信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 1
矩阵理论 -第四讲
兰州大学信息科学与工程学院
2004年
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 2
上节内容回顾
? 化方阵 A为 Jordan标准形
– 特征向量法
– 初等变换法
? 多项式矩阵（ λ矩阵）
? 多项式矩阵的 Smith标准型
? 不变因子、初等因子
– 行列式因子法
? 的相似变换矩阵 P的求法
1,在 A的 Jordan矩阵中 构
造 k个 以 为对角元素
的 Jordan块
2,k个 Jordan块的 阶数之
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 3
Hamilton-Cayley定理
? 任一方阵都是它的特征多项式的根
– Hamilton-Cayley定理
设,,则
– 证明,
由于
显然
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运算结果是一个 多项式
运算结果是一个 数
运算结果是一个 矩阵
运算结果是一个 零矩阵
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 4
Hamilton-Cayley定理
? 任一方阵都是它的特征多项式的根
– 证明,
考察 J,
JAPP ??1nnnCP ???
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 5
Hamilton-Cayley定理
将 J写成如下形式,
上式中 是 A 的 n个根，所以
将矩阵 A代入上式，形成一个矩阵多项式，,
将 代入上式,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 6
Hamilton-Cayley定理
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 7
Hamilton-Cayley定理
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 8
Hamilton-Cayley定理
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 9
Hamilton-Cayley定理
? 任一方阵都是它的特征多项式的根
– 证明,
仿照常数矩阵的伴随矩阵的定义，定义多项式矩阵的伴随矩阵,
设
其中,是 的行列式的 第 i行第 j列 元素的代数余子式，
那么与常数矩阵类似,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 10
Hamilton-Cayley定理
设 是矩阵 A的特征矩阵的伴随矩阵，那么
是次数为 n的多项式,
再考察, 其每个元素的次数均不超过 n – 1,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 11
Hamilton-Cayley定理
令,
利用矩阵加法的定义 将 分解
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 12
Hamilton-Cayley定理
考察等式 的右边,
考察其左边,
比较两边的系数,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 13
Hamilton-Cayley定理
以 依次右乘这些等式,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 14
Hamilton-Cayley定理的应用
– 化简矩阵多项式的计算,
? 当 n阶方阵的矩阵多项式 中 A的最高次幂超过 n时，可用 多项
式的带余除法,将此矩阵多项式对应的多项式 表示为
与商 的积，再加上余式 的形式,
那么根据 Hamilton-Cayley定理
这样可简化 的计算
– 多项式的带余除法
设, 为任意多项式,不恒等于 0，则必有两个多项
式 和,使得
式中 或
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 15
Hamilton-Cayley定理的应用
– 举例,
给出,
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2,；
3,；
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 16
Hamilton-Cayley定理的应用
商,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 17
Hamilton-Cayley定理的应用
所以,
第 2个问题
第 3个问题
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：待定系数法
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 18
方阵的零化多项式和最小多项式
? 方阵的零化多项式
设, 是多项式，如果 成立，则称
为方阵 A的 零化多项式
– 是 A的零化多项式
– 不恒等于零, 是 A的零化多项式
? 方阵的最小多项式
设,在 A的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为
A的最小多项式，记为
– 设, 且, 成立，且
是唯一的
证明,采用反证法
设 是 A的任一零化多项式，假设 不能整除,则
根据多项式的带余除法,
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)d e t ()( AI ?? ???
)(?f? )()( ???f
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)(?Am
)()( ?? fm A
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)(?f? 0?)( Af )(?Am
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 19
方阵的零化多项式和最小多项式
而
是 A的最小多项式：与假设矛盾
再证最小多项式的唯一性
假设 也是 A的最小多项式
首先,, 均成立
其次,与 次数相同，否则其中一个不是最小多项式
因此,,的商为常数因子
又因为 与 都是首一的，此常数因子必等于 1
所以
)()()()( ???? rmqf A ?? )(d e g)(d e g ?? Amr ?
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)()(~ ?? AA mm )(~)( ?? AA mm
)()(~ ?? AA mm ?
)(~ ?Am )(?Am
)(d e g)(d e g ?? Amr ?
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 20
方阵的零化多项式和最小多项式
– 定理
矩阵 A的特征根也必定是 A的最小多项式的根； A的最小多项式的根
必定是 A的特征根
证明, 根据矩阵多项式的特征值的定理，即
设 是 的特征值
,矩阵多项式 的特征值为
并且，若 则 A的任一特征值满足
是 A的次数最低的、首一的零化多项式,
即,A的特征根也必定是 A的最小多项式的根
又：设 是 的根，即,可得
是 A的特征根
Cn ????,,,21 ? nxnCA?
)(?f? )(Af
)(,),(),( 21 nfff ??? ?
0?)( Af 0)( ?if ?
)(?Am
0)( ?iAm ?
0)( ?Am A
)(?Am? 0)( ??Am
0)()()d e t ( ??? ??? AmqAI ?
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 21
方阵的零化多项式和最小多项式
– 矩阵 A的特征根也必定是 A的最小多项式的根，由此可得到求最
小多项式的一个方法,
设 的所有不同的特征值为,则其特征
多项式可写为,
那么 A的最小多项式应该具有如下形式,
这就是下述定理所描述的内容,
– 定理
设, 是 A的所有互不相同的特征值，
则
其中 是 A的 Jordan标准形中含 的 Jordan块的最高阶数
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t ????,,,21 ?
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nxnCA? C
t ????,,,21 ?
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 22
方阵的零化多项式和最小多项式
?
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可能相同
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?? 4)()( iAm ??? ??
