兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -1
矩阵理论 -第八讲
兰州大学信息科学与工程学院
2004年
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -2
上节内容回顾
? Hermite矩阵正定性
? 方阵的范数
1,三角不等式
2,绝对齐性
3,正定性
4,相容性
? 各种矩阵范数
– 1 –
– F – 2 –
– 1 –,2 –
– 与矩阵范数相容的向量范数的存在性
– 从属于向量范数的矩阵范数
– 矩阵的谱半径及其在特征值估计中的应用
0Hx Ax ?0 nxC??HAA?
A B A B? ? ?
00A A A? ? ? ? 0
AA???
A B A B?? v m vA x A x??
1m?
m?? ??
0
m a x v
x
v
AxA
x??
()AA? ?
( ) s u p {, ( ) }? ? ? ???
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -3
矩阵的条件数
? 定义矩阵条件数的工程背景
许多工程问题，常常归结为求解矩阵方程
由于矩阵 A和向量 b的元素一般是系统部件（例如电路元件）的参数值，
或系统输出的观测值，所以不可能没有微小的误差或扰动。
？数据的误差对于问题的解会产生怎样的影响
？怎样度量这种影响
？怎样给出这种误差上界
Ax b?
1
2
2 1 5
2 1, 0 0 0 1 5, 0 0 0 1
x
x
??? ? ? ????? ? ? ?
? ? ? ???
1
2
2 1 5
2 0, 9 9 9 9 5, 0 0 0 2
x
x
??? ? ? ????? ? ? ?
? ? ? ???
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -4
矩阵的条件数
– 当一个方程组由于初始数据的小扰动而使解严重失真时，称之为病态
（坏条件的）方程组，反之，称之为良态（好条件的）方程组。通常
用方程组系数矩阵 A的条件数来刻画方程组的这种性态
>> help cond
COND Condition number with respect to inversion,
COND(X) returns the 2-norm condition number (the ratio of the
largest singular value of X to the smallest),Large condition
numbers indicate a nearly singular matrix,
COND(X,P) returns the condition number of X in P-norm,
NORM(X,P) * NORM(INV(X),P),
where P = 1,2,inf,or 'fro‘
1c o n d ( )A A A ???
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -5
矩阵的奇异值
– 定义
设, 的特征值为
则称
为 A的奇异值
1 2 1 0r r n? ? ? ? ??? ? ? ? ?
( 0 )mnrA C r??? HAA
( 1,2,,)ii in????
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -6
矩阵的条件数
用 MATLAB验证
的条件数
与下面的方程组进行比较,
用
来验证其对误差的鲁棒性（ Robustness）
21
2 1,0 0 0 1A
??? ??
??
1
2
1 2 7
2 1 1
x
x
??? ? ? ????? ? ? ?
??? ? ? ???
1
2
1 2 7
2 0, 9 9 9 1, 0 0 1
x
x
??? ? ? ????? ? ? ?
??? ? ? ???
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -7
矩阵的条件数
– 精度分析
检验 Ax = b解的精度的一般方法，或者用迭代法进行数值求解时，使
迭代终止条件，是将 x代回原方程组计算残差向量
对良态方程组，如果 很小，一般可认为解是好的，或迭代可以中
止，但对病态方正组，这一结论不成立。例如，以
作为
解，则 但上解与其准确解 相差甚远
1
2
3.5
2
x
x
?? ????? ??
?????
1
2
2 1 5
2 1, 0 0 0 1 5, 0 0 0 1
x
x
??? ? ? ????? ? ? ?
? ? ? ???
0
0,0 0 0 3r
??? ??
??
1
2
2
1
x
x
?? ????? ??
????
b Ax? ??
?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -8
矩阵的条件数
– 先分析方程组 Ax = b中只有 b有扰动 的情况。设由 引起的解 x的
扰动为,则（设 ）
由相容性条件,
x?
()A x x b b??? ? ?
Ax b?
A x b???
nnnAC??
1x A b????
1x A b
b A x A x
????
?? bx
A?
11
1
A b A bxb
AA
bx x b
A
??????
?? ? ?
b? b?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -9
矩阵的条件数
– 再分析方程组 Ax = b中只有 A有扰动 的情况。设由 引起的解 x的
扰动为,则（设 ）
当 时
x?
( ) ( )A A x x b??? ? ?
Ax b?
()A x A x x? ? ?? ? ?
nnnAC??
1 ()x A A x x? ? ??? ? ?
A? A?
1 ()x A A x x? ? ??? ? ? ?
