1
笫五章 角动量守恒
1,角动量和力矩
2,质点系角动量定理
3,质心系的角动量定理
4,质点在有心力场中的运动
5,对称性与守恒定律
目 录
2
㈠ 角动量与力矩
单位, skgm /2 量纲,
12 ?MTL
大小,
O A BSm r vL ???? 2s i n
角动量是除动量和能量之外的另一个守恒量,它不但能描
述经典力学中的运动状态，在近代物理理论中在表征状态方
面也是不可缺少的一个基本量,
vmrPrL ????? ????
方向由右手定则确定
一,质点的角动量
角动量被定义为位矢 r与动量 mv的矢积
O
X
Y
Z
A
B
L?
r?
vm?
?
3
讨论,
⑴ 角动量是相对于给定的参考点定义的，且 参考点在所
选的 参考系中必须是固定点。一般把参考点取在坐标原
点。这样，才有
⑵ 角动量是矢量，可用分量形式表示。
在直角坐标系中
? ?
zyx
zyx
ppp
zyx
kji
LLL
???
?，，
vmp ?? ?其中：
vmrPrL ????? ????
0L
r
R0
mv
0?
4
二、力矩
作用力 F，其作用点的位矢为 r，它对 o点的力矩被定义为
方向由右手定则确定
FrM ??? ??
大小,
?s inrFM ?
在直角坐标系中，其分量表示
? ?
zyx
zyx
FFF
zyx
kji
MMM
???
?，，
F
r
d
P
z
O
?
5
二,质点的角动量定理
dt
vmdF )( ??? ?
dt
vmdrFr )( ???? ????
0,??? vvvdt rd ???
?
?
dt
vmdrvmr
dt
d )()( ???? ????
角动量和力矩的物理意义体现在两者所遵从的物理规律上,
? ? ? ? ? ?vmdt rddt vmdrvmrdtd ?
?????
?????
6
—— 质点的角动量定理
LddtM ?? ? 或 ? ??21 12tt LLdtM ???
表明角动量的增量等于冲量矩（角冲量）的积分
dt
LdM
??
?
⑵ 因 在数值上等于 r和 v为邻边的平行四边形面积，
也就是 r在单位时间内所掠过的面积（掠面速度）的两倍，
故角动量与掠面速度成正比，为掠面速度的 2m倍,
vr ???
⑶ 质点角动量定理系由牛顿定律导出，故它仅适用于惯
性系,
? ?Pr
dt
dFr ???? ???
讨论,
⑴ 各量均对同一参考点
7
三,质点的角动量守恒定理
0?M当
c o n s tvmrL ??? ??
守恒条件, ⑴ F=0
⑵ 力 F通过定点 o，即有心力,
⑶ 当外力对定点的某一分量为零时，则
角动量的该分量守恒：
c o ns tLM
c o ns tLM
c o ns tLM
zz
yy
xx
??
??
??
0
0
0
8
例 5.1 一小球沿竖直的光滑圆轨道由静止开始下滑,
求小球在 B点时对环心的角动量和角速度,
解,力矩分析 ?? c o sm g RM
用角动量定理：
dt
dLM ?
dtm g RdL ?? c o s
?? ? ? ??0 320 c o s dgRmL d LL
??? dgRmL d L c o s32
dt
dmRmRL ???? 22
又
RgmR L ?? s in22 ??
?s in223 gmRL ?
B
AR
?
t =0O
mg
?
9
例题 5.2 摆长为 l的锥摆作匀速圆周运动，摆线与铅
垂线成 角，求摆球速率,?
解：如图，在圆锥摆的运动过程
中，摆球相对支点 o的角动量为
.L是一个可以绕 z轴
旋转的矢量,将其分解两个分量
,其大小分别为
vmrL ??? ??
?LLz,
?
?
c o s
s i n
m v lL
m v lL z
?
?
?
显然,不变，而 随时间改变,如图,有
zL ?L
①??? ??????? ?? c o sm v lLLL
zL
?L
mg
??
??
l
?
o
10
另一方面，作用于摆球的外力有张力和重力，张力对支点 o
无力矩，而重力矩的方向与圆周半径垂直，其大小为
②?s i nm g lM ?
在式①两边都除以,并取 极限，利用角动量
定理及式②，得 t?
0??t
??? s i nc o s m g ldtdm v ldtdL ?? ??? c o ss invgdtd ?
而
dt
dlv ??s i n?
?
?
c o s
s in 2
v
glv ?
由此解得
???? c o sc o ss i n l
gglv ??
11
㈡ 质点系角动量定理
一、质点系角动量定理
质点系对给定点的角动量等于各质点对该点的矢量和：
ii
i
ii
i
i
i
i vmrprlL
?????? ????? ???
对 t求导，利用质点角动量定理，则得
? ?ii
i
i
i
i fFr
dt
ld
dt
Ld ???
??
