信息科学与工程学院
矩阵理论
兰州大学信息科学与工程学院
2004年
信息科学与工程学院
目的和内容
? 矩阵理论是求解多元线性方程组的有力工具;
? 现代工程中的一些问题,如果用矩阵表示,不但形式简洁,
更重要的是具有适合计算机处理的特点。由于计算机的发
展和普及,矩阵分析显得越来越重要;
– 举例
? 教学目的,
– 掌握主要的概念;
– 能够看懂相关文献,尤其是各种术语和符号的含义;
– 掌握与泛函分析交叉或相关的一些内容
? 许多领域日益增多的文献中大量使用泛函分析的术语、符号
? sup(*),inf(),?
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动态系统的描述
? 电路系统
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代入 (1)
代入 (2)
(1)
(2)
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动态系统的描述 (Continue)
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写成矩阵形式,
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Y C D X U
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动态系统的描述 (Continue)
? 机械系统的振动
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写成矩阵形式,
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动态系统的描述 (Continue)
? 离散系统
离散时间系统 x(n) y(n) )1()()( ???? nynyny
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动态系统的描述 (Continue)
? 引入中间变量,化高阶差分方程为一阶线性差分方程组
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动态系统的描述 (Continue)
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写成矩阵形式,
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相关概念及定义
? 矩阵 (Matrix)
– 矩阵是数域 F上的 m× n个数构成的数表,
称为 F上 m行,n列的矩阵,记为 A
称为 A的第 i行、第 j列元素,记为 (A)ij
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n
n
aaa
aaa
aaa
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21
22221
11211
Faij ? i = 1,…,m,j = 1,…,n
ijij aA ?)(
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相关概念及定义( continue)
– 数域 F上的一切 m行,n列的矩阵的集合,记为,
– 若,,则称矩阵 A与 B同型
? 数域( Field)
– 若数集 F含有数 1且对四则运算封闭,则称 F为数域
? 映射( Mapping)
– 若,,若存在一个对应关系(或对应法则,
correspondence relationship or correspondence rule),,
有 Y中的唯一的一个元素 y与之对应,就称给出了一个从 X到 Y的一
个映射 f,记作,f,X→ Y,或 y = f(x)
– 映射是函数概念的推广,它与函数、算子、变换表示的是同一个
概念
– 特别地,当 Y为数集 (实数集 R或复数集 C)时,称 f为定义在集合 X
上的 泛函( functional)
nmF ?
nmFA ?? nmFB ??
??X ??Y
Xx??
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相关概念及定义( continue)
? 直积集
– 设 A,B是给定的 集合,称
为 A与 B的 直积集,简称 积集, 直积
– 举例,
?,,那么
表示 XOY平面上矩形中点的集合
? 表示 XOY平面上所有点的集合
– A× B中的元素被称为有序对,即当 时,
– 直积集的概念可被推广到两个以上给定的集合,
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RbaA ?? ],[ RdcB ?? ],[
],[],[ dcbaBA ???
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yx? ),(),( xyyx ?
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n
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1
记为,
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相关概念及定义( continue)
? 代数运算
– 如果通过法则 ?,, 得到唯一的,则
称 ?为 A与 B的直积集到 C的一个代数运算,
– 称 c为 和 经运算 ?得出的结果,记为,
? 集合 A对运算 ?封闭,
– 若 ?是 的一个代数运算,则称集合 A对运算封闭
– N和 Z不是数域
– Q,R和 C都是数域
– Q是最小的数域
– C是最大的数域
Cc?BbAa ????,
CBA ??:?
bac ??
Aa? Bb?
AAA ??
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相关概念及定义( continue)
在矩阵的定义的基础上,可定义矩阵相等、负矩阵、零矩阵、
方阵、单位阵、对角阵、逆矩阵等
?矩阵相等
设,,若
则称矩阵 A与 B相等,记为 A = B
?负矩阵

称 -A 为 A的负矩阵
?零矩阵
元素全为零的矩阵,称为零矩阵,记为 0
nmFA ?? nmFB ??
ijij BA )()( ?
