信息科学与工程学院
矩阵理论
兰州大学信息科学与工程学院
2004年
信息科学与工程学院
目的和内容
? 矩阵理论是求解多元线性方程组的有力工具；
? 现代工程中的一些问题，如果用矩阵表示，不但形式简洁，
更重要的是具有适合计算机处理的特点。由于计算机的发
展和普及，矩阵分析显得越来越重要；
– 举例
? 教学目的,
– 掌握主要的概念；
– 能够看懂相关文献，尤其是各种术语和符号的含义；
– 掌握与泛函分析交叉或相关的一些内容
? 许多领域日益增多的文献中大量使用泛函分析的术语、符号
? sup(*),inf(),?
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动态系统的描述
? 电路系统
L
C
R2
R1
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RR
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代入 (1)
代入 (2)
(1)
(2)
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动态系统的描述 (Continue)
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写成矩阵形式,
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Y C D X U
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动态系统的描述 (Continue)
? 机械系统的振动
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写成矩阵形式,
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动态系统的描述 (Continue)
? 离散系统
离散时间系统 x(n) y(n) )1()()( ???? nynyny
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?? ?? ??? Mr rNk k rnxbknya 00 )()(
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动态系统的描述 (Continue)
? 引入中间变量，化高阶差分方程为一阶线性差分方程组
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)()()( 01 NnyNnxNnm ????? ?
)1()2()2()()()1( 10232 ??????????????? NnxNnxNnyNnxNnmNnm ???……
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…
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……
……
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动态系统的描述 (Continue)
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0
11
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写成矩阵形式,
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2
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相关概念及定义
? 矩阵 (Matrix)
– 矩阵是数域 F上的 m× n个数构成的数表,
称为 F上 m行,n列的矩阵，记为 A
称为 A的第 i行、第 j列元素，记为 (A)ij
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
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21
22221
11211
Faij ? i = 1,…,m,j = 1,…,n
ijij aA ?)(
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相关概念及定义（ continue）
– 数域 F上的一切 m行,n列的矩阵的集合，记为,
– 若,,则称矩阵 A与 B同型
? 数域（ Field）
– 若数集 F含有数 1且对四则运算封闭，则称 F为数域
? 映射（ Mapping）
– 若,,若存在一个对应关系（或对应法则，
correspondence relationship or correspondence rule），,
有 Y中的唯一的一个元素 y与之对应，就称给出了一个从 X到 Y的一
个映射 f,记作,f,X→ Y,或 y = f(x)
– 映射是函数概念的推广，它与函数、算子、变换表示的是同一个
概念
– 特别地，当 Y为数集 (实数集 R或复数集 C)时，称 f为定义在集合 X
上的 泛函（ functional）
nmF ?
nmFA ?? nmFB ??
??X ??Y
Xx??
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相关概念及定义（ continue）
? 直积集
– 设 A,B是给定的 集合，称
为 A与 B的 直积集,简称 积集, 直积
– 举例,
?,,那么
表示 XOY平面上矩形中点的集合
? 表示 XOY平面上所有点的集合
– A× B中的元素被称为有序对，即当 时,
– 直积集的概念可被推广到两个以上给定的集合,
? ?ByAxyx ??,:),(BA?
RbaA ?? ],[ RdcB ?? ],[
],[],[ dcbaBA ???
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21212211,),(),( yyxxyxyx ????
yx? ),(),( xyyx ?
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?
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n
i
iA
1
记为,
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相关概念及定义（ continue）
? 代数运算
– 如果通过法则 ?，, 得到唯一的,则
称 ?为 A与 B的直积集到 C的一个代数运算,
– 称 c为 和 经运算 ?得出的结果，记为,
? 集合 A对运算 ?封闭,
– 若 ?是 的一个代数运算，则称集合 A对运算封闭
– N和 Z不是数域
– Q,R和 C都是数域
– Q是最小的数域
– C是最大的数域
Cc?BbAa ????,
CBA ??:?
bac ??
Aa? Bb?
AAA ??
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相关概念及定义（ continue）
在矩阵的定义的基础上，可定义矩阵相等、负矩阵、零矩阵、
方阵、单位阵、对角阵、逆矩阵等
?矩阵相等
设,,若
则称矩阵 A与 B相等，记为 A = B
?负矩阵
对
称 -A 为 A的负矩阵
?零矩阵
元素全为零的矩阵，称为零矩阵，记为 0
nmFA ?? nmFB ??
ijij BA )()( ?
,i = 1,…,m,j = 1,…,n
nmij Fa ??? )(
nmij FaA ??? )(
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相关概念及定义（ continue）
? 方阵（ Square matrix）
行数和列数相同的矩阵称为方阵，行数为 n的方阵称为 n阶方阵。
对方阵，又定义了 主对角线元素, 副对角线元素 等概念,
称 为主对角线元素
称 为副对角线元素
? 对角阵（ diagonal matrix）
除了主对角线元素以外，其余元素均为 0的方阵，称之为对角阵。
? 单位阵（ Identity matrix）
主对角线元素全为 1的对角阵，称之为单位阵。简记为 I。
N阶单位阵记为
nnaaa,,,2211 ?
nnn aaa 11,21,,,??
nI
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矩阵运算
? 矩阵加法,
设,
称 为矩阵 A与 B之和。
矩阵加法是 的代数运算，性质,
交换律,A + B = B +A
结合律,(A + B) + C = A + (B + C)
A + 0 = 0 + A = A
A+ (-A) = (-A) + A = 0
? 矩阵减法,
设,
称 为矩阵 A与 B之差。
m x nij FaA ?? )( m x nij FbB ?? )(
m xnijij FbaBA ???? )(
m x nm x nm x n FFF ??
mxnFA? mxnFB ?
m x nFBABA ?????? )(
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矩阵运算（ Continue）
? 数乘矩阵,
设,
称 为 λ 与之积。
推论
数乘矩阵是 的一个代数运算，性质,
1。
2。 分配律
3。 分配律
4。 结合律
? 矩阵乘法,
设
令
F?? m x nij FaA ?? )(
m x nij FaA ?? )(??