11( 1 )A A x A A x? ? ???? ? ?
1 1AA?? ?
11
1
1( 1 ) ( 1 )
A A A AxA
AAA
AA
A
???
??
??
?
?
??
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -10
矩阵的条件数
– 当 A与 b二者均有扰动时，由于 Ax = b的线性特性，其扰动结果为二者
扰动之和
注意到当 时
11
1
1( 1 ) ( 1 )
A A A AxA
AAA
AA
A
???
??
??
?
?
??
? ?
11
1
A b A bxb
AA
bx x b
A
??????
?? ? ?
1 1AA?? ?
11
1
1
11 1
A A A A
AA
AAA
AA
A
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??
?
?
?
??
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -11
矩阵的条件数
当 时
给出 引起的 的绝对误差
给出 引起的 的相对误差
11
1
1
()
( 1 ) ( 1 )
A A A Ax A b
Ax A bAA
AA
A
?? ? ?
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??
?
?
? ? ?
? ?
1 1 1
11
()
1
A A A A A
A A A
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?
? ? ?
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1
1
1( ) )( 1 )
AAA
AA? ?
?
?
??? ?
1 1AA?? ?
?
A?
1A?
1A?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -12
矩阵序列
– 定义
由 中的矩阵构成的与自然数集 N等势的集合
一一映射
– 矩阵序列的收敛
若
则称矩阵序列 收敛于,或称 A为矩阵序列
的极限，记为
或
不收敛的矩阵称为发散
– 矩阵序列收敛的充分必要条件
其中 是 上的任一矩阵范数
mnC?
()l im 1,,; 1,,;kij ij
k a a i m j n?? ? ? ?
()ij m nAa ??(){}kA
()lim k
k AA?? ?
() ()kA A k? ? ?
(){,,0,1,,}k m nA A C k??? ()l im 0k
k AA?? ??
()lim k
k AA?? ?
mnC?
( 1 ) ( 2 ){}AA
(),{ }kf N A? ( ) ( )()kkij m nAa ??
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -13
矩阵序列
证明,
先取 上矩阵的 G – 范数证明上述充要条件
所以
由范数的等价性，对 上的任一矩阵范数,,使得
其中 是 上的任一矩阵范数
( ) ( ) ( )
,m a x
k k ki j i j i j i j
Gija a m n a a A A? ? ? ? ?
()lim k
k AA?? ?
mnC?
()11mn kij ijijm n a a??????
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k a a i j?? ? ? ?
()l i m 0k
Gk AA?? ??
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( ) ( ) ( )k k k
GGA A A A A A??? ? ? ? ?
mnC?
()l im 0k
k AA?? ??
()lim k
k AA?? ?()l i m 0k G
k AA?? ??
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -14
矩阵序列
推论,
设
逆命题不成立
不收敛
( ) ( )kkA A A A? ? ?
( ) ( ){,,0,1,,}k k m nA A C k???
()l im 0k
k AA?? ??
()lim k
k AA?? ?
()lim k
k AA?? ?
,mnCR??? ? ?
()
2
1l i m l i m 6 6
( 1 )
k
FkkA k? ? ? ?? ? ??
()11{}ka
()
1( 1 )
1
12
k
kA k
???
??? ?
??
()?kkA? ? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -15
矩阵序列
推论,
设
由此推论可得,
若
( ) ( )kkA A A A? ? ?
( ) ( ){,,0,1,,}k k m nA A C k???
()l im 0k
k AA?? ??
()lim
k AA?? ?
()lim k
k AA?? ?
( ) ( )l im ( )kk
k A B A B? ? ? ??? ? ? ?
( ) ( )l im ( )kk
k A B A B?? ?
()lim k
k AA?? ?
()lim k
k BB?? ?
( ) ( ),,,,0,1,k k m nA B A B C k???
( ) ( ),,,0,1,k m p k p nA A C B B C k??? ? ?
,mnCR??? ? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -16
矩阵序列
上述命题可根据充要条件来证明,
由 可证
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )k k k kA B A B A A B B? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k k k k kA B AB A B A B A B AB? ? ? ? ?
( ) ( )kkA A B B??? ? ? ?
( ) ( ) ( )( ) ( )k k kA B B A A B? ? ? ?
( ) ( ) ( )k k kA B B A A B? ? ? ? ? ?
()lim k
k AA?? ?
()lim k
k BB?? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -17
矩阵序列
若
则
若 A存在，但不可逆时，上述定理不成立
()l im d e t d e t 0k
k AA?? ??