,i = 1,…,m,j = 1,…,n
nmij Fa ??? )(
nmij FaA ??? )(
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相关概念及定义( continue)
? 方阵( Square matrix)
行数和列数相同的矩阵称为方阵,行数为 n的方阵称为 n阶方阵。
对方阵,又定义了 主对角线元素, 副对角线元素 等概念,
称 为主对角线元素
称 为副对角线元素
? 对角阵( diagonal matrix)
除了主对角线元素以外,其余元素均为 0的方阵,称之为对角阵。
? 单位阵( Identity matrix)
主对角线元素全为 1的对角阵,称之为单位阵。简记为 I。
N阶单位阵记为
nnaaa,,,2211 ?
nnn aaa 11,21,,,??
nI
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矩阵运算
? 矩阵加法,
设,
称 为矩阵 A与 B之和。
矩阵加法是 的代数运算,性质,
交换律,A + B = B +A
结合律,(A + B) + C = A + (B + C)
A + 0 = 0 + A = A
A+ (-A) = (-A) + A = 0
? 矩阵减法,
设,
称 为矩阵 A与 B之差。
m x nij FaA ?? )( m x nij FbB ?? )(
m xnijij FbaBA ???? )(
m x nm x nm x n FFF ??
mxnFA? mxnFB ?
m x nFBABA ?????? )(
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矩阵运算( Continue)
? 数乘矩阵,
设,
称 为 λ 与之积。
推论
数乘矩阵是 的一个代数运算,性质,
1。
2。 分配律
3。 分配律
4。 结合律
? 矩阵乘法,


F?? m x nij FaA ?? )(
m x nij FaA ?? )(??
:)1( AA ???
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,)( m xnij FaA ?? n x pij FbB ?? )(
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kjiknjinjijiij ?????? ?
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,,,1 mi ??,,,1 pj ??
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矩阵运算( Continue)

为 A与 B之 积
(1)A的列数 = B的行数 ;
(2)AB的行数为 A的行数,列数为 B的列数 ;
(3)AB的 i行 j列元素为 A的 i行元素与 B的 j列对应元素之积之和
举例,
m xpFa ijAB ?? )(
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1011
4044
AB
? ?4??BA
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矩阵运算( Continue)
AB≠BA,矩阵乘法不满足交换律
A ≠ 0; B ≠ 0,但 AB = 0。
矩阵乘法是 的一个代数运算,它有以下性质,
1° (AB)C =A(BC) 结合律
2° (A + B)C = AC + BC 分配律
A(B+C) = AB + AC 分配律
3° (λA)B = A(λB) = λ(AB) 结合律
4° A是方阵,AI = IA = A
m x pn x pm x n FFF ??
000 0042 2136 12 ???
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矩阵运算 (Continue)
? 方阵的幂( Power)


为 A的 k次幂,并定义
因为矩阵乘法满足结合律,所以
又因矩阵乘法不满足交换律,一般地,
,nxnFA? Nk?
????? ?个kk AAAA ?
IA?0
21212121 )(,kkkkkkkk AAAAA ?? ?
kkk BAAB ?)(
2222))(( BABBAABABABA ????????
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转置矩阵和分块矩阵
? 转置矩阵( Transposed matrix)
可将对矩阵行与列的研究,转化为对其中之一的研究


为 A的转置矩阵,有的教科书上记为
易见,
转置矩阵具有以下性质,
可用数学归纳法推广至多个矩阵的情形
m x nij FaA ?? )(
mn
mnnn
m
m
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aaa
aaa
aaa
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A?
jiijT AA )()( ? AA TT ?)(
TT AA ?? ?)( TTT BABA ??? )(
TTT ABAB ?)(
F??
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转置矩阵和分块矩阵
? 分块矩阵
用水平线或垂直线将矩阵 分成若干个小矩阵,并将 A视
为以这些小矩阵为元素组成的矩阵,称之为 A的分块矩阵,其中的
每个小矩阵称为 A的子矩阵。
一般用 表示 r行 s列的分块矩阵,Aij为其第 i行第 j列上的子
矩阵
? 分块矩阵的相等
– 若两个分块矩阵恢复成普通矩阵是相等,则称此两分块矩阵相等
? 对, 用相同的划分法分为分块矩阵,则
矩阵加法、减法和数乘矩阵的法则可推广到分块矩阵上
A?
mxnFA?
srijA ?)(
i = 1,…,r,j = 1,…,s
mxnFA? mxnFB ?
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分块矩阵的加法、减法、数乘
其中, 则
1。
2。
将 的列,的行用相同的划分法划分为分块矩阵,
则矩阵乘法可推广到分块矩阵上。
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srijij BABA ???? )(
srijAA ?? )(??