:)1( AA ???
m x nm x n FFF ??
AA?1
BABA ??? ??? )(
AAA 2121 )( ???? ???
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,)( m xnij FaA ?? n x pij FbB ?? )(
Fbabababac n
k
kjiknjinjijiij ?????? ?
? 1
2211 ?
,,,1 mi ??,,,1 pj ??
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矩阵运算（ Continue）
称
为 A与 B之 积
(1)A的列数 = B的行数 ;
(2)AB的行数为 A的行数,列数为 B的列数 ;
(3)AB的 i行 j列元素为 A的 i行元素与 B的 j列对应元素之积之和
举例,
m xpFa ijAB ?? )(
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2022
1011
4044
AB
? ?4??BA
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矩阵运算（ Continue）
AB≠BA,矩阵乘法不满足交换律
A ≠ 0； B ≠ 0,但 AB = 0。
矩阵乘法是 的一个代数运算，它有以下性质,
1° (AB)C =A(BC) 结合律
2° (A + B)C = AC + BC 分配律
A(B+C) = AB + AC 分配律
3° (λA)B = A(λB) = λ(AB) 结合律
4° A是方阵,AI = IA = A
m x pn x pm x n FFF ??
000 0042 2136 12 ???
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42
21B
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矩阵运算 (Continue)
? 方阵的幂（ Power)
设
称
为 A的 k次幂，并定义
因为矩阵乘法满足结合律，所以
又因矩阵乘法不满足交换律，一般地,
,nxnFA? Nk?
????? ?个kk AAAA ?
IA?0
21212121 )(,kkkkkkkk AAAAA ?? ?
kkk BAAB ?)(
2222))(( BABBAABABABA ????????
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转置矩阵和分块矩阵
? 转置矩阵（ Transposed matrix）
可将对矩阵行与列的研究，转化为对其中之一的研究
设
称
为 A的转置矩阵，有的教科书上记为
易见,
转置矩阵具有以下性质,
可用数学归纳法推广至多个矩阵的情形
m x nij FaA ?? )(
mn
mnnn
m
m
T F
aaa
aaa
aaa
A ??
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A?
jiijT AA )()( ? AA TT ?)(
TT AA ?? ?)( TTT BABA ??? )(
TTT ABAB ?)(
F??
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转置矩阵和分块矩阵
? 分块矩阵
用水平线或垂直线将矩阵 分成若干个小矩阵，并将 A视
为以这些小矩阵为元素组成的矩阵，称之为 A的分块矩阵，其中的
每个小矩阵称为 A的子矩阵。
一般用 表示 r行 s列的分块矩阵,Aij为其第 i行第 j列上的子
矩阵
? 分块矩阵的相等
– 若两个分块矩阵恢复成普通矩阵是相等，则称此两分块矩阵相等
? 对, 用相同的划分法分为分块矩阵，则
矩阵加法、减法和数乘矩阵的法则可推广到分块矩阵上
A?
mxnFA?
srijA ?)(
i = 1,…,r,j = 1,…,s
mxnFA? mxnFB ?
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分块矩阵的加法、减法、数乘
其中, 则
1。
2。
将 的列,的行用相同的划分法划分为分块矩阵，
则矩阵乘法可推广到分块矩阵上。
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srijij BABA ???? )(
srijAA ?? )(??
F??
mxnFA? mxnFB ?
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分块矩阵的乘法和转置
令
其中,则
? 分块矩阵的转置
– 欲求分块矩阵的转置，只要将其对应行列互换，然后将其中的每
个子矩阵转置即可
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ji pmsq qjiqij FBAC ?? ?? ? 1
trijCAB ?? )(
i=1,…,r,j =1,…,s
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分块矩阵的乘法和转置
则其转置矩阵为
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AAA
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AAA
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nmF ??
mnF ??
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矩阵的秩
? 矩阵的秩
– 矩阵 A的 k阶子式
设,在 A中任取 k行,k列
位于这些行列相交处的元素构成的 k阶行列式称为矩阵 A的一个 k阶子式
– 若, A中非零子式的最高阶数 r称为 A的秩，记为,
– 若,则定义
– F上所有 m行 n列且秩为 r的矩阵的集合记为,
– 若,称 A是行满秩的；否则称 A是行降秩的，即 r < m
– 若,称 A是列满秩的；否则称 A是列降秩的，即 r < n
? 方阵与其行列式的关系,
–, rankA = n,称方阵满秩、非奇异
–, rankA < n,称方阵降秩、奇异
mxnFA? )),m i n (1( nmk ??
nmFA ??? 0 0rank ?A
Ar rank?
nmrF ?
nmmFA ??
nmnFA ??
0det ?A
0det ?A
0?A
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矩阵的秩 (Continue)
? 矩阵的秩的性质
– 矩阵与其转置矩阵的秩相等,
– 初等变换不改变矩阵的秩
–,则,满秩方阵的乘积仍满秩
– 可经有限次初等变换化为
且 A可表示为
其中,、,i = 1,…,r,j = 1,…,t是 F上的初等阵
– 推论：数域 F上的满秩阵可被分解为 F上的初等阵之积
– 可经初等行（列）变换化为单位阵，而单位阵在同样
的行（列）变换下化为
AA T r a n kr a n k ?
nmrij FaA ??? )(
nnnFBA ??,
)r a n k,m i n ( r a n k)r a n k ( BAAB ?
nnnFAB ??
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0
ts QQTQPPPA ?? 2112?
sP tQ
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nnnFA ??
