1
笫三章 动量守恒
⒈ 动量与动量定理；
⒉质心与质心运动定理；
⒊动量守恒定律；
⒋变质量物体的运动,
目 录
2
㈠ 动量与动量定理
动量是描述一定运动状态下物体“运动量”的概念，比
速度更能全面、确切地反映物体的运动状态，为状态量。
牛顿第二定律
作用在质点上的外力等于质点动量随时间的变化率 。
dt
vmd
dt
pdF )( ??? ??
vmp ?? ?
一、动量
定义动量：
牛顿定律表明，力的瞬时效应是受力物体获得加速度，而任
何运动必定经历空间和时间,因此，应用牛顿定律于质点组，研
究力作用的时间累积效应与空间累积效应，从中寻求某些规律，
便成为动力学理论进一步向前发展的一个方向,
3
二、质点动量定理
? ????21 21 12)(tt pp pppddttF ???? ??
dt
pdF ?? ?由
PddtF ?? ?
动量定理
微分形式
定义 dI=Fdt为力的元冲量，则冲量 I为力对时间的积分
? ? 12
2
1
vmvmdtFI tt t ???? ??? ?
动量定理
积分形式
动量定理常用于碰撞过程,在碰撞、打击瞬间用平均冲
力概念
t
pdttF
ttF
t
t ?
??
?? ?
2
1
)(1
12
4
三、质点系动量定理
1,对两质点系统 (如图 )
内力：
外力：
1F?
21F?
2F?12F
?
考虑牛顿笫三定律,(1)+(2)得,
? ?????21 202101221121tt vmvmvmvmdtFF ）（）（）（ ??????
0PP
?? ??
21 FF
??、
2112 FF
??,
质点 1 ? ?
）（ 1101111212
1
vmvmdtFFtt ???? ????
? ? ）（ 2202222122
1
vmvmdtFFtt ???? ????
质点 2
5
2,对多质点系统
质点系的动量定理 —— 作用于系统的合外力在一段时间
内的总冲量等于系统动量的增量,
设质点组由 N个质点组成，对笫 i个质点应用动量定理，有
? ? 02
1
iiii
t
t ii vmvmdtfF
???? ????
对所有质点的动量定理表式求和，则有
0
2
1
i
i
ii
i
i
t
t i ii i
vmvmdtfF ??
?? ??
? ?? ???????? ?
00
11
PPvmvmdtF i
n
i
ii
n
i
i
?????
???? ???
??
外
0
1
??
?
n
i
if
?由于所有内力的矢量和为零，即
6
(1) 只有外力对系统动量的增量有贡献。
(2) 系统内力不改变系统总动量，但可使系统内各质点
的动量变化,
说明：
⑶ 动量定理与牛顿定律的关系：
① 对一个质点，牛顿定律表示的是力的瞬时效应，而动
量主定理表示的是力对时间的积累效果,
② 牛顿定律只适用于质点，不能直接用于质点系,而动量
定理可适用于质点系,
③ 牛顿定律和动量定理都只适用于惯性系,要在非惯性
系中应用动量定理，必须考虑惯性力的冲量,
在无限小的时间间隔内：
PddtF ?? ?外
.质点系动量定理的微分形式
dt
PdF
??
?外
7
例题 3.1如图，小球自由落体 h距离，能将重物 M 提
升到多少高度?
解：设绳子为柔软钢丝绳，全过程分为
三段分析：
⑴ 软绳由松到紧,M不动，小球
自由下落，获得末速度
ghv 2?
⑵ 软绳被绷紧，在此瞬间 m,M
均受到绳子张力 T的作用，达
到同一末速度 V，故
M
m
h mM
1T
2T
1G2G
8
? ?
tTMV
tTmvmV
???
????
0
Mm
mvV
??
⑶ m,M一同运动，位移 H，则
? ?
? ? MHMgTV
mHTmgV
???
???
20
20
2
2
解出：
1
2 222
22
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
m
M
hh
mM
m
g
V
mM
mM
H
根据动量定理有
9
yvvmp y ???
yggmF y ???外
分析：这是一个质点系的动量问题，可用体系动量定理
求解,
解,如图，建立坐标系,令线密度,则在某时刻?