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 23
方阵的零化多项式和最小多项式
– 定理
设, 是 A的特征矩阵 的 n – 1阶行列式因子，
则 A的最小多项式为,
nxnCA?
)()( )()( )d e t ()(
11
?????? n
n
n
n
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D
D
AIm ????
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)(1 ??nD AI ??
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 24
方阵的零化多项式和最小多项式
– 举例,
求
的最小多项式
方法 1
最小多项式只能有以下形式
次数从低到高依次验证
所以
?
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2)2()( ?? ??Am
)d e t ()( AIm A ???
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 25
方阵的零化多项式和最小多项式
– 举例,
求
的最小多项式
方法 2 (Jordan标准形法 )
, A的 Jordan标准形中含 的 Jordan块的最高阶数
?
?
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 26
方阵的零化多项式和最小多项式
– 举例,
求
的最小多项式
方法 1 (第 n阶不变因子 )
?
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 27
方阵的零化多项式和最小多项式
– 举例,
求
的最小多项式
方法 2 (Jordan标准形法 )
, A的 Jordan标准形中含 的 Jordan块的最高阶数
?
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0011
J )3()1()( 3 ??? ???Am
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 28
多项式矩阵的逆
– 多项式矩阵的逆
设,若,使得
成立
则称 是可逆的，或称 是 单模矩阵
– 多项式矩阵的逆是唯一的
设 也是 的逆，则
– 多项式矩阵可逆的充要条件
可逆
证明,
? 必要性
假设 可逆，则, 成立
nnnCA ??)(? nnCB ??? )(?
IABBA ?? )()()()( ????
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nnCA ??)(? )(?B? IABBA ?? )()()()( ????
1)](d e t [)](d e t [)]()(d e t [ ?? ???? ABBA
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 29
多项式矩阵的逆
? 充分性
设,则 使得
其中,是 的伴随多项式矩阵
0)](d e t [
0)](d e t [
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 30
初等矩阵及多项式矩阵的等价
– 结论,
对多项式方阵，满秩未必可逆
初等多项式矩阵都是可逆的
初等多项式矩阵都是单模的
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),( jiI 1),(d e t ??jiI
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))(( jiI ?? ?? 1))((d e t ??? jiI ??
ts QQPP,,,,,11 ???
初等阵，使得
)()( ?? SA ??0
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 31
多项式矩阵的等价
与 有相同的行列式因子，或相同
的不变因子
证明,
? 必要性
多项式矩阵的 Smith标准形的唯一性
与 有相同的不变因子
多项式矩阵的行列式因子和不变因子之间的关系
与 有相同的行列式因子
)()( ?? BA ? )(?A )(?B
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)()( ?? BSA ?
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k
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)(?A )(?B
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 32
多项式矩阵的等价
? 充分性
设 与 有相同的不变因子（因而有相同的行列式因子），
则它们与同一个 Smith标准形等价，即
– 矩阵的相似与其特征矩阵的等价之间的关系
– 定理
相似矩阵有相同的最小多项式
证明,
)(?A )(?B
)()( ?? SB ?
)()( ?? SA ?
)()( ?? BA ?
多项式矩阵等价的传递性
BIAIBA ???? ??~
BA~ )()( ?? BA mm ?
BA~ BIAI ??? ??
)()( )()( ?? BnAn dd ? )()( ?? BA mm ?
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 33
多项式矩阵的互质性简介
– 右公因子 (Right Common Factor),
设 与,如果存在多项式矩阵,
以及,使得
及 成立
则称多项式矩阵 是 与 的右公因子
– 左公因子 (Left Common Factor)
设 与,如果存在多项式矩阵,
以及,使得
及 成立
则称多项式矩阵 是 与 的左公因子
– 最大右公因子 (greatest common right decomposition factor,gcrd)
1,是 与 的右公因子；
2,与 的任一其它的右公因子 都是 的右乘因子
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)(?R
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)(?N)(?D
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)(?R )(?N )(?D
)(?L )(?N )(?D
)(?R )(?N )(?D
)(?N )(?D )(1 ?R )(?R
)()()( 1 ??? RWR ?
通
过
转
置
关
系
：
研
究
其
中
之
一
即
可
pnCN ??)(?pmCD ??)(?
mpCD ??)(? npCN ??)(?
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 34
多项式矩阵的互质性简介
– gcrd的存在性
及,其 gcrd都存在。
– gcrd的构造定理
若存在单模矩阵,使得
则 即为 与 的一个 gcrd
证明,
先证 是右公因子。为此，把 的逆矩阵 写成分块矩
阵,
nmCN ??? )(?nnCD ??? )(?
nnCR ??)(? )(?N )(?D
)()()( nmnmCG ?????
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 35
多项式矩阵的互质性简介
以 左乘定理中的等式两边，可得
比较等式里边分块矩阵中的每一个分块，可知 是 与
的右公因子
再证 是 gcrd,即若 为 与 的另一右公因子，证
明 是 的右乘因子，将
代入
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)(?R)(1 ?R
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 36
多项式矩阵的互质性简介
可得
– gcrd的求法
若对分块多项式矩阵
进行一系列初等行变换，使其下面的 m × n分块成为零多项式块
则
就是求 与 的 gcrd的变换矩阵,就是所求的 gcrd
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 37
多项式矩阵的互质性简介
– 求 gcrd举例
给出
求
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I
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 38
多项式矩阵的互质性简介
– 求 gcrd举例
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 39
多项式矩阵的互质性简介
– gcrd的基本性质
1,不唯一性。
单模矩阵
2,
满秩 满秩
单模 单模
3,
若,则
pnCN ??)(?pmCD ??)(?