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逆矩阵和矩阵的逆
? 方阵的逆 (Inverse)
对,若存在同阶方阵 B,使得
AB = BA = I
则称 A可逆,并称 B为 A的逆矩阵,简称为 A的逆，记为
? 伴随矩阵 (Adjacent matrix)
对, 为 detA中元素 aij的代数余子式，则称
为 A的伴随矩阵,detA为 方阵 A的行列式（ determinate）
– 伴随矩阵的性质,
若,则
nnFA ??
1?A
nn
nnnn
n
n
F
aaa
aaa
aaa
A ??
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21
22212
12111
*
nnFA ??
nnFA ?? IAAAAA )( d et** ??
ija
adjA
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逆矩阵和矩阵的逆 (Continue)
? 逆存在的条件,
方阵 有逆的充分必要条件为,
且满足此条件时,A有唯一的逆,
– 若,则称 A是满秩的 （或称 A是非奇异的 ），否则，称
A是降秩的 （或称 A是奇异的 ）
? 逆的性质
– 若,,则,
,可推广至有限个满秩方阵相乘的情形
0det ?A
nn
nFAAA
?? ?? *1
d e t
1
nnFA ??
0det ?A
nnFA ?? nnFB ??
AA d e t
1d e t 1 ??
TT AA )()( 11 ?? ? A
AAA d e t
1)()( *11* ?? ?? 11 1)( ?? ? AA
??
111)( ??? ? ABAB
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抽象空间
? 线性空间
设, 称 X为数域 F（ 实数域 R或复数域 C） 上的线性空间，若,
– X是一个加法交换群 (或称阿贝尔群,Abel Group）
定义了加法 +：,称 x + y 为 x,y的和，且满足,
1,加法交换律,
2,加法结合律,
3,零元的存在性：,使得,有
4,相反元素的存在性：,,使得
可以证明零元与相反元素在 X中都是唯一的
– 定义数乘×：,,,可确定唯一元
素,称之为数乘元素的积，且满足,
5,数乘结合率,
6,1x = x,
7,分配律,
8,分配律,
??X
XXX ??
xyyx ??? Xyx ??,
zyxzyx ????? )()(
X??0
Xzx ??,,
Xx?? Xx??? 0)( ??? xx
Xx?? xx ?? 0
XXF ?? F??? Xx??
Xx???
xx )()( ???? ?
xxx ???? ??? )( XxF ????,,??
XyxF ????,,?yxyx ??? ??? )(
XxF ????,,??
Xx??
若 F = R,则 X为实线性空间； F = R,则 X为复线性空间
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零元和相反元素唯一性的证明
? 零元的唯一性,
反证法：假设线性空间 X中还存在其它零元，任取其一，例如,
则由对 0的定义,
又由对 的定义,
应用交换律比较上两式，等式右边应该相等，即,所以零元
是唯一的
? 相反元素的唯一性,
反证法：假设线性空间 X中还存在其它负元素，任取其一，例如,
考察和,
应用结合律,
而根据相反元素的定义,
又：,易见,
所以线性空间中的相反元素是唯一的
0?
000 ????
000 ???
00 ??
)( xxx ?????
))(()()( xxxxxx ???????????
xxxxx ???????????? )(0)()(
xxxxx ?????????? 0))(( xx ????
0?
x??
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线性空间举例
? 直线 R,
– 即具有普通加法和乘法运算的全体实数集
? 平面
– XOY平面上所有点的集合，加法即向量加法，满足平行四边形法
则；数乘即数乘向量，即向量按比例伸长或缩短
? 实 n维空间
– 所有 n个实数组 的全体
? [a,b]上的连续函数构成的空间 C[a,b]
– 加法即函数的加法，数乘即数乘以函数
? 空间,,
– 此空间中的点为满足条件 的数列（或无穷维向
量）,
RRR ??2
?? ??? ?? ?个nn RRRR ????
),,,( 21 nx ??? ??
pl ???? p1
数列的所有元是 p次绝对可和的
???? ?? pn n1 ?
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线性空间举例（ Continue）
– 空间 的加法,
– 空间 的数乘,
,,？ 即,
由 Minkowski不等式,
当右边的两个级数收敛时，左边的级数也收敛,
),,,,(),,,,( 2121 ???? nnx ?????? ??
),,,,(),,,( 2121 ??? nn ?????????? ?
pl
pl
),,,,( 2211 ?? nn ?????? ????
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????? ?? pn nn1 ??
ppp p
n n
p
n n
p
n nn
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信息科学与工程学院
线性空间的其它概念
? 线性算子
– 设 X与 Y是同一数域 F上的线性空间，则称映射 为线性
映射，又称 线性变换, 线性算子
X Y
F?? ??,
Xxx ?? 21,
1x
2x
)( 1xf
)( 2xf
1x?
2x?
)( 1xf?
)( 2xf?
21 xx ?? ? )()( 21 xfxf ?? ?
YXf ?:
f
信息科学与工程学院
线性空间的其它概念 (Continue)
? 线性泛函
– 线性映射的定义中，若 Y = F (实数域 R or复数域 C),则称 f为 线性
泛函
X
X
R
C
f
f
信息科学与工程学院
线性空间的其它概念 (Continue)
? 恒等算子,
I是线性算子，线性空间 X中的任一元素，映射为 X中的同一元素
? 零算子,
,, （ Y中零元素，非 F中 0）
零算子是线性算子
? 线性空间的同构
– 称线性算子 f为 X → Y 上的线性同构映射：若 f为一一映射
– 称同一数域 F上两线性空间是同构的，或称 X同构于 Y,若存在一
个从 x到 y上的一一对应的线性映射。
xIxXXI ??,:
YXT ?,Xx?? 0?Tx
信息科学与工程学院
线性空间的其它概念 (Continue)
? 同构线性空间的性质,
– X同构于其本身； （取恒等映射 为同构映射即得）
– 若 X同构于 Y,则 Y同构于 X； （ 取 X → Y同构映射的逆映射，为
Y → X 的同构映射）
– 若 X同构于 Y,Y同构于 Z,则 X同构于 Z； （ 取 X → Y的同构映射 f与 X
→ Y的同构映射 g的复合映射 为 X → Z上的同构映射即得）
? 线性组合,
设,若,,使得
则称 x是 的线性组合
XXI ?:
fg?
