信息科学与工程学院
矩阵理论 -第二讲
兰州大学信息科学与工程学院
2004年
信息科学与工程学院
回顾与复习
? 矩阵理论的应用背景；
? 矩阵、数域、映射、直积集、代数运算、集合对运算封闭、
矩阵运算、负矩阵、零矩阵、方阵、对角阵、单位阵、转
置矩阵、分块矩阵、分块矩阵的相等、伴随矩阵
（ adjoint matrix,NOT adjacent matrix）,逆矩阵、逆的
性质、矩阵的秩、秩的性质等
? 矩阵运算,矩阵加法、矩阵减法、数乘矩阵、矩阵乘法、
方阵的幂
? 线性空间,
– 非空集
– 定义了加法，满足 4条有关加法的规律（加法交换群） ；
– 定义了数乘，满足 4条有关数乘的规律；
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? 线性映射（线性算子、线性变换）
– 同一数域上的线性空间到线性空间的映射
? 线性泛函
– 线性空间到数域的映射
? 线性子空间
– 非空子集、加法与数乘的定义与原空间相同
– 子空间的维数不超过其全空间的维数
– 子空间的维数 = 生成元（列向量）构成的矩阵（向量组）的秩
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3Rx? }:{ Fx ???
0?x
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c
b
a
x
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0?x }0{}:{ ?? Fx ??
00,0 ???? ?? F 单独一个就已经线性相关了，所以规定零子空间的维数为 0，并且规定它的 基 为 空集
Xx??
}:{ Fx ???
0?x
X是线性子空间，,集合
是子空间，当 时，是由 x生
成的一维子空间
1x
2x
Y
X
Z
b
a
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xx 11 ??
xx 22 ??
0)( 1
1
2
21
1
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2 ????? xxxx ??
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3,Ryx ? 0,0 ?? yx
Y
X
Z
不相关
yxx
yxx
yxx
333
222
111
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y yx?
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y
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y
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x
x,
aa
aa
yxa
yxa
222
111
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2
1221
1
1
1221
2
2
1221
1
1
1221
2
aay
aax
a
a
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213 ~~ xxx ??
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? 线性方程组解的结构
– 齐次
– 非齐次
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)()(
2211 ),(),(),(
rnn
rn
rnr
kk FI
CjiIjiIjiI ??
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0?AX nmrFA ??
01 XXX ??
BAX ? 1,?? ?? mnmr FBFA
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? 方阵的特征值与特征向量
? 特征矩阵
nnFA ?? F??? nFx ???0
xAx ??
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21
22221
11211
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? 特征多项式
? 特征方程
0)d e t ( ?? AI?
)de t ( AI ??
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特征值与特征向量（ Continue）
? 特征值的代数重数
– 若 是 的 k重特征值，则称 λ的代数重数为 k
? 特征值的几何重数
– 的解空间称为 A的属于特征值 λ的特征子空间，记
为 。特征子空间的维数
称为 A的特征值 λ的几何重数
? 特征值的几何重数不超过它的代数重数,
– 若 是 的 k重特征值，则
nnFA ??F??
?V
0)( ?? xAI?
)r a n k (d i m AInV ??? ??
kAInV ???? )r an k (d i m ??
nnFA ??F??
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特征值与特征向量（ Continue）
? 矩阵的多项式
– 设 f(λ) 是 λ 的 多项式
,运算结果是一个数
– 对,定义
为矩阵 A的多项式
,运算结果是一个 上的矩阵
? 矩阵的多项式的特征值和特征向量
– 若 是 的特征值,是 A的属于 λ的特征
向量，那么 x也是 的属于特征值 的特征向量,
nnFA ??
0111)( aaaaf ssss ????? ?? ???? ?
nnF?
IaAaAaAaAf ssss 0111)( ????? ?? ?
nnFA ??F??
siFa i ?,1,,???
nni FIAsiFa ????,,1,?
xAx ?? xfxAf )()( ??
nFx ???0
)(?f)(Af
Zs?