例题 3.2 柔软链条自桌上小孔自由下落，求下落速度
与落下距离之间关系,
dt
dp?F外根据 得
? ?
dt
yvdyg ? dy
dy?
dy
yvdv )(?
y
O
y
ym
10
)(2 yvyvddygy ?两端同乘以 y：
??? yvy yvyvddyyg 00 2 )(
两端积分：
)( yvvdyg d y ?
得：
? ?23 2131 yvgy ?
2
1
3
2
?
?
?
?
?
??? gyv
y
O
y
ym
11
㈡ 质心与质心运动定律
一、质心
质点系动量定理的微分形式：
质心位置及其求法：
???
i
ipdt
d
dt
PdF ???
对质点系而言存在一个特殊点 c，满足
M为体系总质量
是该特殊点的加速度,c称为质心
caMF ?
? ?
：ca?
A、两个质点组成的体系
? ?
? ? ??
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
???
21
2211
2
2
21
21
21
2211
2211
mm
rmrm
dt
d
mm
mm
mm
amam
amamF
??
??
???
12
可见质心位矢是质点位矢的带权平均值，这个, 权, 与质点的
质量分布位置有关,
由此得
21
2211
mm
rmrmr
c ?
?? ???
B,n个质点系统
?
?
?
i
i
i
ii
c
m
rm
r
?
?
分量形式
?
?
?
?
?
?
???
i
i
i
ii
c
i
i
i
ii
c
i
i
i
ii
c m
zm
z
m
ym
y
m
xm
x
13
对质量连续分布的物体，其质心位矢由上式推广得
?
?
?
? ??
dV
dVr
dm
dmr
rc
?
? ???
分量形式为
?
?
?
?
?
? ???
dm
z d m
z
dm
y d m
y
dm
xdm
x ccc
C 若一个物体由 A,B两部分组成，依质心 xyz方向表达式
分别改写为
? ?
? ?
?
?
?
?
??
A B ii
A B iiii
i
ii
c mm
xmxm
m
xmX
14
BA
B
B
B ii
A
A
A ii
c mm
m
m
xm
m
m
xm
X
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
? ? ? ?
BA
BcBAcA
c mm
mZmZZ
?
??? ? ? ?
BA
BcBAcA
c mm
mYmYY
?
??
同样 YZ方向质心位置分别为
质心的性质只有在体系的运动与外力的关系中才体现出来。
因此，质心并不是一个几何学或运动学的概念，而是一个动力
学概念。
? ? ? ?
BA
BcBAcA
mm
mXmX
?
??
15
例题 3.3 求半径为 a的均质半圆球的质心
解：如图，以球心 o为原点建立坐标系,将半球体划分为若干
半径为 r厚为 dz的薄圆平板状体积元 dV
dzrdV 2??
而,coss in ?? azar ??
设,则?cos?u ? ?
8
3
422
3
3
2
1
1
0
4
1
0
2
3
1
0
24
auu
a
au duua
V
z dV
dV
z dV
z
v
v
c
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
???? ?
?
?
?
??
?
? x
a Rcos?
x
?
z
?sina
?cosa
0
? ? ? ?
? ? ???
???
c o sc o s1
c o ss in
23
2
da
adadV
??
??
16
例题 3.4 如图，在半径为 R的均质等厚大圆板的一侧挖掉
半径为 R/2的小圆板，大小圆板相切，求余下部分的质心
解：选择如图坐标系，考虑对称性，余
下部分质心的 y坐标为零，仅需求 x坐标
大圆板质量为,
质心坐标为
2RM ???
0?cx
小圆板质量为,
质心坐标为
2
1 4
1 Rm ???
21 Rx c ?
余下的质量为,质心坐标用 表示，则2
2 4
3 Rm ???
cx2
2
2
22
4
3
24
1
0
R
xRRR c
??
???? ???
? 62 Rx c ??
0
x
y
17
二、体系动量定理与质心运动定律
引入质心概念，质点系动量则可表示为
cc
i
ii
i
i
i
i
ii vMrMM
rm
dt
dMrmvmP ???
?
???? ?????
?
??
体系动量定理可写成
00
2
1 cc
t
t vMvMPPdtF
????? ?????
上述结论亦称为 质心运动定理,其微分形式
? ? cc rMrMdtdPdtdF ??????? ???