Xx? F
n ?? ??? ?,,21 Xxxx n ?? ?,,21
nn xxxx ??? ???? ?2211
nxxx ?,,21
信息科学与工程学院
线性空间的其它概念 (Continue)
? 线性相关、线性无关,
设,如果,且不全为零，使得
则称向量组 是 线性相关 的
否则，称 是 线性无关 的，换言之，若
则称 线性无关
? 线性空间的维数（ dimension） 和基（ base）
– 如果在线性空间 X中可找到 n个线性无关的向量，而 X中的任意 n + 1
个向量都是线性相关的，则称 X的维数为 n,记作,
– 若, X中总存在 m个线性无关的向量，则称 X是无限维的，记作,
– n维线性空间 X中由 n个线性无关的向量组成的向量组，称为 X的一组
基
Fn ?? ??? ?,,21Fxxx n ??,,21
02211 ???? nn xxx ??? ?
nxxx ?,,21
nxxx ?,,21
00 212211 ????????? nnn xxx ?????? ??
nxxx ?,,21
Nm??
??Xdim
nX ?dim
信息科学与工程学院
线性空间的其它概念 (Continue)
? 线性子空间,
如果线性空间 X的 非空子集 L按照 X中的加法和数乘运算构成一线性空间，
则称 L为 X的线性子空间
举例,
1,若,有,则 L是 X的线性子空间；
2,X和 {0}是 X的线性子空间，异于 X和 {0}的子空间称为真子空间；
3,spanA（ A的线性包）：设 A是线性空间 X的子集，作所有可能的 A中
向量的线性组合,其中,且,则
是 X的一个线性子空间，称之为由 A张成的子空间（由 A生成的子空
间或 A的线性包），记作 spanA
4,设 X是线性子空间，,集合 是子空间，当
时，是由 x生成的一维子空间
LyxF ????,,,??
? ?ni ii xa1
Lyx ?? ??
AxF ii ??,? Nn??
Xx?? }:{ Fx ??? 0?x
信息科学与工程学院
线性方程组解的结构
? 齐次方程组解的结构
– 解集的几何特征
设 W是 F上齐次线性方程组
AX = 0
所有解的集合，则
1,W是 ( 或 ） 的子空间
2,；
3,若 A由初等行变换和某些列对换
化为分块矩阵
其中 r < n
nnrnrr FCI ??? ??
?
?
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?
00
)(
nF nR nC
rnW ??d im
信息科学与工程学院
线性方程组解的结构（ Continue）
那么矩阵
的 n – r 个列向量 是 W的基
– 称 W为齐次线性方程组 AX = 0的解空间
– 解空间 W的基称为 AX = 0的基础解系
– F上齐次线性方程组 AX = 0的解 是其任一基础解系
的线性组合
通常称为齐次线性方程组 AX = 0的通解或一般解
0X
rn ????,,,21 ?
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2211 ),(),(),(
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rn
rnr
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0X
信息科学与工程学院
线性方程组解的结构（ Continue）
? 非齐次线性方程组解的结构
– 非齐次线性方程组的一个确定的解称为它的特解
– F上非齐次线性方程组
的解 X,等于它的任一特解 与其对应非齐次线性方程组 AX = 0的
通解 之和
– X通常称为非齐次线性方程组 AX = B的通解或一般解
0X
1X
01 XXX ??
BAX ? 1,?? ?? mnmr FBFA
信息科学与工程学院
矩阵的特征值与特征向量
? 方阵的特征值与特征向量
– 设,如果 和,使得
成立，则称 λ为 A的特征值，称 x为 A的对应于特征值 λ的特征向量
? 特征矩阵
– 设,称
为 A的特征矩阵
nnFA ?? F??? nFx ???0
xAx ??
nnFA ??
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n
n
aaa
aaa
aaa
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21
22221
11211
信息科学与工程学院
矩阵的特征值与特征向量（ Continue）
? 特征多项式
– 特征矩阵的行列式
称为 A的特征多项式
? 特征方程
– 设,称方程
为 A的特征方程（首一的一元 n次方程）
– A的特征值的等价定义,A的特征方程在 F上的根称为 A的特征值
有非零解,
nnFA ??
0)d e t ( ?? AI?
0)d e t ( ?? AI? 0)( ?? xAI?
xAx ??
0?x
)de t ( AI ??
信息科学与工程学院
矩阵的特征值与特征向量（ Continue）
? 举例,
– 求
的特征值与特征向量
A的特征多项式,
易见 A的特征值,
?
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242
422
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A
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021
101
B
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242
422
221
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221 ??? ?? 73 ???
信息科学与工程学院
矩阵的特征值与特征向量（ Continue）
求 A的属于 的特征向量，即求解方程
– 基础解系
221 ??? ??
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442
442
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rI )( rnrC ??
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1
0
2
2p
全部特征向量,
2211 pkpk ?
Fkk ?21,不同时为 0
信息科学与工程学院
矩阵的特征值与特征向量（ Continue）
同理可求 A的属于 的特征向量
B的特征值为,在求 B的属于 2的特征向量时，由于
– 基础解系
73 ???
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001
104
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1
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1
0
0
)3,2(3 Ip 全部特征向量,33pk
Fk ?? 30
2,1 321 ??? ???