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mxnFA? mxnFB ?
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分块矩阵的乘法和转置

其中,则
? 分块矩阵的转置
– 欲求分块矩阵的转置,只要将其对应行列互换,然后将其中的每
个子矩阵转置即可
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ji pmsq qjiqij FBAC ?? ?? ? 1
trijCAB ?? )(
i=1,…,r,j =1,…,s
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分块矩阵的乘法和转置
则其转置矩阵为
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矩阵的秩
? 矩阵的秩
– 矩阵 A的 k阶子式
设,在 A中任取 k行,k列
位于这些行列相交处的元素构成的 k阶行列式称为矩阵 A的一个 k阶子式
– 若, A中非零子式的最高阶数 r称为 A的秩,记为,
– 若,则定义
– F上所有 m行 n列且秩为 r的矩阵的集合记为,
– 若,称 A是行满秩的;否则称 A是行降秩的,即 r < m
– 若,称 A是列满秩的;否则称 A是列降秩的,即 r < n
? 方阵与其行列式的关系,
–, rankA = n,称方阵满秩、非奇异
–, rankA < n,称方阵降秩、奇异
mxnFA? )),m i n (1( nmk ??
nmFA ??? 0 0rank ?A
Ar rank?
nmrF ?
nmmFA ??
nmnFA ??
0det ?A
0det ?A
0?A
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矩阵的秩 (Continue)
? 矩阵的秩的性质
– 矩阵与其转置矩阵的秩相等,
– 初等变换不改变矩阵的秩
–,则,满秩方阵的乘积仍满秩
– 可经有限次初等变换化为
且 A可表示为
其中,、,i = 1,…,r,j = 1,…,t是 F上的初等阵
– 推论:数域 F上的满秩阵可被分解为 F上的初等阵之积
– 可经初等行(列)变换化为单位阵,而单位阵在同样
的行(列)变换下化为
AA T r a n kr a n k ?
nmrij FaA ??? )(
nnnFBA ??,
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逆矩阵和矩阵的逆
? 方阵的逆 (Inverse)
对,若存在同阶方阵 B,使得
AB = BA = I
则称 A可逆,并称 B为 A的逆矩阵,简称为 A的逆,记为
? 伴随矩阵 (Adjacent matrix)
对, 为 detA中元素 aij的代数余子式,则称
为 A的伴随矩阵,detA为 方阵 A的行列式( determinate)
– 伴随矩阵的性质,
若,则
nnFA ??
1?A
nn
nnnn
n
n
F
aaa
aaa
aaa
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22212
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*
nnFA ??
nnFA ?? IAAAAA )( d et** ??
ija
adjA
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逆矩阵和矩阵的逆 (Continue)
? 逆存在的条件,
方阵 有逆的充分必要条件为,
且满足此条件时,A有唯一的逆,
– 若,则称 A是满秩的 (或称 A是非奇异的 ),否则,称
A是降秩的 (或称 A是奇异的 )
? 逆的性质
– 若,,则,
,可推广至有限个满秩方阵相乘的情形
0det ?A
nn
nFAAA
?? ?? *1
d e t
1
nnFA ??
0det ?A
nnFA ?? nnFB ??
AA d e t
1d e t 1 ??
TT AA )()( 11 ?? ? A
AAA d e t
1)()( *11* ?? ?? 11 1)( ?? ? AA
??
111)( ??? ? ABAB
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抽象空间
? 线性空间
设, 称 X为数域 F( 实数域 R或复数域 C) 上的线性空间,若,
– X是一个加法交换群 (或称阿贝尔群,Abel Group)
定义了加法 +:,称 x + y 为 x,y的和,且满足,
1,加法交换律,
2,加法结合律,
3,零元的存在性:,使得,有
4,相反元素的存在性:,,使得
可以证明零元与相反元素在 X中都是唯一的
– 定义数乘×:,,,可确定唯一元
素,称之为数乘元素的积,且满足,
5,数乘结合率,
6,1x = x,
7,分配律,
8,分配律,
??X
XXX ??
xyyx ??? Xyx ??,
zyxzyx ????? )()(
X??0
Xzx ??,,
Xx?? Xx??? 0)( ??? xx
Xx?? xx ?? 0
XXF ?? F??? Xx??
Xx???
xx )()( ???? ?
xxx ???? ??? )( XxF ????,,??
