兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -1
矩阵理论 -第七讲
兰州大学信息科学与工程学院
2004年
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -2
上节内容回顾
? 酉矩阵
– n个列向量是一个标准正交基
? 酉相似下的标准形
– Schur定理：任一复数方阵均可酉相似于上三角矩阵
? 正规矩阵
– 用酉矩阵化正规矩阵为对角形
1 HU A U U A U T? ??nnUC??? 1 HUU? ?
1HAA??HA A I?
HHA A A A?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -3
Hermite矩阵的正定性
? Hermite矩阵正定性的定义
设,且,即 A是 Hermite矩阵。如果对任意
都有
则称 A是 Hermite正定矩阵（半正定矩阵）
? 定理
设 A是 Hermite矩阵，则下列条件等价
1,A是 Hermite正定矩阵（半正定矩阵）；
2,A的特征值全为正实数（非负实数）；
3.,使得
证明,(1) ?(2),由上一讲的推论 1,Hermite矩阵的特征值均为实数
现证其为正。 A是正规矩阵，, 即存在酉矩阵 U
0 ( 0 )Hx A x ??
nnUC???
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HAA?nnAC???
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1HUU??
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -4
Hermite矩阵的正定性
使得
上式右边同乘以列向量,
左边同乘以行向量,可得
令,若,则,由于 A是 Hermite正定阵
假设,取
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1
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( 0 0 1 0 0 ) Ty ?? 0
0i??
第 i个分量
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -5
Hermite矩阵的正定性
则 x的第 i个分量亦不为零，但
与 A是 Hermite正定矩阵矛盾，所以假设不成立。即 A的特征值全为正
实数
(2) ?(3)：由
可得,
令 即证
(3) ?(1)：因为,所以对任意, 由内积的
正定性
2 0H H H i i ix A x y U A U y ? ? ?? ? ? ?
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -6
Hermite矩阵的正定性
– 推论
Hermite正定矩阵的行列式大于零
由 易知
? 定理
设,则
1,和 的特征值全为非负实数；
2,与 的非零特征值相同；
3,
证明,
1,是 Hermite矩阵，对任意
半正定 的特征值全为非负实数
同理取行向量,可得
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HAA HAA
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( ( ) ) ( ) ( ),( ) 0H H H H H H Hx A A x x A x A x A x A? ? ?
0 nxC??
HAA
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -7
Hermite矩阵的正定性
2,设 x是 的属于其非零特征值 的特征向量，即
,且
否则,
同理可证 的非零特征值也是 的特征值（只要设 ）
3,由
反之
由内积的正定性
与 同解，解空间的维数相同,
上式中以 代替
?
( ) ( ),0H H Hx A A x A x A x A x A x? ? ?
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HAA
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0HA Ax ?
0Ax?
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0HA Ax ?0Ax?
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n,A的列数
r a n k ( ) r a n kHHA A A?HA A
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -8
Hermite矩阵的正定性
设 是 Hermite矩阵
分别称为 A的 k阶顺序主子阵和顺序主子式，则
证明,
? 必要性
A是 Hermite矩阵 都是 Hermite矩阵
令,其中
d e t ( 1,,)kk A k n? ? ?
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k
k
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d e t 0 ( 1,,)kk A k n? ? ? ?A是 Hermite正定矩阵
( 1,,)kA k n?
第 i个分量
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -9
Hermite矩阵的正定性
对任意
都是正定阵
Hermite正定矩阵的行列式大于零
? 充分性
设,对阶数 n用数学归纳法证明 A是
Hermite正定矩阵。
当 k = 1时,是 Hermite正定矩阵
设 k = n – 1时，由 是 Hermite正定矩阵
当 k = n 时，记 F为如下的下三角矩阵,
0kFx?
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -10
Hermite矩阵的正定性
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F
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -11
Hermite矩阵的正定性
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -12
Hermite矩阵的正定性
中,B为 n – 1 阶 Hermite矩阵
11
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11 11
112
1 2 1
11 11
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B
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -13
Hermite矩阵的正定性
由归纳假设 B为 Hermite正定矩阵
A是 Hermite正定矩阵
11
11d e t d e t d e t d e t d e t d e t 0
HH aF A F F A F A a B
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -14
矩阵范数
? 方阵的范数
– 定义
定义在 上的实值函数,如果使得,
都满足,
1,三角不等式
2,绝对齐性
3,正定性
4,相容性
则称此实函数为 上方阵 A的范数
相容性：建立矩阵范数与向量范数之间的联系：当 Hilbert空间 X,Y的
基取定后，每个矩阵代表 的一个线性算子（线性映射）。相
容性保证此线性算子有界，从而连续。
A B A B? ? ?
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A B A B??