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010
001
000
100
001
100
100
001
)3,2(
322
)1(2
3)4(1
2)3(1
矩阵理论
兰州大学信息科学与工程学院
2004年
信息科学与工程学院
目的和内容
? 矩阵理论是求解多元线性方程组的有力工具；
? 现代工程中的一些问题，如果用矩阵表示，不但形式简洁，
更重要的是具有适合计算机处理的特点。由于计算机的发
展和普及，矩阵分析显得越来越重要；
– 举例
? 教学目的,
– 掌握主要的概念；
– 能够看懂相关文献，尤其是各种术语和符号的含义；
– 掌握与泛函分析交叉或相关的一些内容
? 许多领域日益增多的文献中大量使用泛函分析的术语、符号
? sup(*),inf(),?
信息科学与工程学院
动态系统的描述
? 电路系统
L
C
R2
R1
u(t) u(t) iL iC
)()(1 tudtdiLiiR LLC ???
)()( 21 tuiRuiiR ccLC ????
dt
duCi c
c ?
)()( 1)( 1)(
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CRRuCRRiCRR
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CL
L
C ????????
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2
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21 tu
LRR
Ru
LRR
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LRR
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21
2
21
2
21
21
22 tuRR
Ru
RR
Ri
RR
RRuCRiRty
CLCC ????????? ?
代入 (1)
代入 (2)
(1)
(2)
信息科学与工程学院
动态系统的描述 (Continue)
)(
)(
)(
)(
1
)(
)()(
21
21
21
21
2121
1
21
1
21
21
tu
LRR
RR
LRR
RR
u
i
CRRCRR
R
LRR
R
LRR
RR
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i
C
L
C
L
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2
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2
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tu
RR
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RR
RR
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写成矩阵形式,
X? A X B U
Y C D X U
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DUCXY ??
信息科学与工程学院
动态系统的描述 (Continue)
? 机械系统的振动
m
y(t)
F(t) ? ? maF ? ??? Kf FFtFF )(
dt
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f
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)()()()(22 tFtKydt tdyfdt tydm ??? )()( tytv ??
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写成矩阵形式,
X? A X B U
BUAXX ???
信息科学与工程学院
动态系统的描述 (Continue)
? 离散系统
离散时间系统 x(n) y(n) )1()()( ???? nynyny
)()1()( nynyny ????
))(()( 1 nyny KK ?????
))(()( 1 nyny KK ?????
)()()()( 0111 nycnycnycnyc NNNN ??????? ?? ?
)()()()( 0111 nxdnxdnxdnxd MMMM ???????? ?? ?
)()1()1()( 110 NnyaNnyanyanya NN ???????? ??
)()1()1()( 110 MnxbMnxbnxbnxb MM ????????? ??
?? ?? ??? Mr rNk k rnxbknya 00 )()(
信息科学与工程学院
动态系统的描述 (Continue)
? 引入中间变量，化高阶差分方程为一阶线性差分方程组
)1()1()()()1( 0121 ???????????? NnxNnyNnxNnmNnm ??
)()()( 01 NnyNnxNnm ????? ?
)1()2()2()()()1( 10232 ??????????????? NnxNnxNnyNnxNnmNnm ???……
)1()1()()()()()1( 1101 ?????????????? ?? NnxnxnxnyNnxNnmNnm NNNN ???? ?
Na?
1?? Na
2?? Na
…
0a?+
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)()1()( 01 nyaNnyaNnya NN ??????? ? ?
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……
……
))(1( 101101 ??? ?????? MMM aaaMnx ??? ?
))(( 0110 MMM aaaMnx ??? ????? ? ?
))(( 00?anx?
0
0
0b
Mb
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= 0
信息科学与工程学院
动态系统的描述 (Continue)
)1()1()()()1( 0121 ???????????? NnxNnyNnxNnmNnm ??
)()()( 01 NnyNnxNnm ????? ?
)1()2()2()()()1( 10232 ??????????????? MnxNnxNnyNnxNnmNnm ???……
)1()1()()()()()1( 1101 ?????????????? ?? NnxnxnxnyNnxNnmNnm NNNN ???? ?
)()()()(
0
12
0
11
01
NnmaaNnmaaNnmaaNnm NNNN ???????? ?? ?
写成矩阵形式,
)1(
)1(
)1(
)1(
000
010
)(
)(
)(
2
2
2
1
2
1
0
1
0
1
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a
a
N
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1
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nm
nm
nm
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)1()1(( ???? nHxnGMnM
)()()( nDxnCMny ??
信息科学与工程学院
相关概念及定义
? 矩阵 (Matrix)
– 矩阵是数域 F上的 m× n个数构成的数表,
称为 F上 m行,n列的矩阵，记为 A
称为 A的第 i行、第 j列元素，记为 (A)ij
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
21
22221
11211
Faij ? i = 1,…,m,j = 1,…,n
ijij aA ?)(
信息科学与工程学院
相关概念及定义（ continue）
– 数域 F上的一切 m行,n列的矩阵的集合，记为,
– 若,,则称矩阵 A与 B同型
? 数域（ Field）
– 若数集 F含有数 1且对四则运算封闭，则称 F为数域
? 映射（ Mapping）
– 若,,若存在一个对应关系（或对应法则，
correspondence relationship or correspondence rule），,
有 Y中的唯一的一个元素 y与之对应，就称给出了一个从 X到 Y的一
个映射 f,记作,f,X→ Y,或 y = f(x)
– 映射是函数概念的推广，它与函数、算子、变换表示的是同一个
概念
– 特别地，当 Y为数集 (实数集 R或复数集 C)时，称 f为定义在集合 X
上的 泛函（ functional）
nmF ?
nmFA ?? nmFB ??
