1
笫二章 质点动力学
目 录
1、牛顿三定律
2、力学量的单位及量纲
3、几种常见的力
4、牛顿定律的运用
5、非惯性参考系与虚拟力
2
牛顿在 1687年 发表了具有里程碑意义的, 自然哲学的数学
原理, 一书,牛顿的主要功绩是把考察物体周围所有的物体群（
环境）对该考察物体的作用归结为力，而该物体则在力的作用
下按一定的规律运动。即
环 境 物 体
力
力的定律
运动
运动定律
由此可见,动力学的根本任务就是回答在周围其他物体的
作用下，所考察的物体如何运动。
在牛顿以后，拉格朗日（ J。 L。 Lagrange）和哈密顿（ W。
Hamilton）等人以能量和作用量为基础，从另一途径建立了解
决动力学问题的方法，这就是分析力学。分析力学和牛顿力学
是等效的。
3
㈠ 牛顿三定律
牛顿在, 自然哲学的数学原理, 一书中，把运动规律归纳
为三条定律，现分别叙述如下,
一、第一定律（惯性定律）
该定律最初是伽利略提出的，他设计了两个理想实验：
理想实验之一,当一个球沿斜面向下滚时，其速度增大，
向上滚时速度减小,由此推论，当球沿水平面滚动时，其速度
应不增不减,
？
理想实验之二：
4
说明,
(1) 笫一定律是大量观察和实验事实的抽象与概括；
(2) 第一定律定性提出了, 力, 和, 惯性, 两个重要概念,力
是迫
使物体改变静止或匀速直线运动状态的一种作用； 惯性是
每个物体按其一定的量（质量）而存在的一种抵抗能力。
(3) 第一定律定义了一类重要 的参考系－惯性系；
惯性定律,任何物体都要保持其静止或匀速直线运动的状态
，直到外力迫使它改变运动状态为止。
爱因斯坦说：, 伽利略的发现以及他所用的科学推理方法是人
类思想史上最伟大的成就之一，而且标志着物理学的真正开端,,
当球沿斜面的顶端向下滚后，即沿对面的斜面向上滚，达
到与原来差不多的高度,他推论，若没有摩擦力，减少后一斜
面的斜率，球仍达到同一高度，但这时球要滚得远些,斜率愈
小，球滚得愈远,若将后一斜面放平，球要永远滚下去,
5
二、牛顿第二定律
amdtdvmF ?? ??
牛顿表述：运动的改变与所加的动力成正比，并发生在所
加的力的那个直线方向上。确切的表述应为动量的变化率与
（动）力成正比。
dt
dmv
dt
dvm
dt
vmdF ??? ??? )(即
说明,（ 1）惯性的量度－惯性质量
如图
AF
1a
BF
2a
2
1
122211 a
ammamam ??
若取 的质量为标准质量（可取 ＝ 1），由于 和
都是可测量的，故 的质量可以完全确定。这样，作为导出量
的作用力 F也就完全确定。
1m 1m
2m
1a 2a
6
用惯性大小定义的质量称为惯性质量。是一个绝对量，具
有可加性。其单位称千克（ kg）。千克的标准是保存在巴黎国
际计量局中的一个铂铱圆柱体。
1原子质量单位＝ kg27106 6 0 5 6 5 5.1 ?
（ 2）笫二定律适用的参考系是惯性系 ;
（ 3）笫二定律是瞬时关系式 ;
（ 4）笫二定律是矢量式,使用时可用分量式
数学表达：
2112 FF
?? ??
三、牛顿第三定律
两个物体之间的作用力和反作用力,沿同一直线，大小相等
,方向相反,分别作用在两个物体上。
7
① 作用力与反作用力的性质相同；
②作用力和反作用力是作用在不同的物体上,各产生其
效果；同时产生,同时存在,同时消失,永不抵消,
③ 适用范围：笫三定律不涉及运动，不要求参考系是
惯性系；对于接触力，笫三定律总是正确的，而对于
非接触力，该定律则不一定正确。
说明,
笫三定律是关于力的性质的定律，而不是动力学本身的定律。
物理学中的抽象和定义,伟大的科学理论及其形式常常起始
于卓越的抽象与精当的定义，它们源于科学家对未知的复杂事
物包括实验现象，一番深邃的缜密的反复的思考和分析。牛顿
力学逻辑严谨的理论体系，是物理学理论首创的典范，三百多
年来对物理学和自然科学乃至人类文明，一直有着深刻的影响。
8
㈡ 力学量的单位和量纲
一、基本量和导出量
被选作独立规定单位的物理量称为 基本量,它们
的单位叫 基本单位 ；其他量叫 导出量,其单位叫 导
出单位 。
长度 L(m) 时间 T(s) 质量 M(kg)
电流 I(A) 物质的量 (mol)
热力学温度 C(k) 发光强度 (cd)
国际单位制 (SI)七个基本量及基本单位：
二、单位制
绝对单位制：先规定质量的单位，从而导出力的单位的单位制。
9
三、量纲
应用, ① 在基本量相同的单位制之间进行单位换算,
② 验证公式，检查等式的正确性,
③ 为推导某些复杂公式提供线索，或直接推导公式,
? ? TML sqpA ?
表示一个物理量如何由基本量（包括这些量的幂）组
合的式子，称为物理量的量纲。
量纲法则,只有量纲相同的物理量才能相加、相减、用等号
相联系。
问题：验证平面极坐标系中各物理量的量纲是否相同？
? ?
? ???
?
?
????
???
rrmF
rrmF r
2
2
??
??
10
㈢ 几种常见的力
一、万有引力与重力
rm1 m2
2
21
r
mmGF ?
力 接触力：弹性力和摩擦力
非接触力（场力）：万有引力
重力,地球对表面物体的
万有引力 mg
mg
2R
GMg ?
11
二、分子力与弹性力
分子力即原子间的力,可用半经验公式表示
? ?ts
rrF ts ???
