间求导
第二类,对时间 积分
)(),()( trtvta ??? ?? ?? 积分
avtr ???,)( ?? ?? 求导
二,两类问题的处理
牛顿认为：瞬时情况更基本，不要先探讨物体运动的整体方
面，而是先弄清局部细节，再积分得到整体性质。 事实上，这种
方法虽说是现代物理学的一种基本方法，但在某些局部过程不得
要领的情况下，从整体上研究也有其独到之处。
30
x
vv
t
x
x
v
t
vxa
d
d
d
d
d
d
d
d)( ???? vdvxdxa ?)(
两端积分得：
??? xxavv d)(22122
3) 已知 )( xaa ?
tdva vdtd vdva ?? )()(
2) 已知 )(vaa ?
对方程两端积分求解
)(taa ?? ?1) 已知
1,求 速度 v?
?? ? tvv tav 0 dd0 ????
t
va
d
d ?? ? tdavd ?? ?
??? t tdavv 00 ???
31
曲线运动中两类问题的处理方法,
?用运动的叠加原理将运动沿坐标轴分解；
?用直线运动规律对各分量运算；
?结果叠加。
三,具体计算时坐标系的选择
直角坐标系：质点加速度为常数；
自然坐标系：质点运动轨迹固定或已知 ;
平面极坐标系：平面运动时质点加速度总是指向空间
某一固定点,
?? ? trr tvr 0 dd0 ????
两边积分
tdvrdtd rdv ??
??
??
由2,求位矢 r?
??? to tdvrr ??? 0
32
例 1.4,已知 0,0,23 00 ???? vxjtia ??? 求,rv ??,
jtitr ??? 22 3123 ??
位臵矢量为：
2
0
2
0
0
2
00
0
3
1
dd
2
3
d3d
ttttvyy
ttttvxx
tt
y
tt
x
????
????
??
??根据积分公式，得
解：
tttavv tt xxx 3d3d 000 ???? ??
得
jtitv ??? 23 ??
2
000 d2d ttttavv
tt
yyy ???? ??
a 是 t 的函数，由公式得
33
㈣ 平面极坐标系的运用
质点的运动方程
? ? ? ?ttrr ?? ??
质点的轨道方程
? ? 0,??rf
re?
?e?
??
r??
0 x
re?
?e?
?
M
N
一、平面极坐标系
在所研究的平面内，取固定于参考物
的一点 0为原点（极点），从它出发引出
一条有刻度的射线为极轴，即建立起平
面极坐标系, 用 两个坐标表示质点的
位臵。其单位矢量分别记为 。
?eer ??,
?,r
r需要注意的是,并不是常
矢量，它们的位臵随质点所在位臵的
不同而不同。
?eer ??,
34
二、位矢、速度、加速度的极坐标表示
位矢：
rerr
?? ?
速度,如图，在 时间间隔内质点的
位移可表示为
t?
21 rrr
??? ?????
t
r
t
r
t
r
v
tt
t
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
1
0
2
0
0
limlim
lim
??
?
?
0 x
re?
re?
?e
?
?e
?
??
?
r??
1r??
2r??
35
加速度,直接利用矢量求导法得
? ??? erer
dt
d
dt
vda
r
?????? ???
?? ?
? erere
dt
dre
dt
drv
rr
??????? ?????
径向速度
?? erdredrr r
???? ????
12
0??t当 时
dt
ed
rerer
dt
edrer r
r
?
?? ???
?
???????
?
???? ?????
36
在平面极坐标的基础上，如果再设定一个垂直于极坐标平面
的 z轴，就构成了柱面坐标系,
代入后整理得
r
r
e
dt
ed
e
dt
ed
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?,
利用矢量图可得
?
??
? ??,rr
? ??? ??,rr
re
?
?e
?
re??
?e??
????
? ? ? ? ???? errerra r ?????????? 22 ????
径向加速度
37
例 1.5：设质点在匀速转动（角速度为 ）的水平转
盘上，从 t=0开始，从中心出发以恒定的速率 u沿半径
运动，求质点的轨迹、速度和加速度,
?
解,取极坐标，极点取在盘心，则质点沿半径的运动即为极
坐标中的径向运动，即
u
dt
drv
r ??
而横向速度
??? r
dt
drv ??
取质点运动所沿的半径在 t=0时的位臵为极轴，则得
t
utr
?? ?
?
38
故质点轨迹为阿基米德螺线
消去 t，则由运动方程得轨迹方程
??ur ?
在极坐标中，其速度为
?? ereuv r
??? ??
其加速度为
? ? ? ?
?
?
??
???
euer
errerra
r
r
??
??????????
2
2
2
2
???
????