???? ??
内力对体系的总力矩为零，上式变为
体系角动量定理的微分形式
MMFrdtLd
i
ii
i
i
?????
???? ??
12
体系角动量定理的积分形式
体系对给定点角动量的增量等于外力对该点的总冲量矩
??? t dtMLL 00 ???
二、质点系角动量守恒
当外力对定点的总外力矩为零时，则
co n stL ??
质点系角动量定理指出，只有外力矩才对体系的角动量变化
有贡献,内力矩对体系角动量变化无贡献，但对角动量在体系内
的分配是有作用的,
13
(3) 角动量守恒定律是一个独立的规律，并不包含在动量
守恒定律或能量守恒定律中,
(2)角动量守恒定律是矢量式，它有三个分量，各分量可以
分别守恒,
（ a）若,则,
（ b）若,则,
（ c）若,则, c o ns tLM
c o ns tLM
c o ns tLM
zz
yy
xx
??
??
??
0
0
0
⑴ 关于总外力矩 M=0，有三种不同情况：
（ a）对于孤立系统，体系不受外力作用,
（ b）所有外力都通过定点,
（ c）每个外力的力矩不为零，但总外力矩 M=0.
讨论：
14
㈢ 质心系的角动量定理
在处理问题时常采用质心平动系去考察质点系的动力学性
质，那么，如果采用质心参考系，并取质心为参考点时，质
点系相对于质心的角动量随时间的变化规律将如何表述呢?
一、质心系中的角动量定理
质心系若为非惯性系,则加上惯性力的力矩，角动量定理
仍适用,设 为质心系中体系对质心的总角动量,为外力对
质心力矩之和,为惯性力对质心的力矩之和，则
L? 0M?
cM?
dt
LdMM
c
????? ???
0
由于质心平动系中，作用在各质点的惯性力与质量成正比，
方向与质心加速度相反，故对质心的力矩为
15
质心系角动
量微分形式
质心系角动
量积分形式
? ?
? ? 0?????????
?????????
??
??
ciicii
ciicic
armarm
amrFrM
????
?????
即质点系相对质心的角动量的时间变化率等于外力相对质心
的外力矩总和,
00 0 LLdtM
t ?????? ???
注意,质心系角动量定理虽与质点或质点系的角动量定理具
有完全相同的形式，但后者总被强调在惯性系中成立，
而质心即使有加速度，质心系为非惯性系，质心角动
量定理仍成立,
其中 为质心系中质心位矢，它必为零，故
dt
LdM ???
??
0
cr?
?
16
二、质心系的角动量守恒
当外力相对质心的总力矩为零时，体系相对质心的角动量
为恒量
co n stL ??
利用质心系的角动量守恒定理，可以清楚地解释运动员
的跳水过程,
三 体系角动量与质心角动量
在惯性系中，质点系相对于定点的角动量为
ii
i
i vmrL
??? ?? ?
而,代入上式得
iciici vvvrrr ??????
??????
17
? ? ? ?
c
i
ii
i
iicii
i
ic
i
ic
ici
i
ic
vrmvmrvmrvmr
vvmrrL
????????
?????
??
?
?
?
?
?
??????????
?
?
?
?
?
??
??????
????
?
根据质心的定义，上面后两项为零,于是
LprvmrPrL cii
i
ic ?????????? ?
????????
上式表示体系的角动量等于质心角动量与体系
相对于质心角动量之和,
质心角动量 体系相对质心角动量
18
例题 5.3 质量为 的两个质点的位矢和速度分
别为 和,试求⑴每个质点相对于两
质点质心的动量,⑵ 两质点相对于它们的质心的角动
量,
21 mm,
2211 vrvr
????,、
解：⑴ 对于由两个质点构成的质点系，引入相对速度 u
212112 vvvvvu ???????
??????
考虑到质心系是零动量参考系,即
02211 ???? vmvm ??
可得
umm mvumm mv ????
21
1
2
21
2
1 ?
???
??
?
由此可得，每个质点相对于质心的动量分别为
19
两质点的约化质量
⑵ 利用质心表达式，每个质点相对于质心的位矢分别为
? ?
? ?
21
121
21
121
22
21
122
21
212
11
mm
rm
mm
rrm
rrr
mm
rm
mm
rrm
rrr
c
c
?
??
?
?
????
?
?
?
?
????
???
???
???
???
uvmp
uu
mm
mm
vmp
???
????
?
?
?????
?
?
????
222
21
21
111
故两个质点相对于它们的质心的角动量为
? ?urur
prprL c
????
?????
?? ????
????????
1212
2211
20
(2) 两 体问题,对于质量可以比拟的孤立 两 体问题，总可以
把其中一个物体看作固定力心，只要另一物体的质量用折
合质量 代替。这就是说，无固定力心的 两 体问题等效
于一质量为 的质点在固定力心的有心力作用下的运动
。
也就把 两 体问题化成单体问题。
?
