1
1,机械波的形成和传播
2,平面简谐波
3,波的能量 能流密度
4,惠更斯原理
5,波的干涉
6,驻波
7,多普勒效应
第八章 机械波
目 录
2
㈠ 机械波的形成和传播
如果在空间某处发生的扰动以一定的速度由近及远向四
处传播，则称这种传播的扰动为波, 机械扰动在弹性介质中
的传播形成机械波,
一、机械波产生条件
?产生机械振动的振源 (波源 );
? 传播机械振动的弹性介质,
介质可以看成是大量质元的集合，每个质元具有一定的质
量，各质元间存在着相互作用。质元间的相互作用使波得以
传播，质元的惯性使波以有限的速度传播。
二、横波和纵波
1,横波, 介质中质点振动方向与波的传播方向垂直,
3
x
x
x
x
x
x
····t = T/4 · ····················
···
···t = 3T/4
··
················
t = 0
0 4 8 16 20
···· ········
12
·············
t = T/2 ······ ·················
· ····t = T ·
·········
· ·········
y
·
·
4
1) 波的传播不是媒质质元的传播,而是振动状态的传播,某时
刻某质元的振动状态将在较晚时刻于, 下游, 某处出现；
2), 上游, 的质元依次带动, 下游, 的质元振动；
3) 沿波的传播方向,各质元的相位依次落后；
4) 同相位点质元的振动状态相同,相邻同相位点,相位差 2?；
5) 波是指媒质整体所表现的运动状态 。
波 的 传播特征 可归纳为,
2,纵波, 介质中质点振动方向与波的传播方向平行,
?固体中的振源可以产生横波和纵波,
?水面波既不是纵波,又不是横波,
横波传播的条件为媒质具有切变弹性。在气体和液体内
不产生切向弹性力,故气、液体中不能传播横波,
5
1,波面, 振动相位相同的各点连成的面,
2,波前, 波源最初振动状态传播到各点所连成的面,
根据波前的形状可以把波分为平面波、球面波、柱 面
波等。
3,波线, 沿波的传播方向画一些带箭头的线 ; 各向同性介质
中波线与波面垂直。
三、波面与波线
球面波平面波
波
线
波面
6
?横波, 相邻的波峰或波谷间距离 ;
? 纵波, 相邻的密集或稀疏部分中心间距离,
3,波速（ u）,单位时间内,波动所传播的距离称为波速
（相速）, 波速决定于介质的特性,
???u
2,周期（ T）, 波前进一个波长的距离所需的时间叫周期
频率（ ）, 周期的倒数称为频率
?波长反映波的空间周期性；
?周期反映波的时间周期性；
?
四、描述波的几个物理量
1,波长, 波传播时,在同一波线上两个相邻的相位差为 2?的
质点之间的距离,
7
1) 弹性绳上的横波
?
Tu ?
T－绳中的张力,?－绳的线密度
讨论几种介质中的波速：
2) 固体棒中的纵波
Y－杨氏弹性模量 ?－体密度
0l
lY
S
F ??
?
Yu ?
l0
l0 + ? l
F F
拉伸
其中：
8
4) 流体中的纵波
?
Bu ?
? = Cp/Cv,?－ 摩尔质量
V0+? V
容变
p
p
p
p
?
? RTu ?理想气体,
B－容变模量,?－流体密度
3) 固体中的横波
?
Gu ?
G －切变模量
F切?
切变
9
若波源作简谐振动，介质中各质点也将相继作同频率的简
谐振动,这种波称之为简谐波,如果波面为平面，则这样的波
称为平面简谐波。
一、平面简谐波的波函数
设有一平面简谐波,在无吸收、均匀、无限大的介质中传播,
〕）〔 0(c o s ?? ??? uxtAy
设波的位相速度，即波速为 u,则对 P 点：
㈡ 平面简谐波
设原 点 0处振动位移的表达式为：
）（ 00 c o s ?? ?? tAy
o
Ａ
x
?
x
uy
P
1,沿 x 轴正方向传播 (右行波 )
10
????? ?? u,2?
??
?
??
? ??
?
??
?
? ???
02c o s ????
xtAy
定义角波数 得：
??2?k
? ?0c o s ?? ??? kxtAy
2,沿 x 轴负向传播 (左行波 )
x
P
Ａ
x
?
uy
o
对 P 点：
? ?0
0
c o s
)(c o s
??
??
???
???
kxtA
u
x
tAy 〕〔
简谐波运
动学方程
11
二、波动方程的物理意义
1,x 确定时, 为该处质点的
振动方程,对应曲线为该
处质点 振动曲线
)c o s ( 0??? ??? tAy
x 确定时
t
y
o
t
p
2,t 确定时, 为该时刻各质
点位移分布,对应曲线为
该时刻波形图
)c o s ( 0?? ??? uxAy
x
x
uy
o
p
t 确定时
不同时刻对应有不同的波形曲线
简谐波运动学方程是一个二元函数。位移 y是时间 t和
位置 x的函数。
12
3,t,x 都变化时,表示波线上所有质点在各个时刻的位移情况
—— 行波。
t +? t
?x=u ? t
x
uy
o
t
波函数的物理意义描述了波形的传播,
? ?
? ?t
tt
y
u
x
tA
u
tux
ttAy
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ??
????
??
0
0
c o s
c o s
??
??
13
］［ 0)(s i n ????? ????? uxtAtyv
三、波动中质点振动的速度和加速度
］［ 022
2
)(c o s ??? ??????? uxtAt ya
四、平面波的波动方程
?u,波形传播速度,对确定的介质是常数
?v,质点振动速度,是时间的函数
注意：
把平面简谐波的波函数分别对 t和 x求二阶偏导数，得
］［ 022
2
)(c o s ??? ?????? uxtAt y
］［ 0
2
22
2
)(c o s ??? ?????? uxtuAx y
14
比较上列两式，即得
普遍意义,在三维空间中传播的一切波动过程，只要介质
是无吸收的各向同性均匀介质，都适合下式：
01 2
2
2
2 ?
?
???
tu
??
任何物质运动，只要它的运动规律符合上式，就可以肯定它
是以 u为传播速度的波动过程,
2
2
22
2 1
t
y
ux
y
?
??
?
?
2
2
22
2
2
2
2
2
tuzyx ?
??
?
??
?
??
?
? ????
15
例题 8.1 有一平面简谐波沿 Ox轴正方向传播,已知振
幅 A=1.0m,周期 T=2.0s,波长 ?=2.0m,在 t=0时,坐标原
点处质点位于平衡位置沿 oy轴的 正方向运动,求：
1) 波函数 ; 2) t=1.0s时各质点的位移分布,并画出该时
刻的波形图 ; 3) x=0.5m处质点的振动规律,并画出该
质点位移与时间的关系曲线,
])(2c o s [ ??? ??? xTtAy
解, 1) 按所给条件,取波函数为
式中 ?为坐标原点振动的初相
2
?? ??
16
代入所给数据,得波动方程
??
?
??
? ??
?
??
?
? ??
20.20.2
2c o s0.1 ?? xty
2) 将 t=1.0s代入式 (1),得此时刻各质点的位移分别为
??
?
??
? ??
?
??
?
? ??