18
(3)不论体系如何复杂，体系质心的行为与一个质点相同
.从这个意义上说，牛顿定律所描绘的不是体系中任一质点
的运动，而是质心的运动,而质心的存在，正是任意物体在
一定条件下可以看成质点的物理基础,
上式表明,
(2)质心运动定理表明牛顿定律具有一种独特的性质，即
如果它在某一小尺度范围内是正确的，那么在大尺度范围内
也将是正确的。
(1) 质心运动定理实际上是矢量方程，可以写成三个分
量方程，运动的独立性同样成立。
(4)质心运动定理和牛顿三定律的适用范围相同。
19
说明：
2.物体相对固定参照系的运动可分解为它相对质心系的
运动与质心系相对固定参照系的运动,
3.质心坐标系在讨论质点系的力学问题中十分有用,
1.对于孤立体系或所受外力的矢量和为零的体系
其质心坐标系为惯性系,对于受外力作用的体系，则是非惯性系,
c o n s tvc o n s tvMP cc ??? ???,
三、质心坐标系
把原点取在质心上，坐标轴的方向始终与某固定参照系
（惯性系）的坐标轴保持平行的平动坐标系称为 质心坐标系,
20
例题 3.5 一根完全柔软的质量均匀分布的绳子竖直的悬
挂着，其下端刚与地面接触,此时放开绳子，从静止
状态开始下落,已知绳子质量为 m,长为 L，求下落到所
剩长度为 z时，地面对这段绳子的作用力,
解,解法一（质心法）
把绳子看作一质点系。当绳子下落
到剩长度为 z时，所其质心高度和速度
分别为
l
zv
dt
dz
l
z
dt
dz
v
l
z
zd
l
m
z
m
z
c
c
z
c
???
???? ?
2
1
2
0
所谓完全柔软的绳子,指的是绳子上端的下落速度 v=dz/dt
与一个质点自由下落的速度相同，即
z
O
z
zl?
21
? ? gdtdvzlgv ????? 2
由此可得质心加速度为
l
zg
g
dt
dv
l
z
l
v
l
zv
dt
d
dt
dv
a cc
3
2
2
????
??
设地板对上段绳子的作用力为 F，对整根绳子应用质心
运动定理，则有
cmamgF ??
? ? ?
?
??
?
? ????
l
zmgagmF
c 13
22
忽略二级小量，并考虑 dt内落地绳子的长度为 -vdt，可得
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?????
l
z
mg
l
mv
dtl
m
v d tv
dt
dm
vF 12
1 2
1
加上已经落地的一段绳子所受到的支持力，总的作用力为
? ? ?
?
?
?
?
? ?????
l
zmgg
l
mzlFF 13
1
? ? v d mdtg d mF ???1
绳子上端的下落速度为,而紧靠地面
的质元 dm与地面相碰时其动量由 vdm变为零,故若设该质元受
到的支持力为,根据质点动量定理有
? ?zlgv ??? 2
1F
解法二：（动量法）
23
㈢ 动量守恒定律
???
?
n
i ii
vmP
1
?? 恒矢量
说明：
一、动量守恒定律
由体系动量定理
??? 210 tt dtFPP ???
若 F=0,则
1、内力对体系的动量无贡献，但内力对体系动量的具体分
配有重要作用,当体系所受外力矢量和为零时,
c o n s tppppP ??????????? 2121 ?????
但由于内力作用，可以有
????? 2211,pppp ????
24
4、动量守恒定律虽可由牛顿定律导出，但它比牛顿定律的适
用范围更广,尤其是微观领域的某些过程中，牛顿定律也许不
成立，但动量守恒定律仍然成立,
2、动量守恒是矢量式，它有三个分量，各分量可以分别守恒,
3、在某些过程（如爆炸、碰撞）中，体系虽受外力，但外力
有限，过程时间很短，外力冲量很小,而其间内力很大，体系
内每一部分的动量变化主要来自内力的冲量，外力的冲量可忽
略不计，故可以利用动量守恒定律研究体系内部各部分间的
动量再分配问题
c o ns tPF
c o ns tPF
c o ns tPF
zz
yy
xx
??
??
??
0
0
0
25
例题 3.6 质量为 M=500kg、长为 4m的木船浮在静止水面上
，一质量为 m=50kg的人站在船尾,此人以时快时慢的不
规则速率从船尾走到船头，问船相对岸移动了多少距
离?设船与水之间的摩擦忽略,
分析：由于体系原来静止，没有外力作用，质心加速度为
零，质心在水平方向的位置保持不变,故宜用质心概念求解,
解,解法一（质心法）
取 x轴沿水平方向，取原来船的中点为坐标原点，以人的
行走方向为 x正方向,人在船尾时，体系质心的 x坐标 为
cx
? ? ? ?
m
Mm
mL
Mm
M
L
m
Mm
Mxmx
x Mm
c
11
2
505002
450
2
0
2
??