??
弹簧力、正压力、支持力、绳张力 -－
由于分子力，相互接触的物体因彼此形变而产生欲
使物体恢复其原来形状的力,
N
N?
N
kxf ??
胡克定律
斥力
引力
f
r0
12
三、摩擦力
物体与物体相互接触时，沿接触面两物体相互施以阻止
相对滑动的作用力。分子力是产生摩擦的根本原因,
F F
判断下列情况中的摩擦力的方向：
静摩擦力：
滑动摩擦力：
Nf ? 000 ??
Nf ?? ?
方向：与物体相对滑动趋势的方向相反
方向：与物体相对运动的方向相反
干
摩
擦
13
在目前的宇宙中，存在着四类基本的相互作用，所有的
运动现象的原因都逃不出这四类基本的力,各式各样的力只不
过是这四类基本力在不同情况下的不同表现,
四、力的分类
四种力：万有引力，电磁力，强力和弱力
相对强度
表征核子
衰变的力
质子和中子结
合形成原子核
电子和原子核
结合形成原子
恒星结合在一
起形成银河系
相互作用举
例
长程力长程力适用范围 m
弱 力强 力电 磁 力万有引力
1510? 1610???
?
210? 510?3910? 1
14
㈣ 牛顿运动定律应用
一、动力学的典型问题可归结为两类：
笫一类问题：己知作用于物体（质点）上的力，由力
学规律来决定该物体的运动情况或平衡状态,
笫二类问题：己知物体的运动情况或平衡状态，由力
学规律来推究作用于物体上各种力,
力是牛顿力学的核心概念。质点动力学问题的求解，关键是力,
二、约束,对运动物体的一定限制。
约束力：约束物对被约束物体所施的作用力。
主动力：大小和方向与约束无关的作用在物体上的外力。
主动力与约束条件无关，它的变化规律是已知的,如重力、
粘滞阻力等。 而约束力一般都是未知的，是一种被动力,必要
时可由物体的运动去求得，如摩擦力等。
15
约束方程,物体作约束运动时，受到限制常表现为各坐标之间
一定的函数关系。
1m2m
3m
例：如图，求每个物体的加速度?
0
x
x
1x2x
3x
消去 a，得约束条件
02 312 ??? aaa
设动滑轮的中心坐标为 x，加速度
为 a，由约束条件（绳长不变）给出
? ? ? ? 212
13
lxxxx
lxx
????
??
微分两次，得
02
0
12
3
???
??
aaa
aa
16
0
?
TATB
AB
例题 2－ 1 有一轻绳索围绕在圆柱上,绳索绕圆柱的张
角为,绳与圆柱间的静摩擦系数为,求绳索处于
滑动的边缘时,绳两端的张力间的关系,
? ?
1、明确题意，确定研究对象。
2、隔离物体，受力分析，画受力图。
3、选取坐标系，列出分量方程式（包括约束方程）。
4、解方程，讨论。
三、解题步骤：
f? 2?d
?d
dTT?T
N
Y
X
17
Nf ??? 1c o s,
2si n 22 ?
?? ?? dd d又
解：如图，选取研究对象，受力分析 （如图，设圆柱右力
大于左力）,建立坐标系 xy
整理以上方程可得：
NTdd Td ????21
NdT ??
02c o s2c o s)( ???? ??? fdTddTT
X方向：
02s i n2s i n)( ????? NdTddTT ??
y方向：
18
???? eTT AB
?? ? ??? 0 dTdTABTT
???
B
A
T
Tln
讨论, 如果 25.0??
AB
AB
AB
TT
TT
TT
0 0 0 3 9.010
21.02
46.0
????
????
????
时，
时，
时，则：
19
例题 2－ 2 从实验知道,当物体速度不大时,可认为
空气阻力正比于物体的速度,问以初速度竖直向上运
动的物体,其速度将如何变化？
据牛顿第二定律,运动方程为：
dt
dvmvmg ??? ?
mg
y
f
解,运动物体所受力有：
空气阻力 方向向下
重力 mg方向向下
vf ??
20
? ??
??
v
v
t
dt
v
m
g
dv
0 0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1)1( 0
t
mev
mg
mg
v
dt
dvmvmg ????
分离变量再积分：
dt
v
m
g
dv
?
?
??
21
例题 2－ 3 质量为 m的物块置于倾角为 的固定斜
面上，物块与斜面间静摩擦系数为,现
用一水平外力 F推物块，欲使物块不滑动,F的大小
应满足什么条件？
?
??? t a n?，
解：如图，根据平衡条件
0???? FfNgm ????
取图上所示坐标，考察即将
下滑时 平衡方程的分量式为
⑵
⑴
0c o ss i n
0s i nc o s
???
???
??
??
mgFN
mgfF
⑶Nf ???
m
F
?
y
x
N
F
x
y
?
?
f
22
由⑴，⑵，⑶可解得
mgFF ??? ??? s i nc o s c o ss i n1 ????
即当作用力小于 时物块将下滑,但 F也不能太大，否则物
块还可上滑,当物块即将 上滑时,平衡方程为1F
⑸
⑷
0s i nc o s
0s i nc o s
???
???
??
???
FmgN
NmgF
解⑷、⑸两式得
mgFF ??? ??? s i nc o s c o ss i n2 ????
即当 F> 时物块上滑,综合以上结果，物块不滑动的条件为2F
mgFmg ??? ?????? ??? s i nc o s c o ss i ns i nc o s c o ss i n ??????
N
F
x
y
?
?f
23
o
m
R
解：以地面为参考系，并选用自然坐标系：
)1(
2
?
?
?
??
?
?
??
?
dt
dv
mf
R
v
mN分析受力,列方程
例题 2－ 4 质量为 m质点,沿半径为 R的圆环的内壁运
动,整个圆环水平地固定在光滑的桌面上,已知质点
与环壁间的摩擦系数 和质点开始运动的速率,
试求质点在任一时刻的速率。
? 0v
f
v
N
24
)2(Nf ??