( ) 1 1l im ( )k
k AA
??
?? ?
( ) ( ){,,0,1,,}k k n n n nnnA A C k A C??? ? ?
()l im a d j a d jk
k AA?? ?
()( ) 1 1
()
a d j a d jl im ( ) l im
d e t d e t
kk
kkk
AAAA??
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()
111
11
kA k
???
???
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??
11
11A
??? ??
??
det 0A ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -18
矩阵序列
– 由方阵的幂构成的序列、收敛矩阵
– 定义
设,若,则称 A为收敛矩阵
– 为收敛矩阵的充要条件
必要性
充分性
取
nnAC??
lim kk A?? ? 0nnAC??
lim kk A?? ? 0 ( ) 1A? ?
lim kk A?? ? 0 lim 0kk A?? ?
( ) ( ( ) ) 0k k kA A A k??? ? ? ? ?( ) 1A? ?
( ) 1A??? 1 ( ) 0A???? ? ? ? 0 ?????
0???, nnCR??? ()
mAA????
( ) 1mAA??? ? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -19
矩阵序列
– 推论
设,若对,有,则 A为收敛矩阵，即
( ) 1mAA??? ? ?
212 kk k k
m m mm m mA A A A A A??? ? ? ?
1mA ? 0kmAk? ? ? 0k
mAk? ? ?
lim kk A?? ? 0
()lim 0k
k A?? ?lim kk A?? ? 0
()li m 0k
k A?? ??0 lim
k
k A?? ? 0
nnAC??, nnCR? ? 1A ?
lim kk A?? ? 0
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -20
矩阵序列
– 举例
判断下列矩阵是否为收敛矩阵
(1)利用充要条件
A是收敛矩阵
(2)利用充分条件
A是收敛矩阵
181(1 ),
216A
???? ??
???
0.2 0.1 0.2
( 2), 0.5 0.5 0.4
0.1 0.3 0.2
A
??
???
????
( ) 1A? ?
12
51
62??? ? ?
5( ) 1
6A? ??
1A ?
1 0,9 1A ??
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -21
矩阵级数
– 矩阵级数的定义
由 中的矩阵序列 构成的无穷和
称为矩阵级数，记为
,称
为矩阵级数的部分和。
– 矩阵级数的收敛和发散
若由矩阵级数的部分和构成的矩阵序列 收敛，且有极限 S
则称矩阵级数 收敛，且有和 S,记为
不收敛的矩阵级数称之为发散的
mnC? (){}kA
( 0 ) ( 1 ) ( )kA A A? ? ? ?
()0 kk A???
nN??
( ) ( )0nnkkSA?? ?
(){}nS
()0 kkSA??? ?
()lim n
n SS?? ?
()0 kk A???
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -22
矩阵级数
中的矩阵级数收敛相当于 C上的 个级数都收敛
– 举例
已知矩阵序列 的通项为
判断矩阵级数 的敛散性
考察上述矩阵级数的部分和
mnC? mn?
( ) ( )()kkij m nAa ?? ()ij m nSs ??
()0 kkSA??? ? ()0 1,,; 1,,;kij ijk a s i m j n? ? ? ? ??
(){}kA
()0 kk A???
( ) ( )0nnkkSA?? ?
()
1
24
1
0
( 1 ) ( 2 )
kk
kA
kk
???
??
?
??
????
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -23
矩阵级数
矩阵级数收敛，且其和为
00
( ) ( )
0
0
1
24
1
0
( 1 ) ( 2 )
nn
kkkk
nnk
k n
k
SA
kk
?
??
?
?
??
??
??
?? ??
??
??
?
?
() 1 (1 )
1
n
n aqs
q
??
?
1 1 1 1 11
1 2 2 3 3 4 ( 1 ) ( 2 ) 2n n n? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
11
2 ( 4 )
2 3 4
1
01
2
nn
n
???
????
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???
???
()
42
l i m 3
01
n
n
SS
?
??
??
????
??
??
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -24
矩阵级数
– 矩阵级数的绝对收敛
定义,
设,如果 个数值级数
即级数
都收敛，则称矩阵级数 绝对收敛
– 矩阵级数的绝对收敛的充要条件
设
矩阵级数 绝对收敛
正项级数 收敛
证明,
( ) ( )( ),0,1,k k m ni j m nA a C k??? ? ?
()0 1,,; 1,,;kijk a i m j n? ? ???
mn?
()0 kijk a???
()0 kk A???