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -15
矩阵范数
? 矩阵范数与向量范数的相容性
– 定义
设 是 上的矩阵范数,是 上的向量范数。如果
都有,
则称矩阵范数 与向量范数 是相容的
矩阵范数中的第 4条是矩阵范数与向量范数相容的必要条件,
因为
所以
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s u p {, 0 }TxTx x?? ( 0 )TxTxx??
s u p {, 0 }A B x x x A B? ? ? ? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -16
矩阵范数
? 各种矩阵范数
– 范数
设,定义
所有元素的模之和
则 是 上的一种矩阵范数，称之为矩阵的 范数
证明,
4,设,由绝对值不等式
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -17
矩阵范数
– Frobenius范数
设,定义
则 是 上的一种矩阵范数，称之为矩阵的 Frobenius范数，简
称 F – 范数
证明,
1,三角形不等式：设,则
Cauchy-Schwarz Inequality
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -18
矩阵范数
22
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1 1 1 1
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -19
矩阵范数
? 绝对齐性,
? 正定性
当 （矩阵）时,（数）显然成立
? 相容性
– 设
Cauchy-Schwarz inequality
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -20
矩阵范数
– F – 范数的酉不变性
设,则对任意 n阶酉矩阵 U和 V,恒有
称之为 F – 范数的酉不变性
证明,
22
1 1 1 1
22
1 1 1 1
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tr [ ( ) ( ) ] tr [ ( ) ] tr ( )H H H H HA V A V A V V A A V A A V V A? ? ? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -21
矩阵范数
– 范数
设,定义
则 是 上的矩阵范数，称之为矩阵的 范数
证明,
1,三角不等式
4,相容性
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F F FU A V A V A??
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -22
矩阵范数
– 定义在 上的矩阵 范数和 F – 范数分别与定义在 上的向量
1 – 范数和 2 – 范数相容
证明,
设,
1,,
,,
m a x m a x
m a x m a x
n
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i k i j
ik k j
i k k j
mm
n a b
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -23
矩阵范数
再证矩阵的 F – 范数与向量的 2 – 范数相容
Cauchy-Schwarz不等式
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n n n
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[ ( ) ( ) ]
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -24
矩阵范数
– 上的矩阵 范数与 上的向量 1 -, 2 -,范数均相容
证明,
矩阵 范数与向量 范数的相容性
设
nnC? m?? nC ??
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1
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -25
矩阵范数
– 与矩阵范数相容的向量范数的存在性
设 是定义在 上的一种矩阵范数，则在 上必存在与它相容
的向量范数
证明,
用构造法证明。取定,则
就是 上与 相容的向量范数。首先证明 是 上的范数,
1,三角不等式
2,绝对齐性
3,正定性
nnC?
m? nC
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0x? 0Hv mxx ???Hx? ?0
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -26
矩阵范数
再证 与 的相容性
由矩阵范数定义中的第 4条
? 从属于向量范数的矩阵范数
给定 上的向量范数, 定义
则 是 上与向量范数 相容的矩阵范数，且
称 为由向量范数 导出的矩阵范数或从属于向量范数 的矩阵
范数
证明,
在证 是矩阵范数的过程中，很容易证得其绝对齐性和正定性，下
面只证 满足三角不等式和相容性。
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -27
矩阵范数
? 三角不等式
的齐次性和满足三角形不等式
? 相容性
即矩阵范数 与向量范数 相容，由于此条件是矩阵范数定义第 4条
（相容性）的必要条件
,nnA B C ???
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -28
矩阵范数
设,则
– 从属于向量 1 – 范数的矩阵范数为
?列模和之最大者：列和范数
– 从属于向量 2 – 范数的矩阵范数为
?谱范数
– 从属于向量 范数的矩阵范数为
?行模和之最大者：行和范数
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -29
矩阵范数
取,得
取,得
取,得
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1
1
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2
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Ax A
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Ax A
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?
?
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1x ? ? 1m a x n ijjiAa? ?? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -30
矩阵范数
– 范数的性质
设, U和 V是 n阶酉矩阵，则
1,
2,? 范数的酉不变性
3,若 A是正规矩阵,是 A的 n个特征值，则
证明,
1,
与 的非零特征值相同
2 m a x {, d e t ( ) 0 }HMMA I A A? ? ? ?? ? ? ?
2A
22HAA?
2 m a x {, d e t( ) 0 }
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22HAA?
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2 m a x kkA ??
2 2 2 2U A A V U A V A? ? ?2A
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -31
矩阵范数
2,
3,当 A是正规矩阵时，存在 n阶酉矩阵 U,使得
2 m a x {, d e t( ( ) ) 0 }HU A I U A U A??? ? ?
12d i a g ( )H nU A U ? ? ??
2
m a x{, de t( ) 0 }
m a x{, de t( ) 0 }
HH
H
I A U U A
I A A
A
??