综合（ 1）、（ 2）两式有：
dt
dvv
R ?
?? 2
分离变量进行积分,并注意初值条件,有：
? ???
? t v
v v
dvdt
R 0 2
0
t
R
v
vv
??? 0
0
1
25
例题 2－ 5 一质量为 m的物块拴在穿过小孔的轻绳的
一端，在光滑水平台面上以角速度 作半径为
的园周运动，自 t=0时刻起，手拉着绳子的另一端以
匀速 v向下运动，使半径逐渐减少，试求：⑴角速度
与时间的关系 ；⑵绳中的拉力与时间的关系,
0? 0r
? ?t?
解,在平面极坐标中，运动方程为
? ?
? ? ????
????
202
12
??
?
????
???
rrm
Frrm
⑴ 根据题意 ?? ???? ????,,0rvr
由方程 <2>
dtrvdvdtdr 22 ?? ????
r
v
26
vtrrvr ???? 0??
dtvtr vd ???
0
2
?
?
两边积分
0
0
0
0
0
lnln2
0 r
vtrdt
vtr
vd t ???
?? ?? ?
?
?
??
?
? ? ? ? 2
0
2
00
vtr
r
t ???
??
⑵ 代入方程 <1>，得
? ? ? ? ? ? 3
0
4
0
2
0
4
0
4
0
2
0
0
2
vtr
rm
vtr
rvtrmmrF
?
??
?
????? ??? ?
27
㈤ 非惯性参考系与虚拟力
牛顿运动定律只在惯性系中成立,为在非惯性系中用牛顿定律
求解物体的运动，需要引进适当的虚拟力,
amfF i ??? ???虚拟力
0amamFamf i
????? ??????
若非惯性系相对惯性系平动时的加速度为,则a?
aaa ??? ???0
一、平动加速参考系－惯性力
如果物体在加速参考系 中的加速度为,而物体相对惯
性系 K的加速度为,为在形式上在 系中运用牛顿定律，必
须认为物体除受真实力 F的作用外，还受一虚拟力 的作用，即
K? a?
K?
if
0a
28
称为 平移惯性力,真实力与惯性力的合力称为表现力,
“虚拟力”与“真实力”的区别,①不能指出是哪个物体作用，
②没有反作用力，③所有质点都受力，④只要选择
惯性系，就可消除惯性力,
amf i ?? ??
if
例题 2－ 6 一质量为 m的木块静置于质量为 M，倾角为
，高为 h的直角劈的顶部，劈置于水平面上，所有的
接触面都是光滑的，试用非惯性系观点，求木块 m相对
斜面的加速度,
?
解,劈的运动以地面为参考系来考察，
在水平方向上
⑴MaN ??s i n
M
m
?a
29
如图，坐标系 取在劈上木块除受真实力
N和 mg外，还受惯性力,
yxo ???
mafi ??
代入⑵式，即得
? ? g
Mm
mMgax
?
?????
?
???
2s i n
s i ns i nc o s??
要求：把参考系建在地面上处理本题，比较其结果,
由⑴、⑶式消去 N，即得
Mm
mga
?? ?
??
2s i n
c o ss i n
⑶
⑵
??
??
c o ss i n
s i nc o s
mgmaN
xmmgma
??
??? ??
木块的运动方程为 N
mg
mafi ??
0?
x?
y?
30
思考：惯性力是真是假？
在导出非惯性系中运动定律的形式表示的过程中，不时冠以
虚拟力或假想力之定语于惯性力，以与真实作用力相区别，那
是为了免除初学时概念上的混淆,其实，惯性力所产生的物理后
果是真实的，惯性力也可以由测力器测出,过分强调惯性力的假
想性，这在物理思想上是要被质疑的,
爱因斯坦于 1915年创立了广义相对论的理论基础，其基本
原理之一 等效原理，最初表述是，引力与惯性力实际上是
等效的,
二、转动参考系
匀速转动参考系 也是常见的非惯性系,K?
31
1.相对于 系静止的点，惯性离心力K?
静止在 系中的物体若位于过原点而垂直转轴的平面内，
在 K系中看来，物体受力
K?
rermF
?? 2???
而在 系看来，必须认为物体不仅受真实力 F作用，而且
还受虚拟力 作用，两力相抵消，即
惯性离
心力
K?
cf
0?? cfF?
rc ermFf
??? 2??????
当物体并不位于过原点且垂直转轴的
平面上，离心力应写成
? ?rmf c ???? ???? ?? 0
r ? ?r??? ??
r??
?
32
讨论：①重力与纬度的关系
cfPP
??? ??
?
??? c o s202 mRrmf c ??
?? c o s222 cc PffPP ???
惯性离心力的特点：
①离心力与转动参考系的转动角速度有关，与角速度是否
随时间变化无关；②离心力与物体所在位置有关，与物体在转
动系中运动与否无关,
?
cf
p
?p
?
?
由于地球的自转，在地球上测得物体
的重力并非是物体的真实重力，而是表
观重力,如图,是物体所受引力 P和
离心力 的矢量和
if
?p ?
p
33
? ?
289
c o sc o s
81.9
6060242104.6c o s 2620 ????? ???????
mg
mR
P
f c
由于 故，cfP ??
?
?
??
?
? ???? ??
? c o s1c o s P
fPfPP c
c
?????? ?? ?? 2c o s28911PP
实际上由于自转效应，地球稍呈扁平,较准确的结果是
?????? ?? ?? 2c os1 9111PP
?p
在两极处 PP ????
????,,0cos2
在赤道处
?????? ???? 1 9 1111c o s0 PP ???,，
34
g
R
mg
Rm
P
f c
2
2s ins inc o ss in 22 ??????? ???
而 与 的夹角,由图知为?p ?p
在上面讨论中未区分引力质量 和惯性
质量,若要区分，则 GmIm
G
I
m
m
g
R ??
