信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 1
矩阵理论 -第三讲
兰州大学信息科学与工程学院
2004年
信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 2
上节内容回顾
? 方阵相似的定义
? 相似矩阵的性质
– 自反性
– 对称性
– 传递性
– 保秩性
– 行列式相等
– 矩阵函数相似
– 特征多项式、特征值相同
信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 3
上节内容回顾（ Continue）
? 方阵可对角化的定义
? 方阵可对角化的充要条件
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 4
上节内容回顾（ Continue）
? 可对角化方阵的对角化方法
由 的基
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 5
上节内容回顾（ Continue）
? 定义
– Jordan块
– Jordan矩阵
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 6
Jordan标准形（ Continue）
? 化方阵 A为 Jordan标准形
– 特征向量法
设
? 如果 是 A的 单重 特征值 在 A的 Jordan矩阵中 构造一个 1阶 的
Jordan块
? 如果 是 A的 重特征值
有 k个 线性无关的特征向量
或者
此方法适用于以下能唯一确定 Jordan块的特殊情形,
–
–, 个 1阶的约当块，实际上是一个对角块
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1,在 A的 Jordan矩阵中 构
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 7
Jordan标准形（ Continue）
– 特征向量法求矩阵的 Jordan标准形举例 (1)
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2,此 Jordan块的 阶数 等于
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单重根,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 8
Jordan标准形（ Continue）
– 特征向量法求矩阵的 Jordan标准形举例 (2)
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1,在 A的 Jordan矩阵中 构
造 2个 以 2为对角元素
的 Jordan块
2,此 Jordan块的 阶数 等于
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 9
Jordan标准形（ Continue）
? 初等变换法
– 多项式矩阵（ λ矩阵）
元素都是变数 λ的复系数多项式，称为多项式矩阵或 λ -矩阵
– 多项式矩阵的 初等变换 和 秩 的定义与常数矩阵类似
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– 多项式矩阵等价 的定义也与常数矩阵类似
由 经有限次初等变换得到
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– 矩阵多项式
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非零子式的最
高阶数
不恒等于零的
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数
信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 10
Jordan标准形（ Continue）
– 多项式矩阵的 Smith标准型
可通过有限次初等变换化为
– 其中 都是 首一多项式,且
, 多项式 整除
– 由 唯一确定，称之为 的 Smith标准形
? 等价的多项式矩阵具有相同的 Smith标准形
? 方阵的特征矩阵 是一个特殊的多项式矩阵
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 11
Jordan标准形（ Continue）
– 不变因子
称 的 Smith标准形中非零的对角线元素
为 的 不变因子
– 初等因子
将次数大于 0的不变因子 分解为 互不相同 的一次因式的幂的
乘积 （在复数域内，这样的分解是可能的）
称 为 的一个 初等因子
– 不变因子和初等因子的性质
? 多项式矩阵经过初等变换后，其 秩、不变因子、初等因子均不变
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 12
Jordan标准形（ Continue）
例,
求多项式矩阵
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 13
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Jordan标准形（ Continue）
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 14
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Jordan标准形（ Continue）
信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 15
Jordan标准形（ Continue）
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Smith标准形
)(1 ?d )(2 ?d )(3 ?d不变因子,
信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 16
Jordan标准形（ Continue）
? 用初等变换法求 Jordan标准形的步骤
1,用初等变换化特征矩阵 为 Smith标准形，求出不变因子
（ 不恒等于 0）
2,将次数大于 0的不变因子 分解为 互不相同 的一次因式的幂
的乘积
写出 的全部初等因子,
其中
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可能相同
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 17
Jordan标准形（ Continue）
3,写出每个初等因子 对应的 Jordan块
4,以这些 Jordan块构成的 Jordan矩阵
即为方阵 A的 Jordan标准形
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 18
Jordan标准形（ Continue）
– 初等变换法求矩阵的 Jordan标准形举例 (1)
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 19
Jordan标准形（ Continue）
– 初等变换法求矩阵的 Jordan标准形举例 (1)—— Continue
不变因子,
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A的 Jordan标准形,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 20
Jordan标准形（ Continue）
– 初等变换法求矩阵的 Jordan标准形举例 (2)
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 21
Jordan标准形（ Continue）
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– 初等变换法求矩阵的 Jordan标准形举例 (1)—— Continue
不变因子,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 22
Jordan标准形（ Continue）
问题,
求矩阵
的特征矩阵的不变因子和初等因子
解,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 23
Jordan标准形（ Continue）
? 多项式矩阵的 行列式因子
设 对于,称 的一切 k阶
子式的最大公因式 为 的 k阶 行列式因子
– 是一个变数 λ 的多项式；
– 规定 的最高次项的系数是 1（降幂排列是首一的）
– 规定
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 24
Jordan标准形（ Continue）
– 必有 相同的秩 及 相同的各级行
列式因子 ；
? 多项式矩阵的行列式因子和不变因子之间的关系
设,则 的 k阶 行列式因子 为
其中 是 的 不变因子
– 不变因子的等价定义
设, 为 的 k阶行列式因子,则称
为 的不变因子
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)(?A
信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 25
Jordan标准形（ Continue）
问题,
求矩阵
的特征矩阵的不变因子和初等因子
解,
A的特征矩阵为
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 26
Jordan标准形（ Continue）
的行列式因子为
的不变因子为
的全部初等因子为
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 27
Jordan标准形（ Continue）
? 行列式因子法求方阵的 Jordan标准形的步骤
1,求特征矩阵 的 n个行列式因子
2,根据
求出 的不变因子
3,求出 的初等因子，并据此写出 A的 Jordan标准形
),,2,1(,)( nkD k ???
