1
第七章 机械振动
1.简谐振动
2.简谐振动的合成
3.阻尼振动、受迫振动与共振
目 录
2
㈠ 简谐振动
机械振动,物体在一定位置附近作周期性往复运动,
。振动,描述物体运动状态的物理量在某一数值附近往复变化,
特征,⑴ 重复性、周期性；
⑵ 任意周期运动的分解－周期函数的傅里叶分析
简谐振动被证明为各式周期运动的基元成分,在数学
上,一个周期为 T的函数 可以被展开为一系列不同频
率的简谐函数的叠加－傅里叶级数展开：
? ? ? ? ????? ?,2,12c o s0 ntfcxx
n
nnnt ??
??tx
其中 而 被称为基频，其他频率皆为
基频的整数倍,
Tfnff n /111 ??,
3
理想模型 —— 轻弹簧、振动质点；小球的运动简化为弹
性力作用下的直线运动,
kxF ??
由牛顿定律：
kxdt xdm ??2
2
弹簧振子的运动
一,简谐振动的特征及其表达式
2??
m
k令
022
2
?? x
dt
xd ?
4
方程的解为：
)c o s ( ?? ?? tAx
— 简谐振动的运动方程
速度表达式：
)
2
c os (
)s i n (
?
???
???
???
????
tA
tA
dt
dx
v
加速度表达式：
)c os (
)c os (
2
2
2
2
????
???
???
????
tA
tA
dt
xd
a
5
二, 描述简谐振动的特征参量
振幅 A：简谐振动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值
周期 T：完成一次全振动所需时间
?
?2?T
m
k??
k
mT ?2?
频率,?
m
k
T ?
?
2
11 ??
角频率,?
T
???? 22 ??
无论什么初条件，一旦系统振动起来，就有确定的角频率，
它是弹性系统特征的集中体现，故称 为本征频率,?
6
202
0 )( ?
vxA ??
0
0
x
vtg
?
? ??
相位：决定简谐运动状态的物理量 ）（ ?? ?t
初相：决定初始时刻物体运动状态的物理量 ?
00,,0 vvxxt ???
?cos0 Ax ? ?? s in0 Av ??
设
? 初始条件决定振幅和初相位
相位比时间更直接更清晰地反映振子运动的状态,
7
解：
m
v
xA 22
2
02
0 100.2
???
?
??142 ?????? ST
代入简谐振动表达式，则有
)344c o s (100.2 2 ?? ??? ? tx
例题 7.1.一放置在水平桌面上的弹簧振子,周期为 0.5
s。当 t=0时，
1020 2 1 8.0,100.1 ?? ???? msvmx
求 运动方程
3
0
0 ???
x
vtg
?
? ??
3
4?
8
三、常见的简谐振动
（ 1）竖直悬挂的弹簧振子
选平衡位置为坐标原点
平衡时
klmg ?
位移 X时
kxxlkmgF ????? )(
故物体仍做简谐振动
x
l
0
9
（ 2）单摆
重力形成的力矩，在角度很小时有
?? m g lm g l ??? s in
根据转动定律
)( 22
2
mlJJm g ldtd ??? ??
02
2
?? ?? lgdtd
表明：单摆的运动也是谐振动，故
g
lT
l
g ?? 2,??
? l
mgo
10
（ 3）复摆。一可绕水平固定轴摆动的刚体。
类似单摆写出方程为：
??? m g lm g ldtdJ ???? s in2
2
?? Jm g ldtd ??? 2
2
m g l
JT
J
m g l ?? 2,??
０
Ｃ?
l
mg
结论：一维保守力在稳定平衡位置附近一定是准弹性力。
11
1、旋转矢量图示法
?
?t+?
o p x
t=0
?
A?
A?
M
说明,
? 旋转矢量法是研究简谐振动的一种直观方法 ;
? 不能把 M的运动误认为简谐振动。
四、简谐振动的表示法
作坐标轴 ox,自原点作一矢量
模 － 振幅 A
角速度－角频率
与 x 轴的夹角－相位
初始与 x 轴的夹角－初相
A?
?? ?t
?
?
12P点坐标、速度和加速度都作简谐振动
矢端在 x 轴投影的运动规律：
P点的坐标
)c o s ( ?? ?? tAx
M点位矢在 x 轴上的投影
速度
)s i n ( ??? ??? tAv
M点速率在 x 轴上的投影
加速度 )c o s (
2 ??? ??? tAa
M点向心加速度在 x 轴上的投影
??t+?o
p x
t=0
?
