§ 2.7 Gramer法则
第二章 行列式
行列式理论在解一类特殊的线性方程组方面有重要应用，
对于二元一次和三元一次方程组，当方程组的系数行列式不
为 0时，方程组有唯一的公式解。对于 n元一次方程组，相应
的结论也成立，这就是下面要介绍的 Gramer法则。
设 n元一次线性方程组为
1 1 1 1 2 2 1 1
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
n n n n n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ??
L
L
LLLLLL
L
— （ 1）
,,,1,2,,ij ia b F i j n?? L
称
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n n n
a a a
a a a
D
a a a
?
L
L
L L L L
L
为这个方程组的系数行列式。
第二章 行列式
把 D中的第 j列换成常数列
12,,,nb b bL
后所得行列式记为
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 2 1 2
1 1 1
j j n
j j n
j
n n j n n j n n
a a b a a
a a b a a
D
a a b a a
??
??
??
?
LL
LL
L L L L L L L
LL
则
1 1 2 2,1,2,,j j j n njD b A b A b A j n? ? ? ? ?LL
定理 2.7.1 （ Gramer法则）：
如果线性方程组（ 1）的系数行列式 0D?
有唯一解，其解为：
，则这个方程组
1212,,,nn DDDx x x
D D D? ? ?L
— （ 2）
其中
jD
是把 D中的第 j列元素换成常数项
12,,,nb b bL
所得的
行列式,1,2,,jn? L
第二章 行列式
该定理包括三个结论：
? 方程组在 0D? 时有解；
? 解是唯一的；
? 解由公式（ 2）给出。
这三个结论相互之间有联系，因此证明的步骤是：
1、把（ 2）代入方程组，验证它是方程组（ 1）的解；
2、假设方程组有解，则它的解必可由公式（ 2）给出。
证：把方程组简写成
1
,1,2,,
n
ij j i
j
a x b i n
?
??? L
首先证明公式（ 2）确是方程组（ 1）的解。把
,1,2,,jj Dx j nD?? L
代入第 i个方程得：
11
1nnj
ij ij j
jj
Da a D
DD?????
第二章 行列式
? ?1 1 2 2
1
1 n
ij j j n n j
j
a b A b A b AD
?
? ? ? ?? L
? ? ? ?
? ?
1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 2 2
1
i n n i n n
in n n n n n
a b A b A b A a b A b A b A
D
a b A b A b A
? ? ? ? ? ? ? ???
? ? ? ? ? ??
LL
LL
? ? ? ?
? ?
1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2
1 1 2 2
1
i i in n i i i i i in in
n i n i n in n n
b a A a A a A b a A a A a A
D
b a A a A a A
? ? ? ? ? ? ? ? ???
? ? ? ? ? ??
L L L
LL
1
ibDD?
,1,2,,ib i n?? L
因此,1,2,,j
j
Dx j n
D?? L
确是方程组（ 1）的解。
再证方程组（ 1）的解必由公式（ 2）给出。设
1 1 2 2,,,nnx k x k x k? ? ?L
是方程组（ 1）的任一解，
第二章 行列式
则有
1
,1,2,,
n
ij j i
j
a k b i n
?
??? L
— （ 3）
用 D中第 j列元素
12,,,j j n ja a aL
的代数余子式
12,,,j j njA A AL
依次乘以（ 3）中每个方程得
1 1 1
,1,2,,
n n n
i j i j j i i j
i j i
A a k b A i n
? ? ?
?? ??
????? ? ? L
把这 n个方程相加得：
1 1 1
n n n
i j i j j i i j j
i j i
A a k b A D
? ? ?
?? ??
????? ? ?
而
? ?1 1 2 2
1 1 1
n n n
i j i j j i j i i i n n
i j i
A a k A a k a k a k
? ? ?
?? ??? ? ? ?
?? ????? ? ? L
? ? ? ?
? ?
1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2
j n n j n n
n j n n n n n
A a k a k a k A a k a k a k
A a k a k a k
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
LL
LL
? ? ? ?
? ?
1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2
1 1 2 2
j j n n j j j j j j n j n j
n n j n j n n n j
k a A a A a A k a A a A a A
k a A a A a A
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
L L L
LL
第二章 行列式
例 2.7.1 解线性方程组
1 2 3 4
1 2 4
2 3 4
1 2 3 4
2 5 8
3 6 9
2 2 5
4 7 6 0
x x x x
x x x
x x x
x x x x
? ? ? ??
? ? ? ?
?
?
? ? ? ??
? ? ? ? ??
解：由于方程组的系数行列式
2 1 5 1
1 3 0 6
0 2 1 2
1 4 7 6
D
?
??
?
?
?
,1,2,,jk D j n?? L
,1,2,,jj Dk j nD?? L故
第二章 行列式
0 7 5 13
1 3 0 6
0 2 1 2
0 7 7 12
?
??
?
?
?
7 5 13
2 1 2
7 7 12
?
? ? ?
?
3 5 3
0 1 0
772
??
? ? ?
???
33
72
??
??
6 21 27? ? ? 0?
? 方程组有唯一解。
由于
1 2 3 48 1,1 0 8,2 7,2 7D D D D? ? ? ? ? ?
? 方程组的解是
1 2 3 43,4,1,1x x x x? ? ? ? ? ?
注意,克莱姆法则只适用于方程个数与未知量个数相等，且系
数行列式不等于零的线性方程组。如果方程个数与未知
量个数不相等或虽相等，但系数行列式等于零，克莱姆
法则失效。
第二章 行列式
1 1 1 1 2 2 1
2 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2
0
0
0
nn
nn
n n n n n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
? ? ? ??
? ? ? ? ?
?
?
?
? ? ? ? ??
L
L
LLLLLL
L
如果在线性方程组（ 1）中常数项全为零，即有
— （ 4）
称方程组（ 4）为齐次线性方程组，这种方程组显然有解：
0,1,2,,ix i n?? L 称其为零解。齐次线性方程组如果有其他的
解，则称为非零解。我们关心方程组（ 4）什么时候有非零解。
定理 2.7.2,若齐次线性方程组（ 4）的系数行列式 0D?,
则方程组（ 4）只有零解。
证：由 Gramer法则，方程组（ 4）只有唯一解：,i
i
Dx
D?但由于
0,1,2,,iD i n?? L
0,1,2,,ix i n? ? ? L
第二章 行列式
推论,齐次线性方程组（ 4）有非零解的充要条件是其系数行
列式等于零。
例 2.7.2 当 ? 取何值时，齐次线性方程组
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0
0
0
x x x
x x x
x x x
?
?
?
? ? ??
? ? ? ?
?
? ? ? ?
?
有非零解。
解,11
11
11
D
?
?
?
?
20 1 1
0 1 1
11
??
??
?
??
? ? ?
2
2
11
02
??
??
????
??
? ? ? ?212??? ? ? ?
当 1?? 或 2? ?? 时，方程组有非零解。