( ) ( )( ),0,1,k k m ni j m nA a C k??? ? ?
,mnCR??? ? ?()0 kk A???
()0 kk A???
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -25
矩阵级数
先在矩阵范数
下证明此命题
必要性,
矩阵级数 绝对收敛
都收敛 此 个级数均为正项级数，其相加所构成的级数
收敛。由于
由正项级数的比较判别法，可知级数 收敛。
充分性,
()11mn kijij a??? ??
()0 1 1mn kijk i j a? ? ? ?? ? ?
1 1m a x
n
ijijAa ?? ?
()0 kk A??? ()0 1,,; 1,,;kijk a i m j n? ? ???
mn?
( ) ( )
11 m a x
mkk
ijijAa ?? ?
()0
1
kk A???
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -26
矩阵级数
若正项级数 收敛，由
可知
由正项级数的比较判别法，可知 个数值级数
收敛，从而矩阵级数
绝对收敛。
同时应用 上矩阵范数的等价性及正项级数的比较判别法，可知
上述命题对 均成立
()0
1
kk A???
( ) ( )
11 m a x
mkk
ijijAa ?? ?
( ) ( )
1 1,,1,,
kkija A i m j n? ? ?
()0 1,,; 1,,;kijk a i m j n? ? ???
mn?
()0 kk A???
,mnCR??? ? ?
mnC?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -27
矩阵级数
– 定理
设,,其中
则
1,
2.,
3,绝对收敛的矩阵级数必收敛，并且任意调换其项的顺序所得的矩阵级数
仍收敛，且其和不变
4,若矩阵级数 收敛（或绝对收敛），则矩阵级数
也收敛（或绝对收敛），并且有
5,若 与 均绝对收敛，则它们按项相乘所得的矩阵级数
也绝对收敛，且其和为 AB
()0 kk AA?? ?? ()0 kk BB?? ??
( ) ( ),,,,0,1,k k m nA B A B C k???
()0 kk A??? ()0 kk B???
()0 kk A???
( ) ( )00 ()kkkkP A Q P A Q???????
()0 kk P A Q???
( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( 0 )( ) ( )kkA B A B A B A B A B? ? ? ? ? ? ?
( ) ( )0 ()kkk A B A B? ? ? ? ??
()0 kk AA???? ??C???
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -28
矩阵级数
证明,
只证 4.及 5,
4,
因,记,则
在此基础上考察级数 的部分和的极限
可见
收敛，且
若 绝对收敛 收敛，由于
由正项级数的比较判别法可知 绝对收敛
()0 kk AA?? ?? ( ) ( )
0
nnk
kSA?? ?
()0 kk P A Q???
()lim n
n SA?? ?
( ) ( )
00l i m ( l i m )
nnkk
kknn P A Q P A Q P A Q??? ? ? ?????
()0 kk P A Q???
( ) ( )00 ()kkkkP A Q P A Q???????
()0 kk A??? ()
0 kk A
?
??
( ) ( ) ( )k k kPA Q P A Q P Q A? ? ?
()0 kk P A Q???
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -29
矩阵级数
5,
首先由命题的条件可知，级数 与 均收敛
记
考察矩阵级数
的通项的范数
由正项级数的比较判别法可知，级数
绝对收敛
记
() 10 kk A ??? ??
()0 kk A??? ()0 kk B???
() 20 kk B ??? ??
( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( 0 )( ) ( )kkA B A B A B A B A B? ? ? ? ? ? ?
( 0 ) ( ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( 0 )k k k kA B A B A B A B? ? ? ? ?
( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( 0 )( ) ( )kkA B A B A B A B A B? ? ? ? ? ? ?
( ) ( )1 0nnkkSA?? ? ( ) ( )2 0nnkkSB?? ?
( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( 0 )3 0 ()nn k kkS A B A B?? ? ??
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -30
矩阵级数
则
再记
由矩阵范数的三角不等式及相容性
再由
可得
( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 2 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( )1 2 3n n n n n n n nS S S A B A B A B A B?? ? ? ? ? ? ?
( ) ( 0 ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 0 )3 0 ()nn k k kk A B A B A B? ??? ? ? ??
( ) ( ) ( )1 2 3 1 1 3n n n n n nS S S ? ? ?? ? ?
()1 0nnkk A? ?? ? ()2 0nnkk B? ?? ?
( ) ( )12l im nn
n S S A B?? ?
1 1 3l im ( ) 0n n nn ? ? ??? ??