20.20.2
0.12c o s0.1 ?? xy
])2c o s [ (0.1 x?? ??
)s i n (0.1 xy ??
(2)
(1)
17
按照式 (2)可画出 t=1.0s时
的波形图
(3) 将 x=0.5m代入式 (1),得该处
质点的振动规律为
]2)0.2 5.00.2(2c o s [0.1 ?? ??? ty
]c o s [0.1 ?? ?? t
由上式可知该质点振动
的初相为 -?,由此作出其 y-t
曲线
y/m
x/m
1.0
2.00
x/m
y/m
1.0
2.00
-1.0
18
例题 8.2 一平面简谐波以速度 u=20m.s-1沿直线传播,
已知在传播路径上某点 A的简谐运动方程为
y=(3?10-2m)cos(4?s-1)t,求, 1) 以点 A为坐标原点,写出
波动方程 ; 2) 以距点 A为 5m处的点 B为坐标原点,写出
波动方程 ; 3) 写出传播方向上点 C,点 D的简谐运动方
程 ; 4) 分别求出 BC和 CD两点间的相位差,
9m5m8m
u
xDABC
解, 由点 A的简谐运动方程可知
12
2
4
2
???? sv
?
?
?
?
mvu 10220 ????
频率
波长
19
)](4c o s [103 2 uxty av ??? ? ?
)]20(4c o s [103 2 xt ??? ? ?
]54c o s [103 2 xt ?? ??? ?
2) 由于波由左向右行进,故点 B的相位比 A点超前,其简谐运
动方程为
)]205(4c o s [103 2 ??? ? ty bv ?
)4c o s (103 2 ?? ??? ? t
1) 以 A为原点的波动方程为
故以点 B为原点的波动运动方程为
])20(4c o s [103 2 ?? ???? ? xty bv
20
3) 由于点 C的相位比 A点超前, 故
)](4c o s [103 2 uACty cv ??? ? ?
]5134c o s [103 2 ?? ??? ? t
而点 D的相位落后于 A点,故
)](4c o s [103 2 uADty Dv ??? ? ?
]594c o s [103 2 ?? ??? ? t
4) BC和 CD间的距离分别为 ?xBC=8m,?xCD=22m.
????? 6.181022 ?????? BCBC x
????? 4.4221022 ?????? CDCD x
21
例题为 8.3 一横波沿一弦线传播,设已知 t=0时的波形曲
线如图所示,弦上张力为 3.6N,线密度为 25g·m-1,
求, 1) 振幅 ; 2) 波长 ; 3) 波速 ; 4) 波的周期 ; 5) 弦上任一
质点的最大速率 ; 6) 图中 a,b两点的相位差 ; 7) 3T/4 时
的波形曲线 。
x/cm
y/cm
10 20 30 40 50 60 70 80
a b
0
-0.2
-0.4
-0.5
0.2
0.4
0.5 M1 M2
22
3) 由波速公式可得
sm121025 6.3 3 ???? ??Fu
s30112 4.0 ??? uT ?
4) 波的周期为
2) ?=40cm
解, 由波形曲线可看出
1) A=0.5cm;
5) 质点的最大速率为
sm94.030/1 2105.02 2ma x ?????? ? ??? TAAv
23
6) a,b两点相隔半个波长,b点处质点比 a点处质点的相位落
后 ?
7) 3T/4时的波形如图中实线所示,波峰 M1和 M2已分别右移 3?/4
而到达 M1?和 M2?处。
t=0 时的波形
x/cm
y/cm
10 20 30 40 50 60 70 80
a b
t=3T/4 时的波形
0
-0.2
-0.4
-0.5
0.2
0.4
0.5 M1 M1? M2 M2?
24
设波在体密度为 ? 的弹性介质中传播,在波线上坐标 x 处
取一个体积元 dV,在时刻 t 该体积元各量如下,
一、波的能量
)(s i n uxtAtyv ???? ????
振动速度,
)(s i nd21d21d 2222 uxtVAmvE k ??? ???
振动动能,
㈢ 波的能量 能流密度
)(c o s uxtAy ?? ?振动位移,
在弹性介质中，介质质元不仅因有振动速度而具有动能，
而且因发生形变而具有弹性势能，所以振动的传播必然伴随
能量的传递。
25
以金属棒中传播纵波为例,在波线上任取一体积为
，质量为 的体积元,利用金属棒的杨氏弹性模量
的定义和虎克定律
? ?xSV ???
? ?xSm ????
? ?
2
2
2
1
2
1 ?
?
??
?
?
?
??????
x
yxSYykdE
p
，,?YuxSV ????因
x
yYP
S
f
?
???
x
SYk
??
关于体积元的弹性势能：
xx ??
yy ??
x
y
x
x
a b
a? b?
26
?
?
?
?
?
?
??????
??
?
???
u
x
ts i nVA
2
1
)
u
x
t(s i n
u
VAdu
2
1
Ed
222
2
2
2
22
p
)
u
x
t(s i nVAd
EdEdEd
222
pk
?????
??
故总能量,
表 明：
? 总能量随时间作周期性变化 ;
? 振动中动能与势能相位差为 ?/2,波动中动能和势能同相 ;
? 波动是能量传播的一种形式,
?????? ???? uxtuAxy ?? s i n
27
二、能量密度
22
0
222
2
1d)(s i n1 ????? At
u
xtA
Tw
T ??? ?
2,平均能量密度
表明, 波的平均能量密度与振幅的平方成正比,与频率的平
方成正比。
1,能量密度, 单位体积介质中的波动能量,
)(s i ndd 222 uxtAVEw ??? ???
表明, 波的能量密度与总能量 dE均随时间作周期性变化,且
同相,
28
2,平均能流 22
Asu21wsup ????
1,能流, 单位时间内通过介质某一截面的能量,
)uxt(s i nAsus u wp 222 ??????
u
S
u
x
三、能流密度（波的强度）
uA21uwSPI 22 ??????
通过垂直于波的传播方向上单位面积的平均能流
3,平均能流密度 --玻印廷矢量
矢量形式,
uA21I 22 ?
?
??? 单位, W.m-2
29
四、波的吸收
波的吸收系数为常数时 c o n s t.??
xeII ?20 ?? 强度比振幅衰减快
? 对于球面波在均匀介质中传播的情况,通过两个球面的总的
能流应相等，即
2
2
22
2
2
1
22
1 r4uA2
1r4uA
2
1 ???????
由此得
1
2
2
.1
r
r
A
A ?
相应的球面简谐波表式为
?
?
??
?
? ??
u
rt
r
A ?? c os
A d xdA ??? xeAA ???
0
30
正常人听声范围
20 < ? < 20000 Hz.
I下 < I < I上
?
?? RTu
理想气体,
1,声波的传播
?(Hz)1000o 20 20000
I (W / m2) I上 =1
I下 =10?12
·
·
频率在 之间的弹性波能使人产生声音的
感觉，称为声波
Hz4102~20 ?
五,声波
31
???
?
???
?
?
0
10l o g10 I
IL
单位,分贝 (dB)
2,声强
22uA
2
1I ???
3,声级
人耳所感受到声音的响度，近似地与声强 I的对数成正
比，常用声级 L来表示，即
以 1000 Hz 时的 I下 作为基准声强 212
0 10 mWI ??