))(),(g c r d ()( ??? NDR ?
pppCW ??)(?? ))(),(g c r d ()()( ???? NDRW ?
))(),(g cr d ()())(),(g cr d ()( 21 ?????? NDRNDR ????
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)(1 ?R )(2 ?R
)(2 ?R
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nND ????????? )( )(r a n k ??
nRNDR ??? ))(r an k ())(),(g cr d ()( ????
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 40
多项式矩阵的互质性简介
– gcrd的基本性质
4,
对 及,若
则 可表示为
事实上，由 gcrd的构造定理
取, 即可
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)()()()()( ????? NYDXR ??
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N
D
GG
GG
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)()( 12 ?? GY ?
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 41
多项式矩阵的互质性简介
– 多项式矩阵的互质
称 与 是右互质的，若
为单模矩阵
– 多项式矩阵的互质的 Bezout判别准则
与 右互质
使 Bezout等式 成立
证明,
? 必要性
与 右互质
为单模矩阵，以其逆 左
乘构造定理中的上分块矩阵等式
可得
))(),(g c r d ()( ??? NDR ?
pnCN ??)(?pmCD ??)(?
nmCN ??)(?nnCD ??)(? mnnn CNCD ?? ??? )(,)( ??
INYDX ?? )()()()( ????
nmCN ??)(?nnCD ??)(?
))(),(g c r d ()( ??? NDR ? )(1 ??R
)()()()()( 1211 ????? NGDGR ??
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 42
多项式矩阵的互质性简介
令
则充分性得证
? 充分性
设 Bezout等式成立,
给定一个
则 及,使得
成立
代入 Bezout等式
从而 是单模矩阵 与 右互质
INGRDGR ?? ?? )()()()()()( 121111 ??????
)()()()()()( 121111 ?????? GRYGRX ?? ??
INYDX ?? )()()()( ????
))(),(g c r d ()( ??? NDR ?
)(?N)(?D?
)()()( ??? RNN ? )()()( ??? RDD ?
IRNYDX ?? )())()()()(( ?????
)(?R )(?N)(?D
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 43
多项式矩阵的互质性简介
– 多项式矩阵的互质的 Smith标准形判别准则
与 右互质 分块多项式矩阵
的 Smith标准形为
即,
证明,
? 必要性
???
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 44
多项式矩阵的互质性简介
由 gcrd构造定理有,
(1)
其中,是单模矩阵
若 与 右互质 是单模矩阵
设 的逆为,以其右乘 (1)式
由于 等价的多项式矩阵具有相同的 Smith标准形
必要性得证
)(?G
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)(?Q)(?R
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N
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? Smith标准形
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 45
多项式矩阵的互质性简介
? 充分性
若
成立
与 （均为单模阵），使得
成立，设 的逆为,以其右乘上式，可得
由构造定理，,且单模
与 右互质
???
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)( nI
N
D
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? Smith标准形
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)(?N)(?D
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 46
多项式矩阵既约性简介
– 多项式矩阵的行次数和列次数
对多项式矩阵,定义
分别为 的第 i行次数和 的第 j列次数，分别记为,
举例,
nmij CaA ??? ))(()( ??
))(( d e gm a x
)),(( d e gm a x
1,
1,
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aK
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2,1,
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KK
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 47
多项式矩阵既约性简介
– 多项式矩阵的列次表示式
多项式矩阵 可用其列次数表示为列次表示式
其中,是一 对角阵 ；
, 列次系数矩阵,其第 j列为 的第 j列中相应
于 项的系数组成的列 ；
, 低次剩余多项式矩阵,且
)(?A
),,,()(,2,1,nccc KKKc d i a gH ???? ??
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)()()( ??? lcckc AHAA ??
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340
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2
3
2
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 48
多项式矩阵既约性简介
– 多项式矩阵的行次表示式
多项式矩阵 可用其行次数表示为行次表示式
其中,是一 对角阵 ；
, 行次系数矩阵,其第 i行为 的第 i行中相应
于 项的系数组成的行 ；
, 低次剩余多项式矩阵,且
)(?A
),,,()(,2,1,mrrr KKKr d i a gH ???? ??
nmkr CA ??
)()()( ??? lrkrr AAHA ??
)(?A
),,1()(d e g,,miKA irirlr ????
lrA
???
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13243
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4014
040
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3
2
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irK,?
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 49
多项式矩阵既约性简介
– 多项式方阵的行列式与其列次的关系
多项式方阵 的行列式可表示为如下形式
– 多项式方阵的行列式与其行次的关系
多项式方阵 的行列式可表示为如下形式
– 多项式方阵的行次和与列次和的关系
多项式方阵的行次和等于列次和
的各项次数低于 ? ???? ? nj jcKkc KAA nj jc 1,1,d e t)(d e t ??
nnnCA ??)(?
nnnCA ??)(?
的各项次数低于 ? ???? ? ni irKkr KAA ni ir 1,1,d e t)(d e t ??
?? ?? ? nj jcni ir KK 1,1,
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 50
多项式矩阵既约性简介
– 多项式矩阵的既约性
? 列既约
设,若
则称 是列既约的
? 行既约
设,若
则称 是行既约的
nnnCA ??)(?
?? ?? ?? nj jcjcnj KAA 1,,1 )(d e g)(d e td e g ??
)(?A
nnnCA ??)(?
?? ?? ?? ni irirni KAA 1,,1 )(d e g)(d e td e g ??
)(?A
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 51
多项式矩阵既约性简介
– 举例
???