2
2s in2 ???
如果惯性质量与引力质量不成正比，此 角将因物体的质
料不同而异。因而，若用细线将不同质料的物体悬挂起来，悬
线将取不同的方向。匈牙利物理学厄缶利用此原理，在 1908年
完成了一个的 证明引力质量与惯性质量成正比的令人信服的实
验。
?
?
cf
p
?p
?
?
35
② 地球同步卫星定位于赤道上空
地球同步卫星静止于地球上空，必须满足①表观重力 为
零,只有当 时，引力和离心力的矢量和才有可能为零,故地
球同步卫星只能定位于赤道上空；②卫星角速度恰等于地球自
转角速度,即
0??
?P
sTT 6060242 ????,??
? ?
? ?
? ? km
TgRGM
hR
hRm
hR
Mm
G
4 2 00 0
4
3
2
22
3
2
2
2
????
??
?
??
?
kmkmkmh 3 5 6 3 06 3 7 04 2 0 0 0 ???
36
2,相对于 系作匀速运动的点，科里奥利力K?
若物体相对于转动参考系作相对运动,则由转动参考系的观
察者看来，除了惯性离心力外，物体还受到另一惯性力的作
用,此力称为 科里奥利力（法国人 G.Coriolis 1835年提出）,
c c?
0
A A?
B B?
B?
?
??
v?
分析, 如图，相对于惯性系，当质
点 m 以速度 沿半径 oc相对圆盘等
速移动时,同时参与了两个运动,由
A点运动到 点,
v?
B?
? ? 2tvBABBs ?????????????? ??
t?其切向速度不断增大，在 内
37
两式相比，得
?va t ?? 2
其方向与质点相对于圆盘的速
度 垂直，并指向右方,v? c c?
0
A A?
B B?
B?
?
??
v?
? ? 221 tas t ???
在 时，在 弧段内可以应用匀变速直线运
动公式,
0??t BB ???
显然，为使物体获得这个加速度，必须施物体向右的切
向力
?vmmaF tt ??? 2
38
可以证明，物体在圆盘内沿任何方向运动时，都将受到一个
与运动方向垂直的科氏力,在普遍情况下
???? ??? vmf k 2
若以圆盘为参考系，在盘中观察者看来，质点 m 所作的是
沿半径的匀速直线运动，因此，必须认为除了 力外，还有
一个力 作用在物体上,这个力与真实力 大小相等，方向
相反，即
?vmf k ?? 2
kf tF
tF
力 是盘中观察者设想的力，是一个惯性力，即为科里
奥利力,其方向与质点相对于圆盘的速度 垂直，并指向左，
使得
kf
v?
0?? tk Ff ??
39
地球是一个转动参考系，科里奥利力在地球上
的表现：
① 地面上北半球河流冲刷右岸，火车对右轨的偏压较大,
南半球则相反,
② 地球上自由落体偏东,
③ 傅科（ J.L.Foucalt）摆直接证明地球自转,
④ 天气图上，高、低气压环流能长期存在,
① 与相对速度成正比，故只有当物体相对转动参考系运动
时才能出现,
② 与转动角速度的一次方成正比,
③ 力的方向总是与相对速度垂直，不会改变相对速度的大小,
科氏力特征：
40
解释：落体偏东
讨论在赤道平面内的自由落体,
当不考虑科氏力时
kgtv ?? ??
由于运动，科氏力为
? ? jgtmikm g tf k ???? ?? 22 ?????
即科氏力的方向在水平面内指向东方
由此得沿 y方向的运动方程
dt
dvmgtm y??2
?
o mg z
y
kf
?
41
gt
dt
dv y
?2?
将上式积分，并代入初始条件,t=0,得0?
yv
2gtv
y ??
再积分一次，并代入初始条件,t=0,y=0，得
3
3
1 gty ??
设 h=80m，而,得 y=1.6cm sr a d /103.7
5????
如果不是在赤道，而在纬度为 处，则落体偏东距离为
?? c o s31 3gty ?
?
42
例题 2－ 7 质量为 m的小环套在半径为 R光滑大圆环上，
后者在水平面内以匀角速度 绕其上一点 o转动,
试分析小环在大环上运动时的切向加速度和水平面
内所受的约束力,
?
解：如图，以直径 OCB为极轴，位矢
与极轴的夹角为,位矢
与极轴的夹角为,在随大环转动的
参考系中，小环受到三个水平力：
OA
? CA
?
大环的约束力 N（法向）
惯性离心力
2?mrf c ? （沿 ）
其中
2,c o s2
??? ??? ROAr
OA
0 B
Ay
x
CR
r v
N
cf
kf
? ?
43
科氏力 ?mvf
k 2?
（法向）
其中
dt
dRv ??
为小环相对于大环速度，沿
圆环的切线方向。
0 B
Ay
x
CR
r v
N
cf
kf
? ?
⑴ 切向加速度
?????
???
s i ns i nc o s2
s i ns i n
1
22
2
RR
rf
m
a ct
??
??
此式表明，小环的运动是以 B点为平衡位置来回摆动,
44
⑵ 在自然坐标系中，水平面内约束力有
R
mv
maffN nck
2
c o s ????? ?
0 B
Ay
x
CR
r v
N
cf
kf
? ?
? ?
R
mv
mvmR
R
mv
mvmr
R
mv
ffN
kc
2
2
2
2
2
2c os1
2c os
c os
?????
????
?????
???
???
?
