信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 1
矩阵理论 -第三讲
兰州大学信息科学与工程学院
2004年
信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 2
上节内容回顾
? 方阵相似的定义
? 相似矩阵的性质
– 自反性
– 对称性
– 传递性
– 保秩性
– 行列式相等
– 矩阵函数相似
– 特征多项式、特征值相同
信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 3
上节内容回顾( Continue)
? 方阵可对角化的定义
? 方阵可对角化的充要条件
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 4
上节内容回顾( Continue)
? 可对角化方阵的对角化方法
由 的基
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 5
上节内容回顾( Continue)
? 定义
– Jordan块
– Jordan矩阵
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 6
Jordan标准形( Continue)
? 化方阵 A为 Jordan标准形
– 特征向量法

? 如果 是 A的 单重 特征值 在 A的 Jordan矩阵中 构造一个 1阶 的
Jordan块
? 如果 是 A的 重特征值
有 k个 线性无关的特征向量
或者
此方法适用于以下能唯一确定 Jordan块的特殊情形,

–, 个 1阶的约当块,实际上是一个对角块
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1,在 A的 Jordan矩阵中 构
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和 等于
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 7
Jordan标准形( Continue)
– 特征向量法求矩阵的 Jordan标准形举例 (1)
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单重根,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 8
Jordan标准形( Continue)
– 特征向量法求矩阵的 Jordan标准形举例 (2)
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1,在 A的 Jordan矩阵中 构
造 2个 以 2为对角元素
的 Jordan块
2,此 Jordan块的 阶数 等于
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 9
Jordan标准形( Continue)
? 初等变换法
– 多项式矩阵( λ矩阵)
元素都是变数 λ的复系数多项式,称为多项式矩阵或 λ -矩阵
– 多项式矩阵的 初等变换 和 秩 的定义与常数矩阵类似
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– 多项式矩阵等价 的定义也与常数矩阵类似
由 经有限次初等变换得到
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– 矩阵多项式
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高阶数
不恒等于零的
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 10
Jordan标准形( Continue)
– 多项式矩阵的 Smith标准型
可通过有限次初等变换化为
– 其中 都是 首一多项式,且
, 多项式 整除
– 由 唯一确定,称之为 的 Smith标准形
? 等价的多项式矩阵具有相同的 Smith标准形
? 方阵的特征矩阵 是一个特殊的多项式矩阵
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 11
Jordan标准形( Continue)
– 不变因子
称 的 Smith标准形中非零的对角线元素
为 的 不变因子
– 初等因子
将次数大于 0的不变因子 分解为 互不相同 的一次因式的幂的
乘积 (在复数域内,这样的分解是可能的)
称 为 的一个 初等因子
– 不变因子和初等因子的性质
? 多项式矩阵经过初等变换后,其 秩、不变因子、初等因子均不变
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 12
Jordan标准形( Continue)
例,
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的 Smith标准形和不变因子
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 13
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 14
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Jordan标准形( Continue)
信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 15
Jordan标准形( Continue)
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Smith标准形
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 16
Jordan标准形( Continue)
? 用初等变换法求 Jordan标准形的步骤
1,用初等变换化特征矩阵 为 Smith标准形,求出不变因子
( 不恒等于 0)
2,将次数大于 0的不变因子 分解为 互不相同 的一次因式的幂
的乘积
写出 的全部初等因子,
其中
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可能相同
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 17
Jordan标准形( Continue)
3,写出每个初等因子 对应的 Jordan块
4,以这些 Jordan块构成的 Jordan矩阵
即为方阵 A的 Jordan标准形
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 18
Jordan标准形( Continue)
– 初等变换法求矩阵的 Jordan标准形举例 (1)
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 19
Jordan标准形( Continue)
– 初等变换法求矩阵的 Jordan标准形举例 (1)—— Continue
不变因子,
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A的 Jordan标准形,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 20
Jordan标准形( Continue)
– 初等变换法求矩阵的 Jordan标准形举例 (2)
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 21
Jordan标准形( Continue)
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– 初等变换法求矩阵的 Jordan标准形举例 (1)—— Continue
不变因子,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 22
Jordan标准形( Continue)
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解,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 23
Jordan标准形( Continue)
? 多项式矩阵的 行列式因子
设 对于,称 的一切 k阶
子式的最大公因式 为 的 k阶 行列式因子
– 是一个变数 λ 的多项式;
– 规定 的最高次项的系数是 1(降幂排列是首一的)
– 规定
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 24
Jordan标准形( Continue)
– 必有 相同的秩 及 相同的各级行
列式因子 ;
? 多项式矩阵的行列式因子和不变因子之间的关系
设,则 的 k阶 行列式因子 为
其中 是 的 不变因子
– 不变因子的等价定义
设, 为 的 k阶行列式因子,则称
为 的不变因子
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 25
Jordan标准形( Continue)
问题,
求矩阵
的特征矩阵的不变因子和初等因子
解,
A的特征矩阵为
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 26
Jordan标准形( Continue)
的行列式因子为
的不变因子为
的全部初等因子为
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 27
Jordan标准形( Continue)
? 行列式因子法求方阵的 Jordan标准形的步骤
1,求特征矩阵 的 n个行列式因子
2,根据
求出 的不变因子
3,求出 的初等因子,并据此写出 A的 Jordan标准形
),,2,1(,)( nkD k ???
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)1()( )()(
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),,2,1(,)( nid i ???)(?A
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 28
Jordan标准形( Continue)
– 行列式因子法求方阵的 Jordan标准形举例 (1)
—— 上三角阵
考察 的一个三阶子式,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 29
Jordan标准形( Continue)
– 行列式因子法求方阵的 Jordan标准形举例 (1)—— Continue
显然,要让 同时整除上面的三阶子式及 是不可能
的,所以,
从而
于是 的不变因子为,
的初等因子为,
A的 Jordan标准形为,
)(3 ?D )(4 ?D
1)(3 ??D
1)()( 12 ?? ?? DD
44321 )1()(,1)()()( ????? ????? dddd
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 30
Jordan标准形( Continue)
– 行列式因子法求方阵的 Jordan标准形举例 (2)
考察 的一个三阶子式,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 31
Jordan标准形( Continue)
– 行列式因子法求方阵的 Jordan标准形举例 (2)—— Continue
考察 的一个三阶子式,
比较,
显然,要让 同时整除上面的三阶子式及 是不可能
的,所以,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 32
Jordan标准形( Continue)
– 行列式因子法求方阵的 Jordan标准形举例 (2)—— Continue
从而
于是 的不变因子为,
的初等因子为,
A的 Jordan标准形为,
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)(?A
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 33
Jordan标准形( Continue)
– 的相似变换矩阵 P的求法,