?为防止噪声污染，往往规定户外声音不得大于 100dB.
32
一、惠更斯原理
介质中波动传播到的各点,都可以视为发射子波的波源,
在其后任一时刻,这些子波的包络就是新的波前,
㈣ 惠更斯原理
意义,只要已知某时刻的波面和波速，可以确定下时刻
的波面和波的传播速度。
?适用于各种波,机械波、电磁波等
?适用于非均匀的、各向异性的介质
33
应用：解释波的衍射 (绕射 ),波的散射,波的反射,波的折
射等现象,
局限性,? 没有说明子波的强度分布
? 没有说明子波只向前传播,而不向后传播的问题
二、波的衍射
波在传播过程中遇到障碍时,能够绕过障碍物的边缘继续向
前传播 — 波动的特征之一
衍射现象显著与否,与障碍物的大小与波长之比有关。
a
34
三、用惠更斯原理推导折射定律和反射定律
波的折射和折射定律
用作图法求出折射波的传播方向
1
2
2
1
2
1
s i n
s i n
n
n
u
u
i
i ??
i1--入射角,i2--折射角
C
A
i1
i2
n1
t1
t2
B
E
n2
需要注意的是，波在被反射或折射后，由于波的传播方向
发生了改变，波的传播方向与振动方向的夹角会随之改变，于
是纵波可能变成横波或部分纵波部分横波。反之亦然。
练习：应用惠更斯原理，用作图法证明波的反射定律。
35
? 无论是否相遇,各列波仍保持原有的特性 (频率,波长和振
动方向等 )不变,按照原来的方向继续前进,就象没有遇到
其他的波一样
? 在其相遇区域内,任一点的振动为各个波单独存在时在该
点引起的振动的矢量和
一、波的叠加原理
㈤ 波的干涉
几列波在同一介质中传播,
波的叠加原理的基础是波的方程为线性微分方程,
若 分别满足波动方程? ? ? ?
txtx yy,2,1,
2
1
2
22
1
2
t
y
u
1
x
y
?
??
?
?
2
2
2
22
2
2
t
y
u
1
x
y
?
??
?
?
36
37
二、波的干涉
相干波, 两个频率相同,振动方向相
同,相位差恒定的波源发出的波 。 s2
s1 Pr1
r2
波的叠加原理仅在弱波条件时成立，强冲击波则不成立。
则 显然也满足波动方程
21 yy ?
两个相干波源发出的波的叠加 。
两束相干波在空间形成稳定的强度分布,合振幅或强度取
决于两束相干波的相位差 ??.
相干叠加：
? ? ? ?
2
21
2
22
21
2
t
yy
u
1
x
yy
?
???
?
??
38
波源的振动：
)c o s ( 22020 ?? ?? tAy
)c o s ( 11010 ?? ?? tAy
s2
s1 Pr1
r2
由叠加原理 P点合振动：
)c o s (21 ?? ???? tAyyy
????? cos2 212221 AAAAA
P点的振动：
)2c o s ( 1111 ???? rtAy ???
)2c o s ( 2222 ???? rtAy ???
39
c) 其他情况合振幅在最大值与最小值之间。
3,非相干叠加
振幅叠加情况复杂，但强度分布简单
21 III ??
?
????????
?
??
?
?
?
?????
?
??
?
?
?
?????? 12
12
1
1
2
2
rr2r2r2
a) 干涉加强 )2,1,0(2 ?????? kk ???
21ma x AAA ??
b) 干涉减弱
21m i n AAA ??
)2,1,0()12( ??????? kk ???
40
例题 8.4 A,B两点为同一介质两相干波源,其频率皆
为 100Hz,当点 A为波峰时点 B为波谷, 设波速为 10m.s-1,
试写出 A,B发出的两列波传到点 P时干涉的结果,
15m
20m
P
A B
解, 由图可知,AP=15m,
AB=20m,故
m25
)m15()m20(
APABBP
22
22
?
??
??
又已知 v=100Hz,u=10m.s-1 得
m10.01 0 010 ??? vu?
41
这样的 ??值符合合振幅的最小的条件,如若介质不吸收
波的能量,则两波振幅相同,因而合振幅
A=|A1?A2|=0,
故在点 P处,因两波干涉减弱而不发生振动,
设 A的相位较 B超前,则 ?A??B=?,根据相位差和波程差的关系
有
???
?
?????
20 1
10.0
1525
2
2
??
?
???
?
???
APBP
AB
42
一、驻波的形成
实验 —— 弦线上的驻波
㈥ 驻 波
弦线长度等于半波长的整数
倍时才能形成驻波,
????? 2,1,2 nnL ?
两列振幅相同的相干波在同一条直线上沿相反方向传播
时叠加而成,而产生特殊的干涉现象。
波节：始终不动的点
波腹：振荡最强的点
43
二、驻波方程
)(2c o s2 ??? xtAy ??
tkxA
t
x
Ayyy
?
??
?
?
c o sc o s2
2c o s2c o s221
?
???
)(2c o s1 ??? xtAy ??
?各点作频率相同、振幅不同的简谐振动
?振幅为
?
? xA 2c o s2
44
三、驻波的特征
1,波节和波腹
tkxAyyy ?c o sc o s221 ???
振幅为 0，这种位置称为波节,两相邻 波节 间的距离 ?/2
波节：当 即? ?,
212
??? nkx
? ? ? ??????? 210412,，nnx ?
波腹：当, 即?nkx ?
? ?????? 2102,，nnx ?
振幅为 2A，这种位置称为波腹,两相邻 波腹 间的距离 ?/2
两相邻 波节 与 波腹 间的距离 ?/4
45
O A B C D E F G H
4
3 T
t ?
4
2 T
t ?
4
T
t ?
0?t
46
txAy ???? 2c o s2c o s2?
02c o s ??? x
相位为 t??2
波节之间相位相同,波节两边相位反相。
相位为 ??? ?t202c o s ?
??
x
2,相位
3.没有能量的定向传移
驻波中，节点为始终不动的点，原则上没有能量从节
点处通过,两波节间能量应当守恒,动能与势能之间不断
相互转换，在波节和波腹之间转移,
47
4、半波损失
相位突变 ?，半波反射
2211 uu ?? ?
有半波损失
均匀介质中传播的波在遇到两种介质的分界面处，究竟
出现波节还是波腹，取决于波的种类和两种介质性质及入射
角的大小定义介质的特性阻抗,uZ ??
在入射波波线近似于垂直界面时
2211 uu ?? ?
无半波损失相位突变 0，全波反射
由于半波损失，入射波和反射波在反射点是相消干涉，形
成驻波的节点,
2?
半波反射
波疏
介质
波密
介质
全波反射
波疏
介质
波密
介质
48
例题 8.5 两人各执长为 l 的绳的一端,以相同的角频率
和振幅在绳上激起振动,右端的人的振动比左端的人
的振动相位超前 ?, 试以绳的中点为坐标原点描写合
成驻波,由于绳很长,不考虑反射,绳上的波速设为 u.4Tt?
解, 设左端的振动为 tAy ?c o s
1 ?
则右端的振动为 ? ??? ?? tAy c o s
2
4Tt?
右行波的波动表式为
??
