1
第九章 狭义相对论基础
目 录
1.伽利略变换回顾与力学相对性原理,
2.狭义相对论的基本假设与洛仑兹变换,
3.狭义相对论时空观,
4.狭义相对论动力学基础,
2
㈠ 伽里略变换回顾与力学相对性原理
一、伽里略变换
aa
ttuvv
turr
??
???
???
??
?????
???
Z?
O?
X X?
Y?Y
Z
O
二、经典时空观
同时性的绝对性
2121 tttt ?????
tt ????时间测量的绝对性
1212 xxlxxl ??????????
长度测量的绝对性
伽里略变换的实质就是牛顿力学所持的经典时空观，认为
存在与物质的运动无关的绝对时间和绝对空间。
u?
3
推导, amF ?? ?对于牛顿定律
力与参考系无关 FF ?? ??
mm ??得到：
反过来，由时空绝对性（伽里略变换）和绝对质量的概念，
可以得到力学相对性原理。
力学定律在一切惯性系中都是相同的，即所有惯性系都是等
价的。 说明了质量的绝对性（与运动无关）。
三、力学的相对性原理
aa ?? ??由伽里略变换
amF ???? ??力学相对性原理
4
㈡ 狭义相对论的基本假设与洛仑兹变换
进行伽里略坐标变换
021 2
2
2
22
22
2
22
2
????????? ????????? xcutxc utcx ????
上式说明,在不同的惯性系中波动方程呈现不同的形式, 即
光速在不同的惯性系中有差异 。
问题一：麦克斯韦方程不服从伽里略变换
01 2
2
2
2 ?
?
??? E
tcE
??麦克斯韦方程
01 2
2
22
2
?????? tcx ??
以一维为例
5
问题二,迈克尔孙－莫雷实验
著名的否定性实验 （ 1881~1887）
动摇了经典物理学的基础 。
实验原理如图，光源发出
的光束被分成两束后，被镜片
反射，其往返时间分别为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
21
1
12
c
uc
l
uc
l
uc
l
t
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
22
1
12
c
uc
l
t
其中 u设定为地球相对“以太”速度
c+uS
E
M1
M2
M M
1
u
u
c 22 uc ?
6
仪器转动 90度所引起的两光束的时间差的变化为
? ? 2221 22 cluttt ????
? 1892年爱尔兰的菲兹哲罗和荷兰的洛仑兹独立提出了运动
长度收缩的概念；
? 1899年洛仑兹提出运动物体上的时间间隔将变长及洛仑兹
变换；
? 1904年庞加莱提出物体所能达到的速度有一最大值－真空
光速；
? 1905年爱因斯坦建立了狭义相对论 。
引起物理学界广泛的讨论和探索,
时间差的改变将导致干涉仪干涉条纹的移动,但观察的结果却
出乎意料，观察不到预期值（估计移动 0.4个条纹），多次改进
实验仍是如此,实验得到的负结果困扰了当时的科学界,
7
一, 狭义相对论的两条基本假设 （ 原理 ）
1,相对性原理,物理定律在所有惯性系中都相同, 即不存在
特殊的惯性系 （ 物理定律的绝对性 ） 。
2,光速不变原理,在所有惯性系中, 光在真空中的速率都等
于常量 c（ 真空中光速大小的绝对性 ） 。
狭义相对论建立的历史标志，是 1905年由爱因斯坦发表题
为, 论动体的电动力学, 的文章，该文以极其清晰和高度简
洁的观点叙述了 两条基本假设,
爱因斯坦的科学方法论,坚持统一性
信念 ;直觉道路和逻辑道路相统一的方
法 ;形象思维与思想实验相结合的方法, zyxA ???
8
二, 洛仑兹变换
说明,
1) u<<c或 c??时, 洛仑兹变换过渡为伽里略变换 ；
2) 相对论因子
3) u?c,即任何物体都不能超光速运动；
4) 逆变换, 只需将 u改为 ?u,带撇号和不带撇号量作对应
的交换；
2211 cu???
)(
)(
2
x
c
u
tt
zz
yy
utxx
???
??
??
???
?
?
正变换：
)(
)(
2
x
c
u
tt
zz
yy
tuxx
????
??
??
????
?
?
逆变换：
爱因斯坦否定了牛顿的绝对时空观，也就否定了伽利略
变换，他毅然选择了洛仑兹变换的时空变换关系
9
例题 9.1 试从爱因斯坦狭义相对论的两个基本假设出
发, 导出洛仑兹变换 。
解：设两个惯性参考系 的坐标
原点 重合时，位于原点 0处发出
一光脉冲，根据光速不变原理，应有
SS ?、
00 ?、
）（
）（
btczyx
atczyx
0
0
22222
22222
????????
????
由于时空的均匀性，新的时空关系必须是线性的，故可设
）（ ctaxattaxax 22211211 ??????
O?
X X?
Y?Y
Z
O
u?
S? 0??x
，0??x
0??x
显然，如图，在 S系中观测到 系的 各点（ S系中的
坐标为 x）的速度为 u，沿 x轴方向，即 dx/dt=u；然而
，根据式（ c），若,则有
10
01211 ???? taxax
故有
）（ duaadtdx ???
11
12
联立（ a）、（ b）、（ c）、（ d）四式，可解得
2211 1
1
cu
a
?
?
22
2
21 1 cu
cua
?
??
2222 1
1
cu
a
?
?
2212 1 cu
ua
?
??
代入式（ c），即可得到所要求的洛仑兹变换式,
11
三, 洛仑兹速度变换
逆变换：
x
z
z
x
y
y
x
x
x
v
c
u
v
dt
dz
v
v
c
u
v
dt
dy
v
v
c
u
uv
dt
dx
v
??
??
??
??
??
??
??
??
??