0)( ?Af 0)( ??f (对 A的任一特征值 λ）
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特征值与特征向量（ Continue）
证明,
由方阵的幂的定义,有
那么
如果
Zk??
xxAxAAxAxA kkkkk ??? ????? ??? ?111 )()(
xIaAaAaAaxAf ssss )()( 01111 ????? ??? ?
IxaAxaxAaxAa ssss 01111 ????? ??? ?
xf
xaaaa ssss
)(
)( 01111
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???
?
????? ??? ?
0)( ?Af xfxAf )()(0 ???
nFx ???0
0)( ??f
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特征值与特征向量（ Continue）
? 属于不同特征值的 线性无关的 特征向量 组,组合起来仍线
性无关
设 是 的互异特征值,
是分别与 对应的 个线性无关的特征向量，则
线性无关
– 推论,属于 不同特征值 的特征向量必 线性无关
证明,
对特征值的个数用归纳法。当 k = 1时，显然成立。
设 时成立，需要证明 k = m时也成立。
Fn ????,,,21 ? nxnFA? nirii Fxxx i ?,,,21 ?
nkrkkrr Fxxxxxxxxx
k ?????,,,,,,,,,212222111211 21
)2(1 ??? mmk
00 212211 ????????? nnn xxx ?????? ??
iri?
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特征值与特征向量（ Continue）
为此，设有 F上的常数,
使得,
用 乘以上式两边,
用 A左乘（ 1）式两端，并注意到,
又有
(2)式与 (3)式相减
nkrmmrr F
m ?????????? ????,,,,,,,,,212222111211 21
?? ? ?? ? ?? ???? ? mm rj mjmjrj rj jmjmjj xxx 11 1 )1()1(11 01 1 ??? ? (1)
m?
?? ? ?? ? ?? ???? ? mm rj mjmmjrj rj jmmjmjmj xxx 11 1 )1()1(11 01 1 ?????? ?(2)
),,1;,,1( iitiit rtmixAx ?? ??? ?
?? ? ?? ? ??? ???? ? mm r j mjmmjr j r j jmmjmjj xxx 11 1 )1()1()1(111 01 1 ?????? ?
0)()(1 11 1 )1()1()1(111 ?????? ?? ? ????r j r j jmmmjmjmj m xx ?????? ?
(3)
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特征值与特征向量（ Continue）
即,
又因为 互异，故,
将上式代入 (1)式，得
即 k = m时，定理也成立
11)1(
221
111
,10)(
,,10)(
,,10)(
??? ???
???
???
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mj
mj
rj
rj
rj
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???
1211,,1;,,,1;,,10 ??? mj rrrj ?????
Fn ????,,,21 ?
? ? ?mrj mjmj x1 0?
的线性无关的特征向量
m?
0,,21 ?mmrmm ??? ?
0,,,,,,,,,212222111211 21 ?mkrmmrr ????????? ????
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特征值与特征向量（ Continue）
? 方阵的迹
– 设,定义
为 方阵 A的迹
? 定理
– 有且仅有 n个特征值，且若 是 A的 n个特
征值，则
的特征值是,而 的特征值为
nnij FaA ??? )(
? ?????? ni nnnn aaaaA 12211tr ?
nxnFA? Fn ????,,,21 ?
AAAI nnn d e t)1()( t r)d e t ( 1 ?????? ? ????
Ani i tr1 ?? ? ?
Ani i d e t1 ?? ? ?
TA n???,,,21 ? nn
jiH FaA ??? )(
n???,,,21 ?
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特征值与特征向量（ Continue）
证明
对 A的阶数用归纳法。 A的阶数为 1时，,定理成
立。设 A的阶数为 n – 1时定理成立，需要证明 A的阶数为 n时，定
理也成立。
由行列式的性质
11)d et ( aAI ??? ??
nnnn
n
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
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22221
11211
21
22221
11211 11
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特征值与特征向量（ Continue）
nnnn
n
n
nnn
n
n
aaa
aaa
aa
aa
aa
aaa
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22221
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2
222
11211 1
0
0
1
111122
2112211222
112
2
222
11211
0
0
1
0
0
1
nnnnnn
nn
n
nnn
n
n
aaaaaa
aaaaaa
aa
aa
aa
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特征值与特征向量（ Continue）
111122
2112211222
2
222
11 )1(
nnnnnn
nn
nnn
n
aaaaaa
aaaaaa
aa
aa
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22
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aa
aa
n
nn
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nnn
n
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???
