1
笫四章 机械能守恒
⒈ 功 动能定理
⒉ 保守力做功与势能
⒊ 机械能和机械能守恒定律
4,两体碰撞
目 录
2
有一个事实，或如果你愿意，一条定律，支配着
至今所知的一切自然现象,关于这条定律没发现例外
就目前所知确乎如此,这条定律称作能量守恒,它
指出有某一个量，我们称它能量，在自然界经历的
多种多样的变化中它不变化,那是一个最为抽象的概
念，因为它为一数学方面的原则；它表明有一种数
量当某些事情发生时它不变,
费曼（ R.P.Feynman）
3
一、功
㈠ 功 动能定律
定义,力对质点所做的功等于力在质点位移方向的分量
与位移大小的乘积,
rdFdW ??? ?c o s
rdF ?? ??
? ?? BA rdFW ??
功是力对空间的累积作用
单位,1焦耳 (J)=1牛顿（ N）,米（ m）
A
?
B
F?
rd?
4
iii rFWS ?
? ??????
? ?? 21rr rdFW ??
（ 1）功的图示
说明：
?cosF
r（ 2）在直角坐标系中：
)( dzFdyFdxFrdFW zyBA xBA ?????? ?? ??
??
?
?
?
???
???
kdzjdyidxrd
kFjFiFF zyx
????
????
（ 3）功是标量，没有方向，但有正负,
dr
5
（ 4）几个力同时作用在物体上时，所作的功：
?
??
???
???
????? ?
21
21 )(
WW
rdFrdF
合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。
? ?? rdFW ??
(5) 功率：
vFvFdtdrFdtdWP ?? ???????? c o sc o s
单位,焦耳 /秒 (瓦特 )
?????? ????? iFFFF 21
6
4
2
0 0
2
82 Tm
bdt
m
btbtF d xW x T ????? ? ?
? ? ??? v d tbtF d xW
解：元功 rdFdW ?? ??
例题 4.1 物体由静止出发作直线运动，质量为 m，受力
bt,b为常量，求在 T秒内，此力所作的功。
根据牛顿定律和加速度的定义求 )(tv
m
bt
dt
dv
m
Fa ???
dtmbtdvv vv ?? ??
00
7
1m
5N?
例题 4.2 如图所示，一绳索跨过无摩擦的滑轮系在质
量为 1.0km的物体上，起初物体静止在无摩擦的水平
面上,若用 5.0N的恒力作用在绳索的另一端，使物体
向右作加速运动,当系在物体上的绳索从与水平成
变为 时,力对物体作功为多少?己知滑轮与水平面
间的距离为 1m.
030
037
8
解, 建立坐标系 (如图 )
??? c o sFF x
dx
x
xFdxW x
x
x
x xF ?? ????
2
1
2
1 21
21 x
xF
?
??
)11( 2221 xxFW ????? J69.1?
mtgx 7 3 2.1301 01 ?? mtgx 327.1371 02 ??
1m
5N?
x 0
F
9
二、质点动能定理
力对物体作功，物体的运动状态要发生变化，它们之间的
关系如何呢？
dsF?? dsF
rdFdw
??
??
c o s
??
dsdtdvm? m vd v?
元功,
A
?
B
m
F?
rd?
质点由 A到 B这一过程中，力作总功为：
2
1
2
2 2
1
2
12
1
mvmvm v d vdWW B
A
v
v
???? ? ?
定义为质点的动能kEmv ?221
10
说明：
12 kk EEW ??
质点动能定理 —— 合外力对质点所作的功，等于质点动
能的增量
（ 2） 功与动能之间的区别和联系：
区别, 功与物体的状态变化过程相联系，为过程量，动
能决定于质点的运动状态，动能是状态量。
联系, 外力持续作用在物体上，外力的功是动能变化的
量度。
（ 1）对质点而言,W为合外力的功。
（ 3）动能定理适用于惯性系。
（ 4）动能定理提供了一种计算功的简便方法,
（ 5）功和动能具有相对性，但 具有相对不变性,
kEW ??
11
例题 4.3 如图，初始时，绳子垂在桌外的长度为 b,设
绳子总长度为 L,求绳全部离开光滑桌面时的瞬时速率,
解,方法（ 1）：利用动能定理
???
?
???
? ???
? L bLMgM g d xLxW Lb
22
2
1
L
xMm ?m g d xdW ?
建立作坐标系，重力所作元功为：
由动能定理得：
? ?22 bLLgv ??
? ? 0
2
1
2
2
22
??? MvL bLMg
M,L
b
x
o
t=0,v=0
12
方法（ 2）：利用牛顿定律
? ?22 bLLgv ??
dt
dvMmg ?
gLxgMmdtdv ??
由牛顿定律得
gLxdxdvvgLxdtdxdxdv ??
M,L
b
x
o
t=0,v=0
两种方法结果相同
13
例题 4.4 假定地球的密度是均匀的，并沿地球的直
径钻一个洞，质点从很高的位置 h 落入洞中，
求质点通过地心的速度。
由动能定理：
解,矢径方向如图所示，设通过
地心的速度为
0v
drfdrfR hR R? ?? ??? 0 内外
? ?? ????? R hR R rdfrdfmv 02 021 ?
???
内外
O
m
h
R
r?
14
32
3
3 3
4
3
4 R
G M m r
r
m
r
R
M
Gf ???
?
?内
又质点在地球内、外受力不同
drRG M m rdrrG M mmv RR hR ??????? ? 0 322 021
? ?
? ?hRR
hRG M mv
?
?? 3
0
2r
G M mf ?
外
15
0kiki EEW i ??
三、质点系动能定理
质点系的动能定理 -----作用于质点系的力所作的功，等
于该质点系总动能的增量。
? ? ?
? ? ?
??
n
i
n
i
n
i
ki okii EEW
1 1 1
对所有质点求和：
设一个系统内有 n个质点，作用于笫 i个质点的力所作的
功分别为,由质点动能定理
iW
16
?? ???
i
ki
i
ki EEWW 0内外
? ?? ? 内外 ii WW（ 2） 是每个质点所受外力（内力）作功
之和，而不是合力功之和,
???