?
??
? ?
?
?
??
?
? ??
11 c o s ?? u
xtAy
4Tt?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
? ??
22 c o s ?? u
xtAy
左行波的波动表式为
49
根据题意,当 时，,即2lx ?? tAy ?c o s
1 ?
tA
u
xtA ??? c o sc o s
1 ???
?
??
? ??
?
??
?
? ?
u
l
21
?? ??
)tc o s (A])u2 lt(c o s [A 2 ???? ????
u
l
22
??? ??
当 时,,即2/lx ? )c o s (
2 ?? ?? tAy
50
于是
)]2(c o s [1 uluxtAy ??? ?
])2(c o s [1 ?? ???? uluxtAy
)
22
c o s ()
2
c o s (2
21
??
?
??
????
??
u
x
t
u
x
A
yyy
4Tt ?
当 ?=0时,x=0处为波腹 ; 当 ?=?时,x=0处为波节,
51
对弹性波来说，所谓波源和观察者的运动或静止，都是 相
对于在其中传播的连续介质而言的,
㈧ 多普勒效应
如果波源与观察者之间有相对运动,则观察者接受到的波
频率不同于波源的频率, 这 种 现 象 称 为 多 普 勒 （
C.J.Doppier,1803-1853） 效应,
多普勒效应
为简单起见，假定波源、观察者的运动发生在二者的连线
上。设波源的频率为 ?,波长为 ?,在介质中的传播速度为 u.若
波源和观察者相对于介质静止时，测得的频率 v则为
T
1u ?
???
52
一、波源不动,观察者相对于介质以速度 v0 相向运动
2,P 以速度 v0离开 S
u
u 0??? ???
下面分三种情况讨论：
1,P 以速度 v0 接近 S
单位时间内通过 P 的波段长度,
0??u
表明, P 接收到的频率提高
P接收到的频率,
u
u
uu
u 0
0
0 )( ????
?
?? ???????
v0 PS
0vs ? 0v
0 ?
?
u
s
53
二、观察者不动,波源相对于介质以速度 vs相向运动
表明, P接收到的频率也提高
P接收到的频率：
svu
uu
?
???? ?
?
?
2,若 S以速度 vs 离开 P,则
svu
u
?
?? ??
??
svu ???
1,若 S以速度 vs 接近 P
vs PS
s
0v s ?
??
54
三、波源和观察者同时相对介质运动
波的波长为
Ts??? ???
单位时间内通过 P的波段长度为
vs PS v0
1,若 S 以速度 vs 接近 P,而 P 以速度 v0 接近 S
0??u
P接受到的波频率：
s
0
s
0
u
u
Tv
u
??
????
??
???? ?
表明, P接收到的频率也提高
55
2,若 S和 P的运动不在二者连线上
S
SSvu
vu ?
?
??
c o s
c o s 00
?
??
vs
PS
v0
?s0?s
?S
vs?
u?3,若波源速度超过波速 vs>u.
sv
u??s in
上述计算结果将没有意义，
这时波源将位于波前的前方,各
波前的切面形成一个圆锥面，
称为 马赫锥,其顶角满足
有纵向多普勒效应 ; 无横向多普勒效应
56
飞机, 炮弹等以超音
速飞行时, 在空气中激
起冲击波, 飞行速度与声
速的比值 vS/u决定 ?角,比
值 vS/u称 马赫数,
?
冲击波带
多普勒效应在科学技术上有着广泛的应用
1,谱线红移,测定星球相对于地球的运动速度,;
2,利用基于反射波多普勒效应原理的雷达系统，测定流体
的流动、振动体的振动、车辆导弹等运动目标速度,
3,医学上的,D超”，利用超声波的多普勒效应检查人体
内脏、血管的运动和血液的流速和流量,
57
例题 8.6 利用多普勒效应监测汽车行驶的速度, 一固
定波源发出频率为 100kHz的超声波, 当汽车迎着波源
驶来时, 与波源安装在一起的接受器接收到从汽车反
射回来的超声波的频率为 110Hz,已知空气中声速为
330m.s-1,求汽车行驶的速率,
解, 分两步分析,
???? ?
u
vu
第一步, 波向着汽车传播并被汽车接收,此时波源是静止的,
汽车作为观察者迎着波源运动。设汽车的行驶速度为 ?,则接
收到的频率为
58
由此解得汽车行驶的速度为
1km, h8.56
3 0 0
1 0 01 1 0
1 0 01 1 0
uv
??
?
?
?
?
??? ??
??? ??
?
????? ???? ?? vu vuvu u
第二步, 波从汽车表面反射回来,此时汽车作为波源向着接受
器运动,汽车发出的波的频率即是它接收到的频率 ??,而接受
器此时是观察者,它接收到的频率为
59
例题 8.7 A,B为两个汽笛,其频率均为 500Hz,A是静止
的,B以 60m.s?1的速率向右运动, 在两个汽笛之间有一
观察者 O,以 30m.s-1的速率也向右运动 。 已知空气中
的声速为 330m.s-1,求, 1) 观察者听到来自 A的频率 ; 2)
观察者听到来自 B的频率 ; 3) 观察者听到的拍频,
解,
??
svu
vu
?
0???
已知, v=330m.s?1,vsA=0,vsB=60m.s-1,v0=30m.s-1,
?=500Hz
v0 vsB
O BA
60
1) 由于观察者远离波源 A运动,v0应取负号,观察者听到来自
A的频率为
Hz5.454500330 30330 ?????v
2) 观察者向着波源 B运动,v0取正号 ; 而波源远离观察者运动,
vsB也取正号,故观察者听到自 B的频率为
Hz5.4 6 15 0 0603 3 0 303 3 0 ???????v
3) 拍频
Hz7?????? vvv?
61
例题 8.8 一警报器发射频率 1000Hz 的声波,离观察者
向一固定的目的物运动,其速度为 10m/s,试问,
1) 观察者直接听到从警报器传来声音的频率为多少?
2) 观察者听到从目的物反射回来的声音频率为多少?
3) 听到的拍频是多少? (空气的声速为 330m/s)
解, 已知
sm3 3 0,sm10,Hz1 0 0 0 ??? uv ss?
1) 观察者直接听到从警报器传来声音的频率
Hz6.9701 0 0 0
10330
330
1 ?????? s
su
u ?
?
?
62
Hz3.1 0 3 122 ??? ??
目的物反射的频率等于入射声音的频率 ?2?,静止观察者听
到反射声音的频率
3) 两波合成的拍频为
Hz7.606.9703.103112 ????? ??? B
Hz3.10311000
10330
330
2 ?????? s
svu
u ??
