兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -1
矩阵理论 -第九讲
兰州大学信息科学与工程学院
2004年
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -2
上节内容回顾
? 矩阵的条件数
– 定义矩阵条件数的工程背景
– 矩阵的奇异值
? 矩阵序列
– 矩阵序列收敛的充分必要条件
– 收敛矩阵
? 矩阵级数
– 矩阵级数的绝对收敛的充要条件
绝对收敛 收敛
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k AA?? ?
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lim kk A?? ? 0nnAC??
()0 kk A???
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -3
矩阵的幂级数
– 矩阵幂级数
设,,称矩阵级数
为矩阵 A的幂级数
– 方阵幂级数收敛的判别定理
若复变数幂级数 的收敛半径为 r,而矩阵 的谱半径
为,则
1,当 时，方阵幂级数 绝对收敛
2,当 时，方阵幂级数 发散
证明,
1.,取
,使得
( 0,1,,)ka C k??nnAC??
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -4
矩阵的幂级数
由于幂级数
收敛，根据正项级数的比较审敛法知矩阵幂级数
绝对收敛
2,由于,设,则
当 时,
由 Jordan定理，,使得
( ( ) )kk k kk k k kmmma A a A a A a A??? ? ? ? ? ? ?
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -5
矩阵的幂级数
矩阵幂级数
的对角线元素为
由于 发散，从而矩阵幂级数 发散
由于矩阵幂级数
与
具有相同的敛散性，可知
也发散。
– 推论
设幂级数 的收敛半径为 r,。 若
使得,则矩阵幂级数 绝对收敛
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -6
矩阵的幂级数
– 举例
判断矩阵幂级数
的敛散性
解：令
>> eig(A)
ans =
0.8333
-0.5000
由于幂级数 的收敛半径为 r = 1
绝对收敛
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k
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -7
矩阵的幂级数
– Neumann级数收敛充要条件
设,称矩阵幂级数 为 Neumann级数
收敛
并且在此级数收敛时，其和为
证明,
充分性,
幂级数 的收敛半径为 1
必要性：若矩阵幂级数
收敛，记
,,则
nnAC??
0 kk A
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0 kk A
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( ) 1A? ?
0 kk kz
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0 kk A
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0 kk A
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收敛矩阵的充要条件
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -8
矩阵的幂级数
当 收敛时,
取
可逆
由于
0 kk A
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A是收敛矩阵 lim n
n A?? ? 0
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -9
矩阵的幂级数
– 举例
设
判断矩阵幂级数 的敛散性，若收敛，求其和
解,norm(A,1)
ans = 0.9000
即,所以 绝对收敛
inv(eye(size(A))-A)
ans =
2.0000 1.0000 1.0000
3.1429 4.4286 3.0000
1.4286 1.7857 2.5000
0,2 0,1 0,2
0,5 0,5 0,4
0,1 0,3 0,2
A
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0 kk A
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1 0,9 1A ?? 0 kk A
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0 kk A
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -10
矩阵函数
– 定义,
矩阵函数的定义基于收敛的矩阵幂级数 。
收敛于一个唯一的矩阵，即此矩阵幂级数的和 S。 这样，矩
阵幂级数在矩阵 与 之间建立了一个映射,
称此映射为矩阵函数，它是以矩阵为变量（更为确切地，以方阵为变
量）且取值为矩阵（方阵）的一类函数。
称 S为 A在映射 f下的象，记作,
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0 kkk aA
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k z z rk
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -11
矩阵函数
相应地，根据矩阵幂级数的收敛准则，将矩阵幂级数
的和分别记为下列矩阵函数
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k nn
k
A AC
k
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( 1 ) ()
( 2 1 ) !
k
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( 2 ) !
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -12
矩阵函数在矩阵分析中的应用
许多工程问题，常常化为求解一阶常系数微分方程组的问题
– 由线性元件构成的网络状态方程组及输出方程组
– 其它动态系统或受控系统
L
C
R2
R1
u(t) iL iC
x Ax Bu??
y C x D u??
m
y(t)
F(t)
x Ax Bu??