?
注, (1) 在利用电子相对于质子的距离和速度来计算一个氢原子
的角动量时，必须用电子 -质子系统的约化质量来代替电子
质量,
即
? ?
? ?r
r
UrE
rrlrfr
??
???
2
2
1
?
??
???????
?
??
?
?
其中 是从 指向 的矢量 方向的单位矢量
2mr?? 1m 21 rrr ??? ??
1m
2m
2r?
cr?
1r?
1cr?
2cr?
0
c
21
㈣ 质点在有心力场中的运动
一、有心力
所谓有心力，就是方向始终指向（或背向）固定中心的力,
该固定中心称为力心,在许多情况下，有心力的大小
仅与考察点至力心的距离有关，即
保守有心力
有心力存在的空间称为有心力场,如万有引力场、
库仑力场、分子力场,
? ? rr efF
?? ??
? ? rr efF
?? ?
22
二、有心力场质点运动的一般特征
在有心力场中，质点的运动方程为
其特征：
⑴ 运动必定在一个平面上
当质点的初速度给定后，质点只能在初速度与初始矢径
所构成的平面内运动,往往用平面极坐标描述运动,取力心为
原点，运动方程为
? ? rr efrm ???? ?
? ? ? ?
? ? ②
①
02
2
??
??
??
?
?
?????
????
rrme
frrme rr
方向
方向
23
有心力对原点的力矩为零，故质点对原点的角动量守恒,
⑵ 两个守恒量
对②式两边乘 r，再对时间积分得
? ? ? ?
? ?
? ?c o ns tLmr
mr
dt
d
rrrmrrmr
??
?
????
?
?
????
?
?
????????
2
2
2
0
022
有心力为保守力，质点的机械能守恒
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?c ons tEErrm
c ons tEEmvmvEE
rp
rprpk
????
?????
?
?
?? 222
22
2
1
2
1
2
1
?
?
24
⑶ 有效势能与轨道特征
因 是运动常量，故机械能守恒定律可写为??2mrL ?
? ? ? ? c o ns tErmEmr
LrmE
rprp ??????
~
2
1
22
1 2
2
2
2 ??
设有两个质量分别为 m,M 的质点，
则引力势能为
? ? r
mMGE
rp ??
? ? 2
2
2
~
rm
L
r
G M mE
rp ???
当角动量 L取某一确定值，而总能量取
各种不同的可能值时，质点将在有心力
场中作不同类型的轨道运动,
有效势能
25
三、开普勒三定律和万有引力定律
人们对金、木、水、火、土五颗行星的运动有过长期的观
察，特别是丹麦天文学家第谷（ Tyeho Brahe,1546-1601）进
行了连续 20年的仔细观测和记录，他的学生开普勒（ Kepler
Johamnes,1571-1630）则花了大约 20年的时间分析这些数据，
总结出三条行星运动规律。
1,开普勒行星运动定律
(1)轨道定律,行星沿椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一
个焦点上；
(2)面积定律,对任一行星，它的矢径在相等的时间内扫过
的面积相等；
(3)周期定律,行星绕太阳运动轨道半长轴 a的立方正比
于公转周期 T的平方,即
23aT ?
26
? 利用角动量守恒定律证明开普勒面积定律
用 表示从 0到速度矢量 v的垂直
距离，则有 ?r
Ssrsr ????? ? 2s i n ?
掠面速度
如图，行星对太阳 0的角动量大小为
?s i nr m vprL ??? ??
?????? ???
??
?s i nlim
0 t
srmL
t
其中 是 时间内行星与太阳间的联线所扫过的面积，故
dt
dSm
t
SmL
t
22lim
0
??
?
??
?
?
?
??
??
S? t?
L
M r
mv
?
27
28
由于万有引力为有心力，它对力心的力矩总是等于零，
故角动量守恒，亦即
c o ns tmLdtdS ?? 2
这就证明了掠面速度不变，也就是开普勒笫二定律,实
际上，此定律与角动量守恒定律等价,
1r
2r
p
1v
2v
如图，由解析几何知，椭圆方程为
? 太阳在焦点位臵
1
22
??
?
??
?
???
?
??
?
?
b
y
a
x
两焦点在长轴上位臵坐标为
22 bac ??
c?
29
设行星远日点和近日点的距离分别为,对应的速
度为,由机械能守恒，有 21 rr、
21 vv,
2
2
2
1
2
1 2
1
2
1
r
MmGmv
r
MmGmv ???
???
?
???
? ???
12
2
1
2
2
112
rr
GMvv
由角动量守恒，有
2211 mvrmvr ?
2
1
1
2
r
r
v
v ?