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
?
?
c
u??其中：
正变换：
x
z
z
x
y
y
x
x
x
v
c
u
v
td
zd
v
v
c
u
v
td
yd
v
v
c
u
uv
td
xd
v
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
12
例题 9.2 刚性长杆与 X轴夹角为 300,当杆沿 Y轴正
向以 v=2c/3的速度平动时, 杆与 X轴的交点 A的运
动速度为多少？ 这是否与狭义相对论速率极限的
理论相矛盾？
v
300
Y
XO
解：交点 A的运动速度为
cc
cvu
??
???
155.1
3
3230c t an 0
尽管 A点的运动速率大于光速 c,但并不与狭义相对论
的理论相矛盾 。 因为杆与 X轴的交点并不是真实的物体,
所以其速度可以大于光速 。, 光速是一切物体运动的极
限速率, 是说真实物体在真空中相对任一参考系的运动速
度, 不能通过外力加速而得到光速 。
A
13
例题 9.3 飞船 A中宇航员观察到飞船 B正以 0.4c的速度尾
随而来 。 已知地面测得飞船 A的速度为 0.5c。
求,1) 地面测得飞船 B的速度； 2) 飞船 B中测得飞船 A
的速度 。
c
c
c
c
cc
v
c
u
uvv
x
x
x 75.0
40.00, 5 01
50.040.0
1 22
?
??
??
?
??
?
?
即地面参考系测得飞船 B的速度为 0.75c。
解,1）设地面为 S系，飞船 A为 S?系。则已知量为 u=0.50c，
vx?=0.40c；求 vx；根据速度变换公式有
分析：求解这类题的关键是要分清各个已知量之间与未知量
之间的关系, 不要把坐标系搞混；只要掌握住这一点, 就显
得容易了 。
14
即飞船 B测得飞船 A的速度为 -0.40c。
由解题过程可以看出：若求在 B中测得飞船 A的速度, 就
必须先求出地面测得的飞船 B的速度 。
c40.0
c5.0
c
c75.0
1
c75.0c50.0
v
c
u
1
uv
v
2x2
x
x
??
??
?
?
?
?
??
2） 设地面为参照系 S,飞船 B为 S?系 。 则
已知量为,u=0.75c,vx=0.50c。 需要求解的是 vx?。
根据速度变换公式可得
15
例题 9.4 从 S?系坐标原点沿轴正向发出一光波, 而 S?系
相对于 S系以 0.5c的速率沿 x轴负向运动 。 用两种方法
求 S系测得的光速 。
解二,用坐标变换求解, 因为,
))(( tuxx ????? ?
))(( 2 xc utt ????? ?
cc
c
c
c
cc
v
c
u
uv
v
x
x
x ??
???
??
??
??
?
5.0
5.0
5.01
5.0
1 22
解一,用速度变换公式求解。
16
)
d
d
(
d
d5.0
1
5.0
d
d
)d
5.0
(d
)d5.0d(
d
d
2
2
c
t
x
c
t
x
c
c
c
t
x
x
c
c
t
tcx
t
x
v
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
??
?；
?
?
即
u=0.5C时，得
)tcd.xd(dx ???? 50?
)xdc c.td(dt ???? 250?
17
一、同时的相对性
㈢ 狭义相对论时空观
由洛仑兹变换所描述的时空性质彻底改变了经典的时空观念,
1.时钟的同步
需要确定一种方法使所有时钟的零点都对好，这种操作
称为 时钟同步,比较妥善的办法采用光信号使各时钟同步。
如：自中央台发出一个零时信号，则各地接收到中央零时信
号时，分别把时钟拨到,所有时钟也就同步了。
??,cL,cL,cL 321
思考：如何用其他办法使时钟同步?
18
S系中 不同地点同时发生 的事件，在 S?系不是同时发生的事件。
2、同时的相对性
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
???
222
121
x
c
u
tt
x
c
u
tt
?
?
? ?21212 xxcutt ?????? ?
P? B?A?
V
S?
P S
如图，自 系不同空间点同时发生的两事件，自 系
测量则不是同时，反之亦然,这就是同时的相对性。
S? S
19
设 S ?系中 同一地点 先后发生两个物理事件
? ?
? ?2
1
tzyx
tzyx
B
A
????
????
，，，
，，，
对 S系则有
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
????
x
c
u
tt
x
c
u
tt
222
211
?
?
? ? 121212 tttttt ????????? ?
二、时间间隔的相对性 时间膨胀
说明,1.同时的相对性是光速不变和随之而来的不同惯性系的
各时钟只能在各自惯性系作同步操作的必然结果。
2.相互运动的惯性系不再有统一时间，即否定了牛顿
的绝对时空观。
20
从惯性系 S中的观测者来看, 运动着的物体中发生的过程所
费的时间变长了, 变为固有时间的 ?倍 。 对事件发生地点 （ 同
一地点 ） 相对静止的惯性系中测得的固有时间最短 （ 即时钟
变慢 ） 。 这种现象称为钟慢效应,
注意：此命题强调同一地点先后发生的两事件。
? 如何理解时间膨胀的概念？
用光速不变原理设计一种光
信号钟,如图，相距为 d的两端各
有一面镜子，而钟固定于 系中
，并一起以匀速 v相对于 S系沿垂
直于 d的方向运动,在 系中，光
信号一个来回经历的时间间隔为
S?
S?
cdt 2???
x?
y?
d
v
y
x
21
但在 S系中看，光信号沿两条斜线传播,按光速不变原理，则有
22
2
22
2
1
2
1
2
1
2
1 ?
?
??
?
? ????
?
??
?
? ????
?
??
?
? ???
?
??
?
? ? tctvdtvtc
221 cv
tt
?
?????