??X ??Y
Xx??
信息科学与工程学院
相关概念及定义（ continue）
? 直积集
– 设 A,B是给定的 集合，称
为 A与 B的 直积集,简称 积集, 直积
– 举例,
?,,那么
表示 XOY平面上矩形中点的集合
? 表示 XOY平面上所有点的集合
– A× B中的元素被称为有序对，即当 时,
– 直积集的概念可被推广到两个以上给定的集合,
? ?ByAxyx ??,:),(BA?
RbaA ?? ],[ RdcB ?? ],[
],[],[ dcbaBA ???
2RRR ??
21212211,),(),( yyxxyxyx ????
yx? ),(),( xyyx ?
? ?nnnn AxAxAxxxxAAA ???????,,,:),,( 22112121 ???
?
?
n
i
iA
1
记为,
信息科学与工程学院
相关概念及定义（ continue）
? 代数运算
– 如果通过法则 ?，, 得到唯一的,则
称 ?为 A与 B的直积集到 C的一个代数运算,
– 称 c为 和 经运算 ?得出的结果，记为,
? 集合 A对运算 ?封闭,
– 若 ?是 的一个代数运算，则称集合 A对运算封闭
– N和 Z不是数域
– Q,R和 C都是数域
– Q是最小的数域
– C是最大的数域
Cc?BbAa ????,
CBA ??:?
bac ??
Aa? Bb?
AAA ??
信息科学与工程学院
相关概念及定义（ continue）
在矩阵的定义的基础上，可定义矩阵相等、负矩阵、零矩阵、
方阵、单位阵、对角阵、逆矩阵等
?矩阵相等
设,,若
则称矩阵 A与 B相等，记为 A = B
?负矩阵
对
称 -A 为 A的负矩阵
?零矩阵
元素全为零的矩阵，称为零矩阵，记为 0
nmFA ?? nmFB ??
ijij BA )()( ?
,i = 1,…,m,j = 1,…,n
nmij Fa ??? )(
nmij FaA ??? )(
信息科学与工程学院
相关概念及定义（ continue）
? 方阵（ Square matrix）
行数和列数相同的矩阵称为方阵，行数为 n的方阵称为 n阶方阵。
对方阵，又定义了 主对角线元素, 副对角线元素 等概念,
称 为主对角线元素
称 为副对角线元素
? 对角阵（ diagonal matrix）
除了主对角线元素以外，其余元素均为 0的方阵，称之为对角阵。
? 单位阵（ Identity matrix）
主对角线元素全为 1的对角阵，称之为单位阵。简记为 I。
N阶单位阵记为
nnaaa,,,2211 ?
nnn aaa 11,21,,,??
nI
信息科学与工程学院
矩阵运算
? 矩阵加法,
设,
称 为矩阵 A与 B之和。
矩阵加法是 的代数运算，性质,
交换律,A + B = B +A
结合律,(A + B) + C = A + (B + C)
A + 0 = 0 + A = A
A+ (-A) = (-A) + A = 0
? 矩阵减法,
设,
称 为矩阵 A与 B之差。
m x nij FaA ?? )( m x nij FbB ?? )(
m xnijij FbaBA ???? )(
m x nm x nm x n FFF ??
mxnFA? mxnFB ?
m x nFBABA ?????? )(
信息科学与工程学院
矩阵运算（ Continue）
? 数乘矩阵,
设,
称 为 λ 与之积。
推论
数乘矩阵是 的一个代数运算，性质,
1。
2。 分配律
3。 分配律
4。 结合律
? 矩阵乘法,
设
令
F?? m x nij FaA ?? )(
m x nij FaA ?? )(??
:)1( AA ???
m x nm x n FFF ??
AA?1
BABA ??? ??? )(
AAA 2121 )( ???? ???
)()()( 211221 AAA ?????? ??
,)( m xnij FaA ?? n x pij FbB ?? )(
Fbabababac n
k
kjiknjinjijiij ?????? ?
? 1
2211 ?
,,,1 mi ??,,,1 pj ??
信息科学与工程学院
矩阵运算（ Continue）
称
为 A与 B之 积
(1)A的列数 = B的行数 ;
(2)AB的行数为 A的行数,列数为 B的列数 ;
(3)AB的 i行 j列元素为 A的 i行元素与 B的 j列对应元素之积之和
举例,
m xpFa ijAB ?? )(
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
1
2
1
4
A ? ?1011??B
?
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?
?
?
??
?
?
1011
2022
1011
4044
AB
? ?4??BA
信息科学与工程学院
矩阵运算（ Continue）
AB≠BA,矩阵乘法不满足交换律
A ≠ 0； B ≠ 0,但 AB = 0。
矩阵乘法是 的一个代数运算，它有以下性质,
1° (AB)C =A(BC) 结合律
2° (A + B)C = AC + BC 分配律
A(B+C) = AB + AC 分配律
3° (λA)B = A(λB) = λ(AB) 结合律
4° A是方阵,AI = IA = A
m x pn x pm x n FFF ??
000 0042 2136 12 ???
?
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???
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??AB
???
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???
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36
12A
???
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???
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?
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42
21B
F??
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矩阵运算 (Continue)
? 方阵的幂（ Power)
设
称
为 A的 k次幂，并定义
因为矩阵乘法满足结合律，所以
又因矩阵乘法不满足交换律，一般地,
,nxnFA? Nk?
????? ?个kk AAAA ?
IA?0
21212121 )(,kkkkkkkk AAAAA ?? ?
kkk BAAB ?)(
2222))(( BABBAABABABA ????????