??
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? ? ?
?
2222H H HA V V A A A? ? ?
2 2 2U A V A V A??
2 m a x {, d e t ( ) 0 }HMMA I A A? ? ? ?? ? ? ?
12( ) d i a g ( )H H H H nU A U U A U ? ? ???
( ) ( )H H H H HH H HU A U U A U U A U U A U U UAA??
2 2 21 1 2 2 1 2dia g( ) dia g( )n n n? ? ? ? ? ? ? ? ???
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -32
矩阵范数
2 m a x {, d e t( ) 0 }HA I A A??? ? ?
2 2 2
12m a x{ }
m a x
n
kk
? ? ?
?
?
?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -33
矩阵范数
– 长方阵的范数
1,范数
2,F – 范数
3,1 – 范数（列和范数）
4,2 – 范数（谱范数）
5,范数
1m?
() mnijA a C ?? ? ?
1 11
mn
ijm ijAa??? ?? 1 11
nn
ijm ijAa??? ??
??
2
11 t r ( )
mn H
ijF ijA a A A??????
2
11 t r ( )
nn H
ijF ijA a A A??????
1 11m a x
m
ijijnAa ???? ? 1 11m a x n ijijnAa ???? ?
2 m a x {, d e t ( ) 0 }HMMA I A A? ? ? ?? ? ? ?
11m a x
n
ijjimAa? ???? ? 11m a x
n
ijjinAa? ???? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -34
矩阵范数
6,M – 范数（最大范数）
7,G – 范数（几何平均范数）
,m a x {,} m a x ijM ijA m n a?
,m a x ijG ijA m n a?
,m a x ijm ijAna? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -35
矩阵范数
– 矩阵范数的应用
有了矩阵范数，可以定义矩阵数列的极限，矩阵级数的收敛，矩阵函
数的连续性等等。
? 矩阵的谱半径：矩阵范数在特征值估计中的应用
设, 为 A的 n个特征值，称集合
为矩阵 A的谱，记作
称
为矩阵 A的谱半径
– 谱半径的性质
设,则
1,
2,
3,当 A是正规矩阵时,
12 n? ? ?
nnAC??
( ) m a x jjA???
12{} n? ? ?
nnAC??
()A?
( ) ( ( ) )kkAA???
2
2( ) ( )HHA A AA A?? ??
2()AA? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -36
矩阵范数
证明,
1,先用归纳法证明 是 的特征值。
已知 n = 1时成立：,假设 n = k – 1时成立
2,
与 的非零特征值相同
3,根据前一节，当 A是正规矩阵时,
而根据谱半径的定义
所以，当 A是正规矩阵时
2
2( ) ( )HH MA A AA A? ? ?? ? ?
2()AA? ?
2 m a x {, d e t ( ) 0 }HMMA I A A? ? ? ?? ? ? ?
()H H HA A A A? HAA HAA
2 m a x kkA ??
( ) m a x jjA???
0iA x x x???
12k k kn? ? ?
kA
11 0kk iA x x x?????
1 1 1 0k k k k ki i iA x A A x A x A x x x? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?
( ) m a x ( m a x ) ( ( ) )k k k kiiiiAA? ? ? ?? ? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -37
矩阵范数
– 定理,
设,则对 上的任一矩阵范数,都有
– 定理,
设,,,使得
此两定理联合起来，说明谱半径是某种上确界（所有上界中的最小者）
事实上,确实是个上确界,
0???, nnCR????
()AA? ?
nnAC??
nnAC?? nnC?
()mAA????
()A? ( ) s u p {, ( ) }AA? ? ? ???
()A?
A
?
?
mA
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -38
矩阵范数
– 定理,
设,,,使得
证明, (构造法证明、主要步骤 ) A的 Jordan标准形
0???, nnCR????nnAC??
()mAA????
21d i a g ( 1 )nD ? ? ? ?? 1 1 2 ( 1 )d i a g ( 1 )nD ? ? ?? ? ? ? ??
1
( 1 )
1
n
?
?
?
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??
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??
11
2
1n
n
??
?
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1
1
1
n
?
? ?
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??
??11
11
22
2
2
( 2 )
1
( 1 )
n
n
n
n
??
? ? ? ?
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??
?
??
?
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??
??
1
1
1
n
?
? ?
??
??
??
??
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -39
矩阵范数
两边同时取 范数，容易验证，,
是满足 上矩阵范数定义中的 4个条件，记此范数为,则
或 1
11
211
1n
n
D P AP D
? ??
?
??
?
??
?
??
??
?
??
??
??
mA
nnAC??? 11D P A P D??
?
nnC?
11mA D P A P D??
??
1 1 2 2 1 1m a x { }
m a x
()
n n n
jj
A
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
??
??? ? ? ?
??
??