小环在大环上运动时所受的约束力沿大环的法线方向。,
45
本章基本要求
1,全面深入理解牛顿运动定律及适用条件。
2,熟练掌握重力、弹性力、摩擦力的规律和计算方法,
3,理解基本单位、导出单位及量纲的意义,
4,熟练掌握运用牛顿定律分析问题的思路和方法，能
运用微积分等数学工具计算一些力学系统的问题。
5,掌握非惯性系中惯性力与科利奥利力的物理意义及
计算方法,
,
笫二章 质点动力学
目 录
1、牛顿三定律
2、力学量的单位及量纲
3、几种常见的力
4、牛顿定律的运用
5、非惯性参考系与虚拟力
2
牛顿在 1687年 发表了具有里程碑意义的, 自然哲学的数学
原理, 一书,牛顿的主要功绩是把考察物体周围所有的物体群（
环境）对该考察物体的作用归结为力，而该物体则在力的作用
下按一定的规律运动。即
环 境 物 体
力
力的定律
运动
运动定律
由此可见,动力学的根本任务就是回答在周围其他物体的
作用下，所考察的物体如何运动。
在牛顿以后，拉格朗日（ J。 L。 Lagrange）和哈密顿（ W。
Hamilton）等人以能量和作用量为基础，从另一途径建立了解
决动力学问题的方法，这就是分析力学。分析力学和牛顿力学
是等效的。
3
㈠ 牛顿三定律
牛顿在, 自然哲学的数学原理, 一书中，把运动规律归纳
为三条定律，现分别叙述如下,
一、第一定律（惯性定律）
该定律最初是伽利略提出的，他设计了两个理想实验：
理想实验之一,当一个球沿斜面向下滚时，其速度增大，
向上滚时速度减小,由此推论，当球沿水平面滚动时，其速度
应不增不减,
？
理想实验之二：
4
说明,
(1) 笫一定律是大量观察和实验事实的抽象与概括；
(2) 第一定律定性提出了, 力, 和, 惯性, 两个重要概念,力
是迫
使物体改变静止或匀速直线运动状态的一种作用； 惯性是
每个物体按其一定的量（质量）而存在的一种抵抗能力。
(3) 第一定律定义了一类重要 的参考系－惯性系；
惯性定律,任何物体都要保持其静止或匀速直线运动的状态
，直到外力迫使它改变运动状态为止。
爱因斯坦说：, 伽利略的发现以及他所用的科学推理方法是人
类思想史上最伟大的成就之一，而且标志着物理学的真正开端,,
当球沿斜面的顶端向下滚后，即沿对面的斜面向上滚，达
到与原来差不多的高度,他推论，若没有摩擦力，减少后一斜
面的斜率，球仍达到同一高度，但这时球要滚得远些,斜率愈
小，球滚得愈远,若将后一斜面放平，球要永远滚下去,
5
二、牛顿第二定律
amdtdvmF ?? ??
牛顿表述：运动的改变与所加的动力成正比，并发生在所
加的力的那个直线方向上。确切的表述应为动量的变化率与
（动）力成正比。
dt
dmv
dt
dvm
dt
vmdF ??? ??? )(即
说明,（ 1）惯性的量度－惯性质量
如图
AF
1a
BF
2a
2
1
122211 a
ammamam ??
若取 的质量为标准质量（可取 ＝ 1），由于 和
都是可测量的，故 的质量可以完全确定。这样，作为导出量
的作用力 F也就完全确定。
1m 1m
2m
1a 2a
6
用惯性大小定义的质量称为惯性质量。是一个绝对量，具
有可加性。其单位称千克（ kg）。千克的标准是保存在巴黎国
际计量局中的一个铂铱圆柱体。
1原子质量单位＝ kg27106 6 0 5 6 5 5.1 ?
（ 2）笫二定律适用的参考系是惯性系 ;
（ 3）笫二定律是瞬时关系式 ;
（ 4）笫二定律是矢量式,使用时可用分量式
数学表达：
2112 FF
?? ??
三、牛顿第三定律
两个物体之间的作用力和反作用力,沿同一直线，大小相等
,方向相反,分别作用在两个物体上。
7
① 作用力与反作用力的性质相同；
②作用力和反作用力是作用在不同的物体上,各产生其
效果；同时产生,同时存在,同时消失,永不抵消,
③ 适用范围：笫三定律不涉及运动，不要求参考系是
惯性系；对于接触力，笫三定律总是正确的，而对于
非接触力，该定律则不一定正确。
说明,
笫三定律是关于力的性质的定律，而不是动力学本身的定律。
物理学中的抽象和定义,伟大的科学理论及其形式常常起始
于卓越的抽象与精当的定义，它们源于科学家对未知的复杂事
物包括实验现象，一番深邃的缜密的反复的思考和分析。牛顿
力学逻辑严谨的理论体系，是物理学理论首创的典范，三百多
年来对物理学和自然科学乃至人类文明，一直有着深刻的影响。
8
㈡ 力学量的单位和量纲
一、基本量和导出量
被选作独立规定单位的物理量称为 基本量,它们
的单位叫 基本单位 ；其他量叫 导出量,其单位叫 导
出单位 。
长度 L(m) 时间 T(s) 质量 M(kg)
电流 I(A) 物质的量 (mol)
热力学温度 C(k) 发光强度 (cd)
国际单位制 (SI)七个基本量及基本单位：
二、单位制
绝对单位制：先规定质量的单位，从而导出力的单位的单位制。
9
三、量纲
应用, ① 在基本量相同的单位制之间进行单位换算,
② 验证公式，检查等式的正确性,
③ 为推导某些复杂公式提供线索，或直接推导公式,
? ? TML sqpA ?
表示一个物理量如何由基本量（包括这些量的幂）组
合的式子，称为物理量的量纲。
量纲法则,只有量纲相同的物理量才能相加、相减、用等号
相联系。
问题：验证平面极坐标系中各物理量的量纲是否相同？
? ?
? ???
?
?
????
???
rrmF
rrmF r
2
2
??
??
10
㈢ 几种常见的力
一、万有引力与重力
rm1 m2
2
21
r
mmGF ?
力 接触力：弹性力和摩擦力
非接触力（场力）：万有引力
重力,地球对表面物体的
万有引力 mg
mg
2R
GMg ?
11
二、分子力与弹性力
分子力即原子间的力,可用半经验公式表示
? ?ts
rrF ts ???