? 孪生子佯谬,一对孪生兄弟, 哥哥告别弟弟, 登上访问
牛郎 织女的旋程,归来时阿哥仍是风度翩翩一少年, 而胞弟
却是白发苍苍一老翁,
解释,从逻辑上看, 这种佯谬并不存在, 因为天, 地两个参
考系 是不对称的,原则上讲,, 地, 可以是一个惯性参考系,
而, 天, 却不能, 否则它将一去不复返, 兄弟永别了,
22
三、长度的相对性 长度缩短
S ?系沿 x ?轴静止放置直杆，固有长度 L0=|x ?2 ?x ?1|，在 S系中
同时测量 直杆两端坐标
1) 固有长度是长度的最大值；
2) 相对杆运动的惯性系中测得的长度缩短了；
3) 与运动垂直方向上的长度不变 。
尺缩效应：物体沿运动方向的长度比其固有长度短,
思考题（ 1）,长度的量度和同时性有什么关系？为什么长度的
量度会和参考系有关？长度收缩效应是否因为棒的长度受到了
实际的压缩？
? ?
? ?utxx
utxx
???
???
22
11
?
?
0012
1 LLxxL ????
?
23
? 测量形象 （观测者） 和视觉形象 （观看者）
测量形象,测量运动杆长度必须 同时测量 其两端点坐标，才能
由坐标差得出长度的测量值。
视觉形象,是由物体上各 点发出后,同时到达,眼睛或,照相机”
的
光线所组成，这些光线 不是同时 从物体发出的。
思考题（ 2）,骑自行车高速行驶时，周围一切都变扁吗？
尺缩效应的形象是 人们观测物体上各点对观察者参考系同
一时刻 的位置构成的, 测量形象,,而不是物体产生的, 视觉
形象,, 相对论中的, 观测者, 指的就是这种, 测量者,,而
作为, 观看者, 看到的高速运动的物体, 除了应考虑由相对论
效应引起的畸变外, 还应考虑到由光学效应引起的畸变,故看
到的物体仍是原有的形状, 不过转过了一个角度,
24
? 比较
经典力学 狭义相对论力学
伽里略变换 洛仑兹变换
绝对时空观 相对时空观
都承认时空
三个对称性
时间平移对称性－能量守恒
空间平移对称性－动量守恒
空间转动对称性－角动量守恒
与物体（包括时钟）固定在一起的参考系称为 本征参考系,
在本征参考系中进行的测量称为 本征测量或原测量,测得的长
度、时间间隔为本征长度或固有长度、本征时间间隔或固有时,
25
例题 9.5 惯性系 S和 S?为约定系统, u=0.90c。 在 S?系
的 x?轴上先后发生两个事件, 其空间距离为 1.0?102m，
时间间隔为 1.0?10-6s。 求,在 S系中观察到的时间间隔
和空间间隔 。
解,根据洛仑兹变换有
)( 111 tuxx ???? ?
)( 222 tuxx ???? ?
12 tt ???,12 xx ???
和 u
分析,在这个约定系统中,S?系沿 S系 x轴正向以 0.9c的
速度运动。在 S?系中发生的事件既不同时也不同地，故不
能按长度收缩和时间膨胀来处理。而应按洛仑兹变换来求
解。已知量为
)()( 121212 ttuxxxx ????????? ??
26
(由此式可以看出：只有同时发生的两件事 （ 上式中第二项为 0）
才能应用长度收缩公式 。 这点定要记牢 ！ )
m1048.8
100.1100.39.029.2100.129.2
2
682
12
??
?????????? ?xx
29.2
90.01
1
2
?
?
??
同理
)()( 1221212 xxCutttt ????????? ??
s1098.2
100.1
100.3
9.029.2100.129.2
6
2
8
6
?
?
??
??
?
?????
这就是在 S系中发生的地点和发生的时刻。
由已知各条件得
27
2) 用相对论力学求在相对 ?子静止的惯性系 S?中, ?子衰减
之前地面可以运动的距离
m8.6 4 10 ?? ?us
在惯性系 S?中,大气层厚度 L0变为
m60 00 ?? ?LL
所以 ?子在衰减之前, 地面已经碰上 ?子了 。
例题 9.6 相当于 ?静止的坐标系中测得 ?的自发衰减的
平均寿命为 2.15?10?6 s。在离地面 6000m高空所产生
的 ?子相对于地面 0.995c的速率垂直向地面飞来。试问
它能否在衰变之前到达地面？
1) 用相对论力学求相对地面来讲 ?子的寿命 ?;解：
muus 6 4 1 810
10
0
00
???
??
??
????
28
例题 9.7 两惯性系 S,S?沿 X轴相对运动, 当两坐标原
点 o,o?重合时计时开始 。 若在 S系中测得某两事件的时
空坐标分别为 x1=6?104m,t1=2?10-4 s； x2=12?104m,
t2=1?10-4 s,而在 S?系中测得该两事件同时发生 。 试问：
1) S?系相对 S系的速度如何？ 2) S ?系中测得这两事件
的空间间隔是多少？
? ?2
121
1
1 cu
x
c
ut
t
?
?
??
解,设 S?系相对 S的速度为 u,由洛仑兹变换, S?系中测得
的两事件的事件坐标分别为
? ? 2
222
2
1 cu
x
c
u
t
t
?
?
??
21 tt ??＝
由题意
121222 xc
utx
c
ut ?? ＝
29
得
m /s105.12)( 8
12
12
2
?????? ?? cxx ttcu
式中负号表示 S?系沿 S系 x轴的负方向运动
2) 设在 S?系中测得两事件的空间坐标分别为 x1?,x2?,由洛仑兹
变换,
? ? 2
11
1
1 cu
tuxx
?
???
?
? ? 2
22
2
1 cu
tuxx
?
???
?