A?
A? M
13
例题 7.2 一物体沿 x 轴作简谐振动,振幅为 0.24m,周
期为 2s,当 t=0时 x0=0.12m,且向 x 轴正方向运动,
试求, 1) 振动方程 ; 2) 从 x=?0.12m,且向 x轴负方向运
动的状态,回到平衡位置所需的时间,
当 t =0时,x0=0.12m,v0>0
为确定初相,画出 t=0时旋转矢量的位置
??? ??? T2
由题知
m24.0?A s2?T
解, 1) 设振动方程为 )c o s ( ?? ?? tAx
?o p x
t=0
?
A?
M
14
A
x 0c o s ??
振动方程为,
m)3c o s (24.0 ?? ?? tx
33
5 ???? ??? 或
由图得到
2) 从 x = ?0.12m,且向 x轴负方向运动的状态,回到平衡位置所
需的时间
x
?
op
?
A?
M
sst 83.0
6
5
6
5
??
?
??
??
?
?
??
15
2,x-t曲线图示法
简谐振动也可用 x-t的振动曲线表示，如下图所示，图上已将
振幅、周期、和初相标出,
x x
T
tA
?
?
16
17
解,设运动表达式
)c o s ( ?? ?? tAx
当 t = 1时有
0)4c o s (21 ??? ??x 0)
4s i n (21 ????
???v
t(s)O
2
-2
2
X(m)
1
由图可见,A=2m，当 t = 0时有：
2c o s20 ?? ?x
0s i n20 ??? ??v 4
?? ??
例题 7.3 已知某质点作简谐运动，振动曲线如图，试根
据图中数据写出振动表达式。
18
例题 7.4 设想地球内有一光滑隧道，如图所示。证明质
点 m在此隧道内的运动为简谐振动，并求其振动周期
o
y
F?r
? R
证明, 质点 m受力分析
r
e
re
er
R
G m M
eM
R
r
r
Gm
F
?
??
3
3
3
2
)(
??
??
0)
44
3c o s (2 ???? ?? tx
解得：
4
3?? ?
19
满足简谐振动微分方程，故为简谐振动
032
2
?? y
R
GM
dt
yd e
周期：
m i n3.84?
?
?2?T
eGM
R 32??
2
2
3 dt
ydmy
R
G m M e ??
y
R
G m M
r
R
G m M
FF eey 33 s i ns i n ?????? ??
建立 oy坐标系
20
五,简谐运动的能量
设在某一时刻,振子速度为ｖ则系统的动能：
)(s i n2121 2222 ??? ??? tAmmvE k
该时刻物体的位移为Ｘ,则系统的势能：
)(c o s2121 222 ?? ??? tkAkxE p
系统的总能量,
2
2
1 kAEEE
pk ???
谐振动的总能量与振幅的平方成正比
21
能量平均值
EkAdttAmTE TK 2141)(s i n211 2222
0
???? ? ???
EkAdttm k ATE TP 2141)(c o s211 222
0
???? ? ??
x
t
T
E
E
p
E
k(1 / 2) kA 2
o
kp
EE ?
22
2211
2211
c o sc o s
s i ns i n
??
???
AA
AAa r c t g
?
??
)c o s (2 12212221 ?? ???? AAAAA
㈡ 简谐振动的合成
?合成结果仍为简谐运动
?合振动与分振动在同一方向,且有相同频率
一、同方向同频率谐振动的合成
)c o s ( 222 ?? ?? tAx
)c o s ( 111 ?? ?? tAx
)c o s ( ?? ?? tAx
合振动的运动方程：
A2
A1
x0
A
x2 x1 x
任何一个复杂的振动都可看成若干个简谐振动的合成。
23
讨 论：
21 AAA ???
???????? 2,1,0,212 kk ???
1) 相位差同相
同相,合振幅最大
????????? 2,1,0,)12(12 kk ???
21 AAA ???
2) 相位差反相
反相,合振幅最小
当 A1=A2时,质点静止
3) 一般情况（相位差任意）
2121 AAAAA ????
相位差在同频率简谐振动合成中起决定性作用
24
二、两个同方向不同频率谐振动的合成
)c o s ( 2222 ?? ?? tAx
)c o s ( 1111 ?? ?? tAx
设一质点同时参与了角频率分别为 的两个同方向
的简谐振动 21
??,
设两振动的振幅相同，初相为零
tAtAx 111 2c o sc o s ??? ??
tAtAx 222 2c o sc o s ??? ??