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转置矩阵和分块矩阵
? 转置矩阵（ Transposed matrix）
可将对矩阵行与列的研究，转化为对其中之一的研究
设
称
为 A的转置矩阵，有的教科书上记为
易见,
转置矩阵具有以下性质,
可用数学归纳法推广至多个矩阵的情形
m x nij FaA ?? )(
mn
mnnn
m
m
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aaa
aaa
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转置矩阵和分块矩阵
? 分块矩阵
用水平线或垂直线将矩阵 分成若干个小矩阵，并将 A视
为以这些小矩阵为元素组成的矩阵，称之为 A的分块矩阵，其中的
每个小矩阵称为 A的子矩阵。
一般用 表示 r行 s列的分块矩阵,Aij为其第 i行第 j列上的子
矩阵
? 分块矩阵的相等
– 若两个分块矩阵恢复成普通矩阵是相等，则称此两分块矩阵相等
? 对, 用相同的划分法分为分块矩阵，则
矩阵加法、减法和数乘矩阵的法则可推广到分块矩阵上
A?
mxnFA?
srijA ?)(
i = 1,…,r,j = 1,…,s
mxnFA? mxnFB ?
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分块矩阵的加法、减法、数乘
其中, 则
1。
2。
将 的列,的行用相同的划分法划分为分块矩阵，
则矩阵乘法可推广到分块矩阵上。
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分块矩阵的乘法和转置
令
其中,则
? 分块矩阵的转置
– 欲求分块矩阵的转置，只要将其对应行列互换，然后将其中的每
个子矩阵转置即可
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分块矩阵的乘法和转置
则其转置矩阵为
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矩阵的秩
? 矩阵的秩
– 矩阵 A的 k阶子式
设,在 A中任取 k行,k列
位于这些行列相交处的元素构成的 k阶行列式称为矩阵 A的一个 k阶子式
– 若, A中非零子式的最高阶数 r称为 A的秩，记为,
– 若,则定义
– F上所有 m行 n列且秩为 r的矩阵的集合记为,
– 若,称 A是行满秩的；否则称 A是行降秩的，即 r < m
– 若,称 A是列满秩的；否则称 A是列降秩的，即 r < n
? 方阵与其行列式的关系,
–, rankA = n,称方阵满秩、非奇异
–, rankA < n,称方阵降秩、奇异
mxnFA? )),m i n (1( nmk ??
nmFA ??? 0 0rank ?A
Ar rank?
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nmmFA ??
nmnFA ??
0det ?A
0det ?A
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矩阵的秩 (Continue)
? 矩阵的秩的性质
– 矩阵与其转置矩阵的秩相等,
– 初等变换不改变矩阵的秩
–,则,满秩方阵的乘积仍满秩
– 可经有限次初等变换化为
且 A可表示为
其中,、,i = 1,…,r,j = 1,…,t是 F上的初等阵
– 推论：数域 F上的满秩阵可被分解为 F上的初等阵之积
– 可经初等行（列）变换化为单位阵，而单位阵在同样
的行（列）变换下化为
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nmrij FaA ??? )(
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逆矩阵和矩阵的逆
? 方阵的逆 (Inverse)
对,若存在同阶方阵 B,使得
AB = BA = I
则称 A可逆,并称 B为 A的逆矩阵,简称为 A的逆，记为
? 伴随矩阵 (Adjacent matrix)
对, 为 detA中元素 aij的代数余子式，则称
为 A的伴随矩阵,detA为 方阵 A的行列式（ determinate）
– 伴随矩阵的性质,
若,则
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n
n
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aaa
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逆矩阵和矩阵的逆 (Continue)
? 逆存在的条件,
方阵 有逆的充分必要条件为,
且满足此条件时,A有唯一的逆,
– 若,则称 A是满秩的 （或称 A是非奇异的 ），否则，称
A是降秩的 （或称 A是奇异的 ）
? 逆的性质
– 若,,则,
,可推广至有限个满秩方阵相乘的情形
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1
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抽象空间
? 线性空间
设, 称 X为数域 F（ 实数域 R或复数域 C） 上的线性空间，若,
– X是一个加法交换群 (或称阿贝尔群,Abel Group）
定义了加法 +：,称 x + y 为 x,y的和，且满足,
1,加法交换律,
2,加法结合律,
3,零元的存在性：,使得,有
4,相反元素的存在性：,,使得
可以证明零元与相反元素在 X中都是唯一的
– 定义数乘×：,,,可确定唯一元
素,称之为数乘元素的积，且满足,
5,数乘结合率,
6,1x = x,
7,分配律,
8,分配律,
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xyyx ??? Xyx ??,
zyxzyx ????? )()(
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Xzx ??,,
Xx?? Xx??? 0)( ??? xx
Xx?? xx ?? 0
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XyxF ????,,?yxyx ??? ??? )(
XxF ????,,??
Xx??
若 F = R,则 X为实线性空间； F = R,则 X为复线性空间
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零元和相反元素唯一性的证明
? 零元的唯一性,
反证法：假设线性空间 X中还存在其它零元，任取其一，例如,
则由对 0的定义,
又由对 的定义,
应用交换律比较上两式，等式右边应该相等，即,所以零元
是唯一的
? 相反元素的唯一性,
反证法：假设线性空间 X中还存在其它负元素，任取其一，例如,
考察和,
应用结合律,
而根据相反元素的定义,
又：,易见,
所以线性空间中的相反元素是唯一的
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xxxxx ???????????? )(0)()(
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线性空间举例
? 直线 R,
– 即具有普通加法和乘法运算的全体实数集
? 平面
– XOY平面上所有点的集合，加法即向量加法，满足平行四边形法
则；数乘即数乘向量，即向量按比例伸长或缩短
? 实 n维空间
– 所有 n个实数组 的全体
? [a,b]上的连续函数构成的空间 C[a,b]
– 加法即函数的加法，数乘即数乘以函数
? 空间,,
– 此空间中的点为满足条件 的数列（或无穷维向
量）,
RRR ??2
?? ??? ?? ?个nn RRRR ????