21 tt ??＝
由题意
? ? m102.51)( 421212 ???????? cuxxxx
30
㈣ 狭义相对论动力学基础
在相对论中，动力学的一系列物理概念和规律都面临着重
新定义的问题,重新定义新物理量的原则是：
1) 洛伦兹协变性。粒子或粒子系统的动力学方程必须在洛伦
兹变换下形式不变。
2) 对应原则的限制。即 u<<c时，新定义的物理量必须趋于经
典物理学中对应的物理量；
3) 尽量保持基本守恒定律继续成立。
一、动量和质量
由动量守恒和洛仑兹变换可推导出：
22
0
1 cu
mm
?
?
物体在相对静
止的惯性系中
测出的质量
物体对观察者
有相对速度 u
时测出的质量
31
根据实验结果，在相对论中，定义动量 P为：
vm
cu
vmvmP ????
022
0
1
??
?
??
二、力、功和动能
在相对论中，仍然保留力作为动量的变化率这一定义，
但动量由上式决定，故
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
22
0
1d
d
d
d
cv
vm
tt
PF ?
??动力学方程：
说明 1) 同一物体在不同惯性系测得质量不同；
2) 动力学方程形式依然 ；
3) v<<c时,m?m0，
amFtPF ??
??
??? dd
32
在相对论中，功能关系仍具有经典力学的形式，动能定
理仍然成立，即
22
0
2222
22
0
1
cmvmcm
cv
mm ???
?
?
由
?? ? ?????? vk vmvrt vmrFE ? ???
???
0 )(ddd
)(dd (1)
mdvvdmv
mdvvvdvm)vm(dv
2??
????? ?????? (2)
(3)上式两边求导得
mcmvvmv ddd 22 ＝?
33
分析：
2
2
2
2
22 2
11
2
11
1
1
c
v
c
v
cv
cv ?????
?
?? ?时，
02
2
22
0
2
11
1
m
c
v
cv
mm
???
?
???
? ??
?
??
2
02
1 vmE
k ?
----牛顿力学中定义的动能。
相对论动能等于因运动而引起质量增加量乘以光速的平方。
20202 )( cmmcmmcE k ????
2
0
2 )(d
0
cmmmcE mmk ??? ?
(2),(3)式代入 (1)式得
34
三、能量 质能关系
022
2
02
1
EE
cv
cmmcE
k ?????
0E
爱因斯坦将动能表式中出现 的这一恒量，解释为粒
子因静质量而具有的能量，称为 静能,而称 为质点的
总能量 E.由此即得 著名的质能关系
20cm
2mc
爱因斯坦指出，如果使粒子系统的静质量减少,它
就能释放出数量为 的巨大能量, 0
m?
? ? 20 cm?
00 mmB i i ?? ?
实验表明，原子核的静质量小于组成它的所有核子的静
质量之和,其差额称为原子核的质量亏损 B，即
35
得由
??
?
?
?
?
?
?
2
00
2
cmE
mcE
mvP
说明：一个静质量为零的粒子，在任一惯性系中只能以光速
运动，永远不会停止。
20222 EcPE ??
E Pc
m0c2
分析：
cvm v cPcEm ?????? 时，当 00
质能关系预示了原子能时代的来临。
与此相应的静能,称为原子核的结合能，即2Bc
2
00
2 cmmBcE
i
iB ??
??
?
? ??? ?
能量和动量的关系
36
例题 9.8 已知二质点 A,B静止质量均为 m0,若质点 A
静止, 质点 B以 6m0c2的动能向 A运动, 碰撞后合成一
粒子, 若无能量释放 。 求：合成粒子的静止质量 。
解,二粒子的能量分别为
）（ 176 2020200
2
0
cmcmcmEEE
cmE
kBBB
A
?????
?
由能量守恒定律求合成后粒子的能量
208 cmEEE BA ???
根据相对论质能关系
02 8 mMMcE ???
由质速关系求粒子的静止质量
? ? ? ? 2020 181 cVmcVMM ????
37
接下来关键问题是求复合粒子的速度 V=?
MVPPP BA ???
由动量守恒定律 (2)
由相对论能量与动量关系
420222 cmcPE BB ??
(3)
0?AP由题已知
(4)
联立 (1)-(4)四式得：
2
2
0
22
0
2
2
2
4
3
64
48 c
m
cm
M
PV B ???
? ? 0200 418 mcVmM ???
38
例题 9.9 已知电子的静质量 。 求,1) 电子的静能； 2)
从静止开始加速到 0.60c的速度需作的功； 3) 动量为
0.60MeV/C时的能量 。
2）加速到 0.60c时电子的能量为
J1002 5.1
60.01
1019 9.8
1
13
2
14
2
2
02
?
?
??
?
?
?
?
??
?
cm
mcE
解,1）电子的静能为
eV1012.5 5200 ??? cmE
39
3） 当 P=0.60MeV/C时, 其能量为 E,则有
2
22
2
2
2
0
222
)M e V(622.0
)M e V512.0(
)M e V60.0(
?
???
??
c
c
EcPE
E=0.789MeV
J1005.2
10199.810025.1
14
1413
0
?
??
??
?????? EEW
需要做的功为
40
本章基本要求
1,理解爱因斯坦相对论的两个基本假设,
2、理解和应用洛仑兹变换公式,了解相对论时空观和绝对时
空观的不同及洛仑兹变换与伽利略变换的关系
3、理解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间
膨胀的概念，会判断原时和非原时并能相互推算，能正确应
用长度缩短公式
4、理解并能正确应用相对论速度变换公式,
5、理解狭义相对论中的质量、动量、动能、能量等概念和
公式以及和牛顿力学中相应各量的关系,能正确利用这些公式
进行计算
6、了解相对论动量 -能量变换与力的变换公式,
41
第九章 狭义相对论基础
目 录
1.伽利略变换回顾与力学相对性原理,
2.狭义相对论的基本假设与洛仑兹变换,
3.狭义相对论时空观,
4.狭义相对论动力学基础,
2
㈠ 伽里略变换回顾与力学相对性原理
一、伽里略变换
aa
ttuvv
turr
??