合振动的运动方程为：
)
2
2c o s ()
2
2c o s 1212
21
ttA
xxx
??
?
??
?
??
?
??
（
25
讨论, 两频率都较大,而频率差很小的情况
表明, 一个高频振动受一个低频振动的调制
2
12 ?? ?
合振动频率 tA
22c o s2
12
1
??? ?合振动振幅
x
t
x2
t
x1
t
26
合振幅出现时大时小的现象 — 拍现象
12
1
?? ?
振幅变化的周期为,拍频：
12 ?? ?
拍现象的应用：
?用音叉振动校准乐器
?测定超声波
?测定无线电频率
?调制高频振荡的振幅和频率等
上述结果也可用旋转矢量合成法求得。
若,如图,以 的角速度
旋转，则 相对 以 的角
速度旋转，则合矢量 的变化角频率
为,
12 ?? ? 1A 1?
2A 1A ? ?12 ?? ?
A
? ?12 ?? ?
1A
2A
A
t1?
t2?
t2 12 ?? ?
27
三、两个相互垂直的同频率谐振动的合成
)c o s ( 22 ?? ?? tAy
)c o s ( 11 ?? ?? tAx
消去参数 t,得轨迹方程
)(s i n)c o s (2 12212
21
2
2
2
2
1
2
???? ?????
AA
xy
A
y
A
x
运动轨迹椭圆方程，形状决定于分振动的振幅和相位差,
合运动时简谐振动，角频率与初相不变，振幅为
2221 AAA ??
讨论,0
12 ?? ??1)
轨迹：
xAAy
1
2?
两个分振动同相
28
??? ?? 122)
轨迹：
合运动时简谐振动，角频率与初相不变，振幅为
2221 AAA ??
xAAy
1
2－?
两个分振动反相
y 比 x 位相超前 ?/2,故椭圆轨道运动的方向时顺时针,即右
旋的,
3)
12
2
2
2
1
2
??
A
y
A
x轨迹：
212
??? ??
29
0??? 4? 2? 43?
? 45? 23? 47?
4)
12
2
2
2
1
2
??
A
y
A
x轨迹：
y 比 x 位相滞后 ?/2,故椭圆轨道运动的方向时逆时针,即左旋的,
当 A1=A2时,正椭圆轨道将变为圆轨道,即质点作圆周运动,
2
3
12
??? ??
30
四、垂直方向不同频率简谐振动的合成
可看作两频率相等而 ?2-?1随 ｔ 缓慢变化,合运动轨迹将按
上页图依次循环地缓慢变化,
ｔ
1,两分振动频率相差很小
)()( 1212 ?????? ???? t
31
合振动轨道一般不是封闭曲线，但当频率有简单的整数比
关系时，时稳定的封闭曲线,称为利萨如图形
2,两振动的频率相差很大
工程上可以方便地测量未知简谐运动的频率和相互垂直的
两个简谐振动的相位差
A2
x
A1y
o
-A2
- A1
A2
x
A1y
o
-A2
- A1
A2
x
A1y
o
-A2
- A1
3:2,?yx TT2:1,?yx TT 4:3,?yx TT
32
例 2,有两个振动方向相同的简谐振动，其振动方程分
别为 cm)2c o s (4
1 ?? ?? tx cm)2/2c o s (32 ?? ?? tx
1) 求它们的合振动方程； 2) 另有一同方向的简谐振动
cm)2c o s (2 33 ?? ?? tx
问, 当 ?3为何值时,x1+x3的振动为最大值？当 ?3为何值
时,x1+x3的振动为最小值？
解,1) 两个振动方向相同,频率相同的简谐振动合成后还
是简谐振动,合振动方程为
)2c o s ( 0?? ?? tAx
)cm(5)c o s (2 12212221 ????? ??AAAAA
4
3
c o sc o s
s i ns i nt a n
2211
2211
0 ???
??
??
???
AA
AA
33
所求的振动方程为
?? 540 ?
)cm()5/42c o s (5 ?? ?? tx
2) 当 时，相位相同。 ? ??2,1,0213 ???? kk ???
? ? 振幅最大即,2,1,023 ????? kk ???