2) 目的物接到的声音频率为
63
本章基本要求
1.理解描述波动的物理量的物理意义及相互关系,
2.掌握平面谐波的波函数及波动方程的物理意义，根据
给定条件求解波函数,
3.掌握平均能量密度与平均能流密度的概念和计算,
4.理解惠更斯原理及其意义，掌握惠更斯原理应用,
5.理解波的迭加原理,掌握波的干涉原理和干涉加强、减
弱的条件,
6.掌握驻波的形成条件和特点，建立半波损失的概念，
掌握其形成的特点,
7.掌握多普勒效应及其产生原因，求解具体问题,
64
1,机械波的形成和传播
2,平面简谐波
3,波的能量 能流密度
4,惠更斯原理
5,波的干涉
6,驻波
7,多普勒效应
第八章 机械波
目 录
2
㈠ 机械波的形成和传播
如果在空间某处发生的扰动以一定的速度由近及远向四
处传播，则称这种传播的扰动为波, 机械扰动在弹性介质中
的传播形成机械波,
一、机械波产生条件
?产生机械振动的振源 (波源 );
? 传播机械振动的弹性介质,
介质可以看成是大量质元的集合，每个质元具有一定的质
量，各质元间存在着相互作用。质元间的相互作用使波得以
传播，质元的惯性使波以有限的速度传播。
二、横波和纵波
1,横波, 介质中质点振动方向与波的传播方向垂直,
3
x
x
x
x
x
x
····t = T/4 · ····················
···
···t = 3T/4
··
················
t = 0
0 4 8 16 20
···· ········
12
·············
t = T/2 ······ ·················
· ····t = T ·
·········
· ·········
y
·
·
4
1) 波的传播不是媒质质元的传播,而是振动状态的传播,某时
刻某质元的振动状态将在较晚时刻于, 下游, 某处出现；
2), 上游, 的质元依次带动, 下游, 的质元振动；
3) 沿波的传播方向,各质元的相位依次落后；
4) 同相位点质元的振动状态相同,相邻同相位点,相位差 2?；
5) 波是指媒质整体所表现的运动状态 。
波 的 传播特征 可归纳为,
2,纵波, 介质中质点振动方向与波的传播方向平行,
?固体中的振源可以产生横波和纵波,
?水面波既不是纵波,又不是横波,
横波传播的条件为媒质具有切变弹性。在气体和液体内
不产生切向弹性力,故气、液体中不能传播横波,
5
1,波面, 振动相位相同的各点连成的面,
2,波前, 波源最初振动状态传播到各点所连成的面,
根据波前的形状可以把波分为平面波、球面波、柱 面
波等。
3,波线, 沿波的传播方向画一些带箭头的线 ; 各向同性介质
中波线与波面垂直。
三、波面与波线
球面波平面波
波
线
波面
6
?横波, 相邻的波峰或波谷间距离 ;
? 纵波, 相邻的密集或稀疏部分中心间距离,
3,波速（ u）,单位时间内,波动所传播的距离称为波速
（相速）, 波速决定于介质的特性,
???u
2,周期（ T）, 波前进一个波长的距离所需的时间叫周期
频率（ ）, 周期的倒数称为频率
?波长反映波的空间周期性；
?周期反映波的时间周期性；
?
四、描述波的几个物理量
1,波长, 波传播时,在同一波线上两个相邻的相位差为 2?的
质点之间的距离,
7
1) 弹性绳上的横波
?
Tu ?
T－绳中的张力,?－绳的线密度
讨论几种介质中的波速：
2) 固体棒中的纵波
Y－杨氏弹性模量 ?－体密度
0l
lY
S
F ??
?
Yu ?
l0
l0 + ? l
F F
拉伸
其中：
8
4) 流体中的纵波
?
Bu ?
? = Cp/Cv,?－ 摩尔质量
V0+? V
容变
p
p
p
p
?
? RTu ?理想气体,
B－容变模量,?－流体密度
3) 固体中的横波
?
Gu ?
G －切变模量
F切?
切变
9
若波源作简谐振动，介质中各质点也将相继作同频率的简
谐振动,这种波称之为简谐波,如果波面为平面，则这样的波
称为平面简谐波。
一、平面简谐波的波函数
设有一平面简谐波,在无吸收、均匀、无限大的介质中传播,
〕）〔 0(c o s ?? ??? uxtAy
设波的位相速度，即波速为 u,则对 P 点：
㈡ 平面简谐波
设原 点 0处振动位移的表达式为：
）（ 00 c o s ?? ?? tAy
o
Ａ
x
?
x
uy
P
1,沿 x 轴正方向传播 (右行波 )
10
????? ?? u,2?
??
?
??
? ??
?
??
?
? ???
02c o s ????
xtAy
定义角波数 得：
??2?k
? ?0c o s ?? ??? kxtAy
2,沿 x 轴负向传播 (左行波 )
x
P
Ａ
x
?
uy
o
对 P 点：
? ?0
0
c o s
)(c o s
??
??
???
???
kxtA
u
x
tAy 〕〔
简谐波运
动学方程
11
二、波动方程的物理意义
1,x 确定时, 为该处质点的
振动方程,对应曲线为该
处质点 振动曲线
)c o s ( 0??? ??? tAy
x 确定时
t
y
o
t
p
2,t 确定时, 为该时刻各质
点位移分布,对应曲线为
该时刻波形图
)c o s ( 0?? ??? uxAy
x
x
uy
o
p
t 确定时
不同时刻对应有不同的波形曲线
简谐波运动学方程是一个二元函数。位移 y是时间 t和
位置 x的函数。
12
3,t,x 都变化时,表示波线上所有质点在各个时刻的位移情况
—— 行波。
t +? t
?x=u ? t
x
uy
o
t
波函数的物理意义描述了波形的传播,
? ?
? ?t
tt
y
u
x
tA
u
tux
ttAy
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ??
????
??
0
0
c o s
c o s
??
??
13
］［ 0)(s i n ????? ????? uxtAtyv
三、波动中质点振动的速度和加速度
］［ 022
2
)(c o s ??? ??????? uxtAt ya
四、平面波的波动方程
?u,波形传播速度,对确定的介质是常数
?v,质点振动速度,是时间的函数
注意：
把平面简谐波的波函数分别对 t和 x求二阶偏导数，得
］［ 022
2
)(c o s ??? ?????? uxtAt y
］［ 0
2
22
2
)(c o s ??? ?????? uxtuAx y
14
比较上列两式，即得
普遍意义,在三维空间中传播的一切波动过程，只要介质
是无吸收的各向同性均匀介质，都适合下式：
01 2
2
2
2 ?
?
???
tu
??
任何物质运动，只要它的运动规律符合上式，就可以肯定它
是以 u为传播速度的波动过程,
2
2
22
2 1
t
y
ux
y
?
??
?
?
2
2
22
2
2
2
2
2
tuzyx ?
??
?
??
?
??
?
? ????
15
例题 8.1 有一平面简谐波沿 Ox轴正方向传播,已知振
幅 A=1.0m,周期 T=2.0s,波长 ?=2.0m,在 t=0时,坐标原
点处质点位于平衡位置沿 oy轴的 正方向运动,求：
1) 波函数 ; 2) t=1.0s时各质点的位移分布,并画出该时
刻的波形图 ; 3) x=0.5m处质点的振动规律,并画出该
质点位移与时间的关系曲线,
])(2c o s [ ??? ??? xTtAy
解, 1) 按所给条件,取波函数为
式中 ?为坐标原点振动的初相
2
?? ??
16
代入所给数据,得波动方程
??
?
??
? ??
?
??
?
? ??
20.20.2
2c o s0.1 ?? xty
2) 将 t=1.0s代入式 (1),得此时刻各质点的位移分别为
??
?
??
? ??
?
??
?
? ??