0i? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -40
矩阵范数
– 矩阵的谱半径应用举例
设
0 0.2 0.1
0.2 0 0.2
0.1 0.2 0
A
??
????
????
()A?
1 1mA ?
1
2
3
0
0.4
0.4
i
i
?
?
?
?
??
?
1 0,4AA ???
,3 m a x 0, 6ijm ijAa? ??
( ) 0,1 8 0,4 2 4 3HFA tr A A? ? ?()AA? ?
( ) 0.4A? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -41
矩阵理论 -第七讲
兰州大学信息科学与工程学院
2004年
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -2
上节内容回顾
? 酉矩阵
– n个列向量是一个标准正交基
? 酉相似下的标准形
– Schur定理：任一复数方阵均可酉相似于上三角矩阵
? 正规矩阵
– 用酉矩阵化正规矩阵为对角形
1 HU A U U A U T? ??nnUC??? 1 HUU? ?
1HAA??HA A I?
HHA A A A?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -3
Hermite矩阵的正定性
? Hermite矩阵正定性的定义
设,且,即 A是 Hermite矩阵。如果对任意
都有
则称 A是 Hermite正定矩阵（半正定矩阵）
? 定理
设 A是 Hermite矩阵，则下列条件等价
1,A是 Hermite正定矩阵（半正定矩阵）；
2,A的特征值全为正实数（非负实数）；
3.,使得
证明,(1) ?(2),由上一讲的推论 1,Hermite矩阵的特征值均为实数
现证其为正。 A是正规矩阵，, 即存在酉矩阵 U
0 ( 0 )Hx A x ??
nnUC???
0 nxC??
HAA?nnAC???
nnnPC??? HA P P?
1HUU??
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -4
Hermite矩阵的正定性
使得
上式右边同乘以列向量,
左边同乘以行向量,可得
令,若,则,由于 A是 Hermite正定阵
假设,取
12d i a g (,,)H nU A U ? ? ??
1
2
n
y
?
?
?
??
??
???
??
??
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Hy
2 2 21 1 2 2HH nny U AU y ? ? ? ? ? ?? ? ?
x Uy? 0y? 0x?
2 2 21 1 2 2 0H H H nnx A x y U A U y ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
( 0 0 1 0 0 ) Ty ?? 0
0i??
第 i个分量
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -5
Hermite矩阵的正定性
则 x的第 i个分量亦不为零，但
与 A是 Hermite正定矩阵矛盾，所以假设不成立。即 A的特征值全为正
实数
(2) ?(3)：由
可得,
令 即证
(3) ?(1)：因为,所以对任意, 由内积的
正定性
2 0H H H i i ix A x y U A U y ? ? ?? ? ? ?
12d i a g (,,)H nU A U ? ? ??
12d i a g (,,) HnA U U? ? ??
1 2 1 2d ia g ( ) d ia g ( )
H
nn
H
UU
PP
? ? ? ? ? ??
?
12d i a g ( ) H n nnnP U C? ? ? ???
0i??
( ) ( ),0H H H Hx A x x P P x P x P x P x P x? ? ? ?
0 nxC??nnPC?? 0Px?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -6
Hermite矩阵的正定性
– 推论
Hermite正定矩阵的行列式大于零
由 易知
? 定理
设,则
1,和 的特征值全为非负实数；
2,与 的非零特征值相同；
3,
证明,
1,是 Hermite矩阵，对任意
半正定 的特征值全为非负实数
同理取行向量,可得
12d e t 0nA ? ? ???
( ) ( ) ( ),0H H Hx A A x A x A x A x A x? ? ?
HAA
mnAC??
HAA
HAA HAA
r a n k ( ) r a n k ( ) r a n kHHA A A A A??
0 nxC??()H H HA A A A? HAA
HAA
( ( ) ) ( ) ( ),( ) 0H H H H H H Hx A A x x A x A x A x A? ? ?
0 nxC??
HAA
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -7
Hermite矩阵的正定性
2,设 x是 的属于其非零特征值 的特征向量，即
,且
否则,
同理可证 的非零特征值也是 的特征值（只要设 ）
3,由
反之
由内积的正定性
与 同解，解空间的维数相同,
上式中以 代替
?
( ) ( ),0H H Hx A A x A x A x A x A x? ? ?
HAA
0x?HA A x x?? 0y A x??
HAA
()H H HA A y A A A x A A A x A x y??? ? ? ?
0HA A x x??? 0x?
HAA Hy A x?
0Ax? 0HA Ax ?
0HA Ax ?
0Ax?
r a n k ( ) r a n k ( ) r a n kHHA A A A A??