? ? ? ??2,1,01213 ????? kk ???当 时，相位相反。
? ? ? ? 振幅最小即,2,1,0123 ?????? kk ???
根据已知条件,t=0时，合矢量应在第二象限，故
34
一、阻尼振动
振幅随时间而减小的振动叫做阻尼振动。
㈢ 阻尼振动 受迫振动 共振
t
xvf
r d
d?? ????粘滞阻力
t
xkx
t
xm
d
d
d
d
2
2
????牛顿方程
1,阻尼振动的运动微分方程
mk?0?
m2?? ?
（固有角频率）
（阻尼因子）
令
0 x
F?
k
P
x
m
?f
35
将形如 的解代入微分方程，得特征方程te?
02 202 ??? ????
其特征根是
202 ???? ????
按阻尼度 大小的不同，微分方程有三种不同形式
的解，代表了振动物体的三种运动方式,
0* ????
①0dd2dd 202
2
??? xtxt x ??
得运动微分方程
36
2,弱阻尼
202 ?? ? 时,阻尼振动运动方程的方程解为
)c o s (0 ??? ?? ? teAx t
阻尼振动的角频率, 22
0 ??? ?＝
A0和 ?决定于初始条件的积分常数
x
to
)c o s (0 ??? ?? teA t
teA ??0
阻尼振动曲线：
37
弱阻尼曲线：
?振幅随时间 t作指数衰减
?近似为简谐振动
?阻尼振动周期比系统的固有周期长
即是物体不作往复运动的极限 。 系统从周期运动变为
非周期振动,称为 临界阻尼,
3,临界阻尼和过阻尼
?? ? 时，特征方只有一个重根，微分方程的解为
? ? ? ? tt etccx ???? 21
teAA ??? 0
?
?2?T
2
2
1 kAE ?
38
0?? ?
这种过阻尼运动方式是非周期运动,振动从开始最大位移
缓慢回到平衡位置,不再做往复运动,
时，阻尼较大，特征方程有两个不同的实根，这
时方程的解为
? ?
?????? ????????? ??? ?? 202202
21
?????? ececx
t
x
to
弱阻尼
临界阻尼
过阻尼
39
系统在周期性外力持续作用下所发生的振动
②thxtxt x ???? c o sdd2dd 202
2
??
二、受迫振动
1,受迫振动
强迫力,
阻尼力,
恢复力,
tF ?c o s0
v??
kx? x
m F
f
-kx
tFvkxt xm ????? c o sdd 02
2
?
2,受迫振动的运动微分方程
40
微分方程的通解为
)c o s ()c o s (0 ???? ?????? ? tAteAx t
x
to
)c o s ( ??? tA --简谐振动,定态解
经一段时间受迫振动变为简谐振动 )c o s ( ???? tAx
令,代入方程②,有? ????? tiAex
? ? tiei
hx ?
????
?
?? 2220
)c o s (0 ??? ??? teA t --阻尼振动,随时间消失其中：
41
22222
0 4)( ???? ??
? hA
2
0
2
??
???
?
?? a r c t g
由此得定态解的振幅和相位分别为
三、共振
驱动力的角频率为某一定值时,受迫振动的振幅达到极大
值的现象,
0)
4)(
(d ddd
22222
0
?
?????
??
??
hA
22
0 2 ??? ??r
共振振幅：
22
02 ??? ?
? hA r
共振角频率：
42
分析,
0?? 越接近于r
1) ?越小时
越大rA
2) ? =0时
0??? r ??rA
尖锐振动
O ?0
A
?
无阻尼 ?=0
弱阻尼 ?>0
大阻尼 ?>0
应用, ?电磁共振选台 (收音机 )
?乐器利用共振提高音响效果
?研究避免共振的破坏的措施：
?破坏外力 (强迫力 )的周期性 ;
?改变系统固有频率 ;
?改变外力的频率 ;
?增大系统阻尼力,.