XyxF ????,,?yxyx ??? ??? )(
XxF ????,,??
Xx??
若 F = R,则 X为实线性空间; F = R,则 X为复线性空间
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零元和相反元素唯一性的证明
? 零元的唯一性,
反证法:假设线性空间 X中还存在其它零元,任取其一,例如,
则由对 0的定义,
又由对 的定义,
应用交换律比较上两式,等式右边应该相等,即,所以零元
是唯一的
? 相反元素的唯一性,
反证法:假设线性空间 X中还存在其它负元素,任取其一,例如,
考察和,
应用结合律,
而根据相反元素的定义,
又:,易见,
所以线性空间中的相反元素是唯一的
0?
000 ????
000 ???
00 ??
)( xxx ?????
))(()()( xxxxxx ???????????
xxxxx ???????????? )(0)()(
xxxxx ?????????? 0))(( xx ????
0?
x??
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线性空间举例
? 直线 R,
– 即具有普通加法和乘法运算的全体实数集
? 平面
– XOY平面上所有点的集合,加法即向量加法,满足平行四边形法
则;数乘即数乘向量,即向量按比例伸长或缩短
? 实 n维空间
– 所有 n个实数组 的全体
? [a,b]上的连续函数构成的空间 C[a,b]
– 加法即函数的加法,数乘即数乘以函数
? 空间,,
– 此空间中的点为满足条件 的数列(或无穷维向
量),
RRR ??2
?? ??? ?? ?个nn RRRR ????
),,,( 21 nx ??? ??
pl ???? p1
数列的所有元是 p次绝对可和的
???? ?? pn n1 ?
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线性空间举例( Continue)
– 空间 的加法,
– 空间 的数乘,
,,? 即,
由 Minkowski不等式,
当右边的两个级数收敛时,左边的级数也收敛,
),,,,(),,,,( 2121 ???? nnx ?????? ??
),,,,(),,,( 2121 ??? nn ?????????? ?
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线性空间的其它概念
? 线性算子
– 设 X与 Y是同一数域 F上的线性空间,则称映射 为线性
映射,又称 线性变换, 线性算子
X Y
F?? ??,
Xxx ?? 21,
1x
2x
)( 1xf
)( 2xf
1x?
2x?
)( 1xf?
)( 2xf?
21 xx ?? ? )()( 21 xfxf ?? ?
YXf ?:
f
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线性空间的其它概念 (Continue)
? 线性泛函
– 线性映射的定义中,若 Y = F (实数域 R or复数域 C),则称 f为 线性
泛函
X
X
R
C
f
f
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线性空间的其它概念 (Continue)
? 恒等算子,
I是线性算子,线性空间 X中的任一元素,映射为 X中的同一元素
? 零算子,
,, ( Y中零元素,非 F中 0)
零算子是线性算子
? 线性空间的同构
– 称线性算子 f为 X → Y 上的线性同构映射:若 f为一一映射
– 称同一数域 F上两线性空间是同构的,或称 X同构于 Y,若存在一
个从 x到 y上的一一对应的线性映射。
xIxXXI ??,:
YXT ?,Xx?? 0?Tx
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线性空间的其它概念 (Continue)
? 同构线性空间的性质,
– X同构于其本身; (取恒等映射 为同构映射即得)
– 若 X同构于 Y,则 Y同构于 X; ( 取 X → Y同构映射的逆映射,为
Y → X 的同构映射)
– 若 X同构于 Y,Y同构于 Z,则 X同构于 Z; ( 取 X → Y的同构映射 f与 X
→ Y的同构映射 g的复合映射 为 X → Z上的同构映射即得)
? 线性组合,
设,若,,使得
则称 x是 的线性组合
XXI ?:
fg?
Xx? F
n ?? ??? ?,,21 Xxxx n ?? ?,,21
nn xxxx ??? ???? ?2211
nxxx ?,,21
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线性空间的其它概念 (Continue)
? 线性相关、线性无关,
设,如果,且不全为零,使得
则称向量组 是 线性相关 的
否则,称 是 线性无关 的,换言之,若
则称 线性无关
? 线性空间的维数( dimension) 和基( base)
– 如果在线性空间 X中可找到 n个线性无关的向量,而 X中的任意 n + 1
个向量都是线性相关的,则称 X的维数为 n,记作,
– 若, X中总存在 m个线性无关的向量,则称 X是无限维的,记作,
– n维线性空间 X中由 n个线性无关的向量组成的向量组,称为 X的一组

Fn ?? ??? ?,,21Fxxx n ??,,21
02211 ???? nn xxx ??? ?
nxxx ?,,21
nxxx ?,,21
00 212211 ????????? nnn xxx ?????? ??
nxxx ?,,21
Nm??