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3
2
2
1
111122
2112211222
cc
aaaaaa
aaaaaa
nn
nnnnnn
nn
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????
????
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Fccc ?321,,
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特征值与特征向量（ Continue）
1222111 )()[1()d e t ( caaaAI nnnn ????????? ?? ?? ????
)( 3221 cc nn ???? ?? ???
Fccac ????? 3111 )1(
cA nn ???? ? ?1)( t r ??
上式中
再令上式中 λ ＝ 0，则
又因为 是 的 n个根，所以
比较上式中 的系数和常数项,
AAc n d et)1()d et ( ????
n???,,,21 ? )de t ( AI ??
)())(()d e t ( 21 nAI ??????? ????? ?
nnnnnAI ????????? ??? 21121 )1()()d e t ( ????????? ?
Ani i tr1 ?? ? ? Ani i d e t1 ?? ? ?
1?n?
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特征值与特征向量（ Continue）
由上式可以立即得到两条推论,
– 满秩 A的所有的特征值都异于零
– 对, 0是 A的特征值
Ani i d e t1 ?? ? ?
nxnFA?
0det ?AnxnFA?
0)d e t ()d e t ())d e t ( ()d e t ( ???????? AIAIAIAI iTiTTiTi ????
证明 也是 的特征值
n???,,,21 ?
TA
证明 是 的特征值,
n???,,,21 ?
HA
)d e t ()d e t ()d e t ( TiTiHi AIAIAI ????? ???
TiTTi AIAI )d e t ())d e t ( ( ???? ??
00)d e t (
)d e t ()d e t (
????
????
AI
AIAI iTi
?
??
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特征值与特征向量（ Continue）
用数学归纳法证明 )d e t ()d e t ( AA ?
? ?
??
??
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???? k
j
kkjjkk
kjj
kjj
j
j
nnnn
n
n
k
aaaa
aaaa
aaaa
a
aaa
aaa
aaa
A
1
)1(2)1(1
3)1(2)1(331
2)1(2)1(221
1
1
21
22221
11211
)1(d e t
??
??????
??
??
?
????
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k
k
j jk
j
j
k
j jk
j
j
k
j jk
j
j
k
j jk
j
j
A
AaAa
AaAa
d e t
)1()1(
)1()1(
1 11
1
11 11
1
1
1 11
1
11 11
1
1
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????
????
??
??
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方阵乘积的迹
? 定理
– 设,则
证明,
设,,则 AB的对角线元素为
而 BA的对角线元素为
于是
改变求和顺序
nx nFBA ?,
nnij FaA ??? )( nnij FbB ??? )(
nibank kiik ?,11 ?? ?
niabnk kiik,,11 ??? ?
)()( 1 1? ?? ?? ni nk kiik baABtr
)t r ()(
)(
1 1
1 1
BAab
ba
n
k
n
i ikki
n
k
n
i kiik
??
?
? ?
? ?
? ?
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方阵的相似
? 方阵相似的定义
– 设,若 使得
则称 A与 B相似，记作
? 相似矩阵的性质
– 自反性
– 对称性
– 传递性,
– 保秩性
– 行列式相等
– 矩阵函数相似
– 特征多项式、特征值相同
nx nFBA ?,
BAPP ??1
BA~
nnnFP ???
AA~
BA~ AB ~
BA~ CA~CB~
BA~ BA ra n kra n k ?
BA~ BA d etd et ?
BA~ )()( BfAf ?
BA~ )d e t ()d e t ( BIAI ??? ??
AAII ~1?
ABPP ~)( 111 ???
CBQQPQAQP ?? ??? 111 )()(
mx nFBA ?,mmmFP ???
nnnFQ ??? BPAQ ?
BA?
BPAP d e td e td e td e t1 ???
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方阵的相似（ Continue）
设
因为,所以 使得
那么
0111)( aaaaf ssss ????? ?? ???? ?