20.20.2
0.12c o s0.1 ?? xy
])2c o s [ (0.1 x?? ??
)s i n (0.1 xy ??
(2)
(1)
17
按照式 (2)可画出 t=1.0s时
的波形图
(3) 将 x=0.5m代入式 (1),得该处
质点的振动规律为
]2)0.2 5.00.2(2c o s [0.1 ?? ??? ty
]c o s [0.1 ?? ?? t
由上式可知该质点振动
的初相为 -?,由此作出其 y-t
曲线
y/m
x/m
1.0
2.00
x/m
y/m
1.0
2.00
-1.0
18
例题 8.2 一平面简谐波以速度 u=20m.s-1沿直线传播,
已知在传播路径上某点 A的简谐运动方程为
y=(3?10-2m)cos(4?s-1)t,求, 1) 以点 A为坐标原点,写出
波动方程 ; 2) 以距点 A为 5m处的点 B为坐标原点,写出
波动方程 ; 3) 写出传播方向上点 C,点 D的简谐运动方
程 ; 4) 分别求出 BC和 CD两点间的相位差,
9m5m8m
u
xDABC
解, 由点 A的简谐运动方程可知
12
2
4
2
???? sv
?
?
?
?
mvu 10220 ????
频率
波长
19
)](4c o s [103 2 uxty av ??? ? ?
)]20(4c o s [103 2 xt ??? ? ?
]54c o s [103 2 xt ?? ??? ?
2) 由于波由左向右行进,故点 B的相位比 A点超前,其简谐运
动方程为
)]205(4c o s [103 2 ??? ? ty bv ?
)4c o s (103 2 ?? ??? ? t
1) 以 A为原点的波动方程为
故以点 B为原点的波动运动方程为
])20(4c o s [103 2 ?? ???? ? xty bv
20
3) 由于点 C的相位比 A点超前, 故
)](4c o s [103 2 uACty cv ??? ? ?
]5134c o s [103 2 ?? ??? ? t
而点 D的相位落后于 A点,故
)](4c o s [103 2 uADty Dv ??? ? ?
]594c o s [103 2 ?? ??? ? t
4) BC和 CD间的距离分别为 ?xBC=8m,?xCD=22m.
????? 6.181022 ?????? BCBC x
????? 4.4221022 ?????? CDCD x
21
例题为 8.3 一横波沿一弦线传播,设已知 t=0时的波形曲
线如图所示,弦上张力为 3.6N,线密度为 25g·m-1,
求, 1) 振幅 ; 2) 波长 ; 3) 波速 ; 4) 波的周期 ; 5) 弦上任一
质点的最大速率 ; 6) 图中 a,b两点的相位差 ; 7) 3T/4 时
的波形曲线 。
x/cm
y/cm
10 20 30 40 50 60 70 80
a b
0
-0.2
-0.4
-0.5
0.2
0.4
0.5 M1 M2
22
3) 由波速公式可得
sm121025 6.3 3 ???? ??Fu
s30112 4.0 ??? uT ?
4) 波的周期为
2) ?=40cm
解, 由波形曲线可看出
1) A=0.5cm;
5) 质点的最大速率为
sm94.030/1 2105.02 2ma x ?????? ? ??? TAAv
23
6) a,b两点相隔半个波长,b点处质点比 a点处质点的相位落
后 ?
7) 3T/4时的波形如图中实线所示,波峰 M1和 M2已分别右移 3?/4
而到达 M1?和 M2?处。
t=0 时的波形
x/cm
y/cm
10 20 30 40 50 60 70 80
a b
t=3T/4 时的波形
0
-0.2
-0.4
-0.5
0.2
0.4
0.5 M1 M1? M2 M2?
24
设波在体密度为 ? 的弹性介质中传播,在波线上坐标 x 处
取一个体积元 dV,在时刻 t 该体积元各量如下,
一、波的能量
)(s i n uxtAtyv ???? ????
振动速度,
)(s i nd21d21d 2222 uxtVAmvE k ??? ???
振动动能,
㈢ 波的能量 能流密度
)(c o s uxtAy ?? ?振动位移,
在弹性介质中，介质质元不仅因有振动速度而具有动能，
而且因发生形变而具有弹性势能，所以振动的传播必然伴随
能量的传递。
25
以金属棒中传播纵波为例,在波线上任取一体积为
，质量为 的体积元,利用金属棒的杨氏弹性模量
的定义和虎克定律
? ?xSV ???
? ?xSm ????
? ?
2
2
2
1
2
1 ?
?
??
?
?
?
??????
x
yxSYykdE
p
，,?YuxSV ????因
x
yYP
S
f
?
???
x
SYk
??
关于体积元的弹性势能：
xx ??
yy ??
x
y
x
x
a b
a? b?
26
?
?
?
?
?
?
??????
??
?
???
u
x
ts i nVA
2
1
)
u
x
t(s i n
u
VAdu
2
1
Ed
222
2
2
2
22
p
)
u
x
t(s i nVAd
EdEdEd
222
pk
?????
??
故总能量,
表 明：
? 总能量随时间作周期性变化 ;
? 振动中动能与势能相位差为 ?/2,波动中动能和势能同相 ;
? 波动是能量传播的一种形式,
?????? ???? uxtuAxy ?? s i n
27
二、能量密度
22
0
222
2
1d)(s i n1 ????? At
u
xtA
Tw
T ??? ?
2,平均能量密度
表明, 波的平均能量密度与振幅的平方成正比,与频率的平
方成正比。
1,能量密度, 单位体积介质中的波动能量,
)(s i ndd 222 uxtAVEw ??? ???
表明, 波的能量密度与总能量 dE均随时间作周期性变化,且
同相,
28
2,平均能流 22
Asu21wsup ????
1,能流, 单位时间内通过介质某一截面的能量,
)uxt(s i nAsus u wp 222 ??????
u
S
u
x
三、能流密度（波的强度）
uA21uwSPI 22 ??????
通过垂直于波的传播方向上单位面积的平均能流
3,平均能流密度 --玻印廷矢量
矢量形式,
uA21I 22 ?
?
??? 单位, W.m-2
29
四、波的吸收
波的吸收系数为常数时 c o n s t.??
xeII ?20 ?? 强度比振幅衰减快
? 对于球面波在均匀介质中传播的情况,通过两个球面的总的
能流应相等，即
2
2
22
2
2
1
22
1 r4uA2
1r4uA
2
1 ???????
由此得
1
2
2
.1
r
r
A
A ?
相应的球面简谐波表式为
?
?
??
?
? ??
u
rt
r
A ?? c os
A d xdA ??? xeAA ???
0
30
正常人听声范围
20 < ? < 20000 Hz.
I下 < I < I上
?
?? RTu
理想气体,
1,声波的传播
?(Hz)1000o 20 20000
I (W / m2) I上 =1
I下 =10?12
·
·
频率在 之间的弹性波能使人产生声音的
感觉，称为声波
Hz4102~20 ?
五,声波
31
???
?
???
?
?
0
10l o g10 I
IL
单位,分贝 (dB)
2,声强
22uA
2
1I ???
3,声级
人耳所感受到声音的响度，近似地与声强 I的对数成正
比，常用声级 L来表示，即
以 1000 Hz 时的 I下 作为基准声强 212
0 10 mWI ??