???
???
??
?????
???
Z?
O?
X X?
Y?Y
Z
O
二、经典时空观
同时性的绝对性
2121 tttt ?????
tt ????时间测量的绝对性
1212 xxlxxl ??????????
长度测量的绝对性
伽里略变换的实质就是牛顿力学所持的经典时空观，认为
存在与物质的运动无关的绝对时间和绝对空间。
u?
3
推导, amF ?? ?对于牛顿定律
力与参考系无关 FF ?? ??
mm ??得到：
反过来，由时空绝对性（伽里略变换）和绝对质量的概念，
可以得到力学相对性原理。
力学定律在一切惯性系中都是相同的，即所有惯性系都是等
价的。 说明了质量的绝对性（与运动无关）。
三、力学的相对性原理
aa ?? ??由伽里略变换
amF ???? ??力学相对性原理
4
㈡ 狭义相对论的基本假设与洛仑兹变换
进行伽里略坐标变换
021 2
2
2
22
22
2
22
2
????????? ????????? xcutxc utcx ????
上式说明,在不同的惯性系中波动方程呈现不同的形式, 即
光速在不同的惯性系中有差异 。
问题一：麦克斯韦方程不服从伽里略变换
01 2
2
2
2 ?
?
??? E
tcE
??麦克斯韦方程
01 2
2
22
2
?????? tcx ??
以一维为例
5
问题二,迈克尔孙－莫雷实验
著名的否定性实验 （ 1881~1887）
动摇了经典物理学的基础 。
实验原理如图，光源发出
的光束被分成两束后，被镜片
反射，其往返时间分别为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
21
1
12
c
uc
l
uc
l
uc
l
t
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
22
1
12
c
uc
l
t
其中 u设定为地球相对“以太”速度
c+uS
E
M1
M2
M M
1
u
u
c 22 uc ?
6
仪器转动 90度所引起的两光束的时间差的变化为
? ? 2221 22 cluttt ????
? 1892年爱尔兰的菲兹哲罗和荷兰的洛仑兹独立提出了运动
长度收缩的概念；
? 1899年洛仑兹提出运动物体上的时间间隔将变长及洛仑兹
变换；
? 1904年庞加莱提出物体所能达到的速度有一最大值－真空
光速；
? 1905年爱因斯坦建立了狭义相对论 。
引起物理学界广泛的讨论和探索,
时间差的改变将导致干涉仪干涉条纹的移动,但观察的结果却
出乎意料，观察不到预期值（估计移动 0.4个条纹），多次改进
实验仍是如此,实验得到的负结果困扰了当时的科学界,
7
一, 狭义相对论的两条基本假设 （ 原理 ）
1,相对性原理,物理定律在所有惯性系中都相同, 即不存在
特殊的惯性系 （ 物理定律的绝对性 ） 。
2,光速不变原理,在所有惯性系中, 光在真空中的速率都等
于常量 c（ 真空中光速大小的绝对性 ） 。
狭义相对论建立的历史标志，是 1905年由爱因斯坦发表题
为, 论动体的电动力学, 的文章，该文以极其清晰和高度简
洁的观点叙述了 两条基本假设,
爱因斯坦的科学方法论,坚持统一性
信念 ;直觉道路和逻辑道路相统一的方
法 ;形象思维与思想实验相结合的方法, zyxA ???
8
二, 洛仑兹变换
说明,
1) u<<c或 c??时, 洛仑兹变换过渡为伽里略变换 ；
2) 相对论因子
3) u?c,即任何物体都不能超光速运动；
4) 逆变换, 只需将 u改为 ?u,带撇号和不带撇号量作对应
的交换；
2211 cu???
)(
)(
2
x
c
u
tt
zz
yy
utxx
???
??
??
???
?
?
正变换：
)(
)(
2
x
c
u
tt
zz
yy
tuxx
????
??
??
????
?
?
逆变换：
爱因斯坦否定了牛顿的绝对时空观，也就否定了伽利略
变换，他毅然选择了洛仑兹变换的时空变换关系
9
例题 9.1 试从爱因斯坦狭义相对论的两个基本假设出
发, 导出洛仑兹变换 。
解：设两个惯性参考系 的坐标
原点 重合时，位于原点 0处发出
一光脉冲，根据光速不变原理，应有
SS ?、
00 ?、
）（
）（
btczyx
atczyx
0
0
22222
22222
????????
????
由于时空的均匀性，新的时空关系必须是线性的，故可设
）（ ctaxattaxax 22211211 ??????
O?
X X?
Y?Y
Z
O
u?
S? 0??x
，0??x
0??x
显然，如图，在 S系中观测到 系的 各点（ S系中的
坐标为 x）的速度为 u，沿 x轴方向，即 dx/dt=u；然而
，根据式（ c），若,则有
10
01211 ???? taxax
故有
）（ duaadtdx ???
11
12
联立（ a）、（ b）、（ c）、（ d）四式，可解得
2211 1
1
cu
a
?
?
22
2
21 1 cu
cua
?
??
2222 1
1
cu
a
?
?
2212 1 cu
ua
?
??
代入式（ c），即可得到所要求的洛仑兹变换式,
11
三, 洛仑兹速度变换
逆变换：
x
z
z
x
y
y
x
x
x
v
c
u
v
dt
dz
v
v
c
u
v
dt
dy
v
v
c
u
uv
dt
dx
v
??
??
??
??
??
??
??
??
??