??
弹簧力、正压力、支持力、绳张力 -－
由于分子力，相互接触的物体因彼此形变而产生欲
使物体恢复其原来形状的力,
N
N?
N
kxf ??
胡克定律
斥力
引力
f
r0
12
三、摩擦力
物体与物体相互接触时，沿接触面两物体相互施以阻止
相对滑动的作用力。分子力是产生摩擦的根本原因,
F F
判断下列情况中的摩擦力的方向：
静摩擦力：
滑动摩擦力：
Nf ? 000 ??
Nf ?? ?
方向：与物体相对滑动趋势的方向相反
方向：与物体相对运动的方向相反
干
摩
擦
13
在目前的宇宙中，存在着四类基本的相互作用，所有的
运动现象的原因都逃不出这四类基本的力,各式各样的力只不
过是这四类基本力在不同情况下的不同表现,
四、力的分类
四种力：万有引力，电磁力，强力和弱力
相对强度
表征核子
衰变的力
质子和中子结
合形成原子核
电子和原子核
结合形成原子
恒星结合在一
起形成银河系
相互作用举
例
长程力长程力适用范围 m
弱 力强 力电 磁 力万有引力
1510? 1610???
?
210? 510?3910? 1
14
㈣ 牛顿运动定律应用
一、动力学的典型问题可归结为两类：
笫一类问题：己知作用于物体（质点）上的力，由力
学规律来决定该物体的运动情况或平衡状态,
笫二类问题：己知物体的运动情况或平衡状态，由力
学规律来推究作用于物体上各种力,
力是牛顿力学的核心概念。质点动力学问题的求解，关键是力,
二、约束,对运动物体的一定限制。
约束力：约束物对被约束物体所施的作用力。
主动力：大小和方向与约束无关的作用在物体上的外力。
主动力与约束条件无关，它的变化规律是已知的,如重力、
粘滞阻力等。 而约束力一般都是未知的，是一种被动力,必要
时可由物体的运动去求得，如摩擦力等。
15
约束方程,物体作约束运动时，受到限制常表现为各坐标之间
一定的函数关系。
1m2m
3m
例：如图，求每个物体的加速度?
0
x
x
1x2x
3x
消去 a，得约束条件
02 312 ??? aaa
设动滑轮的中心坐标为 x，加速度
为 a，由约束条件（绳长不变）给出
? ? ? ? 212
13
lxxxx
lxx
????
??
微分两次，得
02
0
12
3
???
??
aaa
aa
16
0
?
TATB
AB
例题 2－ 1 有一轻绳索围绕在圆柱上,绳索绕圆柱的张
角为,绳与圆柱间的静摩擦系数为,求绳索处于
滑动的边缘时,绳两端的张力间的关系,
? ?
1、明确题意，确定研究对象。
2、隔离物体，受力分析，画受力图。
3、选取坐标系，列出分量方程式（包括约束方程）。
4、解方程，讨论。
三、解题步骤：
f? 2?d
?d
dTT?T
N
Y
X
17
Nf ??? 1c o s,
2si n 22 ?
?? ?? dd d又
解：如图，选取研究对象，受力分析 （如图，设圆柱右力
大于左力）,建立坐标系 xy
整理以上方程可得：
NTdd Td ????21
NdT ??
02c o s2c o s)( ???? ??? fdTddTT
X方向：
02s i n2s i n)( ????? NdTddTT ??
y方向：
18
???? eTT AB
?? ? ??? 0 dTdTABTT
???
B
A
T
Tln
讨论, 如果 25.0??
AB
AB
AB
TT
TT
TT
0 0 0 3 9.010
21.02
46.0
????
????
????
时，
时，
时，则：
19
例题 2－ 2 从实验知道,当物体速度不大时,可认为
空气阻力正比于物体的速度,问以初速度竖直向上运
动的物体,其速度将如何变化？
据牛顿第二定律,运动方程为：
dt
dvmvmg ??? ?
mg
y
f
解,运动物体所受力有：
空气阻力 方向向下
重力 mg方向向下
vf ??
20
? ??
??
v
v
t
dt
v
m
g
dv
0 0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1)1( 0
t
mev
mg
mg
v
dt
dvmvmg ????
分离变量再积分：
dt
v
m
g
dv
?
?
??
21
例题 2－ 3 质量为 m的物块置于倾角为 的固定斜
面上，物块与斜面间静摩擦系数为,现
用一水平外力 F推物块，欲使物块不滑动,F的大小
应满足什么条件？
?
??? t a n?，
解：如图，根据平衡条件
0???? FfNgm ????
取图上所示坐标，考察即将
下滑时 平衡方程的分量式为
⑵
⑴
0c o ss i n
0s i nc o s
???
???
??
??
mgFN
mgfF
⑶Nf ???
m
F
?
y
x
N
F
x
y
?
?
f
22
由⑴，⑵，⑶可解得
mgFF ??? ??? s i nc o s c o ss i n1 ????
即当作用力小于 时物块将下滑,但 F也不能太大，否则物
块还可上滑,当物块即将 上滑时,平衡方程为1F
⑸
⑷
0s i nc o s
0s i nc o s
???
???
??
???
FmgN
NmgF
解⑷、⑸两式得
mgFF ??? ??? s i nc o s c o ss i n2 ????
即当 F> 时物块上滑,综合以上结果，物块不滑动的条件为2F
mgFmg ??? ?????? ??? s i nc o s c o ss i ns i nc o s c o ss i n ??????
N
F
x
y
?
?f
23
o
m
R
解：以地面为参考系，并选用自然坐标系：
)1(
2
?
?
?
??
?
?
??
?
dt
dv
mf
R
v
mN分析受力,列方程
例题 2－ 4 质量为 m质点,沿半径为 R的圆环的内壁运
动,整个圆环水平地固定在光滑的桌面上,已知质点
与环壁间的摩擦系数 和质点开始运动的速率,
试求质点在任一时刻的速率。
? 0v
f
v
N
24
)2(Nf ??