43
塔科马海峡大桥的共振断蹋
44
本章基本要求
1,掌握谐振动的特征和规律，理解描述谐振动的特征量的物
理意义，熟练确定振动系统的特征量，建立谐振方程,
2,熟练掌握描述谐振动的旋转矢量法和图示表示法,
3,掌握同方向、同频率谐振动的合成的特点与规律，掌握
互相垂直谐振动的合成的特点,
4,理解阻尼振动、受迫振动和共振的发生条件和规律,
第七章 机械振动
1.简谐振动
2.简谐振动的合成
3.阻尼振动、受迫振动与共振
目 录
2
㈠ 简谐振动
机械振动,物体在一定位置附近作周期性往复运动,
。振动,描述物体运动状态的物理量在某一数值附近往复变化,
特征,⑴ 重复性、周期性；
⑵ 任意周期运动的分解－周期函数的傅里叶分析
简谐振动被证明为各式周期运动的基元成分,在数学
上,一个周期为 T的函数 可以被展开为一系列不同频
率的简谐函数的叠加－傅里叶级数展开：
? ? ? ? ????? ?,2,12c o s0 ntfcxx
n
nnnt ??
??tx
其中 而 被称为基频，其他频率皆为
基频的整数倍,
Tfnff n /111 ??,
3
理想模型 —— 轻弹簧、振动质点；小球的运动简化为弹
性力作用下的直线运动,
kxF ??
由牛顿定律：
kxdt xdm ??2
2
弹簧振子的运动
一,简谐振动的特征及其表达式
2??
m
k令
022
2
?? x
dt
xd ?
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方程的解为：
)c o s ( ?? ?? tAx
— 简谐振动的运动方程
速度表达式：
)
2
c os (
)s i n (
?
???
???
???
????
tA
tA
dt
dx
v
加速度表达式：
)c os (
)c os (
2
2
2
2
????
???
???
????
tA
tA
dt
xd
a
5
二, 描述简谐振动的特征参量
振幅 A：简谐振动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值
周期 T：完成一次全振动所需时间
?
?2?T
m
k??
k
mT ?2?
频率,?
m
k
T ?
?
2
11 ??
角频率,?
T
???? 22 ??
无论什么初条件，一旦系统振动起来，就有确定的角频率，
它是弹性系统特征的集中体现，故称 为本征频率,?
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202
0 )( ?
vxA ??
0
0
x
vtg
?
? ??
相位：决定简谐运动状态的物理量 ）（ ?? ?t
初相：决定初始时刻物体运动状态的物理量 ?
00,,0 vvxxt ???
?cos0 Ax ? ?? s in0 Av ??
设
? 初始条件决定振幅和初相位
相位比时间更直接更清晰地反映振子运动的状态,
7
解：
m
v
xA 22
2
02
0 100.2
???
?
??142 ?????? ST
代入简谐振动表达式，则有
)344c o s (100.2 2 ?? ??? ? tx
例题 7.1.一放置在水平桌面上的弹簧振子,周期为 0.5
s。当 t=0时，
1020 2 1 8.0,100.1 ?? ???? msvmx
求 运动方程
3
0
0 ???
x
vtg
?
? ??
3
4?
8
三、常见的简谐振动
（ 1）竖直悬挂的弹簧振子
选平衡位置为坐标原点
平衡时
klmg ?
位移 X时
kxxlkmgF ????? )(
故物体仍做简谐振动
x
l
0
9
（ 2）单摆
重力形成的力矩，在角度很小时有
?? m g lm g l ??? s in
根据转动定律
)( 22
2
mlJJm g ldtd ??? ??
02
2
?? ?? lgdtd
表明：单摆的运动也是谐振动，故
g
lT
l
g ?? 2,??
? l
mgo
10
（ 3）复摆。一可绕水平固定轴摆动的刚体。
类似单摆写出方程为：
??? m g lm g ldtdJ ???? s in2
2
?? Jm g ldtd ??? 2
2
m g l
JT
J
m g l ?? 2,??
０
Ｃ?
l
mg
结论：一维保守力在稳定平衡位置附近一定是准弹性力。
11
1、旋转矢量图示法
?
?t+?
o p x
t=0
?
A?
A?
M
说明,
? 旋转矢量法是研究简谐振动的一种直观方法 ;
? 不能把 M的运动误认为简谐振动。
四、简谐振动的表示法
作坐标轴 ox,自原点作一矢量
模 － 振幅 A
角速度－角频率
与 x 轴的夹角－相位
初始与 x 轴的夹角－初相
A?
?? ?t
?
?
12P点坐标、速度和加速度都作简谐振动
矢端在 x 轴投影的运动规律：
P点的坐标
)c o s ( ?? ?? tAx
M点位矢在 x 轴上的投影
速度
)s i n ( ??? ??? tAv
M点速率在 x 轴上的投影
加速度 )c o s (
2 ??? ??? tAa
M点向心加速度在 x 轴上的投影
??t+?o
p x
t=0
?
