信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -1
矩阵理论 -第六讲
兰州大学信息科学与工程学院
2004年
信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -2
上节内容回顾
? 范数在优化问题中的应用
? 几个重要的不等式
? 有限维赋范空间的范数特性
? 内积空间的正交性、构造标准正交向量组的方法
内积空间
赋范空间
Hilbert空间
完备
线性空间
n维实空间 Rn
? ?? ni iiyx 1,??
n维欧氏空间 n维复空间 C
n
n维复欧氏空间
（酉空间） ?
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Banach空间 完备
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -3
标准正交基
– Gram-Schmidt正交化定理
设 X是内积空间，而 是 X中线性无关的子集，则存在
标准正交集,使得
– Hilbert空间中完全的标准正交集，称之为标准正交基
? 标准正交集 的 完全性
标准正交集 称为是完全的，如果再不能添加元素于其中，使添
加后所得的集合仍是标准正交集。换句话说，假使这样的元素存在，
其必为 0，即若,使,,则必有
? 举例
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -4
标准正交基
或
–,可由 的标准正交基 的线性组合表示，其中对
应于 的系数为
– 又，若 的在同一标准正交基 的线性组合表示中，对
应于 的系数为,则
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -5
标准正交基
–,在标准正交基 的线性组合表示中，对应于 的系
数为,则
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -6
酉矩阵
– 对,若其 n个列向量是一个标准正交基，那么这样的矩
阵具有怎样的性质？
或,其中
具有这样性质的矩阵称为 酉矩阵 （ Why call it 酉？）
? 酉 = U,maybe,
Uniform,not changing,因为给定 A为酉矩阵，则
即：保持任两向量的内积不变，向量的长度不变，两点之间的距离
不变。
? 复内积空间 称为 酉空间
– 酉矩阵的性质,
? 若 A是酉矩阵，则 也是酉矩阵
证 1,A是酉矩阵
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -7
酉矩阵
– 酉矩阵的性质,
? 若 A是酉矩阵，则 也是酉矩阵
证 2,
? 若 A,B是酉矩阵，则 AB也是酉矩阵
证明,
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HAA ??1
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -8
酉矩阵
– 酉矩阵的性质,
? 若 A是酉矩阵，则,或
证明,
1det ?A 1d etd etd etd et ?? AAAA
2d e td e td e td e td e t
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -9
酉矩阵
– 酉矩阵的性质,
? A是酉矩阵 A的 n个列向量是两两正交的单位向量
证明,
设矩阵,则
易见,A是酉矩阵的充分必要条件是
)( 21 naaaA ??
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -10
酉相似下的标准形
– 方阵 A有 n个线性无关的特征向量（ A的所有特征值的几何重数等
于其代数重数）
– 若此条件不满足，退而求其次，方阵 A在复数域上总是能相似于
Jordan标准形：分块对角矩阵
– 再退而求其次，不管 n阶方阵的特征向量的相关性，也不管其特
征值的代数重数和几何重数，方阵 A总可以 酉相似 于一个上三角
矩阵
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -11
酉相似下的标准形
– Schur定理：任一复数方阵均可酉相似于上三角矩阵
设, 则 A可酉相似于上三角矩阵 T,即,且
,使得
证明,
用归纳法证明。当 n = 1时，显然成立。假设 Schur定理对 n – 1阶
矩阵成立
设 为 A的属于 的特征向量，因,将其化为单位特征
向量, 仍是 A的属于 的特征向量。
因 中线性无关的向量可扩充为其基，将 扩充为 的一组
基,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -12
酉相似下的标准形
依 Gram-Schmidt正交化程序，将其化为 的标准正交基
以此标准正交基作列向量，则构成 n阶酉矩阵
注意到 及 的列向量的正交性,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -13
酉相似下的标准形
是 n – 1阶矩阵，根据归纳假设，,且
使得
构造分块矩阵
酉矩阵 是酉矩阵
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -14
酉相似下的标准形
从而 是 n阶酉矩阵，且
由于相似矩阵有相同的特征值，所以 T的对角线元素也是 A的特征值
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -15
正规矩阵
在酉相似的情形下，即
若上式中的 A是正规矩阵，则 A酉相似于对角矩阵，即
? 正规矩阵
– 定义在复数域上的、满足 的方阵称之为 正规矩阵
? 酉矩阵
? 正交矩阵
? Hermite矩阵 或
? 反 Hermite矩阵 或
? 实对称矩阵
? 实反对称矩阵
? 对角矩阵
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -16
正规矩阵
? 方阵酉相似于对角阵的充要条件
– 设, A酉相似于对角矩阵的充分必要条件是 A为正规矩
阵
证明,
必要性,
设,且,使得
令,则
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -17
正规矩阵
充分性,
由 Schur定理，,且,使得
nnCU ??? HUU ??1
矩阵乘积的共轭转置，等于各矩阵取共轭转置后按反序相乘
HH AAAA ?