综合（ 1）、（ 2）两式有：
dt
dvv
R ?
?? 2
分离变量进行积分,并注意初值条件,有：
? ???
? t v
v v
dvdt
R 0 2
0
t
R
v
vv
??? 0
0
1
25
例题 2－ 5 一质量为 m的物块拴在穿过小孔的轻绳的
一端，在光滑水平台面上以角速度 作半径为
的园周运动，自 t=0时刻起，手拉着绳子的另一端以
匀速 v向下运动，使半径逐渐减少，试求：⑴角速度
与时间的关系 ；⑵绳中的拉力与时间的关系,
0? 0r
? ?t?
解,在平面极坐标中，运动方程为
? ?
? ? ????
????
202
12
??
?
????
???
rrm
Frrm
⑴ 根据题意 ?? ???? ????,,0rvr
由方程 <2>
dtrvdvdtdr 22 ?? ????
r
v
26
vtrrvr ???? 0??
dtvtr vd ???
0
2
?
?
两边积分
0
0
0
0
0
lnln2
0 r
vtrdt
vtr
vd t ???
?? ?? ?
?
?
??
?
? ? ? ? 2
0
2
00
vtr
r
t ???
??
⑵ 代入方程 <1>，得
? ? ? ? ? ? 3
0
4
0
2
0
4
0
4
0
2
0
0
2
vtr
rm
vtr
rvtrmmrF
?
??
?
????? ??? ?
27
㈤ 非惯性参考系与虚拟力
牛顿运动定律只在惯性系中成立,为在非惯性系中用牛顿定律
求解物体的运动，需要引进适当的虚拟力,
amfF i ??? ???虚拟力
0amamFamf i
????? ??????
若非惯性系相对惯性系平动时的加速度为,则a?
aaa ??? ???0
一、平动加速参考系－惯性力
如果物体在加速参考系 中的加速度为,而物体相对惯
性系 K的加速度为,为在形式上在 系中运用牛顿定律，必
须认为物体除受真实力 F的作用外，还受一虚拟力 的作用，即
K? a?
K?
if
0a
28
称为 平移惯性力,真实力与惯性力的合力称为表现力,
“虚拟力”与“真实力”的区别,①不能指出是哪个物体作用，
②没有反作用力，③所有质点都受力，④只要选择
惯性系，就可消除惯性力,
amf i ?? ??
if
例题 2－ 6 一质量为 m的木块静置于质量为 M，倾角为
，高为 h的直角劈的顶部，劈置于水平面上，所有的
接触面都是光滑的，试用非惯性系观点，求木块 m相对
斜面的加速度,
?
解,劈的运动以地面为参考系来考察，
在水平方向上
⑴MaN ??s i n
M
m
?a
29
如图，坐标系 取在劈上木块除受真实力
N和 mg外，还受惯性力,
yxo ???
mafi ??
代入⑵式，即得
? ? g
Mm
mMgax
?
?????
?
???
2s i n
s i ns i nc o s??
要求：把参考系建在地面上处理本题，比较其结果,
由⑴、⑶式消去 N，即得
Mm
mga
?? ?
??
2s i n
c o ss i n
⑶
⑵
??
??
c o ss i n
s i nc o s
mgmaN
xmmgma
??
??? ??
木块的运动方程为 N
mg
mafi ??
0?
x?
y?
30
思考：惯性力是真是假？
在导出非惯性系中运动定律的形式表示的过程中，不时冠以
虚拟力或假想力之定语于惯性力，以与真实作用力相区别，那
是为了免除初学时概念上的混淆,其实，惯性力所产生的物理后
果是真实的，惯性力也可以由测力器测出,过分强调惯性力的假
想性，这在物理思想上是要被质疑的,
爱因斯坦于 1915年创立了广义相对论的理论基础，其基本
原理之一 等效原理，最初表述是，引力与惯性力实际上是
等效的,
二、转动参考系
匀速转动参考系 也是常见的非惯性系,K?
31
1.相对于 系静止的点，惯性离心力K?
静止在 系中的物体若位于过原点而垂直转轴的平面内，
在 K系中看来，物体受力
K?
rermF
?? 2???
而在 系看来，必须认为物体不仅受真实力 F作用，而且
还受虚拟力 作用，两力相抵消，即
惯性离
心力
K?
cf
0?? cfF?
rc ermFf
??? 2??????
当物体并不位于过原点且垂直转轴的
平面上，离心力应写成
? ?rmf c ???? ???? ?? 0
r ? ?r??? ??
r??
?
32
讨论：①重力与纬度的关系
cfPP
??? ??
?
??? c o s202 mRrmf c ??
?? c o s222 cc PffPP ???
惯性离心力的特点：
①离心力与转动参考系的转动角速度有关，与角速度是否
随时间变化无关；②离心力与物体所在位置有关，与物体在转
动系中运动与否无关,
?
cf
p
?p
?
?
由于地球的自转，在地球上测得物体
的重力并非是物体的真实重力，而是表
观重力,如图,是物体所受引力 P和
离心力 的矢量和
if
?p ?
p
33
? ?
289
c o sc o s
81.9
6060242104.6c o s 2620 ????? ???????
mg
mR
P
f c
由于 故，cfP ??
?
?
??
?
? ???? ??
? c o s1c o s P
fPfPP c
c
?????? ?? ?? 2c o s28911PP
实际上由于自转效应，地球稍呈扁平,较准确的结果是
?????? ?? ?? 2c os1 9111PP
?p
在两极处 PP ????
????,,0cos2
在赤道处
?????? ???? 1 9 1111c o s0 PP ???,，
34
g
R
mg
Rm
P
f c
2
2s ins inc o ss in 22 ??????? ???
而 与 的夹角,由图知为?p ?p
在上面讨论中未区分引力质量 和惯性
质量,若要区分，则 GmIm
G
I
m
m
g
R ??