30
考虑到,最后求得? ? arr 2
21 ??
cabaar ????? 222
这表明太阳位臵坐标为（ -c），这正是几何上的椭圆焦
点位臵,这一结果与天文观测资料的一致，证认了牛顿力学
理论的正确性,最为重要的是一举同时证认了引力二次方反
比律和运动定律两者的正确性,
解得
2
021 barr ?? ?
2
20
2
2
r
MmGvm ?
?
根据向心力公式和长轴端点弧元的曲率半径，有
a
b 2
0 ??
31
2,万有引力定律
开普勒行星运动定律蕴涵着更为简洁、更为普遍的
万有引力定律,其中的奥秘直到牛顿才被破译出来。
根据开普勒轨道定律，为简便起见，可把行星轨道看作
圆形。这样，行星应作匀速圆周运动。因
23aT ?
而,故
T
rv ?2?
rr
rv 1
2
3 ?? 2
1
ra ?
2r
mmaF ??
取比例系数为 k,则得
2r
mkF ?
32
牛顿认为这种引力是万有的、普适的、统一的，即所有物
体之间都存在这种引力，称之为万有引力。
对地球和月球之间的吸引力应有
2
月
月
地月地 r
mkF ?
?
2
地
地
月地月 r
mkF ?
?
根据牛顿第三定律，由以上两式得
月
月
地
地
m
k
m
k ?
其比值应是一个与地球和月球都无关的普适常数，设
其为 G,有
月月
地地
Gmk
Gmk
?
?
33
于是，地、月之间的引力为
2r
mmGF 月地?
普适的万有引力定律则可描述为
2
21
r
mmGF ?
G称为万有引力常数,因为引力太弱，又不能屏蔽对它的
干扰，实验很难做，故万有引力常数是目前测量最不精
确的一个基本物理常量。
? ? ? ?? ?? ? 2312 2 ???? TLMm rfG其量纲为
? ? ? ?2311 /10856 7 2 5 9.6 skgmG ??? ?
34
（五） 对称性与守恒定律
一 对称性
对称性 (symmetry)是人们在观察和认识自然的过程中产生
的一种观念。 我们把系统从一个状态变到另一个状态的过程叫
做, 变换,,或者说，给它一个, 操作, 。 如果一个操作使系
统从一个状态变到另一个与之等价的状态，或者说，状态在此
操作下不变，则称这个系统对于这一操作是, 对称, 的，而这
个操作叫做这个系统的一个, 对称操作, 。
物理学的规律是有层次的，层次越深，则规律越基本、越
简单，其适用性也越广泛，但也越不容易被揭示出来。
由于变换或操作方式的不同，可以有各种不同的对称性。
最常见的对称操作是时空操作，相应的对称性称为时空对称
性 。空间操作有平移、转动、镜象反射、空间反演等；时间
操作有时间平移、时间反演等。
35
二 对称性与守恒定律
内特尔定理,如果运动规律在某一不明显依赖于时间的
变换下具有不变性，必相应存在一个守恒定律。
对称性原理与守恒定律是跨越物理学各个领域的普遍
法则，因此在未涉及一些具体定律之前，往往有可能根据
对称性原理与守恒定律作出一些定性的判断，得到一些有
用的信息。
运动规律对时间原点选择的平移不变性决定了能量守恒；
运动规律对空间原点选择的平移不变性决定了动量守恒；
运动规律对空间转动的不变性决定了角动量守恒。
物理规律的对称性又称为不变性（ invariannce）
36
下面讨论时空对称性与动量守恒定律：
为简单起见，假设一个体系由两个相互作用着的粒子组
成，它们只限于在具有平移对称性的 x轴上运动，如图所示。
设两粒子的坐标分别为,体系的势能为21,xx
xx ??1 xx ??2
x
2x
? ?1x? ? ?2x?
x
0
? ?21,xxEE pp ?
当体系发生一平移 时，两
粒子的坐标分别为
x?
xxx
xxx
????
????
22
11
但两粒子间的距离未变，即
xxxx ???? 12
37
空间的平移对称性意味着势能与无关，即空间平移操作下
势能保持不变，故
? ? ? ? ? ?1212 xxExxExEE pppp ???????
在这样的条件下，坐标 1和 2所受的力分别为
x
E
x
x
x
E
x
EF ppp
?
??
?
?
?
???
?
???
11
1
x
E
x
x
x
E
x
EF ppp
?
???
?
?
?
???
?
???
22
2
021 ?? FF
按照力的定义式，则有
? ? 02121 ?????????? ppttptp
这就是动量守恒定律。因此，从空间平移对称性导出了
动量守恒定律
38
本章基本要求
1.理解角动量和力矩的物理意义，特别是所涉及的矢量关系,
2.掌握质点和质点系角动量定理及守恒定律，并能处理一些
实际问题,
3.掌握质心系的角动量定理，理解质心系中处理问题的特点
及与实验室坐标系的互换关系,
4.掌握质点在有心力场中运动的基本规律，理解开普勒三定
律的意义,
5.了解对称性的意义，及与守恒定律的关系。
笫五章 角动量守恒
1,角动量和力矩
2,质点系角动量定理
3,质心系的角动量定理
4,质点在有心力场中的运动
5,对称性与守恒定律
目 录
2
㈠ 角动量与力矩
单位, skgm /2 量纲,
12 ?MTL
大小,
O A BSm r vL ???? 2s i n
角动量是除动量和能量之外的另一个守恒量,它不但能描
述经典力学中的运动状态，在近代物理理论中在表征状态方
面也是不可缺少的一个基本量,
vmrPrL ????? ????