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
?
?
c
u??其中：
正变换：
x
z
z
x
y
y
x
x
x
v
c
u
v
td
zd
v
v
c
u
v
td
yd
v
v
c
u
uv
td
xd
v
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
12
例题 9.2 刚性长杆与 X轴夹角为 300,当杆沿 Y轴正
向以 v=2c/3的速度平动时, 杆与 X轴的交点 A的运
动速度为多少？ 这是否与狭义相对论速率极限的
理论相矛盾？
v
300
Y
XO
解：交点 A的运动速度为
cc
cvu
??
???
155.1
3
3230c t an 0
尽管 A点的运动速率大于光速 c,但并不与狭义相对论
的理论相矛盾 。 因为杆与 X轴的交点并不是真实的物体,
所以其速度可以大于光速 。, 光速是一切物体运动的极
限速率, 是说真实物体在真空中相对任一参考系的运动速
度, 不能通过外力加速而得到光速 。
A
13
例题 9.3 飞船 A中宇航员观察到飞船 B正以 0.4c的速度尾
随而来 。 已知地面测得飞船 A的速度为 0.5c。
求,1) 地面测得飞船 B的速度； 2) 飞船 B中测得飞船 A
的速度 。
c
c
c
c
cc
v
c
u
uvv
x
x
x 75.0
40.00, 5 01
50.040.0
1 22
?
??
??
?
??
?
?
即地面参考系测得飞船 B的速度为 0.75c。
解,1）设地面为 S系，飞船 A为 S?系。则已知量为 u=0.50c，
vx?=0.40c；求 vx；根据速度变换公式有
分析：求解这类题的关键是要分清各个已知量之间与未知量
之间的关系, 不要把坐标系搞混；只要掌握住这一点, 就显
得容易了 。
14
即飞船 B测得飞船 A的速度为 -0.40c。
由解题过程可以看出：若求在 B中测得飞船 A的速度, 就
必须先求出地面测得的飞船 B的速度 。
c40.0
c5.0
c
c75.0
1
c75.0c50.0
v
c
u
1
uv
v
2x2
x
x
??
??
?
?
?
?
??
2） 设地面为参照系 S,飞船 B为 S?系 。 则
已知量为,u=0.75c,vx=0.50c。 需要求解的是 vx?。
根据速度变换公式可得
15
例题 9.4 从 S?系坐标原点沿轴正向发出一光波, 而 S?系
相对于 S系以 0.5c的速率沿 x轴负向运动 。 用两种方法
求 S系测得的光速 。
解二,用坐标变换求解, 因为,
))(( tuxx ????? ?
))(( 2 xc utt ????? ?
cc
c
c
c
cc
v
c
u
uv
v
x
x
x ??
???
??
??
??
?
5.0
5.0
5.01
5.0
1 22
解一,用速度变换公式求解。
16
)
d
d
(
d
d5.0
1
5.0
d
d
)d
5.0
(d
)d5.0d(
d
d
2
2
c
t
x
c
t
x
c
c
c
t
x
x
c
c
t
tcx
t
x
v
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
??
?；
?
?
即
u=0.5C时，得
)tcd.xd(dx ???? 50?
)xdc c.td(dt ???? 250?
17
一、同时的相对性
㈢ 狭义相对论时空观
由洛仑兹变换所描述的时空性质彻底改变了经典的时空观念,
1.时钟的同步
需要确定一种方法使所有时钟的零点都对好，这种操作
称为 时钟同步,比较妥善的办法采用光信号使各时钟同步。
如：自中央台发出一个零时信号，则各地接收到中央零时信
号时，分别把时钟拨到,所有时钟也就同步了。
??,cL,cL,cL 321
思考：如何用其他办法使时钟同步?
18
S系中 不同地点同时发生 的事件，在 S?系不是同时发生的事件。
2、同时的相对性
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
???
222
121
x
c
u
tt
x
c
u
tt
?
?
? ?21212 xxcutt ?????? ?
P? B?A?
V
S?
P S
如图，自 系不同空间点同时发生的两事件，自 系
测量则不是同时，反之亦然,这就是同时的相对性。
S? S
19
设 S ?系中 同一地点 先后发生两个物理事件
? ?
? ?2
1
tzyx
tzyx
B
A
????
????
，，，
，，，
对 S系则有
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
????
x
c
u
tt
x
c
u
tt
222
211
?
?
? ? 121212 tttttt ????????? ?
二、时间间隔的相对性 时间膨胀
说明,1.同时的相对性是光速不变和随之而来的不同惯性系的
各时钟只能在各自惯性系作同步操作的必然结果。
2.相互运动的惯性系不再有统一时间，即否定了牛顿
的绝对时空观。
20
从惯性系 S中的观测者来看, 运动着的物体中发生的过程所
费的时间变长了, 变为固有时间的 ?倍 。 对事件发生地点 （ 同
一地点 ） 相对静止的惯性系中测得的固有时间最短 （ 即时钟
变慢 ） 。 这种现象称为钟慢效应,
注意：此命题强调同一地点先后发生的两事件。
? 如何理解时间膨胀的概念？
用光速不变原理设计一种光
信号钟,如图，相距为 d的两端各
有一面镜子，而钟固定于 系中
，并一起以匀速 v相对于 S系沿垂
直于 d的方向运动,在 系中，光
信号一个来回经历的时间间隔为
S?
S?
cdt 2???
x?
y?
d
v
y
x
21
但在 S系中看，光信号沿两条斜线传播,按光速不变原理，则有
22
2
22
2
1
2
1
2
1
2
1 ?
?
??
?
? ????
?
??
?
? ????
?
??
?
? ???
?
??
?
? ? tctvdtvtc
221 cv
tt
?
?????