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对应的 Jordan块
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A的属于 的广义特征向量
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A的属于 的特征向量
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 34
Jordan标准形( Continue)
– 的相似变换矩阵 P的求法 —— Continue,
首先进行相容性判定,
–,则非其次线性方程组无解
–,则有解,且其解为
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 35
Jordan标准形( Continue)
– 的相似变换矩阵 P的求解举例( 1),
设相似变换矩阵,由 可得
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 36
Jordan标准形( Continue)
– 的相似变换矩阵 P的求解举例( 1) —— Continue,
考察增广矩阵
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 37
Jordan标准形( Continue)
– 的相似变换矩阵 P的求解举例( 1) —— Continue,
所以,的通解为,
取 k = 1,则,那么所用的相似变换矩阵为
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 38
Jordan标准形( Continue)
– 的相似变换矩阵 P的求解举例( 2),
设相似变换矩阵,由 可得
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 39
Jordan标准形( Continue)
– 的相似变换矩阵 P的求解举例( 2) —— Continue,
考察增广矩阵
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213 II
信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 40
Jordan标准形( Continue)
– 的相似变换矩阵 P的求解举例( 2) —— Continue,
考察增广矩阵
有解的条件是
取,则
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 41
Jordan标准形( Continue)
– 的相似变换矩阵 P的求解举例( 2) —— Continue,

可得
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 42
Jordan标准形( Continue)
– Jordan块的幂,
定理,阶 Jordan块
的 k次幂为
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 43
Jordan标准形( Continue)
– Jordan块的幂,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 44
Jordan标准形( Continue)
因此,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 45
Jordan标准形( Continue)
由于,
并且
由二项式定理,
写成矩阵形式即为要证明的结果。 关于 的微分的形式如下,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 46
Jordan标准形( Continue)
– Jordan矩阵的幂,

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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 47
Jordan标准形( Continue)
– Jordan标准形应用举例( 1),
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 48
Jordan标准形( Continue)
– Jordan标准形应用举例( 1) —— Continue,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 49
Jordan标准形( Continue)
– Jordan标准形应用举例( 2)
求解线性微分方程组,
写成矩阵形式,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 50
Jordan标准形( Continue)
– Jordan标准形应用举例( 2) —— Continue,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 51
Jordan标准形( Continue)
– Jordan标准形应用举例( 2) —— Continue,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 3讲 - 52
Jordan标准形( Continue)
– Jordan标准形应用举例( 2) —— Continue,
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