方向由右手定则确定
一,质点的角动量
角动量被定义为位矢 r与动量 mv的矢积
O
X
Y
Z
A
B
L?
r?
vm?
?
3
讨论,
⑴ 角动量是相对于给定的参考点定义的，且 参考点在所
选的 参考系中必须是固定点。一般把参考点取在坐标原
点。这样，才有
⑵ 角动量是矢量，可用分量形式表示。
在直角坐标系中
? ?
zyx
zyx
ppp
zyx
kji
LLL
???
?，，
vmp ?? ?其中：
vmrPrL ????? ????
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4
二、力矩
作用力 F，其作用点的位矢为 r，它对 o点的力矩被定义为
方向由右手定则确定
FrM ??? ??
大小,
?s inrFM ?
在直角坐标系中，其分量表示
? ?
zyx
zyx
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zyx
kji
MMM
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?，，
F
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d
P
z
O
?
5
二,质点的角动量定理
dt
vmdF )( ??? ?
dt
vmdrFr )( ???? ????
0,??? vvvdt rd ???
?
?
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vmdrvmr
dt
d )()( ???? ????
角动量和力矩的物理意义体现在两者所遵从的物理规律上,
? ? ? ? ? ?vmdt rddt vmdrvmrdtd ?
?????
?????
6
—— 质点的角动量定理
LddtM ?? ? 或 ? ??21 12tt LLdtM ???
表明角动量的增量等于冲量矩（角冲量）的积分
dt
LdM
??
?
⑵ 因 在数值上等于 r和 v为邻边的平行四边形面积，
也就是 r在单位时间内所掠过的面积（掠面速度）的两倍，
故角动量与掠面速度成正比，为掠面速度的 2m倍,
vr ???
⑶ 质点角动量定理系由牛顿定律导出，故它仅适用于惯
性系,
? ?Pr
dt
dFr ???? ???
讨论,
⑴ 各量均对同一参考点
7
三,质点的角动量守恒定理
0?M当
c o n s tvmrL ??? ??
守恒条件, ⑴ F=0
⑵ 力 F通过定点 o，即有心力,
⑶ 当外力对定点的某一分量为零时，则
角动量的该分量守恒：
c o ns tLM
c o ns tLM
c o ns tLM
zz
yy
xx
??
??
??
0
0
0
8
例 5.1 一小球沿竖直的光滑圆轨道由静止开始下滑,
求小球在 B点时对环心的角动量和角速度,
解,力矩分析 ?? c o sm g RM
用角动量定理：
dt
dLM ?
dtm g RdL ?? c o s
?? ? ? ??0 320 c o s dgRmL d LL
??? dgRmL d L c o s32
dt
dmRmRL ???? 22
又
RgmR L ?? s in22 ??
?s in223 gmRL ?
B
AR
?
t =0O
mg
?
9
例题 5.2 摆长为 l的锥摆作匀速圆周运动，摆线与铅
垂线成 角，求摆球速率,?
解：如图，在圆锥摆的运动过程
中，摆球相对支点 o的角动量为
.L是一个可以绕 z轴
旋转的矢量,将其分解两个分量
,其大小分别为
vmrL ??? ??
?LLz,
?
?
c o s
s i n
m v lL
m v lL z
?
?
?
显然,不变，而 随时间改变,如图,有
zL ?L
①??? ??????? ?? c o sm v lLLL
zL
?L
mg
??
??
l
?
o
10
另一方面，作用于摆球的外力有张力和重力，张力对支点 o
无力矩，而重力矩的方向与圆周半径垂直，其大小为
②?s i nm g lM ?
在式①两边都除以,并取 极限，利用角动量
定理及式②，得 t?
0??t
??? s i nc o s m g ldtdm v ldtdL ?? ??? c o ss invgdtd ?
而
dt
dlv ??s i n?
?
?
c o s
s in 2
v
glv ?
由此解得
???? c o sc o ss i n l
gglv ??
11
㈡ 质点系角动量定理
一、质点系角动量定理
质点系对给定点的角动量等于各质点对该点的矢量和：
ii
i
ii
i
i
i
i vmrprlL
?????? ????? ???
对 t求导，利用质点角动量定理，则得
? ?ii
i
i
i
i fFr
dt
ld
dt
Ld ???
??
???? ??