?
???
?
??
???
???
????
73
4223)(
2
2
A
373 4223d e g)(d e td e g 2
2
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?
?
?
?
???
???
2
1,2,1,
2
1,2,1,
312
422
j jccc
i irrr
KKK
KKK
是列既约的，但不是行既约的 )(?A
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 52
多项式矩阵既约性简介
– 定理
对,则
? 是列既约的
? 是行既约的
证明,
先证第一项
由于
故 当且仅当 时（即 满秩），有
根据列既约的定义,为列既约的
同理可证第二项
nnnCA ??)(?
)(?A
)(?A
nnnkc CA ??
nnnkr CA ??
的各项次数低于 ? ???? ? nj jcKkc KAA nj jc 1,1,d e t)(d e t ??
0det ?kcA
? ?? nj jcKA 1,)(d e td e g ?
kcA
)(?A
充要条件
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 53
多项式矩阵既约性简介
– 举例,
列次表示,
列次表示,
???
?
???
?
??
???
???
????
73
4223)(
2
2
A
???
?
???
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?????
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???
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???
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???
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03
42
0
0
71
23)( 2
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???
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???
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???
?
???
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73
422
01
03
0
0)(
2
2
A
???
?
???
??
71
23)(?
kcA ???
?
???
??
01
03
krA
是列既约的，但不是行既约的 )(?A
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 54
多项式矩阵既约性简介
– 化非既约多项式矩阵为既约,
? 通过对 进行适当的列（或行）初等变换，来降低某些列（或行）
的次数，以满足既约性的定义
? 适用于下列情形
? 对满秩非既约多项式方阵,可以找到 n阶单模矩阵
及,使得 与 为列既约或行既约
?? ?? ?? nj jcjcnj KAA 1,,1 )(d e g)(d e td e g ??
?? ?? ?? ni irirni KAA 1,,1 )(d e g)(d e td e g ??
? ?? ni irKA 1,)(d e td e g ?
? ?? nj jcKA 1,)(d e td e g ?
)(?A
nnnCA ??)(? )(?F
)(?G )()( ?? FA )()( ?? AG
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 55
多项式矩阵既约性简介
– 举例,
22
2
222
30
)3()2()3()2()( ??
???
?
???
?
?
?????? CA
?
?????
7)(d e td e g5 1,??? ? ?nj jcKA ?
满秩
非既约
)()()()( 12 ???? AGGG s ? )()()()( 21 ???? tFFFA ?
)(?G )(?F
22
2
2
10
)2(1)( ??
???
?
???
? ?? CG ?? 22
213
01)( ??
???
?
???
?
?? CF ??
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 56
多项式矩阵既约性简介
???
?
???
?
?
???
30
0)3()2()()( 22
?
???? AG
???
?
???
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????
3)3(
)3()2(0)()(
2
2
??
???? FA
5)(d e td e g 1,?? ? ?nj jcKA ?
5)(d e td e g 1,?? ? ?nj jcKA ?
列既约
列既约
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 57
矩阵理论 -第四讲
兰州大学信息科学与工程学院
2004年
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 2
上节内容回顾
? 化方阵 A为 Jordan标准形
– 特征向量法
– 初等变换法
? 多项式矩阵（ λ矩阵）
? 多项式矩阵的 Smith标准型
? 不变因子、初等因子
– 行列式因子法
? 的相似变换矩阵 P的求法
1,在 A的 Jordan矩阵中 构
造 k个 以 为对角元素
的 Jordan块
2,k个 Jordan块的 阶数之
和 等于
i?
ir
)1()( )()(
1
nkDDd
k
k
k ???
? ?
??
JA~
PJAP ?
?
?
?
?
?
??
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? iii iriirir
iii
ppAp
pAp
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?
1
11
?
)1(
1)(
1)( ~
00)(
??
??
??? ?
???
?
???
?? nm
rm
rrnrr F
D
DCIBA
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 3
Hamilton-Cayley定理
? 任一方阵都是它的特征多项式的根
– Hamilton-Cayley定理
设,,则
– 证明,
由于
显然
nxnCA? )d e t ()( AI ?? ??? 0?)( A?
)d e t ()( AI ?? ???
0)d e t ()( ??? AAIA?
运算结果是一个 多项式
运算结果是一个 数
运算结果是一个 矩阵
运算结果是一个 零矩阵
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 4
Hamilton-Cayley定理
? 任一方阵都是它的特征多项式的根
– 证明,
考察 J,
JAPP ??1nnnCP ???
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 5
Hamilton-Cayley定理
将 J写成如下形式,
上式中 是 A 的 n个根，所以
将矩阵 A代入上式，形成一个矩阵多项式，,
将 代入上式,
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1?? P JPA
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 6
Hamilton-Cayley定理
1
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 7
Hamilton-Cayley定理
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 8
Hamilton-Cayley定理
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 9
Hamilton-Cayley定理
? 任一方阵都是它的特征多项式的根
– 证明,
仿照常数矩阵的伴随矩阵的定义，定义多项式矩阵的伴随矩阵,
设
其中,是 的行列式的 第 i行第 j列 元素的代数余子式，
那么与常数矩阵类似,
)(* ?ijf
nnij CfA ??? ))(()( ??
nn
nnnn
n
n
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fff
fff
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 10
Hamilton-Cayley定理
设 是矩阵 A的特征矩阵的伴随矩阵，那么
是次数为 n的多项式,
再考察, 其每个元素的次数均不超过 n – 1,
IAIAIB )d e t ())(( ??? ???
)(?B
AAAI nnn d e t)1()( t r)d e t ( 1 ?????? ? ????