?
?
??
?
??
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
26
当人走到船头后，设船的中心坐标为 x，
则体系质心坐标为
? ? 11
2
2
2
??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
??
x
Mm
mL
x
Mm
Mx
L
xm
x
c
质心水平位置不变，即,
故 cc
xx ??
mx 114??
cx
L
x
0
x
0
x
0?
27
②21 vuv ??
再设 u为人对船的速度，则
如图，人在 时间内从船的一端
走到另一端，距离为 L,人和船对岸的
移动距离分别为,则可写出
下面三个运动学关系式
tt ~0
21 xx,
dtvx t
t?
?
0
11dtvx
t
t?
?
0
22
解法二（动量守恒法）
在水平方向上系统不受外力，动量守恒，故
①021 ?? Mvmv
其中 分别为某时刻人和船对岸的速度,21 vv、
2x 1x
Lv
28
11121 vM
mMv
M
mvvvu ???
?
??
?
? ??????
11
0
xM mMdtvM mMl tt ????? ?
lmM Mx ??1
）（ mlMm mxMmdtvMmx t
t 11
4
112
0
????? ?
由式（ 1）得,并代入式（ 2），得
2v
dtul t
t?
?
0
29
所谓变质量，是指体系在运动过程中不断与外界交换质量,
对这样体系的运动过程可以分解为一系列元过程,在元过程中，
其组成是确定的，质量是不变的，体系动量变化服从体系动量
定理,由此即可导出主体的运动方程。
一,变质量物体的运动
㈣ 变质量物体的运动
mm ??
vv ??
mm FFF ???
m?
m
u
mFmF?
v
30
? ? Fdtdmvudtvdm ???? ???
这就是变质量质点（即主体）运动方程,（变质量动量定理）
令,则,上式取极限得0??t 0??v
? ?? ? ? ? tFumvmvvmm ????????? ?????
即
? ? tmvFtmvutvm ??????????? ????
如图，在 t时刻，主体 m与附体 是分离的,经过 时
间，附体并入主体,于是，由体系的动量定理，有
m? t?
31
说明：
⑴ 方程中外力,附体对主体的作用力为
.当 u=v时，方程虽形式上与牛顿笫二定律
一样，但注意 m是变量,
mm FFF ???
???
? ? dtdmvu /?? ?
⑵ 当 u=0时，方程变为
? ? FdtPdvmdtddtdmvdt vdm ?
????
????
⑶ 上式是在 的情况下导出的，但当 时，
结论仍然正确, 0?dtdm 0?dtdm
32
二、火箭飞行原理
M
v
M-dm
dvv?
u
设火箭喷出的气体相对速度
u-v沿火箭轨道切向，且为一
常量 ；火箭飞行中不受外
力作用；火箭起始质量为 M,
燃料烧尽后质量为 m.则
rv
根据变质量质点运动方程，有
? ? dtdmvudtvdm ??? ??
由于是一维运动，,且与 v的方向相反，得vuv
r
?? ??
dt
dmv
dt
vdm
r??
?
dvvmdm
r
1??
33
注意，上式中 dm<0,dv>0,积分得
?? ?? fv
r
m
M
dvvmdm
0
1
m
Mvv
rf ln?
通常 故 至多可达
.要提高,可以用多级火箭,对于二级火箭 可达
smvmM r /3000~20006 ??, fv sm5 0 0 0~4 0 0 0
fv fv
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
21
21
ln
lnln
m
M
m
M
v
m
M
m
M
vv
r
rf
实际发射火箭还将克服地球引力的影响和空气阻力的影响，
情况要复杂得多,
34
本章基本要求
⒈ 进一步掌握动量和冲量的概念及动量定理，特别是它
们的矢量性,
⒉ 进一步掌握动量守恒定律解决问题的思路和方法，特
别是二维问题,
⒊ 理解质心的概念及质心运动定理，掌握质心的计算方
法，初步掌握利用质心概念处理问题,
⒋ 理解变质量物体的运动规律，掌握火箭运动速度的计算,
笫三章 动量守恒
⒈ 动量与动量定理；
⒉质心与质心运动定理；
⒊动量守恒定律；
⒋变质量物体的运动,
目 录
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㈠ 动量与动量定理
动量是描述一定运动状态下物体“运动量”的概念，比
速度更能全面、确切地反映物体的运动状态，为状态量。
牛顿第二定律
作用在质点上的外力等于质点动量随时间的变化率 。
dt
vmd
dt
pdF )( ??? ??
vmp ?? ?