???
????
n
i
i
n
i
i
n
i
i WWWWW
111
内外内外
（ 1） 质点系所受的力分外力和内力。则
说明：
（ 3）质点系内力的功,
研究两质点间作用力与反作用力元功之和为
? ? ? ? rdFrdrdFrdFrdFdA ????????? ?????????? 1212
即一对内力的所作的功仅决定于力和质点间相对位移的标积,
17
内力做功不为零，由系统的动能定理
kEWW ??? 内外
? ? 22 2121 aaba vmvmmm g x ?????
? ?ba
ab
mmg
vmx
??? 2
2
? ?vmmvm baaa ??
解,取 A和 B组成的系统，根据动量守恒
av?A
B
am
bm
?
av?
例题 4.5 在光滑的水平面上，有一质量为 的静止
物体 B，在 B上又有一质量为 的静止物体 A,A受冲
击，以 （相对于水平面 〕 向右运动,A和 B之间的摩
擦系数为, A逐渐带动 B一起运动，问 A从开始运动
到相对于 B静止时，在 B上运动多远？
18
例题 4.6 如图，质量为 M的卡车载一质量为 m的木箱，
以速率 v沿平直路面行驶,因故突然紧急刹车，车轮
立即停止转动，卡车滑行一定距离后静止，木箱在
卡车上相对于卡车滑行了 l 距离,卡车滑行了 L距离,
求 L和 l.巳知木箱与卡车间的滑动摩擦系数为,卡
车轮与地面的滑动摩擦系数为 1
?
2?
L
l
f?
mg
N?
Mg
N
f
F
mg
19
卡车和木箱受力如图,只有二者间摩擦力 和地面对车
的摩擦力 F做功，三力之受力质点位移各为,
根据质点动能定理得
ff ?、
LlLL,,?
? ?? ? ①221 210 MvLgMmmg ???? ??
? ? ②21 210 mvlLmg ???? ?
解得
? ?? ?
Lgvl
gmmMMvL
??
???
1
2
12
2
2 ?
??
解,解法一（用质点动能定理求解）
20
解法二（用质点系动能定理求解）
视卡车与木箱为一质点系,外力 F做功,
内力做功等于力与相对位移的标积，即
? ?gLmM ?? 2?
mgl1??
根据质点系动能定理，有
? ? ? ? ③221 21 vmMgLmMm g l ?????? ??
又视木箱为质点，得上面②式,②③ 联立得与上法相同结果,
注意,⑴卡车与木箱之间相互摩擦力做的功并不等值，表明
一对内力之功并不一定等值反号,⑵ 滑动摩擦力做正功
或负功，必须在搞清楚力和相对于一定参考受力点位
移的基础上作具体分析,但一对滑动摩擦力所做功的代
数和却总是负的,
21
例题 4.7 一炮弹的质量为,射出时的水平
和竖直分速度分别为 u和 v，当炮弹到达最高点时，
其内部的炸药产生能量 E，使炸药分成 及
两部分,开始时两者仍沿原方向前进，试求它们落
地时相隔的距离?
）（ 21 MM ?
1M 2M
解,炮弹到达最高点在爆炸前具有水平速度 u.爆炸后，
和 分别具有水平速度,由动能定理可得
21 vv、2M1M
? ? ①EuMMvMvM ???? 221222211 212121
由动量守恒（ x方向）可得
? ? ②uMMvMvM 212211 ???
22
由①、②式可求得（舍去不合题意的一个解）
? ?212
1
2
2
MMM
EMuv
???
? ?212
1
1
2
1
2
MMM
EM
M
Muv
???
故 落地时相隔的距离为21 MM,
? ? ? ?
21
21
12
2
MM
MME
g
vtvvx ?????
由最高点落下的时间为,gvt ?
23
㈡ 保守力做功与势能
一、几种常见的力作功
1、重力作功
jmgP ?? ??
? ??? ????? jdyidxPrdPw ?????
dymgy
y
）（ ?? ? 1
2
）（ 21 m g ym g yw ???
重力作功只与质点的起始和终止位置有关，而与所
经过的路径无关。
x
a
b
P?
y
y2
y1
rd?
24
02 rr
MmGF ?? ??
rdrrMmGrdFdW ???? ????? 02
移动位移元, F可近似认为不变，故rd?
由图知：
drrdrdrrdr ???? ?? c o sc o s00 ?????
于是：
drrMmGdW 2??
2、万有引力作功
如图,M不动,m由 a经任一路径到 b
）（
ab
b
a
r
r rr
G M mdr
r
G M mdWW b
a
111
2 ????? ? ?
M
a
r
drr?
?
m
b
rd?
dr
F
25
2
2
2
1 2
1
2
12
1
kxkxk x d xdWW xx ????? ? ?
在弹性限度内，弹性力所作的功只由弹簧的起始和终了位置
决定，而与形变的过程无关。
3、弹性力作功
k x d xrdFdW ???? ??
kxiF ???
0 x x
F?K
m
如图,o点为平衡位置，拉长到 P点时，伸长量为 x：
万有引力作功只取决于质点的起始和终了位置，与所经
过的路径无关。
26
保守力,作功只与物体的始末位置有关, 而与路径无关
的力 。 反之称为 非 保守力
二、保守力与非保守力
2
2
2
1 2
1
2
1 kxkxW ??
）（
ab rr
G M mW 11 ??
12 m g ym g yW ??
分析三种力
作功的特点
反映保守力作功特点的数学表达式：
b
c
d
a
F
F
物体沿不同路径从 a 到 b，保守力作功
?? ????
?
a d ba c b
a d ba c b
rdFrdF
WW
????
27
保守力沿任意闭合路径作功为零。
b
c
d
a沿闭合路径运动一周，保守力作功
? ??? ? ????? bdal a cb rdFrdFrdFW 0??????
? ??L ldF 0??
非保守力分类,① 称为耗散力（如滑动摩擦力），
将机械能转化为热能,
② （如爆炸力），将其他形态的能
（如化学能、电磁能）转化为机械能,
0?? rdf ??
0?? rdf ??