0HA Ax ?0Ax?
r a n k r a n k ( )Hn A n A A? ? ?
r a n k ( ) r a n kHA A A?
n,A的列数
r a n k ( ) r a n kHHA A A?HA A
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -8
Hermite矩阵的正定性
设 是 Hermite矩阵
分别称为 A的 k阶顺序主子阵和顺序主子式，则
证明,
? 必要性
A是 Hermite矩阵 都是 Hermite矩阵
令,其中
d e t ( 1,,)kk A k n? ? ?
? ?12kkF e e e?
? ?0 1 0 1,,Tie i k??
() nnijA a C ???
1 1 1 2 1
1 2 2 2 2
12
k
k
k
k k k k
a a a
a a a
A
a a a
??
??
?
??
??
d e t 0 ( 1,,)kk A k n? ? ? ?A是 Hermite正定矩阵
( 1,,)kA k n?
第 i个分量
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -9
Hermite矩阵的正定性
对任意
都是正定阵
Hermite正定矩阵的行列式大于零
? 充分性
设,对阶数 n用数学归纳法证明 A是
Hermite正定矩阵。
当 k = 1时,是 Hermite正定矩阵
设 k = n – 1时，由 是 Hermite正定矩阵
当 k = n 时，记 F为如下的下三角矩阵,
0kFx?
Hk k k kA F A F?
0 kxC??
( ) ( ) 0H H H Hk k k k k k kx A x x F A F x F x A F x? ? ?
( 1,,)kA k n?
d e t 0 ( 1,,)kk A k n? ? ? ?
11d e t 0kkA??? ? ?
1 1 1d e t 0aA?? 1A
1kA?
d e t 0 ( 1,,)kk A k n? ? ? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -10
Hermite矩阵的正定性
2 1 1 1
1 1 1
1
/1
/1n
aa
F
aa
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22 22
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0
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bb
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0
0
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1 1 1
1
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1 2 2 2 2
12
n
n
n n n n
a a a
a a a
a a a
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??
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12 11 1 111 / /
1
1
na a a a????
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -11
Hermite矩阵的正定性
12 11 1 111 / /
1
1
na a a a????
??
??
??
11 12 1
112
12 22 12 2
11 11
112
1 2 1
11 11
0 ( ) ( )
0 ( ) ( )
n
n
n
n
n n n nn
a a a
aa
a a a a
aa
aa
a a a a
aa
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? ? ? ???
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11
112
12 22 12 2
11 11
112
1 2 1
11 11
00
0 ( ) ( )
0 ( ) ( )
n
n
n
n n n nn
a
aa
a a a a
aa
aa
a a a a
aa
??
??
? ? ? ?
? ??
? ? ? ???
??
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -12
Hermite矩阵的正定性
中,B为 n – 1 阶 Hermite矩阵
11
112
12 22 12 2
11 11
112
1 2 1
11 11
00
0 ( ) ( )
0 ( ) ( )
n
n
n
n n n nn
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a a a a
aa
aa
a a a a
aa
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2
11
1
11 11
( ) 2,,iii i i i i i iaab a a a i naa? ? ? ? ? ?
1
1
11
( ),,2,,ii j j i jab a a i j i j na? ? ? ? ?
,2,,i j j ib b i j n??
11H aFAF
B
??? ??
??
0
0
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -13
Hermite矩阵的正定性
由归纳假设 B为 Hermite正定矩阵
A是 Hermite正定矩阵
11
11d e t d e t d e t d e t d e t d e t 0
HH aF A F F A F A a B
B? ? ? ? ?
0
0
det 0B ?
2 1 1 1
1 1 1
1
/1
/1n
aa
F
aa
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??
?
?
??
???
d e t d e t 1HFF??
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -14
矩阵范数
? 方阵的范数
– 定义
定义在 上的实值函数,如果使得,
都满足,
1,三角不等式
2,绝对齐性
3,正定性
4,相容性
则称此实函数为 上方阵 A的范数
相容性：建立矩阵范数与向量范数之间的联系：当 Hilbert空间 X,Y的
基取定后，每个矩阵代表 的一个线性算子（线性映射）。相
容性保证此线性算子有界，从而连续。
A B A B? ? ?
,nnA B C ???
,nnCR? ?
00A A A? ? ? ? 0
nnC?
C???
AA???
A B A B??
nnC?
XY?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -15
矩阵范数
? 矩阵范数与向量范数的相容性
– 定义
设 是 上的矩阵范数,是 上的向量范数。如果
都有,
则称矩阵范数 与向量范数 是相容的
矩阵范数中的第 4条是矩阵范数与向量范数相容的必要条件,
因为
所以
nnAC???
m
nnC?
nxC??
v m vA x A x??
v nC
m v
()v v m vA B x A B x A B x? ? ?
s u p {, 0 } s u p { ( ), 0 }A B A B x x x A B x x x? ? ? ? ?
s u p {, 0 }TxTx x?? ( 0 )TxTxx??
s u p {, 0 }A B x x x A B? ? ? ? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -16
矩阵范数
? 各种矩阵范数
– 范数
设,定义
所有元素的模之和
则 是 上的一种矩阵范数，称之为矩阵的 范数
证明,
4,设,由绝对值不等式
() nnijA a C ???