一、动量
定义动量：
牛顿定律表明，力的瞬时效应是受力物体获得加速度，而任
何运动必定经历空间和时间,因此，应用牛顿定律于质点组，研
究力作用的时间累积效应与空间累积效应，从中寻求某些规律，
便成为动力学理论进一步向前发展的一个方向,
3
二、质点动量定理
? ????21 21 12)(tt pp pppddttF ???? ??
dt
pdF ?? ?由
PddtF ?? ?
动量定理
微分形式
定义 dI=Fdt为力的元冲量，则冲量 I为力对时间的积分
? ? 12
2
1
vmvmdtFI tt t ???? ??? ?
动量定理
积分形式
动量定理常用于碰撞过程,在碰撞、打击瞬间用平均冲
力概念
t
pdttF
ttF
t
t ?
??
?? ?
2
1
)(1
12
4
三、质点系动量定理
1,对两质点系统 (如图 )
内力：
外力：
1F?
21F?
2F?12F
?
考虑牛顿笫三定律,(1)+(2)得,
? ?????21 202101221121tt vmvmvmvmdtFF ）（）（）（ ??????
0PP
?? ??
21 FF
??、
2112 FF
??,
质点 1 ? ?
）（ 1101111212
1
vmvmdtFFtt ???? ????
? ? ）（ 2202222122
1
vmvmdtFFtt ???? ????
质点 2
5
2,对多质点系统
质点系的动量定理 —— 作用于系统的合外力在一段时间
内的总冲量等于系统动量的增量,
设质点组由 N个质点组成，对笫 i个质点应用动量定理，有
? ? 02
1
iiii
t
t ii vmvmdtfF
???? ????
对所有质点的动量定理表式求和，则有
0
2
1
i
i
ii
i
i
t
t i ii i
vmvmdtfF ??
?? ??
? ?? ???????? ?
00
11
PPvmvmdtF i
n
i
ii
n
i
i
?????
???? ???
??
外
0
1
??
?
n
i
if
?由于所有内力的矢量和为零，即
6
(1) 只有外力对系统动量的增量有贡献。
(2) 系统内力不改变系统总动量，但可使系统内各质点
的动量变化,
说明：
⑶ 动量定理与牛顿定律的关系：
① 对一个质点，牛顿定律表示的是力的瞬时效应，而动
量主定理表示的是力对时间的积累效果,
② 牛顿定律只适用于质点，不能直接用于质点系,而动量
定理可适用于质点系,
③ 牛顿定律和动量定理都只适用于惯性系,要在非惯性
系中应用动量定理，必须考虑惯性力的冲量,
在无限小的时间间隔内：
PddtF ?? ?外
.质点系动量定理的微分形式
dt
??
?外
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例题 3.1如图，小球自由落体 h距离，能将重物 M 提
升到多少高度?
解：设绳子为柔软钢丝绳，全过程分为
三段分析：
⑴ 软绳由松到紧,M不动，小球
自由下落，获得末速度
ghv 2?
⑵ 软绳被绷紧，在此瞬间 m,M
均受到绳子张力 T的作用，达
到同一末速度 V，故
M
m
h mM
1T
2T
1G2G
8
? ?
tTMV
tTmvmV
???
????
0
Mm
mvV
??
⑶ m,M一同运动，位移 H，则
? ?
? ? MHMgTV
mHTmgV
???
???
20
20
2
2
解出：
1
2 222
22
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
m
M
hh
mM
m
g
V
mM
mM
H
根据动量定理有
9
yvvmp y ???
yggmF y ???外
分析：这是一个质点系的动量问题，可用体系动量定理
求解,
解,如图，建立坐标系,令线密度,则在某时刻?