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2
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22
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21
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21
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1
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1
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11
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11
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nn
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nnnn
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 11
Hamilton-Cayley定理
令,
利用矩阵加法的定义 将 分解
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12
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11
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11
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12
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11
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2
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1
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2
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22
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21
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12
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11
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 12
Hamilton-Cayley定理
考察等式 的右边,
考察其左边,
比较两边的系数,
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 13
Hamilton-Cayley定理
以 依次右乘这些等式,
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2
2
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1
11
1
2
1
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)(A?0 =
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 14
Hamilton-Cayley定理的应用
– 化简矩阵多项式的计算,
? 当 n阶方阵的矩阵多项式 中 A的最高次幂超过 n时，可用 多项
式的带余除法,将此矩阵多项式对应的多项式 表示为
与商 的积，再加上余式 的形式,
那么根据 Hamilton-Cayley定理
这样可简化 的计算
– 多项式的带余除法
设, 为任意多项式,不恒等于 0，则必有两个多项
式 和,使得
式中 或
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)()()()( ???? rgqf ??
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 15
Hamilton-Cayley定理的应用
– 举例,
给出,
求
1,；
2,；
3,；
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462819)( 3457 ?????? ??????f
254)d e t ()( 23 ?????? ?????? AI )(?r
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 16
Hamilton-Cayley定理的应用
商,
4567
3457
254
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?????
???
?????
3456
3456
820164
46281764
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2345
345
20504010
46363710
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615123
4620143
234
234
???
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41082
41252
23
23
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???
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2
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2
3
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8223)( 2 ???? ???r
23104 234 ???? ????
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 17
Hamilton-Cayley定理的应用
所以,
第 2个问题
第 3个问题
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52
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32211 0 0 )()( kkkq ???? ??????
)2()1( 2 ??? ??
3)(d e g ??r
IkAkAkA 32211 0 0 ???
：待定系数法
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 18
方阵的零化多项式和最小多项式
? 方阵的零化多项式
设, 是多项式，如果 成立，则称
为方阵 A的 零化多项式
– 是 A的零化多项式
– 不恒等于零, 是 A的零化多项式
? 方阵的最小多项式
设,在 A的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为
A的最小多项式，记为
– 设, 且, 成立，且
是唯一的
证明,采用反证法
设 是 A的任一零化多项式，假设 不能整除,则
根据多项式的带余除法,
nxnCA? )(?f 0?)( Af )(?f
)d e t ()( AI ?? ???
)(?f? )()( ???f
nxnCA?
nxnCA?
)(?Am
)()( ?? fm A
)(?f )(?Am )(?f
)()()()( ???? rmqf A ?? )(d e g)(d e g ?Amr ?
)(?f? 0?)( Af )(?Am
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 19
方阵的零化多项式和最小多项式
而
是 A的最小多项式：与假设矛盾
再证最小多项式的唯一性
假设 也是 A的最小多项式
首先,, 均成立
其次,与 次数相同，否则其中一个不是最小多项式
因此,,的商为常数因子
又因为 与 都是首一的，此常数因子必等于 1
所以
)()()()( ???? rmqf A ?? )(d e g)(d e g ?? Amr ?
0??? )()()()( ArAmAqAf A 0?)( Ar
)(Ar
)()(~ ?? AA mm ??
)(~ ?Am )(?Am
)()(~ ?? AA mm )(~)( ?? AA mm
)()(~ ?? AA mm )(~)( ?? AA mm
)()(~ ?? AA mm ?
)(~ ?Am )(?Am
)(d e g)(d e g ?? Amr ?
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 20
方阵的零化多项式和最小多项式
– 定理
矩阵 A的特征根也必定是 A的最小多项式的根； A的最小多项式的根
必定是 A的特征根
证明, 根据矩阵多项式的特征值的定理，即
设 是 的特征值
,矩阵多项式 的特征值为
并且，若 则 A的任一特征值满足
是 A的次数最低的、首一的零化多项式,
即,A的特征根也必定是 A的最小多项式的根
又：设 是 的根，即,可得
是 A的特征根
Cn ????,,,21 ? nxnCA?
)(?f? )(Af
)(,),(),( 21 nfff ??? ?
0?)( Af 0)( ?if ?
)(?Am
0)( ?iAm ?
0)( ?Am A
)(?Am? 0)( ??Am
0)()()d e t ( ??? ??? AmqAI ?
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 21
方阵的零化多项式和最小多项式
– 矩阵 A的特征根也必定是 A的最小多项式的根，由此可得到求最
小多项式的一个方法,
设 的所有不同的特征值为,则其特征
多项式可写为,
那么 A的最小多项式应该具有如下形式,
这就是下述定理所描述的内容,
– 定理
设, 是 A的所有互不相同的特征值，
则
其中 是 A的 Jordan标准形中含 的 Jordan块的最高阶数
nxnCA? C
t ????,,,21 ?
tntnnAI )()()()d e t ( 21 21 ??????? ????? ?
tinmm iimtmmA t,,1)()()()( 21 21 ?? ?????? ???????
nxnCA? C
t ????,,,21 ?
tmtmmAm )()()()( 21 21 ??????? ???? ?
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 22
方阵的零化多项式和最小多项式
?
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2
2111
1
11 )(,)(,)(,)(,)(,)( 1221111 ???????????? ?????? ????
可能相同
)(1 ?d )(2 ?d )(?nd
?? 4)()( iAm ??? ??
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 23
方阵的零化多项式和最小多项式
– 定理
设, 是 A的特征矩阵 的 n – 1阶行列式因子，
则 A的最小多项式为,
nxnCA?
