§ 2.1 引言
第二章 行列式
§ 2.1 引言
解方程是代数中一个基本问题，在中学我们学
过一元、二元、三元以至四元一次线性方程组。在
解线性方程组时，我们曾用代入消元法和加减消元
法来解线性方程组。例如，对二元一次方程组
1 1 1
2 2 2
(1)
( 2 )
a x b y c
a x b y c
???
? ??
?
LL
LL
（ 2.1.1）
利用加减消元法，由
21(1) ( 2)bb? ? ?
和 ? ? ? ?1221aa? ? ? 得
? ?
? ?
1 2 2 1 2 1 1 2
1 2 2 1 1 2 2 1
a b a b x b c b c
a b a b y a c a c
? ? ???
? ? ? ?
??
第二章 行列式
若
1 2 2 1 0a b a b??
，则有
2 1 1 2
1 2 2 1
1 2 2 1
1 2 2 1
b c b c
x
a b a b
a c a c
y
a b a b
??
??
??
?
??
?
? ??
我们用记号
11
22
ab
D
ab
?
表示
1 2 2 1a b a b?
11
2 1 1 2
22
x
cbD b c b c
cb? ? ?
，
11
1 2 2 1
22
y
ac
D a c a c
ac
? ? ?
+－
第二章 行列式
若 0D?,则
x
y
D
x
D
D
y
D
?
??
?
?
? ?
??
是方程组（ 2.1.1）的公式解。
对三元一次线性方程组 11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
? ? ??
?
? ? ??
? ? ? ?
?
（ 2.1.2）
若
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
1 1 2 2 3 3 1 3 2 1 3 2 1 2 2 3 3 1 1 3 2 2 3 1 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3
0
a a a
D a a a
a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
?
? ? ? ? ? ?
?
+－
第二章 行列式
则
1
2
3
1
2
3
x
x
x
D
x
D
D
x
D
D
x
D
?
??
?
?
??
?
?
??
?
是方程组（ 2.1.2）的公式解。
这里
1 2 3,,x x xD D D
是分别用 ? ?
1 2 3,,b b b
代替 D 中第 1 列，第
2列，第 3列所得的行列式。
由此，我们引入了二阶行列式和三阶行列式的定义，
同时给出了二元一次和三元一次线性方程组的公式解。
我们自然要问，对于 n元一次线性方程组
1 1 1 1 2 2 1 1
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
n n n n n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
? ? ? ??
? ? ? ? ?
?
?
?
? ? ? ? ??
L
L
LLL
L
（ 2.1.3）
第二章 行列式
是否也有类似于（ 2.1.1)、（ 2.1.2）的公式解？
这首先就必须解决：能否把二阶、三阶行列式
推广到 n阶行列式？要解决这个问题，必须回答以下
一系列问题：
? 这个 n阶行列式如何定义？
? n阶行列式中一共包含有多少项？
? 每一项由哪些元素组成？
? 哪些项前面带正号？
? 哪些项前面带负号？
有了 n阶行列式的定义后，我们才能研究方程
组（ 2.1.3）有没有类似于二元、三元方程组的公式
解。