1 11
nn
ijm ijAa??? ??
1m?
1mA
nnC? 1m?
() nnijB b C ???
1 1 1 1 1 1 1
n n n n n n
i k k j i k k jm i j k i j kA B a b a b? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?
11
1 1 2 211
1 2 1 211
1 2 1 211
()
[ ( ) ( ) ]
( ) ( ) ]
nn
i j i j i n njij
nn
i i i n j j njij
nn
i i i n j j njij
mm
a b a b a b
a a a b b b
a a a b b b
AB
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??
??
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
??
??
??
??
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -17
矩阵范数
– Frobenius范数
设,定义
则 是 上的一种矩阵范数，称之为矩阵的 Frobenius范数，简
称 F – 范数
证明,
1,三角形不等式：设,则
Cauchy-Schwarz Inequality
() nnijA a C ???
2
11 t r ( )
nn H
ijF ijA a A A??????
FA
nnC?
() nnijB b C ???
2 2
1 1 1 1 ()
n n n n
i j i j i j i jF i j i jA B a b a b? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?22
11
22
1 1 1 1 1 2 1 21 1 1 1
22
( 2 )
2 ( )
2,
nn
ij ij ij ijij
n n n n
ij ij n n n ni j i j
FF
a b a b
a b a b a b a b
A B a b
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
??
? ? ? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -18
矩阵范数
22
22
22
22
1 1 1 1
22
2
2 ( ) ( )
2
FF
n n n n
i j i jFF i j i j
F F F F
FF
A B a b
A B a b
A B A B
AA
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? ? ?
? ? ? ?
??
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2
11
12 n
nn
a
a
aC
a
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??
????
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????
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2
11
12 n
nn
b
b
bC
b
??
??
????
??
????
??
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -19
矩阵范数
? 绝对齐性,
? 正定性
当 （矩阵）时,（数）显然成立
? 相容性
– 设
Cauchy-Schwarz inequality
C???
2 2 2
1 1 1 1 ()
n n n n
i j i jF i j i jk A k a k a? ? ? ???? ? ? ?
FkA?
() nnijB b C ???
2 2
1 1 1 1 1,
n n n n n
ik k jF i j k i jA B a b a b? ? ? ? ???? ? ? ? ?
22
2211
22
1 1 1 1
[ ( ) ( ) ]
nn
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ik k ji j k k
ab
ab
??
? ? ? ?
??
?
??
? ? ? ?
A?0 0FA ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -20
矩阵范数
– F – 范数的酉不变性
设,则对任意 n阶酉矩阵 U和 V,恒有
称之为 F – 范数的酉不变性
证明,
22
1 1 1 1
22
1 1 1 1
( ) ( )
n n n n
ik k ji k j k
n n n n
ik k ji k j k
FF
ab
ab
AB
? ? ? ?
? ? ? ?
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? ? ? ?
? ? ? ?
nnAC??
F F F FU A A V U A V A? ? ?
tr [ ( ) ( ) ] tr ( ) tr ( )H H H HFFU A U A U A A U U A A A A? ? ? ?
,nnA B C ?? t r ( ) t r ( )A B B A?
tr [ ( ) ( ) ] tr [ ( ) ] tr ( )H H H H HA V A V A V V A A V A A V V A? ? ? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -21
矩阵范数
– 范数
设,定义
则 是 上的矩阵范数，称之为矩阵的 范数
证明,
1,三角不等式
4,相容性
,m a x ijm ijAna? ?
m??
F F FU A V A V A??
() nnijA a C ???
m??
mA ?
nnC?
,,m a x m a x ( )i j i j i j i jm i j i jA B n a b n a b?? ? ? ? ?
,,m a x ( ) m a x ( )i j i j mmi j i jn a n b A B??? ? ? ?
11,,m a x m a x
nn
i k k j i k k jm kki j i jA B n a b n a b? ???? ??
1,m a x
n
i k k jkijn a b?? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -22
矩阵范数
– 定义在 上的矩阵 范数和 F – 范数分别与定义在 上的向量
1 – 范数和 2 – 范数相容
证明,
设,
1,,
,,
m a x m a x
m a x m a x
n
ik k jk
i k i j
ik k j
i k k j
mm
n a b
n a n b
AB
??
?
?
??
??
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nnC? 1m? nC
1
2 n
n
xC
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?
?
??
??
????
??
??
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() nnijA a C ???
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i k k i k ki k i kA x a a??? ? ? ???? ? ? ?