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -13
矩阵函数在矩阵分析中的应用
– 离散时间系统
假设上述方程组的初始条件为 或
先考察 u(t) = 0时,的解，这时状态方程组简化为
这相当于求系统的零输入响应
当矩阵 A为数 a时，其解为
可以设想，当 而 时,的解含有
,可以证明 都是收敛的，因而其和是有意义的
离散时间系统 x(n) y(n)
( ) ( 1 ) ( )m n G m n H x n? ? ?
( ) ( ) ( )y n C m n D x n??
x Ax Bu??
x Ax?
00()x t x? 0(0)xx?
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -14
矩阵函数在矩阵分析中的应用
– 矩阵函数, 及 满足代数三角函数的性质 Euler公式
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -15
矩阵函数在矩阵分析中的应用
– 常用矩阵函数的性质
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s i n ( ) s i n c o s c o s s i nA B A B A B? ? ? ?
c o s ( ) c o s c o s s i n s i nA B A B A B? ? ? ?
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3 2 2 31 ( 3 3 )
3! A A B AB B? ? ? ? ?
充要条件
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -16
矩阵函数在矩阵分析中的应用
– 常用矩阵函数的性质
设
若, 是 A的特征值，则矩阵函数 的特
征值为
由 Jordan定理，,使得
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -17
矩阵函数在矩阵分析中的应用
再设,可得如下矩阵幂级数
收敛。由于
即矩阵幂级数 收敛，由于 的对角线元素为
所以，这些复数项幂级数收敛，且
0 ( 1,,)kkjk a j n?
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -18
矩阵函数在矩阵分析中的应用
由于相似矩阵具有相同的特征值，所以 的特征值为
由此,的特征值为
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -19
矩阵函数在矩阵分析中的应用
– 需要注意的几点
除非 A为对角矩阵
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1
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A
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -20
矩阵函数在矩阵分析中的应用
? 的求法举例
– 利用 Hamilton-Cayley定理
已知
求
解,
由 Hamilton-Cayley定理
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -21
矩阵函数在矩阵分析中的应用
? 的求法举例
– 利用相似对角化
若
同理
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1 12(,,)nP A P d i a g ? ? ?? ? ? ?
100( ) ( )kkkkkkf A a A a P P?? ???? ? ???
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3 5 0
3 6 1
A
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -22
矩阵函数在矩阵分析中的应用
? 的求法举例
– 利用 Jordan标准形
Jordan块的幂
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -23
矩阵函数在矩阵分析中的应用
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -24
矩阵函数在矩阵分析中的应用
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -25
矩阵函数在矩阵分析中的应用
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2
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -26
矩阵函数在矩阵分析中的应用
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1
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -27
矩阵函数在矩阵分析中的应用
已知
求
1 0 1
1 2 0
4 0 3
A
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???
?????
Ae
1
2
1
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1
2
J
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -28
矩阵函数在矩阵分析中的应用
? 的求法举例
– 利用矩阵多项式
为计算
利用多项式的带余除法，将 表示为如下形式,
由 Hamilton-Cayley定理
令
因为
所以
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0() kkkkf A t a A t
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( ) (,) ( 0,1,,1 ; 1,2,,)
i i
ll
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? ? ? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -29
矩阵函数在矩阵分析中的应用
已知
求
1 0 1
1 2 0
4 0 3
A
???
???
?????
Ate
() tf t e?? ?
2( ) ( 1 ) ( 2 )? ? ? ?? ? ?
22 1 0(,) ( ) ( ) ( )r t b t b t b t? ? ?? ? ?
2 1 0( 1,) ( ) ( ) ( ) tr t b t b t b t e? ? ? ?
21( 1,) 2 ( ) ( ) tr t b t b t t e? ? ? ?
22 1 0( 2,) 4 ( ) 2 ( ) ( ) tr t b t b t b t e? ? ? ?
22 1 0( ) ( ) ( )Ate b t A b t A b t I? ? ?
利用矩阵 A的最小多项式，
还可以进一步降低 的
次数，从而使待定的系数减
少，进一步化简计算。
(,)rt?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -30
矩阵的微分和积分
– 以函数为元素的矩阵 ——函数矩阵
? 函数矩阵的微分和积分
– 泛函
? 数量函数对矩阵变量的导数
– 向量值函数或矩阵值函数对向量变量或矩阵变量的导数
**********************************************************************
– 函数矩阵的微分和积分
定义
以变量 t的函数为元素的矩阵
是定义在 [a,b]上的，若
在 [a,b]上连续、可微、可积，若每个 在 [a,b]上连续、可
微、可积
,mnf C F? ?