BAPP ??1BA~ nnnFP ???
IaBaBaBaBf ssss 0111)( ????? ?? ?
IaPA PaAPPaAPPa ssss 011111 )()()( ????? ???? ?
PAPAPPAPPAPPAPP k
k
k 11111 )( ????? ??????
???? ????? ??
?
PAfPPIaAaAaAaPBf ssss )()()( 101111 ???? ?????? ?
)()( BfAf ?
))(d et ()d et ()d et ( 11 PAIPAPPIBI ????? ?? ???
)d e t(d e t)d e t(d e t1 AIPAIP ?????? ??
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方阵的对角化
? 方阵可对角化的定义
– 对,若,则称 方阵 A可对
角化
? 问题,
– 如何判定一个方阵可对角化？
– 可对角化的方阵如何实现可对角化？
? 方阵可对角化的充要条件
– 可对角化 A有 n个特征值，且每个特征值的几何
重数 等于 其代数重数
证明,
（充分性）设 有 n个特征值,
nxnFA? nn
n FaaaA ??),,,d i a g (~ 21 ?
nxnFA?
nxnFA?
)(,,,,,,2111
1
nrrrF n
r
kk
r k
????? ???????? ?? ? ????
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方阵的对角化
? 方阵可对角化的定义
– 对,若,则称 方阵 A可对
角化
? 问题,
– 如何判定一个方阵可对角化？
– 可对角化的方阵如何实现可对角化？
? 方阵可对角化的充要条件
– 可对角化 A有 n个特征值，且每个特征值的几何
重数等于其代数重数，即,
nxnFA? nn
n FaaaA ??),,,d i a g (~ 21 ?
nxnFA?
)(,,,,,,2111
1
nrrrF n
r
kk
r k
????? ???????? ?? ? ????
),,2,1(,d i m kiVr ii ??? ?
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方阵的对角化（ Continue）
? 可对角化方阵的对角化方法
由 的基
构成的矩阵
可使
证明,
先证充分性。设 有 n个特征值,
且
nirii F
i ????,,,21 ?
),,2,1(,kiV i ???
nnkrkr FT
k
??? )( 1111
1 ???? ???
nn
n
r
kk
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k
?? ?? ??????? ?? ? ????,,,,,,d ia g
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11
1
nxnFA?
)(,,,,,,2111
1
nrrrF n
r
kk
r k
????? ???????? ?? ? ????
),,2,1(,d i m kiVr ii ??? ?
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方阵的对角化（ Continue）
为 的基，因 互异，根据, 属于不同特
征值的 线性无关的 特征向量 组,组合起来仍线性无关,, A的 n个
特征向量
线性无关，因此
注意到
于是
iitiit rtA,,2,1,??? ???
nirii F
i ????,,,21 ?
)(,,,,,,,,12111211 1 nrrF knkrkkr k ???? ???? ??????
k???,,,21 ?),,2,1( kiV i ???
nnnkrkr FT
k
??? )( 1111
1 ???? ???
),( 11111 1 krkrAAT ???? ????
),,( 11111 1 krkr AAAA ???? ????
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方阵的对角化（ Continue）
于是
)( 1111111 1 krkkkr ???????? ????
),,,,,,d i a g (
,,,,,,d i a g)(
1
1
1
11
111111
???
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?
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k
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k
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11
1
?
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1
1
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00
000
000
**
**
**
?
?
?
?
?
?
??
???
??
??
r1列
r1行
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方阵的对角化（ Continue）
再证必要性，即 可对角化 A有 n个特征值且每个特征
值的几何重数等于其代数重数。不失一般性，设 A相似于 F上的一
个 n阶对角阵
根据相似的定义,使得
上式右边的对角阵以 为其 重特征值,,相似方阵有
相同的特征值,,所以,A有 n个特征值,
下证
nxnFA?
)(),,,,,,( 2111
1
nrrrFd ia g n
r
kk
r k
????? ???????? ?? ? ????
nnnFT ???