28
三、势 能
? ?? 0Pp rdFE ??
1,势能 定义,
即某点的势能等于保守力从该点沿任意路径到零势点的积分值
pE
定理 对于保守力场，可以定义一个标量函数,称为
势能（或势函数、位能）。使保守力做的功为
其中,表示质点从空间点 运动到点 时保守
力所做的功（证明从略）
? ?rV?
? ? ? ? ? ?BABA rrrr VVA ???? ???
? ?BA rrA ?? ? Br?Ar
?
由此，有
29
(2)势能是相对性的。为确定质点系在任一给定位置的
势能值，必须选定某一位置为参考位置（势能零点），
规定该点的势能为零,而势能零点可根据问题的需要任意
选择,
(3)势能是属于系统的。实质上势能是相互作用能,
说明,
(1)势能是状态（位置坐标）的函数，即：
),,( zyxEE pp ?
(4)由于内力的功与参照系无关，体系的势能（或势能
差）与参照系无关。
30
m g yE p ?
引力势能
弹性势能
ppp EEEW ?????? )( 12保
即：保守力对物体作的功等于物体势能增量负值。
? ?? 0Pp rdFE ??
重力势能
2 三种势能,
保守力作功可用势能差表示：
r
MmGE
p ??
2
2
1 kxE
p ?
31
3 势能曲线
当坐标系和势能零点一经确定，势能仅是坐标的函数
势能随坐标变化的曲线称为势能曲线。如图,
),,( zyxEE pp ?
? 势能曲线的用途：
⑴ 求平衡位置及判断平衡的稳定性,
mgh
Ep
h
rEp
Ep
r
1
2
2kx
r
GMm?
32
Pp dErdFdEdw ?????? ?
?
保守力与势能的关系,
pEW ???保
z
EF
y
EF
x
EF p
z
p
y
p
x ?
???
?
???
?
????,,
dzzEdyyEdxxEdE pppP ?????????
dzFdyFdxFrdF zyx ???? ??
p
ppp Ek
z
Ej
y
Ei
x
EF ???
?
??
?
??
?
??? ????
⑵ 由势能曲线求保守力,（力是矢量，而势能是标量，一
般情况下，确定标量函数比确定矢量要容易）
33
)( 00? ????????? ? ????
i i pikii i piki
EEEEWW 内非外
0EEWW ??? 内非外
内非内保内 WWW ??
?
?
??
?
? ??? ? ?
i i
pipi EEW 0内保
一、质点系的功能原理
㈢ 机械能守恒定律
根据质点系动能定理
?? ???
i
ki
i
ki EEWW 0内外
功能原理 质点系机械能的增量，等于外力与非保守
内力对质点系作功之和
34
二、机械能守恒定律
当作用于质点系的外力和内非保守力作功为零时，系统
机械能守恒。
时,内非外 00 ?? WW当
0EEWW ??? 内非外
根据功能原理：
或 pk dEdE ??
或可写为：
pk EE ????
???? ???
?
0
0
pik i opiki EEEE
EE
35
几点说明
（ 1）当摩擦力作为体系外力时，对体系可能做正功，也可能
做负功（也可能不做功）。而摩擦力作为体系内力时，必定是
成对出现的。因摩擦力总是与两物体的相对位移反方向，因而，
动摩擦总是消耗体系的机械能，是一种耗散力，而静摩擦力不
同，它不消耗体系的机械能。
(2)关于功与能的定理都是在牛顿定律的基础上导出的，因
而
只在惯性系中成立。若要在非惯性系中应用功与能的定理，
必须计入惯性力做功以及与惯性力相关的势能。
(3)尽管在任何惯性系中动能定理、功能原理和机械能守恒定
律都可应用，但力所做的功、体系的动能和机械能的数值在
不同的参考系中并不相同。而且，一个体系在一个参考系内
机械能守恒，在另一个参考系内机械能未必守恒。
36
三、柯尼希（ Konig）定理
对孤立质点系,在质心系里，体系的动量恒为零，质心系
是惯性系，功能原理和机械能守恒定律照样适用,但相对 质心系
和其它 惯性系（如实验室参照系），功和能未必相同。具体地
说，外力的功和体系的动能相对两个参照系的值不一定相同。
相对一定惯性参照系，质点系的动能为所有质点的动能之和
? ?iii
i
ii
i
k vvmvmE
?? ??? ??
2
1
2
1 2
设 为质点系的质心速度,为笫 i个质点相对质心系的速
度，则有 cv? iv?
?
ici vvv ???
???
代入上式得
? ? ? ?icic
i
ik vvvvmE ?????? ?
????
2
1
37
? ? ? ?
iiciici
icic
i
ik
vmvvmvm
vvvvmE
??????
??????
???
?
??
????
22
2
1
2
1
2
1
其中笫三项中
0?????? cii vMvm ??
kcc
iiick
EMv
vmmvE
??
??? ??
2
22
2
1
2
1
2
1于是
质心动能
体系相对质
心系动能
柯尼希定理－ 体系动能等于质心动能和体系相对质心系
的 动能之和,
38
四、三种宇宙速度
笫一宇宙速度－人造卫星
skm
R
GM
hR
GM
r
GM
v
r
Mm
G
r
v
m
/9.71
2
2
1
??
?
??
?
笫二宇宙速度－人造行星（太阳系）
飞行物冲出地球引力范围而围绕太阳运动，成为人造行
星。脱离地球引力的最低水平速度被称为笫二宇宙速度,
飞行物在地球引力作用下，环绕地球运行，成为人造卫星,
分别考虑 r处和无穷远处的机械能
? ? ? ?
? ? ? ? 00
2
1 2
??
???
?? pk
rprk
EE
r
Mm
GEmvE
，
，
39
应当满足机械能守恒，即,于是
? ? ? ??? EE r
021 2 ??
?
??
?
? ??
r
MmGmv
取其等于零，得笫二宇宙速度
skmRGMRh GMrGMv /2.112222 ?????
笫三宇宙速度－人造行星 (银河系 )
飞行物冲出太阳的引力范围而成为银河系中的人造行星,
根据笫二宇宙速度的同样原理，得到以太阳为参考系的
笫三宇宙速度
r
GMV s2
3 ?