例题 3.2 柔软链条自桌上小孔自由下落，求下落速度
与落下距离之间关系,
dt
dp?F外根据 得
? ?
dt
yvdyg ? dy
dy?
dy
yvdv )(?
y
O
y
ym
10
)(2 yvyvddygy ?两端同乘以 y：
??? yvy yvyvddyyg 00 2 )(
两端积分：
)( yvvdyg d y ?
得：
? ?23 2131 yvgy ?
2
1
3
2
?
?
?
?
?
??? gyv
y
O
y
ym
11
㈡ 质心与质心运动定律
一、质心
质点系动量定理的微分形式：
质心位置及其求法：
???
i
ipdt
d
dt
PdF ???
对质点系而言存在一个特殊点 c，满足
M为体系总质量
是该特殊点的加速度,c称为质心
caMF ?
? ?
：ca?
A、两个质点组成的体系
? ?
? ? ??
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
???
21
2211
2
2
21
21
21
2211
2211
mm
rmrm
dt
d
mm
mm
mm
amam
amamF
??
??
???
12
可见质心位矢是质点位矢的带权平均值，这个, 权, 与质点的
质量分布位置有关,
由此得
21
2211
mm
rmrmr
c ?
?? ???
B,n个质点系统
?
?
?
i
i
i
ii
c
m
rm
r
?
?
分量形式
?
?
?
?
?
?
???
i
i
i
ii
c
i
i
i
ii
c
i
i
i
ii
c m
zm
z
m
ym
y
m
xm
x
13
对质量连续分布的物体，其质心位矢由上式推广得
?
?
?
? ??
dV
dVr
dm
dmr
rc
?
? ???
分量形式为
?
?
?
?
?
? ???
dm
z d m
z
dm
y d m
y
dm
xdm
x ccc
C 若一个物体由 A,B两部分组成，依质心 xyz方向表达式
分别改写为
? ?
? ?
?
?
?
?
??
A B ii
A B iiii
i
ii
c mm
xmxm
m
xmX
14
BA
B
B
B ii
A
A
A ii
c mm
m
m
xm
m
m
xm
X
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
? ? ? ?
BA
BcBAcA
c mm
mZmZZ
?
??? ? ? ?
BA
BcBAcA
c mm
mYmYY
?
??
同样 YZ方向质心位置分别为
质心的性质只有在体系的运动与外力的关系中才体现出来。
因此，质心并不是一个几何学或运动学的概念，而是一个动力
学概念。
? ? ? ?
BA
BcBAcA
mm
mXmX
?
??
15
例题 3.3 求半径为 a的均质半圆球的质心
解：如图，以球心 o为原点建立坐标系,将半球体划分为若干
半径为 r厚为 dz的薄圆平板状体积元 dV
dzrdV 2??
而,coss in ?? azar ??
设,则?cos?u ? ?
8
3
422
3
3
2
1
1
0
4
1
0
2
3
1
0
24
auu
a
au duua
V
z dV
dV
z dV
z
v
v
c
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
???? ?
?
?
?
??
?
? x
a Rcos?
x
?
z
?sina
?cosa
0
? ? ? ?
? ? ???
???
c o sc o s1
c o ss in
23
2
da
adadV
??
??
16
例题 3.4 如图，在半径为 R的均质等厚大圆板的一侧挖掉
半径为 R/2的小圆板，大小圆板相切，求余下部分的质心
解：选择如图坐标系，考虑对称性，余
下部分质心的 y坐标为零，仅需求 x坐标
大圆板质量为,
质心坐标为
2RM ???
0?cx
小圆板质量为,
质心坐标为
2
1 4
1 Rm ???
21 Rx c ?
余下的质量为,质心坐标用 表示，则2
2 4
3 Rm ???
cx2
2
2
22
4
3
24
1
0
R
xRRR c
??
???? ???
? 62 Rx c ??
0
x
y
17
二、体系动量定理与质心运动定律
引入质心概念，质点系动量则可表示为
cc
i
ii
i
i
i
i
ii vMrMM
rm
dt
dMrmvmP ???
?
???? ?????
?
??
体系动量定理可写成
00
2
1 cc
t
t vMvMPPdtF
????? ?????
上述结论亦称为 质心运动定理,其微分形式
? ? cc rMrMdtdPdtdF ??????? ???