()3lim n
n S A B?? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -31
矩阵理论 -第八讲
兰州大学信息科学与工程学院
2004年
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -2
上节内容回顾
? Hermite矩阵正定性
? 方阵的范数
1,三角不等式
2,绝对齐性
3,正定性
4,相容性
? 各种矩阵范数
– 1 –
– F – 2 –
– 1 –,2 –
– 与矩阵范数相容的向量范数的存在性
– 从属于向量范数的矩阵范数
– 矩阵的谱半径及其在特征值估计中的应用
0Hx Ax ?0 nxC??HAA?
A B A B? ? ?
00A A A? ? ? ? 0
AA???
A B A B?? v m vA x A x??
1m?
m?? ??
0
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AxA
x??
()AA? ?
( ) s u p {, ( ) }? ? ? ???
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -3
矩阵的条件数
? 定义矩阵条件数的工程背景
许多工程问题，常常归结为求解矩阵方程
由于矩阵 A和向量 b的元素一般是系统部件（例如电路元件）的参数值，
或系统输出的观测值，所以不可能没有微小的误差或扰动。
？数据的误差对于问题的解会产生怎样的影响
？怎样度量这种影响
？怎样给出这种误差上界
Ax b?
1
2
2 1 5
2 1, 0 0 0 1 5, 0 0 0 1
x
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??? ? ? ????? ? ? ?
? ? ? ???
1
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2 0, 9 9 9 9 5, 0 0 0 2
x
x
??? ? ? ????? ? ? ?
? ? ? ???
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -4
矩阵的条件数
– 当一个方程组由于初始数据的小扰动而使解严重失真时，称之为病态
（坏条件的）方程组，反之，称之为良态（好条件的）方程组。通常
用方程组系数矩阵 A的条件数来刻画方程组的这种性态
>> help cond
COND Condition number with respect to inversion,
COND(X) returns the 2-norm condition number (the ratio of the
largest singular value of X to the smallest),Large condition
numbers indicate a nearly singular matrix,
COND(X,P) returns the condition number of X in P-norm,
NORM(X,P) * NORM(INV(X),P),
where P = 1,2,inf,or 'fro‘
1c o n d ( )A A A ???
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -5
矩阵的奇异值
– 定义
设, 的特征值为
则称
为 A的奇异值
1 2 1 0r r n? ? ? ? ??? ? ? ? ?
( 0 )mnrA C r??? HAA
( 1,2,,)ii in????
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -6
矩阵的条件数
用 MATLAB验证
的条件数
与下面的方程组进行比较,
用
来验证其对误差的鲁棒性（ Robustness）
21
2 1,0 0 0 1A
??? ??
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1
2
1 2 7
2 1 1
x
x
??? ? ? ????? ? ? ?
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1
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2 0, 9 9 9 1, 0 0 1
x
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??? ? ? ???
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -7
矩阵的条件数
– 精度分析
检验 Ax = b解的精度的一般方法，或者用迭代法进行数值求解时，使
迭代终止条件，是将 x代回原方程组计算残差向量
对良态方程组，如果 很小，一般可认为解是好的，或迭代可以中
止，但对病态方正组，这一结论不成立。例如，以
作为
解，则 但上解与其准确解 相差甚远
1
2
3.5
2
x
x
?? ????? ??
?????
1
2
2 1 5
2 1, 0 0 0 1 5, 0 0 0 1
x
x
??? ? ? ????? ? ? ?
? ? ? ???
0
0,0 0 0 3r
??? ??
??
1
2
2
1
x
x
?? ????? ??
????
b Ax? ??
?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -8
矩阵的条件数
– 先分析方程组 Ax = b中只有 b有扰动 的情况。设由 引起的解 x的
扰动为,则（设 ）
由相容性条件,
x?
()A x x b b??? ? ?
Ax b?
A x b???
nnnAC??
1x A b????
1x A b
b A x A x
????
?? bx
A?
11
1
A b A bxb
AA
bx x b
A
??????
?? ? ?
b? b?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -9
矩阵的条件数
– 再分析方程组 Ax = b中只有 A有扰动 的情况。设由 引起的解 x的
扰动为,则（设 ）
当 时
x?
( ) ( )A A x x b??? ? ?
Ax b?
()A x A x x? ? ?? ? ?
nnnAC??
1 ()x A A x x? ? ??? ? ?
A? A?
1 ()x A A x x? ? ??? ? ? ?
11( 1 )A A x A A x? ? ???? ? ?
1 1AA?? ?