40
其中太阳质量 （地球质量）,日地
平均距离 （地球半径），故
MM s 3103 3 2 ??
Rr 28 102 3 4105.1 ????
skmvV /2.42
102 3 4
103 3 2
22
3
3 ??
??
这是从日心系看飞行器冲出的速度，自然其中包含了地球绕
太阳的公转速度,两者相减 skmv /8.29?
skmvVV /4.1233 ????
这是地球参考系看来，飞行器冲出地球引力范围时，应有的
速度,再追溯到地面附近 h高度，发射速度 应当满足机械能守
恒，即 3
v
02121 2323 ????
?
??
?
? ?? Vm
R
MmGmv
41
注意到,故 2
22
1 mv
R
G M m ?
232223 Vvv ???
最后得出笫三宇宙速度
? ? ? ?
skm
skmVvv
/7.16
/4.122.11 2223223
?
?????
综上所述，三种宇宙速度均立足于地球上空预定
高度，物体在水平方向上的三个特征速度：
当,发射体环绕地球作椭园轨道运行；
当,发射体环绕太阳作椭圆轨道运行；
当,发射体将沿双曲线轨道离开太阳系,
21 vvv ??
32 vvv ??
3vv ?
42
㈣ 两体碰撞
所谓碰撞，是指两质点相互接近，运动状态发生迅速变化的
现象,碰撞的特征是极短的时间和强烈的相互作用,
一、正碰－对心碰撞
说明,① e=0 完全非弹性碰撞
② 0<e<1 非弹性碰撞
③ e=1 完全弹性碰撞
2211202101 vmvmvmvm ???
② 碰撞定律
2010
21
0 vv
vv
u
ue
?
???恢复系数
碰撞前两球速度均沿两球中心
连线满足：①动量守恒定律 10v
2v1v
20v
1m 2
m
43
⑴ 当两物体发生对心碰撞时，由以上两方程解得讨论：
? ?
? ?
20
21
21
10
21
1
2
20
21
2
10
21
21
1
1
1
v
mm
mem
v
mm
me
v
v
mm
me
v
mm
emm
v
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
碰撞过程中损失的动能为
? ? ? ? 22010
21
2121
2
1 vv
mm
mmeE ?
????
由此可知，对于完全弹性碰撞,e=1，动能守恒；
对于完全非弹性碰撞,e=0，动能损失最大,
44
⑵ 质心系中的正碰撞
上面讨论的是在实验室系（ L系）中正碰撞,而在质心系
（ c系）中，由于对质量中心的动量之和永远为零,故在
质心系中描写碰撞，表达形式简单，物理意义清晰,
在 L系中，质心速度为
21
202101
mm
vmvmv
c ?
??
在 c系中，设碰撞前后两质点的速度分别为 和
则 212010 vvvv
????,，
02211202101 ???????? vmvmvmvm
? ?201012 vvevv ???????
由这两方程可得
202101 vevvev ????????
45
在 c系中，碰撞损失的动能为
? ? ? ?220221012 211 vmvmeE ????????
思考：如何把质心系的碰撞结论化回实验室坐标系?
二、弹性斜碰撞
碰撞前两球的速度 不在两球中心连线上的碰撞叫
斜碰,一般情况下，斜碰为三维问题,若,则变为二维
问题,
2010 vv ??,
020 ?v?
提示：
cc
cc
vvvvvv
vvvvvv
??????
??????
2211
20201010
46
如图，取 的方向为 x轴，则上
面笫一式化为 10
v?
222111
222111101
s i ns i n0
c o sc o s
??
??
vmvm
vmvmvm
??
??
2
22
2
11
2
101
2211101
2
1
2
1
2
1
vmvmvm
vmvmvm
??
??
???
在完全弹性碰撞中，动量和能量都守恒，有
式中 称为散射角,另外，碰撞结果还与碰撞前两小球中
心在 y方向上的距离 b有关,b称为瞄准距离,b=0时即为正碰,
2.1 ??,
通常，应用实验方法测出上面四个未知数中的一个，才
能求出其余三个未知数,
b,1?
2?
1m
2m
1v
2v
10v
47
例题 4.8 如图，质量为 M的物块 A在离平板为 h的高度
处自由下落,落在质量也为 M的平板 B上,已知轻质弹
簧的倔强系数为 k，物体与平板作完全非弹性碰撞，
求碰撞后弹簧的最大压缩量,
解：本题可分为三个物理过程
⑴ 物块 A下落
①ghv 221 ?
⑵ 物块 A与平板 B发生碰撞
? ? ②21 vMMMv ??
⑶ 碰撞后弹簧被压缩
机械能守恒
0?????? pk EEE
h
48
弹簧被最大压缩时
? ? 22210 vMME k ????
? ? ? ? 212221 2121 kxgxMMxxkE p ??????
如图，取弹簧不承载平板
的平衡位置为坐标原点 0.则
平板 B放上后位移为,物
块 A碰撞后位移为,则1
x
2x
根据机械守恒式，得
? ? ? ?? ? ? ? ③02121 22122122 ???????? gxMMxxxkvMM
而 ④Mgkx ?
1
x
h
1x
2x
49
将①、②、④式代入③式，整理后得
02 222 ??? kM g hxkMgx
h
k
Mg
k
Mg
k
Mgxxx ?
?
?
??
?
?????
2
21m a x
2
因,故应将负根舍去,得碰撞后弹簧最大压缩量为02 ?x
解之得
h
k
Mg
k
Mg
k
Mgx ?
?
?
??
?