)()( )()( )d e t ()(
11
?????? n
n
n
n
A dD
D
D
AIm ????
??
)(1 ??nD AI ??
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 24
方阵的零化多项式和最小多项式
– 举例,
求
的最小多项式
方法 1
最小多项式只能有以下形式
次数从低到高依次验证
所以
?
?
?
?
?
?
?
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?
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202
113
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32 )2()()2()()2()( ?????? ?????? AAA mmm
00 ???? 2)2(2 IAIA
2)2()( ?? ??Am
)d e t ()( AIm A ???
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 25
方阵的零化多项式和最小多项式
– 举例,
求
的最小多项式
方法 2 (Jordan标准形法 )
, A的 Jordan标准形中含 的 Jordan块的最高阶数
?
?
?
?
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?
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?
311
202
113
A
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2
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2
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J
J
J
tmtmmAm )()()()( 21 21 ??????? ???? ?
i?im
2)2()( ?? ??Am
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 26
方阵的零化多项式和最小多项式
– 举例,
求
的最小多项式
方法 1 (第 n阶不变因子 )
?
?
?
?
?
?
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n
n
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D
AIm ????
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)3()1(1 )3()1()( )d e t ()( 3
3
3
???????? ??????? D AIm A
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 27
方阵的零化多项式和最小多项式
– 举例,
求
的最小多项式
方法 2 (Jordan标准形法 )
, A的 Jordan标准形中含 的 Jordan块的最高阶数
?
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1112
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0100
0110
0011
J )3()1()( 3 ??? ???Am
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 28
多项式矩阵的逆
– 多项式矩阵的逆
设,若,使得
成立
则称 是可逆的，或称 是 单模矩阵
– 多项式矩阵的逆是唯一的
设 也是 的逆，则
– 多项式矩阵可逆的充要条件
可逆
证明,
? 必要性
假设 可逆，则, 成立
nnnCA ??)(? nnCB ??? )(?
IABBA ?? )()()()( ????
)(?A )(?A
)()( ?? BB ?? )(?A
)()()]()([)]()()[()()( ????????? BBABBABIBB ????????
CcA ??? )](d e t [0 ?nnCA ??)(?
nnCA ??)(? )(?B? IABBA ?? )()()()( ????
1)](d e t [)](d e t [)]()(d e t [ ?? ???? ABBA
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 29
多项式矩阵的逆
? 充分性
设,则 使得
其中,是 的伴随多项式矩阵
0)](d e t [
0)](d e t [
0))(d e g ( d e t))(d e g ( d e t
?
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?
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B
A
BA
cAc ??? )](d et [0 ?
CcA ??? )](d e t [0 ?
IcIcIAcAAcAB ???? 1)](d e t [1)()(1)()( * ?????
)(1)( * ?? AcB ??
nn
nnnn
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fff
fff
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)(* ?A )(?A
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 30
初等矩阵及多项式矩阵的等价
– 结论,
对多项式方阵，满秩未必可逆
初等多项式矩阵都是可逆的
初等多项式矩阵都是单模的
)))((())(( 1 jiIjiI ?????? ? ????
)()( 11 ?? ??? ciIciI
),(),( 1 jiIjiI ??
)()( ?? BA ?
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),( jiI 1),(d e t ??jiI
CcciI ??? 0)( cciI ?? )(d e t
))(( jiI ?? ?? 1))((d e t ??? jiI ??
ts QQPP,,,,,11 ???
初等阵，使得
)()( ?? SA ??0
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 31
多项式矩阵的等价
与 有相同的行列式因子，或相同
的不变因子
证明,
? 必要性
多项式矩阵的 Smith标准形的唯一性
与 有相同的不变因子
多项式矩阵的行列式因子和不变因子之间的关系
与 有相同的行列式因子
)()( ?? BA ? )(?A )(?B
0?? )(?B )()( ?? BSB ?
)()( ?? BSA ?
)()( ?? BA ?
),,2,1(,)( rid i ???)(?A )(?B
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D
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k
k
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)(?A )(?B
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 32
多项式矩阵的等价
? 充分性
设 与 有相同的不变因子（因而有相同的行列式因子），
则它们与同一个 Smith标准形等价，即
– 矩阵的相似与其特征矩阵的等价之间的关系
– 定理
相似矩阵有相同的最小多项式
证明,
)(?A )(?B
)()( ?? SB ?
)()( ?? SA ?
)()( ?? BA ?
多项式矩阵等价的传递性
BIAIBA ???? ??~
BA~ )()( ?? BA mm ?
BA~ BIAI ??? ??
)()( )()( ?? BnAn dd ? )()( ?? BA mm ?
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 33
多项式矩阵的互质性简介
– 右公因子 (Right Common Factor),
设 与,如果存在多项式矩阵,
以及,使得
及 成立
则称多项式矩阵 是 与 的右公因子
– 左公因子 (Left Common Factor)
设 与,如果存在多项式矩阵,
以及,使得
及 成立
则称多项式矩阵 是 与 的左公因子
– 最大右公因子 (greatest common right decomposition factor,gcrd)
1,是 与 的右公因子；
2,与 的任一其它的右公因子 都是 的右乘因子
)(?N)(?D
)(?R
)()()( ??? RNN ? )()()( ??? RDD ?
)(?N)(?D
)(?L
)()()( ??? NLN ? )()()( ??? DLD ?
)(?R )(?N )(?D
)(?L )(?N )(?D
)(?R )(?N )(?D
)(?N )(?D )(1 ?R )(?R
)()()( 1 ??? RWR ?