39
㈤ 自然坐标系的运用
一、自然坐标系表示法
这种顺着已知的质点运动轨迹建立起
来的坐标系称为 自然坐标系 。
te
?, 切向单位矢量,指向自然坐标增大方向
,法向单位矢量,指向轨道凹侧
ne
?
tttnntt evevevevv
????? ????
运动方程 )( tss ?
速度
在自然坐标系中，质点运动的速度只有切向分量，没有法向分量。
在已知的质点运动轨迹上，选定任意一点 0为原点，用轨迹
的长度 S来描写质点的坐标。为描写质点的运动，规定两个依
赖于质点位臵的单位矢量：
s P
o
ne?
te?
40
二、切向加速度和法向加速度
dtdva t ?切向加速度,质点速度大小变化快慢；
法向加速度,质点速度方向变化快慢。?2va
n ?
如图，在极限情况下
ds
d
ss
??
? ??
??
?? 0
lim1
??
dsedeed
nnt
??? ??
s P te?
o
ne? ??
te??
nt edt
dsve
dt
dv ??
?
1??
nnttnt eaeae
ve
dt
dv ???? ????
?
2
td
edve
td
vd
td
evd(
td
vda t
t
t
?????
???? )
故
41
o
R P1
P2
x
y
三、圆周运动的角量描述
1,角位臵 ?和角位移 ??
2,运动方程 )(t?? ?
3,角速度和角加速度
ttt d
dl i m
0
?
?
???
?
??
? 2
2
0 d
d
d
dlim
tttt
??
?
???
?
???
?
4,线量与角量之间的关系
??
?
??
?
2,??
?
RaRa
Rv
nt
圆周运动只有两个转动方向，逆
时针转动为正，反之，为负方向。
用自然坐标系描述质点运动的优点：
?速度只有切向分量,没有法向分量 ;
?曲线,直线化”,
?
??
? － rad
?－ rad.s-1
?－ rad.s-2
42
5.圆周运动的矢量描述法
角速度矢量 的大小为,方向按右手系指向平行于
转轴的方向, ?
?
dt
d?
如图所示，当坐标原点选在转轴上时为，有
rdtrdv ??
??
??? ?
dt
rdr
dt
d
dt
vda ?????? ????? ??
)(
)(
rr
dt
d
a
rv
dt
rd
????
?
?
?????
?
?
?
??????
??????
??
?
???? )( r??? ??? ?
r????
r?
??
0
43
例 1.6 铅球以 10m/s的速度向斜上方抛出,上升 3.2m
高度后开始下降, 设空气阻力忽略不计,则铅球上升
至最大高度时的曲率半径?
解,
ghvv yy 20 202 ???
在最高点
得
??
?
?
?
??
?
ghvv
ghv
x
y
2
2
2
00
2
0
m
g
ghv 8.3220 ???? ?
?
2v
a n ??
而在最高点 A
?
?
?
?
?
x
n
vv
ga
0
O
A
an
v0
44
㈥ 相对运动与伽利略变换
一、相对运动
通常，把相对观察者静止的参考系称为 定参考系或静参
考系,把相对观察者运动的参考系称为 动参考系 ；把物体相
对于动参考系的运动称为 相对运动,物体相对定参考系的运
动称为 绝对运动,
ΔrS ?
A
ΔrS
x
A?
A?
o
x ?
o ?
y
S系 S?系
y ?
ΔrS ?S
两个相对平动参考系
S ?相对 S平动速度为
SSv ??
SSSS rrr ?? ?? ??? ???
SSSAAS vvv ?? ?? ???
两边除 ?t,取极限
45
SSASSA vvv ?? ?? ???
－ 称为质点 A相对 S系的速度 （ 绝对速度 ）
－ 称为质点 A相对 S ?系的速度 （ 相对速度 ）
－称为 S?系相对于 S系的速度 （ 牵连速度 ）
ASv?
SAv ??
SSv ??
将上式对时间求导，加速度关系为
Aaa ??? ???
dt
vdA
dt
vda
dt
vda SSASSA ?? ???? ??????,,其中：
上述关于质点位矢、运动速度、加速度的相对性，建立了两个
不同的参考系描述同一质点运动的联系，提供了从一个参考系的
运动描述转入另一个参考系描述的可能性,
46
二、伽利略变换
实际上，上面讨论两个相互作匀速直线运动参考系时，在时
空度量问题上隐含着更本质的内涵,
如图，设有两个相对作匀速直线运
动参考系, 相对于 K的速度
为 u.
KK ?,K?
取 x轴沿相对速度 u的方向，则
tt
zz
yy
utxx
??
??
??
???
伽利略坐标变换式
0 x
z
y
0? x?
z?
y?
u?0r??
aa
uvv
utrr
??