??? 2
2
50
本章基本要求
⒈ 掌握功的定义及变力做功的计算方法,
⒉ 理解质点和质点系的动能定理的意义及其应用,
⒊ 掌握保守力和由之定义的势能的概念,掌握重力势能、
万有引力势能和弹性势能的概念和计算方法,特别注意势能
零点的选择,
⒋ 熟练掌握机械守恒定律，并能联系动量守恒定律解决
一些问题,
⒌ 理解柯尼希定理及应用,
⒍ 掌握两体碰撞的基本规律及应用,
51
笫四章 机械能守恒
⒈ 功 动能定理
⒉ 保守力做功与势能
⒊ 机械能和机械能守恒定律
4,两体碰撞
目 录
2
有一个事实，或如果你愿意，一条定律，支配着
至今所知的一切自然现象,关于这条定律没发现例外
就目前所知确乎如此,这条定律称作能量守恒,它
指出有某一个量，我们称它能量，在自然界经历的
多种多样的变化中它不变化,那是一个最为抽象的概
念，因为它为一数学方面的原则；它表明有一种数
量当某些事情发生时它不变,
费曼（ R.P.Feynman）
3
一、功
㈠ 功 动能定律
定义,力对质点所做的功等于力在质点位移方向的分量
与位移大小的乘积,
rdFdW ??? ?c o s
rdF ?? ??
? ?? BA rdFW ??
功是力对空间的累积作用
单位,1焦耳 (J)=1牛顿（ N）,米（ m）
A
?
B
F?
rd?
4
iii rFWS ?
? ??????
? ?? 21rr rdFW ??
（ 1）功的图示
说明：
?cosF
r（ 2）在直角坐标系中：
)( dzFdyFdxFrdFW zyBA xBA ?????? ?? ??
??
?
?
?
???
???
kdzjdyidxrd
kFjFiFF zyx
????
????
（ 3）功是标量，没有方向，但有正负,
dr
5
（ 4）几个力同时作用在物体上时，所作的功：
?
??
???
???
????? ?
21
21 )(
WW
rdFrdF
合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。
? ?? rdFW ??
(5) 功率：
vFvFdtdrFdtdWP ?? ???????? c o sc o s
单位,焦耳 /秒 (瓦特 )
?????? ????? iFFFF 21
6
4
2
0 0
2
82 Tm
bdt
m
btbtF d xW x T ????? ? ?
? ? ??? v d tbtF d xW
解：元功 rdFdW ?? ??
例题 4.1 物体由静止出发作直线运动，质量为 m，受力
bt,b为常量，求在 T秒内，此力所作的功。
根据牛顿定律和加速度的定义求 )(tv
m
bt
dt
dv
m
Fa ???
dtmbtdvv vv ?? ??
00
7
1m
5N?
例题 4.2 如图所示，一绳索跨过无摩擦的滑轮系在质
量为 1.0km的物体上，起初物体静止在无摩擦的水平
面上,若用 5.0N的恒力作用在绳索的另一端，使物体
向右作加速运动,当系在物体上的绳索从与水平成
变为 时,力对物体作功为多少?己知滑轮与水平面
间的距离为 1m.
030
037
8
解, 建立坐标系 (如图 )
??? c o sFF x
dx
x
xFdxW x
x
x
x xF ?? ????
2
1
2
1 21
21 x
xF
?
??
)11( 2221 xxFW ????? J69.1?
mtgx 7 3 2.1301 01 ?? mtgx 327.1371 02 ??
1m
5N?
x 0
F
9
二、质点动能定理
力对物体作功，物体的运动状态要发生变化，它们之间的
关系如何呢？
dsF?? dsF
rdFdw
??
??
c o s
??
dsdtdvm? m vd v?
元功,
A
?
B
m
F?
rd?
质点由 A到 B这一过程中，力作总功为：
2
1
2
2 2
1
2
12
1
mvmvm v d vdWW B
A
v
v
???? ? ?
定义为质点的动能kEmv ?221
10
说明：
12 kk EEW ??
质点动能定理 —— 合外力对质点所作的功，等于质点动
能的增量
（ 2） 功与动能之间的区别和联系：
区别, 功与物体的状态变化过程相联系，为过程量，动
能决定于质点的运动状态，动能是状态量。
联系, 外力持续作用在物体上，外力的功是动能变化的
量度。
（ 1）对质点而言,W为合外力的功。
（ 3）动能定理适用于惯性系。
（ 4）动能定理提供了一种计算功的简便方法,
（ 5）功和动能具有相对性，但 具有相对不变性,
kEW ??
11
例题 4.3 如图，初始时，绳子垂在桌外的长度为 b,设
绳子总长度为 L,求绳全部离开光滑桌面时的瞬时速率,
解,方法（ 1）：利用动能定理
???
?
???
? ???
? L bLMgM g d xLxW Lb
22
2
1
L
xMm ?m g d xdW ?
建立作坐标系，重力所作元功为：
由动能定理得：
? ?22 bLLgv ??
? ? 0
2
1
2
2
22
??? MvL bLMg
M,L
b
x
o
t=0,v=0
12
方法（ 2）：利用牛顿定律
? ?22 bLLgv ??
dt
dvMmg ?
gLxgMmdtdv ??
由牛顿定律得
gLxdxdvvgLxdtdxdxdv ??
M,L
b
x
o
t=0,v=0
两种方法结果相同
13
例题 4.4 假定地球的密度是均匀的，并沿地球的直
径钻一个洞，质点从很高的位置 h 落入洞中，
求质点通过地心的速度。
由动能定理：
解,矢径方向如图所示，设通过
地心的速度为
0v
drfdrfR hR R? ?? ??? 0 内外
? ?? ????? R hR R rdfrdfmv 02 021 ?
???
内外
O
m
h
R
r?
14
32
3
3 3
4
3
4 R
G M m r
r
m
r
R
M
Gf ???
?
?内
又质点在地球内、外受力不同
drRG M m rdrrG M mmv RR hR ??????? ? 0 322 021
? ?
? ?hRR
hRG M mv
?
?? 3
0
2r
G M mf ?
外
15
0kiki EEW i ??
三、质点系动能定理
质点系的动能定理 -----作用于质点系的力所作的功，等
于该质点系总动能的增量。
? ? ?
? ? ?
??
n
i
n
i
n
i
ki okii EEW
1 1 1
对所有质点求和：
设一个系统内有 n个质点，作用于笫 i个质点的力所作的
功分别为,由质点动能定理
iW
16
?? ???
i
ki
i
ki EEWW 0内外
? ?? ? 内外 ii WW（ 2） 是每个质点所受外力（内力）作功
之和，而不是合力功之和,
???