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1
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k
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),,2,1(,)( nid i ???)(?A
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 28
Jordan标准形（ Continue）
– 行列式因子法求方阵的 Jordan标准形举例 (1)
—— 上三角阵
考察 的一个三阶子式,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 29
Jordan标准形（ Continue）
– 行列式因子法求方阵的 Jordan标准形举例 (1)—— Continue
显然，要让 同时整除上面的三阶子式及 是不可能
的，所以,
从而
于是 的不变因子为,
的初等因子为,
A的 Jordan标准形为,
)(3 ?D )(4 ?D
1)(3 ??D
1)()( 12 ?? ?? DD
44321 )1()(,1)()()( ????? ????? dddd
4)1( ??
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 30
Jordan标准形（ Continue）
– 行列式因子法求方阵的 Jordan标准形举例 (2)
考察 的一个三阶子式,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 31
Jordan标准形（ Continue）
– 行列式因子法求方阵的 Jordan标准形举例 (2)—— Continue
考察 的一个三阶子式,
比较,
显然，要让 同时整除上面的三阶子式及 是不可能
的，所以,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 32
Jordan标准形（ Continue）
– 行列式因子法求方阵的 Jordan标准形举例 (2)—— Continue
从而
于是 的不变因子为,
的初等因子为,
A的 Jordan标准形为,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 33
Jordan标准形（ Continue）
– 的相似变换矩阵 P的求法,
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对应的 Jordan块
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A的属于 的特征向量
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 34
Jordan标准形（ Continue）
– 的相似变换矩阵 P的求法 —— Continue,
首先进行相容性判定,
–,则非其次线性方程组无解
–,则有解，且其解为
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 35
Jordan标准形（ Continue）
– 的相似变换矩阵 P的求解举例（ 1）,
设相似变换矩阵,由 可得
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 36
Jordan标准形（ Continue）
– 的相似变换矩阵 P的求解举例（ 1） —— Continue,
考察增广矩阵
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 37
Jordan标准形（ Continue）
– 的相似变换矩阵 P的求解举例（ 1） —— Continue,
所以,的通解为,
取 k = 1,则,那么所用的相似变换矩阵为
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 38
Jordan标准形（ Continue）
– 的相似变换矩阵 P的求解举例（ 2）,
设相似变换矩阵,由 可得
JA~
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 39
Jordan标准形（ Continue）
– 的相似变换矩阵 P的求解举例（ 2） —— Continue,
考察增广矩阵
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213 II
信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 40
Jordan标准形（ Continue）
– 的相似变换矩阵 P的求解举例（ 2） —— Continue,
考察增广矩阵
有解的条件是
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 41
Jordan标准形（ Continue）
– 的相似变换矩阵 P的求解举例（ 2） —— Continue,
由
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 42
Jordan标准形（ Continue）
– Jordan块的幂,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 43
Jordan标准形（ Continue）
– Jordan块的幂,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 44
Jordan标准形（ Continue）
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 45
Jordan标准形（ Continue）
由于,
并且
由二项式定理,
写成矩阵形式即为要证明的结果。 关于 的微分的形式如下,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 46
Jordan标准形（ Continue）
– Jordan矩阵的幂,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 47
Jordan标准形（ Continue）
– Jordan标准形应用举例（ 1）,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 48
Jordan标准形（ Continue）
– Jordan标准形应用举例（ 1） —— Continue,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 49
Jordan标准形（ Continue）
– Jordan标准形应用举例（ 2）
求解线性微分方程组,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 50
Jordan标准形（ Continue）
– Jordan标准形应用举例（ 2） —— Continue,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 51
Jordan标准形（ Continue）
– Jordan标准形应用举例（ 2） —— Continue,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 52
Jordan标准形（ Continue）
– Jordan标准形应用举例（ 2） —— Continue,
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矩阵理论 -第三讲
兰州大学信息科学与工程学院
2004年
信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 2
上节内容回顾
? 方阵相似的定义
? 相似矩阵的性质
– 自反性
– 对称性
– 传递性
– 保秩性
– 行列式相等
– 矩阵函数相似
– 特征多项式、特征值相同
信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 3
上节内容回顾（ Continue）
? 方阵可对角化的定义
? 方阵可对角化的充要条件
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1
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 4
上节内容回顾（ Continue）
? 可对角化方阵的对角化方法
由 的基
构成的矩阵
可使
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11
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 5
上节内容回顾（ Continue）
? 定义
– Jordan块
– Jordan矩阵
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 6
Jordan标准形（ Continue）
? 化方阵 A为 Jordan标准形
– 特征向量法
设
? 如果 是 A的 单重 特征值 在 A的 Jordan矩阵中 构造一个 1阶 的
Jordan块
? 如果 是 A的 重特征值
有 k个 线性无关的特征向量
或者
此方法适用于以下能唯一确定 Jordan块的特殊情形,
–
–, 个 1阶的约当块，实际上是一个对角块
nxnCA?