)(,,,,,,,d ia g 1111
1
nrrFATT knnn
r
kk
r k
????? ?? ???????? ?? ? ????
i? ),,1( kiri ??
)(,,,,,,2111
1
nrrrF n
r
kk
r k
????? ???????? ?? ? ????
),,2,1(,d i m kiVr ii ??? ?
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方阵的对角化（ Continue）
对 T的 n个列向量进行如下编号,
那么
比较上式两边矩阵的列向量，可得
)(,,,,,,,,12111211 1 nrrF knkrkkr k ???? ???? ??????
),( 11111 1 krkrA ???? ????
),,( 11111 1 krkr AAAA ???? ???
???
?
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????
???
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k
k
k
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????????
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,,,,,,d i a g)(
),,,,,,d i a g (
1
1
1
111111
11
?
??
)( 1111111 1 krkkkr ???????? ????
kirtA iitiit,,1,,,2,1,?? ??? ???
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方阵的对角化（ Continue）
由
线性无关。, 一组向量线性无关，则其一部分也线性无关,
也线性无关。, 线性无关向量的最大个数不超过其所在空间的维数,
又由, 特征值的几何重数不超过它的代数重数,
综合上两式
– 推论 1：若 有 n个互异的特征值，则 A可对角化
– 推论 2：若 的特征值都是单重的，则 A可对角化
nnnFT ???
)(,,,,,,,,12111211 1 nrrF knkrkkr k ???? ???? ??????
kiV iiirii,,1,,,,21 ?? ?? ????
),,2,1(,d i m kiVr ii ??? ?
1d i m1 ??? irV i?),,2,1(,d i m kiVr ii ??? ?
nxnFA?
nxnFA?
irV i ??dim
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方阵的对角化（ Continue）
例,
下列矩阵能否对角化？对可对角化的矩阵，求其相似变换矩阵和相
应的对角阵
?
?
?
?
?
?
?
?
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??? 6116
100
010
?
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221
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021
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)3)(2)(1(6565
6116
6116
10
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223
23
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方阵的对角化（ Continue）
?
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000
110
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110
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110
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110
011
1)1(2
3)5(2
)1(2
3)6(1
)1(1
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?
?
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1
1
1
1p
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信息科学与工程学院
方阵的对角化（ Continue）
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信息科学与工程学院
方阵的对角化（ Continue）
此矩阵不能对角化！
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304
021
101
信息科学与工程学院
方阵的对角化（ Continue）
对角阵的应用,
乘积、幂、求逆和求特征值都比较简洁
求幂,
,求
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信息科学与工程学院
方阵的对角化（ Continue）
求解线性微分方程组,
写成矩阵形式,
令
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信息科学与工程学院
方阵的对角化（ Continue）
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94
32
信息科学与工程学院
Jordan标准形
? 方阵化为对角形是有条件的
? 退一步，如果一个方阵不能被化为对角形，能否降低要求，
化为一个分块对角形？在实数域内，此问题的答案是肯定
的，分块对角形就是所谓的 Jordan标准形。
? 定义
– Jordan块
称形如
的矩阵为 阶 Jordan块
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信息科学与工程学院
Jordan标准形（ Continue）
– Jordan矩阵
由若干个 Jordan块构成的 分块对角 矩阵
为 Jordan矩阵
– Jordan块与对角形的差别仅在其上对角线,1,Jordan; 0,Diagonal
– 有的教科书上定义下对角线全为 1的、其余元素为 0的下三角阵为
Jordan块，它们之间是转置关系
– Jordan块本身就是一个分块数为 1的 Jordan矩阵
– 对角阵是一个特殊的 Jordan矩阵：其每个 Jordan块都是 1阶的
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信息科学与工程学院
Jordan标准形（ Continue）
注意,Jordan矩阵上对角线并不全是 1
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信息科学与工程学院
Jordan标准形（ Continue）
? 方阵 A与 Jordan矩阵相似的基本定理
设,则 A与一个 Jordan矩阵 J相似。即,使得
对此 Jordan矩阵 J,除其 Jordan块的排列次序外,由 A唯一确定，称 J
为 A的 Jordan标准形
注意,
1,A的 Jordan标准形的主对角线元素就是 A的特征值
2,在 Jordan标准形中，不同 Jordan块的主对角线元素可能相同，
因此，不能通过 Jordan块的阶数，判断此 Jordan块对应的特征
值的代数重数。
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nnFA ?? nn
nFP ???