???
????
n
i
i
n
i
i
n
i
i WWWWW
111
内外内外
（ 1） 质点系所受的力分外力和内力。则
说明：
（ 3）质点系内力的功,
研究两质点间作用力与反作用力元功之和为
? ? ? ? rdFrdrdFrdFrdFdA ????????? ?????????? 1212
即一对内力的所作的功仅决定于力和质点间相对位移的标积,
17
内力做功不为零，由系统的动能定理
kEWW ??? 内外
? ? 22 2121 aaba vmvmmm g x ?????
? ?ba
ab
mmg
vmx
??? 2
2
? ?vmmvm baaa ??
解,取 A和 B组成的系统，根据动量守恒
av?A
B
am
bm
?
av?
例题 4.5 在光滑的水平面上，有一质量为 的静止
物体 B，在 B上又有一质量为 的静止物体 A,A受冲
击，以 （相对于水平面 〕 向右运动,A和 B之间的摩
擦系数为, A逐渐带动 B一起运动，问 A从开始运动
到相对于 B静止时，在 B上运动多远？
18
例题 4.6 如图，质量为 M的卡车载一质量为 m的木箱，
以速率 v沿平直路面行驶,因故突然紧急刹车，车轮
立即停止转动，卡车滑行一定距离后静止，木箱在
卡车上相对于卡车滑行了 l 距离,卡车滑行了 L距离,
求 L和 l.巳知木箱与卡车间的滑动摩擦系数为,卡
车轮与地面的滑动摩擦系数为 1
?
2?
L
l
f?
mg
N?
Mg
N
f
F
mg
19
卡车和木箱受力如图,只有二者间摩擦力 和地面对车
的摩擦力 F做功，三力之受力质点位移各为,
根据质点动能定理得
ff ?、
LlLL,,?
? ?? ? ①221 210 MvLgMmmg ???? ??
? ? ②21 210 mvlLmg ???? ?
解得
? ?? ?
Lgvl
gmmMMvL
??
???
1
2
12
2
2 ?
??
解,解法一（用质点动能定理求解）
20
解法二（用质点系动能定理求解）
视卡车与木箱为一质点系,外力 F做功,
内力做功等于力与相对位移的标积，即
? ?gLmM ?? 2?
mgl1??
根据质点系动能定理，有
? ? ? ? ③221 21 vmMgLmMm g l ?????? ??
又视木箱为质点，得上面②式,②③ 联立得与上法相同结果,
注意,⑴卡车与木箱之间相互摩擦力做的功并不等值，表明
一对内力之功并不一定等值反号,⑵ 滑动摩擦力做正功
或负功，必须在搞清楚力和相对于一定参考受力点位
移的基础上作具体分析,但一对滑动摩擦力所做功的代
数和却总是负的,
21
例题 4.7 一炮弹的质量为,射出时的水平
和竖直分速度分别为 u和 v，当炮弹到达最高点时，
其内部的炸药产生能量 E，使炸药分成 及
两部分,开始时两者仍沿原方向前进，试求它们落
地时相隔的距离?
）（ 21 MM ?
1M 2M
解,炮弹到达最高点在爆炸前具有水平速度 u.爆炸后，
和 分别具有水平速度,由动能定理可得
21 vv、2M1M
? ? ①EuMMvMvM ???? 221222211 212121
由动量守恒（ x方向）可得
? ? ②uMMvMvM 212211 ???
22
由①、②式可求得（舍去不合题意的一个解）
? ?212
1
2
2
MMM
EMuv
???
? ?212
1
1
2
1
2
MMM
EM
M
Muv
???
故 落地时相隔的距离为21 MM,
? ? ? ?
21
21
12
2
MM
MME
g
vtvvx ?????
由最高点落下的时间为,gvt ?
23
㈡ 保守力做功与势能
一、几种常见的力作功
1、重力作功
jmgP ?? ??
? ??? ????? jdyidxPrdPw ?????
dymgy
y
）（ ?? ? 1
2
）（ 21 m g ym g yw ???
重力作功只与质点的起始和终止位置有关，而与所
经过的路径无关。
x
a
b
P?
y
y2
y1
rd?
24
02 rr
MmGF ?? ??
rdrrMmGrdFdW ???? ????? 02
移动位移元, F可近似认为不变，故rd?
由图知：
drrdrdrrdr ???? ?? c o sc o s00 ?????
于是：
drrMmGdW 2??
2、万有引力作功
如图,M不动,m由 a经任一路径到 b
）（
ab
b
a
r
r rr
G M mdr
r
G M mdWW b
a
111
2 ????? ? ?
M
a
r
drr?
?
m
b
rd?
dr
F
25
2
2
2
1 2
1
2
12
1
kxkxk x d xdWW xx ????? ? ?
在弹性限度内，弹性力所作的功只由弹簧的起始和终了位置
决定，而与形变的过程无关。
3、弹性力作功
k x d xrdFdW ???? ??
kxiF ???
0 x x
F?K
m
如图,o点为平衡位置，拉长到 P点时，伸长量为 x：
万有引力作功只取决于质点的起始和终了位置，与所经
过的路径无关。
26
保守力,作功只与物体的始末位置有关, 而与路径无关
的力 。 反之称为 非 保守力
二、保守力与非保守力
2
2
2
1 2
1
2
1 kxkxW ??
）（
ab rr
G M mW 11 ??
12 m g ym g yW ??
分析三种力
作功的特点
反映保守力作功特点的数学表达式：
b
c
d
a
F
F
物体沿不同路径从 a 到 b，保守力作功
?? ????
?
a d ba c b
a d ba c b
rdFrdF
WW
????
27
保守力沿任意闭合路径作功为零。
b
c
d
a沿闭合路径运动一周，保守力作功
? ??? ? ????? bdal a cb rdFrdFrdFW 0??????
? ??L ldF 0??
非保守力分类,① 称为耗散力（如滑动摩擦力），
将机械能转化为热能,
② （如爆炸力），将其他形态的能
（如化学能、电磁能）转化为机械能,
0?? rdf ??
0?? rdf ??