?为防止噪声污染，往往规定户外声音不得大于 100dB.
32
一、惠更斯原理
介质中波动传播到的各点,都可以视为发射子波的波源,
在其后任一时刻,这些子波的包络就是新的波前,
㈣ 惠更斯原理
意义,只要已知某时刻的波面和波速，可以确定下时刻
的波面和波的传播速度。
?适用于各种波,机械波、电磁波等
?适用于非均匀的、各向异性的介质
33
应用：解释波的衍射 (绕射 ),波的散射,波的反射,波的折
射等现象,
局限性,? 没有说明子波的强度分布
? 没有说明子波只向前传播,而不向后传播的问题
二、波的衍射
波在传播过程中遇到障碍时,能够绕过障碍物的边缘继续向
前传播 — 波动的特征之一
衍射现象显著与否,与障碍物的大小与波长之比有关。
a
34
三、用惠更斯原理推导折射定律和反射定律
波的折射和折射定律
用作图法求出折射波的传播方向
1
2
2
1
2
1
s i n
s i n
n
n
u
u
i
i ??
i1--入射角,i2--折射角
C
A
i1
i2
n1
t1
t2
B
E
n2
需要注意的是，波在被反射或折射后，由于波的传播方向
发生了改变，波的传播方向与振动方向的夹角会随之改变，于
是纵波可能变成横波或部分纵波部分横波。反之亦然。
练习：应用惠更斯原理，用作图法证明波的反射定律。
35
? 无论是否相遇,各列波仍保持原有的特性 (频率,波长和振
动方向等 )不变,按照原来的方向继续前进,就象没有遇到
其他的波一样
? 在其相遇区域内,任一点的振动为各个波单独存在时在该
点引起的振动的矢量和
一、波的叠加原理
㈤ 波的干涉
几列波在同一介质中传播,
波的叠加原理的基础是波的方程为线性微分方程,
若 分别满足波动方程? ? ? ?
txtx yy,2,1,
2
1
2
22
1
2
t
y
u
1
x
y
?
??
?
?
2
2
2
22
2
2
t
y
u
1
x
y
?
??
?
?
36
37
二、波的干涉
相干波, 两个频率相同,振动方向相
同,相位差恒定的波源发出的波 。 s2
s1 Pr1
r2
波的叠加原理仅在弱波条件时成立，强冲击波则不成立。
则 显然也满足波动方程
21 yy ?
两个相干波源发出的波的叠加 。
两束相干波在空间形成稳定的强度分布,合振幅或强度取
决于两束相干波的相位差 ??.
相干叠加：
? ? ? ?
2
21
2
22
21
2
t
yy
u
1
x
yy
?
???
?
??
38
波源的振动：
)c o s ( 22020 ?? ?? tAy
)c o s ( 11010 ?? ?? tAy
s2
s1 Pr1
r2
由叠加原理 P点合振动：
)c o s (21 ?? ???? tAyyy
????? cos2 212221 AAAAA
P点的振动：
)2c o s ( 1111 ???? rtAy ???
)2c o s ( 2222 ???? rtAy ???
39
c) 其他情况合振幅在最大值与最小值之间。
3,非相干叠加
振幅叠加情况复杂，但强度分布简单
21 III ??
?
????????
?
??
?
?
?
?????
?
??
?
?
?
?????? 12
12
1
1
2
2
rr2r2r2
a) 干涉加强 )2,1,0(2 ?????? kk ???
21ma x AAA ??
b) 干涉减弱
21m i n AAA ??
)2,1,0()12( ??????? kk ???
40
例题 8.4 A,B两点为同一介质两相干波源,其频率皆
为 100Hz,当点 A为波峰时点 B为波谷, 设波速为 10m.s-1,
试写出 A,B发出的两列波传到点 P时干涉的结果,
15m
20m
P
A B
解, 由图可知,AP=15m,
AB=20m,故
m25
)m15()m20(
APABBP
22
22
?
??
??
又已知 v=100Hz,u=10m.s-1 得
m10.01 0 010 ??? vu?
41
这样的 ??值符合合振幅的最小的条件,如若介质不吸收
波的能量,则两波振幅相同,因而合振幅
A=|A1?A2|=0,
故在点 P处,因两波干涉减弱而不发生振动,
设 A的相位较 B超前,则 ?A??B=?,根据相位差和波程差的关系
有
???
?
?????
20 1
10.0
1525
2
2
??
?
???
?
???
APBP
AB
42
一、驻波的形成
实验 —— 弦线上的驻波
㈥ 驻 波
弦线长度等于半波长的整数
倍时才能形成驻波,
????? 2,1,2 nnL ?
两列振幅相同的相干波在同一条直线上沿相反方向传播
时叠加而成,而产生特殊的干涉现象。
波节：始终不动的点
波腹：振荡最强的点
43
二、驻波方程
)(2c o s2 ??? xtAy ??
tkxA
t
x
Ayyy
?
??
?
?
c o sc o s2
2c o s2c o s221
?
???
)(2c o s1 ??? xtAy ??
?各点作频率相同、振幅不同的简谐振动
?振幅为
?
? xA 2c o s2
44
三、驻波的特征
1,波节和波腹
tkxAyyy ?c o sc o s221 ???
振幅为 0，这种位置称为波节,两相邻 波节 间的距离 ?/2
波节：当 即? ?,
212
??? nkx
? ? ? ??????? 210412,，nnx ?
波腹：当, 即?nkx ?
? ?????? 2102,，nnx ?
振幅为 2A，这种位置称为波腹,两相邻 波腹 间的距离 ?/2
两相邻 波节 与 波腹 间的距离 ?/4
45
O A B C D E F G H
4
3 T
t ?
4
2 T
t ?
4
T
t ?
0?t
46
txAy ???? 2c o s2c o s2?
02c o s ??? x
相位为 t??2
波节之间相位相同,波节两边相位反相。
相位为 ??? ?t202c o s ?
??
x
2,相位
3.没有能量的定向传移
驻波中，节点为始终不动的点，原则上没有能量从节
点处通过,两波节间能量应当守恒,动能与势能之间不断
相互转换，在波节和波腹之间转移,
47
4、半波损失
相位突变 ?，半波反射
2211 uu ?? ?
有半波损失
均匀介质中传播的波在遇到两种介质的分界面处，究竟
出现波节还是波腹，取决于波的种类和两种介质性质及入射
角的大小定义介质的特性阻抗,uZ ??
在入射波波线近似于垂直界面时
2211 uu ?? ?
无半波损失相位突变 0，全波反射
由于半波损失，入射波和反射波在反射点是相消干涉，形
成驻波的节点,
2?
半波反射
波疏
介质
波密
介质
全波反射
波疏
介质
波密
介质
48
例题 8.5 两人各执长为 l 的绳的一端,以相同的角频率
和振幅在绳上激起振动,右端的人的振动比左端的人
的振动相位超前 ?, 试以绳的中点为坐标原点描写合
成驻波,由于绳很长,不考虑反射,绳上的波速设为 u.4Tt?
解, 设左端的振动为 tAy ?c o s
1 ?
则右端的振动为 ? ??? ?? tAy c o s
2
4Tt?
右行波的波动表式为
??