内力对体系的总力矩为零，上式变为
体系角动量定理的微分形式
MMFrdtLd
i
ii
i
i
?????
???? ??
12
体系角动量定理的积分形式
体系对给定点角动量的增量等于外力对该点的总冲量矩
??? t dtMLL 00 ???
二、质点系角动量守恒
当外力对定点的总外力矩为零时，则
co n stL ??
质点系角动量定理指出，只有外力矩才对体系的角动量变化
有贡献,内力矩对体系角动量变化无贡献，但对角动量在体系内
的分配是有作用的,
13
(3) 角动量守恒定律是一个独立的规律，并不包含在动量
守恒定律或能量守恒定律中,
(2)角动量守恒定律是矢量式，它有三个分量，各分量可以
分别守恒,
（ a）若,则,
（ b）若,则,
（ c）若,则, c o ns tLM
c o ns tLM
c o ns tLM
zz
yy
xx
??
??
??
0
0
0
⑴ 关于总外力矩 M=0，有三种不同情况：
（ a）对于孤立系统，体系不受外力作用,
（ b）所有外力都通过定点,
（ c）每个外力的力矩不为零，但总外力矩 M=0.
讨论：
14
㈢ 质心系的角动量定理
在处理问题时常采用质心平动系去考察质点系的动力学性
质，那么，如果采用质心参考系，并取质心为参考点时，质
点系相对于质心的角动量随时间的变化规律将如何表述呢?
一、质心系中的角动量定理
质心系若为非惯性系,则加上惯性力的力矩，角动量定理
仍适用,设 为质心系中体系对质心的总角动量,为外力对
质心力矩之和,为惯性力对质心的力矩之和，则
L? 0M?
cM?
dt
LdMM
c
????? ???
0
由于质心平动系中，作用在各质点的惯性力与质量成正比，
方向与质心加速度相反，故对质心的力矩为
15
质心系角动
量微分形式
质心系角动
量积分形式
? ?
? ? 0?????????
?????????
??
??
ciicii
ciicic
armarm
amrFrM
????
?????
即质点系相对质心的角动量的时间变化率等于外力相对质心
的外力矩总和,
00 0 LLdtM
t ?????? ???
注意,质心系角动量定理虽与质点或质点系的角动量定理具
有完全相同的形式，但后者总被强调在惯性系中成立，
而质心即使有加速度，质心系为非惯性系，质心角动
量定理仍成立,
其中 为质心系中质心位矢，它必为零，故
dt
LdM ???
??
0
cr?
?
16
二、质心系的角动量守恒
当外力相对质心的总力矩为零时，体系相对质心的角动量
为恒量
co n stL ??
利用质心系的角动量守恒定理，可以清楚地解释运动员
的跳水过程,
三 体系角动量与质心角动量
在惯性系中，质点系相对于定点的角动量为
ii
i
i vmrL
??? ?? ?
而,代入上式得
iciici vvvrrr ??????
??????
17
? ? ? ?
c
i
ii
i
iicii
i
ic
i
ic
ici
i
ic
vrmvmrvmrvmr
vvmrrL
????????
?????
??
?
?
?
?
?
??????????
?
?
?
?
?
??
??????
????
?
根据质心的定义，上面后两项为零,于是
LprvmrPrL cii
i
ic ?????????? ?
????????
上式表示体系的角动量等于质心角动量与体系
相对于质心角动量之和,
质心角动量 体系相对质心角动量
18
例题 5.3 质量为 的两个质点的位矢和速度分
别为 和,试求⑴每个质点相对于两
质点质心的动量,⑵ 两质点相对于它们的质心的角动
量,
21 mm,
2211 vrvr
????,、
解：⑴ 对于由两个质点构成的质点系，引入相对速度 u
212112 vvvvvu ???????
??????
考虑到质心系是零动量参考系,即
02211 ???? vmvm ??
可得
umm mvumm mv ????
21
1
2
21
2
1 ?
???
??
?
由此可得，每个质点相对于质心的动量分别为
19
两质点的约化质量
⑵ 利用质心表达式，每个质点相对于质心的位矢分别为
? ?
? ?
21
121
21
121
22
21
122
21
212
11
mm
rm
mm
rrm
rrr
mm
rm
mm
rrm
rrr
c
c
?
??
?
?
????
?
?
?
?
????
???
???
???
???
uvmp
uu
mm
mm
vmp
???
????
?
?
?????
?
?
????
222
21
21
111
故两个质点相对于它们的质心的角动量为
? ?urur
prprL c
????
?????
?? ????
????????
1212
2211
20
(2) 两 体问题,对于质量可以比拟的孤立 两 体问题，总可以
把其中一个物体看作固定力心，只要另一物体的质量用折
合质量 代替。这就是说，无固定力心的 两 体问题等效
于一质量为 的质点在固定力心的有心力作用下的运动
。
也就把 两 体问题化成单体问题。
?