28
三、势 能
? ?? 0Pp rdFE ??
1,势能 定义,
即某点的势能等于保守力从该点沿任意路径到零势点的积分值
pE
定理 对于保守力场，可以定义一个标量函数,称为
势能（或势函数、位能）。使保守力做的功为
其中,表示质点从空间点 运动到点 时保守
力所做的功（证明从略）
? ?rV?
? ? ? ? ? ?BABA rrrr VVA ???? ???
? ?BA rrA ?? ? Br?Ar
?
由此，有
29
(2)势能是相对性的。为确定质点系在任一给定位置的
势能值，必须选定某一位置为参考位置（势能零点），
规定该点的势能为零,而势能零点可根据问题的需要任意
选择,
(3)势能是属于系统的。实质上势能是相互作用能,
说明,
(1)势能是状态（位置坐标）的函数，即：
),,( zyxEE pp ?
(4)由于内力的功与参照系无关，体系的势能（或势能
差）与参照系无关。
30
m g yE p ?
引力势能
弹性势能
ppp EEEW ?????? )( 12保
即：保守力对物体作的功等于物体势能增量负值。
? ?? 0Pp rdFE ??
重力势能
2 三种势能,
保守力作功可用势能差表示：
r
MmGE
p ??
2
2
1 kxE
p ?
31
3 势能曲线
当坐标系和势能零点一经确定，势能仅是坐标的函数
势能随坐标变化的曲线称为势能曲线。如图,
),,( zyxEE pp ?
? 势能曲线的用途：
⑴ 求平衡位置及判断平衡的稳定性,
mgh
Ep
h
rEp
Ep
r
1
2
2kx
r
GMm?
32
Pp dErdFdEdw ?????? ?
?
保守力与势能的关系,
pEW ???保
z
EF
y
EF
x
EF p
z
p
y
p
x ?
???
?
???
?
????,,
dzzEdyyEdxxEdE pppP ?????????
dzFdyFdxFrdF zyx ???? ??
p
ppp Ek
z
Ej
y
Ei
x
EF ???
?
??
?
??
?
??? ????
⑵ 由势能曲线求保守力,（力是矢量，而势能是标量，一
般情况下，确定标量函数比确定矢量要容易）
33
)( 00? ????????? ? ????
i i pikii i piki
EEEEWW 内非外
0EEWW ??? 内非外
内非内保内 WWW ??
?
?
??
?
? ??? ? ?
i i
pipi EEW 0内保
一、质点系的功能原理
㈢ 机械能守恒定律
根据质点系动能定理
?? ???
i
ki
i
ki EEWW 0内外
功能原理 质点系机械能的增量，等于外力与非保守
内力对质点系作功之和
34
二、机械能守恒定律
当作用于质点系的外力和内非保守力作功为零时，系统
机械能守恒。
时,内非外 00 ?? WW当
0EEWW ??? 内非外
根据功能原理：
或 pk dEdE ??
或可写为：
pk EE ????
???? ???
?
0
0
pik i opiki EEEE
EE
35
几点说明
（ 1）当摩擦力作为体系外力时，对体系可能做正功，也可能
做负功（也可能不做功）。而摩擦力作为体系内力时，必定是
成对出现的。因摩擦力总是与两物体的相对位移反方向，因而，
动摩擦总是消耗体系的机械能，是一种耗散力，而静摩擦力不
同，它不消耗体系的机械能。
(2)关于功与能的定理都是在牛顿定律的基础上导出的，因
而
只在惯性系中成立。若要在非惯性系中应用功与能的定理，
必须计入惯性力做功以及与惯性力相关的势能。
(3)尽管在任何惯性系中动能定理、功能原理和机械能守恒定
律都可应用，但力所做的功、体系的动能和机械能的数值在
不同的参考系中并不相同。而且，一个体系在一个参考系内
机械能守恒，在另一个参考系内机械能未必守恒。
36
三、柯尼希（ Konig）定理
对孤立质点系,在质心系里，体系的动量恒为零，质心系
是惯性系，功能原理和机械能守恒定律照样适用,但相对 质心系
和其它 惯性系（如实验室参照系），功和能未必相同。具体地
说，外力的功和体系的动能相对两个参照系的值不一定相同。
相对一定惯性参照系，质点系的动能为所有质点的动能之和
? ?iii
i
ii
i
k vvmvmE
?? ??? ??
2
1
2
1 2
设 为质点系的质心速度,为笫 i个质点相对质心系的速
度，则有 cv? iv?
?
ici vvv ???
???
代入上式得
? ? ? ?icic
i
ik vvvvmE ?????? ?
????
2
1
37
? ? ? ?
iiciici
icic
i
ik
vmvvmvm
vvvvmE
??????
??????
???
?
??
????
22
2
1
2
1
2
1
其中笫三项中
0?????? cii vMvm ??
kcc
iiick
EMv
vmmvE
??
??? ??
2
22
2
1
2
1
2
1于是
质心动能
体系相对质
心系动能
柯尼希定理－ 体系动能等于质心动能和体系相对质心系
的 动能之和,
38
四、三种宇宙速度
笫一宇宙速度－人造卫星
skm
R
GM
hR
GM
r
GM
v
r
Mm
G
r
v
m
/9.71
2
2
1
??
?
??
?
笫二宇宙速度－人造行星（太阳系）
飞行物冲出地球引力范围而围绕太阳运动，成为人造行
星。脱离地球引力的最低水平速度被称为笫二宇宙速度,
飞行物在地球引力作用下，环绕地球运行，成为人造卫星,
分别考虑 r处和无穷远处的机械能
? ? ? ?
? ? ? ? 00
2
1 2
??
???
?? pk
rprk
EE
r
Mm
GEmvE
，
，
39
应当满足机械能守恒，即,于是
? ? ? ??? EE r
021 2 ??
?
??
?
? ??
r
MmGmv
取其等于零，得笫二宇宙速度
skmRGMRh GMrGMv /2.112222 ?????
笫三宇宙速度－人造行星 (银河系 )
飞行物冲出太阳的引力范围而成为银河系中的人造行星,
根据笫二宇宙速度的同样原理，得到以太阳为参考系的
笫三宇宙速度
r
GMV s2
3 ?