11
1
1( 1 ) ( 1 )
A A A AxA
AAA
AA
A
???
??
??
?
?
??
? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -10
矩阵的条件数
– 当 A与 b二者均有扰动时，由于 Ax = b的线性特性，其扰动结果为二者
扰动之和
注意到当 时
11
1
1( 1 ) ( 1 )
A A A AxA
AAA
AA
A
???
??
??
?
?
??
? ?
11
1
A b A bxb
AA
bx x b
A
??????
?? ? ?
1 1AA?? ?
11
1
1
11 1
A A A A
AA
AAA
AA
A
??
??
?
?
?
??
? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -11
矩阵的条件数
当 时
给出 引起的 的绝对误差
给出 引起的 的相对误差
11
1
1
()
( 1 ) ( 1 )
A A A Ax A b
Ax A bAA
AA
A
?? ? ?
??
??
?
?
? ? ?
? ?
1 1 1
11
()
1
A A A A A
A A A
??
?
? ? ?
??
?? ?
?
1
1
1( ) )( 1 )
AAA
AA? ?
?
?
??? ?
1 1AA?? ?
?
A?
1A?
1A?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -12
矩阵序列
– 定义
由 中的矩阵构成的与自然数集 N等势的集合
一一映射
– 矩阵序列的收敛
若
则称矩阵序列 收敛于,或称 A为矩阵序列
的极限，记为
或
不收敛的矩阵称为发散
– 矩阵序列收敛的充分必要条件
其中 是 上的任一矩阵范数
mnC?
()l im 1,,; 1,,;kij ij
k a a i m j n?? ? ? ?
()ij m nAa ??(){}kA
()lim k
k AA?? ?
() ()kA A k? ? ?
(){,,0,1,,}k m nA A C k??? ()l im 0k
k AA?? ??
()lim k
k AA?? ?
mnC?
( 1 ) ( 2 ){}AA
(),{ }kf N A? ( ) ( )()kkij m nAa ??
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -13
矩阵序列
证明,
先取 上矩阵的 G – 范数证明上述充要条件
所以
由范数的等价性，对 上的任一矩阵范数,,使得
其中 是 上的任一矩阵范数
( ) ( ) ( )
,m a x
k k ki j i j i j i j
Gija a m n a a A A? ? ? ? ?
()lim k
k AA?? ?
mnC?
()11mn kij ijijm n a a??????
()l im ( ) 0 (,)kij ij
k a a i j?? ? ? ?
()l i m 0k
Gk AA?? ??
mnC?,C??? ? ?
( ) ( ) ( )k k k
GGA A A A A A??? ? ? ? ?
mnC?
()l im 0k
k AA?? ??
()lim k
k AA?? ?()l i m 0k G
k AA?? ??
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -14
矩阵序列
推论,
设
逆命题不成立
不收敛
( ) ( )kkA A A A? ? ?
( ) ( ){,,0,1,,}k k m nA A C k???
()l im 0k
k AA?? ??
()lim k
k AA?? ?
()lim k
k AA?? ?
,mnCR??? ? ?
()
2
1l i m l i m 6 6
( 1 )
k
FkkA k? ? ? ?? ? ??
()11{}ka
()
1( 1 )
1
12
k
kA k
???
??? ?
??
()?kkA? ? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -15
矩阵序列
推论,
设
由此推论可得,
若
( ) ( )kkA A A A? ? ?
( ) ( ){,,0,1,,}k k m nA A C k???
()l im 0k
k AA?? ??
()lim
k AA?? ?
()lim k
k AA?? ?
( ) ( )l im ( )kk
k A B A B? ? ? ??? ? ? ?
( ) ( )l im ( )kk
k A B A B?? ?
()lim k
k AA?? ?
()lim k
k BB?? ?
( ) ( ),,,,0,1,k k m nA B A B C k???
( ) ( ),,,0,1,k m p k p nA A C B B C k??? ? ?
,mnCR??? ? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -16
矩阵序列
上述命题可根据充要条件来证明,
由 可证
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )k k k kA B A B A A B B? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k k k k kA B AB A B A B A B AB? ? ? ? ?
( ) ( )kkA A B B??? ? ? ?
( ) ( ) ( )( ) ( )k k kA B B A A B? ? ? ?
( ) ( ) ( )k k kA B B A A B? ? ? ? ? ?
()lim k
k AA?? ?
()lim k
k BB?? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -17
矩阵序列
若
则
若 A存在，但不可逆时，上述定理不成立
()l im d e t d e t 0k
k AA?? ??