( ) ( ( ) )ij m nA t a t ??
[,]t a b?()At
()At ()ijat
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -31
矩阵理论 -第九讲
兰州大学信息科学与工程学院
2004年
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -2
上节内容回顾
? 矩阵的条件数
– 定义矩阵条件数的工程背景
– 矩阵的奇异值
? 矩阵序列
– 矩阵序列收敛的充分必要条件
– 收敛矩阵
? 矩阵级数
– 矩阵级数的绝对收敛的充要条件
绝对收敛 收敛
(){,,0,1,,}k m nA A C k??? ()l im 0k
k AA?? ??
()lim k
k AA?? ?
,mnCR??? ? ?()0 kk A???
lim kk A?? ? 0nnAC??
()0 kk A???
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -3
矩阵的幂级数
– 矩阵幂级数
设,,称矩阵级数
为矩阵 A的幂级数
– 方阵幂级数收敛的判别定理
若复变数幂级数 的收敛半径为 r,而矩阵 的谱半径
为,则
1,当 时，方阵幂级数 绝对收敛
2,当 时，方阵幂级数 发散
证明,
1.,取
,使得
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -4
矩阵的幂级数
由于幂级数
收敛，根据正项级数的比较审敛法知矩阵幂级数
绝对收敛
2,由于,设,则
当 时,
由 Jordan定理，,使得
( ( ) )kk k kk k k kmmma A a A a A a A??? ? ? ? ? ? ?
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -5
矩阵的幂级数
矩阵幂级数
的对角线元素为
由于 发散，从而矩阵幂级数 发散
由于矩阵幂级数
与
具有相同的敛散性，可知
也发散。
– 推论
设幂级数 的收敛半径为 r,。 若
使得,则矩阵幂级数 绝对收敛
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -6
矩阵的幂级数
– 举例
判断矩阵幂级数
的敛散性
解：令
>> eig(A)
ans =
0.8333
-0.5000
由于幂级数 的收敛半径为 r = 1
绝对收敛
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kk
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -7
矩阵的幂级数
– Neumann级数收敛充要条件
设,称矩阵幂级数 为 Neumann级数
收敛
并且在此级数收敛时，其和为
证明,
充分性,
幂级数 的收敛半径为 1
必要性：若矩阵幂级数
收敛，记
,,则
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0 kk A
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收敛矩阵的充要条件
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -8
矩阵的幂级数
当 收敛时,
取
可逆
由于
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A是收敛矩阵 lim n
n A?? ? 0
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -9
矩阵的幂级数
– 举例
设
判断矩阵幂级数 的敛散性，若收敛，求其和
解,norm(A,1)
ans = 0.9000
即,所以 绝对收敛
inv(eye(size(A))-A)
ans =
2.0000 1.0000 1.0000
3.1429 4.4286 3.0000
1.4286 1.7857 2.5000
0,2 0,1 0,2
0,5 0,5 0,4
0,1 0,3 0,2
A
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -10
矩阵函数
– 定义,
矩阵函数的定义基于收敛的矩阵幂级数 。
收敛于一个唯一的矩阵，即此矩阵幂级数的和 S。 这样，矩
阵幂级数在矩阵 与 之间建立了一个映射,
称此映射为矩阵函数，它是以矩阵为变量（更为确切地，以方阵为变
量）且取值为矩阵（方阵）的一类函数。
称 S为 A在映射 f下的象，记作,
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -11
矩阵函数
相应地，根据矩阵幂级数的收敛准则，将矩阵幂级数
的和分别记为下列矩阵函数
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k nn
k
A AC
k
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -12
矩阵函数在矩阵分析中的应用
许多工程问题，常常化为求解一阶常系数微分方程组的问题
– 由线性元件构成的网络状态方程组及输出方程组
– 其它动态系统或受控系统
L
C
R2
R1
u(t) iL iC
x Ax Bu??
y C x D u??
m
y(t)
F(t)
x Ax Bu??