1 1 1[ ( ) ( ) ]
n n nik k
i k ka ?? ? ?? ? ? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -23
矩阵范数
再证矩阵的 F – 范数与向量的 2 – 范数相容
Cauchy-Schwarz不等式
11
1 1 1( )( )
n n n
i k ki k k
m
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Ax
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2
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2
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2
( ) ( )
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n n n
ik ki k k
F
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -24
矩阵范数
– 上的矩阵 范数与 上的向量 1 -, 2 -,范数均相容
证明,
矩阵 范数与向量 范数的相容性
设
nnC? m?? nC ??
m?? ??
1
2 n
n
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m a x m a x
m a x m a x
m a x m a x
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an
na
Ax
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兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -25
矩阵范数
– 与矩阵范数相容的向量范数的存在性
设 是定义在 上的一种矩阵范数，则在 上必存在与它相容
的向量范数
证明,
用构造法证明。取定,则
就是 上与 相容的向量范数。首先证明 是 上的范数,
1,三角不等式
2,绝对齐性
3,正定性
nnC?
m? nC
0 nC???
Hv
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nC m?
v?
nC
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C??? () HH
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0x? 0Hv mxx ???Hx? ?0
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -26
矩阵范数
再证 与 的相容性
由矩阵范数定义中的第 4条
? 从属于向量范数的矩阵范数
给定 上的向量范数, 定义
则 是 上与向量范数 相容的矩阵范数，且
称 为由向量范数 导出的矩阵范数或从属于向量范数 的矩阵
范数
证明,
在证 是矩阵范数的过程中，很容易证得其绝对齐性和正定性，下
面只证 满足三角不等式和相容性。
nnAC???
m?
nC
v?
0
m a x v
x
v
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v? nnAC???
? nnC? v? 1nI ?
? v? v?
?
?
m a x {, 1 }vvA A x x??
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -27
矩阵范数
? 三角不等式
的齐次性和满足三角形不等式
? 相容性
即矩阵范数 与向量范数 相容，由于此条件是矩阵范数定义第 4条
（相容性）的必要条件
,nnA B C ???
0
()m a x v
x
v
A B xAB
x?
???
0
00
m a x ( )
m a x m a x
vv
x
vv
vv
xx
vv
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xx
A x B x
xx
AB
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v?
0
m a x ( )vv
x vv
A x A xA
xx?
?? vvA x A x?
A B A B??
? v?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -28
矩阵范数
设,则
– 从属于向量 1 – 范数的矩阵范数为
?列模和之最大者：列和范数
– 从属于向量 2 – 范数的矩阵范数为
?谱范数
– 从属于向量 范数的矩阵范数为
?行模和之最大者：行和范数
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1 1m a x
n
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2 m a x {, d e t ( ) 0 }HMMA I A A? ? ? ?? ? ? ?
1m a x
n
ijjiAa? ?? ?
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1 0
1
m a x
x
AxA
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2
2 0
2
m ax
x
AxA
x?? 0m a xx
AxA
x
?
? ?
?
?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -29
矩阵范数
取,得
取,得
取,得
1
1
1
Ax A
x ?
2
2
2
Ax A
x ?
0
m a x v
x
v
AxA
x??
m a x {, 1 }vvA A x x??
0 0 0
m a x m a x m a x
m a x{, 1 }
v
x x x
v v vvv
vv
Ay Ay y
AA
y y y
Ax x
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? ? ?
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v
y xx
y ? ? ?
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2 1x ? 2 m a x {, d e t( ) 0 }HA I A A??? ? ?
Ax A
x
?
?
?
?
1x ? ? 1m a x n ijjiAa? ?? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -30
矩阵范数
– 范数的性质
设, U和 V是 n阶酉矩阵，则
1,
2,? 范数的酉不变性
3,若 A是正规矩阵,是 A的 n个特征值，则
证明,
1,
与 的非零特征值相同
2 m a x {, d e t ( ) 0 }HMMA I A A? ? ? ?? ? ? ?
2A
22HAA?
2 m a x {, d e t( ) 0 }
HHMMA I A A? ? ? ???? ? ? ?
()H H HA A A A? HAA HAA
22HAA?
nnAC??
12 n? ? ?
2 m a x kkA ??
2 2 2 2U A A V U A V A? ? ?2A
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -31
矩阵范数
2,
3,当 A是正规矩阵时，存在 n阶酉矩阵 U,使得
2 m a x {, d e t( ( ) ) 0 }HU A I U A U A??? ? ?
12d i a g ( )H nU A U ? ? ??
2
m a x{, de t( ) 0 }
m a x{, de t( ) 0 }
HH
H
I A U U A
I A A
A
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2222H H HA V V A A A? ? ?
2 2 2U A V A V A??
2 m a x {, d e t ( ) 0 }HMMA I A A? ? ? ?? ? ? ?