( ) 1 1l im ( )k
k AA
??
?? ?
( ) ( ){,,0,1,,}k k n n n nnnA A C k A C??? ? ?
()l im a d j a d jk
k AA?? ?
()( ) 1 1
()
a d j a d jl im ( ) l im
d e t d e t
kk
kkk
AAAA??
? ? ? ?? ? ?
()
111
11
kA k
???
???
??
??
11
11A
??? ??
??
det 0A ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -18
矩阵序列
– 由方阵的幂构成的序列、收敛矩阵
– 定义
设,若,则称 A为收敛矩阵
– 为收敛矩阵的充要条件
必要性
充分性
取
nnAC??
lim kk A?? ? 0nnAC??
lim kk A?? ? 0 ( ) 1A? ?
lim kk A?? ? 0 lim 0kk A?? ?
( ) ( ( ) ) 0k k kA A A k??? ? ? ? ?( ) 1A? ?
( ) 1A??? 1 ( ) 0A???? ? ? ? 0 ?????
0???, nnCR??? ()
mAA????
( ) 1mAA??? ? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -19
矩阵序列
– 推论
设,若对,有,则 A为收敛矩阵，即
( ) 1mAA??? ? ?
212 kk k k
m m mm m mA A A A A A??? ? ? ?
1mA ? 0kmAk? ? ? 0k
mAk? ? ?
lim kk A?? ? 0
()lim 0k
k A?? ?lim kk A?? ? 0
()li m 0k
k A?? ??0 lim
k
k A?? ? 0
nnAC??, nnCR? ? 1A ?
lim kk A?? ? 0
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -20
矩阵序列
– 举例
判断下列矩阵是否为收敛矩阵
(1)利用充要条件
A是收敛矩阵
(2)利用充分条件
A是收敛矩阵
181(1 ),
216A
???? ??
???
0.2 0.1 0.2
( 2), 0.5 0.5 0.4
0.1 0.3 0.2
A
??
???
????
( ) 1A? ?
12
51
62??? ? ?
5( ) 1
6A? ??
1A ?
1 0,9 1A ??
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -21
矩阵级数
– 矩阵级数的定义
由 中的矩阵序列 构成的无穷和
称为矩阵级数，记为
,称
为矩阵级数的部分和。
– 矩阵级数的收敛和发散
若由矩阵级数的部分和构成的矩阵序列 收敛，且有极限 S
则称矩阵级数 收敛，且有和 S,记为
不收敛的矩阵级数称之为发散的
mnC? (){}kA
( 0 ) ( 1 ) ( )kA A A? ? ? ?
()0 kk A???
nN??
( ) ( )0nnkkSA?? ?
(){}nS
()0 kkSA??? ?
()lim n
n SS?? ?
()0 kk A???
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -22
矩阵级数
中的矩阵级数收敛相当于 C上的 个级数都收敛
– 举例
已知矩阵序列 的通项为
判断矩阵级数 的敛散性
考察上述矩阵级数的部分和
mnC? mn?
( ) ( )()kkij m nAa ?? ()ij m nSs ??
()0 kkSA??? ? ()0 1,,; 1,,;kij ijk a s i m j n? ? ? ? ??
(){}kA
()0 kk A???
( ) ( )0nnkkSA?? ?
()
1
24
1
0
( 1 ) ( 2 )
kk
kA
kk
???
??
?
??
????
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -23
矩阵级数
矩阵级数收敛，且其和为
00
( ) ( )
0
0
1
24
1
0
( 1 ) ( 2 )
nn
kkkk
nnk
k n
k
SA
kk
?
??
?
?
??
??
??
?? ??
??
??
?
?
() 1 (1 )
1
n
n aqs
q
??
?
1 1 1 1 11
1 2 2 3 3 4 ( 1 ) ( 2 ) 2n n n? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
11
2 ( 4 )
2 3 4
1
01
2
nn
n
???
????
?
???
???
()
42
l i m 3
01
n
n
SS
?
??
??
????
??
??
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -24
矩阵级数
– 矩阵级数的绝对收敛
定义,
设,如果 个数值级数
即级数
都收敛，则称矩阵级数 绝对收敛
– 矩阵级数的绝对收敛的充要条件
设
矩阵级数 绝对收敛
正项级数 收敛
证明,
( ) ( )( ),0,1,k k m ni j m nA a C k??? ? ?
()0 1,,; 1,,;kijk a i m j n? ? ???
mn?
()0 kijk a???
()0 kk A???