1,在 A的 Jordan矩阵中 构
造 k个 以 为对角元素
的 Jordan块
2,k个 Jordan块的 阶数之
和 等于
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 7
Jordan标准形（ Continue）
– 特征向量法求矩阵的 Jordan标准形举例 (1)
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1,在 A的 Jordan矩阵中 构
造 1个 以 1为对角元素
的 Jordan块
2,此 Jordan块的 阶数 等于
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单重根,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 8
Jordan标准形（ Continue）
– 特征向量法求矩阵的 Jordan标准形举例 (2)
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1,在 A的 Jordan矩阵中 构
造 2个 以 2为对角元素
的 Jordan块
2,此 Jordan块的 阶数 等于
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 9
Jordan标准形（ Continue）
? 初等变换法
– 多项式矩阵（ λ矩阵）
元素都是变数 λ的复系数多项式，称为多项式矩阵或 λ -矩阵
– 多项式矩阵的 初等变换 和 秩 的定义与常数矩阵类似
?
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– 多项式矩阵等价 的定义也与常数矩阵类似
由 经有限次初等变换得到
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– 矩阵多项式
对,定义
为矩阵 A的多项式
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非零子式的最
高阶数
不恒等于零的
子式的最高阶
数
信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 10
Jordan标准形（ Continue）
– 多项式矩阵的 Smith标准型
可通过有限次初等变换化为
– 其中 都是 首一多项式,且
, 多项式 整除
– 由 唯一确定，称之为 的 Smith标准形
? 等价的多项式矩阵具有相同的 Smith标准形
? 方阵的特征矩阵 是一个特殊的多项式矩阵
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 11
Jordan标准形（ Continue）
– 不变因子
称 的 Smith标准形中非零的对角线元素
为 的 不变因子
– 初等因子
将次数大于 0的不变因子 分解为 互不相同 的一次因式的幂的
乘积 （在复数域内，这样的分解是可能的）
称 为 的一个 初等因子
– 不变因子和初等因子的性质
? 多项式矩阵经过初等变换后，其 秩、不变因子、初等因子均不变
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)(?A
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 12
Jordan标准形（ Continue）
例,
求多项式矩阵
的 Smith标准形和不变因子
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 13
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Jordan标准形（ Continue）
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 14
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Jordan标准形（ Continue）
信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 15
Jordan标准形（ Continue）
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Smith标准形
)(1 ?d )(2 ?d )(3 ?d不变因子,
信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 16
Jordan标准形（ Continue）
? 用初等变换法求 Jordan标准形的步骤
1,用初等变换化特征矩阵 为 Smith标准形，求出不变因子
（ 不恒等于 0）
2,将次数大于 0的不变因子 分解为 互不相同 的一次因式的幂
的乘积
写出 的全部初等因子,
其中
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可能相同
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 17
Jordan标准形（ Continue）
3,写出每个初等因子 对应的 Jordan块
4,以这些 Jordan块构成的 Jordan矩阵
即为方阵 A的 Jordan标准形
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 18
Jordan标准形（ Continue）
– 初等变换法求矩阵的 Jordan标准形举例 (1)
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 19
Jordan标准形（ Continue）
– 初等变换法求矩阵的 Jordan标准形举例 (1)—— Continue
不变因子,
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A的 Jordan标准形,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 20
Jordan标准形（ Continue）
– 初等变换法求矩阵的 Jordan标准形举例 (2)
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 21
Jordan标准形（ Continue）
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– 初等变换法求矩阵的 Jordan标准形举例 (1)—— Continue
不变因子,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 22
Jordan标准形（ Continue）
问题,
求矩阵
的特征矩阵的不变因子和初等因子
解,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 23
Jordan标准形（ Continue）
? 多项式矩阵的 行列式因子
设 对于,称 的一切 k阶
子式的最大公因式 为 的 k阶 行列式因子
– 是一个变数 λ 的多项式；
– 规定 的最高次项的系数是 1（降幂排列是首一的）
– 规定
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 24
Jordan标准形（ Continue）
– 必有 相同的秩 及 相同的各级行
列式因子 ；
? 多项式矩阵的行列式因子和不变因子之间的关系
设,则 的 k阶 行列式因子 为
其中 是 的 不变因子
– 不变因子的等价定义
设, 为 的 k阶行列式因子,则称
为 的不变因子
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)(?A
信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 25
Jordan标准形（ Continue）
问题,
求矩阵
的特征矩阵的不变因子和初等因子
解,
A的特征矩阵为
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 26
Jordan标准形（ Continue）
的行列式因子为
的不变因子为
的全部初等因子为
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 27
Jordan标准形（ Continue）
? 行列式因子法求方阵的 Jordan标准形的步骤
1,求特征矩阵 的 n个行列式因子
2,根据
求出 的不变因子
3,求出 的初等因子，并据此写出 A的 Jordan标准形
),,2,1(,)( nkD k ???