12( ) d i a g ( )H H H H nU A U U A U ? ? ???
( ) ( )H H H H HH H HU A U U A U U A U U A U U UAA??
2 2 21 1 2 2 1 2dia g( ) dia g( )n n n? ? ? ? ? ? ? ? ???
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -32
矩阵范数
2 m a x {, d e t( ) 0 }HA I A A??? ? ?
2 2 2
12m a x{ }
m a x
n
kk
? ? ?
?
?
?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -33
矩阵范数
– 长方阵的范数
1,范数
2,F – 范数
3,1 – 范数（列和范数）
4,2 – 范数（谱范数）
5,范数
1m?
() mnijA a C ?? ? ?
1 11
mn
ijm ijAa??? ?? 1 11
nn
ijm ijAa??? ??
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2
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2
11 t r ( )
nn H
ijF ijA a A A??????
1 11m a x
m
ijijnAa ???? ? 1 11m a x n ijijnAa ???? ?
2 m a x {, d e t ( ) 0 }HMMA I A A? ? ? ?? ? ? ?
11m a x
n
ijjimAa? ???? ? 11m a x
n
ijjinAa? ???? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -34
矩阵范数
6,M – 范数（最大范数）
7,G – 范数（几何平均范数）
,m a x {,} m a x ijM ijA m n a?
,m a x ijG ijA m n a?
,m a x ijm ijAna? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -35
矩阵范数
– 矩阵范数的应用
有了矩阵范数，可以定义矩阵数列的极限，矩阵级数的收敛，矩阵函
数的连续性等等。
? 矩阵的谱半径：矩阵范数在特征值估计中的应用
设, 为 A的 n个特征值，称集合
为矩阵 A的谱，记作
称
为矩阵 A的谱半径
– 谱半径的性质
设,则
1,
2,
3,当 A是正规矩阵时,
12 n? ? ?
nnAC??
( ) m a x jjA???
12{} n? ? ?
nnAC??
()A?
( ) ( ( ) )kkAA???
2
2( ) ( )HHA A AA A?? ??
2()AA? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -36
矩阵范数
证明,
1,先用归纳法证明 是 的特征值。
已知 n = 1时成立：,假设 n = k – 1时成立
2,
与 的非零特征值相同
3,根据前一节，当 A是正规矩阵时,
而根据谱半径的定义
所以，当 A是正规矩阵时
2
2( ) ( )HH MA A AA A? ? ?? ? ?
2()AA? ?
2 m a x {, d e t ( ) 0 }HMMA I A A? ? ? ?? ? ? ?
()H H HA A A A? HAA HAA
2 m a x kkA ??
( ) m a x jjA???
0iA x x x???
12k k kn? ? ?
kA
11 0kk iA x x x?????
1 1 1 0k k k k ki i iA x A A x A x A x x x? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?
( ) m a x ( m a x ) ( ( ) )k k k kiiiiAA? ? ? ?? ? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -37
矩阵范数
– 定理,
设,则对 上的任一矩阵范数,都有
– 定理,
设,,,使得
此两定理联合起来，说明谱半径是某种上确界（所有上界中的最小者）
事实上,确实是个上确界,
0???, nnCR????
()AA? ?
nnAC??
nnAC?? nnC?
()mAA????
()A? ( ) s u p {, ( ) }AA? ? ? ???
()A?
A
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?
mA
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -38
矩阵范数
– 定理,
设,,,使得
证明, (构造法证明、主要步骤 ) A的 Jordan标准形
0???, nnCR????nnAC??
()mAA????
21d i a g ( 1 )nD ? ? ? ?? 1 1 2 ( 1 )d i a g ( 1 )nD ? ? ?? ? ? ? ??
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( 1 )
1
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( 1 )
n
n
n
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1
1
1
n
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??
??
??
??
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -39
矩阵范数
两边同时取 范数，容易验证，,
是满足 上矩阵范数定义中的 4个条件，记此范数为,则
或 1
11
211
1n
n
D P AP D
? ??
?
??
?
??
?
??
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?
??
??
??
mA
nnAC??? 11D P A P D??
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nnC?
11mA D P A P D??
??
1 1 2 2 1 1m a x { }
m a x
()
n n n
jj
A
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??
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??? ? ? ?
??
??
0i? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -40
矩阵范数
– 矩阵的谱半径应用举例
设
0 0.2 0.1
0.2 0 0.2
0.1 0.2 0
A
??
????
????
()A?
1 1mA ?
1
2
3
0
0.4
0.4
i
i
?
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?
?
??
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1 0,4AA ???
,3 m a x 0, 6ijm ijAa? ??
( ) 0,1 8 0,4 2 4 3HFA tr A A? ? ?()AA? ?
( ) 0.4A? ?
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第 5讲 -41