矩阵理论 -第二讲
兰州大学信息科学与工程学院
2004年
信息科学与工程学院
回顾与复习
? 矩阵理论的应用背景；
? 矩阵、数域、映射、直积集、代数运算、集合对运算封闭、
矩阵运算、负矩阵、零矩阵、方阵、对角阵、单位阵、转
置矩阵、分块矩阵、分块矩阵的相等、伴随矩阵
（ adjoint matrix,NOT adjacent matrix）,逆矩阵、逆的
性质、矩阵的秩、秩的性质等
? 矩阵运算,矩阵加法、矩阵减法、数乘矩阵、矩阵乘法、
方阵的幂
? 线性空间,
– 非空集
– 定义了加法，满足 4条有关加法的规律（加法交换群） ；
– 定义了数乘，满足 4条有关数乘的规律；
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回顾与复习（ Continue）
? 线性映射（线性算子、线性变换）
– 同一数域上的线性空间到线性空间的映射
? 线性泛函
– 线性空间到数域的映射
? 线性子空间
– 非空子集、加法与数乘的定义与原空间相同
– 子空间的维数不超过其全空间的维数
– 子空间的维数 = 生成元（列向量）构成的矩阵（向量组）的秩
信息科学与工程学院
回顾与复习（ Continue）
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}:{ Fx ???
0?x
X是线性子空间，,集合
是子空间，当 时，是由 x生
成的一维子空间
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信息科学与工程学院
回顾与复习（ Continue）
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Y
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222
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回顾与复习（ Continue）
? 线性方程组解的结构
– 齐次
– 非齐次
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回顾与复习（ Continue）
? 方阵的特征值与特征向量
? 特征矩阵
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信息科学与工程学院
回顾与复习（ Continue）
? 特征多项式
? 特征方程
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)de t ( AI ??
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特征值与特征向量（ Continue）
? 特征值的代数重数
– 若 是 的 k重特征值，则称 λ的代数重数为 k
? 特征值的几何重数
– 的解空间称为 A的属于特征值 λ的特征子空间，记
为 。特征子空间的维数
称为 A的特征值 λ的几何重数
? 特征值的几何重数不超过它的代数重数,
– 若 是 的 k重特征值，则
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kAInV ???? )r an k (d i m ??
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特征值与特征向量（ Continue）
? 矩阵的多项式
– 设 f(λ) 是 λ 的 多项式
,运算结果是一个数
– 对,定义
为矩阵 A的多项式
,运算结果是一个 上的矩阵
? 矩阵的多项式的特征值和特征向量
– 若 是 的特征值,是 A的属于 λ的特征
向量，那么 x也是 的属于特征值 的特征向量,
nnFA ??
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特征值与特征向量（ Continue）
证明,
由方阵的幂的定义,有
那么
如果
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0)( ??f
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特征值与特征向量（ Continue）
? 属于不同特征值的 线性无关的 特征向量 组,组合起来仍线
性无关
设 是 的互异特征值,
是分别与 对应的 个线性无关的特征向量，则
线性无关
– 推论,属于 不同特征值 的特征向量必 线性无关
证明,
对特征值的个数用归纳法。当 k = 1时，显然成立。
设 时成立，需要证明 k = m时也成立。
Fn ????,,,21 ? nxnFA? nirii Fxxx i ?,,,21 ?
nkrkkrr Fxxxxxxxxx
k ?????,,,,,,,,,212222111211 21
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特征值与特征向量（ Continue）
为此，设有 F上的常数,
使得,
用 乘以上式两边,
用 A左乘（ 1）式两端，并注意到,
又有
(2)式与 (3)式相减
nkrmmrr F
m ?????????? ????,,,,,,,,,212222111211 21
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?? ? ?? ? ?? ???? ? mm rj mjmmjrj rj jmmjmjmj xxx 11 1 )1()1(11 01 1 ?????? ?(2)
),,1;,,1( iitiit rtmixAx ?? ??? ?