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A是正规矩阵
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -18
正规矩阵
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nnnnnnnnnnnn aaaaaaaa ???? ?2211
)(,0 jia ij ?? T是对角阵 TAUU H ?
信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -19
正规矩阵
– 推论 1
Hermite矩阵的特征值均为实数，反 Hermite矩阵的特征值为 0或纯
虚数。
证明,
设 是 Hermite矩阵，则 A是正规矩阵
,且 使得
若 A是反 Hermite矩阵，可得
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nnCU ??? HUU ??1
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A是 Hermite矩阵 AAH ? DAUUD HH ??
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),1( niii ???? ??
),1( nijbajba iiii ?????? ),1( niaa ii ????
反 Hermite矩阵的特征值为 0或纯实数
信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -20
正规矩阵
– 推论 2
实对称矩阵的特征值均为实数，实反对称矩阵的特征值为 0或纯
虚数。
– 推论 3
设 是正规矩阵,是 A的特征值,x是 A的属于特征值
的特征向量，则 是 的特征值,x是 的属于特征值 的特
征向量。
证明,
由于 A是正规矩阵，所以,且 使得
两边同时取共轭转置
相似的矩阵有相同的特征值,是 的特征值
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)d i a g ( 21 nH AUU ??? ??
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -21
正规矩阵
设,则
类似地，由
可得
即：当 是 A的属于特征值 的特征向量时,也是 的属于
特征值 的特征向量，由于 是 的标准正交基，
x在同一标准正交基下的坐标相同，所以，当 x是 A的属于特征值
的特征向量时，也是 的属于特征值 的特征向量
),,1( niuAu iii ??? ?
)d i a g ( 21 nHH UAU ??? ??
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)d i a g ( 21 nH AUU ??? ??
)( 21 nuuuU ??
)d i a g ( 21 nUAU ??? ??
),,1( niuuA iiiH ??? ?
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -22
正规矩阵
– 推论 4
设 是正规矩阵,是其特征值,分别是 A的属
于 的特征向量。若,则 x与 y正交。
证明,
由命题中可知：, 。又由推论 3知
从而
由上式可得
当 时，,故 x与 y正交
nnCA ?? ??,yx,
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xAx ?? yAy ?? yyA H ??
yAxyAxyxyxxy HHHHH )()(,???? ???
xyyxyx HH,)( ??? ???