A?
A? M
13
例题 7.2 一物体沿 x 轴作简谐振动,振幅为 0.24m,周
期为 2s,当 t=0时 x0=0.12m,且向 x 轴正方向运动,
试求, 1) 振动方程 ; 2) 从 x=?0.12m,且向 x轴负方向运
动的状态,回到平衡位置所需的时间,
当 t =0时,x0=0.12m,v0>0
为确定初相,画出 t=0时旋转矢量的位置
??? ??? T2
由题知
m24.0?A s2?T
解, 1) 设振动方程为 )c o s ( ?? ?? tAx
?o p x
t=0
?
A?
M
14
A
x 0c o s ??
振动方程为,
m)3c o s (24.0 ?? ?? tx
33
5 ???? ??? 或
由图得到
2) 从 x = ?0.12m,且向 x轴负方向运动的状态,回到平衡位置所
需的时间
x
?
op
?
A?
M
sst 83.0
6
5
6
5
??
?
??
??
?
?
??
15
2,x-t曲线图示法
简谐振动也可用 x-t的振动曲线表示，如下图所示，图上已将
振幅、周期、和初相标出,
x x
T
tA
?
?
16
17
解,设运动表达式
)c o s ( ?? ?? tAx
当 t = 1时有
0)4c o s (21 ??? ??x 0)
4s i n (21 ????
???v
t(s)O
2
-2
2
X(m)
1
由图可见,A=2m，当 t = 0时有：
2c o s20 ?? ?x
0s i n20 ??? ??v 4
?? ??
例题 7.3 已知某质点作简谐运动，振动曲线如图，试根
据图中数据写出振动表达式。
18
例题 7.4 设想地球内有一光滑隧道，如图所示。证明质
点 m在此隧道内的运动为简谐振动，并求其振动周期
o
y
F?r
? R
证明, 质点 m受力分析
r
e
re
er
R
G m M
eM
R
r
r
Gm
F
?
??
3
3
3
2
)(
??
??
0)
44
3c o s (2 ???? ?? tx
解得：
4
3?? ?
19
满足简谐振动微分方程，故为简谐振动
032
2
?? y
R
GM
dt
yd e
周期：
m i n3.84?
?
?2?T
eGM
R 32??
2
2
3 dt
ydmy
R
G m M e ??
y
R
G m M
r
R
G m M
FF eey 33 s i ns i n ?????? ??
建立 oy坐标系
20
五,简谐运动的能量
设在某一时刻,振子速度为ｖ则系统的动能：
)(s i n2121 2222 ??? ??? tAmmvE k
该时刻物体的位移为Ｘ,则系统的势能：
)(c o s2121 222 ?? ??? tkAkxE p
系统的总能量,
2
2
1 kAEEE
pk ???
谐振动的总能量与振幅的平方成正比
21
能量平均值
EkAdttAmTE TK 2141)(s i n211 2222
0
???? ? ???
EkAdttm k ATE TP 2141)(c o s211 222
0
???? ? ??
x
t
T
E
E
p
E
k(1 / 2) kA 2
o
kp
EE ?
22
2211
2211
c o sc o s
s i ns i n
??
???
AA
AAa r c t g
?
??
)c o s (2 12212221 ?? ???? AAAAA
㈡ 简谐振动的合成
?合成结果仍为简谐运动
?合振动与分振动在同一方向,且有相同频率
一、同方向同频率谐振动的合成
)c o s ( 222 ?? ?? tAx
)c o s ( 111 ?? ?? tAx
)c o s ( ?? ?? tAx
合振动的运动方程：
A2
A1
x0
A
x2 x1 x
任何一个复杂的振动都可看成若干个简谐振动的合成。
23
讨 论：
21 AAA ???
???????? 2,1,0,212 kk ???
1) 相位差同相
同相,合振幅最大
????????? 2,1,0,)12(12 kk ???
21 AAA ???
2) 相位差反相
反相,合振幅最小
当 A1=A2时,质点静止
3) 一般情况（相位差任意）
2121 AAAAA ????
相位差在同频率简谐振动合成中起决定性作用
24
二、两个同方向不同频率谐振动的合成
)c o s ( 2222 ?? ?? tAx
)c o s ( 1111 ?? ?? tAx
设一质点同时参与了角频率分别为 的两个同方向
的简谐振动 21
??,
设两振动的振幅相同，初相为零
tAtAx 111 2c o sc o s ??? ??
tAtAx 222 2c o sc o s ??? ??