40
其中太阳质量 （地球质量）,日地
平均距离 （地球半径），故
MM s 3103 3 2 ??
Rr 28 102 3 4105.1 ????
skmvV /2.42
102 3 4
103 3 2
22
3
3 ??
??
这是从日心系看飞行器冲出的速度，自然其中包含了地球绕
太阳的公转速度,两者相减 skmv /8.29?
skmvVV /4.1233 ????
这是地球参考系看来，飞行器冲出地球引力范围时，应有的
速度,再追溯到地面附近 h高度，发射速度 应当满足机械能守
恒，即 3
v
02121 2323 ????
?
??
?
? ?? Vm
R
MmGmv
41
注意到,故 2
22
1 mv
R
G M m ?
232223 Vvv ???
最后得出笫三宇宙速度
? ? ? ?
skm
skmVvv
/7.16
/4.122.11 2223223
?
?????
综上所述，三种宇宙速度均立足于地球上空预定
高度，物体在水平方向上的三个特征速度：
当,发射体环绕地球作椭园轨道运行；
当,发射体环绕太阳作椭圆轨道运行；
当,发射体将沿双曲线轨道离开太阳系,
21 vvv ??
32 vvv ??
3vv ?
42
㈣ 两体碰撞
所谓碰撞，是指两质点相互接近，运动状态发生迅速变化的
现象,碰撞的特征是极短的时间和强烈的相互作用,
一、正碰－对心碰撞
说明,① e=0 完全非弹性碰撞
② 0<e<1 非弹性碰撞
③ e=1 完全弹性碰撞
2211202101 vmvmvmvm ???
② 碰撞定律
2010
21
0 vv
vv
u
ue
?
???恢复系数
碰撞前两球速度均沿两球中心
连线满足：①动量守恒定律 10v
2v1v
20v
1m 2
m
43
⑴ 当两物体发生对心碰撞时，由以上两方程解得讨论：
? ?
? ?
20
21
21
10
21
1
2
20
21
2
10
21
21
1
1
1
v
mm
mem
v
mm
me
v
v
mm
me
v
mm
emm
v
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
碰撞过程中损失的动能为
? ? ? ? 22010
21
2121
2
1 vv
mm
mmeE ?
????
由此可知，对于完全弹性碰撞,e=1，动能守恒；
对于完全非弹性碰撞,e=0，动能损失最大,
44
⑵ 质心系中的正碰撞
上面讨论的是在实验室系（ L系）中正碰撞,而在质心系
（ c系）中，由于对质量中心的动量之和永远为零,故在
质心系中描写碰撞，表达形式简单，物理意义清晰,
在 L系中，质心速度为
21
202101
mm
vmvmv
c ?
??
在 c系中，设碰撞前后两质点的速度分别为 和
则 212010 vvvv
????,，
02211202101 ???????? vmvmvmvm
? ?201012 vvevv ???????
由这两方程可得
202101 vevvev ????????
45
在 c系中，碰撞损失的动能为
? ? ? ?220221012 211 vmvmeE ????????
思考：如何把质心系的碰撞结论化回实验室坐标系?
二、弹性斜碰撞
碰撞前两球的速度 不在两球中心连线上的碰撞叫
斜碰,一般情况下，斜碰为三维问题,若,则变为二维
问题,
2010 vv ??,
020 ?v?
提示：
cc
cc
vvvvvv
vvvvvv
??????
??????
2211
20201010
46
如图，取 的方向为 x轴，则上
面笫一式化为 10
v?
222111
222111101
s i ns i n0
c o sc o s
??
??
vmvm
vmvmvm
??
??
2
22
2
11
2
101
2211101
2
1
2
1
2
1
vmvmvm
vmvmvm
??
??
???
在完全弹性碰撞中，动量和能量都守恒，有
式中 称为散射角,另外，碰撞结果还与碰撞前两小球中
心在 y方向上的距离 b有关,b称为瞄准距离,b=0时即为正碰,
2.1 ??,
通常，应用实验方法测出上面四个未知数中的一个，才
能求出其余三个未知数,
b,1?
2?
1m
2m
1v
2v
10v
47
例题 4.8 如图，质量为 M的物块 A在离平板为 h的高度
处自由下落,落在质量也为 M的平板 B上,已知轻质弹
簧的倔强系数为 k，物体与平板作完全非弹性碰撞，
求碰撞后弹簧的最大压缩量,
解：本题可分为三个物理过程
⑴ 物块 A下落
①ghv 221 ?
⑵ 物块 A与平板 B发生碰撞
? ? ②21 vMMMv ??
⑶ 碰撞后弹簧被压缩
机械能守恒
0?????? pk EEE
h
48
弹簧被最大压缩时
? ? 22210 vMME k ????
? ? ? ? 212221 2121 kxgxMMxxkE p ??????
如图，取弹簧不承载平板
的平衡位置为坐标原点 0.则
平板 B放上后位移为,物
块 A碰撞后位移为,则1
x
2x
根据机械守恒式，得
? ? ? ?? ? ? ? ③02121 22122122 ???????? gxMMxxxkvMM
而 ④Mgkx ?
1
x
h
1x
2x
49
将①、②、④式代入③式，整理后得
02 222 ??? kM g hxkMgx
h
k
Mg
k
Mg
k
Mgxxx ?
?
?
??
?
?????
2
21m a x
2
因,故应将负根舍去,得碰撞后弹簧最大压缩量为02 ?x
解之得
h
k
Mg
k
Mg
k
Mgx ?
?
?
??
?
??? 2
2
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本章基本要求
⒈ 掌握功的定义及变力做功的计算方法,
⒉ 理解质点和质点系的动能定理的意义及其应用,
⒊ 掌握保守力和由之定义的势能的概念,掌握重力势能、
万有引力势能和弹性势能的概念和计算方法,特别注意势能
零点的选择,
⒋ 熟练掌握机械守恒定律，并能联系动量守恒定律解决
一些问题,
⒌ 理解柯尼希定理及应用,
⒍ 掌握两体碰撞的基本规律及应用,
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