??
??
??
???
???
若 t=0时两坐标系重合，则
47
? 注意：叠加与变换的区别
不可将运动的合成与分解和伽利略速度变换关系相混,
叠加发生在同一个参考系,变换涉及不同参考系,
伽利略变换蕴含的时空观－ 绝对时空观
3.关于长度测量一长度测量是绝对的
xx
xxxx
utxxutxx
????
??????
??????
1212
2211,
1.关于同时性－同时性是绝对的
2121,tttttt ???????
2.关于时间间隔－时间间隔是绝对的
12122211,tttttttt ?????????
48
例 1.7 一货车在行驶过程中, 遇到 5m/s竖直下落的大
雨, 车上紧靠挡板平放有长为 l=1m的木板 。 如果木
板上表面距挡板最高端的距离 h=1m,问货车应以多
大的速度行驶, 才能使木板不致淋雨？
045tg ??
l
ha r c?
l h
h
l
45? ?
v雨车
v雨地
v地车
为使木板不致淋湿, 雨滴对
货车的速度 的方向与地
面的夹角 ?必须满足下式,雨车v
?
解：
由图知：
m /s5c t g ?? ?雨地地车 vv ??
和 大小相等而方向相反,所以货车如
以 5m/s的速度行驶,木板就不致淋雨了,车地v
?
地车v
?
49
例 1.8 一实验者 A在以 10m·s-1的速率沿水平轨道前进
的平板车上控制一台弹射器,此弹射器以与车前进的
反方向呈 60o的角斜向上射出一弹丸,此时站在地面上
的另一实验者 B看到弹丸铅直向上运动,求弹丸上升的
高度,
设地面参考系为 S系,平板车参考系为 S?,S?系以速率 u=
10m·s-1 沿 ox 轴正向相对 S系运动
x
60°
y
x'u
y'v'
o' Bo A
解,
50
x
y
v
v
tg ?
?
??
弹丸相对 S系的速度分量为
yyxx vvvuv ?????
S系的实验者 B看到弹丸铅直向上运动 0?
xv
由变速直线运动的公式可得弹丸上升的高度为
? ? m
g
v
y y 3.15
8.92
3.17
2
22
?
?
??
所以
1sm3.17 ??????? ?tgvvv
xyy
1sm10 ??????? uv x
弹丸相对 S?系速度与 x?轴方向夹角
ua
v?
yv?
xv?
51
例 1.9 某人以 4km/h的速度向东前进时, 感觉风从正
北吹来, 若速率增加一倍, 又觉得风从东北吹来 。
试求,风相对于地面的速度？
KAv ??
AKv?
KKv ??
?
KKv ???
KAv ???
450
由伽利略速度变换式
KKKAKKKAAK vvvvv ???? ??????
?????
设 K系是地面参考系,K?系是建立在运动的人身上的参考系。解：
分别为两种条件下人对地的速度；
分别为两种条件下风对人的速度 。
为风对地的速度；
52
?c o s'
2
1
2
45c o s''
''
0
'''
AKAKKK
AKKKKK
vvv
vvv
???
??
由图知：
?s i n45s i n' 0' AKAKKA vvv ???
k m / h66.5
2)2(2' ''''
?
??? KKKKKKAK vvvv
k m / h4'2 0' ??? AKKA vv
k m / h66.5'2'2 ??? AKkkAK vvv
由此解得
KAv ??
AKv?
KKv ??
?
KKv ???
KAv ???
450
53
因为
1
'
' ??
KK
AK
v
vtg ?
所以
045?? 即风速的方向为东南方向。
归纳：质点运动学概要
（ 1）先后引入若干运动学量，用以描述质点位臵的变动及
其各种情态。
（ 2）确立这些运动学量之间的关系。
（ 3）研究质点运动轨道－描述运动轨道，分析轨道特征。
（ 4）给出一个运动学量或一条轨道的若干表达方式或解析表示。
由此可见，质点运动学本质上系几何学。凭借笛卡儿几何学
和微积分学，便形成了一个定量的解析的质点运动学。
54
本章基本要求
1、理解参考系、坐标系的物理意义及质点的应用范围 ;
2、应用矢量和微积分概念，掌握描述运动的四个物理量位
矢、位移、速度、加速度的意义以及它们的相互关系 ;
3、掌握用微积分方法解决运动学两类问题 ;
4、掌握平面极坐标中速度、加速度的表示方法 ;
5、掌握自然坐标系中运动物理量的表示方法，理解切向加
速度和法向加速度的概念 ;
6、基本掌握质点相对运动的变换，理解伽里略变换，了解
经典力学时空观的局限性,