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -13
矩阵函数在矩阵分析中的应用
– 离散时间系统
假设上述方程组的初始条件为 或
先考察 u(t) = 0时,的解，这时状态方程组简化为
这相当于求系统的零输入响应
当矩阵 A为数 a时，其解为
可以设想，当 而 时,的解含有
,可以证明 都是收敛的，因而其和是有意义的
离散时间系统 x(n) y(n)
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( ) ( ) ( )y n C m n D x n??
x Ax Bu??
x Ax?
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -14
矩阵函数在矩阵分析中的应用
– 矩阵函数, 及 满足代数三角函数的性质 Euler公式
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -15
矩阵函数在矩阵分析中的应用
– 常用矩阵函数的性质
设,且
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s i n ( ) s i n c o s c o s s i nA B A B A B? ? ? ?
c o s ( ) c o s c o s s i n s i nA B A B A B? ? ? ?
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3 2 2 31 ( 3 3 )
3! A A B AB B? ? ? ? ?
充要条件
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -16
矩阵函数在矩阵分析中的应用
– 常用矩阵函数的性质
设
若, 是 A的特征值，则矩阵函数 的特
征值为
由 Jordan定理，,使得
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -17
矩阵函数在矩阵分析中的应用
再设,可得如下矩阵幂级数
收敛。由于
即矩阵幂级数 收敛，由于 的对角线元素为
所以，这些复数项幂级数收敛，且
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -18
矩阵函数在矩阵分析中的应用
由于相似矩阵具有相同的特征值，所以 的特征值为
由此,的特征值为
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -19
矩阵函数在矩阵分析中的应用
– 需要注意的几点
除非 A为对角矩阵
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -20
矩阵函数在矩阵分析中的应用
? 的求法举例
– 利用 Hamilton-Cayley定理
已知
求
解,
由 Hamilton-Cayley定理
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -21
矩阵函数在矩阵分析中的应用
? 的求法举例
– 利用相似对角化
若
同理
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3 5 0
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -22
矩阵函数在矩阵分析中的应用
? 的求法举例
– 利用 Jordan标准形
Jordan块的幂
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -23
矩阵函数在矩阵分析中的应用
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -24
矩阵函数在矩阵分析中的应用
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -25
矩阵函数在矩阵分析中的应用
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -26
矩阵函数在矩阵分析中的应用
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -27
矩阵函数在矩阵分析中的应用
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1 2 0
4 0 3
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2
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2
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -28
矩阵函数在矩阵分析中的应用
? 的求法举例
– 利用矩阵多项式
为计算
利用多项式的带余除法，将 表示为如下形式,
由 Hamilton-Cayley定理
令
因为
所以
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( ) (,) ( 0,1,,1 ; 1,2,,)
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -29
矩阵函数在矩阵分析中的应用
已知
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1 2 0
4 0 3
A
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?????
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() tf t e?? ?
2( ) ( 1 ) ( 2 )? ? ? ?? ? ?
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2 1 0( 1,) ( ) ( ) ( ) tr t b t b t b t e? ? ? ?
21( 1,) 2 ( ) ( ) tr t b t b t t e? ? ? ?
22 1 0( 2,) 4 ( ) 2 ( ) ( ) tr t b t b t b t e? ? ? ?
22 1 0( ) ( ) ( )Ate b t A b t A b t I? ? ?
利用矩阵 A的最小多项式，
还可以进一步降低 的
次数，从而使待定的系数减
少，进一步化简计算。
(,)rt?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -30
矩阵的微分和积分
– 以函数为元素的矩阵 ——函数矩阵
? 函数矩阵的微分和积分
– 泛函
? 数量函数对矩阵变量的导数
– 向量值函数或矩阵值函数对向量变量或矩阵变量的导数
**********************************************************************
– 函数矩阵的微分和积分
定义
以变量 t的函数为元素的矩阵
是定义在 [a,b]上的，若
在 [a,b]上连续、可微、可积，若每个 在 [a,b]上连续、可
微、可积
,mnf C F? ?
( ) ( ( ) )ij m nA t a t ??
[,]t a b?()At
()At ()ijat
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 9讲 -31