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??? 0,?xy
信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -23
正规矩阵
– 方阵相似于对角阵的充要条件
每个特征值的几何重数等于其代数重数,
– 方阵酉相似于对角阵的充要条件
A为正规矩阵,
– 酉相似是相似的特殊情形
由于二者均为充要条件，所以可以断定，正规矩阵的特征值的几
何重数等于其代数重数
对正规矩阵，一定存在酉矩阵，使其相似于对角阵。
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -24
正规矩阵
– 化正规矩阵为对角阵
由 的基
构成的矩阵
可使
依 Gram-Schmidt正交化程序，将 T的列向量化为 的标准正交基,
则酉矩阵
使得
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -25
正规矩阵
举例,
设
– A是否正规矩阵？
– 若是，求使得 为对角阵的酉矩阵 U
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -26
正规矩阵
因为,所以 A是 Hermite矩阵，从而是正规矩阵
求对应于 的特征向量
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -27
正规矩阵
可得对应于 的特征向量
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正规化,
于是,使得
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AUU H
信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -28
矩阵理论 -第六讲
兰州大学信息科学与工程学院
2004年
信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -2
上节内容回顾
? 范数在优化问题中的应用
? 几个重要的不等式
? 有限维赋范空间的范数特性
? 内积空间的正交性、构造标准正交向量组的方法
内积空间
赋范空间
Hilbert空间
完备
线性空间
n维实空间 Rn
? ?? ni iiyx 1,??
n维欧氏空间 n维复空间 C
n
n维复欧氏空间
（酉空间） ?
?? ni iiyx 1,??
Banach空间 完备
xxx,2 ?
信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -3
标准正交基
– Gram-Schmidt正交化定理
设 X是内积空间，而 是 X中线性无关的子集，则存在
标准正交集,使得
– Hilbert空间中完全的标准正交集，称之为标准正交基
? 标准正交集 的 完全性
标准正交集 称为是完全的，如果再不能添加元素于其中，使添
加后所得的集合仍是标准正交集。换句话说，假使这样的元素存在，
其必为 0，即若,使,,则必有
? 举例
}:{ Nnx n ?
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -4
标准正交基
或
–,可由 的标准正交基 的线性组合表示，其中对
应于 的系数为
– 又，若 的在同一标准正交基 的线性组合表示中，对
应于 的系数为,则
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -5
标准正交基
–,在标准正交基 的线性组合表示中，对应于 的系
数为,则
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -6
酉矩阵
– 对,若其 n个列向量是一个标准正交基，那么这样的矩
阵具有怎样的性质？
或,其中
具有这样性质的矩阵称为 酉矩阵 （ Why call it 酉？）
? 酉 = U,maybe,
Uniform,not changing,因为给定 A为酉矩阵，则
即：保持任两向量的内积不变，向量的长度不变，两点之间的距离
不变。
? 复内积空间 称为 酉空间
– 酉矩阵的性质,
? 若 A是酉矩阵，则 也是酉矩阵
证 1,A是酉矩阵
nnCA ??
IAA H ? HAA ??1 TH AA ?
yxAyAx,,?
nC
1?A
IAA H ?
HAA ??1
AA HH ?)(
IAA HH ?? )(1 IAA H ??? )( 11
HAA )()( 111 ??? ?
信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -7
酉矩阵
– 酉矩阵的性质,
? 若 A是酉矩阵，则 也是酉矩阵
证 2,
? 若 A,B是酉矩阵，则 AB也是酉矩阵
证明,
1?A
HT
TTH
AA
AAAA
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IAA H ??? 11 )(
111111 ?????? ??? AAIAAAAAA
BAbababacAB nk kjiknk kjiknk kjikij ????? ??? ??? )()()()( 111
TTTHH BAABABABAB )()( 111 ???? ???
HAA ??1
HBB ??1
TAB)(?
信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -8
酉矩阵
– 酉矩阵的性质,
? 若 A是酉矩阵，则,或
证明,
1det ?A 1d etd etd etd et ?? AAAA
2d e td e td e td e td e t
d e t)d e t (d e td e t)d e t (d e t1
AAAAA
AAAAAAI THH
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)d e t ()d e t ( AA ?
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k
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k
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j
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AaAaA
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -9
酉矩阵
– 酉矩阵的性质,
? A是酉矩阵 A的 n个列向量是两两正交的单位向量
证明,
设矩阵,则
易见,A是酉矩阵的充分必要条件是
)( 21 naaaA ??