??Xdim
nX ?dim
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线性空间的其它概念 (Continue)
? 线性子空间,
如果线性空间 X的 非空子集 L按照 X中的加法和数乘运算构成一线性空间,
则称 L为 X的线性子空间
举例,
1,若,有,则 L是 X的线性子空间;
2,X和 {0}是 X的线性子空间,异于 X和 {0}的子空间称为真子空间;
3,spanA( A的线性包):设 A是线性空间 X的子集,作所有可能的 A中
向量的线性组合,其中,且,则
是 X的一个线性子空间,称之为由 A张成的子空间(由 A生成的子空
间或 A的线性包),记作 spanA
4,设 X是线性子空间,,集合 是子空间,当
时,是由 x生成的一维子空间
LyxF ????,,,??
? ?ni ii xa1
Lyx ?? ??
AxF ii ??,? Nn??
Xx?? }:{ Fx ??? 0?x
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线性方程组解的结构
? 齐次方程组解的结构
– 解集的几何特征
设 W是 F上齐次线性方程组
AX = 0
所有解的集合,则
1,W是 ( 或 ) 的子空间
2,;
3,若 A由初等行变换和某些列对换
化为分块矩阵
其中 r < n
nnrnrr FCI ??? ??
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00
)(
nF nR nC
rnW ??d im
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线性方程组解的结构( Continue)
那么矩阵
的 n – r 个列向量 是 W的基
– 称 W为齐次线性方程组 AX = 0的解空间
– 解空间 W的基称为 AX = 0的基础解系
– F上齐次线性方程组 AX = 0的解 是其任一基础解系
的线性组合
通常称为齐次线性方程组 AX = 0的通解或一般解
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线性方程组解的结构( Continue)
? 非齐次线性方程组解的结构
– 非齐次线性方程组的一个确定的解称为它的特解
– F上非齐次线性方程组
的解 X,等于它的任一特解 与其对应非齐次线性方程组 AX = 0的
通解 之和
– X通常称为非齐次线性方程组 AX = B的通解或一般解
0X
1X
01 XXX ??
BAX ? 1,?? ?? mnmr FBFA
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矩阵的特征值与特征向量
? 方阵的特征值与特征向量
– 设,如果 和,使得
成立,则称 λ为 A的特征值,称 x为 A的对应于特征值 λ的特征向量
? 特征矩阵
– 设,称
为 A的特征矩阵
nnFA ?? F??? nFx ???0
xAx ??
nnFA ??
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n
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aaa
aaa
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21
22221
11211
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矩阵的特征值与特征向量( Continue)
? 特征多项式
– 特征矩阵的行列式
称为 A的特征多项式
? 特征方程
– 设,称方程
为 A的特征方程(首一的一元 n次方程)
– A的特征值的等价定义,A的特征方程在 F上的根称为 A的特征值
有非零解,
nnFA ??
0)d e t ( ?? AI?
0)d e t ( ?? AI? 0)( ?? xAI?
xAx ??
0?x
)de t ( AI ??
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矩阵的特征值与特征向量( Continue)
? 举例,
– 求
的特征值与特征向量
A的特征多项式,
易见 A的特征值,
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242
422
221
A
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304
021
101
B
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242
422
221
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? AI
221 ??? ?? 73 ???
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矩阵的特征值与特征向量( Continue)
求 A的属于 的特征向量,即求解方程
– 基础解系
221 ??? ??
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000
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442
442
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2 321
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AI
0)2( ?? xAI
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01
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1
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1
0
2
2p
全部特征向量,
2211 pkpk ?
Fkk ?21,不同时为 0
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矩阵的特征值与特征向量( Continue)
同理可求 A的属于 的特征向量
B的特征值为,在求 B的属于 2的特征向量时,由于
– 基础解系
73 ???
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104
103
001
104
001
103
2 )1(1
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BI rI )( rnrC ??
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1
0
0
)3,2(3 Ip 全部特征向量,33pk
Fk ?? 30
2,1 321 ??? ???
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001
100
100
001
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)1(2
3)4(1
2)3(1