? 孪生子佯谬,一对孪生兄弟, 哥哥告别弟弟, 登上访问
牛郎 织女的旋程,归来时阿哥仍是风度翩翩一少年, 而胞弟
却是白发苍苍一老翁,
解释,从逻辑上看, 这种佯谬并不存在, 因为天, 地两个参
考系 是不对称的,原则上讲,, 地, 可以是一个惯性参考系,
而, 天, 却不能, 否则它将一去不复返, 兄弟永别了,
22
三、长度的相对性 长度缩短
S ?系沿 x ?轴静止放置直杆，固有长度 L0=|x ?2 ?x ?1|，在 S系中
同时测量 直杆两端坐标
1) 固有长度是长度的最大值；
2) 相对杆运动的惯性系中测得的长度缩短了；
3) 与运动垂直方向上的长度不变 。
尺缩效应：物体沿运动方向的长度比其固有长度短,
思考题（ 1）,长度的量度和同时性有什么关系？为什么长度的
量度会和参考系有关？长度收缩效应是否因为棒的长度受到了
实际的压缩？
? ?
? ?utxx
utxx
???
???
22
11
?
?
0012
1 LLxxL ????
?
23
? 测量形象 （观测者） 和视觉形象 （观看者）
测量形象,测量运动杆长度必须 同时测量 其两端点坐标，才能
由坐标差得出长度的测量值。
视觉形象,是由物体上各 点发出后,同时到达,眼睛或,照相机”
的
光线所组成，这些光线 不是同时 从物体发出的。
思考题（ 2）,骑自行车高速行驶时，周围一切都变扁吗？
尺缩效应的形象是 人们观测物体上各点对观察者参考系同
一时刻 的位置构成的, 测量形象,,而不是物体产生的, 视觉
形象,, 相对论中的, 观测者, 指的就是这种, 测量者,,而
作为, 观看者, 看到的高速运动的物体, 除了应考虑由相对论
效应引起的畸变外, 还应考虑到由光学效应引起的畸变,故看
到的物体仍是原有的形状, 不过转过了一个角度,
24
? 比较
经典力学 狭义相对论力学
伽里略变换 洛仑兹变换
绝对时空观 相对时空观
都承认时空
三个对称性
时间平移对称性－能量守恒
空间平移对称性－动量守恒
空间转动对称性－角动量守恒
与物体（包括时钟）固定在一起的参考系称为 本征参考系,
在本征参考系中进行的测量称为 本征测量或原测量,测得的长
度、时间间隔为本征长度或固有长度、本征时间间隔或固有时,
25
例题 9.5 惯性系 S和 S?为约定系统, u=0.90c。 在 S?系
的 x?轴上先后发生两个事件, 其空间距离为 1.0?102m，
时间间隔为 1.0?10-6s。 求,在 S系中观察到的时间间隔
和空间间隔 。
解,根据洛仑兹变换有
)( 111 tuxx ???? ?
)( 222 tuxx ???? ?
12 tt ???,12 xx ???
和 u
分析,在这个约定系统中,S?系沿 S系 x轴正向以 0.9c的
速度运动。在 S?系中发生的事件既不同时也不同地，故不
能按长度收缩和时间膨胀来处理。而应按洛仑兹变换来求
解。已知量为
)()( 121212 ttuxxxx ????????? ??
26
(由此式可以看出：只有同时发生的两件事 （ 上式中第二项为 0）
才能应用长度收缩公式 。 这点定要记牢 ！ )
m1048.8
100.1100.39.029.2100.129.2
2
682
12
??
?????????? ?xx
29.2
90.01
1
2
?
?
??
同理
)()( 1221212 xxCutttt ????????? ??
s1098.2
100.1
100.3
9.029.2100.129.2
6
2
8
6
?
?
??
??
?
?????
这就是在 S系中发生的地点和发生的时刻。
由已知各条件得
27
2) 用相对论力学求在相对 ?子静止的惯性系 S?中, ?子衰减
之前地面可以运动的距离
m8.6 4 10 ?? ?us
在惯性系 S?中,大气层厚度 L0变为
m60 00 ?? ?LL
所以 ?子在衰减之前, 地面已经碰上 ?子了 。
例题 9.6 相当于 ?静止的坐标系中测得 ?的自发衰减的
平均寿命为 2.15?10?6 s。在离地面 6000m高空所产生
的 ?子相对于地面 0.995c的速率垂直向地面飞来。试问
它能否在衰变之前到达地面？
1) 用相对论力学求相对地面来讲 ?子的寿命 ?;解：
muus 6 4 1 810
10
0
00
???
??
??
????
28
例题 9.7 两惯性系 S,S?沿 X轴相对运动, 当两坐标原
点 o,o?重合时计时开始 。 若在 S系中测得某两事件的时
空坐标分别为 x1=6?104m,t1=2?10-4 s； x2=12?104m,
t2=1?10-4 s,而在 S?系中测得该两事件同时发生 。 试问：
1) S?系相对 S系的速度如何？ 2) S ?系中测得这两事件
的空间间隔是多少？
? ?2
121
1
1 cu
x
c
ut
t
?
?
??
解,设 S?系相对 S的速度为 u,由洛仑兹变换, S?系中测得
的两事件的事件坐标分别为
? ? 2
222
2
1 cu
x
c
u
t
t
?
?
??
21 tt ??＝
由题意
121222 xc
utx
c
ut ?? ＝
29
得
m /s105.12)( 8
12
12
2
?????? ?? cxx ttcu
式中负号表示 S?系沿 S系 x轴的负方向运动
2) 设在 S?系中测得两事件的空间坐标分别为 x1?,x2?,由洛仑兹
变换,
? ? 2
11
1
1 cu
tuxx
?
???
?
? ? 2
22
2
1 cu
tuxx
?
???
?