通
过
转
置
关
系
：
研
究
其
中
之
一
即
可
pnCN ??)(?pmCD ??)(?
mpCD ??)(? npCN ??)(?
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 34
多项式矩阵的互质性简介
– gcrd的存在性
及,其 gcrd都存在。
– gcrd的构造定理
若存在单模矩阵,使得
则 即为 与 的一个 gcrd
证明,
先证 是右公因子。为此，把 的逆矩阵 写成分块矩
阵,
nmCN ??? )(?nnCD ??? )(?
nnCR ??)(? )(?N )(?D
)()()( nmnmCG ?????
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m0 gcrd
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 35
多项式矩阵的互质性简介
以 左乘定理中的等式两边，可得
比较等式里边分块矩阵中的每一个分块，可知 是 与
的右公因子
再证 是 gcrd,即若 为 与 的另一右公因子，证
明 是 的右乘因子，将
代入
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RG
RG
)(?R )(?N )(?D
)(?R )(1 ?R )(?N )(?D
)(?R)(1 ?R
)()()( 1 ??? RNN ?)()()( 1 ??? RDD ?
)()()()()( 1211 ????? NGDGR ??
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 36
多项式矩阵的互质性简介
可得
– gcrd的求法
若对分块多项式矩阵
进行一系列初等行变换，使其下面的 m × n分块成为零多项式块
则
就是求 与 的 gcrd的变换矩阵,就是所求的 gcrd
)()()()]()()()([)( 111211 ???????? RWRNGDGR ???
???
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n
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)(?R)(?N )(?D
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 37
多项式矩阵的互质性简介
– 求 gcrd举例
给出
求
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121
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2
2
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I
I
I
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 38
多项式矩阵的互质性简介
– 求 gcrd举例
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10
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 39
多项式矩阵的互质性简介
– gcrd的基本性质
1,不唯一性。
单模矩阵
2,
满秩 满秩
单模 单模
3,
若,则
pnCN ??)(?pmCD ??)(?
))(),(g c r d ()( ??? NDR ?
pppCW ??)(?? ))(),(g c r d ()()( ???? NDRW ?
))(),(g cr d ()())(),(g cr d ()( 21 ?????? NDRNDR ????
)(1 ?R
)(1 ?R )(2 ?R
)(2 ?R
nmCN ??? )(?nnCD ??? )(?
nND ????????? )( )(r a n k ??
nRNDR ??? ))(r an k ())(),(g cr d ()( ????
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 40
多项式矩阵的互质性简介
– gcrd的基本性质
4,
对 及,若
则 可表示为
事实上，由 gcrd的构造定理
取, 即可
))(),(g c r d ()( ??? NDR ?nmCN ??)(?nnCD ??)(?
)()()()()( ????? NYDXR ??
)(?R
)()( 11 ?? GX ?
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)(
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1211 ?
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N
D
GG
GG
N
DG
)()( 12 ?? GY ?
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 41
多项式矩阵的互质性简介
– 多项式矩阵的互质
称 与 是右互质的，若
为单模矩阵
– 多项式矩阵的互质的 Bezout判别准则
与 右互质
使 Bezout等式 成立
证明,
? 必要性
与 右互质
为单模矩阵，以其逆 左
乘构造定理中的上分块矩阵等式
可得
))(),(g c r d ()( ??? NDR ?
pnCN ??)(?pmCD ??)(?
nmCN ??)(?nnCD ??)(? mnnn CNCD ?? ??? )(,)( ??
INYDX ?? )()()()( ????
nmCN ??)(?nnCD ??)(?
))(),(g c r d ()( ??? NDR ? )(1 ??R
)()()()()( 1211 ????? NGDGR ??
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 42
多项式矩阵的互质性简介
令
则充分性得证
? 充分性
设 Bezout等式成立,
给定一个
则 及,使得
成立
代入 Bezout等式
从而 是单模矩阵 与 右互质
INGRDGR ?? ?? )()()()()()( 121111 ??????
)()()()()()( 121111 ?????? GRYGRX ?? ??
INYDX ?? )()()()( ????
))(),(g c r d ()( ??? NDR ?
)(?N)(?D?
)()()( ??? RNN ? )()()( ??? RDD ?
IRNYDX ?? )())()()()(( ?????
)(?R )(?N)(?D
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 43
多项式矩阵的互质性简介
– 多项式矩阵的互质的 Smith标准形判别准则
与 右互质 分块多项式矩阵
的 Smith标准形为
即,
证明,
? 必要性
???
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???
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)(
)(
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N
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nmCN ??)(?nnCD ??)(?
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 44
多项式矩阵的互质性简介
由 gcrd构造定理有,
(1)
其中,是单模矩阵
若 与 右互质 是单模矩阵
设 的逆为,以其右乘 (1)式
由于 等价的多项式矩阵具有相同的 Smith标准形
必要性得证
)(?G
)()()( )()( ????? RIRNDG n ?????????????????????????? 0
)(?R)(?N)(?D
)(?Q)(?R
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)( nI
N
D
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? Smith标准形
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 45
多项式矩阵的互质性简介
? 充分性
若
成立
与 （均为单模阵），使得
成立，设 的逆为,以其右乘上式，可得
由构造定理，,且单模
与 右互质
???
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???
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???
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???
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0)(
)( nI
N
D
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? Smith标准形
)(?Q)(?G?
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nIQ
N
DG )(
)(
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)(?Q )(?R
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N
DG
))(),(g c r d ()( ??? NDR ?