18
(3)不论体系如何复杂，体系质心的行为与一个质点相同
.从这个意义上说，牛顿定律所描绘的不是体系中任一质点
的运动，而是质心的运动,而质心的存在，正是任意物体在
一定条件下可以看成质点的物理基础,
上式表明,
(2)质心运动定理表明牛顿定律具有一种独特的性质，即
如果它在某一小尺度范围内是正确的，那么在大尺度范围内
也将是正确的。
(1) 质心运动定理实际上是矢量方程，可以写成三个分
量方程，运动的独立性同样成立。
(4)质心运动定理和牛顿三定律的适用范围相同。
19
说明：
2.物体相对固定参照系的运动可分解为它相对质心系的
运动与质心系相对固定参照系的运动,
3.质心坐标系在讨论质点系的力学问题中十分有用,
1.对于孤立体系或所受外力的矢量和为零的体系
其质心坐标系为惯性系,对于受外力作用的体系，则是非惯性系,
c o n s tvc o n s tvMP cc ??? ???,
三、质心坐标系
把原点取在质心上，坐标轴的方向始终与某固定参照系
（惯性系）的坐标轴保持平行的平动坐标系称为 质心坐标系,
20
例题 3.5 一根完全柔软的质量均匀分布的绳子竖直的悬
挂着，其下端刚与地面接触,此时放开绳子，从静止
状态开始下落,已知绳子质量为 m,长为 L，求下落到所
剩长度为 z时，地面对这段绳子的作用力,
解,解法一（质心法）
把绳子看作一质点系。当绳子下落
到剩长度为 z时，所其质心高度和速度
分别为
l
zv
dt
dz
l
z
dt
dz
v
l
z
zd
l
m
z
m
z
c
c
z
c
???
???? ?
2
1
2
0
所谓完全柔软的绳子,指的是绳子上端的下落速度 v=dz/dt
与一个质点自由下落的速度相同，即
z
O
z
zl?
21
? ? gdtdvzlgv ????? 2
由此可得质心加速度为
l
zg
g
dt
dv
l
z
l
v
l
zv
dt
d
dt
dv
a cc
3
2
2
????
??
设地板对上段绳子的作用力为 F，对整根绳子应用质心
运动定理，则有
cmamgF ??
? ? ?
?
??
?
? ????
l
zmgagmF
c 13
22
忽略二级小量，并考虑 dt内落地绳子的长度为 -vdt，可得
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?????
l
z
mg
l
mv
dtl
m
v d tv
dt
dm
vF 12
1 2
1
加上已经落地的一段绳子所受到的支持力，总的作用力为
? ? ?
?
?
?
?
? ?????
l
zmgg
l
mzlFF 13
1
? ? v d mdtg d mF ???1
绳子上端的下落速度为,而紧靠地面
的质元 dm与地面相碰时其动量由 vdm变为零,故若设该质元受
到的支持力为,根据质点动量定理有
? ?zlgv ??? 2
1F
解法二：（动量法）
23
㈢ 动量守恒定律
???
?
n
i ii
vmP
1
?? 恒矢量
说明：
一、动量守恒定律
由体系动量定理
??? 210 tt dtFPP ???
若 F=0,则
1、内力对体系的动量无贡献，但内力对体系动量的具体分
配有重要作用,当体系所受外力矢量和为零时,
c o n s tppppP ??????????? 2121 ?????
但由于内力作用，可以有
????? 2211,pppp ????
24
4、动量守恒定律虽可由牛顿定律导出，但它比牛顿定律的适
用范围更广,尤其是微观领域的某些过程中，牛顿定律也许不
成立，但动量守恒定律仍然成立,
2、动量守恒是矢量式，它有三个分量，各分量可以分别守恒,
3、在某些过程（如爆炸、碰撞）中，体系虽受外力，但外力
有限，过程时间很短，外力冲量很小,而其间内力很大，体系
内每一部分的动量变化主要来自内力的冲量，外力的冲量可忽
略不计，故可以利用动量守恒定律研究体系内部各部分间的
动量再分配问题
c o ns tPF
c o ns tPF
c o ns tPF
zz
yy
xx
??
??
??
0
0
0
25
例题 3.6 质量为 M=500kg、长为 4m的木船浮在静止水面上
，一质量为 m=50kg的人站在船尾,此人以时快时慢的不
规则速率从船尾走到船头，问船相对岸移动了多少距
离?设船与水之间的摩擦忽略,
分析：由于体系原来静止，没有外力作用，质心加速度为
零，质心在水平方向的位置保持不变,故宜用质心概念求解,
解,解法一（质心法）
取 x轴沿水平方向，取原来船的中点为坐标原点，以人的
行走方向为 x正方向,人在船尾时，体系质心的 x坐标 为
cx
? ? ? ?
m
Mm
mL
Mm
M
L
m
Mm
Mxmx
x Mm
c
11
2
505002
450
2
0
2
??