合振动的运动方程为：
)
2
2c o s ()
2
2c o s 1212
21
ttA
xxx
??
?
??
?
??
?
??
（
25
讨论, 两频率都较大,而频率差很小的情况
表明, 一个高频振动受一个低频振动的调制
2
12 ?? ?
合振动频率 tA
22c o s2
12
1
??? ?合振动振幅
x
t
x2
t
x1
t
26
合振幅出现时大时小的现象 — 拍现象
12
1
?? ?
振幅变化的周期为,拍频：
12 ?? ?
拍现象的应用：
?用音叉振动校准乐器
?测定超声波
?测定无线电频率
?调制高频振荡的振幅和频率等
上述结果也可用旋转矢量合成法求得。
若,如图,以 的角速度
旋转，则 相对 以 的角
速度旋转，则合矢量 的变化角频率
为,
12 ?? ? 1A 1?
2A 1A ? ?12 ?? ?
A
? ?12 ?? ?
1A
2A
A
t1?
t2?
t2 12 ?? ?
27
三、两个相互垂直的同频率谐振动的合成
)c o s ( 22 ?? ?? tAy
)c o s ( 11 ?? ?? tAx
消去参数 t,得轨迹方程
)(s i n)c o s (2 12212
21
2
2
2
2
1
2
???? ?????
AA
xy
A
y
A
x
运动轨迹椭圆方程，形状决定于分振动的振幅和相位差,
合运动时简谐振动，角频率与初相不变，振幅为
2221 AAA ??
讨论,0
12 ?? ??1)
轨迹：
xAAy
1
2?
两个分振动同相
28
??? ?? 122)
轨迹：
合运动时简谐振动，角频率与初相不变，振幅为
2221 AAA ??
xAAy
1
2－?
两个分振动反相
y 比 x 位相超前 ?/2,故椭圆轨道运动的方向时顺时针,即右
旋的,
3)
12
2
2
2
1
2
??
A
y
A
x轨迹：
212
??? ??
29
0??? 4? 2? 43?
? 45? 23? 47?
4)
12
2
2
2
1
2
??
A
y
A
x轨迹：
y 比 x 位相滞后 ?/2,故椭圆轨道运动的方向时逆时针,即左旋的,
当 A1=A2时,正椭圆轨道将变为圆轨道,即质点作圆周运动,
2
3
12
??? ??
30
四、垂直方向不同频率简谐振动的合成
可看作两频率相等而 ?2-?1随 ｔ 缓慢变化,合运动轨迹将按
上页图依次循环地缓慢变化,
ｔ
1,两分振动频率相差很小
)()( 1212 ?????? ???? t
31
合振动轨道一般不是封闭曲线，但当频率有简单的整数比
关系时，时稳定的封闭曲线,称为利萨如图形
2,两振动的频率相差很大
工程上可以方便地测量未知简谐运动的频率和相互垂直的
两个简谐振动的相位差
A2
x
A1y
o
-A2
- A1
A2
x
A1y
o
-A2
- A1
A2
x
A1y
o
-A2
- A1
3:2,?yx TT2:1,?yx TT 4:3,?yx TT
32
例 2,有两个振动方向相同的简谐振动，其振动方程分
别为 cm)2c o s (4
1 ?? ?? tx cm)2/2c o s (32 ?? ?? tx
1) 求它们的合振动方程； 2) 另有一同方向的简谐振动
cm)2c o s (2 33 ?? ?? tx
问, 当 ?3为何值时,x1+x3的振动为最大值？当 ?3为何值
时,x1+x3的振动为最小值？
解,1) 两个振动方向相同,频率相同的简谐振动合成后还
是简谐振动,合振动方程为
)2c o s ( 0?? ?? tAx
)cm(5)c o s (2 12212221 ????? ??AAAAA
4
3
c o sc o s
s i ns i nt a n
2211
2211
0 ???
??
??
???
AA
AA
33
所求的振动方程为
?? 540 ?
)cm()5/42c o s (5 ?? ?? tx
2) 当 时，相位相同。 ? ??2,1,0213 ???? kk ???
? ? 振幅最大即,2,1,023 ????? kk ???