( ) ( )( ),0,1,k k m ni j m nA a C k??? ? ?
,mnCR??? ? ?()0 kk A???
()0 kk A???
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -25
矩阵级数
先在矩阵范数
下证明此命题
必要性,
矩阵级数 绝对收敛
都收敛 此 个级数均为正项级数，其相加所构成的级数
收敛。由于
由正项级数的比较判别法，可知级数 收敛。
充分性,
()11mn kijij a??? ??
()0 1 1mn kijk i j a? ? ? ?? ? ?
1 1m a x
n
ijijAa ?? ?
()0 kk A??? ()0 1,,; 1,,;kijk a i m j n? ? ???
mn?
( ) ( )
11 m a x
mkk
ijijAa ?? ?
()0
1
kk A???
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -26
矩阵级数
若正项级数 收敛，由
可知
由正项级数的比较判别法，可知 个数值级数
收敛，从而矩阵级数
绝对收敛。
同时应用 上矩阵范数的等价性及正项级数的比较判别法，可知
上述命题对 均成立
()0
1
kk A???
( ) ( )
11 m a x
mkk
ijijAa ?? ?
( ) ( )
1 1,,1,,
kkija A i m j n? ? ?
()0 1,,; 1,,;kijk a i m j n? ? ???
mn?
()0 kk A???
,mnCR??? ? ?
mnC?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -27
矩阵级数
– 定理
设,,其中
则
1,
2.,
3,绝对收敛的矩阵级数必收敛，并且任意调换其项的顺序所得的矩阵级数
仍收敛，且其和不变
4,若矩阵级数 收敛（或绝对收敛），则矩阵级数
也收敛（或绝对收敛），并且有
5,若 与 均绝对收敛，则它们按项相乘所得的矩阵级数
也绝对收敛，且其和为 AB
()0 kk AA?? ?? ()0 kk BB?? ??
( ) ( ),,,,0,1,k k m nA B A B C k???
()0 kk A??? ()0 kk B???
()0 kk A???
( ) ( )00 ()kkkkP A Q P A Q???????
()0 kk P A Q???
( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( 0 )( ) ( )kkA B A B A B A B A B? ? ? ? ? ? ?
( ) ( )0 ()kkk A B A B? ? ? ? ??
()0 kk AA???? ??C???
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -28
矩阵级数
证明,
只证 4.及 5,
4,
因,记,则
在此基础上考察级数 的部分和的极限
可见
收敛，且
若 绝对收敛 收敛，由于
由正项级数的比较判别法可知 绝对收敛
()0 kk AA?? ?? ( ) ( )
0
nnk
kSA?? ?
()0 kk P A Q???
()lim n
n SA?? ?
( ) ( )
00l i m ( l i m )
nnkk
kknn P A Q P A Q P A Q??? ? ? ?????
()0 kk P A Q???
( ) ( )00 ()kkkkP A Q P A Q???????
()0 kk A??? ()
0 kk A
?
??
( ) ( ) ( )k k kPA Q P A Q P Q A? ? ?
()0 kk P A Q???
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -29
矩阵级数
5,
首先由命题的条件可知，级数 与 均收敛
记
考察矩阵级数
的通项的范数
由正项级数的比较判别法可知，级数
绝对收敛
记
() 10 kk A ??? ??
()0 kk A??? ()0 kk B???
() 20 kk B ??? ??
( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( 0 )( ) ( )kkA B A B A B A B A B? ? ? ? ? ? ?
( 0 ) ( ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( 0 )k k k kA B A B A B A B? ? ? ? ?
( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( 0 )( ) ( )kkA B A B A B A B A B? ? ? ? ? ? ?
( ) ( )1 0nnkkSA?? ? ( ) ( )2 0nnkkSB?? ?
( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( 0 )3 0 ()nn k kkS A B A B?? ? ??
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -30
矩阵级数
则
再记
由矩阵范数的三角不等式及相容性
再由
可得
( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 2 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( )1 2 3n n n n n n n nS S S A B A B A B A B?? ? ? ? ? ? ?
( ) ( 0 ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 0 )3 0 ()nn k k kk A B A B A B? ??? ? ? ??
( ) ( ) ( )1 2 3 1 1 3n n n n n nS S S ? ? ?? ? ?
()1 0nnkk A? ?? ? ()2 0nnkk B? ?? ?
( ) ( )12l im nn
n S S A B?? ?
1 1 3l im ( ) 0n n nn ? ? ??? ??
()3lim n
n S A B?? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 8讲 -31