?
?
??
?
??
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
26
当人走到船头后，设船的中心坐标为 x，
则体系质心坐标为
? ? 11
2
2
2
??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
??
x
Mm
mL
x
Mm
Mx
L
xm
x
c
质心水平位置不变，即,
故 cc
xx ??
mx 114??
cx
L
x
0
x
0
x
0?
27
②21 vuv ??
再设 u为人对船的速度，则
如图，人在 时间内从船的一端
走到另一端，距离为 L,人和船对岸的
移动距离分别为,则可写出
下面三个运动学关系式
tt ~0
21 xx,
dtvx t
t?
?
0
11dtvx
t
t?
?
0
22
解法二（动量守恒法）
在水平方向上系统不受外力，动量守恒，故
①021 ?? Mvmv
其中 分别为某时刻人和船对岸的速度,21 vv、
2x 1x
Lv
28
11121 vM
mMv
M
mvvvu ???
?
??
?
? ??????
11
0
xM mMdtvM mMl tt ????? ?
lmM Mx ??1
）（ mlMm mxMmdtvMmx t
t 11
4
112
0
????? ?
由式（ 1）得,并代入式（ 2），得
2v
dtul t
t?
?
0
29
所谓变质量，是指体系在运动过程中不断与外界交换质量,
对这样体系的运动过程可以分解为一系列元过程,在元过程中，
其组成是确定的，质量是不变的，体系动量变化服从体系动量
定理,由此即可导出主体的运动方程。
一,变质量物体的运动
㈣ 变质量物体的运动
mm ??
vv ??
mm FFF ???
m?
m
u
mFmF?
v
30
? ? Fdtdmvudtvdm ???? ???
这就是变质量质点（即主体）运动方程,（变质量动量定理）
令,则,上式取极限得0??t 0??v
? ?? ? ? ? tFumvmvvmm ????????? ?????
即
? ? tmvFtmvutvm ??????????? ????
如图，在 t时刻，主体 m与附体 是分离的,经过 时
间，附体并入主体,于是，由体系的动量定理，有
m? t?
31
说明：
⑴ 方程中外力,附体对主体的作用力为
.当 u=v时，方程虽形式上与牛顿笫二定律
一样，但注意 m是变量,
mm FFF ???
???
? ? dtdmvu /?? ?
⑵ 当 u=0时，方程变为
? ? FdtPdvmdtddtdmvdt vdm ?
????
????
⑶ 上式是在 的情况下导出的，但当 时，
结论仍然正确, 0?dtdm 0?dtdm
32
二、火箭飞行原理
M
v
M-dm
dvv?
u
设火箭喷出的气体相对速度
u-v沿火箭轨道切向，且为一
常量 ；火箭飞行中不受外
力作用；火箭起始质量为 M,
燃料烧尽后质量为 m.则
rv
根据变质量质点运动方程，有
? ? dtdmvudtvdm ??? ??
由于是一维运动，,且与 v的方向相反，得vuv
r
?? ??
dt
dmv
dt
vdm
r??
?
dvvmdm
r
1??
33
注意，上式中 dm<0,dv>0,积分得
?? ?? fv
r
m
M
dvvmdm
0
1
m
Mvv
rf ln?
通常 故 至多可达
.要提高,可以用多级火箭,对于二级火箭 可达
smvmM r /3000~20006 ??, fv sm5 0 0 0~4 0 0 0
fv fv
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
21
21
ln
lnln
m
M
m
M
v
m
M
m
M
vv
r
rf
实际发射火箭还将克服地球引力的影响和空气阻力的影响，
情况要复杂得多,
34
本章基本要求
⒈ 进一步掌握动量和冲量的概念及动量定理，特别是它
们的矢量性,
⒉ 进一步掌握动量守恒定律解决问题的思路和方法，特
别是二维问题,
⒊ 理解质心的概念及质心运动定理，掌握质心的计算方
法，初步掌握利用质心概念处理问题,
⒋ 理解变质量物体的运动规律，掌握火箭运动速度的计算,