? ? ? ??2,1,01213 ????? kk ???当 时，相位相反。
? ? ? ? 振幅最小即,2,1,0123 ?????? kk ???
根据已知条件,t=0时，合矢量应在第二象限，故
34
一、阻尼振动
振幅随时间而减小的振动叫做阻尼振动。
㈢ 阻尼振动 受迫振动 共振
t
xvf
r d
d?? ????粘滞阻力
t
xkx
t
xm
d
d
d
d
2
2
????牛顿方程
1,阻尼振动的运动微分方程
mk?0?
m2?? ?
（固有角频率）
（阻尼因子）
令
0 x
F?
k
P
x
m
?f
35
将形如 的解代入微分方程，得特征方程te?
02 202 ??? ????
其特征根是
202 ???? ????
按阻尼度 大小的不同，微分方程有三种不同形式
的解，代表了振动物体的三种运动方式,
0* ????
①0dd2dd 202
2
??? xtxt x ??
得运动微分方程
36
2,弱阻尼
202 ?? ? 时,阻尼振动运动方程的方程解为
)c o s (0 ??? ?? ? teAx t
阻尼振动的角频率, 22
0 ??? ?＝
A0和 ?决定于初始条件的积分常数
x
to
)c o s (0 ??? ?? teA t
teA ??0
阻尼振动曲线：
37
弱阻尼曲线：
?振幅随时间 t作指数衰减
?近似为简谐振动
?阻尼振动周期比系统的固有周期长
即是物体不作往复运动的极限 。 系统从周期运动变为
非周期振动,称为 临界阻尼,
3,临界阻尼和过阻尼
?? ? 时，特征方只有一个重根，微分方程的解为
? ? ? ? tt etccx ???? 21
teAA ??? 0
?
?2?T
2
2
1 kAE ?
38
0?? ?
这种过阻尼运动方式是非周期运动,振动从开始最大位移
缓慢回到平衡位置,不再做往复运动,
时，阻尼较大，特征方程有两个不同的实根，这
时方程的解为
? ?
?????? ????????? ??? ?? 202202
21
?????? ececx
t
x
to
弱阻尼
临界阻尼
过阻尼
39
系统在周期性外力持续作用下所发生的振动
②thxtxt x ???? c o sdd2dd 202
2
??
二、受迫振动
1,受迫振动
强迫力,
阻尼力,
恢复力,
tF ?c o s0
v??
kx? x
m F
f
-kx
tFvkxt xm ????? c o sdd 02
2
?
2,受迫振动的运动微分方程
40
微分方程的通解为
)c o s ()c o s (0 ???? ?????? ? tAteAx t
x
to
)c o s ( ??? tA --简谐振动,定态解
经一段时间受迫振动变为简谐振动 )c o s ( ???? tAx
令,代入方程②,有? ????? tiAex
? ? tiei
hx ?
????
?
?? 2220
)c o s (0 ??? ??? teA t --阻尼振动,随时间消失其中：
41
22222
0 4)( ???? ??
? hA
2
0
2
??
???
?
?? a r c t g
由此得定态解的振幅和相位分别为
三、共振
驱动力的角频率为某一定值时,受迫振动的振幅达到极大
值的现象,
0)
4)(
(d ddd
22222
0
?
?????
??
??
hA
22
0 2 ??? ??r
共振振幅：
22
02 ??? ?
? hA r
共振角频率：
42
分析,
0?? 越接近于r
1) ?越小时
越大rA
2) ? =0时
0??? r ??rA
尖锐振动
O ?0
A
?
无阻尼 ?=0
弱阻尼 ?>0
大阻尼 ?>0
应用, ?电磁共振选台 (收音机 )
?乐器利用共振提高音响效果
?研究避免共振的破坏的措施：
?破坏外力 (强迫力 )的周期性 ;
?改变系统固有频率 ;
?改变外力的频率 ;
?增大系统阻尼力,.
43
塔科马海峡大桥的共振断蹋
44
本章基本要求
1,掌握谐振动的特征和规律，理解描述谐振动的特征量的物
理意义，熟练确定振动系统的特征量，建立谐振方程,
2,熟练掌握描述谐振动的旋转矢量法和图示表示法,
3,掌握同方向、同频率谐振动的合成的特点与规律，掌握
互相垂直谐振动的合成的特点,
4,理解阻尼振动、受迫振动和共振的发生条件和规律,