),,,( 21 nx ??? ??
pl ???? p1
数列的所有元是 p次绝对可和的
???? ?? pn n1 ?
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线性空间举例（ Continue）
– 空间 的加法,
– 空间 的数乘,
,,？ 即,
由 Minkowski不等式,
当右边的两个级数收敛时，左边的级数也收敛,
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线性空间的其它概念
? 线性算子
– 设 X与 Y是同一数域 F上的线性空间，则称映射 为线性
映射，又称 线性变换, 线性算子
X Y
F?? ??,
Xxx ?? 21,
1x
2x
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)( 2xf
1x?
2x?
)( 1xf?
)( 2xf?
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线性空间的其它概念 (Continue)
? 线性泛函
– 线性映射的定义中，若 Y = F (实数域 R or复数域 C),则称 f为 线性
泛函
X
X
R
C
f
f
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线性空间的其它概念 (Continue)
? 恒等算子,
I是线性算子，线性空间 X中的任一元素，映射为 X中的同一元素
? 零算子,
,, （ Y中零元素，非 F中 0）
零算子是线性算子
? 线性空间的同构
– 称线性算子 f为 X → Y 上的线性同构映射：若 f为一一映射
– 称同一数域 F上两线性空间是同构的，或称 X同构于 Y,若存在一
个从 x到 y上的一一对应的线性映射。
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YXT ?,Xx?? 0?Tx
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线性空间的其它概念 (Continue)
? 同构线性空间的性质,
– X同构于其本身； （取恒等映射 为同构映射即得）
– 若 X同构于 Y,则 Y同构于 X； （ 取 X → Y同构映射的逆映射，为
Y → X 的同构映射）
– 若 X同构于 Y,Y同构于 Z,则 X同构于 Z； （ 取 X → Y的同构映射 f与 X
→ Y的同构映射 g的复合映射 为 X → Z上的同构映射即得）
? 线性组合,
设,若,,使得
则称 x是 的线性组合
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线性空间的其它概念 (Continue)
? 线性相关、线性无关,
设,如果,且不全为零，使得
则称向量组 是 线性相关 的
否则，称 是 线性无关 的，换言之，若
则称 线性无关
? 线性空间的维数（ dimension） 和基（ base）
– 如果在线性空间 X中可找到 n个线性无关的向量，而 X中的任意 n + 1
个向量都是线性相关的，则称 X的维数为 n,记作,
– 若, X中总存在 m个线性无关的向量，则称 X是无限维的，记作,
– n维线性空间 X中由 n个线性无关的向量组成的向量组，称为 X的一组
基
Fn ?? ??? ?,,21Fxxx n ??,,21
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线性空间的其它概念 (Continue)
? 线性子空间,
如果线性空间 X的 非空子集 L按照 X中的加法和数乘运算构成一线性空间，
则称 L为 X的线性子空间
举例,
1,若,有,则 L是 X的线性子空间；
2,X和 {0}是 X的线性子空间，异于 X和 {0}的子空间称为真子空间；
3,spanA（ A的线性包）：设 A是线性空间 X的子集，作所有可能的 A中
向量的线性组合,其中,且,则
是 X的一个线性子空间，称之为由 A张成的子空间（由 A生成的子空
间或 A的线性包），记作 spanA
4,设 X是线性子空间，,集合 是子空间，当
时，是由 x生成的一维子空间
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线性方程组解的结构
? 齐次方程组解的结构
– 解集的几何特征
设 W是 F上齐次线性方程组
AX = 0
所有解的集合，则
1,W是 ( 或 ） 的子空间
2,；
3,若 A由初等行变换和某些列对换
化为分块矩阵
其中 r < n
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线性方程组解的结构（ Continue）
那么矩阵
的 n – r 个列向量 是 W的基
– 称 W为齐次线性方程组 AX = 0的解空间
– 解空间 W的基称为 AX = 0的基础解系
– F上齐次线性方程组 AX = 0的解 是其任一基础解系
的线性组合
通常称为齐次线性方程组 AX = 0的通解或一般解
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线性方程组解的结构（ Continue）
? 非齐次线性方程组解的结构
– 非齐次线性方程组的一个确定的解称为它的特解
– F上非齐次线性方程组
的解 X,等于它的任一特解 与其对应非齐次线性方程组 AX = 0的
通解 之和
– X通常称为非齐次线性方程组 AX = B的通解或一般解
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BAX ? 1,?? ?? mnmr FBFA
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矩阵的特征值与特征向量
? 方阵的特征值与特征向量
– 设,如果 和,使得
成立，则称 λ为 A的特征值，称 x为 A的对应于特征值 λ的特征向量
? 特征矩阵
– 设,称
为 A的特征矩阵
nnFA ?? F??? nFx ???0
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矩阵的特征值与特征向量（ Continue）
? 特征多项式
– 特征矩阵的行列式
称为 A的特征多项式
? 特征方程
– 设,称方程
为 A的特征方程（首一的一元 n次方程）
– A的特征值的等价定义,A的特征方程在 F上的根称为 A的特征值
有非零解,
nnFA ??
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0)d e t ( ?? AI? 0)( ?? xAI?
xAx ??
0?x
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矩阵的特征值与特征向量（ Continue）
? 举例,
– 求
的特征值与特征向量
A的特征多项式,
易见 A的特征值,
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矩阵的特征值与特征向量（ Continue）
求 A的属于 的特征向量，即求解方程
– 基础解系
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1
0
2
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全部特征向量,
2211 pkpk ?
Fkk ?21,不同时为 0
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矩阵的特征值与特征向量（ Continue）
同理可求 A的属于 的特征向量
B的特征值为,在求 B的属于 2的特征向量时，由于
– 基础解系
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