?
注, (1) 在利用电子相对于质子的距离和速度来计算一个氢原子
的角动量时，必须用电子 -质子系统的约化质量来代替电子
质量,
即
? ?
? ?r
r
UrE
rrlrfr
??
???
2
2
1
?
??
???????
?
??
?
?
其中 是从 指向 的矢量 方向的单位矢量
2mr?? 1m 21 rrr ??? ??
1m
2m
2r?
cr?
1r?
1cr?
2cr?
0
c
21
㈣ 质点在有心力场中的运动
一、有心力
所谓有心力，就是方向始终指向（或背向）固定中心的力,
该固定中心称为力心,在许多情况下，有心力的大小
仅与考察点至力心的距离有关，即
保守有心力
有心力存在的空间称为有心力场,如万有引力场、
库仑力场、分子力场,
? ? rr efF
?? ??
? ? rr efF
?? ?
22
二、有心力场质点运动的一般特征
在有心力场中，质点的运动方程为
其特征：
⑴ 运动必定在一个平面上
当质点的初速度给定后，质点只能在初速度与初始矢径
所构成的平面内运动,往往用平面极坐标描述运动,取力心为
原点，运动方程为
? ? rr efrm ???? ?
? ? ? ?
? ? ②
①
02
2
??
??
??
?
?
?????
????
rrme
frrme rr
方向
方向
23
有心力对原点的力矩为零，故质点对原点的角动量守恒,
⑵ 两个守恒量
对②式两边乘 r，再对时间积分得
? ? ? ?
? ?
? ?c o ns tLmr
mr
dt
d
rrrmrrmr
??
?
????
?
?
????
?
?
????????
2
2
2
0
022
有心力为保守力，质点的机械能守恒
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?c ons tEErrm
c ons tEEmvmvEE
rp
rprpk
????
?????
?
?
?? 222
22
2
1
2
1
2
1
?
?
24
⑶ 有效势能与轨道特征
因 是运动常量，故机械能守恒定律可写为??2mrL ?
? ? ? ? c o ns tErmEmr
LrmE
rprp ??????
~
2
1
22
1 2
2
2
2 ??
设有两个质量分别为 m,M 的质点，
则引力势能为
? ? r
mMGE
rp ??
? ? 2
2
2
~
rm
L
r
G M mE
rp ???
当角动量 L取某一确定值，而总能量取
各种不同的可能值时，质点将在有心力
场中作不同类型的轨道运动,
有效势能
25
三、开普勒三定律和万有引力定律
人们对金、木、水、火、土五颗行星的运动有过长期的观
察，特别是丹麦天文学家第谷（ Tyeho Brahe,1546-1601）进
行了连续 20年的仔细观测和记录，他的学生开普勒（ Kepler
Johamnes,1571-1630）则花了大约 20年的时间分析这些数据，
总结出三条行星运动规律。
1,开普勒行星运动定律
(1)轨道定律,行星沿椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一
个焦点上；
(2)面积定律,对任一行星，它的矢径在相等的时间内扫过
的面积相等；
(3)周期定律,行星绕太阳运动轨道半长轴 a的立方正比
于公转周期 T的平方,即
23aT ?
26
? 利用角动量守恒定律证明开普勒面积定律
用 表示从 0到速度矢量 v的垂直
距离，则有 ?r
Ssrsr ????? ? 2s i n ?
掠面速度
如图，行星对太阳 0的角动量大小为
?s i nr m vprL ??? ??
?????? ???
??
?s i nlim
0 t
srmL
t
其中 是 时间内行星与太阳间的联线所扫过的面积，故
dt
dSm
t
SmL
t
22lim
0
??
?
??
?
?
?
??
??
S? t?
L
M r
mv
?
27
28
由于万有引力为有心力，它对力心的力矩总是等于零，
故角动量守恒，亦即
c o ns tmLdtdS ?? 2
这就证明了掠面速度不变，也就是开普勒笫二定律,实
际上，此定律与角动量守恒定律等价,
1r
2r
p
1v
2v
如图，由解析几何知，椭圆方程为
? 太阳在焦点位臵
1
22
??
?
??
?
???
?
??
?
?
b
y
a
x
两焦点在长轴上位臵坐标为
22 bac ??
c?
29
设行星远日点和近日点的距离分别为,对应的速
度为,由机械能守恒，有 21 rr、
21 vv,
2
2
2
1
2
1 2
1
2
1
r
MmGmv
r
MmGmv ???
???
?
???
? ???
12
2
1
2
2
112
rr
GMvv
由角动量守恒，有
2211 mvrmvr ?
2
1
1
2
r
r
v
v ?
30
考虑到,最后求得? ? arr 2
21 ??
cabaar ????? 222
这表明太阳位臵坐标为（ -c），这正是几何上的椭圆焦
点位臵,这一结果与天文观测资料的一致，证认了牛顿力学
理论的正确性,最为重要的是一举同时证认了引力二次方反
比律和运动定律两者的正确性,
解得
2
021 barr ?? ?