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aaaaaa
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,1,
信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -10
酉相似下的标准形
– 方阵 A有 n个线性无关的特征向量（ A的所有特征值的几何重数等
于其代数重数）
– 若此条件不满足，退而求其次，方阵 A在复数域上总是能相似于
Jordan标准形：分块对角矩阵
– 再退而求其次，不管 n阶方阵的特征向量的相关性，也不管其特
征值的代数重数和几何重数，方阵 A总可以 酉相似 于一个上三角
矩阵
),,,d i a g (~ 21 naaaA ?
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -11
酉相似下的标准形
– Schur定理：任一复数方阵均可酉相似于上三角矩阵
设, 则 A可酉相似于上三角矩阵 T,即,且
,使得
证明,
用归纳法证明。当 n = 1时，显然成立。假设 Schur定理对 n – 1阶
矩阵成立
设 为 A的属于 的特征向量，因,将其化为单位特征
向量, 仍是 A的属于 的特征向量。
因 中线性无关的向量可扩充为其基，将 扩充为 的一组
基,
TAUUAUU H ??? 1
nnCA ?? nnCU ???
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1u? 1? 01??u
1u 1u 1?
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u
u
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -12
酉相似下的标准形
依 Gram-Schmidt正交化程序，将其化为 的标准正交基
以此标准正交基作列向量，则构成 n阶酉矩阵
注意到 及 的列向量的正交性,
nuuu ?21
)( 211 nuuuU ??
)( 2111 nAuAuuAU ???
)( 2112
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -13
酉相似下的标准形
是 n – 1阶矩阵，根据归纳假设，,且
使得
构造分块矩阵
酉矩阵 是酉矩阵
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -14
酉相似下的标准形
从而 是 n阶酉矩阵，且
由于相似矩阵有相同的特征值，所以 T的对角线元素也是 A的特征值
211221122111121 )( UAUUUUAUUUUAUUUAUU HHHH ??? ???
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -15
正规矩阵
在酉相似的情形下，即
若上式中的 A是正规矩阵，则 A酉相似于对角矩阵，即
? 正规矩阵
– 定义在复数域上的、满足 的方阵称之为 正规矩阵
? 酉矩阵
? 正交矩阵
? Hermite矩阵 或
? 反 Hermite矩阵 或
? 实对称矩阵
? 实反对称矩阵
? 对角矩阵
TAUUAUU H ??? 1
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IAAAA HH ??
IAAAA TT ??
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AA H ?? AAT ??
AAT ?
AAT ??
)d i ag ( 21 n??? ?
信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -16
正规矩阵
? 方阵酉相似于对角阵的充要条件
– 设, A酉相似于对角矩阵的充分必要条件是 A为正规矩
阵
证明,
必要性,
设,且,使得
令,则
nnCA ??
nnCU ??? HUU ??1
)d i a g ( 211 nH AUUAUU ??? ????
Dn ?)d i ag ( 21 ??? ?
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HUDU?
HHHHH UDU D IDUDUU D UUDUAA ??? ))((
HHH AAUDUU D U ?? ))(( A是正规矩阵
信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -17
正规矩阵
充分性,
由 Schur定理，,且,使得
nnCU ??? HUU ??1
矩阵乘积的共轭转置，等于各矩阵取共轭转置后按反序相乘
HH AAAA ?
TAUU H ?
AUAUAUUUAUTT HHHHHH ?? ))((
HHHHTHTTTHTHH UAUUAUUAUAUUT )()()()()( ????
UAU HH?
A是正规矩阵
HHHHHHHHH TTUAA U UUUA I AUUAAUTT ????
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -18
正规矩阵
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nn aaaaaaaa 11121211111111 ???? ?
nn aaaaaaaaaa 222323222222221212 ????? ?
nn aaaaaaaaaaaa 3334343333333323231313 ?????? ?
nnnnnnnnnnnn aaaaaaaa ???? ?2211
)(,0 jia ij ?? T是对角阵 TAUU H ?