?? ? ?? ? ??? ???? ? mm r j mjmmjr j r j jmmjmjj xxx 11 1 )1()1()1(111 01 1 ?????? ?
0)()(1 11 1 )1()1()1(111 ?????? ?? ? ????r j r j jmmmjmjmj m xx ?????? ?
(3)
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特征值与特征向量（ Continue）
即,
又因为 互异，故,
将上式代入 (1)式，得
即 k = m时，定理也成立
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221
111
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,,10)(
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的线性无关的特征向量
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0,,21 ?mmrmm ??? ?
0,,,,,,,,,212222111211 21 ?mkrmmrr ????????? ????
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特征值与特征向量（ Continue）
? 方阵的迹
– 设,定义
为 方阵 A的迹
? 定理
– 有且仅有 n个特征值，且若 是 A的 n个特
征值，则
的特征值是,而 的特征值为
nnij FaA ??? )(
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jiH FaA ??? )(
n???,,,21 ?
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特征值与特征向量（ Continue）
证明
对 A的阶数用归纳法。 A的阶数为 1时，,定理成
立。设 A的阶数为 n – 1时定理成立，需要证明 A的阶数为 n时，定
理也成立。
由行列式的性质
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nnnn
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特征值与特征向量（ Continue）
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n
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特征值与特征向量（ Continue）
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特征值与特征向量（ Continue）
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)( 3221 cc nn ???? ?? ???
Fccac ????? 3111 )1(
cA nn ???? ? ?1)( t r ??
上式中
再令上式中 λ ＝ 0，则
又因为 是 的 n个根，所以
比较上式中 的系数和常数项,
AAc n d et)1()d et ( ????
n???,,,21 ? )de t ( AI ??
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nnnnnAI ????????? ??? 21121 )1()()d e t ( ????????? ?
Ani i tr1 ?? ? ? Ani i d e t1 ?? ? ?
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特征值与特征向量（ Continue）
由上式可以立即得到两条推论,
– 满秩 A的所有的特征值都异于零
– 对, 0是 A的特征值
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nxnFA?
0det ?AnxnFA?
0)d e t ()d e t ())d e t ( ()d e t ( ???????? AIAIAIAI iTiTTiTi ????
证明 也是 的特征值
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证明 是 的特征值,
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TiTTi AIAI )d e t ())d e t ( ( ???? ??
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特征值与特征向量（ Continue）
用数学归纳法证明 )d e t ()d e t ( AA ?
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方阵乘积的迹
? 定理
– 设,则
证明,
设,,则 AB的对角线元素为
而 BA的对角线元素为
于是
改变求和顺序
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nnij FaA ??? )( nnij FbB ??? )(
nibank kiik ?,11 ?? ?
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方阵的相似
? 方阵相似的定义
– 设,若 使得
则称 A与 B相似，记作
? 相似矩阵的性质
– 自反性
– 对称性
– 传递性,
– 保秩性
– 行列式相等
– 矩阵函数相似
– 特征多项式、特征值相同
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BPAP d e td e td e td e t1 ???
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方阵的相似（ Continue）
设
因为,所以 使得
那么
0111)( aaaaf ssss ????? ?? ???? ?
BAPP ??1BA~ nnnFP ???
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信息科学与工程学院
方阵的对角化
? 方阵可对角化的定义
– 对,若,则称 方阵 A可对
角化
? 问题,
– 如何判定一个方阵可对角化？
– 可对角化的方阵如何实现可对角化？
? 方阵可对角化的充要条件
– 可对角化 A有 n个特征值，且每个特征值的几何
重数 等于 其代数重数
证明,
（充分性）设 有 n个特征值,
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信息科学与工程学院
方阵的对角化
? 方阵可对角化的定义
– 对,若,则称 方阵 A可对
角化
? 问题,
– 如何判定一个方阵可对角化？
– 可对角化的方阵如何实现可对角化？
? 方阵可对角化的充要条件
– 可对角化 A有 n个特征值，且每个特征值的几何
重数等于其代数重数，即,
nxnFA? nn
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方阵的对角化（ Continue）
? 可对角化方阵的对角化方法
由 的基
构成的矩阵
可使
证明,
先证充分性。设 有 n个特征值,
且
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方阵的对角化（ Continue）
为 的基，因 互异，根据, 属于不同特
征值的 线性无关的 特征向量 组,组合起来仍线性无关,, A的 n个
特征向量
线性无关，因此
注意到
于是
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nirii F
i ????,,,21 ?