2
20
2
2
r
MmGvm ?
?
根据向心力公式和长轴端点弧元的曲率半径，有
a
b 2
0 ??
31
2,万有引力定律
开普勒行星运动定律蕴涵着更为简洁、更为普遍的
万有引力定律,其中的奥秘直到牛顿才被破译出来。
根据开普勒轨道定律，为简便起见，可把行星轨道看作
圆形。这样，行星应作匀速圆周运动。因
23aT ?
而,故
T
rv ?2?
rr
rv 1
2
3 ?? 2
1
ra ?
2r
mmaF ??
取比例系数为 k,则得
2r
mkF ?
32
牛顿认为这种引力是万有的、普适的、统一的，即所有物
体之间都存在这种引力，称之为万有引力。
对地球和月球之间的吸引力应有
2
月
月
地月地 r
mkF ?
?
2
地
地
月地月 r
mkF ?
?
根据牛顿第三定律，由以上两式得
月
月
地
地
m
k
m
k ?
其比值应是一个与地球和月球都无关的普适常数，设
其为 G,有
月月
地地
Gmk
Gmk
?
?
33
于是，地、月之间的引力为
2r
mmGF 月地?
普适的万有引力定律则可描述为
2
21
r
mmGF ?
G称为万有引力常数,因为引力太弱，又不能屏蔽对它的
干扰，实验很难做，故万有引力常数是目前测量最不精
确的一个基本物理常量。
? ? ? ?? ?? ? 2312 2 ???? TLMm rfG其量纲为
? ? ? ?2311 /10856 7 2 5 9.6 skgmG ??? ?
34
（五） 对称性与守恒定律
一 对称性
对称性 (symmetry)是人们在观察和认识自然的过程中产生
的一种观念。 我们把系统从一个状态变到另一个状态的过程叫
做, 变换,,或者说，给它一个, 操作, 。 如果一个操作使系
统从一个状态变到另一个与之等价的状态，或者说，状态在此
操作下不变，则称这个系统对于这一操作是, 对称, 的，而这
个操作叫做这个系统的一个, 对称操作, 。
物理学的规律是有层次的，层次越深，则规律越基本、越
简单，其适用性也越广泛，但也越不容易被揭示出来。
由于变换或操作方式的不同，可以有各种不同的对称性。
最常见的对称操作是时空操作，相应的对称性称为时空对称
性 。空间操作有平移、转动、镜象反射、空间反演等；时间
操作有时间平移、时间反演等。
35
二 对称性与守恒定律
内特尔定理,如果运动规律在某一不明显依赖于时间的
变换下具有不变性，必相应存在一个守恒定律。
对称性原理与守恒定律是跨越物理学各个领域的普遍
法则，因此在未涉及一些具体定律之前，往往有可能根据
对称性原理与守恒定律作出一些定性的判断，得到一些有
用的信息。
运动规律对时间原点选择的平移不变性决定了能量守恒；
运动规律对空间原点选择的平移不变性决定了动量守恒；
运动规律对空间转动的不变性决定了角动量守恒。
物理规律的对称性又称为不变性（ invariannce）
36
下面讨论时空对称性与动量守恒定律：
为简单起见，假设一个体系由两个相互作用着的粒子组
成，它们只限于在具有平移对称性的 x轴上运动，如图所示。
设两粒子的坐标分别为,体系的势能为21,xx
xx ??1 xx ??2
x
2x
? ?1x? ? ?2x?
x
0
? ?21,xxEE pp ?
当体系发生一平移 时，两
粒子的坐标分别为
x?
xxx
xxx
????
????
22
11
但两粒子间的距离未变，即
xxxx ???? 12
37
空间的平移对称性意味着势能与无关，即空间平移操作下
势能保持不变，故
? ? ? ? ? ?1212 xxExxExEE pppp ???????
在这样的条件下，坐标 1和 2所受的力分别为
x
E
x
x
x
E
x
EF ppp
?
??
?
?
?
???
?
???
11
1
x
E
x
x
x
E
x
EF ppp
?
???
?
?
?
???
?
???
22
2
021 ?? FF
按照力的定义式，则有
? ? 02121 ?????????? ppttptp
这就是动量守恒定律。因此，从空间平移对称性导出了
动量守恒定律
38
本章基本要求
1.理解角动量和力矩的物理意义，特别是所涉及的矢量关系,
2.掌握质点和质点系角动量定理及守恒定律，并能处理一些
实际问题,
3.掌握质心系的角动量定理，理解质心系中处理问题的特点
及与实验室坐标系的互换关系,
4.掌握质点在有心力场中运动的基本规律，理解开普勒三定
律的意义,
5.了解对称性的意义，及与守恒定律的关系。