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)1()( )()(
1
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k
k
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),,2,1(,)( nid i ???)(?A
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 28
Jordan标准形（ Continue）
– 行列式因子法求方阵的 Jordan标准形举例 (1)
—— 上三角阵
考察 的一个三阶子式,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 29
Jordan标准形（ Continue）
– 行列式因子法求方阵的 Jordan标准形举例 (1)—— Continue
显然，要让 同时整除上面的三阶子式及 是不可能
的，所以,
从而
于是 的不变因子为,
的初等因子为,
A的 Jordan标准形为,
)(3 ?D )(4 ?D
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44321 )1()(,1)()()( ????? ????? dddd
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 30
Jordan标准形（ Continue）
– 行列式因子法求方阵的 Jordan标准形举例 (2)
考察 的一个三阶子式,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 31
Jordan标准形（ Continue）
– 行列式因子法求方阵的 Jordan标准形举例 (2)—— Continue
考察 的一个三阶子式,
比较,
显然，要让 同时整除上面的三阶子式及 是不可能
的，所以,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 32
Jordan标准形（ Continue）
– 行列式因子法求方阵的 Jordan标准形举例 (2)—— Continue
从而
于是 的不变因子为,
的初等因子为,
A的 Jordan标准形为,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 33
Jordan标准形（ Continue）
– 的相似变换矩阵 P的求法,
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对应的 Jordan块
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A的属于 的特征向量
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 34
Jordan标准形（ Continue）
– 的相似变换矩阵 P的求法 —— Continue,
首先进行相容性判定,
–,则非其次线性方程组无解
–,则有解，且其解为
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 35
Jordan标准形（ Continue）
– 的相似变换矩阵 P的求解举例（ 1）,
设相似变换矩阵,由 可得
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 36
Jordan标准形（ Continue）
– 的相似变换矩阵 P的求解举例（ 1） —— Continue,
考察增广矩阵
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 37
Jordan标准形（ Continue）
– 的相似变换矩阵 P的求解举例（ 1） —— Continue,
所以,的通解为,
取 k = 1,则,那么所用的相似变换矩阵为
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 38
Jordan标准形（ Continue）
– 的相似变换矩阵 P的求解举例（ 2）,
设相似变换矩阵,由 可得
JA~
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 39
Jordan标准形（ Continue）
– 的相似变换矩阵 P的求解举例（ 2） —— Continue,
考察增广矩阵
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213 II
信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 40
Jordan标准形（ Continue）
– 的相似变换矩阵 P的求解举例（ 2） —— Continue,
考察增广矩阵
有解的条件是
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 41
Jordan标准形（ Continue）
– 的相似变换矩阵 P的求解举例（ 2） —— Continue,
由
可得
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 42
Jordan标准形（ Continue）
– Jordan块的幂,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 43
Jordan标准形（ Continue）
– Jordan块的幂,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 44
Jordan标准形（ Continue）
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 45
Jordan标准形（ Continue）
由于,
并且
由二项式定理,
写成矩阵形式即为要证明的结果。 关于 的微分的形式如下,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 46
Jordan标准形（ Continue）
– Jordan矩阵的幂,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 47
Jordan标准形（ Continue）
– Jordan标准形应用举例（ 1）,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 48
Jordan标准形（ Continue）
– Jordan标准形应用举例（ 1） —— Continue,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 49
Jordan标准形（ Continue）
– Jordan标准形应用举例（ 2）
求解线性微分方程组,
写成矩阵形式,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 50
Jordan标准形（ Continue）
– Jordan标准形应用举例（ 2） —— Continue,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 51
Jordan标准形（ Continue）
– Jordan标准形应用举例（ 2） —— Continue,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 52
Jordan标准形（ Continue）
– Jordan标准形应用举例（ 2） —— Continue,
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