?
??
? ?
?
?
??
?
? ??
11 c o s ?? u
xtAy
4Tt?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
? ??
22 c o s ?? u
xtAy
左行波的波动表式为
49
根据题意,当 时，,即2lx ?? tAy ?c o s
1 ?
tA
u
xtA ??? c o sc o s
1 ???
?
??
? ??
?
??
?
? ?
u
l
21
?? ??
)tc o s (A])u2 lt(c o s [A 2 ???? ????
u
l
22
??? ??
当 时,,即2/lx ? )c o s (
2 ?? ?? tAy
50
于是
)]2(c o s [1 uluxtAy ??? ?
])2(c o s [1 ?? ???? uluxtAy
)
22
c o s ()
2
c o s (2
21
??
?
??
????
??
u
x
t
u
x
A
yyy
4Tt ?
当 ?=0时,x=0处为波腹 ; 当 ?=?时,x=0处为波节,
51
对弹性波来说，所谓波源和观察者的运动或静止，都是 相
对于在其中传播的连续介质而言的,
㈧ 多普勒效应
如果波源与观察者之间有相对运动,则观察者接受到的波
频率不同于波源的频率, 这 种 现 象 称 为 多 普 勒 （
C.J.Doppier,1803-1853） 效应,
多普勒效应
为简单起见，假定波源、观察者的运动发生在二者的连线
上。设波源的频率为 ?,波长为 ?,在介质中的传播速度为 u.若
波源和观察者相对于介质静止时，测得的频率 v则为
T
1u ?
???
52
一、波源不动,观察者相对于介质以速度 v0 相向运动
2,P 以速度 v0离开 S
u
u 0??? ???
下面分三种情况讨论：
1,P 以速度 v0 接近 S
单位时间内通过 P 的波段长度,
0??u
表明, P 接收到的频率提高
P接收到的频率,
u
u
uu
u 0
0
0 )( ????
?
?? ???????
v0 PS
0vs ? 0v
0 ?
?
u
s
53
二、观察者不动,波源相对于介质以速度 vs相向运动
表明, P接收到的频率也提高
P接收到的频率：
svu
uu
?
???? ?
?
?
2,若 S以速度 vs 离开 P,则
svu
u
?
?? ??
??
svu ???
1,若 S以速度 vs 接近 P
vs PS
s
0v s ?
??
54
三、波源和观察者同时相对介质运动
波的波长为
Ts??? ???
单位时间内通过 P的波段长度为
vs PS v0
1,若 S 以速度 vs 接近 P,而 P 以速度 v0 接近 S
0??u
P接受到的波频率：
s
0
s
0
u
u
Tv
u
??
????
??
???? ?
表明, P接收到的频率也提高
55
2,若 S和 P的运动不在二者连线上
S
SSvu
vu ?
?
??
c o s
c o s 00
?
??
vs
PS
v0
?s0?s
?S
vs?
u?3,若波源速度超过波速 vs>u.
sv
u??s in
上述计算结果将没有意义，
这时波源将位于波前的前方,各
波前的切面形成一个圆锥面，
称为 马赫锥,其顶角满足
有纵向多普勒效应 ; 无横向多普勒效应
56
飞机, 炮弹等以超音
速飞行时, 在空气中激
起冲击波, 飞行速度与声
速的比值 vS/u决定 ?角,比
值 vS/u称 马赫数,
?
冲击波带
多普勒效应在科学技术上有着广泛的应用
1,谱线红移,测定星球相对于地球的运动速度,;
2,利用基于反射波多普勒效应原理的雷达系统，测定流体
的流动、振动体的振动、车辆导弹等运动目标速度,
3,医学上的,D超”，利用超声波的多普勒效应检查人体
内脏、血管的运动和血液的流速和流量,
57
例题 8.6 利用多普勒效应监测汽车行驶的速度, 一固
定波源发出频率为 100kHz的超声波, 当汽车迎着波源
驶来时, 与波源安装在一起的接受器接收到从汽车反
射回来的超声波的频率为 110Hz,已知空气中声速为
330m.s-1,求汽车行驶的速率,
解, 分两步分析,
???? ?
u
vu
第一步, 波向着汽车传播并被汽车接收,此时波源是静止的,
汽车作为观察者迎着波源运动。设汽车的行驶速度为 ?,则接
收到的频率为
58
由此解得汽车行驶的速度为
1km, h8.56
3 0 0
1 0 01 1 0
1 0 01 1 0
uv
??
?
?
?
?
??? ??
??? ??
?
????? ???? ?? vu vuvu u
第二步, 波从汽车表面反射回来,此时汽车作为波源向着接受
器运动,汽车发出的波的频率即是它接收到的频率 ??,而接受
器此时是观察者,它接收到的频率为
59
例题 8.7 A,B为两个汽笛,其频率均为 500Hz,A是静止
的,B以 60m.s?1的速率向右运动, 在两个汽笛之间有一
观察者 O,以 30m.s-1的速率也向右运动 。 已知空气中
的声速为 330m.s-1,求, 1) 观察者听到来自 A的频率 ; 2)
观察者听到来自 B的频率 ; 3) 观察者听到的拍频,
解,
??
svu
vu
?
0???
已知, v=330m.s?1,vsA=0,vsB=60m.s-1,v0=30m.s-1,
?=500Hz
v0 vsB
O BA
60
1) 由于观察者远离波源 A运动,v0应取负号,观察者听到来自
A的频率为
Hz5.454500330 30330 ?????v
2) 观察者向着波源 B运动,v0取正号 ; 而波源远离观察者运动,
vsB也取正号,故观察者听到自 B的频率为
Hz5.4 6 15 0 0603 3 0 303 3 0 ???????v
3) 拍频
Hz7?????? vvv?
61
例题 8.8 一警报器发射频率 1000Hz 的声波,离观察者
向一固定的目的物运动,其速度为 10m/s,试问,
1) 观察者直接听到从警报器传来声音的频率为多少?
2) 观察者听到从目的物反射回来的声音频率为多少?
3) 听到的拍频是多少? (空气的声速为 330m/s)
解, 已知
sm3 3 0,sm10,Hz1 0 0 0 ??? uv ss?
1) 观察者直接听到从警报器传来声音的频率
Hz6.9701 0 0 0
10330
330
1 ?????? s
su
u ?
?
?
62
Hz3.1 0 3 122 ??? ??
目的物反射的频率等于入射声音的频率 ?2?,静止观察者听
到反射声音的频率
3) 两波合成的拍频为
Hz7.606.9703.103112 ????? ??? B
Hz3.10311000
10330
330
2 ?????? s
svu
u ??
2) 目的物接到的声音频率为
63
本章基本要求
1.理解描述波动的物理量的物理意义及相互关系,
2.掌握平面谐波的波函数及波动方程的物理意义，根据
给定条件求解波函数,
3.掌握平均能量密度与平均能流密度的概念和计算,
4.理解惠更斯原理及其意义，掌握惠更斯原理应用,
5.理解波的迭加原理,掌握波的干涉原理和干涉加强、减
弱的条件,
6.掌握驻波的形成条件和特点，建立半波损失的概念，
掌握其形成的特点,
7.掌握多普勒效应及其产生原因，求解具体问题,
64