)(?N)(?D
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 46
多项式矩阵既约性简介
– 多项式矩阵的行次数和列次数
对多项式矩阵,定义
分别为 的第 i行次数和 的第 j列次数，分别记为,
举例,
nmij CaA ??? ))(()( ??
))(( d e gm a x
)),(( d e gm a x
1,
1,
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ijmijc
ijnjir
aK
aK
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)(?A )(?A
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2,1,
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ccc
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KKK
KK
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信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 47
多项式矩阵既约性简介
– 多项式矩阵的列次表示式
多项式矩阵 可用其列次数表示为列次表示式
其中,是一 对角阵 ；
, 列次系数矩阵,其第 j列为 的第 j列中相应
于 项的系数组成的列 ；
, 低次剩余多项式矩阵,且
)(?A
),,,()(,2,1,nccc KKKc d i a gH ???? ??
nmkc CA ??
)()()( ??? lcckc AHAA ??
)(?A
),,1()(d e g,,njKA jcjclc ????
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340
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2
3
2
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jcK,?
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 48
多项式矩阵既约性简介
– 多项式矩阵的行次表示式
多项式矩阵 可用其行次数表示为行次表示式
其中,是一 对角阵 ；
, 行次系数矩阵,其第 i行为 的第 i行中相应
于 项的系数组成的行 ；
, 低次剩余多项式矩阵,且
)(?A
),,,()(,2,1,mrrr KKKr d i a gH ???? ??
nmkr CA ??
)()()( ??? lrkrr AAHA ??
)(?A
),,1()(d e g,,miKA irirlr ????
lrA
???
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4014
040
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3
2
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irK,?
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 49
多项式矩阵既约性简介
– 多项式方阵的行列式与其列次的关系
多项式方阵 的行列式可表示为如下形式
– 多项式方阵的行列式与其行次的关系
多项式方阵 的行列式可表示为如下形式
– 多项式方阵的行次和与列次和的关系
多项式方阵的行次和等于列次和
的各项次数低于 ? ???? ? nj jcKkc KAA nj jc 1,1,d e t)(d e t ??
nnnCA ??)(?
nnnCA ??)(?
的各项次数低于 ? ???? ? ni irKkr KAA ni ir 1,1,d e t)(d e t ??
?? ?? ? nj jcni ir KK 1,1,
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 50
多项式矩阵既约性简介
– 多项式矩阵的既约性
? 列既约
设,若
则称 是列既约的
? 行既约
设,若
则称 是行既约的
nnnCA ??)(?
?? ?? ?? nj jcjcnj KAA 1,,1 )(d e g)(d e td e g ??
)(?A
nnnCA ??)(?
?? ?? ?? ni irirni KAA 1,,1 )(d e g)(d e td e g ??
)(?A
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 51
多项式矩阵既约性简介
– 举例
???
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???
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??
???
???
????
73
4223)(
2
2
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373 4223d e g)(d e td e g 2
2
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?
?
?
?
???
???
2
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2
1,2,1,
312
422
j jccc
i irrr
KKK
KKK
是列既约的，但不是行既约的 )(?A
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 52
多项式矩阵既约性简介
– 定理
对,则
? 是列既约的
? 是行既约的
证明,
先证第一项
由于
故 当且仅当 时（即 满秩），有
根据列既约的定义,为列既约的
同理可证第二项
nnnCA ??)(?
)(?A
)(?A
nnnkc CA ??
nnnkr CA ??
的各项次数低于 ? ???? ? nj jcKkc KAA nj jc 1,1,d e t)(d e t ??
0det ?kcA
? ?? nj jcKA 1,)(d e td e g ?
kcA
)(?A
充要条件
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 53
多项式矩阵既约性简介
– 举例,
列次表示,
列次表示,
???
?
???
?
??
???
???
????
73
4223)(
2
2
A
???
?
???
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?????
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???
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???
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???
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03
42
0
0
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23)( 2
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???
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???
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???
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???
?
???
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73
422
01
03
0
0)(
2
2
A
???
?
???
??
71
23)(?
kcA ???
?
???
??
01
03
krA
是列既约的，但不是行既约的 )(?A
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 54
多项式矩阵既约性简介
– 化非既约多项式矩阵为既约,
? 通过对 进行适当的列（或行）初等变换，来降低某些列（或行）
的次数，以满足既约性的定义
? 适用于下列情形
? 对满秩非既约多项式方阵,可以找到 n阶单模矩阵
及,使得 与 为列既约或行既约
?? ?? ?? nj jcjcnj KAA 1,,1 )(d e g)(d e td e g ??
?? ?? ?? ni irirni KAA 1,,1 )(d e g)(d e td e g ??
? ?? ni irKA 1,)(d e td e g ?
? ?? nj jcKA 1,)(d e td e g ?
)(?A
nnnCA ??)(? )(?F
)(?G )()( ?? FA )()( ?? AG
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 55
多项式矩阵既约性简介
– 举例,
22
2
222
30
)3()2()3()2()( ??
???
?
???
?
?
?????? CA
?
?????
7)(d e td e g5 1,??? ? ?nj jcKA ?
满秩
非既约
)()()()( 12 ???? AGGG s ? )()()()( 21 ???? tFFFA ?
)(?G )(?F
22
2
2
10
)2(1)( ??
???
?
???
? ?? CG ?? 22
213
01)( ??
???
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???
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?? CF ??
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 56
多项式矩阵既约性简介
???
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???
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???
30
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???
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)3()2(0)()(
2
2
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5)(d e td e g 1,?? ? ?nj jcKA ?
列既约
列既约
信息科学与工程学院 矩阵理论第 4讲 - 57