21 tt ??＝
由题意
? ? m102.51)( 421212 ???????? cuxxxx
30
㈣ 狭义相对论动力学基础
在相对论中，动力学的一系列物理概念和规律都面临着重
新定义的问题,重新定义新物理量的原则是：
1) 洛伦兹协变性。粒子或粒子系统的动力学方程必须在洛伦
兹变换下形式不变。
2) 对应原则的限制。即 u<<c时，新定义的物理量必须趋于经
典物理学中对应的物理量；
3) 尽量保持基本守恒定律继续成立。
一、动量和质量
由动量守恒和洛仑兹变换可推导出：
22
0
1 cu
mm
?
?
物体在相对静
止的惯性系中
测出的质量
物体对观察者
有相对速度 u
时测出的质量
31
根据实验结果，在相对论中，定义动量 P为：
vm
cu
vmvmP ????
022
0
1
??
?
??
二、力、功和动能
在相对论中，仍然保留力作为动量的变化率这一定义，
但动量由上式决定，故
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
22
0
1d
d
d
d
cv
vm
tt
PF ?
??动力学方程：
说明 1) 同一物体在不同惯性系测得质量不同；
2) 动力学方程形式依然 ；
3) v<<c时,m?m0，
amFtPF ??
??
??? dd
32
在相对论中，功能关系仍具有经典力学的形式，动能定
理仍然成立，即
22
0
2222
22
0
1
cmvmcm
cv
mm ???
?
?
由
?? ? ?????? vk vmvrt vmrFE ? ???
???
0 )(ddd
)(dd (1)
mdvvdmv
mdvvvdvm)vm(dv
2??
????? ?????? (2)
(3)上式两边求导得
mcmvvmv ddd 22 ＝?
33
分析：
2
2
2
2
22 2
11
2
11
1
1
c
v
c
v
cv
cv ?????
?
?? ?时，
02
2
22
0
2
11
1
m
c
v
cv
mm
???
?
???
? ??
?
??
2
02
1 vmE
k ?
----牛顿力学中定义的动能。
相对论动能等于因运动而引起质量增加量乘以光速的平方。
20202 )( cmmcmmcE k ????
2
0
2 )(d
0
cmmmcE mmk ??? ?
(2),(3)式代入 (1)式得
34
三、能量 质能关系
022
2
02
1
EE
cv
cmmcE
k ?????
0E
爱因斯坦将动能表式中出现 的这一恒量，解释为粒
子因静质量而具有的能量，称为 静能,而称 为质点的
总能量 E.由此即得 著名的质能关系
20cm
2mc
爱因斯坦指出，如果使粒子系统的静质量减少,它
就能释放出数量为 的巨大能量, 0
m?
? ? 20 cm?
00 mmB i i ?? ?
实验表明，原子核的静质量小于组成它的所有核子的静
质量之和,其差额称为原子核的质量亏损 B，即
35
得由
??
?
?
?
?
?
?
2
00
2
cmE
mcE
mvP
说明：一个静质量为零的粒子，在任一惯性系中只能以光速
运动，永远不会停止。
20222 EcPE ??
E Pc
m0c2
分析：
cvm v cPcEm ?????? 时，当 00
质能关系预示了原子能时代的来临。
与此相应的静能,称为原子核的结合能，即2Bc
2
00
2 cmmBcE
i
iB ??
??
?
? ??? ?
能量和动量的关系
36
例题 9.8 已知二质点 A,B静止质量均为 m0,若质点 A
静止, 质点 B以 6m0c2的动能向 A运动, 碰撞后合成一
粒子, 若无能量释放 。 求：合成粒子的静止质量 。
解,二粒子的能量分别为
）（ 176 2020200
2
0
cmcmcmEEE
cmE
kBBB
A
?????
?
由能量守恒定律求合成后粒子的能量
208 cmEEE BA ???
根据相对论质能关系
02 8 mMMcE ???
由质速关系求粒子的静止质量
? ? ? ? 2020 181 cVmcVMM ????
37
接下来关键问题是求复合粒子的速度 V=?
MVPPP BA ???
由动量守恒定律 (2)
由相对论能量与动量关系
420222 cmcPE BB ??
(3)
0?AP由题已知
(4)
联立 (1)-(4)四式得：
2
2
0
22
0
2
2
2
4
3
64
48 c
m
cm
M
PV B ???
? ? 0200 418 mcVmM ???
38
例题 9.9 已知电子的静质量 。 求,1) 电子的静能； 2)
从静止开始加速到 0.60c的速度需作的功； 3) 动量为
0.60MeV/C时的能量 。
2）加速到 0.60c时电子的能量为
J1002 5.1
60.01
1019 9.8
1
13
2
14
2
2
02
?
?
??
?
?
?
?
??
?
cm
mcE
解,1）电子的静能为
eV1012.5 5200 ??? cmE
39
3） 当 P=0.60MeV/C时, 其能量为 E,则有
2
22
2
2
2
0
222
)M e V(622.0
)M e V512.0(
)M e V60.0(
?
???
??
c
c
EcPE
E=0.789MeV
J1005.2
10199.810025.1
14
1413
0
?
??
??
?????? EEW
需要做的功为
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本章基本要求
1,理解爱因斯坦相对论的两个基本假设,
2、理解和应用洛仑兹变换公式,了解相对论时空观和绝对时
空观的不同及洛仑兹变换与伽利略变换的关系
3、理解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间
膨胀的概念，会判断原时和非原时并能相互推算，能正确应
用长度缩短公式
4、理解并能正确应用相对论速度变换公式,
5、理解狭义相对论中的质量、动量、动能、能量等概念和
公式以及和牛顿力学中相应各量的关系,能正确利用这些公式
进行计算
6、了解相对论动量 -能量变换与力的变换公式,
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