2
2s in2 ???
如果惯性质量与引力质量不成正比，此 角将因物体的质
料不同而异。因而，若用细线将不同质料的物体悬挂起来，悬
线将取不同的方向。匈牙利物理学厄缶利用此原理，在 1908年
完成了一个的 证明引力质量与惯性质量成正比的令人信服的实
验。
?
?
cf
p
?p
?
?
35
② 地球同步卫星定位于赤道上空
地球同步卫星静止于地球上空，必须满足①表观重力 为
零,只有当 时，引力和离心力的矢量和才有可能为零,故地
球同步卫星只能定位于赤道上空；②卫星角速度恰等于地球自
转角速度,即
0??
?P
sTT 6060242 ????,??
? ?
? ?
? ? km
TgRGM
hR
hRm
hR
Mm
G
4 2 00 0
4
3
2
22
3
2
2
2
????
??
?
??
?
kmkmkmh 3 5 6 3 06 3 7 04 2 0 0 0 ???
36
2,相对于 系作匀速运动的点，科里奥利力K?
若物体相对于转动参考系作相对运动,则由转动参考系的观
察者看来，除了惯性离心力外，物体还受到另一惯性力的作
用,此力称为 科里奥利力（法国人 G.Coriolis 1835年提出）,
c c?
0
A A?
B B?
B?
?
??
v?
分析, 如图，相对于惯性系，当质
点 m 以速度 沿半径 oc相对圆盘等
速移动时,同时参与了两个运动,由
A点运动到 点,
v?
B?
? ? 2tvBABBs ?????????????? ??
t?其切向速度不断增大，在 内
37
两式相比，得
?va t ?? 2
其方向与质点相对于圆盘的速
度 垂直，并指向右方,v? c c?
0
A A?
B B?
B?
?
??
v?
? ? 221 tas t ???
在 时，在 弧段内可以应用匀变速直线运
动公式,
0??t BB ???
显然，为使物体获得这个加速度，必须施物体向右的切
向力
?vmmaF tt ??? 2
38
可以证明，物体在圆盘内沿任何方向运动时，都将受到一个
与运动方向垂直的科氏力,在普遍情况下
???? ??? vmf k 2
若以圆盘为参考系，在盘中观察者看来，质点 m 所作的是
沿半径的匀速直线运动，因此，必须认为除了 力外，还有
一个力 作用在物体上,这个力与真实力 大小相等，方向
相反，即
?vmf k ?? 2
kf tF
tF
力 是盘中观察者设想的力，是一个惯性力，即为科里
奥利力,其方向与质点相对于圆盘的速度 垂直，并指向左，
使得
kf
v?
0?? tk Ff ??
39
地球是一个转动参考系，科里奥利力在地球上
的表现：
① 地面上北半球河流冲刷右岸，火车对右轨的偏压较大,
南半球则相反,
② 地球上自由落体偏东,
③ 傅科（ J.L.Foucalt）摆直接证明地球自转,
④ 天气图上，高、低气压环流能长期存在,
① 与相对速度成正比，故只有当物体相对转动参考系运动
时才能出现,
② 与转动角速度的一次方成正比,
③ 力的方向总是与相对速度垂直，不会改变相对速度的大小,
科氏力特征：
40
解释：落体偏东
讨论在赤道平面内的自由落体,
当不考虑科氏力时
kgtv ?? ??
由于运动，科氏力为
? ? jgtmikm g tf k ???? ?? 22 ?????
即科氏力的方向在水平面内指向东方
由此得沿 y方向的运动方程
dt
dvmgtm y??2
?
o mg z
y
kf
?
41
gt
dt
dv y
?2?
将上式积分，并代入初始条件,t=0,得0?
yv
2gtv
y ??
再积分一次，并代入初始条件,t=0,y=0，得
3
3
1 gty ??
设 h=80m，而,得 y=1.6cm sr a d /103.7
5????
如果不是在赤道，而在纬度为 处，则落体偏东距离为
?? c o s31 3gty ?
?
42
例题 2－ 7 质量为 m的小环套在半径为 R光滑大圆环上，
后者在水平面内以匀角速度 绕其上一点 o转动,
试分析小环在大环上运动时的切向加速度和水平面
内所受的约束力,
?
解：如图，以直径 OCB为极轴，位矢
与极轴的夹角为,位矢
与极轴的夹角为,在随大环转动的
参考系中，小环受到三个水平力：
OA
? CA
?
大环的约束力 N（法向）
惯性离心力
2?mrf c ? （沿 ）
其中
2,c o s2
??? ??? ROAr
OA
0 B
Ay
x
CR
r v
N
cf
kf
? ?
43
科氏力 ?mvf
k 2?
（法向）
其中
dt
dRv ??
为小环相对于大环速度，沿
圆环的切线方向。
0 B
Ay
x
CR
r v
N
cf
kf
? ?
⑴ 切向加速度
?????
???
s i ns i nc o s2
s i ns i n
1
22
2
RR
rf
m
a ct
??
??
此式表明，小环的运动是以 B点为平衡位置来回摆动,
44
⑵ 在自然坐标系中，水平面内约束力有
R
mv
maffN nck
2
c o s ????? ?
0 B
Ay
x
CR
r v
N
cf
kf
? ?
? ?
R
mv
mvmR
R
mv
mvmr
R
mv
ffN
kc
2
2
2
2
2
2c os1
2c os
c os
?????
????
?????
???
???
?
小环在大环上运动时所受的约束力沿大环的法线方向。,
45
本章基本要求
1,全面深入理解牛顿运动定律及适用条件。
2,熟练掌握重力、弹性力、摩擦力的规律和计算方法,
3,理解基本单位、导出单位及量纲的意义,
4,熟练掌握运用牛顿定律分析问题的思路和方法，能
运用微积分等数学工具计算一些力学系统的问题。
5,掌握非惯性系中惯性力与科利奥利力的物理意义及
计算方法,
,