信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -19
正规矩阵
– 推论 1
Hermite矩阵的特征值均为实数，反 Hermite矩阵的特征值为 0或纯
虚数。
证明,
设 是 Hermite矩阵，则 A是正规矩阵
,且 使得
若 A是反 Hermite矩阵，可得
nnCA ??
nnCU ??? HUU ??1
DAUU nH ?? )d i a g ( 21 ??? ?
UAUAUUD HHHHH ?? )(
A是 Hermite矩阵 AAH ? DAUUD HH ??
),1( niii ??? ?? Hermite矩阵的特征值均为实数
),1( niii ???? ??
),1( nijbajba iiii ?????? ),1( niaa ii ????
反 Hermite矩阵的特征值为 0或纯实数
信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -20
正规矩阵
– 推论 2
实对称矩阵的特征值均为实数，实反对称矩阵的特征值为 0或纯
虚数。
– 推论 3
设 是正规矩阵,是 A的特征值,x是 A的属于特征值
的特征向量，则 是 的特征值,x是 的属于特征值 的特
征向量。
证明,
由于 A是正规矩阵，所以,且 使得
两边同时取共轭转置
相似的矩阵有相同的特征值,是 的特征值
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)d i a g ( 21 nHH UAU ??? ??
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nnCU ??? HUU ??1
)d i a g ( 21 nH AUU ??? ??
? HA
信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -21
正规矩阵
设,则
类似地，由
可得
即：当 是 A的属于特征值 的特征向量时,也是 的属于
特征值 的特征向量，由于 是 的标准正交基，
x在同一标准正交基下的坐标相同，所以，当 x是 A的属于特征值
的特征向量时，也是 的属于特征值 的特征向量
),,1( niuAu iii ??? ?
)d i a g ( 21 nHH UAU ??? ??
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)d i a g ( 21 nH AUU ??? ??
)( 21 nuuuU ??
)d i a g ( 21 nUAU ??? ??
),,1( niuuA iiiH ??? ?
i? iu
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -22
正规矩阵
– 推论 4
设 是正规矩阵,是其特征值,分别是 A的属
于 的特征向量。若,则 x与 y正交。
证明,
由命题中可知：, 。又由推论 3知
从而
由上式可得
当 时，,故 x与 y正交
nnCA ?? ??,yx,
??,???
xAx ?? yAy ?? yyA H ??
yAxyAxyxyxxy HHHHH )()(,???? ???
xyyxyx HH,)( ??? ???
0,)( ?? xy??
??? 0,?xy
信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -23
正规矩阵
– 方阵相似于对角阵的充要条件
每个特征值的几何重数等于其代数重数,
– 方阵酉相似于对角阵的充要条件
A为正规矩阵,
– 酉相似是相似的特殊情形
由于二者均为充要条件，所以可以断定，正规矩阵的特征值的几
何重数等于其代数重数
对正规矩阵，一定存在酉矩阵，使其相似于对角阵。
)(,,,,,,2111
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),,2,1(,d i m kiVr ii ??? ?
HH AAAA ?
)d i a g ( 211 nH AUUAUU ??? ????
信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -24
正规矩阵
– 化正规矩阵为对角阵
由 的基
构成的矩阵
可使
依 Gram-Schmidt正交化程序，将 T的列向量化为 的标准正交基,
则酉矩阵
使得
nirii F
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),,2,1(,kiV i ???
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)( 1111 1 kkrkr uuuuU ????
DAUUAUU H ??? 1
信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -25
正规矩阵
举例,
设
– A是否正规矩阵？
– 若是，求使得 为对角阵的酉矩阵 U
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -26
正规矩阵
因为,所以 A是 Hermite矩阵，从而是正规矩阵
求对应于 的特征向量
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)1(2)1(
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -27
正规矩阵
可得对应于 的特征向量
,类似地
正规化,
于是,使得
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -28