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k???,,,21 ?),,2,1( kiV i ???
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??? )( 1111
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方阵的对角化（ Continue）
于是
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),,,,,,d i a g (
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1
1
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r1行
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方阵的对角化（ Continue）
再证必要性，即 可对角化 A有 n个特征值且每个特征
值的几何重数等于其代数重数。不失一般性，设 A相似于 F上的一
个 n阶对角阵
根据相似的定义,使得
上式右边的对角阵以 为其 重特征值,,相似方阵有
相同的特征值,,所以,A有 n个特征值,
下证
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1
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方阵的对角化（ Continue）
对 T的 n个列向量进行如下编号,
那么
比较上式两边矩阵的列向量，可得
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),,( 11111 1 krkr AAAA ???? ???
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方阵的对角化（ Continue）
由
线性无关。, 一组向量线性无关，则其一部分也线性无关,
也线性无关。, 线性无关向量的最大个数不超过其所在空间的维数,
又由, 特征值的几何重数不超过它的代数重数,
综合上两式
– 推论 1：若 有 n个互异的特征值，则 A可对角化
– 推论 2：若 的特征值都是单重的，则 A可对角化
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nxnFA?
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方阵的对角化（ Continue）
例,
下列矩阵能否对角化？对可对角化的矩阵，求其相似变换矩阵和相
应的对角阵
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方阵的对角化（ Continue）
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信息科学与工程学院
方阵的对角化（ Continue）
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方阵的对角化（ Continue）
此矩阵不能对角化！
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021
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信息科学与工程学院
方阵的对角化（ Continue）
对角阵的应用,
乘积、幂、求逆和求特征值都比较简洁
求幂,
,求
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方阵的对角化（ Continue）
求解线性微分方程组,
写成矩阵形式,
令
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信息科学与工程学院
方阵的对角化（ Continue）
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94
32
信息科学与工程学院
Jordan标准形
? 方阵化为对角形是有条件的
? 退一步，如果一个方阵不能被化为对角形，能否降低要求，
化为一个分块对角形？在实数域内，此问题的答案是肯定
的，分块对角形就是所谓的 Jordan标准形。
? 定义
– Jordan块
称形如
的矩阵为 阶 Jordan块
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信息科学与工程学院
Jordan标准形（ Continue）
– Jordan矩阵
由若干个 Jordan块构成的 分块对角 矩阵
为 Jordan矩阵
– Jordan块与对角形的差别仅在其上对角线,1,Jordan; 0,Diagonal
– 有的教科书上定义下对角线全为 1的、其余元素为 0的下三角阵为
Jordan块，它们之间是转置关系
– Jordan块本身就是一个分块数为 1的 Jordan矩阵
– 对角阵是一个特殊的 Jordan矩阵：其每个 Jordan块都是 1阶的
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2
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信息科学与工程学院
Jordan标准形（ Continue）
注意,Jordan矩阵上对角线并不全是 1
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信息科学与工程学院
Jordan标准形（ Continue）
? 方阵 A与 Jordan矩阵相似的基本定理
设,则 A与一个 Jordan矩阵 J相似。即,使得
对此 Jordan矩阵 J,除其 Jordan块的排列次序外,由 A唯一确定，称 J
为 A的 Jordan标准形
注意,
1,A的 Jordan标准形的主对角线元素就是 A的特征值
2,在 Jordan标准形中，不同 Jordan块的主对角线元素可能相同，
因此，不能通过 Jordan块的阶数，判断此 Jordan块对应的特征
值的代数重数。
JAPP ??1
nnFA ?? nn
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