§ 2.3 n阶行列式的定义
第二章 行列式
问题,如何定义 n阶行列式？
一,二阶与三阶行列式的构造
? ? ? ?12 12
12
1 1 1 2
1 1 2 2 1 2 2 1 1 2
2 1 2 2
1 jj jj
jj
aa a a a a a a
aa
?? ? ? ??
特点,（ 1）二阶行列式是一个含有
2! 项的代数和；
（ 2） 每一项都是两个元素的乘积，这两个元
素既位于不同的行，又位于不同的列，
并且展开式恰好是由所有这些可能的乘
积组成；
（ 3） 任意项中每个元素都带有两个下标，第
一个下标表示元素所在行的位置，第二
个下标表示该元素所在列的位置。当把
第二章 行列式
每一项乘积的元素按行指标排成自然顺序后，每
一项乘积的符号由这一项元素的列指标所成的排
列的奇偶性决定，奇排列取负号，偶排列取正号。
对三阶行列式也有相同的特点
? ?
? ?1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2
1 2 3
1
j j j
j j j
j j j
a a a
a a a
a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a
?
? ? ? ? ? ?
?? ?
第二章 行列式
特点：（ 1）共有 3！项的代数和；
（ 2） 每一项是三个元素的乘积，这三个元素
既位于不同的行又位于不同的列，展开
式恰由所有这些可能的乘积组成；
（ 3） 当把每一项乘积的元素按行下标排成自
然顺序后，每一项的符号由这一项元素
的列指标所成的排列的奇偶性决定。
二,n阶行列式的定义
1,1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n n n
a a a
a a a
D
a a a
?
L
L
L L L L
L
为一个 n阶行列式，它等于所有
第二章 行列式
取自不同行不同列的 n个元素乘积
1212 nj j nja a aL
的代
数和，这里
12,,,nj j jL
是 1,2,,nL 的一个排列。 每一
项
1212 nj j nja a aL
中把行下标按自然顺序排列后，其符号
由列下标排列
12 nj j jL
的奇偶性决定。当
12 nj j jL
偶排列时取正号，当
是
12 nj j jL
是奇排列时取负号，
即
? ? ? ?12 12
12
121
n
n
n
j j j
j j n j
j j j
D a a a???? L
L
L
根据定义可知：
? n阶行列式共由 n!项组成；
? 要计算 n阶行列式，首先作出所有可能的位于
不同行不同列元素构成的乘积；
? 把构成这些乘积的元素的行下标排成自然顺
第二章 行列式
序，其符号由列下标所成排列的奇偶性决定；
? n阶行列式的定义是二、三阶行列式的推广。
2、例子
例 2.3.1：计算行列式
0 0 0 1
0 0 2 0
0 3 0 0
4 0 0 0
D ?
? ? ? ?4321 1 4 2 3 3 2 4 11 2 4a a a a?? ? ?
第二章 行列式
例 2.3.2：计算行列式 00
00
00
00
ab
cd
D
ef
gh
?
? ? ? ?1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 41
j j j j
j j j j
j j j j
a a a a????
d e ga c f h a d e h b b c f g? ? ? ?
例 2.3.3：用行列式定义计算
11
2 1 2 2
1
12
00
0
n n n n
a
aa
D
a a a
?
L
L
L L L L
L
1 1 2 2 nna a a? L
第二章 行列式
1 1 1 2 1
2 2 2
2
0
00
n
n
nn
a a a
aa
D
a
?
L
L
L L L L
L
1 1 2 2 nna a a? L
例 2.3.4：设
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
1
3 1 3 2 3 3 3 4
4 1 4 2 4 3 4 4
a a a a
a a a a
D
a a a a
a a a a
?
问：
13 21 42,a a a 12 24 32 41,a a a a 14 21 32 43,a a a a 23 12 41 34,a a a a
是不是四阶行列式
1D
的项？
如果是，应取何符号？
14 21 32 43,a a a a
是，取符号,-1
23 12 41 34,a a a a 是，取符号,-1
第二章 行列式
例 2.3.5：设 2
a b c d
g h p q
D
s t u v
w x y z
?
问：（ 1） dhsy与 ptaz是否为 2D 的项？应取何符号？
（ 2） 2D 含有 t的项有多少？ （ 6项）
注,在一个行列式中，通常所写的元素本身不一定有下标，
即使有下标，其下标也不一定与这个元素本身所在的行
与列的位置完全一致。因此要确定一项的符号，必须按
照各元素在行列式中实际所在的行与列的序数计算。
在一般情况下，把 n阶行列式中第 i行与第 j列交叉位置上的元
素记为
ija
在行列式 D 中，从左上角到右下角这条对角线称为主对角线
第二章 行列式
定理 2.3.1 在 n阶行列式 D 中，项
1 1 2 2 nni j i j i ja a aL
所带的符
号是 ? ? ? ? ? ?1 2 1 21 nni i i j j j?? ?? LL
证明,1、交换项
11 s s t t n ni j i j i j i ja a a aL L L
— (1) 中任两个元素
ssija
与
ttija
的位置，不改变
11( ) ( )s t n s t ni i i i j j j j?? ?L L L L L L把（ 1）中
ssija
与
ttija
对换后得
11 t t s s n ni j i j i j i ja a a aL L L
— (2)
由于对换改变排列的奇偶性,故
1()s t ni i i i? L L L
与
1()t s ni i i i? L L L
1()s t nj j j j? L L L
与
1()t s nj j j j? L L L
的奇偶性互化，
2、逐次交换（ 1）中的元素的次序，可以把（ 1）化为
故 — (3)
1()s t ni i i i? L L L 1()s t nj j j j? L L L
+
与 有相同的奇偶性
1()t s ni i i i? L L L 1()t s nj j j j? L L L
+
的奇偶性。
第二章 行列式
1212 nk k nka a aL
— （ 4）
而（ 4）的行下标与列下标所成排列和
? ? ? ? ? ?1 2 1 212 nnn k k k k k k? ? ???L L L
的奇偶性与（ 3）相同，于是
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 211s t n s t n ni i i i j j j j k k k? ? ??? ? ?L L L L L L L
因此项
1 1 2 2 nni j i j i ja a aL
所带的符号是 ? ? ? ? ? ?
1 2 1 21 nni i i j j j?? ?? LL
注,本定理说明在确定行列式中某项应取的符号时，可以同
时考虑该项行排列与列排列的反序数之和，而不一定要
把行下标排成自然顺序。
例 2.3.6：试确定四阶行列式中项 31 24 12 43a a a a 的符号，写出四阶
行列式中包含
24a
且取正号的所有项。
解 所带符号是, ? ? ? ? ? ?3 2 1 4 1 4 2 311?? ?? ? ?
1 1 2 4 3 2 4 3a a a a
取正号的项包括,
12 24 33 41,a a a a 1 3 2 4 3 1 4 2a a a a
第二章 行列式
几种特殊的行列式：
对角形行列式
上三角行列式
下三角行列式